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Mathematik – BrückenkursBiologie, Chemie mit
Materialwissenschaften, Naturwissenschaftliche Forensik
WS 2016/2017
1
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Zehnerpotenzen/Exponentialschreibweise
Mit Hilfe von Zehnerpotenzen bzw. der Exponentialschreibweise lassen sich auch sehr große und sehr kleine Zahlen kompakt schreiben. Sie bilden die Grundlage der (natur‐) wissenschaftlichen Schreibweise (kurz SCI für englisch scientific).
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Name Zahl in Dezimalschreibweise Zahl in Exponentialschreibweise
Trillion 1 000 000 000 000 000 000 =1018
Billiarde 1 000 000 000 000 000 =1015
Billion 1 000 000 000 000 =1012
Milliarde 1 000 000 000 =109
Million 1 000 000 =10*10*10*10*10*10=106
Hunderttausend 1000000 =10*10*10*10*10=105
Zehntausend 10000 =10*10*10*10= 104
Tausend 1000 =10*10*10= 103
Hundert 100 =10*10=102
Zehn 10 =101
Eins 1 =100
Zehntel 0,1 =1/10=10‐1
Hundertstel 0,01 =1/100=10‐2
Tausendstel 0,001 =1/1000=10‐3
Zehntausendstel 0,0001 =1/10000=10‐4
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wissenschaftliche Zehnerpotenzschreibweise
Darstellung von Zahlen in der Form: A × 10n
mit 1 ≤ A < 10 und n ganzzahligBsp: 0,000654 = 6,54*10‐4
350010 = 3,50010*105
0,02800 = 2,800 *10‐2
Nützlicher Link: http://matheguru.com/56‐wissenschaftliche‐schreibweise.html
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Aufgaben zur wissenschaftlichen Zehnerpotenzschreibweise
1.) 25802=
2.) 0,0027=
3.) 87,9654=
5
4.) 818,5000=
5.) 12,85*102=
6.) 913,64*10‐6=
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Einheiten /Einheitenpräfixe
SI‐Einheiten (von französisch Système international d’unités)
Internationale System für physikalische Größenes gibt im SI‐System 7 Basiseinheitenalle anderen physikalischen Einheiten sind aus diesen Basiseinheiten abgeleitet
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SI‐Einheiten
7
Messgröße Einheit SymbolLänge Meter mMasse Kilogramm kgZeit Sekunde s
Temperatur Kelvin K Stoffmenge Mol molStromstärke Ampere ALichtstärke Candela cd
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Abgeleitete SI‐Einheiten, z.B.
8
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Vorsätze für Maßeinheiten, auch Einheitenvorsätze, Einheitenpräfixe oder kurz Präfixe oder Vorsätze genannt, dienen dazu, Vielfache oder Teile von Maßeinheiten zu bilden, um Zahlen mit vielen Stellen zu vermeiden.z.B. 7000m = 7*103 m = 7 km
Einheit ist das m (Meter) k (für kilo) ist das Präfix und
ersetzt/substituiert den Faktor 1000 bzw. die Zehnerpotenz 103
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10
SI‐PräfixeFaktor Präfix Symbol/Abkürzung
1015 Peta P
1012 Tera T
109 Giga G
106 Mega M
103 Kilo k
102 Hekto h
101 Deka da
10‐1 Dezi d
10‐2 Zenti c
10‐3 Milli m
10‐6 Mikro µ
10‐9 Nano n
(10‐10 Angström Å)
10‐12 Piko P
10‐15 Femto f
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Aufgaben zur Nutzung von PräfixenSchreiben Sie die folgenden Messwerte unter Benutzung der SI‐Präfixe und umgekehrt:z.B. 4,85* 10‐9 g = 4,85 ng oder 2,58 mg= 2,58*10‐3 g
1.) 3,16*10‐3 m = 4.) 34,2 cL =
2.) 5,98*109 s = 5.) 2,50 ng =
3.) 58,89*103 g = 6.) 5µmol =
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EinheitenumrechnungBsp.1 159 km = ________cm
Überlegungen:
km => Präfix kilo = 103
cm => Präfix centi = 10‐2
Umwandlung von größerem Präfix zu kleinerem Präfix: Zahl ist mit dem Zehnerpotenzunterschied zu multiplizieren
159 km = 159 *105 cm
5 Zehnerpotenzen(von Potenz 3 bis ‐2) Unterschied zwischen den beiden Präfixen
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EinheitenumrechnungBsp.2 4 nm = ________cm
Überlegungen:
nm => Präfix nano = 10‐9
cm => Präfix centi = 10‐2
Umwandlung von kleinerem Präfix zu größerem Präfix: Zahl ist mit dem Zehnerpotenzunterschied zu dividieren
4 nm = 4/107 cm = 4*10‐7cm
7 Zehnerpotenzen(von Potenz ‐9 bis ‐2) Unterschied zwischen den beiden Präfixen
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Aufgaben zur Einheitenumwandlung
1. 7m (dm)2. 6 km (m)3. 5 dm (cm)4. 5 dm (µm)5. 32 nm (cm)6. 560 cm (dm)7. 940 mm (cm)
8. 5 µm (mm)9. 5m (µm)10. 72 dm (mm)11. 37 m (mm)12. 6300 mm (dm)13. 6 µm (nm)14. 700 m (km)
14
Forme in die Einheit in Klammern um.
Nützliche Links/interaktive weitere Übungsaufgaben:http://www.arndt‐bruenner.de/mathe/scripts/einheitenueben.htmhttp://www.realmath.de/Neues/Klasse6/dezimal/laengen.html
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1. 5 t (kg) (Anmerkung: Die Einheit Tonne (t) ist keine SI‐Einheit‐ wird aber trotzdem sehr gerne verwendet als Gewichtseinheit)
2. 3 mg (kg)3. 5 ng (mg)4. 16 µg (g)
5. 36 ms (s)6. 5 µs (s)7. 25 L (nL)8. 4 Gbit (Mbit)9. 17 mol (µmol)10. 25,5 mmol (mol)
15
Aufgaben zur EinheitenumwandlungForme in die Einheit in Klammern um.
Nützlicher Link /interaktive weitere Übungsaufgaben: http://www.realmath.de/Neues/Klasse5/gewicht/gewicht.htmlhttp://www.realmath.de/Neues/Klasse5/volumen/volumrech2.html
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16
Aufgaben zur EinheitenumwandlungForme in die Einheit in Klammern um.1. 0,5 m2 (dm2)2. 5 L (dm³)3. 21 mL (dm³)4. 1 m³ (mm³)
5. 36 cm³ (mm³)6. 0,5 mm³ (cm³)7. 0,6 L (cm³)8. 12 mm³ (L)
Bsp: • 1 m2 = 1m*1m = 1*102 cm*1*102 cm = 1*104 cm2
• 1 m3 = 1m*1m*1m = (1*102 cm)*(1*102 cm)*(1*102 cm) = 1*106 cm3
• 1 m3 = 1000 LNützliche Links/weitere interaktive Übungsaufgabenhttp://www.realmath.de/Neues/Klasse5/flaeche/umrechnung.htmlhttp://www.realmath.de/Neues/Klasse5/volumen/volumrech.htmlhttp://www.realmath.de/Neues/Klasse5/volumen/volumrech3.html
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17
Aufgaben zur EinheitenumwandlungForme in die Einheit in Klammern um.
