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1 WELLEN 2
1.1 Warum befaßt man sich mit Wellen? 2
1.2 Darstellung von Wellen 3
1.3 Räumliches und zeitliches Verhalten von Wellen: 4
1.4 Die Beschreibung der Wellenausbreitung. 5
1.5 Wellentypen 7
1.6 Klassifizierung (ebener) Wellen 8
1.7 Wichtige Form der periodischen Wellen: 12
1.8 Überlagerung von Wellen (Interferenz) 14
1.9 Überlagerung von harmonischen Wellen mit (leicht) verschiedenen Frequenzen 21
1.10 Dispersion von Wellen(paketen) 25
1.11 Beispiele physikalischer Wellen 27
1.12 Nun Anleihe an die Wärmelehre (vgl. später): 33
1.13 Energietransport in einer Welle 39
1.14 Wellen bei bewegten Quellen (Doppler-Effekt) 43
1.15 Wellenfronten 47
1.16 Interferenz und Beugung 50
2 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 64
2.1 Wellengleichung 64
2.2 Energietransport durch elektromagnetische Wellen 67
2.3 Elektromagnetische Wellen in Materie 742.3.1 Nichtleitendes Medium 742.3.2 Leitendes Medium 80
2.4 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen 81
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2
1 Wellen
Definition einer Welle:
� Wellen ü
1.1 Warum
1) Wellen h
• Nac
- S
- R
- L
- K
• Verw
- M
- S
- P
• Opti
2) Speziell
WellenlehreBausteine d
Wichtige Sc
-
-
Eine Welle ist die Ausbreitung einer Anregung (Störung) im Raum.
kein Materialtransport, aber Energietransport
bertragen Energie von einem Ort zum anderen.
befaßt man sich mit Wellen?
aben viele technische Anwendungen z.B.
hrichtenübertragung durch
challwellen
adiowellen
ichtwellen
abel
endung der transportierten Energie (z.B. Aufheizung)
ikrowelle
onneneinstrahlung (auf der Erde)
lasmaheizung
k beruht ausschließlich auf Wellenphänomenen
für Physiker
ist besonders wichtig, da die gesamte Theorie des "Mikrokosmos“ d.h. derer Materie (Atome, Moleküle, Festkörper, ...) auf Wellenphänomenen beruht.
hlagworte in diesem Zusammenhang sind z. B. :
Welle – Teilchen – Dualismus
Quantenmechanik
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3
Beispiele für Wellen:
• Seilwelle Auslenkung: ∆�x
Bild
• Torsionswelle (Wellenmaschine) Auslenkung: ∆ϕ
• „Stoßwelle“ (Magnetrollen) Auslenkung: ∆�z
• Oberflächenwelle auf Flüssigkeit Auslenkung: ∆�x
Bild
• Schallwelle lokale Druckänderung Auslenkung: ∆p
• Licht elektrisches Feld �
E Auslenkung: ∆�
E
magnetisches Feld �
B Auslenkung: ∆�
B
Prinzipielle Ursache der Wellenausbreitung:
1.2 Darstellung von Wellen
• wesentliche Parameter:
Zeit [t]
Kopplung zwischen örtlich getrennten physikalischen Systemen oder Teilchen.
allgemeine Bezeichnung für die Auslenkung: s, s�
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4
Ort [ �r ]
• Beschreibung der Anregung:
skalar ( )t,rss�
= (z.B. Schall)
vektoriell ( )t,rss���
= (z.B. Seilwelle, Licht)
Wichtig:
s�
oder s beschreibt die Auslenkung aus einem Gleichgewichtszustand („Ruhelage“, ähnlichwie bei der Schwingung).
Im Gegensatz dazu: Schwingung ( )tss = oder ( )tss��
=
Beachte: Die lokale Darstellung einer Welle für einen festen Ort ist � �
r r= 0 .
Welle � Schwingung
( ) ( ) )t(sr,tst,rss 0 =→=��
Bild Lokale Betrachtung einer Wasserwelle.
Erinnerung:
Die Harmonische Schwingung ist eine periodische Bewegung mit der Kreisfrequenz ω, der
Eigenfrequenz ν ωπ
=2
und der Periodendauer T =1ν
.
s(t + T) = s(t)
1.3 Räumliches und zeitliches Verhalten von Wellen:
Wasserwelle
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5
Bild Welle als Verschiebung eines Signals
• zum bestimmten Zeitpunkt t = 0 sei w durch Funktion f(z) beschrieben [ ]zezf −⋅=
( ) )z(f0t,zs ==
• nach der Zeit t soll die Funktion (ohne Formänderung) um z v t0 = ⋅ nach rechts ge-wandert sein.
� ( ) )tvz(ft,zs ⋅−= , falls die Geschwindigkeit v konstant ist.
[f(z – z0) ; z0 := Funktion von t]
� rechts laufende Welle ( ) )tvz(ft,zs ⋅−=
links laufende Welle ( ) )tvz(ft,zs ⋅+= Γ
im 3-Dimensionalen ( )w r t f z v t� � �
, ( )= ± ⋅
Analog kann auch das zeitliche Verhalten f(t) von s an festem Ort z = 0 vorgegeben wer-den.
( ) )t(ft,0zs == (Häufigster Fall der Wellenanregung)
� am Ort z wird die Funktion f an t zv0 = „retardiert1“
� ( ) ��
���
� −=−=vztf)tt(ft,zs 0
1.4 Die Beschreibung der Wellenausbreitung.
Differenziere s(z,t) (beschrieben durch ΓΓΓΓ) zweimal nach z bzw. t.
(Sei u z v t= − ⋅ .)
1 retardieren := verzögern (veraltet)
gültig für die Fortbewegung mit gleichmäßiger Geschwindigkeit (v t = const.)
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6
dudf
tu
dudf
zs =
∂∂⋅=
∂∂ ( )
dudfv
tu
dudf
ts ⋅−=
∂∂⋅=
∂∂
²duf²d
tu
²duf²d
²zs² =
∂∂⋅=
∂∂ ( ) ( )
²duf²d²vv
²duf²dv
²ts² =−⋅⋅−=
∂∂
�
Dies ist die sogenannte "Wellengleichung“, gilt unabhängig von der Form von f.
Erweiterung auf drei Dimensionen
²ts²
²v1
²zs²
²ys²
²xs²s
∂∂=
∂∂+
∂∂+
∂∂=∆
Wellengleichung für den 3-dim. Fall. ∆ bezeichnet man als den Laplace – Operator.
Bemerkung:
• Alle Lösungen der Wellengleichung stellen Wellen dar, welche sich mit konstanterGeschwindigkeit v im Raum ausbreiten (nicht nur periodisch in Raum und Zeit, son-dern auch einzelne Störungen!).
• Durch „Randbedingungen“ (Vorgabe von ( )t,rs�
an bestimmten Orten und Zeiten)werden spezielle Lösungen selektiert.
• Physik des Systems � Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit v von Sys-temparametern.
Definition:
- Phase einer Welle = bestimmter Wert der Auslenkung.
²ts²
²v1
²s²
∂∂=
∂∂
z Wellengleichung [WGL]
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7
- Phasenfläche einer Welle = Fläche (im 3-Dimensionalen), auf der die Phase kon-stant ist. ( ) const. =t,rs
�
1.5 Wellentypen
1) Ebene Welle
Definition: Auslenkung s�
ist in Ebene ⊥ Fortpflanzungsrichtung konstant.
⇔ Phasenflächen sind Ebenen im Raum
Bild
( ) ( ))t,z(s)t,r(s
→→
=
keine Abhängigkeit von (x,y)
0y
sx
s )i()i( =∂∂
=∂∂
Ausbreitungsrichtung = z- Richtung
2) Kugelwelle
Definition: Ausbreitung einer Störung von einem festen Punkt ��
r = 0 aus gleichmäßig inalle Raumrichtungen.
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8
Bild Wellenflächen einer Kugelwelle.
3) analog: Kreiswelle
(z.B. Oberflächenwelle in Flüssigkeiten)
Bemerkung:
• Nur eine ebene Welle besitzt eine eindeutige Ausbreitungsrichtung.
• 1) bis 3) sind Spezialfälle! Im allgemeinen hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeitvon der Raumrichtung ab.
1.6 Klassifizierung (ebener) Wellen
1) Transversale Wellen
Definition: ( ) 0t,rsdiv =��
Auslenkung s�
steht ⊥ auf der Ausbreitungsrichtung.
