Download - Tutorat Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Kai Vogt [email protected] Termin3
WICHTIGES AUS TERMIN 2
Kategorien Regeln zur Kategoriebildung Scheinbare- vs. Wahre Kategoriegrenzen Offene Kategoriegrenzen
Häufigkeiten Relative Häufigkeit, absolute Häufigkeit und
kumulierte Häufigkeit Maße der zentralen Tendenz
Modalwert, Median und arithmetisches Mittel berechnen.
Voraussetzungen, Vorteile und Nachteile der Kennwerte kennen. 2
VERTEILUNGSKURVEN
3X-Achse: Variablenwerte ( )
Y-Achse: Personenzahl (Häufigkeit)
ix
N steht für die Gesamtstichprobe
n steht für eine definierte Teilstichprobe (Gruppe)
MODUS, MEDIAN, MITTELWERT UND VERTEILUNGSFORM
4
= Linksschiefe Verteilung = Rechtsschiefe Verteilung
Mo > AM Rechtssteile Verteilung
Mo < AM Linkssteile Verteilung
Mo = AM Symmetrische Verteilung
Verteilungsform I: Schiefe
Linkssteile VerteilungRechtssteile Verteilung
31
3
3
)(
x
N
i i
sN
xxa
Berechnung der Schiefe (a3):
a3<0 rechtssteile Verteilung
a3=0 symmetrische Verteilung
a3>0 linkssteile Verteilung
a3<0 a3>0
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Verteilungsform II: Exzess (Kurtosis)
41
4
4
)(
x
N
i i
sN
xxa
Berechnung der Kurtosis (a4):
a4<3 breitgipflige Verteilung (platykurtisch)
a4=3 normale Verteilung
a4>3 schmalgipflige Verteilung (leptokurtisch)
a4<3 a4>3Breitgipflige Verteilung Schmalgipflige Verteilung
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MAßE DER DISPERSION
Range Interquartilabstand AD-Streuung Varianz Standardabweichung Variationskoeffizient
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RANGE
• Den Range bezeichnet man auch als Spannweite oder Variatonsbreite.
Für kontinuierliche Variablen:Range = maximaler Wert – minimaler Wert.
Für diskrete Variablen:Range = maximaler Wert – minimaler Wert + 1(bei nominalskalierten Variablen =
Kategorienanzahl)
• Voraussetzung: Nominalskalenniveau.
• Nachteile: Anfällig für Ausreißerwerte. Nur 2 Rohwerte fließen in Kennwert ein.
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Range
Minimum Maximum
Geschlecht 1 2
Wohnort 1 5
Optimismus 1 5
Alter 19 45
Neugierde 20 100
Größe 1.55 1.96
Wie groß ist der Range?
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BEISPIEL: RANGEBerechnet für diesen Datensatz den Range.
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rat
4 11,8 11,8 11,8
7 20,6 20,6 32,4
2 5,9 5,9 38,2
8 23,5 23,5 61,8
1 2,9 2,9 64,7
9 26,5 26,5 91,2
3 8,8 8,8 100,0
34 100,0 100,0
1,0
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
5,0
Gesamt
GültigHäufigkeit Prozent
GültigeProzente
KumulierteProzente
Diskrete Variable: Range = max. Wert – min. Wert + 1→ Range 5 – 1 + 1 = 5
QUARTILE & INTERQUARTILABSTAND
• Quartile sind die Punkte einer Verteilung bezeichnet, welche die geordnete Liste von Werten in vier Bereiche mit jeweils 25% der Stichprobe einteilen.
Es gibt also 3 Quartile.
• Wegen dessen Ausreißeranfälligkeit wird statt des Range oft der Abstand zwischen dem 1. und dem 3. Quartil - der Interquartilabstand (IQA)–verwendet.
• Im Interquartilbereich als Maß für den „Kernbereich“ einer Verteilung liegen 50% der Stichprobe.
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BESTIMMUNG DER QUARTILE
1. Es wird der Median bestimmt (Q2).
2. Der Median ist Ausgangspunkt („Nullpunkt“) für die Bestimmung von Q1 (25%) und Q2 (75%).
3. Vom Md ausgehend, berechnet ihr für die untere bzw. obere Teilhälfte noch zweimal einen Median. Dies sind Q1 bzw. Q3.
• Wichtig für gerade Stichprobengrößen: Der Median wird selbst als „virtueller“ Messwert berücksichtigt.
• Anders ausgedrückt: Habe ich eine gerade Stichprobe, verwende ich zur Bestimmung von Q1 und Q3 dann die Formel für ungerade Stichproben.
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INTERQUARTILABSTAND
o Berechnung des Interquartilabstands
Kontinuierliche Variablen: IQA = Q3 – Q1
Diskrete Variablen: IQA = Q3 – Q1 (+1)
o Vorraussetzung: Ordinalskalenniveau.
• Vorteil: nicht so stark anfällig gegen Extremwerte
• Nachteil: Nur 50% des Gesamtbereichs der Rohwerte gehen in den Kennwert ein. 13
BEISPIEL:Geordnete Reihe der Messwerte:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3.5, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5 (N = 34)
1. Median berechnen: Md = Q2 = (3 + 3)/2 = 3
2. Quartile Q1 und Q3 berechnen: Q1 = 2 und Q3 = 4
3. IQA berechnen: IQA = Q3 – Q 1= 4 – 2 = 2
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Virtueller Ausgangspunkt zur Bestimmung von Q1 und Q3.
2
122
NN xx
Md2
1 NxMd
AD-Streuung
N
xxAD
N
i i
1||
Formel der AD-Streuung:
Voraussetzung: Intervallskalenniveau.
