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Wirtschaftsmathematikin Kaiserslautern
-eine Einführung
Prof. Dr. Horst W. Hamacher
Fachbereich Mathematik, Universität Kaiserslautern
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Was ist Wirtschaft?
• Da, wo man seine Cola, sein Bier ... trinkt, und ...
oder
• Bezeichnung für alle Aktivitäten und Einrichtungen, die der Produktion, Distribution und Konsumtion von Gütern und Dienstleistungen dienen. Das Ziel dieser Aktivitäten besteht nach der gängigen Volkswirtschaftslehre ganz allgemein darin, über knappe Mittel (RessourcenHWH) so zu verfügen, dass sich die menschlichen Bedürfnisse befriedigen lassen. "Wirtschaft", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © 1993-1998
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Was ist Mathematik?
• Das, was man in der Schule lernt.
• Untersuchung der Beziehungen zwischen Mengen, Größen und Eigenschaften sowie der logischen Operationen, aus denen unbekannte Mengen, Größen und Eigenschaften hergeleitet werden können. "Mathematik", Microsoft® Encarta® 99 Enzyklopädie. © 1993-1998
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Was ist Wirtschaftsmathematik?
• Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen
• Beispiele:Problem Ressource Mathematische Methoden
– Lagerhaltung Platz, Zeit Simulation, Stochastik psb
– Nahverkehr Zeit, Umwelt Graphentheorie, Flußprobleme ÖV
– Krebsbestrahlung Gesundheit Multikriterielle Optimierung Krebs
– Notfallplanung Leben Standorttheorie Tirol
– Transporte Platz, Geld Ganzzahlige Optimierung IP
• Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern KL
andere Mathe
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Was ist Wirtschaftsmathematik?
• Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen
• Beispiele:Problem Ressource Mathematische Methoden
– Lagerhaltung Platz, Zeit Simulation, Stochastik psb
– Nahverkehr Zeit, Umwelt Graphentheorie, Flußprobleme ÖV
– Krebsbestrahlung Gesundheit Multikriterielle Optimierung Krebs
– Notfallplanung Leben Standorttheorie Tirol
– Transporte Platz, Geld Ganzzahlige Optimierung IP
• Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in Kaiserslautern KL
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Wie studiert man Wirtschaftsmathematik in KL?
O p tim ie ru n g
S toch as tik
A llg em ein e M ath em atik
M ath em atik In fo rm atik W irtsch a ftsw issen sch a ften
W irtschaftsm athem atik
60% 20% 20%
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Notfall-rettung durchHubschrauber
E1
E2
zurück
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Mittelpunkt zwischen E1 und E2:
zurück
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Notfall-rettung durchHubschrauber
zurück
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Mittelsenkrechte zwischen E1 und E2:
zurück
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E3
E2
E1
MS13
MS12
MS23
Der beste Standort eines Hubschraubers für 3 Einsatzorte :
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E3
E2
E1
zurück
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Standorttheorie
VerboteneGebiete
BarrierenMulti-
kriteriellWege,Kreise
Distanz-maße
Industrie-anlagen
Notfall-anlagen
Roboter BuslinienKrebs-
therapie GIS
Standortanwendungen
SAP IBM Kommunen Verkehrsverbünde DKFZ Arcview Markant Krankenhäuser ptv
Library of Location Algorithms
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LOLA
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Parallellager- und Materialflußplanung
Parallellager mit Durchfluß von 500-1000 Transporteinheiten (TE) pro Stunde
, Pirmasens, Germany
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Erwartete Anzahl aktiver Stockwerke
Annahme: n = Anzahl der Stockwerke
m = Anzahl von Lagerplätzen/Stockwerk
nT= Anzahl der TEen (unabhängig, gleichförmig verteilt, nT>n)
Enn
k
k
i
m k i
n
nm
nki
i
k
k
n
occT T
( )( )
100
1
Rechentest:
Man kann nur 70% bis 90% aktiver Stockwerke erwarten (in der Praxis)
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Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -1-
Von den n! vielen möglichen Permutationen können
(m+1)!(m+1)n-m-1
realisiert werden
Ziel: Gleichmäßige Verteilung auf Ebenen Gleichmäßige Auslastung der Kommissionierplätze
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TE i auf Ebene j
min,
c xiji j
ij
are feasible permutation
x i
x j
x i j
x i j
ijj
iji
ij
ij
1
1
0 1
{ | , }
{ , } ,
s.t.
xij 1 Kosten der Plazierung von TE i auf Ebene j z.B. #TE derselben Farbe
Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -2-
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Die zulässigen Permuationen entsprechen zulässigen
Matchings in einem bipartiten Graphen
TUs:
Layers:
Optimierungsbeispiel: Hubrahmen -3-
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Systemoptimierung durch (dynamische) Netzwerkflußprobleme
Hubrahmen Materialflußnetzwerk
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Zone k - Haltestelle iZuordnung
IP Model für Wabenproblem
Minimiere Abweichung von alten Tarifen:
h h d pik jl ij kli j k l
| |, , ,
h i
h i k
p d
ikk
ik
kl ij
1
0 1{ , } ,
,
s.t.
neuer (k,l) Wabentarif
alter (i,j) Entfernungstarif
•NP-schweres Problem
•einfach, falls Zonen gegeben sind
•Zonen können unzusammenhängend sein.
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Bestrahlungstherapie
Applikation von hochenergetischer Strahlung zur
– Tumorkontrolle
– Tumorzerstörung
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Problemstellung
Dosisanforderungen:
Zielvolumen: 50 Gray (minimal)
Risiken: 30 Gray (maximal)
20 Gray (maximal)
15 Gray (maximal)
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InverseTherapieplanung
Berechnung der physikalischen Setup-Parameter aus den Dosisvorgaben
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3-stufige Vorgehensweise
Wahl der Einstrahlgeometrie
Bestimmung der Intensitätsprofile
Phase I:
Phase II:
multikriterielles Problem
Standortproblem
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Durchführung der Bestrahlung
Phase III:
Ganzzahliges Problem
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Phase I: Einstrahlgeometrie
• Wahl von N Einstrahlrichtungen
• Wahl eines Isozentrums
Isozentrisches Modell:
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Phase II: Intensitätsprofile
Ansatz
– Diskretisierung
– Approximation der
Dosisverteilung
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K-kriterielles Problem
• K Organe von Interesse ( Ziel, Risiken )
• „maximale Dosisabweichung“
tk = tk( x ) für Intensität x 0 ( Organ k=1,..,K )
• „K-kriterielle lineare Optimierungsaufgabe“
t1 Min, t2 Min, .. , tK Min
( es existiert i. A. keine „Nullösung“ )
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Ergebnisdatenbank
Generierung einer Datenbank mit– Setup-Parametern
– Visualiserungen• Isodosen• DVHs
– t-Vektoren
– Nachbarschaftsstruktur
– intelligenter Online-Suchhilfe
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Isodosen:
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Durchführung:Multileaf Collimator
Idee: Benutze dünne Metall“blätter“, hoch genug um die Bestrahlung abzublocken
0.5-1cm
5-7cm
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Linke Blätter Rechte Blätter
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Patientenblick
Quelle: Mitsubishi
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Seite 32
Multileaf Collimators: Mechanik
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Multileaf Collimator Ein Beispiel
+
Maximale Größe des Bestrahlungsfeldes
1 2 1 00 0
Setup für 1. Zeiteinheit
1 1 0 00 0
Setup für 2. Zeiteinheit
0 1 1 00 0
eine Zeile der Intensitätsmatrix
eine Zeile der ersten Reliefmatrix
eine Zeile der zweiten Reliefmatrix
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Verschiedene Aufteilung in Reliefmatrizen
10
00*5
01
00*3
00
10*3
00
01*5
53
35
Beam-on Zeit: 16Setups : 4
Beam-on Zeit: 5Setups: 2
10
01*2
11
11*3
53
35
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Mathematische Modellierung:Ganzzahlige Optimierung
sonst 0
wirdbestrahlt zur Zeit t i Kanalin j Spalte die falls 1
otherwise 0
steht zur Zeit t j Spalte von links i Kanalin Blatt rechte das falls 1
sonst 0
steht zur Zeit t j Spalte von links i Kanalin Blatt linke das falls 1
ijt
ijt
ijt
y
R
L
...
210 5 6 7
Kanal izur Zeit t:
Lijt=2 Rijt=6
Spaltennr. j
yijt = 0 0 1 1 1 0 0
...
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Ganzzahlige Variable beschreiben MLC:
T tRowiR
T tRowiL
Ncells
j
ijt
Ncells
j
ijt
, 1 (1b)
, 1 (1a)
1
1
1
1
In jedem Kanal und zu jeder Zeit gibt es ein linkes und einrechtes Blatt:
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Ganzzahlige Variable beschreiben MLC:
Kollisionen zwischen benachbarten Blätterpaaren werdenausgeschlossen:
|| 1:}1,,1{
,, * * (2) 1
1
1
1
Rowkiiik
T tRowiRjLjNcells
j
kjt
Ncells
j
ijt
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Seite 38
Ganzzahlige Optimierung: Formulierung I
T tCol j,Rowi LR y (7b)
T tCol j,Rowi RL y (7a)
T tRowi 0 y (6b)
T tRowi 0 y (6a)
T tCol j,Rowi R yy (5)
T tCol j,Rowi L yy (4)
Col j,Rowi I y (3)
Row kiiik
T t,Rowi Rj Lj (2)
T tColi R (1b)
T t,Rowi L (1a) s.t.
szeitBehandlung
tjitjiijt
ijtijtijt
ti
tNcellsi
ijtijttji
ijttjiijt
ij
Ntime
t
ijt
Ncells
1j
kjt
Ncells
1j
ijt
Ncells
1j
ijt
Ncells
1j
ijt
,
,
,
,
,
,
||1:}1,,1{
,**
,1
1
min
,1,,1,
,0,
,1,
,1,
,1,
1
11
1
1
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Beispiel: Transport von Gefahrengütern
• Wieviel Einheiten eines Gutes 1 bzw. 2 kann man transportieren, wenn
pro Einheit: Gut 1 Gut 2
Profit: 2 7 (Mill. Euro)
Kapazität: 1 4 (Platzeinheiten)
Gefahrenwert: 9 -4 ( -10 bis +10 Skala)(additiv)
Dabei Gesamtkapazität: 14
Gefahrenhöchstwert: 36
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Mathematisches ModellGanzzahliges, Lineares Programm
Maximiere 2x1 + 7x2
unter den
Nebenbedingungen 1x1 + 4x2 < 4
9x1 - 4x2 < 36
Vorzeichenbedingungen x1,x2 > 0
Ganzzahligkeitsbedingungen x1,x2 ganzzahlig
pro Einheit: Gut 1 Gut 2 GesamtProfit: 2 7 (Mill. ECUs)Kapazität: 1 4 (Platzeinheiten) 4wissensch. Wert: -9 4 ( -10 bis +10 Skala) 36
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9x1- 4x2 < 36
x1+ 4x2 < 14
Zielfunktion:2x1 + 7x2 = 0
21 43
3
2
1
x1
x2
Maximiere 2x1 + 7x2
unter den
Nebenbedingungen 1x1 + 4x2 < 4
9x1 - 4x2 < 36
Vorzeichenbedingungen x1,x2 > 0
Ganzzahligkeitsbedingungen x1,x2 ganzzahlig
Zielfunktionswert:2x1 + 7x2 =8
Zielfunktionswert:2x1 + 7x2 =25,75
Optimallösung ohne Ganzzahligkeit:x1
*=5, x2*=2.25
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Lösung der Relaxation
Seite 42
21 1 43
3
2
1
x1*=5, x2
*=2.25
x1
x2
x2* > 3
x2* < 2
Partition des Problems in zwei Teilprobleme
zurück
9x1- 4x2 < 36
x1+ 4x2 < 14
Seite 43
21 1 43
3
2
1
Zielfunktion:2x1 + 7x2
x1
x2
Gomory Schnitt117x1 + 108x2 < 788
zurück
9x1- 4x2 < 36
x1+ 4x2 < 14
Seite 44
21 1 43
3
2
1
Zielfunktion:2x1 + 7x2
x1
x2
Ziel: Finde eine Beschreibung der konvexen Hülle der ganzzahligen Lösungen
Zielfunktion:2x1 + 7x2 =25
zurück
9x1- 4x4 < 36
x1+ 4x4 < 14
Seite 45
THE END
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