Beispiel:
Fortpflanzungsrichtung sei z- Achse
( ) ( ) ( ) ( )[ ]t,zs,t,zs,t,zst,rs zyx=��
( )�
�
0zs
ys
xssdiv z
0
y
0
x =∂∂+
∂∂
+∂∂=
==
�
; 0xsx =∂∂ und 0
ysy =∂∂
, da s�
nur von z abhängt.
� 0zsz =∂∂
� keine Ortsabhängigkeit des Vektors s�
.
⇔ sz = 0 (äquivalent)
⇔ Auslenkung s�
⊥ Ausbreitungsrichtung
Für kleine Bereiche kann die Kugelwelle alsebene Welle angenähert werden.
),(),()()(
trstrs→→
=�
; r r=�
(( )→
s hängt ausschließlich vom Abstandzum Ursprung ab.)
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9
Beispiel: Seilwelle
Bild
Aus diesem Verhalten ergeben sich Polarisationseigenschaften.
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10
2) longitudinale Welle
Definition: 0srot�
�
=
Auslenkung s�
|| Fortpflanzungsrichtung [FPR]
Beispiel:
( )�
���
0ys
xs
,xs
zs,
zs
yssrot
0
x
0
y
0
zxy
0
z =��
��
�
��
��
�
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
∂∂
−∂∂=
====
�
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11
� 00,zs,
zs xy
�
=���
���
∂∂
∂∂
−
� 0zsy =∂∂
, 0zsx =∂∂
sx, sy unabhängig von �r (keine Welle)
sx = 0, sy = 0 (äquivalent)
( ) ( )t,zs00
t,rs
z���
�
�
���
�
�
=��
Die longitudinale Welle ist (per Definition) eine skalare Welle.
� keine Polarisationserscheinungen
Falls )t,r(s)(�
→
periodisch in �r für feste Zeit t.
Bild „periodische Welle“
� Periodizitätsintervall = „Wellenlänge“ λ
s(z,t) = s(z + λ,t)
Bild
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12
Gleichbedeutend: Periodizität bezüglich t an einem festen Ort.
� „Periodendauer“ T
1.7 Wichtige Form der periodischen Wellen:
Harmonische Welle (analog zur harmonischen Schwingung).
genauer:
• an festem Ort �r0 ändert sich die Auslenkung ( )→
s periodisch (schwingt harmonisch) z.B.
( ) tcosst,rs 00 ω⋅=�
• bei fester Zeit t0 ändert sich die Auslenkung räumlich entlang der Ausbreitungsrichtungperiodisch z.B. Ausbreitung in z – Richtung
( ) ( )zkcosst,zs 00 ⋅⋅=
Bild
Daher:
k⋅λ = 2π „Wellenzahl, räumliches Pendant zur Kreisfrequenz ω π=
2T
.
Achtung: Dimension von k = cm-1
allgemein in beliebige Ausbreitungsrichtung
Definition:
f ist eine sin- oder cos- Funktion
k =2πλ
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13
„Wellenvektor“ �
k mit �
k k= =2πλ
; �k kk
=�
= Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung
Bild
�k r k rk
⋅ =⋅�
� �
( )k z k k rk
k r⋅ → ⋅⋅�
���
�
��� = ⋅
�
�
�
�
� cos(k⋅z) � ( )cos�
�
k r⋅
� ( ) ( )rkcosst,rs 00
��
�
⋅⋅=
� Auslenkung )t,r(s�
an beliebigem Ort �r zu beliebiger Zeit t:
)tvr(f)]tvr(kcos[s)t,r(s 0 ⋅−=⋅−⋅⋅=����
��
�
v := Ausbreitungsgeschwindigkeit
� �
)trkcos(s)]tvkrkcos[s)t,r(s 0,vkvk
0 ⋅ω−⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅=⋅=⋅
���
��
�
��
�
v||k da
Gleichzeitig: vk
=ω “Phasengeschwindigkeit”
Bild
Allgemeiner: lasse “Startphase” ϕ zu
)trkcos(s)t,r(s 0 ϕ−⋅ω−⋅⋅=�
��
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14
In Analogie zur harmonischen Schwingung ist auch eine andere Beschreibung möglich:
s(t) = a⋅sin (ωt) + b⋅cos(ωt) = s0⋅cos(ωt - ϕ)
= C⋅ei ωt + C*⋅e -i ωt
= Re {s0⋅e i (ωt - ϕ)} [e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ „Eulerformel“]
mit ²b²as0 += ; tg ba
ϕ = ; ( )bia21C ⋅−⋅= ; ( )bia
21C ⋅+⋅=∗
Dieselbe Beschreibung verwenden wir jetzt für die Welle
�( ) ( ) ( ){ }trkii
0trkitrki eesRee*CeC)t,r(s ω−ϕ−ω−−ω− ⋅⋅=⋅+⋅=
��
��
��
�
Mathematische Beschreibung einer ebenen harmonischen Welle, charakterisiert durchdenWellenvektor
�
k und die Kreisfrequenz ω.
Bild
1.8 Überlagerung von Wellen (Interferenz)
Wichtiges Prinzip der Wellenlehre: (Superposition)
(Lineare) wellen können sich ungestört überlagern durch reine Addition der Auslenkung amgleichen Ort zur gleichen Zeit.
(Bem.: Dies ist nicht notwendigerweise immer der Fall ! Bsp. Anschlag der Oszillatoren in der Wellenmaschine, gesamtenichtlineare Optik. Wir gehen hier jedoch von der Gültigkeit dieses Prinzips aus, nichtlineare Effekte seien vernachlässigt)
Erlaubt, komplizierte Wellenformen in einfache Elementarbestandteile zu zerlegen.
� Fourier - Zerlegung (genau wie bei Schwingungen)
Mathematisch: Satz von Fourier
für nicht lin. Systeme
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15
• periodische Funktion f(t) = f(t + T) kann durch folgende Reihenentwicklung dargestelltwerden:
f(t) = ½ a0 + a1⋅cos ωt + b1⋅sin ωt + a2⋅cos 2ωt + b2⋅sin 2ωt + a3⋅cos 3ωt + b3⋅sin 3ωt...
( ) ( ){ }= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=
∞
�12 0
1a a n t b n tn n
ncos sinω ω
{ }= ⋅ + ⋅ + ⋅∗ −
=−∞
∞
�12 0a C e C en
in tn
in t
n
ω ω C a ibn n n= −
= ⋅=−∞
∞
�12 C en
i t
n
ω
wobei ω π=
2T
; an, bn := Fourier – Koeffizienten
berechenbar durch
( )a T f t n t dtn
T
= ⋅ ⋅ ⋅�2
0
( ) cos ω (n ≥ 0) und ( )b T f t n t dtn
T
= ⋅ ⋅ ⋅�2
0
( ) sin ω
Bild
• nicht periodische Funktion f(t)
[Einzelimpuls auf einem Seil oder einer Wellenmaschine] kann formal beschrieben wer-den als:
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16
Bild
T � ∞
� ω π=
2T
� 0
� ∆ω = (n + 1)⋅ω - nω = ω � dω
� Fourier – Reihe (Summe) � Integral (Fourier – Integral)
f t C enin t
n
( ) = ⋅=−∞
∞
�ω
� f t C e di t( ) ( )= ⋅ ⋅−∞
∞
�1
2πω ωω
mit C f t e dti t( ) ( )ω ω= ⋅−∞
∞
�
Fourier – Transformierte von f(t)
Fazit: Man kann jede beliebige Welle (oder Schwingung f(t) durch Überlagerung har-monischer (Schwingungen) darstellen.
Beispiel einer speziellen Überlagerung:
Stehende Wellen durch Überlagerung zweier harmonischer Wellenzüge gleicher Amp-litude und Wellenlänge, welche sich in entgegengesetzten Richtungen ausbreiten.
Definition:
)tcos()r(s)t,r(s 0 α−ω⋅=��
Auslenkung an allen Orten �r schwingen mit gleicher Frequenz und Phase, aber mitortsabhängiger Amplitude w r0( )
� .
Beispiele:
1) Überlagerung entgegengesetzt laufender harmonischer ebener Wellen mit gleichemω, λ, s0.
s1(z,t) = s0 ⋅ sin(ωt – kz)
s2(z,t) = s0 ⋅ sin(ωt + kz)
s(z,t) = s1(z,t) + s2(z,t)
= s0 ⋅ {sin(ωt – kz) + sin(ωt – kz)}
= s0 ⋅ {sin ωt cos kz – cos ωt sin kz + sin ωt cos kz + cos ωt sin kz}
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17
= 2s0 cos kz � stehende Welle
Bild
charakteristisch für stehende Wellen:
• existieren Orte, an denen sich die Welle zu allen Zeiten auslöschen („Knoten“)
� kein Energietransport!
