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17 Nov. 2007 Kosmologie, WS 06/07, Prof. W. de Boer 1
Vorlesung 4:
Roter Faden:
1. Evolution des Universums
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17 Nov. 2007 Kosmologie, WS 06/07, Prof. W. de Boer 2
Zum Mitnehmen:1. Comoving coordinates erlauben Rechnungen
OHNE die Expansion zu berücksichtigen.Nachher werden alle Abstände und auchdie Zeit mit dem Skalenfaktor S(t) multipliziert.
2. Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors: S = kt2/3
3. Alter des Universums für Ω = 1 und ohne Vakuumenergie: t0 = 2/(3H0) ≈ 10 . 109 aDieser Wert ist zu niedrig, weil die beschleunigte Expansion durch die Vakuumenergie vernachlässigt wird.
3. Größe des sichtbaren Universums für Ω = 1: 3ct0
(ohne Expansion: ct0)
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Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik
Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen
1. Newtonsche Mechanik2. + Krümmungsterm k/S2
3. + E=mc2 (oder u=ρc2)4. + Druck (⇒ Expansionsenergie in heißem Univ.)
Dies sind genau die Ingredienten die man brauchtfür ein homogenes und isotropes Universum,das evtl. heiß sein kann (Druck ≠ 0)
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Metrik im 3D-Raum
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Robertson-Walker Metrik = Metrik in 4D-comoving coor.
Für ein homogenesund isotropesUniversum gilt:Metrik unabh. von ϕ,θ, d.h. dϕ = dθ = 0
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Längen im gekrümmten Raum
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Friedmann Gleichungen
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Erste Friedman Gleichung nach Newton
DimensionsloseDichteparameter:
M mv
=Friedmannfür k=-2E/m
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Differenziere (1) und benutze u=ρc2
ergibt die zweite Friedm. Gl
Berücksichtigung der Expansionsenergie
(1)
(2)
dE=-pdV oder dE/dt = -p dV/dt - dV dp/dtLetzter Term doppelter Differentialterm, daher vernachlässigbar.
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Kosmologische Konstante
p
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Kosmologische Konstante
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Energieerhaltung aus Friedmann Gl.
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Zeitentwicklung der Dichte
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Zeitentwicklung der Dichte
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Zeitentwicklung des Universums
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Zeitentwicklung des Universums
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Inflation bei konstantem ρ0
Oder S(t)∝ e t/τ mit Zeitkonstante τ = 1 /H≈Alter des Univ., d.h.beschleunigteExpansion durch Vakuumenergie jetztsehr langsam, aber zum Alter t≈10-36s sehr schnell! Dieser Inflationsschubam Anfang, die durch die Symmetriebrechungeiner vereinheitlichter “Urkraft”, wie durchGUT’s (Grand Unified Theories) vorhergesagt,ist die einzige Erklärung warum Univ. sogroß ist und soviel Materie hat.
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Alter des Universums mit ΩΛ ≠ 0
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Alter des Universums mit ΩΛ ≠ 0
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Alter des Universums mit ΩΛ ≠ 0
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Zum Mitnehmen
1. Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums. Daraus folgt mit p = α ρc2 :
ρ(t) ∝ S(t) -3(1+α)
S(t) ∝ t 2/3(1+α)
2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½
3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3
4. Wenn Vakuumenergie dominiert (ρ = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt
(exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant)5. Alter des Universums für ΩΛ = 0.7: t ≈ 1/H0 ≈14 .109 yr
statt t= 2/3H0 ≈10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)