Digitale Übertragung 1UniversitätBremen
Grundlagen der NachrichtentechnikGrundlagen der Nachrichtentechnik
I. Kontinuierliche Signale und Systeme
1. Fouriertransformation
2. Tiefpass-Darstellung v. Bandpass-Signalen
3. Eigenschaften von Übertragungskanälen
III. Diskretisierung v. Quellensignalen
1. Abtasttheorem
2. Pulsamplitudenmodulation
3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation
4. Pulscodemodulation
5. Prinzip des Zeitmultiplex
II. Analoge Übertragung
1. Analoge Modulationsverfahren
2. Empfängerstrukturen
3. Einfluss von Rauschen
IV. Digitale Übertragung
1. Struktur e. Datenübertragungssystems
2. Erste u. Zweite Nyquist-Bedingung
3. Rauschangepasstes Empfangsfilter
4. Bitfehlerwahrscheinlichkeit
5. Digitale Modulationsverfahren
__________________________________________________________________
Digitale Übertragung 2UniversitätBremen
1. Structure of Data Transmission Systems1. Structure of Data Transmission Systems
objective: transmitting discrete values d(i) across an analog channel
weighting time-shifted analog impulses gTx(t-iT) with d(i)
( )s t
i
iTtT )(0)(id )(tgTx
i
T )(id )( iTtgTx
Digitale Übertragung 3UniversitätBremen
g(t): impulse response of a transmission system (infinite length)
equally spaced zeros,
interval Tfn
2
1
2. 1st Nyquist Criterion: Time domain2. 1st Nyquist Criterion: Time domain
TfN
2
1
02t0t
t0
1g(t)
-1
shaping function
no ISI !
Digitale Übertragung 4UniversitätBremen
limitation of length )20( 0tt by multiplying with a shaping function
and sampling (rate Na fT
f 21
), Tit 00
1st Nyquist Criterion in time domain
0
0
for 0
for 1)(
ii
iiiTgT
1st Nyquist Criterion: Time domain1st Nyquist Criterion: Time domain
Digitale Übertragung 5UniversitätBremen
1st Nyquist Criterion: Frequency domain1st Nyquist Criterion: Frequency domain
0-1
-
- 2 j i TT
i
G j i e
2a Nf f 4 Nff
1
0j i TG j e
0(limited bandwidth)
Digitale Übertragung 6UniversitätBremen
symmetry to
Nf : Nyquist rolloff
1st Nyquist Criterion: Frequency domain1st Nyquist Criterion: Frequency domain
1
0,5
TfN 2
1 f
a
a
b
b
f f
)(0 jG
TijejGjG 0)()( 0 )( jG with linear phase: ))(( 0 jG
Digitale Übertragung 7UniversitätBremen
Cosine rolloff filterCosine rolloff filter
20 )2(1
)cos()sin()(
Tt
Tt
Tt
Tt
rc tg
r
r
r : rolloff factor 10 r
)1()1( 21
21 rfr TT
Trf 21)1(
)1(21 rf T
)2(0 fjGrc
1
0
ifrr ))1(cos(1 221 T
f
Digitale Übertragung 8UniversitätBremen
Cosine rolloff filter: Examples (w=4)Cosine rolloff filter: Examples (w=4)
Digitale Übertragung 9UniversitätBremen
Demonstration: Eye pattern (r=0,5)Demonstration: Eye pattern (r=0,5)
Digitale Übertragung 10UniversitätBremen
Cosine rolloff filter: Eye patternCosine rolloff filter: Eye pattern
2nd Nyquist
1st Nyquist
2nd Nyquist:
1st Nyquist:
2nd Nyquist:
1st Nyquist:
2nd Nyquist:
1st Nyquist:
2nd Nyquist:
1st Nyquist:
Digitale Übertragung 11UniversitätBremen
Cosine rolloff filter: Bandwidth efficiency Cosine rolloff filter: Bandwidth efficiency
data rate 1/ 2 bit/s
bandwidth (1 ) / 2 1 Hzrc
T
r T r
Hz
bit/s2
)1(
2
Hz
bit/s1
r
2nd Nyquist (r=1) r=0
Digitale Übertragung 12UniversitätBremen
d(i) gTx(t)
Noise na(t)
?