• Innerhalb einer Halbwelle schwingen alle Punkte mit gleicher Phase
• zwischen benachbarten Halbwellen besteht ein Phasenunterschied der Größe π
2) Eigenschwingungen (von Systemen endlicher Länge)
Beobachtung:
Bei endlicher Ausdehnung des Systems entlang der Ausbreitungsrichtung k�
wer-den Wellen i.a. an den Systemenden reflektiert. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:
- offenes Ende
am offenen Ende kann Auslenkung s beliebige Werte annehmen
� Phasengleichheit d. einlaufenden und reflektierten Welle
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18
Bild
- festes Ende
(am festen Ende ist stets Auslenkung s = 0)
� Phasensprung um π bei der Reflexion
Bild
Anschaulich:
Im allgemeinen werden sich bei mehrfacher Reflexion einer Welle mit beliebigem λ diePhasen entlang z statistisch entlang verteilen.
� + s ist genauso wahrscheinlich wie – s � Auslöschung
Ausnahme:
Bei Reflexion an beiden Enden entsteht dieselbe Welle wieder.
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19
Bild
Es entsteht eine stehende Welle, falls die Länge L zur Wellenlänge λ “paßt”.
Die mit diesen Wellen verbundenen Schwingungen nennt man “Eigenschwingungen” desSystems (“Eigen – Moden”)
Zur Realisierung solcher Eigenschwingungen gibt es im Prinzip mehrere Möglichkeiten:
a) beide Enden fest
Bild
Bild
λ1 = 2L;
νλ1
1 2= =
v vL
“Grundschwingung”
2 �� π
λ2 = L;
ν2 =vL
“1. Oberschwingung”
( )���
1
t2coszsins)t,z(s 11
0
ω
πν⋅���
���
⋅λ
⋅=
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20
allgemein:
λnLn
=2
� kL
nnn
= = ⋅2πλ
π (n-1)-te Oberschwingung
nL2vv
nn ⋅=
λ=ν v := Ausbreitungsgeschwindigkeit
b) ein festes und ein loses Ende
Bild
Bild
allgemein:
λnL
n=
+4
2 1� ( )νn n
vL= + ⋅2 1
2
“
λ1 = 4L;
ν1 4=
vL
“Grundschwingung”
(n-1)-te Oberschwingung
λ2 = 4/3 L;
ν ν2 134
3= =vL
1. Oberschwingung”
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21
c) 2 offene (lose) Enden
Bild
Bild
allgemein:
λnLn
=2
� ν νn n vL
n= ⋅ = ⋅2 1
Fazit:
Randbedingungen bestimmen die Eigenschwingungen (je nach System entweder Knotenoder bauch am Ende).
1.9 Überlagerung von harmonischen Wellen mit (leicht) verschiedenen Fre-quenzen
Sei s1 = s0 ⋅cos [(ω + ∆ω)⋅t – (k + ∆k)⋅z]
s2 = s0 ⋅sin [(ω - ∆ω)⋅t – (k - ∆k)⋅z]
Dann ist
α = ωt – kz und ∆α = ∆ωt – ∆kz
s(z,t) = s1(z,t) + s2(z,t)
= s0⋅cos(α + ∆α) + s0⋅cos(α - ∆α)
= 2s0⋅cos ∆α ⋅cos α
λ1 = 2L;
ν1 2=
vL
“Grundschwingung”
λ2 = 2/2 L;
ν ν2 12= =vL
“1. Oberschwingung”
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22
� s(z,t) = 2s0⋅cos(∆ωt - ∆kz)⋅cos(ωt – kz)
mit cos(∆ωt - ∆kz) := Modulation und cos(ωt – kz) := Wellenzüge
Bild
Existieren 2 Ausbreitungsgeschwindigkeiten.
Wellenzüge:
ωt – kz = const. (z.B. π/2)
� v zt kPh = =
ω “Phasengeschwindigkeit”
Wellengruppen:
∆ωt – ∆kz = const.
