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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Innere Volumina und Integralgeometrie
Seminar �Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
Christian Bach
19. November 2009
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Inhaltsverzeichnis
GrundlagenMengenoperationen
Praktische AnwendungDigitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Innere Volumina und IntegralgeometrieEuklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Spiegelung\Translation
I Spiegelung: A = −A = {−x : x ∈ A} für A ⊂ Rd
Spezialfall: A = A A ist symmetrisch (zum Ursprung)
I Translation: Ax = A + x = {y + x : y ∈ A}für x ∈ Rd und A ⊂ Rd
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Spiegelung\Translation
I Spiegelung: A = −A = {−x : x ∈ A} für A ⊂ Rd
Spezialfall: A = A A ist symmetrisch (zum Ursprung)
I Translation: Ax = A + x = {y + x : y ∈ A}für x ∈ Rd und A ⊂ Rd
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Spiegelung\Translation
I Spiegelung: A = −A = {−x : x ∈ A} für A ⊂ Rd
Spezialfall: A = A A ist symmetrisch (zum Ursprung)
I Translation: Ax = A + x = {y + x : y ∈ A}für x ∈ Rd und A ⊂ Rd
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Minkowski Addition
I Minkowski-Addition:
A⊕ B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}
für A,B ⊂ Rd
I mitAx = A⊕ {x}
I erhält man die Kommutativität
A⊕ B =⋃y∈B
Ay =⋃x∈A
Bx = B ⊕ A
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Minkowski Addition
I Minkowski-Addition:
A⊕ B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}
für A,B ⊂ Rd
I mitAx = A⊕ {x}
I erhält man die Kommutativität
A⊕ B =⋃y∈B
Ay =⋃x∈A
Bx = B ⊕ A
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Minkowski Addition
I Minkowski-Addition:
A⊕ B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}
für A,B ⊂ Rd
I mitAx = A⊕ {x}
I erhält man die Kommutativität
A⊕ B =⋃y∈B
Ay
=⋃x∈A
Bx = B ⊕ A
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Minkowski Addition
I Minkowski-Addition:
A⊕ B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}
für A,B ⊂ Rd
I mitAx = A⊕ {x}
I erhält man die Kommutativität
A⊕ B =⋃y∈B
Ay =⋃x∈A
Bx = B ⊕ A
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Minkowski Addition
I Auÿerdem gilt die Assoziativität
A⊕ (B1 ∪ B2) = (A⊕ B1) ∪ (A⊕ B2)
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Minkowski Addition
I Auÿerdem gilt die Assoziativität
A⊕ (B1 ∪ B2) = (A⊕ B1) ∪ (A⊕ B2)
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Minkowski Subtraktion
I Minkowski-Subtraktion:
A B =⋂y∈B
Ay
oderA B = (Ac ⊕ B)c
mit Komplementbildung bzgl. des Rd
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und IntegralgeometrieMengenoperationen
Minkowski Subtraktion
I Minkowski-Subtraktion:
A B =⋂y∈B
Ay
oderA B = (Ac ⊕ B)c
mit Komplementbildung bzgl. des Rd
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Bildoperationen
I Dilatation:A 7→ A⊕ B
I Erosion:A 7→ A B
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Bildoperationen
I Dilatation:A 7→ A⊕ B
I Erosion:A 7→ A B
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Dilatation
Dilatation:A 7→ A⊕ B
Auswirkungen der Dilatation:
I kleine Lücken und Risse werden geschlossen und verschwinden
I nahe aneinanderliegende Punkte werden verbunden
I es werden Punkte an den Ränder hinzugefügt
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Dilatation
Dilatation:A 7→ A⊕ B
Auswirkungen der Dilatation:
I kleine Lücken und Risse werden geschlossen und verschwinden
I nahe aneinanderliegende Punkte werden verbunden
I es werden Punkte an den Ränder hinzugefügt
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Dilatation
Dilatation:A 7→ A⊕ B
