Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006
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Begriff der Zufallsgröße
Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:
Beispiele: • Punkte beim Werfen zweier Würfel• Zeit beim Warten auf den Bus• Ja= 1 nein = 0
Formal Abbildung:
:X
Im Beispiel:
4)2,2(
3)1,2(
3)2,1(
2)1,1(
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Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße
Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen
benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Sie ist definiert als .)()( xXPxf
36/3)4(
36/2)3(
36/1)2(
0)1(
XP
XP
XP
XPIm Beispiel:
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Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße
Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt
man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine
Zufallsgröße definiert als )()( xXPxF X
36/)321()4(
36/)21()3(
36/1)2(
0)1(
XP
XP
XP
XPIm Beispiel:
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Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen
sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen
Werten .
Dann sind der Erwartungswert und die Varianz
wie folgt definiert:
)(
)())(()))((()(
)()(
1
22
1
XVar
xXPXExXEXEXVar
xXPxXE
x
n
iii
n
iii
nxx ,...1
X
)(XE )(XVar
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Beispiel: Einfacher Würfel
5.36*6
15*
6
14*
6
13*
6
12*
6
11*
6
1)( XE
7.19.2
9.2)5.36(*6
1)5.35(*
6
1)5.34(*
6
1
)5.33(*6
1)5.32(*
6
1)5.31(*
6
1)(
222
222
X
XV
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Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen
Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen Konstanten
a und b):
)()(
)()(2 XVarbXbaVar
XEbaXbaE
X
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Binomialverteilung: Idee
Frage:
Wenn man aus diesem Bestand zufällig n Tiere auswählt (mit Zurücklegen), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß hiervon m Tiere erkrankt sind?
• insgesamt N Tieren
• davon sind M erkrankt
• und (N-M) nicht erkrankt
Betrachtet wird ein Bestand mit
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Binomialverteilung: Formal
iX
erkranktnichtTiergezogenestesifalls
erkranktTiergezogenestesifallsX i ,0
,1
n
iiXXmitmXP
1
?,)(Frage:
ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen
Dann gilt:
PN
MXP i )1(
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Binomialverteilung: Definition
mnm PPm
nmXP
)1()(
Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen
0-1-Variablen , heißt binomial-verteilt mit
Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P)
Es gilt
n
iiXX
1
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Binomialkoeffizient: Definition
))(...21()...21(
)...21(
)!(!
!
mnm
n
mnm
n
m
n
Beispiel
Die Größe
1062
120
)321()21(
)5...21(
2
5
heißt Binomialkoeffizient.
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Binomialverteilung: Anwendungen
• krank vs. gesund
• schwarzbunt vs. braun
• Niedersachsen vs. Bayern
• Grenzwert überschritten vs. unterschritten
• Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich
Die Binomialverteilung kann stets angewendet werden, wenn dichotome bzw. binäre, d.h. nomial skalierte Merkmale mit nur zwei Merkmalsausprägungen vorliegen
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Binomialverteilung: Beispiel
Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10
gezogene Stichprobe n = 5
• Hormonuntersuchung bei Kälbern
0729.0729.001.010)9.0(1.02
5)2(
329.0656.01.05)9.0(1.01
5)1(
591.0591.011)9.0(1.00
5)0(
32
41
50
XP
XP
XP
etc.
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Binomialverteilung: Eigenschaften
• Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere
E(X) = n P
Beispiel: E(X) = 5 0.1 = 0.5
• Varianz
Var(X) = n P (1-P)
Beispiel: Var(X) = 5 0.1 0.9 = 0.45
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Stetige Zufallsgrößen
b
adxxfbXaP )()(
• Darstellung durch Dichtefunktion f
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:
dxxfbFXPb
)()(b)(
Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
Dic
hte
b
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a b
Stetige Gleichverteilung
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Stetige Gleichverteilung
]);([~ baGX
)(1
)(
1)(
axab
xF
abxf
für
für
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)()(
2)(
2abXVar
baXE
bxa
bxa
Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird bevorzugt
Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn
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Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen
Ist stetig mit Dichtefunktion , so definiert man:xf
dxxfXExXEXEXVar
dxxxfXE
)())(()))((()(
)()(
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X
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Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen
Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):
)()(
)()(2 XVarbXbaVar
XEbaXbaE
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Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern , kurz X~N , falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt:
2,
2
2)(
2
1exp
2
1:)(
x
Xf X
2 und
Erwartungswert Varianz 2)( XVar
Normalverteilung: Definition
)(XE
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3210-1-2-3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
Dichte der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)
3210-1-2-3
1.0
0.5
0.0
Verteilungsfunktion der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)
Normalverteilung
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Normalverteilung
);(~ 2NX
dtexF
sfunktionVerteilung
dtexf
tx
x
2)(5,0
2)(5,0
2
1)(
2
1)(
Beschreibung: „Glockenkurve“
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Anwendung der Normalverteilung
Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodellin vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei
• Metrische Größen einer Population• Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen• Natürliche Variabilität• Messfehler
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Schwankungsbereiche der Normalverteilung
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Beispiel zur Normalverteilung
Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen:
Studie:Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten
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Quantile der Normalverteilung: Beispiel
• P (X > 20)
• P (5 < X < 20)
• P (-2 < X < 15)
Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit =10 und =5.Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: