Download - Statistik Lektion 3
StatistikLektion 3
Simultan fordelte stokastiske variable
Kontinuerte stokastiske variable
Normalfordelingen
Repetition En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S
(udfaldsrummet), der antager værdier på R. Diskret stokastisk variabel: Tælleligt antal værdier Sandsynlighedsfordeling: Tabel med ssh. for hvert x,
P(X = x) = P(x) ≥ 0. Kumulativ fordelings funktion Middelværdi
Varians Standard afvigelse
Lineær transformation:
xi
iPxXPxF )( )()(
x
xxPxE )()(
2222 )]([)(])[()( XEXEXEXV
)()( XVXSD
bXaEbaXE ][][ ][][ 2 XVabaXV
Simultan Sandsynlighedsfordeling
1.
2.
. og af værdier alle for yxyxP 0),( 1),(
yxyxP
og alle
y
yxPxPxXP alle
),()()(
x
yxPyPyXP alle
),()()(
(joint probability function)
Definition: Hvis X og Y er to diskrete stokastiske variable, så er P(x,y) =P(X=x,Y=y) en simultan sandsynligheds-funktion for X og Y, hvis
Definition: Den Marginale sandsynlighedsfordeling for hhv. X og Y er
Eksempel: Alder og Salg
Sammenhæng mellem aldersgruppe (X) og købsmønster (Y):
Aldergruppe (X)
Købs-mønster (Y)
1(16 til 25)
2(26 til 45)
3(46 til 65) P(y)
1 (køb) 0.10 0.20 0.10 0.40
2 (ej køb) 0.25 0.25 0.10 0.60
P(x) 0.35 0.45 0.20 1.00
Marginale fordeling af Y
Marginale fordeling af X
Betinget Sandsynligheder for SV For to diskrete stokastiske variable er den betingede
sandsynligheden for X=x givet Y=y givet ved
Eksempel: Betingede sandsynlighed for køb (Eksempel: Betingede sandsynlighed for køb (Y=1) givet kunde i aldergruppen 26 til 45 (X = 2).
Svar: P(X=2,Y=1) = P(2,1) = 0.20 og P(X=2) = 0.45
)(
),()|(
yP
yxPyYxXP
44.045.0
20.0)2|1( XYP
Uafhængighed
Eksempel: Er aldersgruppe og købsmønster uafhængige?
Svar:
Dvs. der er ikke uafhængighed.
Definition: To diskrete stokastiske variable X og Y er uafhængige hvis og kun hvis
for alle x og y, hvor P(x) og P(y) er de marginale sandsynligheds-funktioner.
)()(),( yPxPyxP
)2,3(10.012.060.020.0)2()3( YXPYPXP
Kovarians
X stokastisk variabel med forventet værdi μX
Y stokastisk variabel med forventet værdi μY
Kovariansen mellem X og Y er givet ved
Hvis X og Y har diskrete stokastiske variable med simultan sandsynligheds funktion P(x,y), så er kovariansen givet ved
))((),( YX YXEYXCov
x y
YX yxPyxYXCov ),())((),(
Middelværdi og Varians for Par af Stokastiske Variable Lad X være SV med forventet værdi mx og varians s2
X
Lad Y være SV med forventet værdi mY og varians s2Y
Da gælder
Eksempler: E[X+Y] = V[X+Y] = E[X-Y] = V[X-Y] =
cbacbYaXE YX ),(22222 YXCovabbacbYaXV XX
Regneregler for middelværdi og varians
)()()()(
)()()()(
22112211
2121
kkkk
kk
XEaXEaXEaXaXaXaE
XEXEXEXXXE
Middelværdien af en linearkombination af stokastiske variable X1,X2,…,Xk.
)()()()(
)()()()(2
2221
212211
2121
kkkk
kk
XVaXVaXVaXaXaXaV
XVXVXVXXXV
Hvis X1,X2,…,Xk er indbyrdes uafhængige, så:
Disse regler gælder for både diskrete og kontinuerte stokastiske variable
Bernoulli fordelingen Hvis et eksperiment består af et enkelt forsøg og forsøget
enten kan være en succes eller en fiasko, så kaldes forsøget for et Bernoulli forsøg
En binær stokastisk variabel X er en Bernoulli variabel med sandsynligheds-parameter p, hvis
Middelværdi og varians for en Bernoulli variabel: E(X) = E(X²) =
Hvis for eksempel p = 0,7: E(X) = V(X) =
E(X2) =
P(Succes) = P(X=1) = p og P(Fiasko) = P(X=0) = 1-p.
Mange forsøg…
Lad X1, X2,…, Xn være n uafhængige Bernoulli variable, alle med samme sandsynligheds-parameter p.
Husk: E(Xi) = p og V(Xi) = p(1-p)
Definer: X = X1+X2+…+Xn
Da gælder X ~ B(n,p) (X følger en binomial fordeling)
Middelværdi og varians for X E(X ) = E(X1+X2+…+Xn) =
V(X ) =V(X1+X2+…+Xn) =
(X = ”Antal successer”)
• Diskret stokastisk variabel: Tæller hændelser Har et tællelig antal af mulige værdier Har diskrete hop mellem
efterfølgende værdier Har målelige sandsynligheder for
hver enkelt værdi Sandsynlighed er højde
• En kontinuert stokastisk variabel: Måler (højde, vægt, hastighed, løn) Har et uendelig antal af mulige
værdier Går kontinuert fra værdi til værdi Har ingen målelig sandsynlighed
til hver individuel værdi Sandsynlighed er areal
For eksempel: Binomial n=3 p=.5
x P(x)0 0.1251 0.3752 0.3753 0.125
1.000
For eksempel:Det skraverede område angiver sandsynligheden for mellem 2 og 3 minutter.
Diskrete og kontinuerte stokastiske
Kontinuert Stokastisk Variabel og Sandsynlighedstæthedsfunktion
Tæthedsfunktionen f(x)
Arealet under kurven f(x) er 1
Sandsynligheden for X mindre end 3 er det røde areal
Kontinuert Stokastisk Variabel og Sandsynlighedstæthedsfunktion Definition: Lad X → R være en kontinuert stokastisk
variabel. f(x) er (sandsynligheds)tæthedsfunktionen for X hvis
xxf alle for 0)(
1)(
dxxf
adxxfaXP )()(
Dvs. arealet under kurven f(x) er 1
Dvs. sandsynligheden for X er mindre end a svarer til arealet under kurven til venstre for a
Dvs. kurven f(x) er aldring under x-aksen
Tæthedsfunktion og Kumulerede Fordelingsfunktion
F(3)
F(2)
Kumulerede fordelingsfunktion:
Bemærk: F(x) →0, når x → -∞F(x) →1, når x → ∞
P(X = x) = 0
)2()3(
)2()3(
)()32(3
2
FF
XPXP
dxxfXP
xdttfxXPxF )()()(
Middelværdi og Varians
Stok. Var: Diskret Kontinuert Regel Regel Middelværdi: E[ h(X) ] E[X2] Varians:
Bemærk: Integralerne kan typisk ikke ”udregnes”.
x
xxPXE )()(
dxxxfXE )()(
222 ][][])[()( XEXEXEXV
x
xPxhXhE )()())((
dxxfxhXhE )()())((
0)( xP
1)( x
xP 1)(
dxxf
0)( xf
x
xPxXE )()( 22
dxxfxXE )()( 22
Flere Regneregler Regneregler for middelværdi og varians er præcist som for
diskrete stokastiske variable. Antag at X er en kontinuert stokastisk variabel med
middelværdi m og varians s2. Da gælder
Eksempel: Standardisering:
babXaEbaXE ][][22 ][][ aXVabaXV
X
E
X
V
Uniform fordeling
uniform [a,b] tæthed:
1/(b – a) for a £ x £ b f(x)= 0 ellers
E(X) = (a + b)/2; V(X) = (b – a)2/12
bb1x
Hele arealet under f(x) = 1/(b – a) * (b – a) = 1.00
Arealet under f(x) fra a1 til b1 = P(a1£X £ b1) = (b1 – a1)/(b – a)
a1
Uniform [a, b] fordeling
f(x)
a
1/(b-a)
Uniform fordeling
uniform [0,5] tæthed:
1/5 for 0 £ x £ 5 f(x)= 0 ellers
E(X) = (0 + 5)/2; V(X) = (5 – 0)2/12
3x
Hele arealet under f(x) = 1/(5-0) * (5 – 0) = 1.00
Arealet under f(x) fra 1 til 3 = P(1£X £ 3) = (3 – 1)/(5 –0)
= 2/5 = 0,41
Uniform [a, b] fordeling
f(x)
1/5
50
Normal-fordelingen
Normal-fordelingen er en vigtig fordeling, blandt andet fordi mange andre fordelingen, kan approksimeres til den.
Desuden er mange teststørrelser normal-fordelte – kommer senere i kurset
Bland andre Carl F. Gauss (1777-1855) fandt frem til den, derfor kaldes den også den Gaussiske fordeling.