)()()( 0 iTniTriTr
maxN
S
task: design a gRx(t) that maximizes the -RatioS
N
3. Matched Filter3. Matched Filter
)(
)(
)()()(
0
00 Tin
Tir
iidTgTTir
Ti
gRx(t)
Digitale Übertragung 13UniversitätBremen
Matched FilterMatched Filter
0 0 0
0
( )( )
0 ;
g T t T i Tg t
t i T i i
2
2 20 0E ( ) ( ) ( )
D Rx TxR iT g g T d
i.e.
with ( ) ( ) ( )Tx Rxg t g t g t ( )g tand meets 1.Nyquist criterion
2
2 2 22 20 0 0 0E ( ) E ( ) ( ) ( )
D
DR iT D i i g T g T
ˆ( )d ipower of discrete signal
2
2
0E ( ) E
l
R iT D l g l iT
Digitale Übertragung 14UniversitätBremen
Matched filterMatched filter
2 2 20 1E ( ) E ( ) ( )
2 2a a Rx
NN t N iT G j d
f
20N
fN
2
0 fN
2
0
fN 0 noise power on channel is
noise power at output of receive filter gRx(t) :
20N
channel noise na(t) is white with spectral power density
:( )n ipower of interference
Digitale Übertragung 15UniversitätBremen
Matched filterMatched filter
2 2 20 01E ( ) ( ) ( )
2 2 2Rx Rx
N NN iT G j d g d
noise power at output of receive filter gRx(t) :
20N
channel noise na(t) is white with spectral power density
power of interference )(in :
20N
Parseval‘s theorem
2( )RxG j
Digitale Übertragung 16UniversitätBremen
determine signal-to-noise-ratio
N
S
2
20( ) ( )D Rx Txg g T d
20 ( )2 Rx
Ng d
max!
by defining the mean energy of a single transmitted symbol:
SE
dgd Tx
22 )(2D
Matched FilterMatched Filter
2
0 2
0
2
( )
(( ))2
S
TR
Rx Tx
xx
S
N Ng
Eg T
g
d
d d
g
Digitale Übertragung 17UniversitätBremen
since
dTgdg TxTx
2
0
2)()(
N
S- Ratio can be estimated by Schwartz´s inequality
2
0( )Rx Txg g T d
22( ) ( )x TR xgg d d
this implies
2/0N
E
N
S S
Matched FilterMatched Filter
2
0 2
0
2
( )
(( ))2
S
TR
Rx Tx
xx
S
N Ng
Eg T
g
d
d d
g
Digitale Übertragung 18UniversitätBremen
When does equality apply (maximum )?N
S
0 Rx Txg ( t ) g (T t )
Matched FilterMatched Filter
0( ) Rx Txg t g T t
2
2 2
Rx Rx Rx Rxg g d g d g d
2 2
2 2
Rx Rxg d g d
Digitale Übertragung 19UniversitätBremen
0T
example:
transmit filter receive filter
Matched FilterMatched Filter
t
)()( 0 tgtTg RxTx
0T t
)( tgTx
0T t
)(tgTx
Matched Filter: optimal receive filter for maximizedN
S
(matched)
Digitale Übertragung 20UniversitätBremen
Matched FilterMatched Filter
1
2T
1
2T
1
2T
1
2T
0.5
1/ 2
11
ff
G j
Tx Rx Tx Tx Rx RxG j G j G j G j G j G j G j
Tx RxG j G j G j
Nyquist slope Nyquist slope
Raised cosine design Root raised cosine design
Digitale Übertragung 21UniversitätBremen
total system impulse response:
( ) ( ) ( )Rx Txg t g g t d
)( 0 TgTx ( )Txg t d with 0T
0( ) ( ) ( )
Tx Txg t g g t T d ( ) ( )Eggr g g d
reminder:
Matched FilterMatched Filter
implemented as matched filter!)(tgRx
0 Tx Tx
Eg gg t r t T
The impulse response of the total system
is the shifted Energy-ACF of the transmit filter.