� vkgr =
∆∆ω
Im Grenzfall sehr kleiner Unterschiede ∆ω, ∆k � 0
Fazit:
Es existieren zwei i. a. verschiedene Ausbreitungsgeschwindigkeiten
vPh beschreibt das Voranschreiten einer festen Phase einer einzelnen harmonischenWelle
kvPh
ω=
vgr beschreibt das Voranschreiten der Einhüllenden einer Wellengruppe aus mehrereneng benachbarter harmonischer Wellen
dkdvgrω=
Zusammenhang von vPh mit der Frequenz ν und der Wellenlänge λ:
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23
ν⋅π=π=ω 2T2
λπ= 2k
TvPh
λ=ν⋅λ=
Warum beschäftigt man sich mit harmonischen Wellen?
Antwort:
Nach Fourier – Theorem läßt sich jede Welle als Superposition harmonischer Wellen dar-stellen!
1-Dimensional:
• harmonische Welle
sk(z,t) = s0(k)⋅ei(kz - ωt)
• Superposition
( )�� =⋅= ω−
kk
tkzi
k0 )t,z(se)k(s)t,z(s (s periodisch)
• Integraldarstellung
( )dke)k(C21)t,z(s t)k(kzi ω−
∞
∞−
⋅⋅π
= �
Dabei:
C(k) dk ist k- abhängige Amplitude, beschreibt den Beitrag der k- Welle zum Gesamtsignal.
Beispiel:
(zeitliche Schnappschüsse der Welle bei t = 0)
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24
Bild
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25
Wichtige Beziehung: ∆∆
kz
=1
Fazit:
• einzelne harmonische Wellen mit genau bestimmtem ω, �
k ist Sonderfall (� Ausbrei-tung mit vPh)
• alle anderen Wellenformen stellen Wellengruppen bzw. Wellenpakete dar (� Ausbrei-tung mit �vgr )
Verallgemeinerung auf 3-Dimensionen:
• ( ) ( )trki0k eks)t,r(s ω−⋅=
��
�
�� ebene harmonische Welle
• �=k
k )t,r(s)t,r(s�
�
��
Superposition (genügt, falls )t,r(s�
periodisch)
• ( )� � �∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
ω−⋅= k³de)k(S)t,r(s trki�
���
Integraldarstellung
1.10 Dispersion von Wellen(paketen)
Bisher stets angenommen:
Ausbreitungsgeschwindigkeit vPh einer ebenen harmonischen Welle, unabhängig von Fre-quenz ω bzw. Wellenlänge λ.
� .constk=ω ⇔
kdkd ω=ω
� vgr = vPh
Alle Störungen (Wellengruppen) breiten sich mit der selben Geschwindigkeit aus.
Aber:
Beobachtung in vielen Systemen:
vPh = vPh(ω) bzw. vPh(k) bzw. vPh(λ)
Grund z.B., dass das System aus einzelnen Segmenten besteht mit der Ausdehnung a unddass λ in die Größenordnung von a kommt.
Bild
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26
wegen k
vPhω= , Effekt formal beschreibbar durch ω(k) – Zusammenhang
Bild „Dispersionsrelation“
Folgerung für Wellenausbreitung:
Verschiedene Teilwellen der Fourierzerlegung laufen mit unterschiedlicher Phasenge-schwindigkeit
� Pulsform f(z) = s(z,t1) ändert sich bei der Ausbreitung
Bild
Bezeichnung: „Dispersion“ des Wellenpaketes
Definition:
Welle ohne Dispersion: vgr = vPh
normale Dispersion: vgr < vPh
anomale Dispersion: vgr > vPh
"Dispersionsrelation"
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27
Wichtig:
♦ Dispersion ist eine Eigenschaft des Mediums, in welchem sich Wellen ausbreiten.
♦ nur dispersionsfreie Wellen erhalten die Form eines Wellenpaketes bei der Ausbreitung.
Verallgemeinerung auf 3-Dimensionen:
)k(�
ω=ω Dispersionsrelation
Definition:
Isotropes Medium, falls ( )ω ω ω= =( )� �
k k unabhängig von der Ausbreitungsrichtung �
k
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit in 3-Dimensionen:
��
v kPh|| undk
vPh �
� ω= � k²k
vPh
�
�
�
⋅ω=
x
*gr k
v∂∂ω= ,
y
*gr k
v∂∂ω= ... � ω∇= kgrv
��
Beachte:
• �
�
v kPh|| , aber i.a. unterschiedliche Richtungen von �vgr und �vPh , �
k
• Energie eines Wellenpaketes breitet sich in Richtung �vgr aus!
