Technik der Fourier-Transformation
Was ist Fourier-Transformation?
Fourier-
Transformation
Frequenzabhängiges Signalin 1/s
Zeitabhängiges Signal in s
Technik der Fourier-Transformation
Wie macht man das?
Fourier- Reihe
Zerlegung einer periodischen Funktion in ihre sinus- und cosinus-förmigen Anteile
( )0
( ) cos ( ) sin ( )k k k kk
f t A t B tω ω∞
=
= +∑
Technik der Fourier-Transformation
Fourier-Reihen
Voraussetzungen:Periodische Funktionen
gerade: z.b. cosinus ungerade: z.b. sinus „weder, noch“ : z.b. cos + sin
Technik der Fourier-Transformation
Fourier-Reihe:
Ak und B
k sind die Amplituden ,
d.h. Intensitäten der unterschiedlichen Frequenzen
ωk ist die Frequenz
T ist die Periode
k ist eine ganze Zahl (Laufzahl)
2k
kTπω =
( )0
( ) cos ( ) sin ( )k k k kk
f t A t B tω ω∞
=
= +∑
Technik der Fourier-Transformation
Was wollen wir herausfinden? Unterschiedliche Amplituden bestimmter Frequenzen
Ak = ?
Bk = ?
Wozu nochmal ?
genaue Beschreibung unserer Messkurve
( )0
( ) cos ( ) sin ( )k k k kk
f t A t B tω ω∞
=
= +∑
Technik der Fourier-Transformation
Wie kann man die Amplituden bestimmen?
Multiplikation mit cos ωk´t :
Integration:
Vereinfachung durch Orthogonalitätsrelationen!
( ) ( ) ( ) ( )( )/ 2 / 2
´ ´ ´0/ 2 / 2
( ) cos cos cos sin cosω ω ω ω ω∞
=− −
= +∑∫ ∫T T
k k k k k k kkT T
f t t dt A t t B t t dt
( )0
( ) cos ( ) sin ( )k k k kk
f t A t B tω ω∞
=
= +∑
´ ´0
( ) cos ( ) ( cos ( ) sin ( )) cos ( )k k k k k kk
f t t A t B t tω ω ω ω∞
=
= +∑
Technik der Fourier-Transformation
Orthogonalitätsrelationen:
/ 2
/ 2
0 ´2 2 ´cos cos / 2 ´ 0
´ 0
T
T
für k kkt k t dt T für k kT T
T für k k
π π
−
≠ = ≠ = =
∫
/ 2
/ 2
0 ,́ 0 /2 2 ´sin sin ´ 0
/ 2 ´ 0
T
T
für k k k undkt k t dt oder kT T
T für k k
π π
−
≠ = = = ≠
∫
/ 2
/ 2
2 2 ´cos sin 0T
T
kt k t dtT Tπ π
−
=∫
( ) ( ) ( ) ( )( )/ 2 / 2
´ ´ ´0/ 2 / 2
( ) cos cos cos sin cosω ω ω ω ω∞
=− −
= +∑∫ ∫T T
k k k k k k kkT T
f t t dt A t t B t t dt
Technik der Fourier-Transformation
/ 2
´/ 2
( ) cos ( )2
T
k kT
Tf t t dt Aω−
=∫
/ 2
/ 2
2 ( )cos ( )T
k kT
A f t t dtT
ω−
= ∫
( ) ( ) ( )/ 2 / 2
´ ´/ 2 / 2
( ) cos cos cosω ω ω− −
=∫ ∫T T
k k k kT T
f t t dt A t t
k = k´≠ 0 k = k´= 0
/ 2
0/ 2
( )−
=∫T
T
f t dt A T
/ 2
0/ 2
1 ( )T
T
A f t dtT −
= ∫
Technik der Fourier-Transformation
/ 2
/ 2
2 ( ) sin ( )T
k kT
B f t t dtT
ω−
= ∫
Berechnung von Bk ähnlich,
aber Multiplikation mit sin ωk´t
0 0=B
/ 2
0 0/ 2 0
2 ( ) sin ( )T
T
B f t t dtT
ω− =
= ∫ 14243
k = k´≠ 0 k = k´= 0
Technik der Fourier-TransformationBeispielrechnung: Dreieckfunktion
Was ist das?
Diese Dreieckfunktion ist eine gerade Funktion.
nur Ak berechnen
21 / 2 0( )
21 0 / 2
t für T tTf tt für t TT
+ − ≤ ≤= − ≤ ≤
/ 2
/ 2
0
2 ( ) sin ω−
=
= ∫144424443
T
k kT
B f t t dtT
Technik der Fourier-Transformation
Warum nur Ak ?
