PotenzfunktionenNullstellenberechnungen
Lineare Funktion
Was ist eine lineare Funktion?
Eine lineare Funktion ist eine
Gerade
Sie kann fallend, steigend oder parallel zur y-/
oder x-Achse sein
Was ist eine Nullstelle?
Die Nullstelle ist ein Schnittpunkt der Funktionmit der x-Achse, das heißt der y-Wert ist 0.
Es gibt keine Nullstelle, wenn die Geradeoberhalb oder unterhalb der x-Achse ist, dasheißt, die Gerade verläuft parallel zur x-Achse.
f(x)=k*x + d
k=Steigung pro Einheit x=Variable
d=Abstand vom Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse
bis zu (0/0) = Ordinatenabstand
Allgemeine Formel
f(x)= Funktionswert
fallend, steigend oder parallel?Ist k > 0 spricht man von einer steigenden Geraden
Ist k = 0 spricht man von einer zur x- Achse parallelen Geraden
Ist k < 0 spricht man von einer fallenden Geraden
Beispiel: Lineare Funktion
Zeichne: f(x)=7*x+8
Schritt 1 - Wertetabelle in Excel anlegen
X f(x)-2 -6-1 10 81 152 22
Schritt 2 - zeichnen
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-10
-5
0
5
10
15
20
25
f(x)=7*x+8
x-Achse
y-Ac
hse
N(-1,14/0)
händische Berechnung der Nullstelle
berechne: f(x)=7*x+8
0=7*x+8 /-8-8=7*x /:7-1,142.. = x
N(-1,14/0)
Funktion 2ten Grades
Und was ist eine Funktion 2ten Grades?
Eine Funktion 2ten Grades ist
keine lineare Funktion!!
Man nennt sie quadratische Funktion oder
Parabel.
f(x)=ax²+bx+c
Allgemeine Formel
Beispiel: Funktion 2ten Grades
zeichne: f(x)=x²-5x+1
1. Schritt – Wertetabelle in Excel anlegen
x f(x)-2 15-1 70 11 -32 -53 -54 -35 16 77 15
2. Schritt - Zeichnen
N(0,21/0) N(4,79/0)
-4 -2 0 2 4 6 8
-10
-5
0
5
10
15
20
f(x)=x²-5x+1
x-Achse
y-Ac
hse
händische Berechnung der Nullstelle
berechne: f(x)=x²-5x+1
Nullstelle: 0= 1 x² - 5 x + 10= a x² + b x + c
a=1 b= -5 c=1
Schritt 1
Schritt 2- Einfügen der Variablen in die Formel
Allgemeine Formel zur Nullstellenberechnung:
1x2 =(-b±√b^2-4ac)/2a
Füge die Variablen in die Formel ein:
1x2=(+5 ± √5^2-4*1*1)/2*1
Schritt 3- Ausrechnen
1x2=(+5 ± √5^2-4*1*1)/2*1
x1=(5 +4,58)/2= 4,79
x2=(5 -4,58)/2=0,21
ErgebnisN1(4,79/0)N2(0,21/0)
Nicht vergessen 1. Klammer ausrechnen
Funktion 3ten Grades
Und was ist eine Funktion 3ten Grades?
Diese nennt man kubische Funktion.
Sie haben mindestens 1
und höchstens 3 Nullstellen.
f(x)= ax³ + bx² +cx + d
Allgemeine Formel
Beispiel: Funktion 3ten Grades
zeichne: f(x)=-2x³+5x²-3x
Schritt 1 – Wertetabelle in Excel anlegen
y f(x)-3 108-2 42-1 100 01 02 -23 -184 -60
Schritt 2 - Zeichne
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
f(x)=-2x³+5x²-3x
x-Achse
y-Ac
hse
händische Berechnung der Nullstelle
berechne: f(x)=-2x³+5x²-3x
Nullstelle: 0=-2x³+5x²-3xHerausheben: 0= x . (-2x²+5x-3)
-2x²+5x-3=0
Schritt 1
x1=0
Nullstelle: 0= -2 x² + 5 x² - 3 x0= a x² + b x + c x
a=-2 b= +5 c=-3
Schritt 2
Schritt 3
Allgemeine Formel zur Nullstellenberechnung:
1x2 =(-b±√b^2-4ac)/2a
Füge die Variablen in die Formel ein:
1x2=(-5 ± √5^2-4*(-2)*(-3))/(2*(-2))
1x2=(-5 ± √5^2-4*(-2)*(-3))/(2*(-2))
x2=(-5 +1)/(-4)= 1
x3=(-5 -1)/(-4)=1,5
ErgebnisN1(0/0)N2(1/0)N3(1,5/0)
Nicht vergessen 1. Klammer ausrechnen
Beispiel: Funktion 3ten Grades
zeichne: f(x)=-2x³+5x²-3x+4
Schritt 1 – Wertetabelle in Excel anlegen
y f(x)-3 122-2 46-1 140 41 42 23 -144 -56
Schritt 2 - Zeichnen
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-100
-50
0
50
100
150
f(x)=-2x³+5x²-3x+4
x-Achse
y-Ac
hse
händische Berechnung der Nullstelle
berechne: f(x)=-2x³+5x²-3x+4
Schritt 1
0=-2x³+5x²-3x+4
Man kann nicht herausheben. Es gibt keineFormel für eine Gleichung 3ten Grades, daherkann die obige Gleichung nur mit Hilfe einesNäherungsverfahrens (Newton) oder mit Hilfe des Solver in Excel gelöst werden.
Alles klar !!