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Modellierenam Beispiel des
‚Dosenproblems‘
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Situation MathematischesModell
Lösung im ModellLösungIn der
Realität
Von der Situation zum
mathematischen Modell zur
Lösung
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Brainstorming:Was muss bei der Wahl der Verpackung beachtet werden?
• Herstellungsart• Form der Dose (rund, eckig,...)
Materialverbrauch Stapeln Herstellungsprozess
Ästhetik
Gestaltung des Etiketts
• Handhabbarkeit (Öffnen, Kinder,...)• Lagerungsdichte (Transport nach Taiwan)• Dicke und Art des Materials
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Ziel der Modellierung an der Dose
• Herstellungskosten möglichst gering, bzw. Gewinn möglichst hoch ansiedeln
• Möglichst kleiner Materialverbrauch bei großem Inhalt
Optimale Maße einer Konservendose herausfinden! optimales Verhältnis zwischen Radius r und Höhe h
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Rechnung:V=π • r² • h O= 2 • r² • π + 2 • π • r • hh = V / r² • π = 0,84 / r² • πO= 2 • r² • π + 2 π • r • 0,84 / r² • πO= 2 • r² • π + 1,68 / rf(r)=2 • r² • π + 1,68 / rf‘(r)=4 • r • π - 1,68 / r² |geringste Oberfläche wenn f‘(r)=O
O= 4 • r • π – 1,68 / r² ________1,68 / r² = 4 • r • π => r=³ 1,68 / 4π 0,511328h= 0,84 / 0,511² • π 1,02 Verhältnis: h = 2 • r
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Allgemeine Rechnung:V= r² • π • h => h= V / r² • πO= 2 • r² • π + 2 • π • r • h O= 2 • r² • π + 2 • π • r • V / r²•π = 2 • r² • π + 2 V / rf(r)= 2 • r² • π + 2 • V / rf‘(r)= 4 • r • π -2•V / r² |f‘(r)=OO= 4 • r • π – 2 • V / r²2 • V / r² = 4 • r • πV= 4•r³•π / 2 =2•r³•πh= V / r² • π = 2•r³•π /r²•π h=2r
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Ergebnis
Optimale Dose – Quadratisches ProfilFALSCHEchte Dose hat Überlappungen am
VerschlussÜberlappungsmaße am Original abnehmen
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Überlappungsmaße
• r2=r+0,7• h2=h+0,6
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Rechnung an der 840ml-Dose
O= 2 • π • r2² + 2 • π • r • h2
O=2 • π • ( r + 0,7 )² + 2 • π • r • (h + 0,6)O=2•π•(r²+1,4•r+0,49)+2•π•r•(V/π•r²+0,6)=2•π•r²+2•π•1,4•r+2•π•V/π•r+2•π•r•0,6=2 • π • r² + 4 • π • r + 0,89 • π + 2 • V / r