Statistik II fur BetriebswirteVorlesung 11
Dr. Andreas Wunsche
TU Bergakademie FreibergInstitut fur Stochastik
07. Januar 2019
Dr. Andreas Wunsche Statistik II fur Betriebswirte Vorlesung 11 Version: 18. Dezember 2018 1
t−Test bezuglich der ganzen Regressionsfunktion
I Hypothesen: H0 : dTa = c , HA : dTa 6= c
mit gegebenem Vektor d und reeller Zahl c .
I Testgroße: T =dT a− c√
s2RestdT (FTF )−1d
.
Diese Testgroße ist unter H0 t−verteilt mit n − r Freiheitsgraden.
I Kritischer Bereich zum Niveau α :K = {t ∈ R : |t| > tn−r ;1−α/2 } .
I Setzt man insbesondere d = f (x) fur einen bestimmten Vektor xder Regressoren, so kann man damit testen, ob der Wert derRegressionsfunktion f (x) = aT f (x) an der Stelle x signifikantvon c abweicht.
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Beispiel 7.3: Test auf optimale Skalenelastizitat
I Ein Produktionsprozess mit den Produktionsfaktoren xi werdedurch die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion beschrieben:
y = eβ0 xβ11 · . . . · xβkk .
I Durch die Variablentransformation y = ln y , xi = ln xi , i = 1, ..., k ,erhalt man die Beziehung y = β0 + β1x1 + . . .+ βkxk .
I Die Großen β1, . . . , βk sind die Produktionselastizitaten undε = β1 + . . .+ βk ist die Skalenelastizitat. Eine Steigerung derProduktionsfaktoren um a % bewirkt dann eine Steigerung der
Produktionsmenge von y auf y ·(
1 +a
100
)ε.
I Dann interessiert die Hypothese H0 : ε = β1 + . . .+ βk = 1 (esliegen keine positive oder negative Skaleneffekte vor).
I Dazu verwendet man den Test von der vorigen Folie mitd = (0, 1, 1, . . . , 1)T und c = 1 .
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F−Test zur Modelluberprufung
I Allgemein gilt, dass bei großen Werten der Restvarianz (derRestquadratsumme) das gewahlte Modell schlecht ist.
I Ist eine gute Anpassung aber moglich, dann interessiert oft dieFrage, ob auch schon ein
”kleineres“ Modell, d.h. ein Modell mit
einer geringeren Anzahl von Ansatzfunktionen adaquat ist. Dieseskann fur ein gewahltes
”großes“ Modell (rg Ansatzfunktionen,
Restquadratsumme SSRg ) und ein gewahltes”kleines“ Modell (rk
Ansatzfunktionen, Restquadratsumme SSRk) mit Hilfe einesF−Tests uberpruft werden.
I Hypothesen: H0 : kleines Modell ist ausreichend ,HA : kleines Modell ist nicht ausreichend .
I Testgroße: T =n − rgrk
SSRk − SSRg
SSRg.
I Kritischer Bereich zum Niveau α :K = {t ∈ R : t > Frk ;n−rg ;1−α } .
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Beispiel 7.4 Produktionsmenge und Gesamtkosten
I Daten aus Bleymuller et al, Statistik furWirtschaftswissenschaftler, Aufgabe 24.3 .
I i Beobachtungszeitraumxi Produktionsmenge (in Tsd. Stuck)yi Gesamtkosten (in Tsd. e)
i 1 2 3 4 5
xi 3.2 4.1 10.7 8.7 6.5
yi 32.2 32.7 70.1 48.2 38.6
i 6 7 8 9 10
xi 9.4 11.2 1.4 6.0 4.2
yi 55.4 77.2 24.3 37.5 34.0
I Gesuchte Regressionsfunktion: y(x) = a1 + a2x + a3x2 + a4x
3
bzw. entsprechendes Polynom 2. Grades .