Auswirkungen der Dilatation:
I kleine Lücken und Risse werden geschlossen und verschwinden
I nahe aneinanderliegende Punkte werden verbunden
I es werden Punkte an den Ränder hinzugefügt
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Dilatation
Dilatation:A 7→ A⊕ B
Auswirkungen der Dilatation:
I kleine Lücken und Risse werden geschlossen und verschwinden
I nahe aneinanderliegende Punkte werden verbunden
I es werden Punkte an den Ränder hinzugefügt
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Dilatation
Dilatation:A 7→ A⊕ B
Auswirkungen der Dilatation:
I kleine Lücken und Risse werden geschlossen und verschwinden
I nahe aneinanderliegende Punkte werden verbunden
I es werden Punkte an den Ränder hinzugefügt
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Erosion
Erosion:A 7→ A B
Auswirkungen der Erosion:
I Objekte an den Rändern werden abgetragen
I Lücken werden gröÿer
I kleine Objekte verschwinden irreversibel
I Objekte können gespaltet werden
Es gilt:
Dilatation von Objekt ⇔ Erosion des Hintergrunds
Erosion von Objekt ⇔ Dilatation des Hintergrunds
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Erosion
Erosion:A 7→ A B
Auswirkungen der Erosion:
I Objekte an den Rändern werden abgetragen
I Lücken werden gröÿer
I kleine Objekte verschwinden irreversibel
I Objekte können gespaltet werden
Es gilt:
Dilatation von Objekt ⇔ Erosion des Hintergrunds
Erosion von Objekt ⇔ Dilatation des Hintergrunds
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Erosion
Erosion:A 7→ A B
Auswirkungen der Erosion:
I Objekte an den Rändern werden abgetragen
I Lücken werden gröÿer
I kleine Objekte verschwinden irreversibel
I Objekte können gespaltet werden
Es gilt:
Dilatation von Objekt ⇔ Erosion des Hintergrunds
Erosion von Objekt ⇔ Dilatation des Hintergrunds
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Erosion
Erosion:A 7→ A B
Auswirkungen der Erosion:
I Objekte an den Rändern werden abgetragen
I Lücken werden gröÿer
I kleine Objekte verschwinden irreversibel
I Objekte können gespaltet werden
Es gilt:
Dilatation von Objekt ⇔ Erosion des Hintergrunds
Erosion von Objekt ⇔ Dilatation des Hintergrunds
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Erosion
Erosion:A 7→ A B
Auswirkungen der Erosion:
I Objekte an den Rändern werden abgetragen
I Lücken werden gröÿer
I kleine Objekte verschwinden irreversibel
I Objekte können gespaltet werden
Es gilt:
Dilatation von Objekt ⇔ Erosion des Hintergrunds
Erosion von Objekt ⇔ Dilatation des Hintergrunds
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Erosion
Erosion:A 7→ A B
Auswirkungen der Erosion:
I Objekte an den Rändern werden abgetragen
I Lücken werden gröÿer
I kleine Objekte verschwinden irreversibel
I Objekte können gespaltet werden
Es gilt:
Dilatation von Objekt ⇔ Erosion des Hintergrunds
Erosion von Objekt ⇔ Dilatation des Hintergrunds
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Erosion
Erosion:A 7→ A B
Auswirkungen der Erosion:
I Objekte an den Rändern werden abgetragen
I Lücken werden gröÿer
I kleine Objekte verschwinden irreversibel
I Objekte können gespaltet werden
Es gilt:
Dilatation von Objekt ⇔ Erosion des Hintergrunds
Erosion von Objekt ⇔ Dilatation des Hintergrunds
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Opening und Closing
I Opening:A 7→ AB = (A B)⊕ B
Opening: Erosion + Dilatation
I Closing:A 7→ AB = (A⊕ B) B
Closing: Dilatation + Erosion
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Opening und Closing
I Opening:A 7→ AB = (A B)⊕ B
Opening: Erosion + Dilatation
I Closing:A 7→ AB = (A⊕ B) B
Closing: Dilatation + Erosion
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Zusammenhang Minkowski-Addition und -Subtraktion
