Stochastik mit dem GTR
• Beschreibende Statistik (Kennzahlen von Datenmengen, Regression, Korrelation)
• Simulationen – Modellbildung
• Wahrscheinlichkeitsberechnungen
• Verteilungen und deren Maßzahlen: Binomial- und Normalverteilung, Approximation
• Beurteilende Statistik: Testen von Hypothesen, Fehler 1. und 2. Art
• MARKOFF-Ketten
Elemente der Stochastik
Mathematik-Menü
Menü zur Listenbearbeitung
Statistik-Menü
Befehle Bedingungen
rand
rand(3) rand(10)>0.5
randInt(1,6)
randInt(1,6,300) randInt(1,6,300) = 1
Simulation mit Pseudozufallszahlen
Vorstellungen von Zufall entwickeln
Einen 100fachen Münzwurf simulieren ...
Simulation mit Pseudozufallszahlen
... und die Entwicklung der relativen Häufigkeiten darstellen ...
Simulation mit Pseudozufallszahlen
Das 300fache Würfeln simulieren ...
Simulation mit Pseudozufallszahlen
... und die Entwicklung der relativen Häufigkeiten darstellen ...
Simulation mit Pseudozufallszahlen
die Bestimmung der absoluten Häufigkeiten
automatisieren ...
Simulation mit Pseudozufallszahlen
Simulation zum 1/e - Gesetz
20faches Werfen eines Ikosaeders
2, 4, 6, 10, 12, 13, 14, 17 fehlen,
also 8 von 20 (40%)
P(bestimmte Augenzahl tritt nicht auf)
1/e 37%
Simulation mit Pseudozufallszahlen
Simulation zum 1/e - Gesetz
Zufallsregen auf 5x5 -Quadratgitter
P(ein Feld bleibt leer) 1/e 37%
Simulation mit Pseudozufallszahlen
Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die erzeugten Lottozahlen brauchbar?
Simulation mit Pseudozufallszahlen
Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Glückszahlen
Geburtstagsproblem (Lottoziehung mit Zurücklegen)
Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Geburtstage
Geburtstagsproblem
Faustregel: Hat der Zufallsversuch n mögliche Ergebnisse, dann benötigt man ca. 1,2*n Versuchsdurchführungen, damit die Wahrscheinlichkeit für mind. zwei gleiche Ergebnisse über 50% ist.
Modellierung von Zufallsversuchen vom Typ „Geburtstagsproblem“
Menü der Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeit für einen Lottogewinn
Hypergeometrische Verteilung
Am ersten Schultag werden 206 neue Schülerinnen und Schüler eingeschult.
Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass hierunter (k)ein Geburtstagskind ist (oder vielleicht sogar mehr als eins)?
Binomialverteilung
Binomialverteilung - Histogramme
Bedienungsfehler
Binomialverteilung
Große Stichprobenumfänge
Binomialverteilung
Simulation einer Binomialverteilung
Binomialverteilung - Simulation
Erwartungswert einer Binomialverteilung
Binomialverteilung - Erwartungswert
Kumulierte Binomialverteilung
Kumulierte Binomialverteilung
Viele Menschen leiden unter Bluthochdruck. Die Heilungswahrscheinlichkeit eines bestimmten Medikaments beträgt p = 0,8.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden von 72 Patienten
- weniger als 50 geheilt?
- mehr als 60 geheilt?
Kumulierte Binomialverteilung
Graphen der Größe des Displays anpassen
Binomialverteilung – Streuung um den Erwartungswert
Graphen der Größe des Displays anpassen
Binomialverteilung – Streuung um den Erwartungswert
Graphen der Größe des Displays anpassen
Wir beobachten: Mit wachsendem Stichprobenumfang n
nimmt die Breite der „Glocken“ mit dem Faktor n zu und die Höhe mit dem Faktor 1/n ab.
Binomialverteilung – Streuung um den Erwartungswert
n Breite Höhe
50 20 0,113
100 30 0,080
200 42 0,057
300 52 0,047
400 62 0,040
Man kann zeigen: Bei festem n ist die Breite der „Glocken“
proportional zu p(1-p).
Bei BERNOULLI-Versuchen konzentrieren sich die Ergebnisse auf eine Umgebung um den Erwartungswert = n p mit einem Radius von ungefähr 3 np(1-p).
np(1-p) ist gleich der Varianz der Zufallsgröße.
Binomialverteilung
Varianz – Nachweis der Formel np(1-p)
n = 50 ; p = 0,4 n = 100 ; p = 0,2 n = 200 ; p = 0,3
Binomialverteilung - Varianz
n = 200 ;
p = 0,3
Binomialverteilung - Normalverteilung
P(1-Umgebung) 0.68 P(2-Umgebung) 0.955
Binomialverteilung – sigma-Regeln
Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen von
Binomialverteilung – sigma-Regeln
P(1-Umgebung) 0.68 P(2-Umgebung) 0.955
Binomialverteilung – sigma-Regeln
Binomialverteilung – Approximation durch GAUSSsche Dichtefunktion
Binomialverteilung – Approximation durch GAUSSsche Dichtefunktion
Binomialverteilung – Approximation durch GAUSSsche Dichtefunktion
Bei dominanter Vererbung haben in der zweiten Tochtergeneration 75% der Nachkommen die erste Ausprägung und 25% die andere.
Ist bei einem vorliegenden Kreuzungsversuch mit n = 120 die MENDELsche Regel anwendbar?
95%-Umgebung um den Erwartungswert: = 120 0,75 = 90 ; = (1200,750,25) = 4,74
Entscheidungsregel: Verwirf die Hypothese p = 0,75 , falls X < 81 oder falls X > 99
Binomialtest Entscheidungsregel
Bei dominanter Vererbung haben in der zweiten Tochtergeneration 75% der Nachkommen die erste Ausprägung und 25% die andere.
Ist bei einem vorliegenden Kreuzungsversuch mit n = 120 die MENDELsche Regel anwendbar?
Binomialtest Entscheidungsregel
95%-Umgebung um den Erwartungswert: = 120 0,75 = 90 ; = (1200,750,25) = 4,74
Entscheidungsregel: Verwirf die Hypothese p = 0,75 , falls X < 81 oder falls X > 99
Binomialtest Entscheidungsregel
Angenommen, die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit ist tatsächlich p = 0,7.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird nicht erkannt, dass hier nicht die MENDELsche Regel zugrunde liegt?
P(Fehler 2. Art) = 0,759
Binomialtest Fehler 2. Art
Binomialtest Operationscharakteristik
In einer Stichprobe unter 1000 Frauen im Alter zwischen 18 und 20 Jahren fand man die o. a. Verteilung für die Körpergröße.
NormalverteilungBestimmung von Mittelwert und Stichprobenstreuung
Lässt sich die empirische
Verteilung durch eine
Normalverteilung
beschreiben?
NormalverteilungApproximation durch Normalverteilung
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Körpergröße mindestens 1,60 m und höchstens 1,70 m?
gesuchte Wahrscheinlichkeit: 56, 3 %
NormalverteilungBerechnung von Wahrscheinlichkeiten
Von 100 neugeborenen Mädchen wurde das Körpergewicht bestimmt. Weisen die Daten darauf hin, dass das Körpergewicht von Neugeborenen normalverteilt ist?
NormalverteilungÜberprüfung auf Normalverteilung
ohne / mit Diagnose
NormalverteilungÜberprüfung auf Normalverteilung
Ausgehend von den Wählerwanderungen zwischen vorletzter und letzter Bundestagswahl gaben wir eine Prognose für den 18. September 2005 ab . . .
SPD / Grüne ?
CDU/CSU/FDP ?
Sonstige Parteien ?
Die ultimative Wahlprognose
Wählerwanderungen 1998 2002
1998 2002
SPD / Grüne
CDU/CSU / FDP
andere Nichtw. / Erstw.
gesamt
SPD / Grüne 72,7% 7,0% 19,0% 19,3%
34,7%
CDU/CSU / FDP 12,0% 76,5% 13,8% 17,9%
33,8%
andere2,3% 1,3% 37,4% 3,2%
5,2%
Nichtw. / gest. 12,9% 15,2% 29,8% 59,6%
26,3%
gesamt 100% 100% 100% 100% 100%
33,66% / 73,16% = 46,0%
35,45% / 73,16% = 48,5%
Übergangsmatrix Startvektor Produkt
Übergangsmatrix
Ausgehend von den Wählerwanderungen zwischen vorletzter und letzter Bundestagswahl ergab sich folgende Prognose:
SPD / Grüne 46,0%
CDU/CSU/FDP 48,5%
Sonstige Parteien 5,5%
Die ultimative Wahlprognose
Niederlassung eines Autovermieters: A, B, C
80% der Fahrzeuge, die am Morgen in A stehen, stehen am Abend wieder in, je 10% sind von A nach B bzw. C gewechselt.
Nach B kehren 60% der ausgeliehenen Fahrzeuge wieder zurück; je 20% wechseln nach A oder nach C.
Von Niederlassung C aus wechseln erfahrungsgemäß 20% nach A und 10% nach B.
Wie viele Fahrzeuge befinden sich an den drei Niederlassungen nach 1, 2, ..., 10, ...20 Tagen, wenn am Anfang je ein Drittel an jeder der drei Niederlassungen vorhanden war?
Gibt es eine optimale Aufteilung der Fahrzeug-Bestände?
Matrixpotenzen
Matrixpotenzen
„Elemente der Mathematik – Gesamtband
Mathematik mit neuen Technologien“
Schroedel 83990
Das Stochastik-Kapitel wurde von mir verfasst und enthält die im Vortrag beschriebenen Einsatzmöglichkeiten des GTR.
Heinz Klaus Strick
Rückmeldungen erwünscht: [email protected]
Literaturhinweis