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Das Standardmodell
Max Camenzind
Akademie HD
Mai 2015
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Berühmteste Formel Einsteins
E = g m0c²
E = 7 TeV (LHC)
m0c² = 938 MeV g = ?
v = ?
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Standard-Modell der Teilchenphysik
• 3 Arten von Elementarteilchen (eigentlich Feldern): Materieteilchen (Spin-1/2), Kraftteilchen (Spin-1) und das Higgs-Feld (skalar);
• Teilchen sind Feldanregungen Quantenfelder.
• Moderne Physik: Wechselwirkungen entstehen durch lokale Eich-Symmetrien – WW = Geometrie UY(1)xSUweak(2)xSUColor(3) sind realisiert; SU(4)? …
• Die Quantenchromodynamik und die Gluonen;
• Die elektroschwache Wechselwirkung, das Higgs-Feld, W- und Z-Bosonen;
• Tests am Standard-Modell und das Higgs-Teilchen
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Der lange Weg zum Standard-Modell
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Nobelpreise SM Elektromagnetismus: QED
• 1948 Tomonaga, Schwinger, Feynman: QED = Dirac + Maxwell 1965
Schwache Kraft: QFD
• 1934 Fermi: Theorie des Beta-Zerfalles 1938
• 1954 Yang, Lee: Eich-Theorie der Schwachen Wechselwirkung 1957
• 1971 Glashow, Salam, Weinberg: Theorie der Elektroschwachen WW 1979
• 1971 t’Hooft, Veltman: Electroweak Interaction ist “gute Theorie” 1999
• 1964 Englert, Brout, Higgs: Higgs-Theorie der Masse von W und Z 2013
Starke Kraft: QCD
• 1935 Yukawa: Phänomenologische Theorie der Kernkräfte 1949
• 1964 Gell-Mann: Symmetrien der Elementarteilchen: SU(3) 1969
• 1969 Friedman, Kendall, Taylor: Nachweis Quarks in ep Streuung 1990
• 1973 Politzer, Wilczek, Gross: Asymptotische Freiheit der QCD 2004
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Gründerväter der schwachen WW 1971 Ladung = schwacher Isospin
Steven Weinberg Sheldon Glashow Abdus Salam
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Gründerväter der starken WW 1972/73 Ladung = Farbe QCD
Hideki Yukawa Murray Gell-Mann Heinrich Leutwyler
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Heinrich Leutwyler, Uni Bern
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Gründerväter der starken WW Harald Fritzsch & Gell-Mann
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Materieteilchen Kraftteilchen Masse
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Schwacher
Isospin:
+1/2
+1/2
-1/2
-1/2
Farbe
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Gene-ration
Lepton Name
Lepton Symbol
Hyper-ladung
Schwache Ladung (I)
Flavour Quantenzahl
Ladung [e]
Masse eV/c²
1 Elektron Neutrino
ne -1 +1/2 Le = 1 0 < 0,01
1 Elektron e -1 -1/2 Le = 1 -1 511 keV
2 Myon Neutrino
nm -1 +1/2 Lµ = 1 0 < 0,01
2 Myon µ -1 -1/2 Lµ = 1 -1 105,6 MeV/c²
3 Tau Neutrino
tn -1 +1/2 Lt = +1 0 < 0,1
3 Tau t -1 -1/2 Lt = +1 -1 1777 MeV/c²
Quantenzahlen der Leptonen s=1/2 Gell-Mann Y: Hyperladung Ladung Q = I3 + Y/2
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3 Leptonen Generationen - Dubletten Ladung: Schwacher Isospin
+1/2
-1/2
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Gene-ration
Quark Name
Quark Isospin
Hyper-ladung
Schwache Ladung (I)
Flavour Quantenzahl
Ladung [e]
Masse MeV/c²
1 Up u 1/3 +1/2 Iz = 1/2 +2/3 2,3
1 Down d 1/3 -1/2 Iz = -1/2 -1/3 4,8
2 Charm c 1/3 +1/2 C = +1 +2/3 1275
2 Strange s 1/3 -1/2 S = -1 -1/3 95
3 Top t 1/3 +1/2 T = +1 +2/3 173.070
3 Bottom b 1/3 -1/2 B` = -1 -1/3 4660
Quantenzahlen der Quark-Teilchen Gell-Mann Y: Hyperladung Ladung Q = I3 + Y/2
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Kraftteilchen Spin = 1
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Standardmodell ist nun vollständig
Golden Era
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Standardmodell Teilchenphysik
Standardmodell ist eine Lagrangesche
Feldtheorie –
Wechselwirkungen werden durch
Eichsymmetrien erklärt –
Symmetriegruppen:
U(1)Y x SU(2)weak x SU(3)Color
Symmetrie der schwachen Wechselwirk-
ung ist gebrochen Higgs-Mechanismus.
