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Vorlesung 23.10.2006:
Erste Auswertungen von erfassten Daten: absolute und relative Häufigkeiten; Lage- und Streuungsmaße
Vorlesung 30.10.2006: Gleichzeitige Untersuchung von 2 Merkmalen
Mengentheoretische Grundbegriffe
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Untersuchung von Datenmengen
geeignete (= aussagekräftige und intuitive) Darstellung finden
Aber: Vorsicht beim Lesen von Diagrammen
Dem ersten Eindruck nicht bedingungslos trauen!
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Beeindruckende Ergebnisse – oder?
Tipp: Achten Sie auf die Achsen-beschriftung!
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Eine gute graphische Darstellung von statistischen Daten?Vorsicht beim Lesen!
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Lage- und Streuungsparameter für eine gegebene Stichprobe
Beispiel: Clownspiel meine Würfelserie: 5 3 1 2 2 5 6 3 5 6 1 2 5 2 4
Augenzahl H(a) h(a)
1 2 2/15
2 4 4/15
3 2 2/15
4 1 1/15
5 4 4/15
6 2 2/15
StichprobenumfangHier: Länge der Würfelserie = 15
Arithmetisches Mittel
...46,3)425216536522135( 1552
151
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1 2 3 4 5 6
Arithmetisches Mittel =Schwerpunkt=Unterstützungspunkt für das Gleichgewicht unserer Waage
Frage: Wie schwanken, wie streuen die Ausprägungen um den „zentralen Wert“ , d. h. um das arithmetische Mittel?
Berechnung der Standardabweichung
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Berechnen der Stichprobenvarianz und der Standardabweichung für meine Würfelserie:
Würfelserie: 5 3 1 2 2 5 6 3 5 6 1 2 5 2 4
n
iin aas
1
21
12 )( Für meine Serie:
2 2 2 2115 1 ((5 3,46) (3 3,46) (1 3,46) ... (4 3,46) )
2 2 2 2114 (1,54 0,46 2,46 ... 0,54 )
83817,2...
Die gewürfelten Augenzahlen streuen im Bereich
(3,46-1,6847 , 3,46 + 1,6847) = (1,7753 , 5,1447)
Übergang zur Standardabweichung: 6847,183817,22 s
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6847,183817,22 sStandardabweichung
(durchschnittliche Streuung)
1 2 3 4 5 6
Streubereich um den Mittelwert 3,46 ,in dem die meisten der Ausprägungen der (= meiner konkreten) Stichprobe liegen.
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Gleichzeitige Untersuchung von zwei Merkmalen
Vorgegeben: eine Gruppe von Merkmalsträgern
Wir betrachten für diese Merkmalsträger gleichzeitig zwei Merkmale:
Jedem Merkmalsträger werden gleichzeitig zwei Ausprägungen zugeordnet:
seine Ausprägung bezüglich des 1. Merkmals und seine Ausprägung bezüglich des 2. Merkmals
Merkmalsträger Nr. j Zuordnung (x (j), y(j))
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Datenmatrix: tabellarische Darstellung, die für jeden Merkmals- träger der untersuchten Gruppe die zu ihm gehörigen Merkmalsausprägungen enthält
Beispiel: Erfassung von Geburtstagsdaten für eine Gruppe von 49 Studierenden
Merkmalsträger, durch eine laufende Nummer „benannt“
Geburtsmonat Geburtsjahr
1 März 1985
2 Januar 1986
3 März 1985
… … …
49 Oktober 1986
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laufende Nummer
Geburts-monat
Geburts-jahr
1 März 1985
2 Januar 1986
3 März 1985
… … …
49 Oktober 1986
Aus der Datenmatrix kann die Tabelle der zugehörigen absoluten (oder relativen ) Häufigkeiten abgelesen werden.
1985 1986 1987
Januar 2
Februar 4 2
März 11 1
April 6
Mai
Juni
Juli 4
August 2
September 4
Oktober 3 4
November 4
Dezember 2
Tabelle der absoluten Häufigkeiten
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Darstellung der Merkmalsausprägungskombinationen (Geburtsmonat, Geburtsjahr)
für jedes Mitglied unsere Gruppe in einem Punktediagramm:
Achtung: hinter manchen dieser Punkte stehen mehrere Merkmalsträger!
Geburtsmonate und -jahre
84
85
86
87
88
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Monate
Jah
r
11 Geb.
1 Geb.
1985 1986 1987
Januar 2
Februar 4 2
März 11 1
April 6
Mai
Juni
Juli 4
August 2
September 4
Oktober 3 4
November 4
Dezember 2
Achtung: Für die Monate ist die (willkürliche) Kodierung durch die Zahlen 1,2,…,12 gewählt, für die Jahre die (willkürliche) Kodierung durch 85,86,87.