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Statgraphics fur Beispiel 7.4 mit Polynom 2. Grades
Polynomial Regression - Gesamtkosten versus Produktionsmenge Dependent variable: Gesamtkosten (Tsd. Euro)
Independent variable: Produktionsmenge (Tsd. Stück)
Order of polynomial = 2
Standard T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
CONSTANT 29,8442 4,73334 6,30509 0,0004
Produktionsmenge -1,88066 1,6551 -1,13628 0,2932
Produktionsmenge^2 0,519501 0,123424 4,20907 0,0040
Analysis of Variance
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
Model 2669,88 2 1334,94 121,06 0,0000
Residual 77,1925 7 11,0275
Total (Corr.) 2747,08 9
R-squared = 97,19 percent
Standard Error of Est. = 3,32077
Polynomial Regression - Gesamtkosten versus Produktionsmenge Dependent variable: Gesamtkosten (Tsd. Euro)
Independent variable: Produktionsmenge (Tsd. Stück)
Order of polynomial = 3
Standard T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
CONSTANT 13,779 1,50202 9,17365 0,0001
Produktionsmenge 9,69164 0,916095 10,5793 0,0000
Produktionsmenge^2 -1,66259 0,163631 -10,1607 0,0001
Produktionsmenge^3 0,116513 0,00864388 13,4793 0,0000
Analysis of Variance
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
Model 2744,61 3 914,869 2224,47 0,0000
Residual 2,46765 6 0,411275
Total (Corr.) 2747,08 9
R-squared = 99,9102 percent
Standard Error of Est. = 0,641307
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Polynom 2. Grades im Beispiel 7.4 (Statgraphics)
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Statgraphics fur Beispiel 7.4 mit Polynom 3. Grades
Polynomial Regression - Gesamtkosten versus Produktionsmenge Dependent variable: Gesamtkosten (Tsd. Euro)
Independent variable: Produktionsmenge (Tsd. Stück)
Order of polynomial = 2
Standard T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
CONSTANT 29,8442 4,73334 6,30509 0,0004
Produktionsmenge -1,88066 1,6551 -1,13628 0,2932
Produktionsmenge^2 0,519501 0,123424 4,20907 0,0040
Analysis of Variance
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
Model 2669,88 2 1334,94 121,06 0,0000
Residual 77,1925 7 11,0275
Total (Corr.) 2747,08 9
R-squared = 97,19 percent
Standard Error of Est. = 3,32077
Polynomial Regression - Gesamtkosten versus Produktionsmenge Dependent variable: Gesamtkosten (Tsd. Euro)
Independent variable: Produktionsmenge (Tsd. Stück)
Order of polynomial = 3
Standard T
Parameter Estimate Error Statistic P-Value
CONSTANT 13,779 1,50202 9,17365 0,0001
Produktionsmenge 9,69164 0,916095 10,5793 0,0000
Produktionsmenge^2 -1,66259 0,163631 -10,1607 0,0001
Produktionsmenge^3 0,116513 0,00864388 13,4793 0,0000
Analysis of Variance
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value
Model 2744,61 3 914,869 2224,47 0,0000
Residual 2,46765 6 0,411275
Total (Corr.) 2747,08 9
R-squared = 99,9102 percent
Standard Error of Est. = 0,641307
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Polynom 3. Grades im Beispiel 7.4 (Statgraphics)
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F−Test zur Modelluberprufung im Beispiel 7.4
I Mit Statgraphics geschatztes Regressionspolynom 3. Grades
y = 13.779 + 9.69164 x − 1.66259 x2 + 0.116513 x3
mit Restvariabilitat SSRg = 2.46765 .
I Mit Statgraphics geschatztes Regressionspolynom 2. Grades
y = 29.8442− 1.88066 x + 0.519501 x2
mit Restvariabilitat SSRk = 77.1925 .
I Wert der Testgroße t =10− 4
3· 77.1925− 2.46765
2.46765= 60.56 .
I Quantil der F−Verteilung F3;6;0.95 = 4.7571 .
I H0 :”kleines Modell (Polynom 2. Grades) ist ausreichend“ wird
abgelehnt.
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7.3. Variablenselektion
I Ziel: Mit moglichst wenig unabhangigen Variablen eine guteVorhersage der abhangigen Variable zu erzielen.
I Prinzip: Untersuche wie sich durch Weglassen einzelner Variablendas Bestimmtheitsmaß B verandert.
I Typische Selektionsprozeduren:I Ruckwartsverfahren ,I Vorwartsverfahren ,I Schrittweise Verfahren .
I Beachte : Es handelt sich um explorative Verfahren, diehauptsachlich der Modellbildung dienen.
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Beispiel 7.5 Arbeitsmotivation
Y : Motivation (Einschatzung der Arbeitsmotivation durch Experten)Einflußgroßen: Eigenschaften
I x1 Ehrgeiz (Fragebogen)
I x2 Kreativitat (Fragebogen)
I x3 Leistungsstreben (Fragebogen)
Einflußgroßen: Rahmenbedingungen
I x4 Hierachie (Position in der Hierachie des Unternehmens)
I x5 Lohn (Bruttolohn im Monat)
I x6 Arbeitsbedingungen (Zeitsouveranitat, Kommunikationsstrukturusw.)