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Vorteil: Alle Rohwerte fließen in den Kennwert mit ein.
Nachteil: Viele kleine Abweichungen haben denselben Einfluss wie ein großer abweichender Wert. Um Unterschiede besser darzustellen: Varianz bzw. Standardabweichung
VarianzDie Varianz als wichtigstes Dispersionsmaß beschreibt die mittlere quadrierte Abweichung vom Gesamtmittelwert.
Vorteile: Die Berechnung berücksichtigt jeden Einzelwert; es gibt keinen Informationsverlust.
Größere Abweichungen sind von höherer Relevanz.
Nachteil: Die Varianz ist durch die Bildung der Quadrate schwer zu interpretieren; sie ist ein unstandardisiertes Maß Daher wird oft die Standardabweichung verwendet
N
xN
i ix
1
22
)(
σ² : Varianz in der Population μ: Mittelwert in der Population
Formel der Varianz:
Voraussetzung: Intervallskalenniveau.
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StandardabweichungDie SD berechnet man schlicht durch Ziehen der Quadratwurzel aus der Varianz.
Vorraussetzungen und Vorteile sind dieselben wie bei der Varianz.
N
xN
i i
xx
1
2
2)(
1
)(1
2
2
N
xxN
i i
xx Schätzung aus den Daten einer Stichprobe:
Berechnung aus den Daten der kompletten Population:
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Variationskoeffizient
18
100x
stkoeffizienVariations x
Gibt den Prozentsatz der Standardabweichung im Bezug auf den Mittelwert wieder.
Gut zum Vergleichen von mehreren Variabilitäten.
LATEINISCHE VS. GRIECHISCHE BUCHSTABEN: POPULATION ODER STICHPROBE
• Lateinische Buchstaben Stichprobe
• Griechische Buchstaben Population
• Dabei ist der wahre Wert in der Population in der Praxis nicht bekannt – hierzu müsste nämlich die gesamte Population erhoben werden.
• In der empirisch-sozialwissenschaftlichen Praxis erheben wir immer Stichproben.
• Somit schätzen wir aus Stichprobendaten auf Populationsdaten. Dies machen wir durch die Verwendung eines Dachs (=„Schätzer“) über den griechischen Buchstaben deutlich.
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DREI NOTATIONEN AUF EINEN BLICK
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x̂
xxs Lateinischer
Buchstabe: Beschreibt die Stichprobe
Griechischer Buchstabe: Beschreibt die Population
Griechischer Buchstabe mit Dach: Schätzt aus Stichprobendaten den Populationswert (konservatives Vorgehen mit Freiheitsgrad: N- 1)
POPULATION ODER STICHPROBE?
1. Mich interessiert der Mittelwert der mathematischen Kenntnisse in diesem Tutorat. Ich erhebe mit einer 20-stufigen Skala die Daten jedes Teilnehmers.
Population
2. Forschungsfrage analog zu 1. Diesmal erhebe ich allerdings nur die Daten der Hälfte der Teilnehmer.
Stichprobe
3. Ich erhebe die mathematischen Kenntnisse aller Studenten eures Semesters. Mich interessiert nun der Mittelwert der deutschen Psychologiestudierenden in eurem Jahrgang.
Stichprobe 21
VARIANZ IN DER POPULATION
• Die Stichprobenvarianz ist kein erwartungstreuer Schätzer (im Gegensatz zum Mittelwert); sie unterschätzt die Populationsvarianz. Diese Abweichung ist umso stärker, je kleiner die Stichprobe ist.
• Die Formel für die Stichprobenvarianz korrigiert diese Unterschätzung.
• Freiheitsgrade: Beim Term im Nenner des Bruchs (N-1) spricht man von Freiheitsgraden.
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Populationsvarianz, die aus einer Stichprobe geschätzt wurde.1
)(ˆ 1
2
2
N
xxN
i i
x
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RECHENBEISPIELBerechnet für diesen Datensatz Varianz und Standardabweichung.
Anmerkung: Wir wollen eine Schlussfolgerung für euren gesamten Jahrgang ableiten.
rat
4 11,8
7 20,6
2 5,9
8 23,5
1 2,9
9 26,5
3 8,8
34 100,0
1,0
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
5,0
Gesamt
GültigHäufigkeit Prozent
2,99 x
36,1134
74,44ˆ 2
x
17,136,1ˆ x
1
)(ˆ 1
2
2
N
xxN
i i
x
Kennwerte und Skalenniveaus
Maß Vorraussetzung
Häufigkeit / Prozente Nominal
Modalwert Nominal
Median Ordinal
Quartile Ordinal
arithmetisches Mittel Intervall
Varianz Intervall
Standardabweichung Intervall
Schiefe Intervall
Exzess Intervall
Bei einem jeweils höherem Skalenniveau darf ein Maß selbstverständlich auch eingesetzt werden!
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WICHTIGES AUS TERMIN 3
Verteilungsformen Schiefe & Exzess
Maße der Dispersion Welche Kennwerte gibt es… (Range, IQA,
Varianz, Standardabweichung usw.) Einfache Berechnungen Voraussetzungen, Vor und Nachteile
Stichprobe und Population Notationsunterschiede (Stichprobe Lateinische
Buchstaben, Population Griechische Buchstaben)
Freiheitsgrade (Warum?) 25
VIELEN DANK FÜR EURE AUFMERKSAMKEIT!
Bis nächste Woche… Schreibt euch Fragen auf wenn ihr welche
habt… Fragen an [email protected]
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