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Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung zur gegebenen Datenmatrix:
für jede Ausprägungskombination wird die zugehörige absolute (oder relative) Auftrittshäufigkeit aufgetragen
02468
1012
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
85
86
87
Hier: Verteilung der absoluten Häufigkeiten der Ausprägungskombinationen (Geburtsmonat, Geburtsjahr)
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Frage: Bestehen Zusammenhänge zwischen den beiden uns interessierenden Merkmalen?
Lassen sich aus unseren Daten statistische Zusammenhänge zwischen den beiden Merkmalen vermuten?
Vorgehen:
n Merkmalsträger, jeweils bezüglich beider Merkmale befragt
Merkmal 1: Merkmalsausprägungen x1, … , xn werden notiert,
Merkmal 2: Merkmalsausprägungen y1, … , yn werden notiert,
Die arithmetischen Mittel und werden berechnet,
die Stichprobenvarianzen s2(Merkmal 1) und s2(Merkmal 2) werden berechnet.
x y
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Korrelationskoeffizient der beiden Merkmale bezüglich der untersuchten Stichprobe
))(...)(())(...)((
)()(...)()(:
221
221
11
yyyyxxxx
yyxxyyxxr
nn
nn
EXCEL-Befehle zur Berechnung der Standardabweichung und des Korrelationskoeffizienten für Datenreihen von Merkmalsausprägungspaaren:
STABWN(A1:A49) , STABWN(B1:B49)
KORREL(A1:A49;B1:B49)
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Geburtstagsbeispiel:
)212411)43(1049284764)111(3)24(221(49
1x
= … 16,6
78,85...))422(87)2434612(86)4114(85(49
1y
Monatsnummer 1985 1986 1987
1 (=Januar) 2
2 (=Februar) 4 2
3 (=März) 11 1
4 (=April) 6
5 (=Mai)
6 (=Juni)
7 (=Juli) 4
8 (=August) 2
9 (=September) 4
10 (=Oktober) 3 4
11 (=November) 4
12 (=Dezember) 2
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jx x
Mögl. Merkmals-ausprägung
Abweichung vom Mittelwert Quadratische Abweichung vom Mittelwert
1 1 - 6,16 = -5,16 (1 – 6,16) 2= 5,162 = 26,63
2 2 - 6,16 = -4,16 (2 – 6,16) 2= 4,162 =17,31
3 3 - 6,16 = -3,16 (3 – 6,16) 2= 3,162 =9,98
…
12 12 - 6,16 = 5,84 (12 – 6,16) 2= 5,842 =34,11
2j(x x)
jx
Berechnung von Zähler und Nenner der Formel für den Korrelationskoeffizienten
))(...)(())(...)((
)()(...)()(:
221
221
11
yyyyxxxx
yyxxyyxxr
nn
nn
Achtung: Unter den 49 Merkmalsträgern kommen manche xj-Werte mehrmals vor!
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yj
85 85 - 85,78 = -0,78 (85 - 85,78)2 = 0,782 = 0,61
86 86 - 85,78 = 0,22 (86 - 85,78)2 = 0,222 = 0,048
87 87 – 85,78 = 1,22 (87 – 85,78)2 = 1,222 = 1,49
jy y 2j(y y)
Entsprechend für das 2. Merkmal:
Achtung: Die 3 Ausprägungen treten sämtlich mehrmals für die Gruppe unserer 49 Merkmalsträger auf!
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))78,8587()78,8586()78,8585(())16,610(..)16,61()16,63((
)78,8586()16,610(...)78,8586()16,61()78,8585()16,63(222222
r
Daraus Berechnung des Korrelationskoeffizienten für unsere Stichprobe:
Interpretation: Es gilt für unsere Stichprobe r= 0,396925 Also besteht - gemäß unserer Stichprobe - nur ein niedriger Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen.
laufende Nummer
Geburts-monat
Geburts-jahr
1 März 1985
2 Januar 1986
3 März 1985
… … …
49 Oktober 19861( x -x )1( y -y )
49( x -x )49( y -y ). . .
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r = 0 kein (linearer ) Zusammenhang
0 < 0,4 niedriger Zusammenhang
0,4 < 0,7 mittlerer Zusammenhang
0,7 < < 1 starker Zusammenhang
= 1 linearer Zusammenhang
r
r
r
r
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Eigenschaften:
Der Korrelationskoeffizient stellt ein Maß für die Abweichung des Zusammenhangs der beiden Merkmale vom strikt linearen Zusammenhang dar:
• r nimmt nur Werte zwischen -1 und +1 (jeweils einschließlilch) an.
• r=-1 oder r=+1 bedeutet, dass die beiden Merkmale linear voneinander abhängen.
• r nahe bei -1 oder nahe bei +1 bedeutet annähernd linearen Zusammenhang.
• Wenn beide Merkmale sich im gleichen Sinn verändern, ist r positiv.