Im Allgemeinen ist die Minkowski-Subtraktion nicht die inverseOperation zur Minkowski-Addition. Es gilt jedoch:(
A B)⊕ B ⊆ A ⊆
(A⊕ B
) B
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Beispiel
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Die Hausdor�-Metrik
I Die Familie K′ nichtleerer, kompakter Teilmengen des Rd
bildet mit der Hausdor�-Metrik einen metrischen Raum:
h (K1,K2) = inf {r : K1 ⊂ K2 ⊕ b (o, r) und K2 ⊂ K1 ⊕ b (o, r)}
für K1,K2 ∈ K′
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Digitale BildbearbeitungDie Hausdor�-Metrik
Die Hausdor�-Metrik
I Die Familie K′ nichtleerer, kompakter Teilmengen des Rd
bildet mit der Hausdor�-Metrik einen metrischen Raum:
h (K1,K2) = inf {r : K1 ⊂ K2 ⊕ b (o, r) und K2 ⊂ K1 ⊕ b (o, r)}
für K1,K2 ∈ K′
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
De�nition
eine Abbildung
m : x 7→ x ′
heiÿt euklidische Isometrie
⇔
‖x − y‖ =∥∥x ′ − y ′
∥∥ = ‖mx −my‖
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Darstellung
I jede Isometrie auf einem euklidischen Raum kann in folgenderForm dargestellt werden:
mx = x ′ = ν + Ax
ν ∈ Rd und Orthogonalmatrix A
I echte Isometrie: det(A) = 1
I Spiegelungen sind keine echten Isometrien (da det(A) = −1)
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Darstellung
I jede Isometrie auf einem euklidischen Raum kann in folgenderForm dargestellt werden:
mx = x ′ = ν + Ax
ν ∈ Rd und Orthogonalmatrix A
I echte Isometrie: det(A) = 1
I Spiegelungen sind keine echten Isometrien (da det(A) = −1)
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Grundlagen
I K ⊂ Rd konvex ⇔ c · x + (1− c) · y ∈ K
∀ x , y ∈ K und 0 < c < 1
I konvexe, kompakte Mengen nennt man konvexe Körper
I b(o, 1) bezeichne die d-dimensionale Einheitskugel
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Grundlagen
I K ⊂ Rd konvex ⇔ c · x + (1− c) · y ∈ K
∀ x , y ∈ K und 0 < c < 1
I konvexe, kompakte Mengen nennt man konvexe Körper
I b(o, 1) bezeichne die d-dimensionale Einheitskugel
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Grundlagen
I K ⊂ Rd konvex ⇔ c · x + (1− c) · y ∈ K
∀ x , y ∈ K und 0 < c < 1
I konvexe, kompakte Mengen nennt man konvexe Körper
I b(o, 1) bezeichne die d-dimensionale Einheitskugel
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Stützfunktion
I eine wichtige Charakteristik eines konvexen Körpers ist dieStützfunktion:
s(K , ·) : ∂b(o, 1) 7→ R
I de�niert durchs(K , u) = sup
x∈K< u, x >
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Stützfunktion
I eine wichtige Charakteristik eines konvexen Körpers ist dieStützfunktion:
s(K , ·) : ∂b(o, 1) 7→ R
I de�niert durchs(K , u) = sup
x∈K< u, x >
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Stützfunktion
I eine wichtige Charakteristik eines konvexen Körpers ist dieStützfunktion:
s(K , ·) : ∂b(o, 1) 7→ R
I de�niert durchs(K , u) = sup
x∈K< u, x >
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Funktionale auf der Menge der konvexen Körper
I ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper istein reellwertiges Funktional de�niert auf C (K):
h : K 7→ R ∀ K ∈ C (K)
I uns interessieren insbesondere nicht negative Funktionale aufkonvexen Körpern mit folgenden Eigenschaften:
I Isometrie-Invarianz: h(mK ) = h(K ) ∀K ∈ C (K)und m eine Isometrie
I Monotonie: K1 ⊂ K2 ⇒ h(K1) ≤ h(K2)I C-Additivität: h(K1) + h(K2) = h(K1 ∪ K2) + h(K1 ∩ K2)
für K1,K2 ∈ C (K) und K1 ∪ K2 ∈ C (K)
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Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Funktionale auf der Menge der konvexen Körper
I ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper istein reellwertiges Funktional de�niert auf C (K):
h : K 7→ R ∀ K ∈ C (K)
I uns interessieren insbesondere nicht negative Funktionale aufkonvexen Körpern mit folgenden Eigenschaften:
I Isometrie-Invarianz: h(mK ) = h(K ) ∀K ∈ C (K)und m eine Isometrie
I Monotonie: K1 ⊂ K2 ⇒ h(K1) ≤ h(K2)I C-Additivität: h(K1) + h(K2) = h(K1 ∪ K2) + h(K1 ∩ K2)
für K1,K2 ∈ C (K) und K1 ∪ K2 ∈ C (K)
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Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Funktionale auf der Menge der konvexen Körper
I ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper istein reellwertiges Funktional de�niert auf C (K):
h : K 7→ R ∀ K ∈ C (K)
I uns interessieren insbesondere nicht negative Funktionale aufkonvexen Körpern mit folgenden Eigenschaften:
I Isometrie-Invarianz: h(mK ) = h(K ) ∀K ∈ C (K)und m eine Isometrie
I Monotonie: K1 ⊂ K2 ⇒ h(K1) ≤ h(K2)I C-Additivität: h(K1) + h(K2) = h(K1 ∪ K2) + h(K1 ∩ K2)
für K1,K2 ∈ C (K) und K1 ∪ K2 ∈ C (K)
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Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Funktionale auf der Menge der konvexen Körper
I ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper istein reellwertiges Funktional de�niert auf C (K):
h : K 7→ R ∀ K ∈ C (K)
I uns interessieren insbesondere nicht negative Funktionale aufkonvexen Körpern mit folgenden Eigenschaften:
I Isometrie-Invarianz: h(mK ) = h(K ) ∀K ∈ C (K)und m eine Isometrie
I Monotonie: K1 ⊂ K2 ⇒ h(K1) ≤ h(K2)I C-Additivität: h(K1) + h(K2) = h(K1 ∪ K2) + h(K1 ∩ K2)
für K1,K2 ∈ C (K) und K1 ∪ K2 ∈ C (K)
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Funktionale auf der Menge der konvexen Körper
I ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper istein reellwertiges Funktional de�niert auf C (K):
h : K 7→ R ∀ K ∈ C (K)
I uns interessieren insbesondere nicht negative Funktionale aufkonvexen Körpern mit folgenden Eigenschaften:
I Isometrie-Invarianz: h(mK ) = h(K ) ∀K ∈ C (K)und m eine Isometrie
I Monotonie: K1 ⊂ K2 ⇒ h(K1) ≤ h(K2)
I C-Additivität: h(K1) + h(K2) = h(K1 ∪ K2) + h(K1 ∩ K2)für K1,K2 ∈ C (K) und K1 ∪ K2 ∈ C (K)
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Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Funktionale auf der Menge der konvexen Körper
I ein Funktional h auf der Menge der konvexen Körper istein reellwertiges Funktional de�niert auf C (K):
h : K 7→ R ∀ K ∈ C (K)
I uns interessieren insbesondere nicht negative Funktionale aufkonvexen Körpern mit folgenden Eigenschaften:
I Isometrie-Invarianz: h(mK ) = h(K ) ∀K ∈ C (K)und m eine Isometrie
I Monotonie: K1 ⊂ K2 ⇒ h(K1) ≤ h(K2)I C-Additivität: h(K1) + h(K2) = h(K1 ∪ K2) + h(K1 ∩ K2)
für K1,K2 ∈ C (K) und K1 ∪ K2 ∈ C (K)
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Parallelmengen
I eine Parallelmenge mit Distanz r einer Menge A ⊂ Rd ist dieMenge A⊕ b(o, r)
I Folgende Eigenschaften bleiben erhalten:I KonvexitätI Kompaktheit
I Im eindimensionalen Fall ergibt sich für das Volumen derParallelmenge:
ν1 (K ⊕ b (o, r)) = l (K ⊕ b (o, r)) = l (K ) + 2r
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Parallelmengen
I eine Parallelmenge mit Distanz r einer Menge A ⊂ Rd ist dieMenge A⊕ b(o, r)
I Folgende Eigenschaften bleiben erhalten:I KonvexitätI Kompaktheit
I Im eindimensionalen Fall ergibt sich für das Volumen derParallelmenge:
ν1 (K ⊕ b (o, r)) = l (K ⊕ b (o, r)) = l (K ) + 2r
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Parallelmengen
I eine Parallelmenge mit Distanz r einer Menge A ⊂ Rd ist dieMenge A⊕ b(o, r)
I Folgende Eigenschaften bleiben erhalten:I KonvexitätI Kompaktheit
I Im eindimensionalen Fall ergibt sich für das Volumen derParallelmenge:
ν1 (K ⊕ b (o, r)) = l (K ⊕ b (o, r)) = l (K ) + 2r
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Steiner Formel
