13.11.2010
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Zeitreihenanalyse
H.P. Nachtnebel
Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau
Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 2
Definitionen und AnwendungDefinition Zeitreihe
• zeitliche Abfolge von Messwerten, deren Auftreten statistischen Gesetzmäßigkeiten unterliegt
Anwendung: Zeitreihenanalyse und -synthese • Für die Dimensionierung, die Beurteilung der Zuverlässigkeit von Systemen
und die Vorhersage werden ZR.A. und Simulationen angewandt
Art der Messwerte• Kontinuierlich
Schreiber• Diskret
TerminwerteMittelwerte einer Zeitsp
)(tX
)( ii tX
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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 3
Darstellung: Ganglinien
kontinuierlich
diskret
Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 4
Methodik
ZeitreihenanalyseZerlegung in wesentliche Anteile und quantitative Beschreibung
Trend …Beispiel: Rückläufige Abflüsse südlich des Alpenhauptkamms
Periode ...Beispiel: in Ö die Frühjahrshochwässer
Stochastischer Anteil …
)(tXT
)(tX P
)(tX R
)()()()( tXTXtXtX RPT ++=
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Methodik
Zweck der ZeitreihenanalyseErmittlung der einzelnen AnteileParametrisierung des Informationsgehaltes in einer Zeitreihe
Simulation (Generierung)• Dann können Reihen generiert werden, die den gleichen
Informationsgehalt (gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit) wie beobachtete Reihe haben
Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 5
Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 6
Homogenität / Stationärität
Homogenität• Unterteilung einer Reihe in Teilreihen• Bestimmen der Parameter
MittelwertVarianzSchiefe
• Parameter der Teilreihen weichen nicht signifikant voneinander ab dieselbe Grundgesamtheit Homogen
Stationärität• Mittelwerte von Teilabschnitten weichen nicht signifikant
voneinander ab Stationärität 1. Ordnung• Mittelwerte und Kovarianz von Teilabschnitten weichen nicht
signifikant voneinander ab Stationärität 2. Ordnung
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Beispiel für Trendanalyse:Extreme Niederschlagsereignisse in Wien
Zahl der Tage mit mehr als 30 mm Niederschlag in Wien Reihe 1961 - 2001
2
0
1
0
4
1
0
1 1
2
3
1
3
1
2
0
2
0
1
2
0 0
2
1 1
2
1
0
2
0
4
3
0
2 2 2
5
4
2 2
00
1
2
3
4
5
6
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
Jahr
Tage
(Rudel, ZAMG 2002)
Ja !!!!
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Beispiel für Trendanalyse:Extreme Niederschlagsereignisse in Wien
Zahl der Tage mit mehr als 30 mm Niederschlag in Wien Reihe 1903 - 2001
3
2
1
2
3
1
2
3
1
5
1
3
44
00
22
33
0
2
4
2
1
0
2
4
2
11
2
1
3 3
4
22
5
22
3
0
11
00
44
0
222
11
3
5
0
2
0
1
0
4
1
0
11
2
3
1
3
1
2
0
2
0
1
2
00
2
1 1
2
1
0
2
0
4
3
0
22 2
5
4
2 2
00
1
2
3
4
5
6
1903
1905
1907
1909
1911
1913
1915
1917
1919
1921
1923
1925
1927
1929
1931
1933
1935
1937
1939
1941
1943
1945
1947
1949
1951
1953
1955
1957
1959
1961
1963
1965
1967
1969
1971
1973
1975
1977
1979
1981
1983
1985
1987
1989
1991
1993
1995
1997
1999
2001
Jahr
Tage
(Rudel, ZAMG 2002)
Nein !!!!