1.11 Beispiele physikalischer Wellen
1. Seilwelle
Bild Auslenkung einer in z – Richtung vorgespannten Saite.
Gehe aus von konstanter Kraft F entlang der Saite (Spannung der Saite)
� Auslenkung von x an der Stelle z eine rücktreibende Kraft
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28
( ) ( )zdzzx sinFsinFdF ϑ⋅−ϑ⋅= +
( ) ( ) ( )zz sinFdzsinFz
sinF ϑ⋅−ϑ⋅∂∂+ϑ⋅=
( )dzsinFz
ϑ⋅∂∂=
Für kleine Auslenkungen x ist ϑ � 1
�
zxtansin∂∂=ϑ≈ϑ≈ϑ und ds ≈ dz
� dz²zx²FdFx ∂
∂⋅=
Weiter:
Masse des Längenelementes ds:
dsd4
dm 2ss ⋅⋅π⋅ρ= ρs := Dichte der Saite
ds := Durchmesser der Saite
dzddsd4
dm sss
:
2ss
s
⋅µ≈⋅µ=⋅⋅π⋅ρ=
µ=�����
� Newton - Gleichung
xdF²tx²dm =
∂∂⋅
dz²zx²F
²tx²dzs ⋅
∂∂⋅=
∂∂⋅⋅µ
²zx²F
²tx²
s ∂∂⋅
µ=
∂∂
Wellengleichung
F vs
Phµ= 2
�s
PhFvµ
= Phasengeschwindigkeit einer Seil-
welle
Folgerungen:
• Phasengeschwindigkeit beeinflußbar durch
- Spannung der Saite
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29
- Dichte bzw. Durchmesser der Saite
• Bei vorgegebener Saitenlänge L sind Eigenschwingungen festgelegt durch
nL2
n =λ �
L2
Fnv s
n
Phn
µ⋅
=λ
=ν
� Schwingungsfrequenz (= Tonhöhe eines Saiteninstruments) variierbar durch
- Saitenspannung ( )Fn ≈ν
„Stimmen des Instruments“
- Material und Dicke der Saite ��
�
�
��
�
�
µ≈ν
sn
1
- Saitenlänge ��
���
� ≈νL1
n
Frage:
Welche der Eigenschwingungen wird angeregt?
Antwort:
Abhängig von Randbedingungen
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30
Bild
2. Elastische Wellen in Festkörpern
a) Longitudinalwellen
Betrachte (langen) Stab mit dem Querschnitt A
Bild
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31
Schichten, die ⊥ zur z- Achse stehen, werden in z- Richtung um Auslenkung s aus-gelenkt (aus Ruhelage)
( ) dzzs)z(sdzzs ⋅∂∂+=+
Dadurch Änderung der Länge dz um dzzs)dz( ⋅
∂∂=∂
⇔ relative Längenänderung
( )z s
∂∂=∂=ε
dzdz
Dies erzeugt mechanische Zugspannung
σ = E⋅ε (Hooke’sches Gesetz)
E := Elastizitätsmodul
� Spannung an der Stelle z:
z
E)z( ��
���
�
∂∂⋅=σ
z s
Spannung an der Stelle z + dz:
�����
σ+ ∂
∂⋅+σ=��
���
��
���
∂∂+�
��
∂∂⋅=�
��
∂∂⋅=+σ
dzdzz
dzs²E)z(dzs²EE)dzz(z² z² z
s z s
� gesamte rücktreibende Kraft:
dzs²EAdAdFz² ∂
∂⋅⋅=σ⋅=
Newton – Gleichung:
dFs²dm =∂∂⋅
t²
dzs²EAs²dzAz² t² ∂
∂⋅⋅=∂∂⋅⋅⋅ρ
z² t² ∂∂⋅
ρ=
∂∂ s²Es² Wellengleichung
Phasengeschwindigkeit ρ
= EvPh entspricht der Schallgeschwindigkeit im Festkör-
per.
b) Transversalwellen
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32
Herleitung analog zur Longitudinalwelle, jetzt jedoch Auslenkung s ⊥ z- Richtung
Bild
zs z
s
∂∂=∂
∂
=−+≈αdz
dz
dz)z(s)dzz(s
� Schubspannung
τ = G⋅α Hooke’sches Gesetz
G := Schub-, Scher-, