Risikomanagement und Value at RiskSeminar aus Finanz- und Versicherungsmathemetik
Betreuer: Stefan Gerhold Monika Slivkova
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
2 Definitionen und Maßen 4
2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Koherentes Risikomaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Expected Shortfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Portfoliogewinnmodellieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Historische Simulation 10
4 Semiparametrische Zugange 11
4.1 Extreme Value Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Quantil Regression Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Parametrische Zugange 16
5.1 RiskMetrics- J.P. Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1.1 Multiperiodische VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1.2 Multiple position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.1.3 Vorteile und Nachteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2 Portfoliolevelzugang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2.1 Bedingte Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2.2 Multiperiodische VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2.3 Aktivazugang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Nicht lineare Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3.1 Delta-only Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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1 Einleitung
Bis vor kurzem war die Varianz das meist verbreitete Risikomaß, weil sie sehr einfach zu
verstehen und zu ausrechnen ist. Der Nachteil dieses Maßes ist, dass sie symmetrisch ist-
in dem Sinne, dass große Gewinne und Verluste gleich gewichtet sind. Fur Finanzinstitu-
tionen sind aber viel mehr die großen Verluste von Bedeutung.
Die Finanz und Regulierungsinstitutionen sind sich bewusst, dass mehrere verschiedene
Risikoquellen existieren. Diese Risikoquellen wurden progressiv immer besser beschrieben
und verstanden. Die drei Hauptarten von Risiken sind heutzutage bekannt: Markt Risiko,
Kredit Risiko, Operational Risiko.
Die Basel Committee on Banking Supervision (BCBS) unter der Bank of International
Settlements legte Schritt fur Schritt die neuen Kapitalforderungen fur Finanzinstitutio-
nen auf, um diese Risikoarten zu decken. Der erste Schritt war die Implementierung der
neuen Standards fur das Risikoexpositionausrechnen. Wahrend laut dem ersten Basel
Accord (1998) nur Kredit Risiko gedeckt war, inkorporierte die BCBS laut Amandment
(1996) Marketrisiko, und bestimmte explizit die Value at Risk als die Hauptquantitativ-
instrument fur Finanzinstitutionen um ihre Kapitalforderungen zu ausrechen. VaR wird
danach zu einem der allgemein benutzten Risikomaßen in dem Markt Risiko.
Seit Namensnennung von BCBS ist die VaR eine der aktiv analysierten Forscherthemen,
mehrere Zugangen wurden vorgeschlagen, um die prazise Einschatzung und Aufrechnung
dieses Maßes zu gewahren. Diese Zugange waren gegrundet z.B. auf dem Benutzen von
uni/multivarianten GARCH Modellen, Modellierung der Tails der Verteilung, Modellie-
rung der Nichtnormalitat.
Spater wurde gezeigt, dass VaR ein potentiell schiefes Risikomaß ist. VaR ist kein
koherentes Maß,weil es nicht die Subadditivitat erfullt- also die Diversifikation muss nicht
unbedingt die Risikoreduktion herbeifuhren. Weiters rechnet VaR nicht mit dem Risiko
des extremen Verlusts unter einem Konfidenzlevel, also es kann große Verluste induzieren
und die Konsequenz davon ist, dass es großere Risikoexposition induzieren kann als die
Varianz in dem Marktfalls. Also manche Autoren bieten als die Losung dieses Problems
die sogenannte Expected Shortfall als das alternatives Risikomaß an.
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2 Definitionen und Maßen
2.1 Definitionen
Wir definieren zuerst formell die Begriffe Value at Risk und Expected Shortfall. Dazu
brauchen wir die folgende Bezeichnungen.
Pi,t als Preis des Aktivums i zur Zeit t, sodass
ri,t =Pi,t − Pi,t−1
Pi,t−1
den Gewinn des Aktivums i zwischen der Zeit t− 1 und t bezeichnet. Dann ist der Wert
des Portfolios zur Zeit t, bzgl. dem Vektor Nt welcher die Anzahl von den Anteilen des
Aktivums i bezeichnet, gegeben als:
Wt =n∑i=1
Ni,tPi,t = N ′tPt
Falls vorraussetzen wir, dass die Portfoliokomposition zwischen t und t + 1 konstant
bleibt,dann ist die Veranderung in der Marketwert des Portfolios gegeben als
Wt+1 −Wt = N ′t(Pt+1 − Pt)
Daraus sehen wir, dassWt+1 −Wt
Wt
= α′trt+1 = rp,t+1
wobei
αi,t =Ni,tPi,t∑ni=1Ni,tPi,t
. Der Besitz des Investors bzgl. gewichtetem Portfoliovektor αt bezeichen wir als Wt(αt).
2.1.1 Value at Risk
Die Value at Risk (VaR) bzgl. der Wahrscheinlichkeit θ ∈ (0, 1) des Portfolios ist definiert
als das Minimum von dem potentiellen Verlust, was das Portfolio in den θ% schlechtesten
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Fallen uber einen definierten Zeithorizont erreichen kann.
Unter obiger Definition des VaR kann man auf dem folgendem Diagramm betrachten,
dass die Kurve die hypothetische Gewinn-Verlust Dichte darstellt. Die Dichte hat das
Erwartungswert 1 und Standardabweichung 1, aber schwerere tails als Normalverteilung.
Also 5% VaR ist um 1,82 niedriger als der Erwartungswert, wobei es bei der Normalver-
teilung um 1,64 kleiner als der Erwartungswert ist.
Abbildung 1: VaR Diagramm
Mit ∆Wt+1(αt) = Wt+1(αt) − Wt(αt) ist VaR des Portfolios definiert mit Hilfe der
Relation
θ = Pr[∆Wt+1(αt) ≤ −V aRθ,t|Ft]
wobei Ft die Information zur Zeit t ausdruckt.
Alternativ haben wir die folgende Definition, wo
V aRθ,t(rp,t+1) =V aRθ,t
Wt(αt)
die VaR bzgl. der Wahrscheinlichkeit θ fur 1 investierte $ bezeichnet.
θ = Pr
[∆Wt+1(αt)
Wt(αt)≤ −V aRθ,t
Wt(αt)|Ft]
= Pr[rp,t+1 ≤ −V aRθ,t|Ft]
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Die bedingte Verteilungsfunktion des Gewinns definieren wir als
Fp,t(x) = Pr[rp,t ≤ x|Ft−1]
wobei F−1p,t die Inverse der bedingten Gewinnverteilungsfunktion darstellt. Dann betrach-
ten wir, dass
V aRθ,t = −F−1p,t (θ)
Dieser Ausdruck zeigt, dass VaR des Portfolios zur Zeit t fur die nachste Periode das
minus θ-Quantil von der bedingten Verteilungsfunktion des Portfoliogewinnes ist.
Falls wir voraussetzen, dass die Gewinne iid sind, bleibt VaR konstant uber die Zeit und
ist gegeben als die Inverse der nichtbedingter Verteilungsfunktion:
V aRθ = −F−1p
wo Fp(x) = Pr[rp,t ≤ x] die Verteilungsfunktion des Portfoliogewinns ist. Ausrechnen
des VaR vereinfacht deshalb das Schatzen des Quantils der bedingten Verteilungsfunk-
tion des Portfoliogewinne. Diese Verteilungsfunktion variiert wahrscheinlich in der Zeit.
Grund dafur ist, dass die Volatilitat des Gewinns in der Zeit variiert.
Die Verteilung des Portfoliogewinns kann also in der Abhangigkeit von der multivari-
anten Verteilung der Aktivagewinne beschrieben werden. Das bringt uns zwei Arten von
Zugangen zur Beschreibung der VaR und Expected shortfall.
Der Erste ist genannt Portfoliozugang und er betrachtet die Verteilung vom zusammen-
gesetzten Gewinn, wobei der zweite die individuellen Aktiva betrachtet und benannt ist
als der Aktivazugang.
Der Vorteil des Portfoliozugangs ist in dem Vermeiden der Modellierung des gemainsa-
men Verhaltens der Aktivagewinne. Als Nachteil konnen wir das Fehlen von den (vielleicht
wichtigen) Beziehungen zwischen Aktivagewinnen - z.B.: die Zeit variierende Korrela-
tion sehen. Im zweiten Zugang- dem Aktivazugang geht es um das Modellieren der
multivarianten Verteilung der Aktivagewinne. Dieser Zugang ist besser geeignet fur die
tiefere Analyse des Portfolios, da wir hier die Sensitivitat des PortfolioVaRs bezuglich
den Veranderungen in den Gewichten des Portfolios betrachten konnen. Dieser Zugang
kann zur direkten Optimierung der Gewichte des Portfolios unter der VaR Begrenzung
verwendet werden.
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Im Allgemeinen kann man VaR uber allgemeineren Zeithorizont k ausrechnen. In die-
sem Fall steht uns unter der Vorraussetzung, dass die Position konstant uber diese Pe-
riode k gehalten bleibt, die folgende allgemeinere multiperiodische VaR Definition zur
Verfugung:
θ = Pr
[∆Wt+k(αt)
Wt(αt)≤ −V aRθ,t:t+k
Wt(αt)
]= Pr[rp,t[k] ≤ −V aRθ,t:t+k]
wobei rt[k] den kumulativen Gewinn zwischen t und t + k bezeichnet, und VaR fur 1
investierte $ als
V aRθ,t:t+k =V aRθ,t:t+k
Wt(αt)
dargestellt ist. Um wir den multiperiodischen VaR zu bekommen, brauchen wir eine
Schatzung von dem bedingten multiperiodischen Portfoliogewinn rp,t[k].
2.1.2 Koherentes Risikomaß
Sei V eine Menge von reelwertigen ZV (typischerweise net final wealth) ρ : V− > R heißt
koherentes Risikomaß, falls:
• Translationinvarianz: X ∈ V, α ∈ R : (X+α) = ρ(X)−α heißt, dass falls wir einen
sicheren Betrag α zur Position addieren, so wird die Risikomaß um α sinken.
• Subadditivitat: ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ) heißt, dass das Risiko Portfolio, welches
von zwei Unterportfolios zusammengesetztet ist, kleiner ist als die Summe von Ri-
sikos von den einzelnen Unterportfolios.
• Positive Homogenitat: X ∈ V, a ≥ 0 : ρ(aX) = aρ(X) heißt, dass falls es um einen
bestimmten Faktor a mit bestimmten Gewichten die Portfoliogroße erhoht wird, so
wird um den selben Faktor a das Risikomaß erhoht.
• Monotonie: X, Y ∈ V,X ≤ Y : ρ(X) ≤ ρ(Y ) heißt, dass das Risiko großer ist fur
mehr negative Zufallsergebnisse
VaR ist ein nicht koherentes Maß, da es nicht die Subadditivitat- Bedingung erfullt.
Also die Diversifikation des Portfolios muss nicht unbedingt zur Reduktion des Risikos
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fuhren.
VaR rechnet nicht mit dem Risiko des extremen Verlusts unter einem Konfidenzlevel,
also es kann große Verluste induzieren und die Konsequenz davon ist, dass es großere
Risikoexposition induzieren kann als die Varianz in dem Marktfall.
Also bieten manche Autoren als die Losung dieses Problems die sogenannte Expected
Shortfall als das alternatives Risikomaß an.
2.1.3 Expected Shortfall
ES ist ein erwarteter Verlust des Portfolios in der θ% schlechtesten Fallen uber den
gegebenen Zeithorizont.
ESθ,t = −E[∆Wt+1(αt)|∆Wt+1(αt) ≤ −V aRθ,t]
Alternativ kann man die Definition folgendenmaßen ermitteln:
ESθ,t =ESθ,tWt(αt)
= −E[
∆Wt+1(αt)
Wt(αt)|∆Wt+1(αt)
Wt(αt)≤ −V aRθ,t
]= −E[rp,t|rp,t ≤ −V aRθ,t]
wobei ESθ,t die Expected shortfall bzgl. der Wahrscheinlichkeit θ fur 1 investierte $
bezeichnet.
Die Hauptvorteile von ES sind die folgenden:
• ES ist ein koherentes Maß, also erfullt auch die Subadditivitatbedingung: es kann
mit der Diversifikation reduziert werden
• ES kontrolliert direkt das Risiko auf der linken Seite der Verteilung, also extreme
Verluste sind explizit mitgenommen
2.2 Portfoliogewinnmodellieren
Wie oben erwahnt, erfordet das Ausrechnen des VaR und ES des Portfolios die folgenden
Bedingungen:
• die Wahrscheinlichkeit θ
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• den Zeithorizont der Investition k
• den Wert Wt(αt)
• die Verteilungsfunktion des Portfoliogewinns
wobei die ersten drei Elemente in der Praxis gegeben sind, und die Hauptaufgabe be-
steht im Schatzen der Verteiungsfunktion.
Wie vorher gesagt, es existieren mehrere Moglichkeiten um VaR des Portfolios zu be-
kommen. Der Grund ist, dass VaR mehrere Parameter braucht. Diese kann man mit
mehreren Zugangen bekommen.
Im ersten Niveau losen wir das sog. Aggregation-Level-Problem. Wir wahlen einen
Portfoliozugang- welcher die Zeitreihen von den Portfoliogewinnen benutzt. Dieser Zu-
gang ist i.A. genugend. Falls wir das Interesse fur ein aktives Portfoliomanagement haben,
nehmen wir gegenseitlich den Aktivazugang. (Hier kann aber das Problem mit der Di-
mensionalitat eintreten, da das Portfolio ein paar hundert Aktivas enthalten kann).
Danach sollen wir entscheiden, was fur ein eigenes Modell wir nehmen, um die be-
dingte Verteilungsfunktion des Portfoliogewinns abzuschatzen. Z.B.: falls VaR ein hohes
Quantil ware, so konnten wir einen Zugang, um VaR abzuschatzen, benutzen, welcher
speziell die Tails der Verteilung betrachtet (wie Extreme Value Theorie). Aber zur glei-
cher Zeit ist bekannt, dass die Verteilung des Gewinns in der Zeit variiert (hauptsachlich,
weil die Volatilitat variiert). Deshalb ist es wichtig, korrekt die Gewinnverteilungentwick-
lung in der Zeit zu beschreiben.
Wir kennen vier Kategorien des VaR-Models, namlich die Historische Simulation, semi-
parametrische Modelle, parametrische Modelle und nicht-lineare Techniken.
Fur mehrere Portfolios (zB die Portfolios der Finanzinstitutionen) ist das zusammen-
gesetztes Verhaltenmodellieren allen Aktiven oft nicht moglich. In diesen Fallen arbeitet
man mit reduzierter Anzahl der Basisaktiven (oder Risikofaktoren),von denen man er-
wartet, dass sie das Risiko fuhren.
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3 Historische Simulation
Die Historische Simulation ist die einfachste und die am meisten verbreitete Methode fur
das Ausrechnen des VaR und ES. Es ist die nicht parametrische Methode in dem Sinn,
dass sie keine Vorausssetzung fur die Verteilung des Gewinns erfordert.
Algorithmus:
Wir haben eine Probe von T verschiedenen vergangenen Realisationen {r1, ...rT}. Wir
definieren die Window size N und diese verwenden wir fur die Konstruktion von den
Unterproben der Große N . Also haben wir T − N + 1 ubergedeckten Unterproben zur
Verfugung {r1, ...rT}, . . . , {rT−N+1, ...rT}. Jede dieser Unterproben wird zur Approxima-
tion der Verteilungsfunktion der Reihe benutzt. Wir wahlen zB die t-te Unterprobe,
{rt−N+1, ...rt}, und sortieren diese wachsend. Die sortierten Daten definieren wir als
{rt−N+1,t, ...rt,t} wo rt−N+1,t ≤ ... ≤ rt,t. Jetzt ist VaR bzgl. der Wahrscheinlichkeit θ%
definiert als θ- Quantil der Unterprobe. Es ist deshalb die θN - te Ordnungsstatistik rθN,t,
falls θN ein Integer ist (Falls ist nicht, benutzt man die lineare Inerpolation zwischen
rxθNy,t und rxθNy+1,t. Zur Vereinfachung setzen wir voraus, dass θN ein Integer ist und
dass rθN,t das θ-Quantil der Unterprobe ist. Also VaR zur Zeit t fur Zeit t+ 1 ist
V aRθN,t = −rθN,t
und ES ist definiert als der Durchschnitt von den Realisationen, welche unter diesem
Level stehen.
ESθ,t = − 1
xθNy
xθNy∑i=1
ri,t
Die Vorteile dieser Methode:
• ist einfach zu implementieren
• ist erlaubt fur nicht normale Gewinne
• beschreibt schwere tails
• sie benutzt wirkliche Realisationen
Die Nachteile von diesem Zugang:
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• da es eine nicht parametrische Methode ist, benutzt sie die strenge Voraussetzung:
der Gewinnprozess must iid sein, obwohl wir durch die empirischen Daten aber
wissen, dass es nicht der Fall ist. Also aus diesem Grund ist die Auswahl der window
size N in der Praxis ausschlaggebend.
• bei langeren Proben gilt, dass die Genauigkeit von VaR zwar wachst, aber damit
wachst auch die Wahrscheinlichkeit des Gebrauchs von irrelevanten Daten -z.B. bei
Veranderungen in dem Underlying
• Kurzere Proben sind sinnlos beim Betrachten von kleineren θ Wsk. ( weil die HS
kann nicht ein kleineres Quantil als der Minimalgewinn in der gegebenen Unterprobe
produzieren)
• VaR variiert selten, aber falls ja, so sehr stark. Der einzige Ursprung dieser Varia-
tion ist die Verschiebung von ’window’ in der Zeit und die Konsequenz davon ist,
dass wir die Sprunge in unserem VaR betrachten, wenn ein Exremgewinn sich in
der Unterprobe befindet. Dieses Problem betrachten wir wegen der Diskretheit der
empirischen Gewinnverteilung. (vor allem der tails der Verteilung)
4 Semiparametrische Zugange
Die folgenden semiparametrische Zugange legen die Struktur auf die tails der Vertei-
lung mit Hilfe von den parametrischen Modellen fest, aber ohne die ganze Verteilung
abzuschatzen. Bis ein bestimmtes Niveau sind sie fahig mit der Zeitabhangigkeit der
Gewinne zu kampfen.
Erster Zugang ist auf EVT gegrundet.
4.1 Extreme Value Theorie
EVT wurde erfunden, um das spezifische Verhalten von sehr großen (positiven oder
negativen) Gewinnen zu modellieren. Sie leistet die parametrische Representation von
der Verteilung der Extrema (oder der tails). Diese Methode ist fahig die feinere VaR-
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Abschatzungen zuruckzugeben und sie ist entworfen um die hohen Quantile zu produzieren-
kleinere als das Minimum von der Verteilung der Probe. Das Ausrechnen des Quantils
von der univarianten Verteilung kann man mit Hilfe folgender Zugangen in dem Kontext
der EVT beschreiben: die Verteilung des Extremas, die Verteilung von den tails oder die
semiparametrische Schatzung von dem Tailindex. Wir werden uns hauptsachlich mit der
Schatzung von den hohen Quantilen in dem Fall des Tailszugangs beschaftigen.
Unconditional EVT
Die Hauptidee von dem Tailzugang ist, dass die Verteilung von den niedrigeren tails
(d.h. die Gewinne welche sich unter der gegebenen Schranke u befinden) approximiert
werden kann, wenn u hinreichend groß ist, mit Hilfe der sog. generalized pareto distribu-
tion (gpd, allgemeine Pareto-Verteilung). Gpd ist definiert als
Gξ,u,ψ(r) =
1−(
1 + ξψ
(r − u))− 1
ξ, wenn ξ 6= 0
1− exp(− (r−u)ψ
), wenn ξ = 0
wobei ein Tailindex ξ die Gestalt von Tails der Verteilung charakterisiert und ψ ein
Skalierungsparameter ist. Es sei vorausgesetzt, dass man die Schatzung von der gpd macht
auf dem absoluten Wert von den Lower-tailsbetrachtungen. Nachdem die Parameter von
gpd abgeschatzt sind, kann man das θ- Quantil der aktuellen Verteilung als
qθ =
u+ −ψ
ξ
((TNuθ)−ξ− 1
), wenn ξ 6= 0
u+ ψlog(
TNuθ), wenn ξ = 0
bestimmen, wo Nu die Anzahl von Uberquerungen unter der Grenze u sind. Es ist
evident, dass das Quantil qθ gultig ist fur sehr kleine Wahrscheinlichkeiten θ da es mit
Hilfe der Resultaten berechnet ist, welche nur gultig fur extreme Gewinne sind. Dann ist
VaR bzgl. der Zeit t fur Zeit t+ 1 gegeben als:
V aRθ,t = −qθ
sodass die abgeschatzte VaR konstant uber die Zeit ist.
ES ist streng zusammenhangend mit dem Begriff der mean excess function, weil wir die
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folgende Relation kennen:
ESθ,t = E[−r| − r ≥ V aRθ,t] = V aRθ,t + E[−r − V aRθ,t| − r ≥ V aRθ,t]
Falls r − u|r > u ∼ Gξ,ψ , ist die mean excess funktion uber u level definiert als:
e(u) = E[−r − u| − r ≥ u] =ψ + ξu
1− ξ, ψ + ξu > 0
Deshalb ist ES gleich der Summe der VaR und der mean excess funktion uber VaR. Da
V aRθ,t > u,konnen wir schreiben
E[−r − V aRθ,t| − r ≥ V aRθ,t] = E[(−r − u)− (V aRθ,t − u)|(−r − u) ≥ (V aRθ,t − u)]
mit −r−V aRθ,t|−r ≥ V aRθ,t ∼ Gξ,ψ+ξ(V aRθ,t−u). Schließlich gewinnen wir abgeschatzte
ES folgendermaßen:
ESθ,t = V aRθ,t +ψ + ξ(V aRθ,t − u)
1− ξ=V aRθ,t
1− ξ+ψ + ξu
1− ξ
Dieser Zugang heißt unconditional, weil er auf der Vorraussetzung gegrundet ist, dass
die Gewinne iid sind. Deshalb produziert diese Technik eine unconditional VaR, d.h.: zu-
gehorig zur unbedingten Verteilung des Gewinns. Das impliziert, dass ein Quantil qθ nicht
uber die Zeit variiert, sogar auch bei unerwarteten Veranderungen des Marktzustandes.
Der zweite Nachteil von diesem Tailzugang ist, dass wir die Grenze u finden mussen,
welche bestimmt, was fur Gewinne zum tail angehoren.
GARCH- EVT Model
Dieses Model besteht aus dem selbstandigen Modellieren der bedingten Volatilitat und
der Verteilung von den tails. In Wirklichkeit brauchen wir nur den linken tail, da der
rechte nicht relevant fur das VaR Berechen ist.
In dem ersten Schritt filtern wir die Abhangigkeit in den Gewinnfolgen mit Hilfe der
Residuen von dem GARCH Model, welche iid sein solten. In dem zweiten Schritt mo-
dellieren wir das Verhalten der Extrema. Danach, um eine VaR Schatzung fur Gewinne
zu produzieren, nehmen wir den Schatzer des θ- Quantils der GARCH filtrierten Resi-
dua und wir konvertieren den Schatzer des θ Quantil auf Originalgewinn mit Hilfe der
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bedingten Volatilitatsvorhersage fur den bestimmten Horizont.
Dieses Modell enthalt die zwei Bestandteile, welche fur eine richtige Abschatzung von
der bedingten VaR(d.h. ES) gefordert werden: Ein Modell fur die Dynamik der ersten und
der zweiten Momente und ein geeignetes Modell fur die bedingre Verteilung. Im Vergleich
zur unbedingten EVT enthalt diese Methode in VaR die Veranderungen von erwartetem
Gewinn und von der Volatilitat.
4.2 Quantil Regression Technik
Hier betrachten wir statt der Modellierung der tails der Verteilung (wie in der EVT)
die dynamische Komponente. Die Hauptidee besteht im Modellieren von dem gegebenen
Quantil der Verteilung in der Zeit. So ein Zugang ist berechtigt, weil man empirisch bei
der Volatilitat ein so genanntes Volatility clustering betrachtet also die Verteilung selbst
ist autokorreliert.
Quantil Regression
Das θ Quantil qθ von der Zeitreihe α{yt}Tt=1 kann definiert werden als Losung des
folgenden Minimalisationsproblems.
minq∈R∑
t∈{t:yt≥q}
θ|yt − q|+∑
t∈{t:yt<q}
(1− θ)|yt − q| 0 < θ < 1
oder aquivalent dazu:
minq∈R
T∑t=1
wθ(yt − q)
wobei
wθ(zt) =
θzt, wenn zt ≥ 0
(1− θ)zt, wenn zt < 0
Das geschatzte q ist das unbedingte θ Quantil von {yt}Tt=1. Jetzt im Zusammenhang der
Regression, yt = x′tβ + ut, wobei xt ein (k, 1) Vektor von den Regressoren ist und ut ein
Fehlerterm mit der Verteilungsfunktion F ist. Das θ Regressionsquantil von ut = yt−x′tβ
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bedingt bzgl. xt erreicht man als Losung des folgenden Minimalisationsproblems:
minβ∈Rk∑
t∈:yt≥x′tβ
θ|yt − x′tβ|, 0 < θ < 1
Der Zweck dieser Regression ist es einen Vektor des Parameters β zu finden, welcher si-
chern sollte, dass das θ Quantil von ut so nahe neben 0 steht, wie moglich. Die bekannte
Quantilregression ist jene, welche mit dem 1/2 Quantil asoziiert ist. In diesem Fall ist β
optimiert, um den Median gleich 0 anzunehmen.
CAViaR
Dieses Modell wurde auf der Basis der Quantilregressionen erstellt. Die Idee ist, statt
der ganzen Verteilung des Gewinnes nur das Verhalten von dem Quantils qθ zu betrach-
ten. Dieser Zugang heißt semiparametrisch, weil er nicht die Verteilung des Gewinns
spezifiziert. Er kann deshalb auf die nicht iid Gewinne, genauso wie auf die zeitvariierte
Volatilitat angewandt sein.
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5 Parametrische Zugange
Die parametrischen Modelle der VaR sind unter der kompletten Menge der Voraussetzun-
gen, betreffend dem Verhalten und der bedingten Verteilung des Gewinnes, begrentzt.
Wir erinnern uns auf die empirischen Hauptmerkmale von den Aktivagewinnen:
• die Gewinne konnen autokorelliert sein (in der Praxis ist diese Korellation nicht
groß )
• die Volatilitat der Gewinne ist autokorelliert und eventuell asymmetrisch
• die bedingte Verteilung des Gewinns ist wahrscheinlich nicht normal. Die typischen
Merkmale dieser Distribution sind die Schiefe und schwere tails.
5.1 RiskMetrics- J.P. Morgan
Diese Methode ist entwickelt, um VaR zu berechnen und spielt eine bedeutende Rolle bei
der erhohten Popularitat von VaR als Risikomaß. Sie benutzt die historischen Gewinnda-
ten, um die zukunftige Volatilitat vorherzusagen. Naher ist das grundlegende RiskMetrics
Model auf den folgenden Voraussetzungen gebaut:
• der Gewinn rt ist als rt = µt + εt mit εt = σtzt modelliert
• die taglichen log- Gewinne sollten zentriert sein (µt‘ = 0)
• die Dynamik der Volatilitat ist mit EWMA (exponnentially weighted moving ave-
rage) modelliert
σ2t = λσ2
t−1 + (1− λ)r2t−1 fur t = 2, . . . , T 0 < λ < 1
Dieses Modell kann als ein spezieller Fall des Integrated GARCH Modells gesehen
werden.
• Die Differenz zwischen dem betrachteten Wert der Variable zur Zeit t und der
optimalen Vorhersage dieses Wertes, welche aus der Information zur Zeit t ausgeht
(innovation),zt, wird als iid N (0, 1) angenommen.
Unter diesen verschiedenen Voraussetzungen ist die bedingte Verteilung rt zur Zeit
t N (0, σ2t ). Falls wir uns fur einen VaR Schritt vorher interessieren, brauchen wir die
Verteilung von rt+1. Unter der Bedingung der Information zur Zeit t ist es N (0, σ2t (1)),
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wobei σ2t (1) = λσ2
t + (1 − λ)r2t . Fur die N (0, 1) Verteilung, bezeichnen wir qθ = Φ−1(θ)
als das Quantil bzgl. der Wahrscheinlichkeit des Verlusts gleich θ. Z.B., fur θ = 1% haben
wir qθ = −2.326 . Die tagliche VaR ist dann gegeben als:
V aRθ,t = −qθ × σt(1)
und zusatzlich haben wir den folgenden Ausdruck fur ES:
ESθ,t = −E[rt|rt ≤ −V aRθ,t] = −E[
rtσt(1)
| rtσt(1)
≤ V aRθ,t
σt(1)
]= ESzθ,t × σt(1)
wobei
ESzθ,t = − 1
Φ(qt)
∫ −qt−∞
z × 1√2πexp(−1
2z2)dz =
1
θϕ(qθ)
wobei ϕ(z) die Dichte der N (0, 1) Verteilung darstellt. Endlich betrachten wir
ESθ,t =ϕ(qθ)
θσt(1)
5.1.1 Multiperiodische VaR
Diese Methode kann sehr einfach implementiert werden. Falls wir VaR fur die nachsten
k Perioden berechnen wollen, konnen wir benutzen, dass die log- returns zwischen t und
t + k als rt[k] = rt+1 + · · · + rt+k definiert sind. Daraus kann man schließen, dass die
Volatilitatsvorhersage fur den k-periodischen log-return gegeben ist als
σ2t [k] = Vt[rt[k]] = Vt
[k∑i=1
rt+i
]
Die Vorhersage der Volatilitat fur k- Schritte ist
σ2t (κ) = · · · = σ2
t (2) = σ2t (1) = λσ2
t + (1− λ)r2t , fur κ > 0
weil der Innovationsprozess iid ist. Deshalb ist die Volatilitatsvorhersage fur k- peri-
odische log- Gewinne
σ2t [k] = kσ2
t (1)
also die Volatilitatsvorhersage von rt[k] ist zum Horizont k proportional. Schließlich be-
trachten wir die k- tagige VaR mittels:
V aRθ,t:t+k = −qθ ×√kσt(1)
wobei dieser Ausdruck als die ’sqare- root-of-time’ Regelung bekannt ist.
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5.1.2 Multiple position
Oben haben wir VaR eines einzigen Aktivums berechnet. Das ist fur die praktischen
Zwecke nicht sehr interessant. Wir konnen rt alternativ als den Gewinn des Portfolios
sehen, nicht als den Gewinn des Aktivums. In diesem Fall hatten wir konsistent immer
einen Portfoliozugang, also die Rechnungen stimmen uberein mit dem zusammengesetzten
VaR. Diese Interpretation aber bringt neue Schwierigkeiten mit sich. Da die Portfolios
der Finanzinstitutionen sich taglich verandern, heißt es, dass jeder Tag der Riskmanager
die historischen Zeitreihen des neuen Portfolio ausrechnen und die zusammengesetzte
VaR abschatzen sollte. Aber es wurde ein neuer Weg analog zu dem Aktivalevelzugang
vorgeschlagen. Dieser ist auf der Beobachtung gegrundet, dass die zusammengesetzte VaR
folgendermaßen geschrieben werden kann:
V aRθ,t = −qθ ×√α′Σt(1)α
wobei Σt(1) eine ein Schritt Vorhersage von der Kovarianzmatrix der Aktivagewinne ist.
Diese ist berechnet mit der Voraussetzung, dass alle Varianzen und Kovarianzen mittels
desselben Modells unter Benutzen der gleichen Parameter λ fur alle Aktiva abgeleitet
sind.
σ2i,t = λσ2
i,t−1 + (1− λ)r2i,t−1 furi = 1, . . . , n
σij,t = λσij,t−1 + (1− λ)rij,t−1 furi, j = 1, . . . , n
Es ist klar, dass so ein Zugang aquivalent zur VaRberechnung von jedem Aktivum in
dem Portfolio und erst danach der Deduktion der VaR von dem Portfolio ist . Um es zu
sehen, bezeichnen wir V aRiθ,t als VaR des Aktivums i = 1, . . . , p . Dann kann man sehen,
dass wir fur gegebenes Aktivum die folgende Relation der Varianz und der VaR haben:
σ2i,t(1) =
(1
qθV aRi
θ,t
)2
sodass die VaR des Portfolios jetzt ist:
V aRθ,t = −qθ√α′Σt(1)α = −qθ
√√√√ n∑i=1
α2iσ
2i,t(1) + 2
n∑i
n∑j=i+1
αiαjσij,t(1)
Falls wir σij(1) = σi,t(1)σj,t(1)ρij,t(1) benutzen, wobei ρij,t(1) eine einperiodische Vor-
hersage der Korrelation zwischen Aktivum i und Aktivum j bezeichnet, erreichen wir
nach der Vereinfachung
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V aRθ,t =n∑i=1
α2i (V aR
iθ,t)
2 + 2n∑i
n∑j=i+1
ρijαiαjV aRiθ,tV aR
jθ,t(1)
Das Quadrat von der VaR des Portfolios ist einfach die quadratische Form von der
VaR der Gewinne, gewichtet mit der Korrelationsmatrix zwischen den Gewinnen. Al-
so erfordert die Berechnung der VaR mittels dieser Methode keine Kenntnisse von den
Portfoliogewichten.
Die Varianz- Kovarianz Methode, auch Korrelationsmethode ist im Grunde genommen
ein parammetrischer Zugang, in welchem die VaR aus Varianzen und aus Kovarianzen
von den Komponenten des Portfolios gemessen wird. Die einfache Version dieser Methode
ist RiskMetrics. Der Hauptzweck dieser Methode ist das Modellieren von den verschie-
denen Komponenten der Dynamik der Gewinne,welche gunstig fur die VaR Berechnung
sind- also die Dynamik von dem erwarteten Gewinn, die Dynamik der Volatilitat und die
bedingte Verteilung von dem Innovationen Prozess.
5.1.3 Vorteile und Nachteile
Die Hauptvorteile von RiskMetrics liegen in der Einfachheit der Implementierung. Falls
wir den Wert von dem Faktor λ akzeptieren, keine Abschatzung brauchbar ist und die
Aktualisierung der VaR von jedem Portfolio extrem schnell ist. Also macht zusatzlich das
Ausrechnen der multiperiodischen , oder multipositionierten VaR keine weitere Schwie-
rigkeiten. Jede Vereinfachung hat aber eigene Kosten. In unserem Fall ist es das, das
manche Voraussetzungen dann zu streng sind und dann zB. zur Unterschatzung von dem
Quantil qθ fuhren, welches in der VaR Formel verwendet wird, oder Uberschatzungen von
der Variabilitat der Langhorizontvolatilitat.
5.2 Portfoliolevelzugang
Wir setzenvoraus, dass die Gewinne eventuell autokorreliert sind, die Volatilitat σt von
dem GARCH(1,1) Modell gefuhrt wird, und die Innovationen zt iid N (0, 1) verteilt sind.
Die bedingte Verteilung von rt zur Zeit t ist dann N (µt, σ2t ) . Die Hauptveranderung
gegenuber der RiskMetrics Methode ist begreifbar: Die Parameter dieser Methode sollten
lieber abgeschatzt als kalibriert sein. Die Auswahl von dem GARCH(1,1) Modell mit den
Parametern α und β , welche abgeschatzt werden ohne die Voraussetzung α + β = 1,
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bietet hochst wahrscheinlich das realistischere mittelwertruckkehrende (Anwendung der
Theorie, dass Markte zu Ubertreibungen neigen, die sich im Zeitablauf korrigieren.) Ver-
halten der Volatilitatsvorhersage.
Die Ein-Schrittvorhersage fur µt und σ2t ist:
µt(1) = µ+ ϕ1rt
σ2t (1) = ω + αε2t + βσ2
t
Unter der Bedingung der Information zur Zeit t ist die bedingte Verteilung von rt+1N (µt(1), σ2t (1)).
Die tagliche VaR ist dann gegeben mit
V aRθ,t = −(µt(1) + qθ × σt(1))
und ES ist
ESθ,t =1
θϕ
(−V aRθ,t − µt(1)
σt(1)
)σt(1)− µt(1) =
ϕ(qθ)
θσt(1)− µt(1)
5.2.1 Bedingte Verteilung
Das Modell oben ist fahig die Dynamik sowohl in den erwarteten Gewinnen als auch
in der Volatilitat zu ergreifen. Die bedingte Verteilung ist immer als normal vorausge-
setzt. Aus den empirischen Erfahrungen kann man sehen, dass man fur das Modellieren
der Innovationen die Verteilungen, welche schwere tails haben und asymmetrisch sind,
benutzen kann. Es handelt sich zB um Studentt Verteilung, welche einfach statt der Nor-
malverteilung verwendet werden kann, weil es die Prozeduren in mehreren okonomischen
Softwares gibt, um die Inverse von ihrer Verteilungsfunktion zu berechnen.
Zum Beispiel, falls wir voraussetzen, dass wir als Innovation Prozess eine Standard
Student t Verteilung mit ν Freiheitsgraden wahlen. Wir sollten andeuten, dass in dem
Kontext von dem GARCH- Modell, der Innovations Prozess zt den Erwartungswert 0
und Varianz 1 hat. Konsequenz davon ist, dass wir nicht die gewohnliche, sondern die
standarisierte t erhalten, definiert als
t(zt|ν) = c
(1 +
z2tν − 2
)− ν+12
mit ν − 2 statt ν und
c =Γ(ν+12
)√π(ν − 2)Γ(ν
2)
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.
Deshalb ist das gewohnliche t am meisten in der Software zur Verfugung, die Quantile
mussen dann korrigiert werden. Schließlich ist θ VaR fur rt+1 als
V aRθ,t = −(µt(1) + qθ × σt(1))
gegeben wobei qθ = t−1ν (θ) das Quantil bezuglich der Wahrscheinlichkeit von dem Ver-
lust gleich θ aus der standarisierten t Verteilung ist. Fur ES, haben wir zum Ausrechnen
den gleichen Ausdruck wie in dem Normalfall
ESθ,t = ESzθ,t × σt(1)− µt(1)
wobei
ESzθ,t = − 1
tν(qθ)
∫ −qθ−infty
z × c(
1 +z2
ν − 2
)− ν+12
dz =c
θ
ν − 2
ν − 1
(1 +
qθ2
ν − 2
)− ν+12
sodass wir eventuell haben
ESθ,t =c
θ
ν − 2
ν − 1
(1 +
qθ2
ν − 2
)− ν+12
× σt(1)− µt(1)
5.2.2 Multiperiodische VaR
Berechnung der VaR uber k Perioden erfordert den kumulativen erwarteten Gewinn und
Volatilitatsvorhersage uber k Perioden. Mit dem Benutzen der Definition von den multi-
periodischen log- Gewinn, ist der k- periodische erwarteten Gewinn
µt[k] = µt+1 + · · ·+ µt+k = kmu+1− ϕk11− ϕ
(µt(1)− µ) k > 1
Dabei ist die k-Schritt Volatilitatsvorhersage von dem GARCH(1,1) Model als
σ2t (k) = σ2 + (a+ b)k−1(σ2
t (1)− σ2) k > 1
gegeben.Mit der Summation dieser Volatilitaten betrachten wir die Volatilitatsvorhersage
fur den k- periodischen log-Gewinn.