• Wenn beide Merkmale sich im entgegengesetzten Sinn verändern, ist r negativ.
Achtung: r = 0 bedeutet nicht, dass gar kein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht! Wir können ihn nur nicht mit unserer Datenmenge nachweisen!
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Darstellung der Merkmalsausprägungskombinationen (Geburtsmonat, Geburtsjahr)
für jedes Mitglied unsere Gruppe in einem Punktediagramm
Versuch, eine „möglichst gut passende“ Gerade durch die Wolke zu legen:
Geburtsmonate und -jahre
84
85
86
87
88
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Monate
Jah
r
Die Geraden „passen nicht richtig“: viele Punkte liegen ober- und unterhalb.
Also: Niedriger Zusammenhang!
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Wichtige Grundbegriffe der Mengentheorie
Aus: K. Dahl, S. Nordquist: Zahlen, Spiralen und magische Quadrate
Die Sprache der Mathematik ist wie ein Code. Auf diese Weise kann man mathematische Gedanken sehr kurz fassen.
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Menge: Familie von Objekten, Zusammenstellung bestimmter Objekte, Familie von Objekten, die eine bestimmte gemeinsame Eigenschaft haben
Menge der Merkmalsträger = Grundgesamtheit
Menge aller Studierenden, die jetzt in diesem Hörsaal sind
Teilmenge
Menge der Merkmalsträger, die für eine bestimmter Stichprobe herangezogen werden
Element einer Menge: jedes einzelne Objekt der Menge
jeder einzelne Merkmalsträger
GAx Das Element x ist enthalten in der Teilmenge A der Menge G.
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Vereinigungsmenge, Vereinigung von zwei Mengen:
Menge aller Objekte, die zu A oder zu B gehören
AB
Die Elemente aus der Vereinigungsmenge von A und B gehören jeweils zu mindestens einer der beiden Mengen A oder B.
BA
Menge A: Menge aller Studentinnen, die jetzt in diesem Hörsaal sind.
Menge B: Menge aller Studierenden des Jahrgangs 1985, die jetzt im Hörsaal sind
A B: Menge aller Studierenden im Hörsaal, die weiblich sind
oder im Jahr 1985 geboren wurden
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Durchschnittsmenge, Durchschnitt von zwei Mengen:
Menge aller Objekte, die zu A und zu B gehören
AB
BADie Elemente aus der Durchschnittsmenge von A und B gehören sowohl zu der beiden Menge A als auch zu der Menge B.
Menge A: Menge aller Studentinnen, die jetzt in diesem Hörsaal sind.
Menge B: Menge aller Studierenden des Jahrgangs 1985, die jetzt im Hörsaal sind
A B: Menge aller Studierenden im Hörsaal, die sowohl weiblich
sind als auch im Jahr 1985 geboren wurden
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Menge A: Menge aller Studentinnen, die jetzt in diesem Hörsaal sind.
Menge B: Menge aller Studierenden des Jahrgangs 1985, die jetzt im Hörsaal sind
A-B: Menge aller Studierenden im Hörsaal,
die weiblich sind, aber nicht im Jahr 1985 geboren wurden
B-A: Menge aller Studierenden im Hörsaal,
die im Jahr 1985 geboren wurden, aber nicht weiblich (also männlich) sind.
Differenzmengemenge, Differenz A - B:
Menge aller Objekte, die zu A, aber nicht gleichzeitig auch zu B gehören
Rein gelber Bereich: A-B Rein grüner Bereich: B-A
![Page 32: Vorlesung 23.10.2006: Erste Auswertungen von erfassten Daten: absolute und relative Häufigkeiten; Lage- und Streuungsmaße Vorlesung 30.10.2006: Gleichzeitige](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062404/55204d7449795902118c8be0/html5/thumbnails/32.jpg)
Zum kommenden Montag zu lösende Übungsaufgaben:
Aufgabe Nr. 13 und Aufgabe Nr. 16 aus dem Skript
![Page 33: Vorlesung 23.10.2006: Erste Auswertungen von erfassten Daten: absolute und relative Häufigkeiten; Lage- und Streuungsmaße Vorlesung 30.10.2006: Gleichzeitige](https://reader036.vdokument.com/reader036/viewer/2022062404/55204d7449795902118c8be0/html5/thumbnails/33.jpg)
Wichtige Begriffe aus der heutigen Vorlesung:
Arithmetisches Mittel (= „Durchschnittswert“ = erwarteter Wert einer Stichprobe)
Standardabweichung vom erwarteten Wert einer Stichprobe
Zwei Merkmale für ein und dieselbe Klasse von Merkmalsträgern
Korrelationskoeffizient: Stärke (Ausmaß) des Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen
Mengentheoretische Grundbegriffe: Menge, Element, Teilmenge, Vereinigung, Durchschnitt, Differenz
1 2 3 4 56