Einflußgroßen: Inhalte der Tatigkeit
I x7 Lernpotential (Lernpotential der Tatigkeit)
I x8 Vielfalt (Vielfalt an Tatigkeiten)
I x9 Anspruch (Komplexitat der Tatigkeit)
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7.3.1 Ruckwartsverfahren
I Betrachte das vollstandige Modell (mit allen unabhangigenVariablen) und berechne das Bestimmtheitsmaß B.
I Entferne sukzessive diejenigen Variablen, die zu dem geringstenRuckgang des Bestimmtheitsmaßes fuhren wurden.
I Das Verfahren wird abgebrochen, falls sich bei dem Entfernen einerVariablen das Bestimmtheitsmaß
”signifikant“ verkleinert.
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Ruckwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS I
Eingegebene/Entfernte Variablena
Model
l
Eingegebene
Variablen Entfernte Variablen Methode
1 Anspruch, Lohn,
Kreativität,
Leistungsstreben,
Arbeitsbedingungen,
Vielfalt,
Lernpotential,
Hierarchie, Ehrgeizb
. Aufnehmen
2
. Arbeitsbedingungen
Rückwärts (Kriterium:
Wahrscheinlichkeit von F-Wert für
Ausschluss >= ,100).
3
. Lohn
Rückwärts (Kriterium:
Wahrscheinlichkeit von F-Wert für
Ausschluss >= ,100).
4
. Leistungsstreben
Rückwärts (Kriterium:
Wahrscheinlichkeit von F-Wert für
Ausschluss >= ,100).
5
. Anspruch
Rückwärts (Kriterium:
Wahrscheinlichkeit von F-Wert für
Ausschluss >= ,100).
a. Abhängige Variable: Motivation
b. Alle angeforderten Variablen wurden
eingegeben.
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Ruckwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS II
Modellübersicht
Model
l R R-Quadrat
Angepasstes
R-Quadrat
Standardfehler der
Schätzung
1 ,964a ,929 ,887 1,891
2 ,963b ,928 ,892 1,851
3 ,963c ,926 ,896 1,814
4 ,961d ,923 ,897 1,803
5 ,957e ,916 ,894 1,837
a. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Lohn,
Kreativität, Leistungsstreben, Arbeitsbedingungen, Vielfalt, Lernpotential,
Hierarchie, Ehrgeiz
b. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Lohn, Kreativität, Leistungsstreben,
Vielfalt, Lernpotential, Hierarchie, Ehrgeiz
c. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Kreativität, Leistungsstreben, Vielfalt,
Lernpotential, Hierarchie, Ehrgeiz
d. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Kreativität, Vielfalt, Lernpotential,
Hierarchie, Ehrgeiz
e. Prädiktoren: (Konstante), Kreativität, Vielfalt, Lernpotential, Hierarchie,
Ehrgeiz
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Ruckwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS III
ANOVAa
Modell Quadratsumme df
Mittel der
Quadrate F Sig.
1 Regression 707,309 9 78,590 21,972 ,000b
Residuum 53,651 15 3,577
Gesamtsumme 760,960 24
2 Regression 706,120 8 88,265 25,752 ,000c
Residuum 54,840 16 3,427
Gesamtsumme 760,960 24
3 Regression 705,000 7 100,714 30,596 ,000d
Residuum 55,960 17 3,292
Gesamtsumme 760,960 24
4 Regression 702,422 6 117,070 35,999 ,000e
Residuum 58,538 18 3,252
Gesamtsumme 760,960 24
5 Regression 696,852 5 139,370 41,306 ,000f
Residuum 64,108 19 3,374
Gesamtsumme 760,960 24
a. Abhängige Variable: Motivation
b. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Lohn, Kreativität, Leistungsstreben,
Arbeitsbedingungen, Vielfalt, Lernpotential, Hierarchie, Ehrgeiz
c. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Lohn, Kreativität, Leistungsstreben,
Vielfalt, Lernpotential, Hierarchie, Ehrgeiz
d. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Kreativität, Leistungsstreben, Vielfalt,
Lernpotential, Hierarchie, Ehrgeiz
e. Prädiktoren: (Konstante), Anspruch, Kreativität, Vielfalt, Lernpotential,
Hierarchie, Ehrgeiz
f. Prädiktoren: (Konstante), Kreativität, Vielfalt, Lernpotential, Hierarchie,
Ehrgeiz
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Ruckwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS IV
Koeffizientena
Modell
Nicht standardisierte
Koeffizienten
Standardisi
erte
Koeffiziente
n
t Sig. B
Standardfe
hler Beta
1 (Konstante) -3,842 5,052 -,760 ,459
Ehrgeiz ,193 ,081 ,337 2,381 ,031
Kreativität ,153 ,049 ,234 3,127 ,007
Leistungsstreben ,049 ,065 ,095 ,761 ,458
Hierarchie ,246 ,148 ,235 1,664 ,117
Lohn -,001 ,001 -,077 -,589 ,564
Arbeitsbedingungen -,031 ,054 -,045 -,576 ,573
Lernpotential ,165 ,098 ,199 1,683 ,113
Vielfalt ,206 ,052 ,354 3,973 ,001
Anspruch ,053 ,058 ,124 ,920 ,372
2 (Konstante) -4,737 4,706 -1,007 ,329
Ehrgeiz ,187 ,079 ,326 2,376 ,030
Kreativität ,157 ,048 ,239 3,285 ,005
Leistungsstreben ,050 ,063 ,096 ,790 ,441
Hierarchie ,240 ,144 ,228 1,660 ,116
Lohn -,001 ,001 -,073 -,572 ,575
Lernpotential ,157 ,095 ,190 1,655 ,117
Vielfalt ,205 ,051 ,352 4,040 ,001
Anspruch ,052 ,057 ,121 ,914 ,374
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Ruckwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS V
3 (Konstante) -7,154 2,027 -3,529 ,003
Ehrgeiz ,193 ,076 ,338 2,540 ,021
Kreativität ,159 ,046 ,244 3,431 ,003
Leistungsstreben ,055 ,062 ,105 ,885 ,389
Hierarchie ,172 ,081 ,164 2,113 ,050
Lernpotential ,142 ,089 ,171 1,588 ,131
Vielfalt ,206 ,050 ,355 4,168 ,001
Anspruch ,067 ,049 ,156 1,354 ,193
4 (Konstante) -7,065 2,013 -3,510 ,002
Ehrgeiz ,247 ,046 ,432 5,402 ,000
Kreativität ,156 ,046 ,238 3,382 ,003
Hierarchie ,185 ,080 ,176 2,314 ,033
Lernpotential ,137 ,088 ,166 1,551 ,138
Vielfalt ,201 ,049 ,346 4,117 ,001
Anspruch ,064 ,049 ,149 1,309 ,207
5 (Konstante) -6,761 2,036 -3,320 ,004
Ehrgeiz ,239 ,046 ,419 5,181 ,000
Kreativität ,146 ,046 ,223 3,158 ,005
Hierarchie ,218 ,077 ,208 2,839 ,010
Lernpotential ,217 ,066 ,262 3,305 ,004
Vielfalt ,228 ,045 ,392 5,037 ,000
a. Abhängige Variable: Motivation
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7.3.2 Vorwartsverfahren
I Bestimme diejenige unabhangige Variable, die mit der abhangigenVariable am starksten korreliert ist und berechne dasBestimmtheitsmaß B.
I Ist das Bestimmtheitsmaß B”signifikant“, wird diese Variable in das
Modell aufgenommen.
I Fuge sukzessive diejenigen Variablen zu dem Modell hinzu, die zudem großten Anstieg des Bestimmtheitsmaßes fuhren.
I Das Verfahren bricht ab, falls sich bei Hinzunahme einer neuenVariable das Bestimmtheitsmaß
”nicht signifikant“ vergroßert.
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Vorwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS I
Eingegebene/Entfernte Variablena
Model
l
Eingegebene
Variablen
Entfernte
Variablen Methode
1 Ehrgeiz .
Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert
für Aufnahme <= ,050)
2 Anspruch .
Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert
für Aufnahme <= ,050)
3 Kreativität .
Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert
für Aufnahme <= ,050)
4 Vielfalt .
Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert
für Aufnahme <= ,050)
5 Hierarchie .
Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert
für Aufnahme <= ,050)
a. Abhängige Variable: Motivation
Modellübersicht
Model
l R R-Quadrat
Angepasstes
R-Quadrat
Standardfehler
der Schätzung
1 ,708a ,501 ,479 4,065
2 ,863b ,744 ,721 2,973
3 ,906c ,820 ,795 2,552
4 ,944d ,891 ,869 2,039
5 ,955e ,913 ,890 1,869
a. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz
b. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch
c. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,
Kreativität
d. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,
Kreativität, Vielfalt
e. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,
Kreativität, Vielfalt, Hierarchie
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Vorwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS II
Eingegebene/Entfernte Variablena
Model
l
Eingegebene
Variablen
Entfernte
Variablen Methode
1 Ehrgeiz .
Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert
für Aufnahme <= ,050)
2 Anspruch .
Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert
für Aufnahme <= ,050)