1. 3 min (s)2. 5 h (min)3. 35 min (h)4. 1 d (s)5. 1,5 a (s)
6. 2,25 min (s)7. 2 min 50s (s) 8. 273,15 K (°C)9. 25 °C (K)
Bsp: • 2 a in min: 2a= 2a*365d/a*24h/d*60min/h= (2*365*24*60) min=1051200min • 20°C = (20+273,15) K
Nützlicher Link/weitere interaktive Übungsaufgaben:http://www.realmath.de/Neues/Klasse5/zeit/zeit2.htmlhttp://www.realmath.de/Neues/Klasse6/bruchteil/bruchzeit.html
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1. Wandeln Sie den Wert in die naturwissenschaftliche Zehnerpotenz um!
2. Geben Sie anschließend den Wert in einer passenden Einheit mit Verwendung eines Präfixes an.
18
Beispiel:
mmm
m
76,81076,8
00876,03
Schritt 1
Schritt 2
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µmkgL
mmg
0024,0.50349,0.40098,0.300478,0.20048,0.1
19
²008463,0.10²000574,0.9
000789,0.800145,0.70036,0.6
mdmcm
sm
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20
Aufgaben zu „mit Einheiten rechnen“Forme in die Einheit in Klammern um und berechne.
][2325.5][151.4
][1634.3][5125.2
][125.1
mgµgmgkgkggmmnmcmmmµmcmcmmmm
![Page 21: Mathematik - Brückenkurs 2016.ppt [Kompatibilitätsmodus] · 2016-08-17 · ... (dm³) 4. 1 m³ (mm³) 5. 36 cm³ (mm³) 6. 0,5 mm³ (cm³) 7. 0,6 L (cm³) 8. 12 mm³ (L) Bsp: •](https://reader031.vdokument.com/reader031/viewer/2022031819/5c88a60a09d3f291748d1fec/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Aufgaben zu „mit Einheiten rechnen“Forme in die Einheit in Klammern um und berechne.
][236.9][51.8
][367490.7][78456.6
3
33
LcmLdmdmmL
mgngµggmgg
![Page 22: Mathematik - Brückenkurs 2016.ppt [Kompatibilitätsmodus] · 2016-08-17 · ... (dm³) 4. 1 m³ (mm³) 5. 36 cm³ (mm³) 6. 0,5 mm³ (cm³) 7. 0,6 L (cm³) 8. 12 mm³ (L) Bsp: •](https://reader031.vdokument.com/reader031/viewer/2022031819/5c88a60a09d3f291748d1fec/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Aufgaben zu „mit Einheiten rechnen“Forme in die Einheit in Klammern um und berechne.
][min162415.13][min504.12
[min]5,345.11[min]60min35.10
hsshd
hss
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23
][164.3³][51634.2³][2265.1
2 LdmmmVmµmcmdmVcmcmmmµmV
Aufgaben zu „mit Einheiten rechnen“Forme in die Einheit in Klammern um und berechne.
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24
Aufgaben zu „mit Einheiten rechnen“:
a.) Eine Ameise bewegt sich mit der Geschwindigkeit 9 km/d. Wie groß ist die Geschwindigkeit in km/h bzw. cm/min ausgedrückt?
b.) 25 mg/100mL = ________ mg/L
c.) 250 mmol/L = ________ mol/L
d.) 490 mg/L = ________ g/mL
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25
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26
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Summenzeichen
Quelle Abbildung: http://de.wikipedia.org/wiki/Summenzeichen#Notation_mit_dem_Summenzeichen
Die Laufvariable k nimmt in diesem Beispiel Werte von 1 (Startwert) bis 5 (Endwert) in ganzen Schritten an: also 1,2,3,4 und 5
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Summenzeichen
Die Laufvariable k nimmt in diesem BeispielWerte von 1 (Startwert) bis 4 (Endwert) in ganzenSchritten an: also 1, 2, 3 und 4, die SUMMIERT werden!
