1
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung?
Karl - Josef Maiwald
Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung?
Karl - Josef Maiwald
22. März 2010: ILF-Fortbildung bei der Debeka
2
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Themen
Womit beschäftigt sich eine Versicherung?
Welche Arten von Mathematik werden dazu benötigt?
3
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Gefahr: Der „Ernährer“ der Familie fällt aus
Schutz durch Lebensversicherung
Gefahr: Altersarmut
Schutz durch Rentenversicherung
Womit beschäftigt sich eine Versicherung?
Risiko: Vorzeitiger Tod
Risiko: Langlebigkeit
4
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Gefahr: Einkommensausfall
Schutz durch Berufsunfähigkeits-versicherung
Womit beschäftigt sich eine Versicherung?
Gefahr: Krankheitskosten nicht bezahlen zu können
Schutz durch Krankenversicherung
Risiko: Krankheit
Risiko: Invalidität und Berufsunfähigkeit
5
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Gefahr: Pflegekosten nicht bezahlen
zu könnenSchutz durch Pflegeversicherung
Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können
Schutz durch KFZ-Haftpflichtversiche-rung
Womit beschäftigt sich eine Versicherung?
Risiko: Pflegefall
Risiko: Autounfall
6
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu könnenSchutz durch Wohngebäudeversiche-rung bzw. Elementarversicherung
Womit beschäftigt sich eine Versicherung?
Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können
Schutz durch Haftpflichtversicherung
Risiko: Schadenersatzansprüche gegenüber Dritten
Risiko: Feuer, Wasser, Sturm, Erd- beben, Hochwasser, Hagel ...
7
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Womit beschäftigt sich eine Versicherung?
Die Absicherung der wirtschaftlichen Folgen von Risiken ist das Betätigungsfeld einer Versicherung
Bedarfsgerechte Produkte zur Absicherung der Risiken schaffen.
Preise festlegen.
Aufgabe einer Versicherung:
8
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Womit beschäftigt sich eine Versicherung?
Wie kann man Risiken messen?Antwort: mit Mathematik!
Um einen Preis für eine Versicherung fest-setzen zu können, müssen die Risiken mess-bar gemacht werden.
9
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Für biometrische Risiken benötigt man deren Eintrittswahr-scheinlichkeit.
Wie kann man Risiken messen?
Für Kosten-, Schaden- und Haftungsrisiken benötigt man zusätzlich deren Schadenhöhen und Verteilung.
Die Messbarkeit der Eintritte von Risiken und deren Schaden-höhen erfolgt mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik.
Es steckt somit viel Stochastik in einer Versicherung.
Es können nur Risiken versichert werden, die noch nicht eingetreten sind. !„Brennende Häuser kann man nicht mehr versichern“.
10
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Ein 45-jähriger Mann möchte eine einjährige Lebensversicherung
über 10.000 Euro abschließen.
1. Beispiel: Risikomessung in der Lebensversicherung
Risikomessung: Bestimmung der Sterbewahrscheinlichkeit.
452007
200345
2007
200345
ˆ5
5q
JahrenletztendeninLebende
JahrenletztendeninTote
J
J
J
J
L
T
1)
2) Das Verfahren liefert für jedes Alter die Sterbetafel.
Ergebnis: q45 = 0,3 %
11
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Prämienbestimmung:
E(VS) = Erwartete Versicherungsleistung
= Eintrittswahrscheinlichkeit für Todesfall x Schadenhöhe (Versicherungssumme)
= q45 x VS
= 0,003 x 10.000
= 30 EUR
12
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Versicherung kann nur funktionieren, wenn viele Personen eine solche Versicherung abschließen.
Beispiel:
Einnahmen1000 45-jährige Männer: 1.000 x 30 = 30.000 EUR
Ausgaben3 Personen sterben: 3 x 10.000 EUR = 30.000 EUR
Es wird eine große Gefahren-gemeinschaft benötigt.
13
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
2. Beispiel: Risikomessung in der Krankenversicherung:
Eintrittswahrscheinlichkeit für Krankheit
Höhe der Schäden bzw. Schadenhöhenverteilungen
Bei einer Krankenversicherung liegt ein besonderes Schutz-bedürfnis der Versicherten vor.
Für die Risikomessung und Prämienberechnung sind gesetz-liche Rahmenbedingungen zu berücksichtigen.
14
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
§ 12 Abs.1 Nr.1 VAGDie Prämien sind auf versicherungsmathemati-scher Grundlage ... zu berechnen.
