09.01.2002 Vorlesung 7 1
Poisson-Verteilung
Die Normal-Verteilung ist eine kontinuierliche VerteilungDie Binomial-Verteilung ist diskret.
Eine weitere diskrete Verteilung ist die Poisson-Verteilung.
Die Anwendung der Poisson-Verteilung ist breit gefächert:
Anzahl der Telefongespräche, die in einer bestimmten Zeit bei einer Firma
eintreffen.
Anzahl der Kunden an einem Bankschalter pro Zeiteinheit.
Anzahl der Bakterien pro Liter Nährlösung.
Anzahl der Verkehrsunfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung.
Anzahl der in einer bestimmten Zeit zerfallenden Atomkerne.
09.01.2002 Vorlesung 7 2
Poisson-Verteilung
x ist die Anzahl von Ereignissen in einer bestimmten Zeit oder in einem bestimmten Volumen, wobei ein bestimmter Mittelwert solcher Ereignisse erwartet
werden kann.
Die Ereignisse müssen zufällig und unabhängig voneinander sein.
( ) .....,3,2,1,0, ==−
xwobeix!exPx µµ
Herleitung der Poisson-Verteilung ist auf mehrere Arten möglich:
Zunächst Erklärung des einzigen Parameters µ .
09.01.2002 Vorlesung 7 3
Poisson-VerteilungWie groß ist der Mittelwert (Erwartungswert)?
( ) µµ −∞
=
∞
=∑∑ == e
xxxPxx
x
x
x 00 !Der erste Term der Summe ist Null.
Der Faktor x/x! kann durch 1/(x-1)! ersetzt werden.
( ) µµµ
µµµµ
µ =−
=
=++++
∞
=
−− ∑
43421e....
!!
x
x
!xex
321
1
1
32
1
Das heißt der Parameter µ , der die Poisson-Verteilung charakterisiert,ist gleich der mittleren Anzahl der gezählten Ereignisse, die erwartet wird, wenn wir das
Zählexperiment viele Male wiederholen.
09.01.2002 Vorlesung 7 4
Poisson-Verteilung
Wie groß ist die Standardabweichung ?
Zunächst Berechnung der Varianz
( )
( )∑
∑∞
=
−
∞
=
−
+−=
−=
0
22
0
22
2x
x
x
x
x!exx
x!ex
µ
µ
µµµ
µµσ
44 344 21
44 344 21
2
0
2
2
0
0
22
2
2
µ
µµ
µ
µµ
µσ
µ
µ
µ
+
+
−
−
=
∑
∑
∑
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
x
x
x
x
x
x
x!e
x!ex
x!ex
09.01.2002 Vorlesung 7 5
Poisson-Verteilung
( )
2
0
2
0
22
µµ
µµ
µ
µ
−=
−=
∑
∑∞
=
−
∞
=
−
x
x
x
x
x!ex
x!exσ
ersetzen von x2 mit (x ( x - 1 ) + x ), führt zu
( )( )
( ) 2
00
2
0
2
1
1
µµµ
µµσ
µµ
µ
−+−=
−+−=
∑∑
∑∞
=
−∞
=
−
∞
=
−
x
x
x
x
x
x
x!ex
x!exx
x!exxx
Ersetzen von x-2 durch νννν, summieren von νννν=0 ergibt für die Summe den Wert eins und damit wird:
( )
2
2
22
2
0
2
2
1
µµµµ
µµµσ
µ
µ
−+−
=
−+−=
∑
∑∞
=
−−
∞
=
−
x
x
x
x
)!(xe
x!exx
µµµµσ µ =−+= 222
µσ µ =
09.01.2002 Vorlesung 7 6
Poisson-Verteilung
Die Standardabweichung ist somit gleich der Wurzel aus dem Mittelwert.
Der relative Fehler der Poisson-Verteilung ist somit:
Der Fehler des Mittelwertes ist gegeben durch:
µµµ
µσ µ
nnn1==
nµ
µσ
σ =wobei n die Anzahl der Messungen ist,
µσ µ =
die wir verwendet haben um den Mittelwert zu bestimmen.
09.01.2002 Vorlesung 7 7
Die Poisson-Verteilung
Beispiel: An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung
mit µ = 2 beschrieben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Woche kein Unfall stattfindet ?
( ) 13533500
20 220
.e!eP === −
−
( )x!exPx µµ −
=
09.01.2002 Vorlesung 7 8
Die Poisson-Verteilung
Beispiel: An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung
mit µ = 2 beschrieben.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden ?