Aus Symmetriegründen:
Produkt von gerader und ungerader Funktion = ungerade Funktion
Fläche einer ungeraden Funktion in einer Periode = 0
Technik der Fourier-Transformation
Wir setzen die Dreieckfunktion in die Gleichung von Ak ein
/ 2
/ 2
2 ( )cos ( )T
k kT
A f t t dtT
ω−
= ∫
21 / 2 0( )
21 0 / 2
t für T tTf tt für t TT
+ − ≤ ≤= − ≤ ≤
Technik der Fourier-Transformation
Mit Hilfe der folgenden Gleichung lässt sich Ak berechnen:
/ 2
2/ 2
8 2cosT
kT
ktA t dtT T
π
−
= − ∫
2
1cos sin cosax ax dx ax axx a
= +∫
Technik der Fourier-Transformation
k gerade Zahlen
k ungerade Zahlen
k = 0
2 2
2(1 cos )k
kAk
ππ−=
2 2
4kπ
/ 2
0/ 2
1 ( )T
T
A f t dtT −
= ∫
A = 0
A =
A = ½
Technik der Fourier-Transformation
Damit ergibt sich folgende Funktion:
( )0
( ) cos ( ) sin ( )k k k kk
f t A t B tω ω∞
=
= +∑
0 ´1
( ) cos ( )k kk
f t A A tω∞
=
= +∑
2 2 2 2
1 4 1 1 1( ) cos (1 ) cos (3 ) cos (5 ) ...2 1 3 5
f t t t tω ω ωπ
= + + + +
0 10 20 30 40 500,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Am
plitu
de
Frequenz
Fourier-Transformierte der Dreieckfunktion
Technik der Fourier-Transformation
in Hzk=1 k=3 k=5
Technik der Fourier-Transformation
( )0
( ) cos ( ) sin ( )k k k kk
f t A t B tω ω∞
=
= +∑
/ 2
/ 2
2 ( )cos ( )T
k kT
A f t t dtT
ω−
= ∫/ 2
/ 2
0
2 ( ) sin ( )T
k kT
B f t t dtT
ω−
=
= ∫144424443
2 2
2(1 cos ( ))k
kAk
ππ
−=
Komplexe Schreibweise:
Spektrale Intensität gleichermaßen auf positive und negative Frequenzen aufteilen
● Ak-Amplituden halbieren, d.h. Ak ½ = A'k
● Bk-Amplituden halbieren, aber :
negative Frequenzen: Bk -½ = B'kpositive Frequenzen: Bk ½ = B'k
Technik der Fourier-Transformation
( )( ) ' cos( ) ' sin( )k k k kk
f t A t B tω ω∞
=−∞
= +∑nicht mehr von 0
Technik der Fourier-Transformation
Komplexe Schreibweise:
Eulersche Regel:
Einsetzen in:
( )0
( ) cos ( ) sin ( )k k k kk
f t A t B tω ω∞
== +∑
( )1cos ( ) exp ( ) exp ( )2k k kt i t i tω ω ω= + −
( )1sin( ) exp ( ) exp ( )2k k kt i t i ti
ω ω ω= − −
01
( ) exp( ) exp ( )2 2
k k k kk k
k
A iB A iBf t A i t i tω ω∞
=
− + = + + − ∑
Technik der Fourier-Transformation
Durch Vereinfachung ergibt sich:
2 kTπω =
k−∞ ≤ ≤ ∞für/ 2
/ 2
1 ( ) exp( )T
k kT
C f t i t dtT
ω−
= −∫
( ) exp( )k kf t C i tω∞
−∞
=∑
{0
01
( ) exp( ) exp( )2 2k k
k k k kk k
kC für k für kC C
A iB A iBf t A i t i tω ω
−
∞
= −
− += + + −
∑ 14243 1424314243 14243
Kontinuierliche Fouriertransformation
Was ist das?
Alternativ: Zerlegung eines zeitabhängigen Signals in sein Spektrum
Auch hier gilt:
Transformation ergibt Funktion im reziproken Raum
➔ FT [f(t[s])] = F(1/t[s]) = F(ω[s-1])
Technik der Fourier-Transformation
Warum kontinuierliche Fouriertransformation ?
● Transformation nichtperiodischer Signale möglich
periodisches Signal nicht -periodisches Signal
Technik der Fourier-Transformation
Technik der Fourier-Transformation
DiskreteFourierreihe:
- k sind ganze Zahlen in der Reihendarstellung
diskrete Frequenzen ωk mit den jeweils eigenenen Amplituden Ak und Bk
KontinuierlichFouriertransformation:
- keine k
keine diskreten Frequenzen, sondern kontinuierliche Transformierte F(ω);
Funktion F(ω) gibt Amplituden in Abhängigkeit von der Frequenz wieder
Was bedeutet kontinuierlich?
Formal: ( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞
−∞= −∫
( )0
( ) cos ( ) sin ( )k k k kk
f t A t B tω ω∞
=
= +∑ ( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞
−∞= −∫
Vergleich
Technik der Fourier-Transformation
Fourier- Analyse
Zeitabhängiges periodisches Signal
Kontinuierliche Transformation
Zeitabhängiges, periodisches / nicht periodisches Signal
Zu den Verkehrsregeln
● Fouriertransformation ist keine Einbahnstraße:
Hintransformation:
Vorsicht bei den Faktoren
Rücktransformation:
Technik der Fourier-Transformation
( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞
−∞= −∫
1( ) ( ) exp ( )2
f t F i t dtω ωπ
∞
−∞= ∫
Technik der Fourier-Transformation
( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞
−∞= −∫
( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞
−∞= −∫
( )e cos ( ) sin ( )i t t i tω ω ω− = −
( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )F f t t dt i f t t dtω ω ω∞ ∞
−∞ −∞= −∫ ∫
Fouriertransformierte ist eine komplexe Größe
Transformierte aufteilbar in Real- und Imaginär- teil.
Als Beispiel:
aus
mit
wird
Real und Imaginärteil können einzeln dargestellt werden
F(ω)= R(ω) + i I(ω)
Hierbei ist R(ω) der Realteil und I(ω) der Imaginärteil
Die Fouriertransformierte ist darstellbar als:
Betrag der Fouriertransformierten:
oder als , auch Power Darstellung genannt
Technik der Fourier-Transformation
( ) ( ) cos( ) ( ) sin( )F f t t dt i f t t dtω ω ω∞ ∞
−∞ −∞= −∫ ∫
2 2( ) ( ) ( )F R Iω ω ω= +
2 2 2( ) ( ) ( )F R Iω ω ω= +
Beispiel einer Fouriertransformation
● Exponentieller Zerfall
es ergibt sich:
Realteil Imaginärteil
Technik der Fourier-Transformation
exp ( ) 0( )
0t t
f tsonst
λ− ≥=
0( ) exp ( ) exp ( )F t i t dtω λ ω
∞= − −∫
1( )Fi
ωλ ω
=+
2 2 2 2( ) iF λ ωωλ ω λ ω
= −+ +
Fouriertransformation eines Exponentiellen Zerfalls
Betrag der Fouriertransformierten:
Power Darstellung:
Technik der Fourier-Transformation
2 2 2 2( ) iF λ ωωλ ω λ ω
= −+ +
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 22 2
( )
1
iF λ ωωλ ω λ ω
λ ωλ ωλ ω
= − = + +
+ =++
2 22
2 2 2 2 2 2
1( ) iF λ ωωλ ω λ ω λ ω
= − = + + +
Fouriertransformierten des Exponentiellen Zerfalls
Real und Imaginärteil Betrag und Power-Darstellung
Lorentz-Funktion
Real: Betrag:
Imaginär: Power:
Technik der Fourier-Transformation
2
2 2
1( )F ωλ ω
=+
2 2
1( )F ωλ ω
=+2 2( )R λω
λ ω=
+
2 2( ) iI ωωλ ω
= −+
Technik der Fourier-Transformation
Signale und ihre Transformierten
Langsam variierende Signale :● Schnell abfallende Transformierte
➔ Kleines Frequenzspektrum
Schnell variierende Signale :● Langsam abfallende Transformierte
➔ Großes Frequenzspektrum
Zusammenfassung
● Kontinuierliche Transformation durchführbar mit periodischen und nicht-periodischen Signalen
● Transformierte des Signals (Spektrum) ist kontinuierlich
● Transformierte des Signals ist eine komplexe Größe
● Schnell variierende Signale haben langsam abfallende Transformierteund umgekehrt
Technik der Fourier-Transformation
( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞
−∞= −∫
Was beim Transformieren beachtet werden muß?