Standardmodell hat 18 freie Parameter!
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Was ist eine Symmetrie ?
Symmetrien Transformationsgruppen
R.P. Feynman: „Ein Objekt heißt symmetrisch, wenn
man mit ihm etwas anstellen kann, ohne es am Ende,
wenn man fertig ist mit der Prozedur, geändert zu haben.“
Dreieck
Drehung
Dreieck
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Was ist Invarianz?
… eine Eigenschaft (hier Länge des Stabs) eines Objektes, die bei verschiedener Betrachtung (Rotation) unverändert bleibt.
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Teilchen sind Feldanregungen
• Die Schrödinger-Theorie ist nicht kausal und damit kein Kandidat für eine korrekte Beschreibung von Teilchen.
• Die Schrödinger-Wellenfunktion ist kein Feld wie etwa das elektromagnetische Feld! – beschreibt also das Elektron nicht korrekt.
• Bereits 1927 wurden die richtigen Feldtheorien gefunden – Klein-Gordon Feld und das Dirac-Feld.
• Eine konsistente Quantenfeldtheorie konnte jedoch erst in den 50er Jahren entwickelt werden.
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… Teilchen und Anti-Teilchen
Energie eines Teilchens lässt sich berechnen zu
nach Einstein 1905
positive und negative
Werte
normalerweise wird positive Lösung gewählt
Nach relativistischer Erweiterung von Quantenfeldtheorie
Dirac postuliert 1927 Antiteilchen, die dann
1933 gefunden wurden
(Positron = Anti-Elektron)
4222 cmcpE
Übernahme der Schrödinger-Quantisierung
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07.07.2003 Michael Vennemann
Klein-Gordon-Gleichung F(t,x) Spin-0 Teilchen: z.B. Higgs-Feld
Die Klein-Gordon Gleichung beschreibt nur Spin-0 Teilchen.
Zwar ergibt sich aus der Klein-Gordon-Gleichung die
richtige Beziehung zwischen Energie und Impuls,
nicht aber der Spin der untersuchten Teilchen Higgs-Feld.
Ebenso sind die Bindungsenergien im Wasserstoffatom falsch.
Fundamentale Materie (Quarks und Leptonen) besteht
jedoch aus Spin-1/2 Teilchen, sog. Fermionen!
Dirac-Gleichung.
Compton-Wellenlänge Elektron = 2,4x10-12 m 1/Compton-Wellenlänge
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Fundamentale Materie wird nicht durch Vektorfelder,
sondern durch sog. Spinoren beschrieben (Dirac 1927).
[Mathematisch sind dies Elemente des sog.
Spin-Bündels einer RaumZeit.]
Die Wellenfunktion Y ist ein Kolonnenvektor von
4 komplexwertigen Funktionen.
Diese Funktionen müssen die Energierelation von
Einstein erfüllen: E² - p²c² = m²c4.
Die Funktionen müssen sich richtig unter Lorentz-
Transformationen verhalten.
Y repräsentiert Fermionen und Anti-Fermionen.
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beschreibt freie Fermionen (Spin-1/2)
und Anti-Fermionen zur selben Masse m
( i gm Dm – mc/h ) Y = 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -i 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 i 0 0 0 0 -1
0 0 -1 0 0 -1 0 0 0 i 0 0 -1 0 0 0
0 0 0 -1 -1 0 0 0 -i 0 0 0 0 1 0 0
g0 = g1 = g2 = g3 =
1/c /t
/x
/y
/z
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Lagrange-Formalismus der Feldtheorie
Raumzeit: 3210
3210 xx,x,xx,x,x,xr,tx
,txμ μ
x(klassisches) Feld bzw. Feldkomponente:
Kontinuum verallgemeinerter Koordinaten x
zugehörige verallgemeinerte Geschwindigkeiten xμ
μ
3t
t,rdtdS
2
1
L(klassische) Wirkung:
Lagrangedichte
klassiche Lagrangefunktion L
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0Sδ Hamiltonsches Prinzip:
Euler-Lagrange-Gl.:
0
xxμ
μ
LL
Bemerkung: L Lorentz-Skalar E.-L.-Gl. automatisch
relativistisch kovariant!
