Methodenlehre II, SS2009
Prof. Dr. HolgerDette
1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests
Methodenlehre II, SS 2009
Prof. Dr. Holger Dette
Ruhr-Universitat Bochum
30. Marz 2011
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests
Methodenlehre II
I Prof. Dr. Holger DetteI NA 3/73I Telefon: 0234 322 8284I Email: [email protected] Internet: www.ruhr-uni-bochum.de/mathematik3/index.htmlI Vorlesung: Montag, 8.30–10.00 Uhr, HGA 10I Thema: Das allgemeine lineare Modell und seine Anwendungen
in der Psychologie
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests
Statistik-Team
I Ubung: Dienstag, 12.15–13.00 Uhr, HGA 30Tobias Kley: [email protected]
I Tutorium: SPSS
Lars Kuchinke: [email protected]
GAFO 04/615 Mo. 10.00–12.00 UhrGAFO 04/615 Mo. 12.00–14.00 UhrMarco Grabemann: [email protected] 1/128 Mo. 12.00–14.00 UhrGAFO 04/271 Fr. 12.00–14.00 UhrCacilia Werschmann: cilly [email protected] 04/615 Fr. 12.00–14.00 UhrIgor Ivanov: [email protected]
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests
Das allgemeine lineare Modell:
”Ein mathematisches Modell - viele statistischeVerfahren“
Inhaltsverzeichnis
1. Grundlegende Prinzipien der schließenden Statistik am Beispieldes t-Tests
2. Das lineare Regressionsmodell, multiple Regression undKorrelation
3. Das ”allgemeine“ lineare Modell
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests
Literatur
A. Aron, E.N. Aron, E.J. Coups, Statistics for Psychology,5th Edition, Pearson Prentice Hall
J. Bortz, Statistik, 6. Auflage, Springer
M. Rudolf, J. Muller, Multivariate Verfahren, Hogrefe
P. Zofel, Statistik fur Psychologen, Pearson Studium
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
1. Grundlegende Prinzipien der schließendenStatistik am Beispiel des t-Tests
1.1 Schatzer und Konfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eine Stichprobe
1.3 Zweistichprobenprobleme
1.4 Einfaktorielle Varianzanalyse
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
1.1 Schatzer und Konfidenzintervalle
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
1.1 Beispiel: IntelligenzquotientFragestellung: Haben (15-jahrige) Kinder aus Bochum einenhoheren Intelligenzquotienten als 100?
I 10 Kinder (zufallig ausgewahlt) machen einen IQ-TestDaten: y1, . . . , y10 Stichprobe
i 1 2 3 4 5yi 104 98 106 99 110i 6 7 8 9 10yi 107 100 97 108 112
I Hypothese (IQ der Kinder ist niedriger als 100):
H0 : µ ≤ 100
Alternative (IQ ist hoher als 100):
H1 : µ > 100
Dabei ist µ der (unbekannte) Erwartungswert derGesamtpopulation der (15-jahrigen) Kinder aus Bochum
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
Prinzip der schließenden Statistik
Auf Grund der Stichprobe y1, . . . , y10 sollen Aussagen uber dasMerkmal der Grundgesamtheit getroffen werden. Zum Beispiel
I Wie groß ist µ (Schatzung)?
I Kann man ein Intervall bestimmen, in dem µ liegt(Konfidenzintervall)?
I Gilt
H0 : µ ≤ 100 (IQ ist nicht hoher)
oder gilt
H1 : µ > 100 (IQ ist hoher)?
(statistischer Test)
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Grundlegende Schwierigkeit:
I µ ist der Erwartungswert der Population der 15-jahrigen KinderI Auf Basis der Stichprobe soll auf die Grundgesamtheit
geschlossen werden−→ Fehler, Unsicherheiten sind moglich!
I Beispiel: ”zufallig“ wahlen wir 5 hochbegabte Kinder (IQ ≥ 130)fur die Stichprobe aus. Vermutlich wird dadurch µ uberschatzt!
I Ziel der schließenden Statistik:Quantifizierung der Unsicherheit, z. B.mit welcher Wahrscheinlichkeit macht ein statistischer Testeinen Fehler, falls (aufgrund von Daten) fur H1 (IQ ist hoher als100) entschieden wird, obwohl in Wirklichkeit H0 gilt?
