Stahlbau Grundlagen
Der Grenzzustand der Stabilität: Einzelstab- und Systemknicken
Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka
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Eine Dachscheibe wird zum statischen System mit Lasten
Einführung
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Ein möglicher Grenzzustand ist Einzelstabknicken
Einführung
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Beobachtung im Versuch
Einführung
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Stabilität ist Gleichgewicht im Nachbarzustand !!
Annahmen der elastischen Stabilitätstheorie in der Baustatik:
Geometrie:
Werkstoff: linear elastisch:
Gleichgewicht: Formulierung am System im Nachbarzustand: v ist sehr klein und unbestimmt
Elastisches Einzelstabknicken Einführungsbeispiel: starrer Stab mit Drehfeder
( )( )( ) ϕ=ϕ
=ϕϕ=ϕ
tan1cos
sin
ε⋅=σ E
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Einführungsbeispiel: Starrer Stab mit Drehfeder
Elastisches Einzelstabknicken
1. Lösung (Triviallösung): 2. Lösung (Knicklast):
Werkstoff:
Geometrie: lv ⋅ϕ=
ϕ⋅= ϕϕ cM
GGW im Nachbarzustand:
( )ϕϕ −⋅⋅ϕ=⇔−⋅=⇔=∑ clN0MvN00M
0=ϕ
crNl
cN == ϕ
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Knicklast der Kragstütze (Eulerfall 1)
Elastisches Einzelstabknicken
Gleichgewicht im Nachbarzustand:
Elastizitätstheorie:
Homogene DGL II. Ordnung.
( ) ( )xMxwN0 0M −⋅=⇒=∑
( ) ''wEIxM ⋅−=
wNwEI0 '' ⋅+⋅=⇒
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Lösung der homogenen DGL:
Eigenwert:
Lösungsansatz:
Einarbeitung der Randbedingungen:
Elastisches Einzelstabknicken
0wEIwN '' =⋅+⋅
0wL
w EI
LN2
2''
22 =⋅
ε+
⋅=ε
⋅ε⋅
ε⋅−
⋅ε⋅
ε⋅=
⋅ε⋅
ε⋅−
⋅ε⋅
ε⋅=
⋅ε⋅+
⋅ε⋅=
Lxcos
LC
Lxsin
LCw
Lxsin
LC
Lxcos
LCw
LxcosC
LxsinCw
2
2
22
2
1''
21'
21
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )ε⋅⋅ε
=⇒≡
ε=⇒ε⋅=⇒≡
=⇒≡
cosCL
0 0Lw
sinfC sinCf fLw
0C 00w
1'
11
2
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1. Lösung (Triviallösung): 2. Lösung für Knickbedingung:
hier: β = 2,0
Elastisches Einzelstabknicken
Knicklast:
Knicklänge:
Knicklängenbeiwert:
( ) ( )
( )ε⋅ε⋅=
ε⋅ε
⋅ε
=
cotLf0
cossin
fL
0 ( )ε=sin
fC1
0=ε
( ) ;...2
5;2
3;2
0cot π⋅π⋅π=ε⇒=ε
222
2
cr LEI
L4EIN
EINL
2 ε⋅=
⋅π⋅
=⇒⋅=π
=ε
2cr
2
crEIN
lπ⋅
=
Lcr ⋅β=l
επ
=β
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Elastisches Einzelstabknicken - Knickformen
Hinweis: Knickformen sind Schwingungsformen sehr ähnlich, da diese ebenfalls Eigenformen einer DGL 2. Ordnung sind. Schwingungen kann man sich meist gut vorstellen, deshalb auch Knickformen!
1.Knickform
maßgebend, da kleinste Knicklast!
2.Knickform
3.Knickform
Variable Knickform
⋅ε⋅+
⋅ε⋅=
LxcosC
LxsinCw 21
( ) 0C , sin
fC :mit 21 =ε
=
( )
ε
⋅ε
⋅=sin
Lxsin
fw
( )L2LL2
EIN
1,cr
2
2
1,cr
⋅=⋅π⋅
= ( )L66,0LL66,0
EIN
2,cr
2
2
2,cr
⋅=⋅π⋅
= ( )L4,0LL4,0
EIN
3,cr
2
2
3,cr
⋅=⋅π⋅
=
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Roik [1]
Die Eulerfälle des Knickens
crNcrl1
2 crl
Der Knicklängenbeiwert β gestattet es, ein konkret vorliegendes Knickproblem auf das Knickproblem eines Ersatzstabes zurückzuführen. Als Ersatzstab wird der Eulerfall 2 herangezogen, bei dem β = 1,0 ist, also lcr = L.
cot
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Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Beispiel: Hallenrahmen
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Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Antimetrisch Symmetrisch
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Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
1. Knickform - antimetrisch
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2. Knickform - symmetrisch
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
1. Knickform - antimetrisch
Normalkraftverformungen bei Biegegliedern werden hier vernachlässigt, da sie viel kleiner als die Biegeverformungen sind.