Klein-Gordon-Gl.: 0xm2μ
μ
Beisp. 1: neutrales Teilchen, Spin 0 (Lorentz-Skalar), Masse m
reelles skalares Feld : 22
21μ
μ21 m L
kinetischer Term Massenterm
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Beisp.2: Spin-½ Teilchen (Lorentz-Spinor), Masse m
4-komponentiges komplexes Spinorfeld
(physikalisch: Teilchen & Antiteilchen, jeweils Spin up & down)
xψmγixψ μ
μ L
Dirac-Gleichung: 0xψmγi μ
μ
Freiheitsgrade: 4 Komponenten von
4 Komponenten von
ψ0γψψ
44
μννμμννμ Ig2γ,γγγγγ
44 Dirac-Matrizen:
0μ0μ γγγγ
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ψqψeQ ψ
Beisp.3: Geladenes Spin-½ Feld in WW mit em-Feld
4-Vektorpotential des e.m.-Feldes A,Aμ
4-komponentiges komplexes Spinorfeld , Ladung q
xψmDγixψ μ
μ L
kovariante Ableitung: μμμ ieQAD
Ladungszahl-Operator
Dirac-Gleichung: 0xψmDγi μ
μ
μ
μ
ψintintfrei Axψγxψq LLLL
e.m.-Dirac-Stromdichte μj
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• Die Phase eines Fermionen-Feldes hat
keine Relevanz [Transformation mit
Y exp(-ic(t,x))Y ] : Eichtransformation
• Maxwells Gleichungen bleiben invariant
unter der Transformation des Potenzials
Aµ Aµ - (1/e) ∂µc(t,x)
da der Feldtensor Fmn = ∂µAn - ∂nAµ
invariant bleibt.
• Die simultane Transformation lässt
damit die Lagrangedichte invariant.
Elektrodynamik als Eichtheorie
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• Die Invarianz der freien Feldgleichungen
unter lokalen Eichtransformationen
erzwingt die Einführung eines Vektor-
feldes Aµ(t,x), so dass die Feldgleichung
nun kovariant ausfällt.
• Diese Möglichkeit, eine Größe an jedem Ort unabhängig
festzulegen – zu eichen wie einen Maßstab – veranlasste
den deutschen Mathematiker Hermann Weyl in den
1920er Jahren zur Wahl des Namens Eichinvarianz bzw.
Eichsymmetrie, findet sich aber auch schon 1926 von
Wladimir Fock formuliert.
• wurde von Yang & Mills 1954 auf höhere
Gruppen (z.B. SU(2)) verallgemeinert.
Eichprinzip der modernen Physik
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Transformation Eichableitung:
Verwende Result in L’
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Idee der Hadronen-Symmetrie Hadronen bilden SU(2)-Multipletts Lagrange-Dichte global invariant
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SU(2) ist eine innere Symmetrie-Gruppe
Lässt Lagrange- Dichte invariant.
Pauli- Matrizen
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SU(N) : „Drehung“ als innere Symmetrie
Teilchen in N Variationen 1 , 2 , , N
1,,N innere
Ladungsquantenzahlen
1ψ2ψ
3ψ
4ψ
5ψ
6ψ7ψ8ψ
9ψ
Nψ
SU(N)
U bleibt normiert
Lagrange-Dichte invariant
U „Drehung” stetig mit
1 verbunden (keine
„Spiegelung”)
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Konstruktion einer SU(N) Eichtheorie
Spinor mit N Ladungszuständen, sog. Eich-Ladungen
xψ N
2
1
ψ
ψ
ψ
Jede der N
Komponenten ist ein
Spinor mit 4
Komponenten!
Freies Teilchen: xψmγixψ μ
μ L
Kurzschreibweise für
N
1k
k
μ
μk xψmγixψL
Forderung: Lokale SU(N)-Invarianz bei Komp-Drehung
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U(N): Gruppe der komplexen
unitären N x N Matrizen
SU(N): N x N Matrizen mit det U = 1
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det U = exp i (trH)
SU(n): det U = 1 tr H = 0
MatrizennnSU )1(:)( 2
U = exp (iH) H: Hermite n x n Matrix
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10
01
0
0
01
10321 ttt
i
i
[ t1 , t2 ] = 2i t3 , [ t3 , t1 ] = 2i t2
[ t2 , t3 ] = 2i t1
1
, exp2
U i I
α α τ
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000
010
001
000
00
00
000
001
010
321 i
i
010
100
000
00
000
00
001
000
100
654
i
i
200
010
001
3
1
00
00
000
87
i
i
Diagonale Matrizen: su(2) in su(3) Bestimmen die Eigenwerte: Isospin t3 & Hyperladung Y
Isospin su(2) Unter-Algebra
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SU(3) Strukturfunktionen
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Konsequenz der Symmetrie-Forderung:
U(1)-Symmetrie SU(N)-Symmetrie
1 Photon xAμ
ψDeψD
ψeψ
μ
Qxαi
μ
Qxαi
Eichtransformation:
N2 1 EichBosonen xAa
μ
μμμ ieQAD
Kovariante Ableitung:
a
μ
a
μμ AigTD
Kovariante Ableitung:
Ladungszahl-Operator
Generator der U(1)
Eichtransformation:
ψDeψD
ψeψ
μ
Txαi
μ
Txαi
Kopplungskonstante
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Yang-Mills-Eichtheorie zu SU(N)
νμa
νμ41
μ
μ xψγxψ aFFmIDi L
Quanten-Gauge-Dynamik
a
μμμ AigTID a
c
ν
b
μ
a
μν
a
νμ
a
μν AAfgAAF abc
a = 1,…,n=Dim(SU(N)): Eichfreiheitsgrade; SU(N): Mannigfalt.