I Notwendig fur diese Quantifizierung:Mathematische Modellannahmen
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
Zusatzliche Modellannahme: Normalverteilung
I Allgemein gangige Annahme: Intelligenz in einer bestimmtenAltersgruppe der Bevolkerung ist normalverteilt
ϕ(x) =1√
2πσ2exp
(−1
2 (x − µσ
)2)
µ : Erwartungswertσ2 : Varianz
I Deutung: Ist Y der IQ eines zufallig aus der Populationausgewahlten Individuums, so gilt
P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ b
aϕ(x)dx
I Diese Modellannahme sollte man stets rechtfertigen (wie mandas machen kann, sehen wir spater)
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
Interpretation der Wahrscheinlichkeiten:
a b
I Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Beobachtung zwischen denWerten a und b liegt, entspricht der Flache unter der Kurve imIntervall [a, b].
I In Formeln:P(a ≤ Y ≤ b) =
∫ b
aϕ(x)dx
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
Verschiedene Normalverteilungen N(µ, σ2)
Dichten der Normalverteilung mit verschiedenen Parametern
-4 -2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
N(0,0.707)N(0,1)N(1,1.25)N(2,2)
I µ: ErwartungswertI σ2: VarianzI Beachte: unter jeder Kurve ist die Flache genau 1
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Motivation der Modellannahme derNormalverteilung
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Mathematisches Modell (hier n = 10): y1, . . . , yn sind
Realisierungen von Zufallsvariablen
Yi = µ+ εi , i = 1, . . . ,m
I yi : IQ-Messung fur i-tes Kind(Realisation der Zufallsvariablen Yi )
I µ: (unbekannter) Erwartungswert der Population(hier der 15-jahrigen Kinder aus Bochum)
I ε1, . . . , εn: unabhangige Zufallsvariable, normalverteilt mitErwartungswert 0 und Varianz σ2.Interpretation: Messfehler, genetische Variabilitat, Tagesform ...
I Mathematische Statistik z. B. Maximum Likelihood (in diesemBeispiel auch der gesunde Menschenverstand) liefert Schatzerfur µ:
µ = y · =1n
n∑i=1
yi = 104.1
I Wie genau ist diese Schatzung? Wie sehr streut dieseSchatzung?
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Maß fur die Genauigkeit: Varianz (je kleiner die Varianz, desto
”genauer“ die Schatzung)I Mathematische Statistik (Methodenlehre I): die Varianz des
Schatzers µ ist:
Var(µ) =σ2
nI Beachte:
I Je großer der Stichprobenumfang n, desto kleiner die Varianzvon µ. D.h. desto genauer ist die Schatzung.
I Fur die Beurteilung der Genauigkeit muss man die Varianz σ2
der Population kennen.
I Mathematische Statistik: Schatzung fur den Parameter σ2
σ2 =1
n − 1
n∑i=1
(yi − y ·)2 = 28.32
σ2µ =
σ2
n = 2.832
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Zusatzliche Modellannahme: NormalverteilungI Oft wird der Schatzer zusammen mit dem Standardfehler
angegeben
µ = 104.1µ+ σµ = 105.78µ− σµ = 102.42
I σµ = σ√n =
√σ2
n = 1.683 ist der Standardfehler des Schatzersµ (Schatzung fur Streuung des arithmetischen Mittels)
I σ = 5.322 ist die aus den Daten geschatzteStandardabweichung (Schatzung fur die Streuung einereinzelnen Beobachtung)
I Deutung: Vor der Datenerhebung ist µ zufallig. Falls dieNormalverteilungsannahme korrekt ist, ist auch µ normalverteiltmit:
- Erwartungswert µ- Varianz σ2
n
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
40 60 80 100 120 140 160
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
x
Dic
hte
40 60 80 100 120 140 160
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
x
40 60 80 100 120 140 160
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
Verschiedene Normalverteilungen
x
Y1 ~ N (104.1, 28.32)
((Y1 ++ Y2)) 2 ~ N (104.1, 28.32/2)
((∑∑i==1
10Yi)) 10 ~ N (104.1, 2.832)
40 60 80 100 120 140 160
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
x
Dic
hte
40 60 80 100 120 140 160
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
x
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
1.2 Schatzverfahren (Erwartungswert einer Populationunter Normalverteilungsannahme)
I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µ
I Rechtfertigung der Unabhangigkeits- undNormalverteilungsannahme
I µ = 1n∑n
i=1 yi Schatzung fur den Erwartungswert µ derPopulation
I σ2 = 1n−1
∑ni=1(yi − y ·)2 Schatzung fur die Varianz der
Population (σ Schatzung fur die Standardabweichung)
I σ2µ = σ2
n Schatzung fur die Varianz von µ
I Schatzung fur den Standardfehler von µ : σµ =√
σ2
n = σ√n
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
SPSS-Output: die Schatzer fur die Daten ausBeispiel 1.1 (Intelligenzquotient)
Statistik StandardfehlerStatistik Statistik Statistik
VarianzStandardabweichungMittelwertN
Intelligenzquotient
Gültige Werte (Listenweise) 10
28,3225,3221,683104,1010
Deskriptive Statistik
µ = 104.1(Mittelwert)σµ = 1.683(Standardfehler)σ2 = 28.322(empirische Varianz)σ = 5.322(Standardabweichung)
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
Beachte:I
µ =1n
n∑i=1
yi ; σ2 =1
n − 1
n∑i=1
(yi − y ·)2 ; σµ =
√σ2
n
hangen von den Daten y1, . . . , yn ab (sind also vorDatenerhebung zufallig)
I (µ− a σµ, µ+ a σµ
)ist (vor der Datenerhebung) ein zufalliges Intervall, das miteiner bestimmten Wahrscheinlichkeit den Erwartungswert µenthalt
a −→ 0 =⇒Wahrscheinlichkeit ≈ 0a −→∞ =⇒Wahrscheinlichkeit ≈ 1
I Gesucht: zufalliges Intervall, das den unbekanntenErwartungswert mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeitenthalt: Konfidenzintervall
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Das KonfidenzintervallI Gebe eine Wahrscheinlichkeit 1− α vor (z. B. 1− α = 95%)I Bestimme a so, dass das zufallige Intervall
(µ− a σµ, µ+ a σµ)
den Parameter µ mit Wahrscheinlichkeit 1− α enthalt.I Mathematische Statistik liefert
a = tn−1,1−α2
(1− α2 )-Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden
I Diese Werte sind tabelliert oder durch Software verfugbar.I Das Intervall
I =(µ− tn−1,1−α2 σµ, µ+ tn−1,1−α2 σµ
)heißt (1− α) Konfidenzintervall fur µ.
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Verschiedene t-Verteilungen
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
t t t
Dichten der t– Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden
100
4
1
Dichten der t– Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden
fn(t) =1√πn
Γ((n + 1)/2)
Γ(n/2)
(1 +
t2
n
)−(n+1)/2
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
Das Quantil der t-Verteilung mit nFreiheitsgraden
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Dichte der t4 -Verteilung
t 4, 0.95 = 2.132
0.95
P(T4 ≤ t4,0.95) =
∫ t4,0.95
−∞f4(t)dt = 0.95
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Beispiel 1.3 (Fortsetzung von Beispiel 1.1)
I Berechnung eines 90% Konfidenzintervalls fur µ
I n = 10, µ = 104.1, σ2 = 28.32I α = 10%
I (aus Tabelle bzw. Software) t9,0.95 = 1.833I 90% Konfidenzintervall fur µ = (101.02, 107.18)
I Beachte:I Ein (1− α)-Konfidenzintervall ist ein ”zufalliges“ Intervall, das
den (unbekannten) Erwartungswert mit Wahrscheinlichkeit1− α enthalt.
I Die Aussage ”das Intervall (101.02, 107.18) enthalt denunbekannten Erwartungswert der Population mitWahrscheinlichkeit 90%“ hat keinen Sinn!
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Erklarung des Begriffs ”zufalliges“ Intervall durchein ”fiktives“ Experiment
I Annahme: das Experiment (Untersuchung des IQ von 10Kindern) kann N mal (unabhangig) wiederholt werden (z. B.1000 mal)
I jeweils 10 Daten liefern ein (1− α)-Konfidenzintervall(z. B. 95 % Konfidenzintervall)Datensatz 1 −→ Konfidenzintervall I1Datensatz 2 −→ Konfidenzintervall I2
...Datensatz N −→ Konfidenzintervall IN
I ca. (1− α) · N (z. B. 95% · 1000 = 950) Intervalle enthalten den(unbekannten) Erwartungswert µ der Population
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
1.4 Konfidenzbereich fur den Erwartungswert einer Po-pulation unter Normalverteilungsannahme
I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µ
I Rechtfertigung der Unabhangigkeits- undNormalverteilungsannahme
I Bestimme das tn−1,1−α2 Quantil der t-Verteilung mit n − 1Freiheitsgraden (aus Tabelle oder Software)
I Das Intervall
(µ− tn−1,1−α2 σµ, µ+ tn−1,1−α2 σµ)
ist ein (1− α) Konfidenzintervall fur µ
I In vielen Softwarepaketen erhalt man direkt dasKonfidenzintervall als Ausgabe (z. B. in SPSS)
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
SPSS-Output: Konfidenzintervall fur die Datenaus Beispiel 1.1 (Intelligenzquotient)
MittlereDifferenzSig. (2-seitig)dfT ObereUntere
90% Konfidenzintervall der Differenz
Testwert = 100
Intelligenzquotient 7,181,024,100,03892,436
Test bei einer Sichprobe
Beachte:
I SPSS liefert nur ein Konfidenzintervall fur die Differenz µ− 100=⇒ 90% Konfidenzintervall fur den Erwartungswert µ
(101.02, 107.18)
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1.2 t-Test fur eine Stichprobe
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Beispiel 1.5 (Fortsetzung von Beispiel 1.1)
Frage: Ist der IQ der Kinder aus Bochum hoher als 100?