Beispiele:
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weiteres ausführliches Erklärungsvideo Rechnen mit Summenzeichen: http://www.youtube.com/watch?v=yFB2eD5Gbf0
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Bruchrechnung
33
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Kürzen + Erweitern• Erweitern bedeutet Zähler und Nenner mit der derselben von 0 verschiedenen Zahl zu multiplizieren
• Kürzen bedeutet Zähler und Nenner durch dieselbe von 0 verschiedene Zahl zu dividieren
cbca
ba
cbca
ba
::
34
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• Addition:
• Subtraktion:
• Multiplikation:
• Division:
dbbcda
dc
ba
dbbcda
dc
ba
dbca
dc
ba
cbda
cd
ba
dc
ba
:
35
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Aufgaben zur Bruchrechnung 1
dbbcda
dc
ba
dbbcda
dc
ba
52
43)a
78
65)b
31
115
98)c
25
31)a
52
61)b
115
97
58)c
36
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Aufgaben zur Bruchrechnung 2
dbca
dc
ba
25
63.2
94
87.1
452
856.6
433
163.5
37
424
735.4
2739
1412.3
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Aufgaben zur Bruchrechnung 3
cbda
cd
ba
dc
ba
:
25:
63.2
94:
87.1
452:
856.6
433:
163.5
38
424:
735.4
219:
1411.3
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Aufgaben zur Bruchrechnung 4
1612
83
45
32
.2
2365
.1
2825
163
57
2119
.4
95
2712
83
115
.3
39
![Page 40: Mathematik - Brückenkurs 2016.ppt [Kompatibilitätsmodus] · 2016-08-17 · ... (dm³) 4. 1 m³ (mm³) 5. 36 cm³ (mm³) 6. 0,5 mm³ (cm³) 7. 0,6 L (cm³) 8. 12 mm³ (L) Bsp: •](https://reader031.vdokument.com/reader031/viewer/2022031819/5c88a60a09d3f291748d1fec/html5/thumbnails/40.jpg)
Prozentrechnung
40
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Angabe von Prozent• % bedeutet: Zahl durch 100 dividieren• Beispiel: 32% = 32/100 = 0,32
• In Prozent umwandeln: Zahl mit 100 multiplizieren
• Beispiel: 0,144 = 0,144*100 = 14,4%
41
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Aufgabe: Wandeln Sie in Prozent um.
344,0.2
21.1
66,0.4
151.3
293,0.6
61.5
42
![Page 43: Mathematik - Brückenkurs 2016.ppt [Kompatibilitätsmodus] · 2016-08-17 · ... (dm³) 4. 1 m³ (mm³) 5. 36 cm³ (mm³) 6. 0,5 mm³ (cm³) 7. 0,6 L (cm³) 8. 12 mm³ (L) Bsp: •](https://reader031.vdokument.com/reader031/viewer/2022031819/5c88a60a09d3f291748d1fec/html5/thumbnails/43.jpg)
Aufgabe: Geben Sie die Prozentangabe als Bruch an.
%78.4%4,44.3%2,63.2%5,81.1
%35,0.7%94.24.6%09,16.5
43
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X% von Y (Prozent von …)Beispiel:
2510025,0100%25
100%25
von
44
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Aufgaben „…Prozent von…“
1. 12% von 2432. 33% von 1483. 39% von 32904. 0,88% von 55. 40,2% von 23910
45
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Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen
• Ziel: aus einer der beiden Gleichungen eine Variable zu entfernen
• 3 mögliche Lösungsverfahren:• Gleichsetzungsverfahren• Einsetzungsverfahren• Additionsverfahren
46
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Systeme von zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen
222
111
)2()1(
cybxa cybxa
Allgemeine Form:
47
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GleichsetzungsverfahrenBeispiel
48
3855102
822)2(8)1(
yyxx
xxxyxy
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Aufgabe: Löse über das Gleichsetzungsverfahren
3324
.)
1782
.)
xyxy
b
xyxy
a
49
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Einsetzungsverfahren
65115
11459
1544411
15411
154
xxy
yxy
yyyx
yxyxyx
Beispiel
50
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6490415
.)
25634116
.)
yxyx
b
yxyx
a
51
Aufgabe: Löse über das Einsetzungsverfahren
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Additionsverfahren
Beispiel
1010
30310
16016603910037
20310037
yx
yx
xyxyx
yxyx
52
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11533827724
.)
443
641
31
.)
yxyx
b
yx
yxa
53
Aufgabe: Löse über das Additionsverfahren
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Binomische Formeln
222 2)( bababa
222 2)( bababa
)(*)(22 bababa
54
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Pascalsches Dreieck
55
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Aufgaben Pascalsches Dreieck
56
Bestimmen Sie die folgenden Gleichungen mithilfe des Pascalschen Dreiecks.
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Aufgaben zu binomischen Formeln
Berechne:
17²25.765536³32768²²6144³51216.6
8172²16.5)365()365(.4
)35(.3)³625(.2
)²52(.1
44
4
xmzmmzmzz
xxxx
xyx
x
57
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Potenzrechnungnmnm aaa )1
nmn
m
aaa )2
nmnm aa )()3
nn
aa 1)4
74334 xxxx
25757 : xxxx
2,0515 1
58
409622³)2( 12434
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n
nn
ba
ba
)5
nnn baba )()6
1)7 0 a
aa 1)8
3222
5
5
55 xxx
140
441
59
³³64³³³4)³4( babaab
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Aufgaben zur Potenzrechnung
)( nmnm aaa 34 33)a 24) aad
04) bbb 34) bae 44) bac
)( nmn
m
aaa
4
3
22)a
3
4
22)c
4
0
)uub
2
21
)xxd
60
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Wurzelrechnung
nm
n m aa )1
aan n )2
nn aa1
)3 5125125 331
334 4
46444 22 323
61
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nn
n
ba
ba)5
nmnmm
nm n aaaa 11
)6
nn
xx
11)7
nnn baba )4 5125255 333
5253
75375
2161616 422
5,044
1 21
62
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Aufgaben Wurzelrechnung
32 )2)(a 32 )2)(b 421
))(xc 520)d
32)3e 22)3f 32
3 22)h
5
405)i 4
3
8127)j
8863)k
3 16) g
63
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Logarithmen
64
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Logarithmen
)(log bx a
bax
baxbKurz
xa )(log
:
Die Gleichung besitzt genau eine reelle Zahl als Lösung.
Man bezeichnet sie als Logarithmus von b zur Basis a und schreibt
.
8³23)(log2
bb
65
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Spezielle Logarithmen • Zehnerlogarithmus:(Logarithmus von x zur Basis 10)
• Zweierlogarithmus:(Logarithmus von x zur Basis 2)
• Natürlicher Logarithmus: (Logarithmus von x zur Basis e (Eulersche Zahl e = 2,718…)
)lg()(log10 rr
)()(log2 rlbr
)ln()(log rre
66
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Berechnung von Logarithmen
)(log)(log)(log
10
10
abba
)4lg()256lg()256(log4
67
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Aufgaben zum Logarithmus 1
31log))100(log)
)1(log)27log)251log))8(log)
310
53
52
fe
dc
ba
68
001,0log) 10g
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Logarithmusgesetzeyxyx aaa loglog)(log)1
vuvu
aaa logloglog)2
)15log()35log()3log()5log(
)625,0log(85log)8log()5log(
69
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xkx ak
a loglog)3
)(log1log)4 bn
b an
a
)(log4)(log 4 xx aa
))(log)((log21)(log
21)(loglog 2
1
yxxyxyxy aaaaa
70
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Weitere Regeln
xx aa log1log)1
01log)2 a
)6log()6log()1log(61log
71
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Aufgaben zum Logarithmus 2
Vereinfache die folgenden Terme:
2510log4010log) a
nc 10log) 103log) af a
72
5010log50010log) b
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Aufgaben zum Logarithmus 3
)lg(*3²)²lg(*31.4
)lg(*3)lg(*5)lg(*3.37
³6lg.2
log.1
xyx
zyxzxrsxy
a
73
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Berechnung von xBeispielaufgabe
)64,1()5log()14log(
)14log()5log()14log()5log(
145
x
x
x
x
74
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Bestimmen Sie die Lösung
42
11
25
753.107128.
943.
xx
xx
xx
edc
75
3
21 256log) xa
2log) 2 xb
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e‐funktion/ln‐funktion
76
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Berechnung von xBeispiel
)2ln(26;)2ln(26
)2ln(26²)2ln(26²
)2ln(3²5,0202
21
3²5,03²5,0
xx
xx
xee xx
77
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Aufgaben zur e‐Funktion
• Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
10) xea )2exp()3exp()b
16)2ln() xc )434ln()
221
94ln()d
78
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Bestimmen Sie x
3.40)1)(ln()1(.3
0)2()2(.20³)ln(³.1
1²
2
x
x
xx
exe
eexx
79
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Trigonometrische Funktionen
80
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Wichtige Winkel in Bogenmaß und Grad
Bogenmaß Grad
0 0°
π/6 30°
π/4 45°
π/3 60°
π/2 90°
π 180°
2π 360°
81
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• Umrechnung der Winkelmaße Vom Grad‐ ins Bogenmaß:
Vom Bogen‐ ins Gradmaß:
• Taschenrechner:deg = Grad; rad = Bogenmaß
• Drehsinn:gegen den Uhrzeigersinn gerichtete Winkel sind positiv, im Uhrzeigersinn gerichtete Winkel sind negativ
180x
x
180
82
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Aufgaben zur Umrechnung
1. 34° = 2. 126° = 3. ‐17° = 4. 0,94 = 5. ‐1,81 = 6. 5,97 =
83
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Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck
84
die Seite, die dem rechten Winkel (90°) gegenüberliegt heißt Hypotenuse, hier also Seite c = Hypotenuse
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Definitionen am rechtwinkligem Dreieck:
Sinus (sin) eines Winkels = Gegenkathete des WinkelsHypotenuse
Kosinus (cos) eines Winkels= Ankathete des WinkelsHypotenuse
Tangens (tan) eines Winkels= Gegenkathete des WinkelsAnkathete des Winkels
Cotangens (cot) eines Winkels= Ankathete des WinkelsGegenkathete des Winkels
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Spezielle Winkel
86
sin cos tan
0° 0 1 0
30° 0,5
45° 1
60° 0,5
90° 1 0 ‐
180° 0 ‐1 0
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Bestimmung von Winkeln
87
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Bestimmung der fehlenden Größen in einem rechtwinkligen Dreieck
88
Beispiel:
a = 7,6 cm; c = 15,5 cm; γ = 90°
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Aufgaben Trigonometrie
89
Berechnen Sie die fehlenden Größen!
1. b = 2,4cm; c = 3,2cm; γ = 90°2. a = 5,2cm; α = 66,5°; γ = 90°3. c = 21,5cm; β = 72,3°; γ = 90°4. b = 12,6cm; α = 32,3°; γ = 90°
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Sinus‐ und KosinusfunktionSinus-/Kosinusfunktion
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-450 -360 -270 -180 -90 0 90 180 270 360 450
Winkel in Grad
sin
(x)
bzw
.co
s(x)
sincos
90
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Wichtige Beziehungen:
2sin)cos( xx
Additionstheoreme:
)sin()sin()cos()cos()cos()cos()sin()cos()sin()sin(
yxyxyxxyyxyx
2cos)sin( xx
)cot(1
)cos()sin()tan(
xxxx
91
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Gleichungen auflösen
• Quadratische Gleichungen• Wurzelgleichungen• Bruchgleichungen
92
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Lösen quadratischer Gleichungen
qppx
qpxx
22;1
2
)2
(2
0
p-q-Formel
7;13
)91(26
26
0916²
21
2
2,1
xx
x
xx
93
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Zu Quadratischen Gleichungen
94
• Quadratische Gleichungen haben maximal 2 Lösungen
• Die Lösungsformel:
liefert genau:
eine Lösung wenn:
zwei Lösungen wenn :
keine Lösung wenn:
qpp 2)
2(
2
0)2
( 2 qp
0)2
( 2 qp
0)2
( 2 qp
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Aufgaben quadratische Gleichungen
37²6.4)415()53()97()27(.3
4421²15.203522²3.1
xxxxxx
xxxx
95
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Lösen von Wurzelgleichungen
Beispiel
495
35 2
xx
x
Probe
33354
Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, d.h. man muss eine Probe machen.