Gesetzliche Rahmenbedingungen für die Beitragskalkulation
Wahrscheinlichkeitstafeln statistische Daten zur Krankheitsgefahr Sterblichkeit Stornowahrscheinlichkeit ...
Für die Beitragskalkulation in der substitutiven Krankenversicherung gilt:
15
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Es ist eine Alterungsrückstellung nach § 341 f HGB zu bilden.
Gesetzliche Rahmenbedingungen für die Beitragskalkulation
Der Versicherer verzichtet auf das ordentliche Kündigungsrecht.
§ 12 c VAG
Kalkulationsverordnung
§ 12 Abs 1 Nr. 2 VAG:
§ 12 Abs 1 Nr. 3 VAG:
16
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
1. Dauernde Erfüllbarkeit
Der Beitrag muss so kalkuliert sein, dass der Versicherungs-vertrag dauernd, d. h. lebenslang, erfüllbar ist.
Kalkulationsgrundsätze
PKV: Dauerhaft deshalb, weil eine Kündigung durch den Versicherer ausgeschlossen ist.
17
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
2. ÄquivalenzprinzipDie erwarteten Leistungen müssen genau durch die erwarteten Beitragseinnahmen gedeckt werden.
künftigeLeistungen
(Leistungs-barwert)
künftigeBeiträge
(Prämien-barwert)
Das heißt: kein Gewinnzuschlag!
Kalkulationsgrundsätze
18
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105Alter
EUR
3. Risikogerechter / Risikoadäquater Beitrag
Kalkulationsgrundsätze
Keine Bemessung der Prämie nach dem Einkommen wie in der GKV.Das Krankheitsrisiko ist unabhängig vom Einkommen.
19
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105Alter
EUR
Kalkulationsgrundsätze4. Beitrag vom Eintrittsalter abhängigDer Beitrag darf wegen Älterwerdens der versicherten Person nicht erhöht werden
20
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Risikomessung: Krankheit
1 Person je Alter
0
4.000
8.000
12.000
16.000
20.000
24.000
28.000
32.000
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Alter
€
21
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
10 Personen je Alter
Risikomessung: Krankheit
0
4.000
8.000
12.000
16.000
20.000
24.000
28.000
32.000
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Alter
€
22
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
50 Personen je Alter
Risikomessung: Krankheit
0
4.000
8.000
12.000
16.000
20.000
24.000
28.000
32.000
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Alter
€
23
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
100 Personen je Alter
Risikomessung: Krankheit
0
4.000
8.000
12.000
16.000
20.000
24.000
28.000
32.000
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Alter
€
24
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
250 Personen je Alter
Risikomessung: Krankheit
0
4.000
8.000
12.000
16.000
20.000
24.000
28.000
32.000
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Alter
€
25
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
500 Personen je Alter
Risikomessung: Krankheit
0
4.000
8.000
12.000
16.000
20.000
24.000
28.000
32.000
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Alter
€
26
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
1000 Personen je Alter
Risikomessung: Krankheit
0
4.000
8.000
12.000
16.000
20.000
24.000
28.000
32.000
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Alter
€
27
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
0
4.000
8.000
12.000
16.000
20.000
24.000
28.000
32.000
35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
Alter
€
Risikomessung: Krankheit
28
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Risikomessung: Arzneien und Verbandmittel
0,00
200,00
400,00
600,00
800,00
1.000,00
1.200,00
1.400,00
1.600,00
1.800,00
2.000,00
0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91
Alter
EU
R
Frauen
Männer
29
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Risikomessung: ambulant
0,00
1.000,00
2.000,00
3.000,00
4.000,00
5.000,00
6.000,00
0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91
Alter
EU
R
MännerFrauen
30
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Risikomessung: Krankenhaus
0,00
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
2.500,00
3.000,00
3.500,00
4.000,00
4.500,00
5.000,00
0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91
Alter
Männer
Frauen
31
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Alter
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91
Männer
Frauen
Risikomessung: Zahnbehandlung
32
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Alter
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
450,00
0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91
Frauen
Männer
und Risikomessung: Kieferorthopädie / Zahnersatz
33
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Wie werden die Wahrscheinlichkeiten mpx und die Er-
wartungswerte Kx+m bestimmt?
Ableitung aus Beobachtungen an eigenen Versicherten-
beständen oder - falls nötig - aus branchenweiten Sammel-
statistiken mit Hilfe von Methoden der Statistik.