H0 : µ ≤ 100 H1 : µ > 100
H0 nennt man Nullhypothese und H1 heißt Alternative.I Intuitiv wurde man fur H1 entscheiden, falls der Mittelwert der
Stichprobe
µ =1
10
10∑i=1
yi
”groß“ istI Beachte: µ andert sich, falls man die Daten anders skaliert!I Besser: entscheide fur H1, falls µ groß im Verhaltnis zu dem
Standardfehler σµ ist (Invarianz bzgl. unterschiedlicherSkalierungen)
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 wird abgelehnt falls
T =µ− 100σµ
> c
Fragen:I Wie legt man den kritischen Wert c fest?
I Bei dem Verfahren konnen 2 Fehler auftreten
I Fehler erster Art: Die Nullhypothese H0 wird abgelehnt, obwohlH0 in Wirklichkeit stimmt (d. h. der IQ ist nicht hoher als 100)
I Fehler zweiter Art: Die Nullhypothese H0 wird nicht abgelehnt,obwohl in Wirklichkeit die Alternative H1 zutrifft (d. h. der IQ isthoher als 100)
Ziel: ”kleine“ Wahrscheinlichkeiten fur Fehler erster und zweiter Art
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
Grundlegendes Prinzip der TesttheorieI Der kritische Wert c wird festgelegt, indem man eine maximal
tolerierbare Wahrscheinlichkeit α fur einen Fehler erster Artvorgibt (α-Fehler)!
I Diese Wahrscheinlichkeit heißt Niveau des Tests.I Damit hat man keine Kontrolle uber die Wahrscheinlichkeit eines
Fehlers zweiter Art (β-Fehler)I Z. B. soll die Wahrscheinlichkeit fur Fehler erster Art maximalα = 5% = 0.05 sein.
=⇒ (mathematische Statistik, Tabelle, Software)
n = 10, c = tn−1,1−α = t9,0.95 = 1.833
T =µ− 100σµ
=104.1− 100√
2.832= 2.436 > 1.833
D. h. die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 wird zum Niveau α = 5%zu Gunsten der Alternative H1 : µ > 100 verworfen(signifikantes Ergebnis zum Niveau 5 %)
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Erklarung des Begriffs Niveau durch ein ”fiktives“Experiment
I Annahme: Das Experiment (Untersuchung des IQ von 10Kindern) kann N mal (unabhangig) wiederholt werden (z. B.1000 mal)
I jeweils 10 Daten liefern ein Ergebnis fur den Test zum Niveau α(z.B. Niveau 5 %)Datensatz 1 −→ Testergebnis 1Datensatz 2 −→ Testergebnis 2
...Datensatz N −→ Testergebnis N
I Falls die Nullhypothese H0 : µ ≤ 100 ”wahr“ ist, so wirdmaximal in ca. αN (z. B. 5% 1000 = 50) Fallen fur dieAlternative
H1 : µ > 100
entschieden.
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Fehler erster und zweiter Art
in der Population giltH0 H1
Entscheidung auf- richtige β-Fehlergrund der Stich- H0 Entscheidungprobe zugunsten richtigevon: H1 α-Fehler Entscheidung
Beachte:
I Die Wahrscheinlichkeiten fur α-Fehler und β-Fehler verandernsich gegenlaufig.
I Bei festem Niveau (Wahrscheinlichkeit fur α-Fehler) kann dieWahrscheinlichkeit fur einen β-Fehler durch Vergroßerung desStichprobenumfangs verkleinert werden.