96
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Aufgaben Wurzelgleichungen
6323.3
2563.2
5453.1
xx
xx
x
97
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BruchgleichungenBeispiel
4;5
204²9
29
0209²2²32010
)2(3)2(10
12
310
21
2/1
xx
x
xxxxxxxxxx
HNxx
98
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Aufgaben Bruchgleichungen
at
abb
at
bb
abt
at
taa
22.3
632
23.2
12
1.1
2
99
Bestimme t:
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Anwendungen
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Dichte (Stoffkonstante)
101
)()()(i
ii VVolumen
mMasseDichte
Lkg
mLg
mkg
dmkg
cmg
EinheitenTypische
;;;³
:
33
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102
Frisch gefallener Schnee hat die Dichte 0,20 g/cm³.
a. Welches Gewicht hat eine 30 cm dicke Schicht frisch gefallenen Schnees auf einem Flachdach von 20 m
Länge und 10 m Breite?
b. Wie viel Liter Wasser entstehen, wenn dieser Schnee schmilzt?
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103
Ein unregelmäßig geformtes Schmuckstück wiegt in Luft 0,177N, an einem dünnen Faden unter Wasser getaucht beträgt die Auftriebskraft 0,017N .
Kann das Schmuckstück aus Gold sein?
Es gilt: F=m*gg= 9,81 N/kg; Dichte (Gold)= 19,3 g/cm³; Dichte (Wasser)= 0,998
kg/dm³
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Verdünnungen
104
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Verdünnungen
Verdünnen: die Konzentration eines gelösten Stoffes in einer Lösung wird verringert oder herabgesetzt
105
100 ml
8 Pkt/100 mL
+100 mLWasser
Schütteln
100 ml
8 Pkt/200 mL=4 Pkt/100 mL
Wasser zugeben
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106
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Beispiel: Aus einer 10% Kochsalzlösung sollen 50 mL einer physiologischen Kochsalzlösung der Konzentration 0,9% hergestellt werden:
Anfangskonzentration: 10% Endkonzentration: 0,9%Endvolumen: 50 mLBenötigtes Anfangsvolumen: ? Benötigtes Volumen Wasser: ?
107
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Aufgaben Verdünnungen
1. Es liegt ein 10fach konzentrierter Puffer vor, der auf 1fach verdünnt werden soll. 500 mL des Puffers sollen hergestellt werden. Wie viel mL Puffer und Wasser werden benötigt?
109
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Aufgaben Verdünnungen2. Für die Konzentrationsbestimmung der von
Ihnen isolierten DNA verdünnen Sie im Praktikum 100 µL Ihrer DNA Lösung mit 400 µL Wasser. Die verdünnte Lösung hat eine Konzentration von 50 mg DNA pro mL. Wie hoch ist die DNA Konzentration der Ausgangslösung? Berechnen Sie zunächst den Verdünnungsfaktor! Wie viel DNA haben Sie isoliert, wenn das Volumen der Ausgangslösung 5 mL war? 110
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Diagramme
111
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112
Aussagekräftiger Diagrammtitel
Insbesondere wenn mehrere Graphen in einem Diagramm dargestellt werden, ist eine Legende notwendig.