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Vereinfachtes System zur Berechnung der 1. Knickform
Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen.
Roik [1]
Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.B. mit Arbeitsgleichung:
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Beispiel: Hallenrahmen
( ) ∫∫ ⋅⋅==ϕ⇒⋅⋅⋅=ϕL
2
LdxM
EI11M dxMM
EI1
bEI31c
EI3b1b
31
EI1 R
R
2
R
⋅=
ϕ=⇒
⋅=⋅⋅⋅=ϕ⇒ ϕ
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Vereinfachtes System zur Berechnung der 2. Knickform
Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen.
Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.B. mit Arbeitsgleichung:
Roik [1]
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Beispiel: Hallenrahmen
( ) ∫∫ ⋅⋅==ϕ⇒⋅⋅⋅=ϕL
2
LdxM
EI11M dxMM
EI1
bEI1c
EIb1b
EI1 R
R
2
R=
ϕ=⇒=⋅⋅=ϕ⇒ ϕ
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Roik [1]
Typische Knickformen und Rückführung auf Einzelstäbe mit Endfedern bei Rahmen:
Die meisten üblichen Stabtragwerke
lassen sich auf den Einzelstab mit
Endfedern zurückführen, der somit
als „Grundsystem“ für das Systemknicken angesehen werden kann. Für seine „Grundfälle“ gibt es analytische Lösungen.
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
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GGW am unteren Teilsystem:
Elastizitätstheorie:
Inhomogene DGL II. Ordnung:
Allgemeiner Lösungsansatz:
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Lösung für den Grundfall mit 1 Drehfeder unten, 1 Wegfeder oben:
ϕ⋅−⋅⋅−⋅=⋅=
ϕ∑∑
cxfcwNM :MfcQ :H
w
w
''wEIM ⋅−=
( )
xM
w'' cxfcwNwEI ϕ⋅+⋅⋅=⋅+⋅ ϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )EIN :mit ...xM1xM1xM1xM
N1xcosCxsinCw 2
ungenentwicklTaylorreih als lLösungstei partikular
''''''6
''''4
''2
lLösungstei ogenerhom
21 =α
−+
α−
α−
α−⋅−⋅α⋅+⋅α⋅=
( ) ( )Nc
xNcfxcosCxsinCw w
21ϕ⋅ϕ
+⋅⋅
+⋅α⋅+⋅α⋅=
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4 Unbekannte erfordern 4 Randbedingungen:
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
( )
( ) ( ) ( )
( )
0cLfcfN :0M .4Ncf0CC :0w .3
fNc
LNcfLcosCLsinC :fLw .2
0Nc
0f1C0C :00w .1
w0
w21
'
w21
21
=⋅ϕ+⋅⋅+⋅−=
ϕ=⋅+⋅α⋅−α⋅ϕ=
=⋅ϕ
+⋅⋅+⋅α⋅+⋅α⋅=
=⋅ϕ
+⋅+⋅+⋅=
ϕ
ϕ
ϕ
∑
( ) ( )
L L EI
Lcc EI
Lcc :nAbkürzunge
0f
C
C
c11c100
1c10
c11c1cossin
c1010
0cA
3w
w
2
1
2w2
w2
2w2
2
⋅α=ε⋅ϕ=ϕ
⋅=
⋅=
=
ϕ
⋅
⋅ε
−⋅ε
−⋅ε
ε
⋅ε
−⋅ε
εε
⋅ε
=⋅
⊗
⊗ϕ⊗ϕ
⊗⊗ϕ
⊗
⊗
⊗ϕ
⊗
⊗ϕ
Homogene Lösung:
Knickbedingung:
Knicklängenbeiwert : für Eulerfall 2
( ) 0Adet =
( )⊗ϕ
⊗ϕ ε−+
ε=
εε
c1
1ctan 2
2
επ
=β
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Petersen [4]
Elastisches Systemknicken – richtungstreue Systeme
1.
2.
3.
Damit wird das Grundsystem für das Systemknicken durch den Eulerfall 2 ersetzt und der Eulerfall 2 zum generellen „Ersatzstab“.
Die wichtigsten Grundfälle findet man grafisch aufbereitet in Diagrammen zur Ermittlung von β, zum Beispiel:
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Bei bestimmten Systemen treten im Nachbarzustand systembedingte zusätzliche Abtriebskräfte auf, welche die Knicklast beeinflussen.