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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 9
Trends in Niederschlag und Abfluss
Moser et al., 2003
Annual precipitation
Abfluss
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Schätzung Trendanteil XT(t) 1
Annahme• Linearer Trend
Schätzung von A und B durch Regressionsrechnung
)(tXT
tBAtXT *)( +=
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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 11
Trendanteil XT(t) 2
Annahme• Nichtlineares Verhalten
Beispiel: Nachfragefunktion – zuerst stark ansteigend mit anschließender Sättigung
• Sprungstellen
X(t)
tIx IIx
2**)( tCtBAtXT ++=
Ix
IIx
T
T
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Trends in der Streuung
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Trendeliminierung
X‘(t) = X(t)-XT(t) = XP(t)+XR(t)Oder nicht parametrisch durch numerisches DifferenzierenX‘(t) = (X(t+1)-X(t))/1 bei linearem Trend
Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 13
Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 14
Periodische Komponente
Hintergrund der Periodizität• Meist klimatische Faktoren
Tagesschwankungen von Abflussmengen jährliche Schwankungen durch saisonale Klimabedingungen
zuvor wichtig ist Elimination des TrendanteilsBestimmung des Periodenanteils
• bei bekannter PeriodenlängeFourieranalyse Mittelungsmethode
• bei unbekannten PeriodenlängeAutokorrelation
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Fourieranalyse
Approximation einer beliebigen Funktion durch eine Überlagerung von Sinus- und Cosinus-Funktionen
Amplitude bzw. AjFrequenzPhasenwinkelXt Messwerte
Tf j /1=
( )jjP tjAAtX ϕω +Σ+= sin2
)( 0
jϕ
( ) ( )( ))sincos(
**2sin**2cos)(
tjDtjC
tfDtfCtX
jj
jjjjP
ωω
ππ
+
=+=
∑∑
Cj, Dj
Tπω 2
=
tjxn
Ct
tj ωcos20∑=
⋅⋅= ∑=
⋅=0
sin2t
tj tjxn
D ω
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Autokorrelation
Definition• Vergleich der Reihe mit sich selbst• Feststellen von Zusammenhängen innerhalb der Reihe
AnwendungFeststellung eines periodischen VerhaltenszB Jahresgang
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Berechnung der Autokorrelation
Analog zu Kapitel 3 Korrelation und Regression
Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 17
Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 18
Autokorrelationskoeffizient / PeriodogrammAutokorrelationskoeffizient:
Korrelationskoeffizient als Funktion der Verschiebung τKann auch direkt aus denFourierkomponentenberechnet werden
PeriodogrammAblesen der Amplituden-quadrate bei den FrequenzenStrichlierte Linie = Signifikanz-niveau
F²/2=
ff1 f2 f3 f4 fjf6f5
( ) ( )( )∑ += tfDtfCtX jjjjP **2sin**2cos)( ππ
( ) ( )( )∑
∑
=
=
+
+=
1
221
22 **2cos
jjj
ijjj
DC
fDCr
τπτ
( ) 2/22jj DC +
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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 19
• … Random = zufällige Größe
Ursache• zumeist durch kurzfristige, zufällige Witterungserscheinungen
Überlegung• Zeitreihenwert ist vom vorhergehenden Wert abhängig• plus einer zufälligen Schwankung
• r1 … Autokorrelationskoeffizient• … Zufallsanteil
Stochastischer Anteil
)()()()()('' tXtXtXtXtX RPT =−−=
)(tX R
)()1(*)( 1 ttXrtX RR ε+−=
)(tε
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Zeitreihensynthese
Anwendung auf Zeitreihensynthese• Bei gegebenen Parametern kann eine Zeitreihe generiert
werden• Parameter
Trendanteil A,BJahresgang C,DStochastischer Anteil r1, σε
• Die generierte Zeitreihe hat die gleiche statistische Wahrscheinlichkeit wie die beobachtete Reihe, aber eine andere zeitliche Abfolge
• Trockenjahre / Nassjahre • Man kann damit Wasserwirtschaftssysteme testen
VersorgungsanlagenSpeicherHochwasserrückhaltebecken …
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Beispiel Simulation Zeitreihe
Anwendung der Synthese
Simulation für BemessungszweckeSimulation zur Prüfung der Funktionsweise von BauwerkenSimulation liefert keine neue Information, aber generiert Reihen, die gleich wahrscheinlich sind wie beobachtete ReiheEs können daher Nassjahre, Trockenjahre, Extremereignisse etc. in der Simulation auftreten
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Zusammenfassung Zeitreihenanalyse
Definitionen• Zeitreihe und ihre Anwendung in der Hydrologie• Art der Messwerte• Grafische Darstellung der Zeitreihe = Ganglinie
ZeitreihenanalyseWesentliche Anteile
• Trend• Periode
FourieranalyseAutokorrelation - Periodogramm
• Stochastischer Anteil
Zeitreihensynthese• Beispiel
LinearNichtlinearSprungstellen