Insbesondere werden Verfahren der Schätztheorie,
Testtheorie und (nicht-parametrischen) Regression
eingesetzt.
Risikomessung: Krankheit
34
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Datengewinnung
Anzahl der Rechnungen jährlich: 25 MillionenFür 4 Jahre: 100 MillionenVersicherte Personen: 4 Millionen
35
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Der Gesetzgeber verlangt von den Versicherungsunternehmen,
dass sie zur Sicherstellung der dauernden Erfüllbarkeit der
Verträge Eigenmittel bilden, um mögliche Verluste abdecken
zu können.
3. Beispiel: Das Versicherungsunternehmen als Risiko
Eigenmittel Verluste
36
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Die Risiken eines Versicherungsunternehmens
Kapitalanlage-risiko
Kalkulations- risiko
operationales Risiko
Versicherungsleistungen
Kursänderungen von Aktien, Zinsen sinken
Verluste durchMenschen (Fehlverhalten, Betrug)
Ausfall von Krediten
Konzentrationsrisiko
Verbleibewahrscheinlichkeiten
Kosten
IT-Systeme (Zusammenbruch)
externe Ereignisse (Gesetzgebung)
37
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Verteilungsfunktion Das VU benötigt Kenntnisse über die Eintrittswahrschein-
lichkeit und die Ausprägung der Risiken.
Es muss die Verteilung der Zufallsvariablen kennen, die
die Ereignisse beschreiben.
Eine der bekanntesten Verteilungsfunktionen ist die Normal- oder Gaußverteilung.
38
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Normalverteilung
39
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Beispiel
Ein VU möchte 15.000 € am 01.07.2008 in Aktien investieren.
Das VU benötigt 15.000 € am 31.12.2008 zur Erfüllung einer Versicherungsleistung.
Wie viel Kapital muss das VU neben dem Aktieninvestment sicher anlegen, um auch bei einem Rückgang des Aktienkurses seine Leistung mit 90 %-iger Sicherheit erfüllen zu können ?
40
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
0,0E+00
2,0E-05
4,0E-05
6,0E-05
8,0E-05
1,0E-04
1,2E-04
1,4E-04
5.000 7.000 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.000 21.000 23.000 25.000
Aktienkurs (€)
Verteilungsfunktion
Gewinn(50 %)
Annahme: Die Entwicklung des Aktienkurses ist normalverteilt,Erwartungswert der Aktien (31.12.2008): 15.000 €
Verlust(50 %)
41
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Ziel: Die Gefahr für einen Verlust soll von 50% auf 10% reduziert werden.
Das Risikomaß Value at Risk zum 10%-Niveau ist der größte Wert, den die Zufallsvariable mit höchstens 10%-iger Wahrscheinlichkeit unterschreitet.
VaR(10%) = 11.155 €: Mit nur 10%-iger Wahrscheinlichkeit fällt der Wert der Aktien unter 11.155 € .
Mit dem VaR kann die Verlustrücklage bestimmt werden, die das VU bilden muss, damit es nach einem Rückgang des Aktienkurses mit höchstens 10%-iger Wahrscheinlichkeit die Leistung nicht erfüllen kann.
Verlustrücklage = 15.000 € - 11.155 € = 3.845 €.
42
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
0,0E+00
2,0E-05
4,0E-05
6,0E-05
8,0E-05
1,0E-04
1,2E-04
1,4E-04
5.000 7.000 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.000 21.000 23.000 25.000
Aktienkurs (€)
Verteilungsfunktion
Gewinn(50 %)
Annahme: Die Entwicklung des Aktienkurses ist normalverteilt,Erwartungswert der Aktien: 15.000 €
Verlust(10 %)
Verlustrücklage(3.845 €)
43
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Modellvorgabe: VaR mit 0,5%-Niveau
Ein VU muss so viel Sicherheitskapital besitzen, dass es höchstens mit 0,5%-iger Wahrscheinlichkeit einen Verlust erleidet bzw. mit 99,5%-iger Wahrscheinlichkeit keinen Verlust erleidet.
44
Versichern und Bausparen
Copyright by Debeka VVaG
Statistik
Analysis
lineare Algebra
Numerik
Wahrscheinlichkeits- theorie
Risikotheorie
Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung?
Je mehr Mathe, desto besser!
Versichern und Bausparen
Vielen Dankfür
die Aufmerksamkeit