Achsenbeschriftung, inkl. Einheitenangabe, x‐Achse: unabhängige (vorgegebene) Größe
Achsen
beschriftun
g, inkl. Einhe
itenangabe,
y‐Achse : abh
ängige (gem
essene
) Größe
Achseneinteilungen, auf eine sinnvolle Ausnutzung des zur Verfügung stehenden Platzes achten
Einzelne Messwerte – am besten als Punkte oder Kreuze eintragen
Ausgleichskurven (=Regressionskurve, = Trendlinie)
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Diagramme
113
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Aufgaben zu Diagrammen/Geradengleichungen
114
1.) Die Untersuchung der Löslichkeit L eines Salzes in Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur T führte zu den folgenden Messwertepaaren:
a.) Zeichnen Sie das dazugehörige Diagramm auf Millimeterpapier.b.) Ermitteln Sie mit Hilfe des Diagramms die Geradengleichung der Ausgleichsgeraden.c.) Ermitteln Sie die Löslichkeit des Salzes bei 36,5°C
c1.) graphisch aus dem Diagrammc2.) rechnerisch mit Hilfe der Geradengleichung
i 1 2 3 4 5 6Ti [°C] 0 20 40 60 80 100
Li [g/100mL] 70,7 88,3 104,9 124,7 148,0 176,0
![Page 115: Mathematik - Brückenkurs 2016.ppt [Kompatibilitätsmodus] · 2016-08-17 · ... (dm³) 4. 1 m³ (mm³) 5. 36 cm³ (mm³) 6. 0,5 mm³ (cm³) 7. 0,6 L (cm³) 8. 12 mm³ (L) Bsp: •](https://reader031.vdokument.com/reader031/viewer/2022031819/5c88a60a09d3f291748d1fec/html5/thumbnails/115.jpg)
Aufgaben zu Diagrammen/Geradengleichungen
115
2.) Die Konzentration einer Apfelsaftschorle soll ermittelt werden. Dazu werdenSchorlen mit bekannten Konzentrationen (=Standards) angesetzt. Sowohl dieStandards als auch die Probe werden photometrisch vermessen, d.h. man schautwelche Konzentration verursacht quasi welche „Farbintensität“ (Extinktion) undumgekehrt schließt man dann aus der Farbintensität (Extinktion) der Probe aufderen Konzentration. Man erhält dabei folgende Wertetabelle:
a.) Zeichnen Sie auf Millimeter-papier das dazu gehörige Diagramm.b.) Ermitteln Sie aus dem Diagramm die Geradengleichung.c.) Berechnen Sie die Konzentration der Probe.
![Page 116: Mathematik - Brückenkurs 2016.ppt [Kompatibilitätsmodus] · 2016-08-17 · ... (dm³) 4. 1 m³ (mm³) 5. 36 cm³ (mm³) 6. 0,5 mm³ (cm³) 7. 0,6 L (cm³) 8. 12 mm³ (L) Bsp: •](https://reader031.vdokument.com/reader031/viewer/2022031819/5c88a60a09d3f291748d1fec/html5/thumbnails/116.jpg)
Aufgaben zu Geradengleichungen
3.) Von einer Geraden sind zwei Punkte (Messwertepaare)bekannt: P(2/3) und Q (‐1/‐3).Bestimmen Sie die Geradengleichung.
4.) Eine Lipidschicht ist 100 nm dick und wächst pro Tag um 5nm.a.) Geben Sie ein Gleichung an, mit der man die Höhe der Lipidschicht zu jedem Zeitpunkt berechnen kann.
b.) Wie dick ist die Lipidschicht nach 1 Woche?
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Mittelwertberechnungen
a)5,0,8,6,9,5
b)22,94; 22,90; 22,92; 22,76; 22,80; 22,85; 22,84; 22,86; 22,83; 22,87
c) 6m, 7m, 4m, 4m, 5m, 3,m 4m, 7m, 0m, 5m, 5m, 6m, 2m117
Definition Mittelwert:
n
iin x
nxxx
nx
121
1)...(1