σ2t [k] = kσ2 +
1− (a+ b)k
1− a− b(σ2
t (1)− σ2) k > 1
Gegenuber der RiskMetrics Methode ist die Volatilitatsvorhersage von rt[k] jetzt mit-
telwertruckkehrend, d.h. dass die Dynamik von der Volatilitat abgeschatzt uber die Probe
die Rolle in der Vorhersage des Prozesses spielt. Also die k-tagige VaR ist gegeben als
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V aRθ,t:t+k = −(µt[k] + qθ × σt[k])
und wobei
µt[k] = kµ+1− ϕk11− ϕ1
(µt(1)− µ) k > 1
5.2.3 Aktivazugang
Die Schatzung des Aktivazugangs von der zusammengesetzten VaR war erlaubt wegen des
Bedarfes der besseren Kontrolle der VaR Abschatzungen. Wie schon gesagt, dieser Zu-
gang erlaubt Messungen des Verhaltens der zusammengesetzten VaR bei Veranderungen
in den Portfoliogewichten. (Der Portfoliozugang bietet die komplette Wiederabschatzung
des Modells an)Aber dieser Voteil ist anspruchsvoll. Da wir uns fur das Modellieren der
multivarianter Dynamik der Aktivagewinne interessieren, brauchen wir ein multivarian-
tes GARCH- Modell. Dieser Zugang halt dem Dimensionalitatproblem stand und es ist
gebrauchlich die multivariante Gaussverteilung vorauszusetzen.
Wenn das multivariante Modell abgeschatzt wurde, ist das Berechnen der zusammen-
gesetzten VaR einfach. Die Verteilung des Portfoliogewinns ist
rp,t = N (µp,t, σ2p,t)
mit µp,t = α′tµt und σ2p,t = α′tΣtαt . Danach berechnen wir die zusammengesetzte VaR
als
V aRθ,t = −(µp,t(1) + qθ × σp,t(1))
wobei qθ = Φ−1(θ) das Quantil bezuglich der Wahrscheinlichkeit des Verlusts gleich
der θ mit der univarianten Normalverteilung N (0, 1) ist. Die ES ist gegeben als
ESθ,t =1
θϕ
(−V aRθ,t − µt(1)
σt(1)
)σt(1)− µt(1) =
ϕ(qθ)
θσt(1)− µt(1)
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5.3 Nicht lineare Modelle
Diese Methode berechnet VaR Schatzungen der Portfolios, welche Optionen, oder andere
Positionen mit nichtlinearen Preisverhalten beinhalten. Es wurde eine Methode fur die
VaR- Konstruktion vorgeschlegen, welche auf der Delta- Gamma Approximation basiert.
Diese Methode betrachtet den Einfluss der Approximation nicht nur auf der Varianz,
sondern auf der Form der Verteilung.
Wie schon oben erwahnt, bezeichnen wir die Veranderung des Wertes des Portfolios
∆Wt+1(αt) = α′t∆tpt =∑i
= 1nαi, t∆pi,t
wobei ∆pi,t die Veranderung des Wertes des Aktivums i bezeichnet.
Die Veranderung in dem Portfoliowert verhalt sich linear zur Veranderung von den Ak-
tivapreisen. Aber in manchen Fallen kann das Portfolio die Derivative beinhalten, welche
danach das nicht- lineare Verhalten zwischen Aktivumpreis und dem Wert des Portfolios
verursachen. Mit diesem Problem von den nichtlinearen Beziehungen beschaftigen sich
die zwei Hauptzugange, namlich Delta-only Methode und die Delta-Gamma Methode.
Der Alternativzugang ist gegrundet auf der Monte Carlo Simulation von einer großen
Anzahl von Marktszenarios.
5.3.1 Delta-only Methode
Wir setzen voraus, dass das Aktivum von den K Risikofaktoren abhangig ist. Falls ein
Portfolio, zB ein underlying Aktivum und eine Put Option besitzt, wird der Risikofaktor
dann das underlying Aktivum. Die Approximation erstes Grades, von dem Wert des
Portfolios ist gegeben als
∆δt+1 =
n∑i=1
αi,t∂pi(f, t)
∂t∆t+
n∑i=1
αi,t
K∑k=1
∂pi(f, t)
∂fk∆fk,t = µδ +
K∑k=1
δk∆fk,t = µδ∂W ′
∂fδft
wobei µδ die Veranderung in dem Portfoliowert bzgl der Zeit bezeichnet. δk ist ein
Aggregateffekt des Portfoliowerts des Faktors k
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Literatur
[1] E. Jondeau, S.H. Poon, M. Rockinger: Financial Modeling Under Non-Gaussian
Distributions, Springer, 2007
[2] I. Melichercik, L. Olsarova, V. Uradnicek: Kapitoly z financnej matematiky, Epos,
2005
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Value_at_risk
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