3 Kreativität .
Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert
für Aufnahme <= ,050)
4 Vielfalt .
Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert
für Aufnahme <= ,050)
5 Hierarchie .
Vorwärts (Kriterium: Wahrscheinlichkeit von F-Wert
für Aufnahme <= ,050)
a. Abhängige Variable: Motivation
Modellübersicht
Model
l R R-Quadrat
Angepasstes
R-Quadrat
Standardfehler
der Schätzung
1 ,708a ,501 ,479 4,065
2 ,863b ,744 ,721 2,973
3 ,906c ,820 ,795 2,552
4 ,944d ,891 ,869 2,039
5 ,955e ,913 ,890 1,869
a. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz
b. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch
c. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,
Kreativität
d. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,
Kreativität, Vielfalt
e. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch,
Kreativität, Vielfalt, Hierarchie
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Vorwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS III
ANOVAa
Modell
Quadrat
summe df
Mittel der
Quadrate F Sig.
1 Regression 380,968 1 380,968 23,059 ,000b
Residuum 379,992 23 16,521
Gesamtsumme 760,960 24
2 Regression 566,456 2 283,228 32,035 ,000c
Residuum 194,504 22 8,841
Gesamtsumme 760,960 24
3 Regression 624,244 3 208,081 31,962 ,000d
Residuum 136,716 21 6,510
Gesamtsumme 760,960 24
4 Regression 677,797 4 169,449 40,751 ,000e
Residuum 83,163 20 4,158
Gesamtsumme 760,960 24
5 Regression 694,596 5 138,919 39,773 ,000f
Residuum 66,364 19 3,493
Gesamtsumme 760,960 24
a. Abhängige Variable: Motivation
b. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz
c. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch
d. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch, Kreativität
e. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch, Kreativität, Vielfalt
f. Prädiktoren: (Konstante), Ehrgeiz, Anspruch, Kreativität, Vielfalt, Hierarchie
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Vorwartsverfahren im Beispiel 7.5 in SPSS IV
a. Abhängige Variable: Motivation
Koeffizientena
Modell
Nicht standardisierte
Koeffizienten
Standardisierte
Koeffizienten
t Sig. B Standardfehler Beta
1 (Konstante) 9,088 2,406 3,778 ,001
Ehrgeiz ,404 ,084 ,708 4,802 ,000
2 (Konstante) ,063 2,642 ,024 ,981
Ehrgeiz ,320 ,064 ,560 4,983 ,000
Anspruch ,221 ,048 ,515 4,580 ,000
3 (Konstante) -2,101 2,380 -,883 ,387
Ehrgeiz ,319 ,055 ,558 5,776 ,000
Anspruch ,203 ,042 ,474 4,862 ,000
Kreativität ,183 ,061 ,279 2,979 ,007
4 (Konstante) -6,502 2,263 -2,873 ,009
Ehrgeiz ,253 ,048 ,442 5,286 ,000
Anspruch ,150 ,037 ,350 4,101 ,001
Kreativität ,192 ,049 ,293 3,908 ,001
Vielfalt ,190 ,053 ,327 3,589 ,002
5 (Konstante) -6,833 2,080 -3,285 ,004
Ehrgeiz ,271 ,045 ,474 6,076 ,000
Anspruch ,116 ,037 ,271 3,147 ,005
Kreativität ,177 ,045 ,271 3,903 ,001
Vielfalt ,181 ,049 ,311 3,706 ,001
Hierarchie ,181 ,083 ,173 2,193 ,041
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7.3.3 Schrittweise Verfahren
I Ruckwarts- und Vorwartsverfahren werden kombiniert!
I Man fuhrt ein Vorwartsverfahren durch, wobei in jedem Schrittuntersucht wird, ob bei Entfernen einer bereits aufgenommenenVariable das Bestimmtheitsmaß B signifikant abnehmen wurde.
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Bemerkungen
I Achtung: Verschiedene Verfahren liefern meistens verschiedeneErgebnisse.
I Im Beispiel 7.5 (Arbeitsmotivation)I Beim Ruckwartsverfahren sind beim Ergebnis als unabhangige
Variable Ehrgeiz, Kreativitat, Hierachie, Lernpotential und Vielfaltenthalten und das Bestimmtheitsmaß ist B = 0.916.
I Beim Vorwartsverfahren sind beim Ergebnis als unabhangige VariableEhrgeiz, Kreativitat, Hierachie, Anspruch und Vielfalt enthalten unddas Bestimmtheitsmaß ist B = 0.913.
I Im Beispiel 7.5 liefert das schrittweise Verfahren das gleicheErgebnis wie das Vorwartsverfahren.
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