● Praktisch ist Integration über die Grenzen -∞ bis ∞ unmöglich
kein Signal kann unendlich lange aufgenommen werden
Abschneiden des Signals bei -T und T
Technik der Fourier-Transformation
( ) ( ) exp ( )T
TF f t i t dtω ω
−= −∫
Fehler durch Abschneiden
● Betragsdarstellung des abge-schnittenen Meßsignals eines exponentiellen Zerfalls
● Betragsdarstellung des vollstän-digen Meßsignals eines expo-nentiellen Zerfalls
38
Technik der Fourier-Transformation
Mathematische Betrachtung
● Im Beispiel wurde folgende Funk-tion verwendet:
● Abschneiden der Funktion beim
einem Funktionswert f(t)=exp(-3)
● Rechenbeispiel an einem expo-
nentiellen Zerfall :
0 0
λ
ω ω ω ω∞
= −
= − = −∫ ∫
( ) exp( )
: :
( ) ( )exp( ) ( ) ( )exp( )T
f t t
Abgeschnitten Unabgeschnitten
F f t i t dt F f t i t
39
Technik der Fourier-Transformation
14
( ) exp( )f t t= −
Abschneidefehler
● Als Ergebnis für die Transforma- tion ergeben sich die Funktionen:
für das Abgeschnittene Signal
für das vollständige Signal
● Durch das Abschneiden hat man sich eine Oszilation eingefangen;
erkennbar, wenn man Euler- Beziehung einsetzt.
Wenn möglich nicht Abschneiden, schon gar nicht schlagartig oder unsanft
1λ ωωλ ω
− − −=− −
exp( )exp( )( ) T i TFi
1ωλ ω
=+
( )Fi
40
Technik der Fourier-Transformation
Abschneiden: Schlagartig und unsanft ?
Schlagartig und unsanft sanft und zärtlich
Technik der Fourier-Transformation
Abschneiden des Signals auf der y-Achse
● Wie geht das?– Einfach übersteuern
Was vorher so aussieht sieht nachher so aus
Technik der Fourier-Transformation
Was passiert dann ?
● Die E-Gitarre hört sich so gut an
Warum ?
● Fouriertransformation gibt Antwort:
– Eckige Funktionen besitzen ein unendlich großes Frequenzspekrum➔ Instrumente mit großem Spektrum klingen gut
Fouriertransformation
Technik der Fourier-Transformation
Digitalisierung
● Beispiel CD:– Kein kontinuierliches Signal auf der CD
✗ Aber kontinuierliches Signal aus dem Hifi-Gerät
Wie gehts das?
Fouriertransformation
Technik der Fourier-Transformation
● Messsignal unbekannt– Nur Messpunkte bekannt
● Transformation der Messpunkte liefert kontinuierliches Signal in der Frequenzdomäne
● Durch eine Mathematische Ope-ration erhält man Transformierte des Messsignal
● Rücktransformation liefert das Messsignal
Technik der Fourier-Transformation
● Signal ist vollständig durch Reihe an Messpunkten beschrieben
Voraussetzung:– Die Abtastrate stimmt
Was bedeutet das ?
● Die Abtastrate bzw. Abtastfrequenz muss doppelt so groß sein, wie die maximale darzustellende Frequenz
Nyquist -Theorem
Technik der Fourier-Transformation
max
12AbtastTf
=
Zurück zum Beispiel CD
● Wir höhren maximal Töne bis 20 kHz➔ Nyquist sagt : Mindestens mit 40 kHz Abtasten
➔ 44 kHz ist die von der Industrie verwendete Abtastrate; entsprichtdem Speicherformat für Audiodateien auf bekannten Datenträger ( CD, HDD ....)
➔ Heißt alle 0,025 ms Abtasten
➔ Ein 3 minütiges Lied besitzt 21.6 Mio Abtastwerte
Technik der Fourier-Transformation
max2 Abtastf f=
Zusammenfassung
● Fourierreihe
– Bestimmung der Amplituden
● Kontinuierliche Transformation
– Die Transformierte erhält man durch einfaches Integrieren
● Messungen sind nie vollständig
– daraus resultieren Fehler
– Vermeidung der Fehler
Es gibt tatsächlich alltägliche Anwendungen,
die jeder benutzt, zum Teil ohne es zu wissen
Technik der Fourier-Transformation
( )0
( ) cos ( ) sin ( )k k k kk
f t A t B tω ω∞
=
= +∑
( ) ( ) exp ( )F f t i t dtω ω∞
−∞= −∫
Literatur
● BUTZ, Tillmann (2003), Fouriertransformation für Fußgänger
● BRIGHAM, E.Oran (1992), 5.Aufl., FFT Schnelle Fouriertransformation
Technik der Fourier-Transformation