I die Steiner-Formel dient zur Berechnung der innerenVolumina der Parallelmengen
νd (K ⊕ b(o, r)) =d∑
k=0
(d
k
)Wk(K )rk
I dabei ist Wk(K ) das Minkowski-Funktional dieses ist einbewegungsinvariantes, monotones, C-additives Funktional aufkonvexen Körpern
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Steiner Formel
I die Steiner-Formel dient zur Berechnung der innerenVolumina der Parallelmengen
νd (K ⊕ b(o, r)) =d∑
k=0
(d
k
)Wk(K )rk
I dabei ist Wk(K ) das Minkowski-Funktional dieses ist einbewegungsinvariantes, monotones, C-additives Funktional aufkonvexen Körpern
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Steiner Formel
I die Steiner-Formel dient zur Berechnung der innerenVolumina der Parallelmengen
νd (K ⊕ b(o, r)) =d∑
k=0
(d
k
)Wk(K )rk
I dabei ist Wk(K ) das Minkowski-Funktional dieses ist einbewegungsinvariantes, monotones, C-additives Funktional aufkonvexen Körpern
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Minkowski-Funktionale
Wk(K ) =bd
bd−k
∫Lk
νd−k(pS⊥K )Uk(dS)
I bd =√πd
Γ(1+ d
2)Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel
I νd−k (d-k)-dimensionales Lebesgue-Maÿ
I Lk Menge aller k-Unterräume des Rk
I pS⊥K orthogonale Projektion von K auf den (d-k)-Unterraumsenkrecht zu S ∈ Lk
I Uk Gleichverteilung auf Lk
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Minkowski-Funktionale
Wk(K ) =bd
bd−k
∫Lk
νd−k(pS⊥K )Uk(dS)
I bd =√πd
Γ(1+ d
2)Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel
I νd−k (d-k)-dimensionales Lebesgue-Maÿ
I Lk Menge aller k-Unterräume des Rk
I pS⊥K orthogonale Projektion von K auf den (d-k)-Unterraumsenkrecht zu S ∈ Lk
I Uk Gleichverteilung auf Lk
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Minkowski-Funktionale
Wk(K ) =bd
bd−k
∫Lk
νd−k(pS⊥K )Uk(dS)
I bd =√πd
Γ(1+ d
2)Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel
I νd−k (d-k)-dimensionales Lebesgue-Maÿ
I Lk Menge aller k-Unterräume des Rk
I pS⊥K orthogonale Projektion von K auf den (d-k)-Unterraumsenkrecht zu S ∈ Lk
I Uk Gleichverteilung auf Lk
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Minkowski-Funktionale
Wk(K ) =bd
bd−k
∫Lk
νd−k(pS⊥K )Uk(dS)
I bd =√πd
Γ(1+ d
2)Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel
I νd−k (d-k)-dimensionales Lebesgue-Maÿ
I Lk Menge aller k-Unterräume des Rk
I pS⊥K orthogonale Projektion von K auf den (d-k)-Unterraumsenkrecht zu S ∈ Lk
I Uk Gleichverteilung auf Lk
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Minkowski-Funktionale
Wk(K ) =bd
bd−k
∫Lk
νd−k(pS⊥K )Uk(dS)
I bd =√πd
Γ(1+ d
2)Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel
I νd−k (d-k)-dimensionales Lebesgue-Maÿ
I Lk Menge aller k-Unterräume des Rk
I pS⊥K orthogonale Projektion von K auf den (d-k)-Unterraumsenkrecht zu S ∈ Lk
I Uk Gleichverteilung auf Lk
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Minkowski-Funktionale
Wk(K ) =bd
bd−k
∫Lk
νd−k(pS⊥K )Uk(dS)
I bd =√πd
Γ(1+ d
2)Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel
I νd−k (d-k)-dimensionales Lebesgue-Maÿ
I Lk Menge aller k-Unterräume des Rk
I pS⊥K orthogonale Projektion von K auf den (d-k)-Unterraumsenkrecht zu S ∈ Lk
I Uk Gleichverteilung auf Lk
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Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Minkowski-Funktionale - Beispiel
R1 : Wo(K ) - Länge von KW1(K ) = 1 (Euler-Charakteristik)
R2 : Wo(K ) - Fläche von K2W1(K ) - Umfang von K1
πW2(K ) = 1 (Euler-Charakteristik)R3 : Wo(K ) - Volumen von K
3W1(K ) - Ober�äche von K3
2πW2(K ) - mittlere Breite von K3
4πW3(K ) = 1 (Euler-Charakteristik)
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Steiner Formel - Beispiel
νd (K ⊕ b(o, r)) =d∑
k=0
(d
k