-4 -2 0 2 4
0.0
0.2
0.4
x
fun
ctio
n(x) d
no
rm
(x) (
x)
GaussGaussfordeling
Må ikke printes ;-)
Normal fordelingen Dens kendetegn er:
Klokkeformet og symmetrisk omkring dens middelværdi Middelværdi = median = toppunkt Den er karakteriseret ved en middelværdi m og varians s2
(eller standardafvigelsen σ). Notation: X~N(m,s2) betyder, at X følger en normal
fordeling med middelværdi μ og varians σ² Arealet under kurven indenfor zσ af middelværdien, er den
samme for enhver normal fordeling - uanset middelværdi og standard afvigelse.
Er uanset parametre værdier, defineret for alle x (dvs x kan antage værdier fra minus uendelig til plus uendelig)
Tæthedsfunktionen for normal-fordelingen:
50-5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
x
f(x)
Normal-fordelingen : = 0, = 1
Tæthedsfunktionen for normal-fordelingen
1415926537182818,2
2
1)(
2
2
2
)(
2
,πe
xexfx
og hvor
for
Eksempler på normal-fordelinger
σ = 1.0
σ = 2.0 σ = 0.5
μ = 0.0 μ = 1.0 μ = 2.0
Samme varians
Samme middelværdi.
Standardafvigelsen σ når X~N(μ,σ2) Cirka 68% af all observationer ligger indenfor en
standard afvigelse fra middelværdien
Cirka 95% af alle observationer ligger indenfor to standard afvigelser fra middelværdien
Cirka 99.7% af alle observationer ligger indenfor 3 standard afvigelser fra middelværdien
%68)( XP
%95)22( XP
%7,99)33( XP
2σ
3σ
σ
≈99,7%
≈95%
≈68%
Arealet under kurven indenfor kσ af middelværdien, er den samme for enhver normal fordeling, uanset middelværdi og standard afvigelse.
Standard normalfordelingen, er normalfordelingen med middelværdi μ = 0 og standard afvigelse σ = 1, Z~N(0,1²)
Standard normalfordelingen
543210- 1- 2- 3-4- 5
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
0 .0
Z
f(z)
Standard Normalfordeling
= 0
=1{
NB: En standard normalfordelt stokastisk variabel betegnes sædvanligvis Z.
Den kumulative fordelingsfunktion F(x) for standard normal fordelingen er tabellagt i Tabel 1 i Appendikset, side 837 for positive værdier af x.
Figuren viser
P(Z ≤ 1.21) = F(1.21)
Tabellen
P(Z≤1.21)
F(1.21)
F(z) = P(Z ≤ z)
Find P(Z < 1.21) vha. Tabelopslag
P(Z ≤ 1.21 ) = F(1.21) = 0.8869
88,69% Bemærk: Standard normalfordelingen Er kun tabellagt for z = 0.00 til 3.99.
Find P(Z < -1.76) Vi kan ikke slå F(-1.76)
op i tabellen… Da standard normal-
fordelingen er symmetrisk omkring nul:
Vi har også:
Dvs.
)76.1()76.1( ZPZP
P(Z ≥ 1.76)P(Z ≤ -1.76)
0392.09608.01
)76.1(1
)76.1(1)76.1(
F
ZPZP
%92.3)76.1( ZP
P(Z ≤ 1.76)
P(Z ≥ 1.76) Tabelopslag
Find P(1 ≤ Z ≤ 2) Der gælder
P(1 ≤ Z ≤ 2)P(Z ≤ 2)
P(Z ≤ 2)
1359.0
8413.09772.0
)1()2(
)1()2()21(
FF
ZPZPZP
Transformation til Standardnormal Efter en lineær transformation af normalfordelt stokastisk
variabel er stadig en normalfordelt stokastisk variabel. Lad X ~N(m,s2) og definer Y = aX + b, så gælder
E[Y] = aE[X] + b = am + b V[Y] = a2V[X] = a2s2 Y ~ N(am + b, a2s2)
Lad X ~N(m,s2) og definer Z = (X-m)/s2, så gælder E[Z] = 0 V[Z] = 1 Z ~ N(0,1)
Transformation: Eksempel Antag studerendes score til eksamen er normalfordelt med
middelværdi 60 og standardafvigelse 15. Dvs. score X ~ N(60,152) Spørgsmål: Hvor stor en andel af de studerende har en
score under 95? P(X ≤ 95) = ? Ide: Transformer problemet til et, der vedrører en standard
normal-fordelt stokastisk variabel.
Dvs. 99.01% af de studerende har en score under 95.
9901.0)33.2()33.2(15
6095
15
609595)95(
FZPZP
ZPX
PXP
Kumulative fordeling i R
For dem der foretrækker kommando-linjen i R
Antag X ~ N(2,32)
Vi kan finde den kumulerede sandsynlighed F(7) = P(X 7) vha. kommandoen
pnorm(x=7,mean=2,sd=3)
R har en standard rækkefølge til parametre, så man kan nøjes med at skrive
pnorm(7,2,3)