n 8: Eichladung Farbe QuantenChromoDynamik 8 Gluonen
Eichtheorie der starken Wechselwirkung des Quarks
N x N Matrix
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Die vier fundamentalen WW der Natur resultieren aus Eichtheorien
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Ladung Innere Symmetrie
• Zu jeder Symmetrie gehört eine
erhaltene Ladung (Noether-Theorem):
• Phasensymmetrie des Dirac-Spinors:
elektrische Ladung (bzw. Hyperladung)
• SU(2) Symmetrie: schwacher Isospin
• SU(3) Farbsymmetrie: starke Ladung
• Gibt es weitere innere Symmetrien?
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Wechselwirkung =
lokale Eich-Symmetrie Konstruktion: Lagrangefunktion ist
invariant unter lokalen Eichtrans-
formationen, die eine Gruppe bilden:
Elektromagnetismus : U(1) Phasentrafo
Schwache WW : SU(2) schwacher Isospin
Starke WW : SU(3) Farbtrafo
GUT-WW : SU(8) Grand Unification
Gravitation : Lorentz-Gruppe SO(1,3)
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QElektrodynamik: U(1)-Eichtheorie
Y(x´) = exp[ia(x)] Y(x)
x
x´
Camenzind
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q1
q2
q3
Y = Y(x) U(x) Y(x) Lokale Eichsymmetrie
(„Natur nur Farb-invariante
Zustände beobachtet“)
Lagrangedichte bleibt
invariant.
q sind Quarkfelder mit
Farbladung SU(3)
spezielle unitäre Gruppe
Rotation im komplexen C³
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Starke WW SU(3)-Eichtheorie
x x´
Camenzind
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Gell-Mann su(3)-Matrizen: Basis der 3 x 3 spurfreien Matrizen Deshalb existieren 8 Gluonen
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Starke WW
Farbe SU(3) Schwache WW
Isospin SU(2)
Hyperladung
Phase U(1)
Starke & schwache Wechselwirkung
g: Kopplungskonstanten
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Das QCD Vakuum: Volumen der Box ist 2,4 x 2,4 x 3,6 fm, könnte
gerade einige Protonen fassen. Auch im Vakuum entstehen und
vergehen chromo-elektrische und chromo-magnetische Felder.
Derek Leinweber/Adelaide
Framerate: 1024 fps Box:
2,4x2,4x3,6 fm
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The Nobel Prize in Physics 1965 - QED
Richard P. Feynman * 1918 - 1988
The Nobel Prize in Physics 1965 was
awarded to Richard Feynman, Sin-Itiro
Tomonaga & Julian Schwinger
(fundamental paper: 1948!)
"for their fundamental work in quantum
electrodynamics, with deep-ploughing
consequences for the physics
of elementary particles".
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The Nobel Prize in Physics 1979 - QFD
Sheldon Glashow, Abdus Salam, Steven Weinberg
The Nobel Prize in Physics 1979 was
awarded
"für die Formulierung der Theorie der
Elektro-Schwachen Wechselwirkung".
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The Nobel Prize in Physics 1999 - Eich
Gerardus t’Hooft Martin Veltman
The Nobel Prize in Physics 1999 was
awarded
"for elucidating the quantum structure
of electroweak interactions in physics".
![Page 59: Standardmodell - ZAH, Landessternwarte Königstuhl · Fundamentale Materie wird nicht durch Vektorfelder, sondern durch sog. Spinoren beschrieben (Dirac 1927). [Mathematisch sind](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040700/5d52f46988c9931f2f8b5c38/html5/thumbnails/59.jpg)
The Nobel Prize in Physics 2004 - QCD
David J. Gross, H. David Politzer und Frank Wilczek
The Nobel Prize in Physics 2004 was
awarded
"für die Entdeckung der asymptotischen
Freiheit in der Theorie der Starken
Wechselwirkung der Quarks (QCD)".
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The Nobel Prize in Physics 2013 – Higgs
Francois Englert (1932) & Peter Higgs (1929)
![Page 61: Standardmodell - ZAH, Landessternwarte Königstuhl · Fundamentale Materie wird nicht durch Vektorfelder, sondern durch sog. Spinoren beschrieben (Dirac 1927). [Mathematisch sind](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022040700/5d52f46988c9931f2f8b5c38/html5/thumbnails/61.jpg)
Materieteilchen Kraftteilchen Masse