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Peschel · Nennewitz · Nutsch · Schulzig · Seifert · Strechel
Tabellenbuch Holztechnik
Bearbeitet von Lehrern an berufsbildenden Schulenund von Ingenieuren
Lektorat: Peter Peschel, Oberstudiendirektor
8. neu bearbeitete Auflage 2014
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KGDüsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 41814
EUROPA-FACHBUCHREIHEfür Holztechnik
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Tabellen – Formeln – Regeln – Bestimmungen
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Autoren des Tabellenbuches Holztechnik
Peschel, Peter Oberstudiendirektor GöttingenNennewitz, Ingo Tischlermeister, Lehrmeister BremerhavenNutsch, Wolfgang Dipl.-Ing (FH), Studiendirektor a.D. StuttgartSchulzig, Sven Studienrat KasselSeifert, Gerhard Dipl.-Ing (FH), Studiendirektor a.D. EhingenStrechel, Tim Studienrat Bremerhaven
Lektorat
Peter Peschel
Bildbearbeitung
Verlag Europa-Lehrmittel, Bildbearbeitung, 73760 Ostfildern
Diesem Buch wurden die neuesten Ausgaben der DIN-Blätter sowie anderer Bestimmun-gen und Richtlinien zugrunde gelegt (Redaktionsschluss 31.10.2013). Verbindlich sind jedoch nur die DIN-Blätter und jene Bestimmungen selbst.Die DIN-Blätter können von der Beuth-Verlag GmbH, Burggrafenstraße 6, 10787 Berlin,bezogen werden.
8. neu bearbeitete Auflage 2014Druck 5 4 3 2 1Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.
ISBN 978-3-8085-4188-3
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
© 2014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten© 2005 by http://www.europa-lehrmittel.de
Umschlaggestaltung: Blick Kick Kreativ KG, 42653 SolingenSatz: rkt, 42799 Leichlingen, www.rktypo.comDruck: M.P. Media-Print Informationstechnologie GmbH, 33100 Paderborn
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Das „Tabellenbuch Holztechnik“ erweitert die bewährte Europa-Fachbuchreihe fürHolzberufe. Es kann jedoch seines eigenständigen Charakters wegen sowohl alleine als auch in Verbindung mit anderen Lehrbüchern in der Aus- und Weiterbildung wie inder beruflichen Praxis verwendet werden. Es enthält sowohl Tabellen, Formeln, DIN-Normen, Regeln und Bestimmungen von Behörden und Institutionen als auch vieleStoffwerte und Konstruktionsgrößen. Die Auswahl der technologischen, mathemati-schen, zeichnerischen und arbeitsplanerischen Inhalte dieser Sammlung erfolgte unterweitgehender Berücksichtigung der Rahmenlehrpläne der Bundesländer für die Berufeim Berufsfeld Holztechnik und der Inhalte der bewährten Lehrbücher. Gleichfalls wurdean die Erfordernisse der Praxis und Weiterbildung gedacht. Das Tabellenbuch eignetsich als Nachschlagewerk für Auszubildende, Schülerinnen und Schüler der Berufs-schule, der Berufsfachschule, der Fachoberschule und der Berufsoberschule. Es ist dar-über hinaus auch als Informationsquelle bei praktischen Ausbildungsmaßnahmen, beider Fortbildung in Meister- und Technikerschulen und der Berufspraxis geeignet. Das Tabellenbuch ist eingeteilt in die Abschnitte
Mathematische und naturwissenschaftliche Grundlagen 1Holz und Holzwerkstoffe 2Werkstoffe 3Technisches Zeichnen 4Konstruktionen 5Bauphysik 6Fertigungsmittel 7Betriebsorganisation 8
Ein schneller Zugriff wurde durch das Daumen-Griffregister ermöglicht. Großer Wertwurde auf die Übersichtlichkeit der Darstellung gelegt. Neben dem Inhaltsverzeichnishilft ein umfangreiches Sachwortverzeichnis beim schnellen Finden einzelner Begriffeund Fakten. Das Inhaltsverzeichnis am Anfang des Tabellenbuches wird durch Teilin-haltsverzeichnisse vor dem jeweiligen Hauptkapitel ergänzt. Das Sachwortverzeichnisam Schluss ist besonders ausführlich gehalten und enthält neben den deutschen auchdie wichtigsten englischen Bezeichnungen.
Die jetzt vorliegende 8. Auflage wurde als Mehrfarbendruck neu gestaltet. Der be-währte Aufbau ist dabei weiterhin berücksichtigt worden. Für den Bereich Holzhan-del sowie Möbel-, Küchen- und Umzugsservice wurden neue Inhalte aufgenommen.Im Kapitel „Betriebsorganisation“ wurden die Teilkapitel „Tisch lerei-Betrieb alsDienstleis ter“ und „Präsen tationstechniken“ ergänzt.Die starke technische Entwicklung und die Europäisierung der Normen erforderteneine grundlegende Überarbeitung. Die wichtigsten Normen und Regelwerke sowieeine Auswahl der einschlägigen Literatur sind jeweils vor den Hauptkapiteln be-nannt.
Allen, die durch ihre Anregungen zur Entwicklung des Tabellenbuches beigetragen haben – insbesondere den im Quellenverzeichnis genannten Firmen, Institutionen undVerlagen – sei an dieser Stelle herzlich gedankt. Für Anregungen zur Weiterentwick-lung, Verbesserungsvorschläge und Fehlerhinweise sind wir jederzeit dankbar. Sie können dafür unsere Adresse [email protected] nutzen.
Göttingen, im Sommer 2014 Autoren und Verlag
Vorwort
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1 Mathematische und natur-wissenschaftliche Grundlagen . . . . . 7
1.1 Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . 81.2 Mathematische Grundlagen . . . . . . . 111.3 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Dreisatzrechnen und
Mischungsrechnen . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Prozentrechnen und
Zinsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Dreiecksberechnung und
Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 221.9 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.10 Funktionen und grafische
Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.11 Kohäsion und Adhäsion . . . . . . . . . . 321.12 Masse, Dichte, Kräfte . . . . . . . . . . . . 331.13 Gleichförmige und
beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . 361.14 Arbeit, Energie, Leistung,
Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.15 Einfache Maschinen und Antriebe . 381.16 Grundlagen der Statik
und Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . 411.17 Flüssigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . 471.18 Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.19 Chemische Grundlagen . . . . . . . . . . . 531.20 Wärmetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.21 Grundlagen der Akustik . . . . . . . . . . 60
2 Holz und Holzwerkstoffe . . . . . . . . . 61
2.1 Aufbau und Schnitte . . . . . . . . . . . . . 632.2 Holzarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.1 Nadelholz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2.2 Laubholz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.3 Kennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3 Holzfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.4 Holzschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.1 Schutz vor Insekten und Pilzen . . . . . 782.4.2 Brandschutz für Holzbauteile . . . . . . 802.5 Holzfeuchte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6 Holz als Handelsware . . . . . . . . . . . . 862.7 Furniere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.8 Parkett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.9 Holzwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.9.1 Sperrholz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.9.2 Holzspanwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . 1192.9.3 Holzfaserwerkstoffe . . . . . . . . . . . . . . 1222.9.4 Melaminbeschichtete Platten . . . . . . 1242.9.5 Leichtbau-Verbundwerkstoffe . . . . . 125
3 Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.1 Mineralische Plattenwerkstoffe . . . . 1293.1.1 Gipskartonplatten und Gipsplatten . 1293.1.2 Faserzementplatten . . . . . . . . . . . . . . 1303.1.3 Gipsfaserplatten . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.1.4 Holzwolleplatten . . . . . . . . . . . . . . . . 1303.2 Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.2.1 Glasarten und Glaserzeugnisse . . . . 1313.2.2 Flachglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2.3 Mehrscheiben-Isolierglas . . . . . . . . . 1333.3 Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.3.1 Bezeichnungssysteme für Stähle
durch Werkstoffnummern . . . . . . . . . 1353.3.2 Bezeichnungssysteme für Stähle
durch Kurznamen . . . . . . . . . . . . . . . 1353.3.3 Einteilung der Stähle . . . . . . . . . . . . . 1363.3.4 Eisen-Gusswerkstoffe . . . . . . . . . . . . 1373.3.5 Stahl-Fertigerzeugnisse . . . . . . . . . . . 1383.3.6 Nichteisenmetalle . . . . . . . . . . . . . . . 1393.3.7 Hartmetalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.3.8 Korrosion und Korrosionsschutz . . . 1413.4 Verbindungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . 1423.4.1 Drahtstifte und Klammern . . . . . . . . 1423.4.2 Holzschrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.4.3 Gewindeschrauben . . . . . . . . . . . . . . 1463.4.4 Muttern und Unterlegscheiben . . . . 1473.4.5 Gewinde, Bohrung, Senkung . . . . . . 1483.4.6 Blechschrauben, Bohrschrauben
und Blindniete . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.4.7 Holzdübel, Federn und
Einschraubmuttern . . . . . . . . . . . . . . 1503.4.8 Befestigungsmittel Dübel . . . . . . . . . 1513.5. Kunststoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.6 Klebstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.7 Oberflächenmittel . . . . . . . . . . . . . . . 1673.7.1 Mittel zur Vorbehandlung . . . . . . . . . 1673.7.2 Beizmittel und Färbemittel . . . . . . . . 1683.7.3 Beschichtungsstoffe . . . . . . . . . . . . . 1693.7.4 Auftragstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.7.5 Haftungsprüfung und
Beanspruchungsgruppen . . . . . . . . . 1753.8 Schleifmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.9 Umwelt- und Arbeitsschutz . . . . . . . 1813.9.1 Vorschriften und Begriffe . . . . . . . . . 1813.9.2 Gefahrstoffe in der Holztechnik . . . . 1823.9.3 Löse- und Verdünnungsmittel . . . . . 1843.9.4 Holzstaub . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4
Inhaltsverzeichnis
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5
3.9.5 Arbeitsplatzgrenzwerte, TRGS 900 . 1873.9.6 Betriebsanweisung . . . . . . . . . . . . . . 1883.9.7 Sicherheitsdatenblätter,
H-Sätze und P-Sätze . . . . . . . . . . . . . 1893.9.8 Werte von ausgewählten Stoffen . . . 1913.9.9 Kennzeichnung von Gefahrstoffen . 1923.9.10 Sicherheitskennzeichnung . . . . . . . . 193
4 Technisches Zeichnen . . . . . . . . . . . . 195
4.1 Zeichengeräte und Materialien . . . . 1964.2 Normschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.3 Maßstäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984.4 Grundkonstruktionen . . . . . . . . . . . . 1994.4.1 Geometrische
Grundkonstruktionen . . . . . . . . . . . . 1994.4.2 Rechtwinklige Parallelprojektion . . . 2074.4.3 Austragungen und wahre Größen . . 2094.4.4 Parallelprojektionen . . . . . . . . . . . . . . 2124.5 Perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.5.1 Übereck-Perspektive . . . . . . . . . . . . . 2144.5.2 Zentralperspektive . . . . . . . . . . . . . . . 2154.6 Grundlagen der Gestaltung . . . . . . . 2164.7 Linienarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2194.8 Bemaßung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.9 Toleranzen und Passungen . . . . . . . 2264.9.1 Holz-Toleranzreihen (HT) . . . . . . . . . . 2274.9.2 Eintragen von Toleranzen . . . . . . . . . 2274.9.3 Maßänderungen durch Quellen
und Schwinden . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.9.4 Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304.9.5 Passsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.10 Darstellung von Werkstoffen
und Beschlägen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.11 Oberflächenzeichen . . . . . . . . . . . . . . 2354.12 Schraffuren von Baustoffen
und Bauteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354.13 Maßordnung im Hochbau . . . . . . . . 236
4.14 Symbole in Ausführungs-zeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5 Konstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.1 Möbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415.1.1 Möbelarten und Gestaltung . . . . . . . 2415.1.2 Möbelteile und Möbelbeschläge . . . 2435.2 Türen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.2.1 Innentüren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.2.2 Außentüren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.3 Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.3.1 Öffnungsarten, Konstruktionenund Fensterprofile . . . . . . . . . . . . . . . 261
Fenstersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Profilquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.3.2 Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.3.3 Bemessung von Rahmen-querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.3.4 Befestigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.3.5 Maße am Fenster . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.3.6 Anschlussbildung Fenster – Baukörper . . . . . . . . . . . . . . 273
5.3.7 Windlasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5.3.8 Wärmedämmung, Schallschutz, Einbruchschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.3.9 Beschlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.3.10 Oberflächenbeschichtung . . . . . . . . . 282
5.3.11 Verglasung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
5.3.12 Gebrauchsklassen für Holzfenster . . 289
5.4 Innenausbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.4.1 Einbauschränke . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.4.2 Wände – Nichttragende Trennwände . . . . . . . 292
5.4.3 Wandverkleidungen . . . . . . . . . . . . . . 295
5.4.4 Deckenverkleidungen . . . . . . . . . . . . 296
5.4.5 Holzfußböden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.5 Treppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.5.1 Treppenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.5.2 Maßbegriffe und Bezeichnungen . . . 299
5.5.3 Maßliche Anforderungen . . . . . . . . . 300
5.5.4 Verziehen von gewendelten Treppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
5.6 Küchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6 Bauphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.1 Dämm-, Dichtungs- und Sperrstoffe 313
Bemessungswerte . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.2 Wärmeschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6.2.1 Physikalische Grundlagen . . . . . . . . 318
6.2.2 Wärmetechnische Mindestanforderungen . . . . . . . . . . . 319
6.2.3 Wärmebrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.2.4 Anforderungern an denWärmeschutz im Sommer . . . . . . . . 325
6.2.5 Energieeinsparverordnung . . . . . . . . 326
Inhaltsverzeichnis
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6.3 Feuchteschutz und Tauwasserschutz . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6.3.1 Klimabedingter Feuchtigkeitsschutz 3356.3.2 Feuchteschutztechnische
Rechenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3366.3.3 Schutzmaßnahmen gegen
Tauwasserbildung . . . . . . . . . . . . . . . 3386.4 Schallschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3426.5 Brandschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3476.6 Bauen im Bestand . . . . . . . . . . . . . . . 356
7 Fertigungsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . 359
7.1 Hobelbank und Bankwerkzeuge . . . 3617.2 Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3667.2.1 Standmaschinen
einschl. Musterbetriebsanweisung . 3667.2.2 CNC-Bearbeitungszentren . . . . . . . . 3697.2.3 Handmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . 3707.2.4 Elektromotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 3717.3 Maschinenwerkzeuge . . . . . . . . . . . . 3727.3.1 Schneidstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3727.3.2 Schnittrichtungen . . . . . . . . . . . . . . . 3727.3.3 Werkzeugbegriffe und Schneiden-
geometrie, Berechnungen . . . . . . . . 3737.3.4 Kreissägeblätter . . . . . . . . . . . . . . . . . 3767.3.5 Fräswerkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3787.3.6 Maschinenbohrer . . . . . . . . . . . . . . . . 3797.3.7 Bandsägen, Streifenhobelmesser
und Fräsketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3797.4 Pneumatik und Hydraulik . . . . . . . . . 3807.5 Funktionspläne und
Funktionsdiagramme . . . . . . . . . . . . 3847.6 CNC-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Programmaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . 387Programmschlüssel . . . . . . . . . . . . . . 388Werkstattorientierte Programmierung (WOP) . . . . . . . . . . 392
7.7 Informationstechnik . . . . . . . . . . . . . 394Struktur des Mikrocomputers . . . . . 395Schnittstellen, Steckverbinder . . . . . 396Vernetzung, Internet . . . . . . . . . . . . . 397Software, Betriebssysteme . . . . . . . . 398
8 Betriebsorganisation . . . . . . . . . . . . . 399
8.1 Tischlerei-Betrieb als Dienstleister . 400Aufgaben und Ausführung . . . . . . . . 400Qualitätssicherung . . . . . . . . . . . . . . . 402Ablauf- und Terminplanung . . . . . . . 403
8.2 Begriffe der Auftrags- und Belegungszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 406
8.3 Kalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408Lohnarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410Lohn- und Materialkosten . . . . . . . . . 411
8.4 Vergabe- und Vertragsordnung für Bauleistungen (VOB) . . . . . . . . . . . . . 414
8.5 Bauregelliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4178.6 Präsentationstechniken . . . . . . . . . . 420
Internetverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . 425 … 440
In den Umschlaginnenseiten
vorne:SI-BasiseinheitenAbgeleitete physikalische GrößenSI-VorsätzeGriechisches Alphabet
hinten:Physikalische Größen, Formelzeichen,SI-Einheiten, besondere Einheiten und Namen
6
Inhaltsverzeichnis
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1 Mathematische und naturwissenschaftliche Grundlagen
Inhaltsverzeichnis
7
1
1.1 Größen und Einheiten 81.2 Mathematische Grundlagen 11
� Rechenarten, Bruchrechnung, Klammerrechnung 11� Potenzen, Wurzeln, Binomische Formeln 12
1.3 Gleichungen 131.4 Dreisatz und Mischungsrechnen 141.5 Prozentrechnen und Zinsrechnen 151.6 Längen 161.7 Flächen 17
� Flächeninhalt, Umfang, Schwerpunkte 201.8 Dreiecksberechnungen und Winkelfunktionen 22
� Lehrsatz des Pythagoras 22� Lehrsatz des Euklid, Winkelfunktionen 22� Trigonometrische Funktionen 23� Schiefwinklige Dreiecke 25
1.9 Körper 261.10 Funktionen und grafische Darstellungen 28
� Diagramme 29� Nomogramme 30� Taschenrechner 31
1.11 Kohäsion und Adhäsion 321.12 Masse, Dichte, Kräfte 331.13 Gleichförmige und beschleunigte Bewegung 361.14 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad 371.15 Einfache Maschinen und Antriebe 38
� Drehmoment und Hebel 38� Riementriebe, Zahnrädertriebe, Kettentriebe 39
1.16 Grundlagen der Statik und Festigkeitslehre 41� Statische Systeme 41� Gleichgewichtsbedingungen 41� Aktionskräfte und Reaktionskräfte 41� Belastungsfälle 42� Beanspruchungsarten 43� Knickung von Stäben 43� Einwirkungen auf Tragwerke 45� Tragwerksplanung 45� Statische Festigkeit 46� Sicherheitskonzept 46
1.17 Flüssigkeiten und Gase 471.18 Elektrotechnik 48
� Ohmsches Gesetz 48� Elektrische Leistung und Arbeit 49� Schutzmaßnahmen 51
1.19 Chemische Grundlagen 53� Chemische Grundbegriffe 53� Periodensystem 54� Atomaufbau, Elemente, Chemische Bindungen 55� Organische und makromolekulare Verbindungen 56� Oxide, Chemie des Wassers 57� Säuren, Laugen, Salze 58
1.20 Wärmetechnik 591.21 Grundlagen der Akustik 60
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m
v=
20 —
s
s
m
Terephtalsäure(Benzol-1,4-dicarbonsäure) Ethandiol
…+ HO–C– –C– OH + H O–C–C–OH +…
O O H H
H H
Mathematik
Technische Physik
Chemie
Technische Physik
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1.1 Größen und Einheiten
Zeiteinheiten(Jahr) 1 a = 365 d (Monat) 1 m = (1/12) a (Tag) 1 d = 24 h
(Stunde) 1 h = 60‘ (Minute) 1‘ = 60‘‘ (Sekunde) 1‘‘ = (1/60)‘
8
1Im Internationalen Einheitensystem (SI) sind die Einheiten im Messwesen festgelegt. Von den sieben Grundeinheiten (Basiseinheiten) sind weitere Einheiten abgeleitet.
Basisgrößen und BasiseinheitenGröße Länge Masse Zeit Elektrische Temperatur Stoffmenge Lichtstärke
StromstärkeEinheit Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Mol Candela
Zeichen m kg s A K mol cdAbgeleitete Einheiten, die aus den Grundeinheiten mit dem Faktor 1 oder mit PotenzenEinheiten abgeleitet werden, z.B. 1 N = 1 kg m/s2
Nicht abgeleitete Einheiten, die durch eine anderen Faktor umgerechnet wurden, Einheiten z.B. 1 min = 60 s
VorsätzeFaktor 1012 109 106 103 102 101 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12
Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano PikoZeichen T G M k h da d c m μ n pvergrößernd ← → verkleinernd
ZehnerpotenzenWerte über 1 mit positiven Exponenten, Werte unter 1 mit negativen ExponentenWert 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000Potenz 10–3 10–2 10–1 100 101 102 103 104 105 106
Aufrunden und AbrundenVorgang Beispiel
Aufrunden wenn die nächste Stelle eine 5 oder größer ist 3,1415 → 3,142Abrunden wenn die nächste Stelle eine 4 oder kleiner ist 3,1415 → 3,14 (auf Hundertstel)
Länge, Fläche, Volumen, WinkelFormel- Einheit
Größe zeichen Zeichen Bedeutung Beziehungen zwischen den EinheitenDIN 1304Länge ¢ m Meter 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm
1 mm = 1 000 µm1 km = 1 000 m1 inch = 1 Zoll = 25,4 mm
Fläche A, S m2 Quadratmeter 1m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2a Ar 1 a = 100 m2 (für Grundstücksflächen)
ha Hektar 1 ha = 100 a = 10 000 m21 km2 = 100 ha
Volumen V m3 Kubikmeter 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3¢ Liter 1 ¢ = 1 dm3
1 ml = 1 cm3
Winkel, å, ß, ©, … ° Grad 1° = 60‘eben ‘ Minute 1‘ = 60‘‘
‘‘ Sekunde 1‘‘rad Radiant 1 rad = 1 m/m = (180/π)° = 57,2957°
1° = π / 180 rad = 60‘
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1.1 Größen und Einheiten
9
1Formel- Einheit
Größe zeichenZeichen Bedeutung
Beziehungen zwischen den EinheitenDIN 1304
ZeitgrößenZeit t s Sekunde
min Minute 1 min = 60 sh Stunde 1 h = 60 min = 3 600 sd Tag 1 d = 24 h
Geschwindigkeit √ m/s Meter/Sekunde 1m/s = 60 m/min = 3,6 km/hWinkel- ø 1/s 1/SekundegeschwindigkeitBeschleunigung a m/s2 Meter/Sekunde2
g Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2
Frequenz f Hz Hertz 1 Hz = 1/s1 Hz = 1 Schwingung/s
Drehzahl n 1/min 1/Minute 1/min = 1 min–11/s 1/Sekunde 1/s = 60/min = 60 min–1
Mechanische GrößenMasse m kg Kilogramm 1 kg = 1 000 g
g Gramm 1 g = 1 000 mgt Tonne 1 t = 1 000 kg
Dichte œ kg/m3 Kilogramm/ 1 000 kg/m3 = 1 kg/dm3 = 1 t/m3Meter3
Kraft F N Newton 1 N = 1 kg m/s2 = 1 J/mGewichtskraft G, FgDrehmoment M Nm Newtonmeter 1 kNm = 100 daNm = 1 000 NmDruck p Pa Pascal 1 Pa = 1 N/m2
1 bar = 100 000 Pa = 105 bar = 10 N/cm21 mbar = 1 hPa
Mechanische ‚ N/m2 Newton/Meter2 1 MN/m2 = 1 N/mm2 = 1 MPaSpannung †Trägheits- Û cm4 Zentimeter4 Flächenmoment 2. Gradesmoment
Temperatur und WärmeTemperatur T K Kelvin 0 K = – 273 °Cthermodynamisch 0 °C = 273 K
t, ñ °C Grad Celsius Temperaturdifferenz 1 K = 1 °CWärmemenge Q J Joule 1 J = 1 Nm = 1 Ws
3 600 kJ = 1 kWhSpezifischer H J/kg Joule/Heizwert Kilogramm
Elektrische GrößenStromstärke Û A AmpereSpannung U V VoltWiderstand R Ø Ohm 1 Ø = 1 V/ASpezifischer œ Øm Ohmmeter œ = 1/ΔWiderstandLeitfähigkeit Δ S/m Siemens/MeterArbeit W Ws Wattsekunde 1 Ws = 1 J, 1 kWh = 3,6 � 106 WsLeistung P W Watt 1 W = 1 Nm/s = 1 J/s = 1 VA
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1.1 Größen und Einheiten
Mathematische Symbole
Darstellung und Umwandlung der ZahlensystemeDezimalsystem DualsystemDezimalzahl z10 350 Dualzahl z2 1101
Stelle 102 = 100 101 = 101 100 = 1 Stelle 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1Wert 3 · 100 5 · 10 0 · 1 Wert 1 ·8 = 8 1 ·4 = 4 0 ·2 = 0 1 ·1 = 1Gesamt- Gesamt-wert, 300 + 50 + 0 = 350 wert, 8 + 4 + 0 + 1 = 13dezimal dezimal
Hexadezimalsystem
Umwandlung inDezimalzahl Dualzahl
B3E B3E
Stelle 162 = 256 161 = 16 160 = 1 Ziffernwert 11 3 14Wert 11 · 256 3 · 16 14 · 1 Gruppe von 4 Bit 1011 0011 1110Gesamt- 2816 + 48 + 14 = 2878 Dualzahl: 1011 0011 1110wert:
ZahlensystemeArt Basis Zeichenvorrat
Dualzahlen 2 0 1Dezimalzahlen 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Hexadezimalzahlen 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F(Sedezimalzahlen)
10
1
Zeichen Bedeutung
A⎯
B⎯
Strecke AB
( ), [ ] Klammern{ }
� parallelH H gleichsinnig parallelH h gegensinnig parallel� senkrecht auf
rechter Winkela Winkel
DreieckKreis
≅ kongruent zuΔx Delta x (Differenz)
ln natürlicherLogarithmus
log Logarithmuslg dekadischer
Logarithmus
% Prozent, von Hundert‰ Promille, von Tausend
sin Sinuscos Kosinustan Tangenscot Kotangens
Zeichen Bedeutung
= gleich≠ ungleichv entspricht� ungefähr, etwa< kleiner als> größer als≤ kleiner oder gleich≥ größer oder gleich… und so weiter bis
+ plus– minus± plus-minus
�, · multipliziert, mal/, :, –– dividiert, Bruchstrich
∑ Summe von …π pi = 3,141…� proportional
an potenziert
;a� Quadratwurzeln;a� n-te Wurzel§ LängeA FlächeV Volumen
Griechische Buchstabengroß/klein Name
Å, å Alpha‹, ∫ BetaÌ, © Gamma¤, ∂ Delta‰, ™ Epsilonˇ, Ω ZetaÓ, ª Etaı, º ThetaÛ, ⁄ Jota
ˆ, Δ Kappafl, ¬ Lambda˘, μ My›, ~ NyÙ, ≈ XiØ, ø Omikron∏, π Pi¸, ® RhoÍ, ‚ Sigma˝, † TauÁ, ¨ YpsilonÏ, ƒ PhiÇ, ç Chi‡, ¥ Psi„, ∑ Omega
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1.2 Mathematische Grundlagen
11
1RechenartenArt BezeichnungAddition a, b Summanda + b = c c SummenwertSubtraktion a Minuend, b Subtrahenda – b = c c DifferenzwertMultipikation a, b Faktora �b = c c ProduktwertDivision a Dividend, b Divisora : b = c c Quotientwert
Art BezeichnungPotenzierung a Basisab = c b Exponent
c PotenzwertRadizierung a Radikandb;a� = c b Wurzelexponent
c WurzelwertLogarithmierung a Logarithmand, b Basislogba = c c Logarithmuswert