P(≤≤≤≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.4335
( )
( )
( )
( ) 19536703
43
14652802
42
07326401
41
01831600
40
43
42
41
40
.!eP
.!eP
.!eP
.!eP
==
==
==
==
−
−
−
− Ähnliche Fragen sind z. B. wie viele Kinder werden
pro Tag in einem Krankenhaus geboren ?
(Jahreszeitliche Schwankungen) !!.
Liegt tatsächlich eine Poissonverteilung vor ?
Qualitativer graphischer Vergleich
Quantitativ mittels χχχχ2-Test
09.01.2002 Vorlesung 7 9
Poissonverteilung
Übungsaufgabe zur Poissonverteilung: Wir zählen die Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit ∆t.
Wir führen eine Messung n = 84 mal durch
Wir erhalten als Mittelwert 2.119
Die Standardabweichung ist 1.456
Der Fehler des Mittelwertes ist 0.16
16.012.2 ±=µ
09.01.2002 Vorlesung 7 10
Poissonverteilung
Annahme wir wären zu faul gewesen
und hätten bei der gleichen Messung die Apparatur 84 ∆t laufen lassen
Wir hätten nur eine Messung durchgeführt.
Der Mittelwert wäre 178 Ereignisse.
Die Standardabweichung 13.34.
Der Standardfehler somit 13.
Das Endergebnis:
13178 ±=µ
16.012.2 ±=µ
09.01.2002 Vorlesung 7 11
Zusammenhang der Verteilungen
Bernoulli- Verteilungdiskret
Parameter: n=1, p
Binomial-Verteilung
diskretParameter: n, p
Bi (x)
Poisson-Verteilung
diskretParameter µ = σ2
P(x)
n ! ∞
p ! 0
Poisson-Verteilung
"Grenzfall seltener Ereignisse"Anwendung auf radioaktiven Zerfall
In einer radioaktiven Probe seien sehr viele (n) Teilchen vorhanden, die mit einer äußerst geringen Wahrscheinlichkeit p zerfallen,
(z.B. unter Aussendung eines - Quants). Wir registrieren die Anzahl der emittierten - Quanten
in einem bestimmten Zeitintervall t.Wir messen sehr viele Zeitintervalle i und erhalten Anzahlen von Ereignissen m.
Der Erwartungswert (Mittelwert) ist = n p.
Grenzübergang zu n ! ∞
( ) ( ) mnm ppmn
mBi −−
= 1
Zusammenhang zur Binomial-Verteilung
09.01.2002 Vorlesung 7 12
Poisson-VerteilungZusammenhang zur Binomial-Verteilung
( ) ( )
( )( )( ) ( )
∞→=
−−
−
−
−
−=
−+−−−=
−
−=
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
nfürem!µ
nm......
nnnµ
nµ
m!µ
nµ
m!µ
nmn.......nnn
nn!m!mnn!
nnmn
ppmn
mBi
µm
mnm
mnm
m
mnm
mnm
mnm
11211111
1121
1
1
1
µµ
µµ
09.01.2002 Vorlesung 7 13
Normal-VerteilungZusammenhang zur Binomial-Verteilung
Wir machen eine Messung
Die Messwerte xm setzen sich aus einer großen Zahl
von kleinen Elementarfehlern β zusammen,
die um den wahren Wert (Mittelwert) µ verteilt sind.
Die Elementarfehler treten n mal auf,
m mal positiv und n-m mal negativ.
fm = m β - (n-m) β = 2 m β – n β
[m = n/2 + fm/ 2 β]
Bernoulli- Verteilungdiskret
Parameter: n=1, p
Binomial-Verteilung
diskretParameter: n, p
Bi (x)
Gauss-Verteilung
Normal-Verteilungkontinuierlich
Parameter: µ, σ
G (x)
n ! ∞
p ! const.
Der Fehler fm setzt sich somit zusammen aus (p = 1/2):
09.01.2002 Vorlesung 7 14
Normal-VerteilungZusammenhang zur Binomial-Verteilung
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler m mal positiv und n-m mal negativ auftritt wird durch die Binomial-Verteilung gegeben:
( ) ( ) nnmnm
m !mnm!n!
mn
ppmn
P22
11−
=
=−
= −
Die Verteilung ist treppenförmig
Lassen wir β immer kleiner werden und n immer größer, dann wird die Anzahl der Stufen immer größer, die Kurve
immer "glatter".