Digitale Übertragung 22UniversitätBremen
Grundlagen der NachrichtentechnikGrundlagen der Nachrichtentechnik
I. Kontinuierliche Signale und Systeme
1. Fouriertransformation
2. Tiefpass-Darstellung v. Bandpass-Signalen
3. Eigenschaften von Übertragungskanälen
III. Diskretisierung v. Quellensignalen
1. Abtasttheorem
2. Pulsamplitudenmodulation
3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation
4. Pulscodemodulation
5. Prinzip des Zeitmultiplex
II. Analoge Übertragung
1. Analoge Modulationsverfahren
2. Empfängerstrukturen
3. Einfluss von Rauschen
IV. Digitale Übertragung
1. Struktur e. Datenübertragungssystems
2. Erste u. Zweite Nyquist-Bedingung
3. Rauschangepasstes Empfangsfilter
4. Bitfehlerwahrscheinlichkeit
5. Digitale Modulationsverfahren
__________________________________________________________________
Digitale Übertragung 23UniversitätBremen
4. Bit Error Probability4. Bit Error Probability
We assume: • Binary transmission with
• transmission system fulfills 1. Nyquist criterion
• noise , independent of data sourcen(iT)
Probability density function (pdf) of
},{)( id 0d 1d
)(npN
n
n(iT)
d(i) gTx(t)
Noise na(t)
0 ( ) ( )r nT iTi
Ti
gRx(t)
Digitale Übertragung 24UniversitätBremen
Conditional pdfsConditional pdfs
The transmission system induces two conditional pdfs depending on )(id
• if )(id 0d • if )(id 1d
0d 1dx x
)(0p x )( xpN 0d )(1p x )( xpN 1d
)(0p x )(1p x
Digitale Übertragung 25UniversitätBremen
Probability of wrong decisionsProbability of wrong decisions
11
0 2( ) P P
0
1 10 0 0 02 2
1 12
1 (
12
)
1 1 1 12( ) ( ) ( ) ( )
S
S S
S
xp
b
dx
P x dx x dx x xP Q pP pQ p p dx
Placing a threshold S
Probability of wrong decision
)(0p x )(1p x
0d 1dS S
When we define and as equal a-priori probabilities of and
we will get the bit error probability
0d 1d1P0P
xd
xd0Q 1Q )(1p x)(0p x
x x
S
S
Digitale Übertragung 26UniversitätBremen
22
Conditions for „illustrative“ solutionConditions for „illustrative“ solution
10
2
S
d d
211P 0P )()( xpxp NN
substituting
S
xd)(1p x
xxpN d)(2S 0d 1d
S
1d
for2x S 0d 1d
0d 1d1d 1d0d
x 1d x
equivalently
with
00
d)(21
d)(21
NN pp20d 1d
xx2 0d1d
x x
0
d)(2121
xxpP Nb
2 0d1d
xxPb dd121
S
)(1p xS
)(0p x
xd)(1p x
d)(Np20d 1d
S
xx
S
01
2
0
0 d
' '1
d2
S
N
d d
p
x
x x
xp
With and
Digitale Übertragung 27UniversitätBremen
Special Case: Gaussian distributed noiseSpecial Case: Gaussian distributed noise
• many independent interferers
• central limit theorem
• Gaussian distribution
Motivation:
Definition of „Error Function“ and „Error Function Complement“
)erfc(x 1 )erf( x)erf(
x
0
de2 2
x x
x
2
2
2e2
1)( N
NNp
n
n
no closed solution
xx
2 0d1d
0
2 de2
21
21 2
2
N
NbP
Digitale Übertragung 28UniversitätBremen
Error function and its complementError function and its complement
-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
erf
(x),
erf
c(x)
erf(x) erfc(x)
Digitale Übertragung 29UniversitätBremen
Bit error rate with error function complementBit error rate with error function complement
Expressions with andSE 0N
antipodal: unipolar1d 0d;d d
N
bP22
erfc21 0d1d
1d 0d;d 0
0
erfc21
NE
P Sb
0
1erfc
2 2S
b
EP
N
1 0
2
2
1 1erfc erfc
2 22 2 2
1 1 SNRerfc erfc
2 2 2 2
b
N N
N
d d dP
d
2
2 matched0
SNR/ 2S
N
Ed
N
2
2 matched0
/ 2SNR
/ 2S
N
Ed
N
2
2
2
2
1 1erfc erfc
2 2 82 2
1 / 2 1 SNRerfc erfc
2 4 2 4
bNN
N
d dP
d
1 2
2
0
22
0
1 2 11 e d
2 2N
b
N
dx
d
xP
Digitale Übertragung 30UniversitätBremen
Bit error rate for unipolar and antipodal transmissionBit error rate for unipolar and antipodal transmission
-2 0 2 4 6 8 1010
-4
10-3
10-2
10-1
dBinNE
0
S
BE
R
theoretical
simulationunipolar
antipodal
Digitale Übertragung 2-31UniversitätBremen
Signal-Störverhältnis bei PCM-ÜbertragungSignal-Störverhältnis bei PCM-Übertragung
Annahme:
Bei Fehlentscheidungen eines PCM-Wortes ist nur ein Bit verfälscht Dann sieht die Amplitudenfehlerverteilung nach der Dekodierung
folgendermaßen aus:
( ) 2 vv k 1- P
v-0.5-1 0.5 1
P /2
p ( v)V
b
b
l
Digitale Übertragung 2-32UniversitätBremen
Berechnung des S/N bei PCMBerechnung des S/N bei PCM
Die Leistung des PCM-Fehlers berechnet sich zu:
Mit
folgt
1 12 2
0 0
2V 2 2 2
2
l lb
b
PP
2-2
2
1 2 4für 2 1
1 2 3
ll
b bP P
0
1erfc
2 2S
b
EP
N
2V
0
2erfc
3SE
N
Digitale Übertragung 2-33UniversitätBremen
Berechnung des S/N bei PCMBerechnung des S/N bei PCM
Zusätzlich tritt noch der Quantisierungsfehler auf
und sind unabhängig voneinander
Sinusförmiges Signal
2Q
22 21
212 3
lQ
Q
2Q2
V
2 22 2
0
2 erf3
21
c lQC
SVP M
E
N
2V 1/ 2
0
2V
2 2PCM
3/ 2
2erfc 2SE lPCM
N
S
N
Digitale Übertragung 2-34UniversitätBremen
Darstellung des Schwellwert-EffektesDarstellung des Schwellwert-Effektes
0 2 4 6 8 10 12 14 160
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
(Es/N
0) in dB
(S/N
) PC
M
16 bit
12 bit
8 bit
PCM-Schwelle
PCM-Schwelle:
Beipiel:
22QV
0
22 erfc 2S
Schwelle
lE
N
12l
0
12 dBS
Schwelle
E
N
Digitale Übertragung 2-35UniversitätBremen
Grundlagen der NachrichtentechnikGrundlagen der Nachrichtentechnik
I. Kontinuierliche Signale und Systeme
1. Fouriertransformation
2. Tiefpass-Darstellung v. Bandpass-Signalen
3. Eigenschaften von Übertragungskanälen
III. Diskretisierung v. Quellensignalen
1. Abtasttheorem
2. Pulsamplitudenmodulation
3. Pulsdauer- und Pulsphasenmodulation
4. Pulscodemodulation
5. Prinzip des Zeitmultiplex
II. Analoge Übertragung
1. Analoge Modulationsverfahren
2. Empfängerstrukturen
3. Einfluss von Rauschen
IV. Digitale Übertragung
1. Struktur e. Datenübertragungssystems
2. Erste u. Zweite Nyquist-Bedingung
3. Rauschangepasstes Empfangsfilter
4. Bitfehlerwahrscheinlichkeit
5. Digitale Modulationsverfahren
__________________________________________________________________
Digitale Übertragung 2-36UniversitätBremen
5. Digital Modulation Methods5. Digital Modulation Methods
up to now: real data
i
I Tts )( )(id I )( iTtgTx
)(id I
i
Tts )( )()( idjid QI )( iTtgTx
complex data )()()( idjidid QI
)(ts : ‘ complex envelope ‘
bandpass transmission allows the application of complex baseband signal )(ts
Digitale Übertragung 2-37UniversitätBremen
Transmitter ConfigurationTransmitter Configuration
RF-signal (carrier frequency 0):
tjets 0)(
is real ! )(tx
)sin()()()cos()()( 00 tiTtgidTtiTtgidTi
TxQi
TxI
block diagram of Quadrature-Amplitude-Modulation (QAM) transmitter:)cos( 0t
)sin( 0t
)(tgTx
)(tgTx
)(id I
)(idQ
signalmapping
(ROM)
)(tx
0
1)( Mld
}1,0{)( jb
S/ P
co
nv.
impulsegenerator
impulsegenerator
+
-
Re)( tx
sourcebits:
Digitale Übertragung 2-38UniversitätBremen
Examples for Signal Space ConstellationsExamples for Signal Space Constellations
)(id I
)(idQ
)(id I
)(idQ
)(id I
)(idQ
)(id I
)(idQ
)(id I
)(idQ
)(id I
)(idQ
4 ASK (M=4)
8 PSK (M=8)
QPSK, =0(M=4)
QPSK, =/4 (M=4)
16 PSK/ASK(M=16)
16 QAM (M=16)
M: number of signal points every signal point represents ld(M) bits
Digitale Übertragung 2-39UniversitätBremen
signal in lowpass domain:
mean symbol energy:
signal in bandpass domain:
mean symbol energy:
( ((( )) ))T Txpl
x g tdt lll TjdT
02
0 0 (
( ) 2 Re ( )
2 cos(2 ) sin(2( ) )( ))) (
j f t
T
B
x
p Tp
l lTxg t l
x t x t e
T gT f d l t lTf d l
222 ( )TS xE T D dt tg
2
2 2
22 2 ( )2 2X S
D
TxE T dtD
g ED
t
Digitale Übertragung 2-40UniversitätBremen
Linear Modulation with Nyquist Impulse ShapingLinear Modulation with Nyquist Impulse Shaping
QPSK diagram under limited bandwidth conditions
if system (tx and rx filter) meets 1st Nyquist : 4 sharp signal points (right diagram)
Digitale Übertragung 2-41UniversitätBremen
Linear Modulation with Nyquist Impulse ShapingLinear Modulation with Nyquist Impulse Shaping
QPSK diagram under limited bandwidth conditions
if system (tx and rx filter) meets 1st Nyquist : 4 sharp signal points (right diagram)