VorzeichenregelRegel Beispiel Regel BeispielZwei Faktoren mit gleichen 3 � 6 = 18 Dividend und Divisor mit 10/2 = 5Vorzeichen ergeben (–x) (–y) = xy gleichen Vorzeichen ergeben
�––
ba� = �
ba
�ein positives Ergebnis einen positiven QuotientenZwei Faktoren mit ungleichen (– 4) � 7 = – 28 Dividend und Divisor mit 16/– 4 = – 4Vorzeichen ergeben x � (– y) = – xy ungleichen Vorzeichen ergeben
�–ba� = – �
ba
�ein negatives Ergebnis einen negativen QuotientenPunktrechnungen müssen vor Strichrechnungen erfolgen
KlammerrechnungRegel BeispielAuflösen einer Klammer mit Plus vor der Klammer: x + (y – z ) = x + y – z– Klammer kann entfallenAuflösen einer Klammer mit Minus vor der Klammer: 5 – (10 – 4) = 5 – 10 + 4 = – 1– Klammer kann entfallen,
Vorzeichen in der Klammer werden umgekehrtFaktor vor einem Klammerausdruck: 4 (x – y + z) = 4x – 4y + 4z– jedes Glied der Klammer wird mit dem Faktor multipliziert
BruchrechnungBegriffe Bruchart Kennzeichen Beispiel
Positive Brüche > 0 3/4Brüche sind Negative Brüche < 0 – 2/5Teile Echte Brüche < 1, Zähler < Nenner 4/15eines Ganzen Unechte Brüche > 1, Zähler > Nenner 7/3
Gleichnamige Brüche gleiche Nenner 3/8, 5/8, 7/8Ungleichnamige Brüche ungleiche Nenner 3/12, 4/5, 2/9Scheinbruch Nenner = 1 6/1
Rechen- Regel Beispieloperation
Erweitern Zähler und Nenner werden mit �23
� = �23
��
22
� = �46
� �xy�
= �xy��
zz�
= �xyzz�der gleichen Zahl multipliziert
Kürzen Zähler und Nenner werden mit�24
42� = �1
221�der gleichen Zahl dividiert
Addieren, Brüche müssen�12
� + �35
� = �5
1+0
6� = �1
110� = 1 �
110�
Subtrahieren gleichnamig sein
Multiplizieren Zähler mit Zähler und Nenner�25
� � �37
� = �365�
mit Nenner multiplizieren
Dividieren Bruch mit Kehrwert des�25
� : �34
� = �25
��
43
� = �185�
anderen Bruches multiplizieren
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Klammerrechnung (Fortsetzung)
1.2 Mathematische Grundlagen
12
1
Regel Beispiel
Multiplizieren von Klammerausdrücken: (a + b) � (c – d) = ac – ad + bc – bd– jedes Glied der einen Klammer wird mit jedem Glied
der anderen Klammer multipliziert
Klammerausdruck durch Divisor:– jedes Glied der Klammer wird durch den Divisor dividiert �18 a
3– 12 b� = �18
3a
� – �123
b� = 6 a – 4 b
– Ein Bruchstrich ersetzt eine Klammer
Auflösen von Klammern: 6 x – [ x + y (y – a) + y2] – Bei Klammern von innen nach außen auflösen = 6 x – [x + y2 – ay + y2]– Bei gemischten Punkt- und Strichrechnungen zuerst = 6 x – x – 2 y2 + ay = 5 x – 2 y2 + ay
Klammer auflösen, danach Punkt- vor Strichrechnung
Gemeinsamer Faktor: bx – 2 ax + 3 x + cx – ein gemeinsamer Faktor in einem Term wird vor = x (b – 2 a + 3 + c)
die Klammer gesetzt
PotenzenRegel BeispielPotenzen mit dem Exponenten Null haben den Wert 1 100 = 1, (x + y)0 = 1
Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis: a2 � a3 = a5; am � an = am + n– Exponenten werden addiert
Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis:�aa
m
n� = am – n
– Exponenten werden subtrahiert
Potenzen mit negativen Exponenten sind gleich dem x–n = �x1n�reziproken Wert der gleichen Potenz
WurzelnRegel Beispiel
Wurzeln können als Potenzen geschrieben werden. ;2� = 2�12�,
3;x� = x �
13�
Radikant als Produkt: ;5� �� 5� = ;2�5� = 5Wurzel kann entweder aus dem Produkt oder ;a� �� b� = ;a� ;b�aus jedem Faktor gezogen werden.
Radikand als Summe oder Differenz: ;2�0� +� 1�6� = ;3�6� = 6, ;x� –� y� = ;(x� –� y� )�(Wurzel kann nur aus dem Ergebnis gezogen werden)
Binomische Formeln
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2 ab + b2
(a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – 2 ab + b2
(a + b) (a – b) = a2 – b2
Höhere Potenzen
(a ± b)3 = a3 ± 3 a2b + 3 ab2 ± b3
(a ± b)4 = a4 ± 4 a3b + 6 a2b2 ± 4 ab3 + b4
Sonderfälle
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
a4 – b4 = (a2 + b2) (a2 – b2)
Logarithmenloga b = c, wenn ac = b für a > 0 und b > 0Dekadischer Logaritmus lg a = log10 aNatürlicher Logaritmus ln a = loge a
e = 2,711828…Sonderfälle lg 1 = 0, ln 1 = 0
loga 1 = 0, loga a = 1lg 10 = 1, ln e = 1
Gesetze log (ab) = log a + log blog a/b = log a – log blog (bn) = n log blog
n;b� = �
n1
� log b
Umrechnungen ln a = ln 10 � lg alg a = lg e � ln alg e = M = 0,4343…
ln 10 = �M1
� = 2,3026…
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-
1.3 Gleichungen
13
1GleichungsartenBegriff Erklärung BeispielGleichung Verbindung von zwei 3 m + 4 m = 7 m
gleichwertigen Termen durch ein Gleichheitszeichen
Zahlengleichung enthalten nur Zahlen 20 – 5 = 3 � 5
Einheitengleichung enthalten nur Einheiten N = kg � m/s2
Verhältnisgleichung Quotienten sind einander gleich ¢1 : ¢2 = 3 m : 5 m
Größengleichung enthalten Größen (200 g + 100 g)/3 = 100 g
Bestimmungsgleichung enthalten unbekannte Größen 5 a � b = c(Variable)
Ungleichung ungleiche Terme sind durch 2 � 5 + 4 > 10,< oder > verbunden b < 1
Gleichung:1. Grades linear a + 10 = c
2. Grades quadratisch x2 – ax = y
Formeln Gesetzmäßigkeiten aus Technik s = v � tund Naturwissenschaften
Gleichungen umstellenRegel Beispiel
Gesuchter Wert allein auf linker Seite: a – 4 + 4 = 8 x + y – y = zDurch Addition bzw. Subtraktion des gleichen a – 4 + 4 = 8 + 4 x + y – y = z – yWertes auf beiden Seiten a – 4 + a = 12 x + y – x = z – y
Gesuchter Wert allein auf linker Seite: 4 � a = 12 �a3
� = 5 b
Durch Division bzw. Multiplikation des gleichen �4
4� a� = �1
42� = 3 �a
3� 3� = 5 b � 3 = 15 b
Wertes auf beiden Seiten
Gesuchter Wert allein auf linker Seite: ;a� = 5 c2 = a + b
Durch Potenzieren bzw. Radizieren auf beiden (;a� )2 = 52 ;c2� = ;a� +� b�
Seiten. a = 25 c = ± ;a� +� b�
Verhältnisgleichung, ProportionenZwei Verhältnisse mit gleichen Werten können gleichgesetzt werden und als Gleichung geschrieben werden.
Außenglieder Eine Verhältnisgleichung kann als Produkten-|———————| gleichung geschrieben werden.a : b = 3 : 4 oder �
ba
� = �34
� a : b = 3 : 4|———| 3 b = 4 a
Innenglieder Bruchgleichung Innenglied � Innenglied = Außenglied � Außenglied
Gleichungen 1. Grades mit Gleichungen 2. Grades � S. 28zwei Unbekannten (quadratische Gleichungen)Zur Bestimmung von zwei unbekannten Wer-ten sind verschiedene Gleichungen notwen-dig. Aus ihnen stellt man bei der Auflösungeine dritte Gleichung mit nur einer Unbekann-ten her. Durch die Einsetzungs-, Gleichset-zungs- oder Additionsmethode wird die zweiteUnbekannte ermittelt.
rein quadratisch: x2 = 16; x = ;1�6� = ± 4gemischt-quadratisch x2 + ax + b = 0oder mit p und q x2 + px + q = 0
Lösungsformel: x1,2 = – �p2
� ± s�(�p2�)� 2�–�q�
(p,q-Formel)
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1.4 Dreisatzrechnen und Mischungsrechnen
14
1Verhältnisse beim DreisatzSatz direkt indirekt1. Aussagesatz x ⇒ y x ⇒ y
2. Einheitsatz 1 ⇒ �yx
� 1 ⇒ y � x
3. Schlusssatz x1 ⇒ �y �
xx1� x1 ⇒ �
yx�
1
x�
Dreisatz mit geradem Verhältnis (direkt)Beispiel 4,50 m3 Eichenholz kosten 7 875,00 €.
Wieviel kosten 3,00 m3?
1. 4,50 m3 Eichenholz kosten 7 875 €
2. 1,00 m3 Eichenholz kosten �787
45,5,000 €
�
3. 3,00 m3 Eichenholz kosten
= 5 250,00 €
7 875,00 € � 3,00���
4,50
Dreisatz mit umgekehrtem Verhältnis (indirekt)Beispiel 5 Schreiner benötigen für eine Montagearbeit
80 Stunden. Wie lange dauert die Montage, wenn 8 Schreiner zur Verfügung stehen?
1. 5 Schreiner benötigen 80 h
2. 1 Schreiner benötigt 5 · 80 h
3. 8 Schreiner benötigen �5 � 88
0 h� = 50 h
Zusammengesetzter (doppelter) DreisatzBeispiel 6 Parkettleger verlegen bei 8-stündiger Arbeitszeit pro Tag
210 m2 Parkett. Wie viel m2 Parkett verlegen 5 Parkettleger bei einer Arbeitszeit von 9 h/Tag?
1. Dreisatz: 6 Parkettleger verlegen in 8 h 210 m2
1 Parkettleger verlegt in 8 h �2106
m2�
5 Parkettleger verlegen in 8 h �210 m6
2 � 5�
2. Dreisatz: 5 Parkettleger verlegen in 1 h �2106
m� 8
2 � 5�
5 Parkettleger verlegen in 9 h �210 m6
2
� 8� 5 � 9� = 196,875 m2
Es werden 3 Größengegen übergestellt.Die gesuchte Größewird stufenweise errechnet. In jederStufe wird nur eineGröße verändert.
MischungsrechnenRegel nach Massenteilen nach Raumteilen nach Prozent
Mischungsverhältnis= A : B : C : …
Gesamtmenge= A + B + C + …
Grundmenge GM(Teil 1)
= �GesaTmetimle
enge�
Beispiel2 ¢ Mischung aus StoffA und B im Verhältnis 2 : 3.
GM = �22+¢3
� = 0,4 ¢
A = 2 � 0,4 ¢ = 0,8 ¢
B = 3 � 0,4 ¢ = 1,2 ¢
Beispiel10%ige Lösung ausSäure und 2 ¢ Wasser.
Säure:Wasser = 10 : 100
Säure = �2 ¢9�010
�
= 0,222 ¢
Beispiel5 kg Leimpulver zuStreckmittel, wie 15 : 3.
Streck- = �5 k1g5
� 3� = 1 kgmittel
GM = �(51+5
1+)3kg
�
GM = 0,33 kg
8000
4000
2000
00 1 2 3 m3 5
Ko
sten
Volumen
Schreiner
Stu
nd
en
200
150
100
50
0 0 2 4 6 8 10
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1.5 Prozentrechnen und Zinsrechnen
15
1
Zinseszinsrechnung
Zinsrechnen
Rechnen mit vermehrtem Grundwert
Rechnen mit vermindertem Grundwert
ProzentrechnenRechnen mit reinem Grundwert
● Prozent % v 1/100
● Grundwert G
● Prozentwert PW
● Prozentsatz p (%)
G = �PW ·p100%�
PW = �1G00
·%p
�
p = �PW ·G100%�
● Verminderter Grundwert GminGmin = G – PW
G = Gmin · 100%��100% – p
● Vermehrter Grundwert GmehrGmehr = G + PW
G = Gmehr · 100%��100% + p
● Kapital K (€)
● Zinsen Z (€)
● Zinssatz p (%/Jahr)
● Laufzeit t (Jahre)
● 1 Zinsjahr 360 Tage
● 1 Zinsmonat 30 Tage
Mit dem Zinssatz werden die Zinsenfür ein Jahr berechnet.
K = �Z ·p1·0t0%
�
Z = �K1·00
p%· t
�
p = �Z ·K1·00
t%
�
t = �Z ·K1·0p0%
�
Die Zinsen werden dem Kapi-tal zugerechnet und mitver-zinst.
● Anzahl der Jahre n
Kapital nachn Jahren:
Kn = K (1 � �1p00�)n
BeispielEin Kunde bezahlt wegen man -gelhafter Arbeit nur 10% des Brutto-preises und überweist 16 500,00 €.Wie hoch war der Bruttopreis?Lösung
G =
G = 18 333,33 €
16 500,00 € � 100%���
100% – 10%
BeispielEiche hat einen tangentialen Schwind-verlust von 8,9%. Um wie viel mmschwindet ein Seitenbrett mit einerBreite b = 320 mm?Lösung
PW = �320 m1m00%
� 8,9 %� = 28,48 mm
BeispielEin Arbeiter erhält nach der Lohn -erhöhung von 3,5% einen Stunden-lohn von 13,40 €. Errechnen Sie den vorherigen Lohn?Lösung
G = �1130,400%
€
+·31,050%%
� = 12,95 €
BeispielEin Betrieb erhät eine Kredit über 40 000,00 € mit einem Zinssatz von8,5%.a) Berechnen Sie die Zinsen für
2 Jahre.b) Wie hoch wäre der Zinssatz, wenn
bei gleicher Laufzeit 7 400,00 € Zinsen anfallen würden?
Lösung
Z =
Z = 6 800,00 €
p = = 9,25%7 400,00 € � 100%���40 000,00 € � 2
40 000,00 € � 8,5% � 2���
100%
Beispiel Ein Schreiner legt bei einerBank 5000,00 € festverzinslich an. Wiehoch ist sein Kapital nach 10 Jahren?LösungK10= 5000,00 € · (1� �140,50%%�)
10
K10= 7764,85 €
100 % = Grundwert (G )
VerminderterGrundwert
Prozentwert(PW )
100 % – p % p %
Grundwert(G )
100 % + p % = vermehrter Grundwert
Prozentwert(PW )
100 % p %
Kapitalwert (K ) (Z )
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-
Teilen der Gesamtlänge in gleiche Abstände mit Unterbrechungen
Teilen der Gesamtlänge in gleiche Abstände mit Randabstand
LängenteilungTeilen der Gesamtlänge in gleiche Abstände
1.6 Längen
16
1
e e e e e
ö
e = �n +¢
1�
z = n + 1
¢ Gesamtlänge, Teilungsstreckee Länge der Abständen Anzahl der Teilungselementez Anzahl der Abstände
e = �¢ –n(a–
+1
b)�
e = �¢ – (b1
n+–…1
+ bn)�
a, b Randabstände
b1, … , bn Unterbrechungene Abstandn gleiche Abstände
Goldener Schnitt
M = �G2
� (;5� – 1)
M = G · 0,618
m = M · 0,618m = G · 0,382
G Gesamtstrecke
M Major
m minor
� Kapitel 4.4
Steigung
m = �h¢�= tan å
m% = �h · 1¢00%�
n = �m1
� = �h¢�
m Steigungsverhältnish Höhe¢ Längea Steigungswinkelm% Steigung in Prozentn Verhältniszahl der Steigung
Strahlensätze
=
= S�B�1�B�1�B�2�
S�A�1�A�1�A�2�
S�B�1�S�B�2�
S�A�1�S�A�2�
Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die gleichliegenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.
=
= S�B�1�S�B�2�
A�1�B�1�A�2�B�2�
S�A�1�S�A�2�
AA�1�B�1�A�2�B�2�
Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Ab-schnitte auf den Parallelen zu ein ander,wie die vom Scheitel aus gemessenenzugehörenden Strahlenabschnitte.
e
a b
e e e
ö
e e e e
ö
b1 b2 b3 b4 b5
G
G –– 2
M m
ö
s
h1:n
a
A2
B2
S
A1
B1
A1
B1
S
A2
B2
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-
1.7 Flächen
17
1Quadrat A = ¢2
U = 4 · ¢
e = ;2� · ¢
A FlächeU Umfang¢ Seitenlängee Diagonale
Beispiel¢ = 75 cmA = ¢2 = (75 cm)2 = 5 625 cme = ;2� � ¢ = ;2� � 75 cm = 106,07 cm
Raute (Rhombus) A = ¢ · b
U = 4 · ¢
A FlächeU Umfang¢ Seitenlängeb Breite
Beispiel¢ = 4,5 m; b = 3,0 mA = ¢ � b = 4,5 m � 3,0 m = 13,5 m2
Rechteck A = ¢ · b
U = 2 · (¢ + b)
e = ;¢ 2� +� b� 2�
A Fläche ¢ LängeU Umfang b Breitee Diagonale
Beispiel¢ = 120 mm; b = 80 mmA = ¢ � b = 120 mm � 80 mm = 9 600 m2
e = ;¢2� +� b�2� = ;(1�2�0� m�m�)2� +� (� 8�0� m�m�)2�= 144,2 mm
Parallelogramm (Rhomboid) A = ¢ · b
U = 2 · (¢1 + ¢2)
A FlächeU Umfang¢ (¢1) Länge¢2 Seitenlängeb Breite
Beispiel¢ = 80 cm; b = 65 cmA = ¢ � b = 80 cm � 65 cm = 5 200 cm2
Trapez A = · b
U = ¢1 + ¢2 + ¢3 + ¢4
¢m = �¢1 +2¢2�
¢1 + ¢2�2
A Fläche ¢1 große LängeU Umfang ¢2 kleine Längeb Breite ¢3, ¢4 Seitenlänge
Beispiel¢1 = 2,6 m; ¢2 = 2,0 m; b = 1,8 m
A = �¢1 +2¢2� � b = �2,6 m +
22,0 m
�� 1,8 m
= 4,14 m2
DreieckA = �¢ ·
2b
�
U = ¢1 + ¢2 + ¢3
A Fläche ¢ LängeU Umfang b Breite (Höhe)¢1, ¢2, ¢3 Seitenlängen
Beispiel¢ = 72 mm; b = 31 mm
A = �¢ �2b
� = �72 mm2� 31 mm� = 1116 mm2
� Rechtwinklige Dreiecke S. 22
ö
b
ö
ö
b
e
(ö1)
b
ö 2
ö
ö1
b
ö2
öm
ö
b
ö1
ö 3
ö2
öö
e
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1.7 Flächen
18
1Dreieck Heronische
Dreiecks-Formel
s = �12
� (¢1 + ¢2 + ¢2)
A = ;s�·�(s� –� ¢�1)� ·� (�s�–�¢2�)�·�(s� –��¢3)�
A Fläches halber Umfang¢1, ¢2, ¢3 Seitenlängen
Beispiel ¢1 = 72 cm, ¢2 = 50 cm,¢3 = 42 cm
s = �12
� (72 + 50 + 42) cm = 82 cm
A = 1024,5 cm2
Unregelmäßiges Vieleck A = ∑ aller Teilflächen
A = A1 + A2 + … + An
Regelmäßiges VieleckA = n · �¢ ·
4d
�
¢ = D · sin (�18n0°�)d = ;D� 2�–�¢2�
ö1
ö3
ö 2
b2
b1
ö1 = ö2
A1
A2
ö
d D
A GesamtflächeA1, A2, … , An Teilflächen¢1, ¢2 … Längeb1, b2 … Breite
Beispiel ¢1 = ¢2 = 110 cmb1 = 50 cm, b2 = 45 cm
A1 = �¢1 �
2b1� = 2 750 cm2
A2 = �¢2 �
2b2� = 2 475 cm2
A = A1 + A2 = 5 225 cm2
A Fläche n Anzahl der Ecken¢ Seitenlänged InkreisdurchmesserD Umkreisdurchmesser
Beispiel Achteck mit D = 60 cm
¢ = 60 cm �sin (�1880°�) = 22,96 cmd = ;(6�0� c�m�)2� –� (�2�2�,9�6� c�m�)2�
= 55,43 cm
A = 8 �
= 2 545,3 cm2
22,96 cm � 55,43 cm���
4
Berechnung regelmäßiger VieleckeAnzahl Fläche Seitenlänge Inkreis- Umkreis-
der durchmesser durchmesserEcken A ¢ d D
aus ¢ aus d aus D aus d aus D aus ¢ aus D aus ¢ aus d
¢2 mal d 2 mal D 2 mal d mal D mal ¢ mal D mal ¢ mal d mal3 0,433 1,299 0,325 1,732 0,867 0,578 0,500 1,154 2,0004 1,000 1,000 0,500 1,000 0,707 1,000 0,707 1,414 1,4145 1,721 0,908 0,595 0,727 0,588 1,376 0,809 1,702 1,2366 2,598 0,866 0,649 0,577 0,500 1,732 0,866 2,000 1,1558 4,828 0,829 0,707 0,414 0,383 2,414 0,924 2,614 1,08210 7,694 0,812 0,735 0,325 0,309 3,078 0,951 3,236 1,05212 11,196 0,804 0,750 0,268 0,259 3,732 0,966 3,864 1,035
Beispiel Achteck mit D = 60 cm
A = D2 � 0,707 = (60 cm)2 � 0,707 = 2 545,2 cm2, d = D � 0,924 = 60 cm � 0,924 = 55,44 cm¢ = D � 0,383 = 60 cm � 0,383 = 22,98 cm
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-
1.7 Flächen
19
1Kreis A = = π · r2
U = π · d = π · 2 · r
�π4
� = 0,785
π · d2�
4
Kreisausschnitt A = �π ·4d 2� · �
36å0°�
A = �¢£2· r�
¢£ = �π3·6d0·°å
�
Kreisabschnitt A = �π ·4d 2� · �
36å0°� – �¢ · (r
2– h)�
Näherungsformel:
A $ �23
� · ¢ · h
¢ = 2 · r · sin �å2
�
¢ = 2 · ;h� (�2� ·� r� –� h�)�
Kreisring A = �4π
� · (D2 – d2)
A = π · dm · s
Kreisringausschnitt A = �4π· 3
·6å0°
� · (D2 – d2)
U = �π · å360°� · (D + d) + (D – d)
A FlächeD großer DurchmesserU Umfangd kleiner Durchmesserå Mittelpunktswinkel
Beispiel D = 75 cm, d = 20 cm, å = 230°
A = �π �4 ·
230°360°� (752 – 202) cm2 = 2621,8 cm2
EllipseA = �π · D
4· d
�
U $ �π2
� (D + d )
d
da
r
ö
ö
ar
d
h
dD
s
dm
a
D
d
D
d
A FlächeU Umfangd Durchmesserr Radius
Beispiel d = 80 mm
A = �π �4d 2� = �π � (80
4mm)2� = 5 026,5 mm2
U = π � d = π � 80 mm = 251,3 mm
A Fläche r Radiusd Durchmesser ¢£ Bogenlängeå Mittelpunktswinkel
Beispiel d = 52 mm, å = 80 °
¢£ = �π3�6d0
�°å
� = �π � 523m60
m°
� 80°�
¢ = 36,3 mm
A = �¢£2� r� =
A = 471,9 mm2
36,3 mm � 26 mm���
2
A Fläche r Radiusd Durchmesser ¢ Sehnenlängeå Mittelpunktswinkel h Höhe
Beispiel ¢ = 52 mm, h = 15,1 mm
A ;�23
� � ¢ � h = �23
� � 52 mm � 15,1 mm
A = 523,5 mm2
A Fläche s BreiteD großer Durchmesserd kleiner Durchmesserdm mittlerer Durchmesser
Beispiel D = 75 cm, d = 20 cm
A = �4π� � (D2 – d2) = ��
4π� � ((75 cm)2 – (20 cm)2)
A = 4 103,7 cm2
A Fläche U UmfangD großer Durchmesserd kleiner DurchmesserBeispiel D = 65 cm, d = 40 cm
A = �π � D4
� d� =
A = 2 042 cm2
π � 65 cm � 40 cm��
4
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-
Flächenmomente, Widerstandsmomente
1.7 Flächen
Querschnitt e A Ûy
b
h
e
y
z
S �h2
�
h
e
h
y
z
S y2 · h�
2
zb
e
y
hS�2
3· h�
b · h
h2
�b
2· h�
�2
3· h� �
b2· h�
π · r2
�π ·
4d2�
�π
2· r2�
�π ·
8d2�
�π
4· r2�
�π
1·6d2�
π · (R2 – r2)
�π4
� · (D2 – d2)
�b
1·2h3�
�1h24�
�b
3·6h3�
�b
3·6h3�
�π ·
4r4
�
�π
6·4d4�
��π8� – �98π�� · r 4
0,1098 r 4
�π4
� · (R4 – r 4)
�6π4� · (D4 – d 4)
�h
1·2b 3�
�h12
4�
�h
4·8b 3�
�h
3·6b 3�
�π ·
4r 4�
�π
6·4d 4�
�π ·
8r 4�
�π1·2d8
4�
��1π6� – �94π�� · r 4
0,0549 r 4
��1π6� – �94π�� · r 4
0,0549 r 4
�π4
� · (R4 – r 4)
�6π4� · (D4 – d4)
0
0
0
– �h2
7·2b 2
�
0
0
– ��94π� – �18�� · r 4
– 0,0165 r 4
0
�b ·
6h2�
y2 · h3�
12
Wyo = �b2·4h2�
Wyu = �b
1·2h2�
�π ·
4r 3�
�π
3·2d 3�
Wyo = 0,1907 r3
Wyu = 0,2586 r3
Wyo = 0,0953 r3
Wyu = 0,1293 r3
�4πR� · (R4 – r 4)
�32π
D� · (D4 – d4)
zb
e
y
hS
z
e
y d
rS r
�d2
�
z
e
y
r
d
S �1 – �34π�� · r
0,5756 r
z
e
y
r
r
S �1 – �34π�� · r
0,5756 r
z
e
Sy d
rR D
R
�D2
�
Ûz Ûyz Wy
20
1
In nachfolgender Übersicht sind die Schwerpunkte S, die Flächen A, die Flächenmomente Ûy, Ûz, Ûyzund die Widerstandsmomente Wy von häufig vorkommenden Flächen dargestellt.Die allgemeine Berechnung erfolgt auf Seite 21.
1
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3
4
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8
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