verkleinert Abtrieb steigert Knicklast
steigert Abtrieb verringert Knicklast
Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme
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Beispiel: Längswandverband der Halle
Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme
Ermittlung der Abtriebskraft Hstab,i
Bei mehreren zu stabilisierenden Stützen
iii,Stab
ii,StabiLager unteres
LfFH
0LHfF :0M
⋅=
=⋅−⋅=∑
∑∑ ∑ ⋅=⋅==i
i
iii,Stabres,Stab L
FfLfFHH
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Beispiel: Längswandverband der Halle
Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme
Länge a der Pendelstütze:
Pol
Grundfall 1 Beispiel: Aussteifung der Längswand durch biegesteifen Rahmen
Grundfall 2
∑
∑
∑
=
=⋅−⋅
=
i
i
i
i
LF
Pa
0LFf
afP
0H
PPP mit 21 =+
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Ableitung der Knickbedingung
Biegemomente im Nachbarzustand:
Elastizitätstheorie:
Lösungsansatz:
Der poltreue Ersatzstab
Pol ( )
⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅=
aL211fNx
afNwNxM
Rcr
'''wEIM ⋅−=
EIN2 =α
⋅+⋅⋅α+⋅⋅α−=⋅α+
aL211fx
afww
Rcr222''
( ) ( )
⋅+⋅+⋅−⋅α⋅+⋅α⋅=
aL211fx
afxcosCxsinCw
Rcr
21
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Ableitung der Knickbedingung
Der poltreue Ersatzstab
Pol
Randbedingungen: ( )( )( ) fLw :3.Gl
00w :2.Gl
00w :1.Gl
'
'
=
=
=
( ) ( )
0
f
C
C
0LcosLsina
101aL21110
0cA
2
1
Rcr
=
⋅
⋅α⋅αα⋅
−
⋅+
=⋅
Knickbedingung mit: επ
=β⋅α=ε L
( )RcrL21
a1
1tan
⋅+
=ε
ε
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Abminderung von Ncr Erhöhung von Ncr
Gefährlicher Bereich!
Der poltreue Ersatzstab
Die Knickbedingung lässt sich in Abhängigkeit der Längenverhältnisse a / graphisch darstellen: crl
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Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu:
Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme
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Abschätzung der richtungstreuen Knicklänge mit Grundfall 2 (poltreue Knicklänge des Rahmens):
Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu:
Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme
! m 20L
0,43,2 :
3121L21a
m 12Lm 10 :L
Pcr
Rcr
Rcr
Rcr
≥⇒
≤β≤β⇒
−≈⋅
≤≤
crL
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Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
schlanke Stütze
schlanke Stütze
crL
N
crL
crL
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Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
schlanke Stütze
schlanke Stütze
crL
N
crL crL
mittelschlanke Stütze
schlanke Stütze
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Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
mittelschlanke Stütze
N
crL
mittelschlanke Stütze
schlanke Stütze
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Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
mittelschlanke Stütze
N
crL
gedrungene Stütze
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Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
gedrungene Stütze
N
mittelschlanke Stütze
schlanke Stütze
crL
gedrungene Stütze
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Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
gedrungene Stütze
N
mittelschlanke Stütze
schlanke Stütze
crL
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Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
schlanke Stütze
mittelschlanke Stütze
gedrungene Stütze
crL
gedrungene Stütze
mittelschlanke Stütze
schlanke Stütze
N
crL
crL
crL
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Normierte Knickspannungskurven nach DIN EN 1993-1-1 (6.3.1)
DIN EN 1993-1-1 (Bild 6.4)
Normierte Größen:
Ersatzstabverfahren
Abminderungsfaktor
bez. Schlankheitsgrad
Trägheitsradius
Bezugsschlankheitsgrad
Zuordnung der Querschnittformen zu den Knickspannungskurven nach DIN EN 1993-1-1 (6.3.1.2)
Ablesung oder aus DIN formelmäßig
Tab. 6.2
y1
1
cr
pl
pl
fE
AIi
:mit
iL
NN
NN
⋅π=λ
=
λ⋅==λ
=κ
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Reine Normalkraft – Ablauf des Verfahrens
2. Festlegung der maßgeblichen Knickspannungskurve und Ermittlung des Abminderungsfaktors
1. Ermittlung der Knicklänge Lcr = β ·L
Ersatzstabverfahren
3. Nachweis:
χ
χ
λ
für Querschnittsklasse 1-3
1
cr
pl iL
NN
λ⋅==λ
AA 0,1fA
Neff
myeff
Ed
1
=≤γ⋅⋅χ
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[1] Roik – Vorlesungen über Stahlbau
Verlag Ernst und Sohn, 2. überarbeitete Auflage, 1983
[2] DIN EN 1993-1-1:
Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten
Beuth Verlag, 2005
[3] Petersen – Stahlbau
Vieweg, 3. Auflage, 2001
[4] Petersen – Statik und Stabilität der Baukonstruktionen
Vieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982
[5] Lindner und Gietzelt - Zweiachsige Biegung und Längskraft – ein ergänzter Bemessungsvorschlag
Stahlbau 9/1985
[6] Roik und Kindmann - Das Ersatzstabverfahren – Eine Nachweisform für den einfeldrigen Stab bei planmäßig einachsiger Biegung mit Druckkraft
Stahlbau 12/1981
[7] Roik und Kindmann - Das Ersatzstabverfahren – Tragsicherheitsnachweise für Stabwerke bei einachsiger Biegung und Normalkraft Stahlbau 5/1982
Referenzen