Versuch, eine Funktion zu finden, die den Verlauf beschreibt.
09.01.2002 Vorlesung 7 15
Normal-VerteilungZusammenhang zur Binomial-Verteilung
1
1
+
+
−−
=∆∆
mm
mm
ffPP
fP
nmnm mn
Pundmn
P21
121
1
+
=
= +
β2112 mP
mmn
fP ⋅
+−−=
∆∆
Die Rechnung soll durchgeführt werden für Fehler, die klein sind gegen den maximalen Fehler, also
fm << n β und m >> 1.
β21 11 −=−
+−= ++ mmmm ffsowiePmmnP
[m = n/2 + fm/ 2 β]
09.01.2002 Vorlesung 7 16
Normal-VerteilungZusammenhang zur Binomial-Verteilung
β2112 mP
mmn
fP ⋅
+−−=
∆∆ [m = n/2 + fm / 2 β]
dfdP
nfP
nfP
fP mm =−=−≈
∆∆
22 ββ
n - 2 m – 1 ≈ n - 2 m = - fm/ βund der Nenner
m + 1 ≈ m = n/2 + fm/2 β ≈ n/2
2σfP
dfdP −= dff
PdP ⋅⋅−= 2
1σ
Abkürzung : n β 2 = σ2
constxP +−= 222
1lnσ
221
σπ=d2
2
2σx
edP−
⋅=
09.01.2002 Vorlesung 7 17
BiomialverteilungZusammenhang zur Normal-Verteilung
09.01.2002 Vorlesung 5 44
Zusammenhang der Verteilungen
Bernoulli- Verteilungdiskret
Parameter: n=1, p
Binomial-Verteilung
diskretParameter: n, p
Bi (x)
Poisson-Verteilung
diskretParameter µ = σ2
P(x)
Gauss-Verteilung
Normal-Verteilungkontinuierlich
Parameter: µ, σ
G (x)
n ! ∞
p ! 0
n ! ∞
p ! const.µ ! ∞
µ = n p
09.01.2002 Vorlesung 7 18
PoissonverteilungZusammenhang zur Normal-Verteilung
14.12.2001 Vorlesung 5 44
Poisson-Verteilung
diskretParameter µ = σ2
P(x)
Gauss-Verteilung
Normal-Verteilungkontinuierlich
Parameter: µ, σ
G (x)
µ ! ∞
µ = n p
09.01.2002 Vorlesung 7 19
Zusammenhang der Verteilungen
Ist die Population endlich ?
Ist n groß ?
Ist n p > 9 ?
JA
JA
JA
NEIN
NEIN
NEIN
Hypergeometrisch Gauß BinomialPoisson
09.01.2002 Vorlesung 7 20
Anwendung der Binomialverteilung bei der Qualitätssicherung
Urnenmodell mit Zurücklegen
Wir haben die Aufgabe eine Lieferung zu testen.Die Lieferung besteht aus N Teilen von denen M fehlerhaft sind.
Die Wahrscheinlichkeit bei einmaligem Ziehen ein fehlerhaftes Teil zu ziehen ist:
p = M/N
(Fehlerquote)
Wir testen insgesamt n Teile und fragen,wie wahrscheinlich ist es, dass die n Teile keinen Fehler aufweisen?
09.01.2002 Vorlesung 7 21
Binomialverteilung ( ) ( ) mnm ppmn
mW −−
= 1
m = 0 (Kein fehlerhaftes Teil)
( ) 0mwenn,1 ==−
=
m!!mn
n!mn
( ) ( )npmW −= 1
Wir testen insgesamt n Teile und fragen,wie wahrscheinlich ist es, dass die n Teile keinen Fehler aufweisen?
Anwendung der Binomialverteilung bei der Qualitätssicherung
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 Teile.5
Wah
rsch
einl
ichk
eit f
ür N
ull f
ehle
rhaf
te T
eile
Fehlerquote
Beispiel n = 5
09.01.2002 Vorlesung 7 22
Erhöhung der Teilchenzahl n führt zu sicherer Entscheidung
Anwendung der Binomialverteilung bei der Qualitätssicherung
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 Teile.5
Wah
rsch
einl
ichk
eit f
ür N
ull f
ehle
rhaf
te T
eile
Fehlerquote
Kostenfaktor?
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Teile.5 Teile.10 Teile.50
Wah
rsch
einl
ichk
eit f
ür N
ull f
ehle
rhaf
te T
eile
Fehlerquote