I Bei festem Stichprobenumfang wird ”nur“ der Fehler erster Artkontrolliert.
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Die Verteilung von T falls µ = 100 ist.
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Dichte der t9 -Verteilung
α = 5 %
p– Wert
t 9, 0.95 = 1.833 T n = 2.436
I Kritischer Wert: tn−1,0.95 = 1.833 (H0 wird verworfen, falls Tgroßer als der kritische Wert ist)
I Blaue Flache: Niveau (α)I Rote Flache: p-Wert: Wahrscheinlichkeit einen Wert großer als
2.436 zu beobachten: P(T > 2.436) = 0.0188I Beachte: Ist der p-Wert < α (wie in diesem Beispiel) dann wird
H0 abgelehnt (signifikantes Ergebnis)35 / 46
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Testverfahren fur den Erwartungswert einerStichprobe unter Normalverteilungsannahme
1.6 Einstichproben t-Test fur rechtsseitige Hypothesen
I Hypothesen: H0 : µ ≤ µ0 ; H1 : µ > µ0 (rechtsseitigeHypothese)
I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µI Rechtfertigung der Unabhangigkeits- und
NormalverteilungsannahmeI H0 wird zum Niveau α verworfen, falls
T =µ− µ0σµ
> tn−1,1−α
gilt, bzw. falls der p-Wert < α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
Vertauschen der Hypothesen
1.7 Einstichproben t-Test fur linksseitige Hypothesen
I Hypothesen: H0 : µ ≥ µ0 ; H1 : µ < µ0 (linksseitigeHypothese)
I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µI Rechtfertigung der Unabhangigkeits- und
NormalverteilungsannahmeI H0 wird zum Niveau α verworfen, falls
T =µ− µ0σµ
< −tn−1,1−α = tn−1,α
gilt, bzw. falls der p-Wert < α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Tests fur zweiseitige Hypothesen
1.8 Einstichproben t-Test fur zweiseitige Hypothesen
I Hypothesen: H0 : µ = µ0 ; H1 : µ 6= µ0 (zweiseitigeHypothese)
I Daten y1, . . . , yn (Stichprobe) mit Erwartungswert µI Rechtfertigung der Unabhangigkeits- und
NormalverteilungsannahmeI H0 wird zum Niveau α verworfen, falls
|T | = | µ− µ0σµ
| > tn−1,1−α/2
gilt, bzw. falls der p-Wert kleiner als α ist.I µ: Schatzer fur µ; σµ: Schatzer fur den Standardfehler vonµ
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Die Verteilung von T , falls µ = 100 ist.
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
α = 2,5 % α = 2,5 %
p– Wert p– Wert
Dichte der t9 -Verteilung
t 9, 0.975 = 2.262 T n = 2.436 t 9, 0.025 = -2.262 -T n = -2.436
I Blaue Flache: Niveau α; Rote Flache: p-Wert(Wahrscheinlichkeit einen Wert zu beobachten, dessen Betraggroßer als 2.436 ist P(|T | > 2.436) = 0.038
I Beachte: Ist der p-Wert < α (wie in diesem Beispiel), dann wirdH0 abgelehnt!
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
SPSS-Output bei Anwendung des t-Tests auf dieDaten aus Beispiel 1.1 (Intelligenzquotient)
MittlereDifferenzSig. (2-seitig)dfT ObereUntere
90% Konfidenzintervall der Differenz
Testwert = 100
Intelligenzquotient 7,181,024,100,03892,436
Test bei einer Sichprobe
Beachte:
I SPSS liefert nur den p-Wert fur den zweiseitigen t-Test ausBeispiel 1.8!
I Den p-Wert fur den einseitigen Test erhalt man als0.038/2 = 0.019.
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Beispiel: t-Test fur den Vergleich von zwei
”verbundenen“ Stichproben
I Eine der wichtigsten Anwendungen der in 1.6, 1.7 und 1.8vorgestellten Verfahren besteht in dem Vergleich von
”verbundenen“ Stichproben (vorher - nachher Untersuchungen)I Beispiel: Untersuchung der Einstellungen von 9 Jungen
gegenuber neutralen Personen vor und nach einemFrustrationserlebnis (Sundenbockfunktion).
VPn 1 2 3 4 5 6 7 8 9Einstell- vorher 38 32 33 28 29 37 35 35 34ung nachher 33 28 34 26 27 31 32 36 30
∆ -5 -4 1 -2 -2 -6 -3 1 -4
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Prinzip: ”Differenzenbildung“I Prinzip:
I Falls kein Unterschied zwischen den Einstellungen vor und nachdem Frustrationserlebnis besteht sollten die Differenzen (nachher- vorher) ”klein“ sein.
I Durch Differenzenbildung (nachher - vorher) erhalt man die
”Daten“ ∆1, . . . ,∆9I Rechtfertigung der Voraussetzungen fur den t-Test aus 1.8 fur
diese ”Daten“.I Wende den t-Test fur eine Stichprobe auf die ”Daten“
∆1, . . . ,∆9 an und teste die Hypothesen
H0 : µ = 0, H1 : µ 6= 0
I Wegen
|T | =
∣∣∣∣−2.6670.816
∣∣∣∣ = 3.27 > 2.31 = t8,0.975
besteht zum Niveau α = 0.05 ein signifikanter Unterschied.
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
SPSS Output: t-Test fur gepaarte Stichproben
Standardfehlerdes Mittelwertes
Standard-abweichungNMittelwert
vorher
nachher
Paaren 1
1,1153,346930,78
1,1193,358933,44
Statistik bei gepaarten Stichproben
SignifikanzKorrelationN
vorher & nachherPaaren 1 ,025,7339
Korrelationen bei gepaarten Stichproben
Standardfehlerdes Mittelwertes
Standard-abweichungMittelwert ObereUntere
95%Konfidenzintervall
der Differenz
Gepaarte Differenzen
vorher - nachherPaaren 1 4,550,784,8162,4492,667
Test bei gepaarten Stichproben
Sig.(2-seitig)dfT
vorher - nachherPaaren 1 ,01183,266
Test bei gepaarten Stichproben
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
1.9 Bemerkungen (zu den statistischen Verfahren1.2, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8)
I Mathematische Statistik⇒ unter der Normalverteilungsannahmesind alle hier vorgestellten Verfahren optimal
I Die Normalverteilungsannahme kann (und sollte) manrechtfertigen. Mogliche Verfahren sind:
I statistische Tests fur die Hypothese
H0 : Y1, . . . ,Yn normalverteilt
In SPSS ublich sind- Kolmogorov-Smirnov-Test- Shapiro-Wilk Test
I Explorative Verfahren. In SPSS ublich: QQ-Plot
I Besteht die Normalverteilungsannahme diese Uberprufung nicht,so sind z. B. nichtparametrische Verfahren anzuwenden.
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1. GrundlegendePrinzipien derschließenden Statistikam Beispiel des t-Tests1.1 Schatzer undKonfidenzintervalle
1.2 t-Test fur eineStichprobe
SPSS Output: QQ-Plot fur die Daten ausBeispiel 1.1
Beobachteter Wert
11511010510095
Erw
arte
ter
Wer
t vo
n N
orm
al
115
110
105
100
95
Q-Q-Diagramm von Normal von Intelligenzquotient
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1.2 t-Test fur eineStichprobe
Der QQ-PlotI Unter der Modellannahme gilt: die Großen Yi sind normalverteilt
mit Erwartungswert µ und Varianz σ2
I Der QQ-Plot vergleicht grafisch die empirischen Quantile der”Daten“ y1, . . . , yn mit den Quantilen der Normalverteilung mitErwartungswert µ und Varianz σ2.(1) 1/n-Quantil der Stichprobe y1, . . . yn =⇒ kleinste der
Beobachtungen y(1) (in Beispiel 1.1 ist y(1) = 97)(1− 1/2)/n-Quantil der Normalverteilung mit Erwartungswert µund Varianz σ2 =⇒ (im Beispiel 1.1 istz(1) = 104.1− 1.64 · 5.32 = 95.37)
(2) 2/n-Quantil der Stichprobe y1, . . . , yn =⇒ zweitkleinste derBeobachtungen y(2) (in Beispiel 1.1 ist y(2) = 98)(2− 1/2)/n-Quantil der Normalverteilung mit Erwartungswert µund Varianz σ2 =⇒ (in Beispiel 1.1 istz(2) = 104.1− 1.04 · 5.32 = 98.57)
(3) usw.I Der QQ-Plot ist das Streudiagramm der Daten
(y(1), z(1)), . . . , (y(n), z(n))I In in vielen Fallen enthalt dieses Diagramm noch die
Winkelhalbierende des entsprechenden Quadranten.46 / 46