)Wk(K )rk
I für d=2 ergibt sich somit:
A(K ⊕ b(o, r)) = A(K ) + U(K )r + πr2
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Steiner Formel - Beispiel
νd (K ⊕ b(o, r)) =d∑
k=0
(d
k
)Wk(K )rk
I für d=2 ergibt sich somit:
A(K ⊕ b(o, r)) = A(K ) + U(K )r + πr2
Christian Bach Innere Volumina und Integralgeometrie
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Steiner Formel - Beispiel
νd (K ⊕ b(o, r)) =d∑
k=0
(d
k
)Wk(K )rk
I für d=2 ergibt sich somit:
A(K ⊕ b(o, r)) = A(K ) + U(K )r + πr2
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Innere Volumina
Die Minkowski-Funktionale Wd−k sind mit den inneren Volumina
Vk eng verwandt:
bd−kVk(K ) =
(d
k
)Wd−k(K ) k = 0, 1, ..., d
es gilt:
I Vd (K ) Volumen von K ∈ C (K)
I 2Vd−1(K ) Ober�äche von K ∈ C (K)
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Hadwiger Theorem
Theorem: Jedes nicht-negative, bewegungsinvariante, monotone,C-additive Funktional h auf konvexen Körpern kann wie folgtgeschrieben werden:
h(K ) =d∑
k=0
akWk(K )
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
De�nition
Der konvexe Ring S ist das System aller Teilmengen A ⊂ Rd die alsendliche Vereinigung konvexer Körper dargestellt werden kann:
S =
{A : A =
n⋃i=1
Ki ∀Ki ∈ C (K)
}
A1,A2 ∈ S⇒ A1 ∪ A2 ∈ S und A1 ∩ A2 ∈ S
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
De�nition
Der konvexe Ring S ist das System aller Teilmengen A ⊂ Rd die alsendliche Vereinigung konvexer Körper dargestellt werden kann:
S =
{A : A =
n⋃i=1
Ki ∀Ki ∈ C (K)
}
A1,A2 ∈ S⇒ A1 ∪ A2 ∈ S und A1 ∩ A2 ∈ S
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
additive Funktionale
ein additives Funktional h auf S ist eine Abbildung h : S 7→ R mit
h(∅) = 0
undh(A1 ∪ A2) + h(A1 ∩ A2) = h(A1) + h(A2)
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
additive Funktionale
ein additives Funktional h auf S ist eine Abbildung h : S 7→ R mit
h(∅) = 0
undh(A1 ∪ A2) + h(A1 ∩ A2) = h(A1) + h(A2)
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Euler-Poincaré Charakteristik
Wichtiges Beispiel eines additiven, bewegungsinvariantenFunktionals auf S:für konvexe nicht-leere Mengen K:
χ(K ) = 1
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Euler-Poincaré Charakteristik
Für
A =n⋃
i=1
Ki ∀Ki ∈ C (K)
erhält man mit der Additivitätseigenschaft
χ(A) =∑i
χ(Ki )−∑
i1,i2;i1<i2
χ(Ki1∩Ki2)+...+(−1)n−1χ(K1∩...∩Kn)
in R2 : χ(A) = # { Flächen } − # { Löcher }
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Euler-Poincaré Charakteristik
Für
A =n⋃
i=1
Ki ∀Ki ∈ C (K)
erhält man mit der Additivitätseigenschaft
χ(A) =∑i
χ(Ki )−∑
i1,i2;i1<i2
χ(Ki1∩Ki2)+...+(−1)n−1χ(K1∩...∩Kn)
in R2 : χ(A) = # { Flächen } − # { Löcher }
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Euler-Poincaré Charakteristik
Beispiel
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Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Verallgemeinertes Minkowski-Funktional
Die Euler-Poincaré Charakteristik erlaubt es uns dasMinkowski-Funktional auf S zu verallgemeinern:
Wk(A) =bd
bd−k
∫Lk
∫S⊥
χ(K ∩ Ss)νd−k(ds)Uk(dS)
für k=1,...,d
I νd−k(pS⊥K ) wurde durch∫S⊥ χ(K ∩ Ss)νd−k(ds) ersetzt
I S⊥ ist die (d-k)-Ebene durch den Ursprung von Rd
I S⊥ ist orthogonal zu S und Ss = S + s
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GrundlagenPraktische Anwendung
Innere Volumina und Integralgeometrie
Euklidische IsometrienKonvexe MengenKonvexe Ringe
Literatur
I Dietrich Stoyan, Wilfried S. Kendall, Joseph Mecke�Stochastic Geometry and its Applications�
I Bernd Jähne, �Digitale Bildverarbeitung�, Springer
I Evgueni Spodarev, �Berechnung der Minkowski-Funktionalevon deterministischen und zufälligen Mengen�
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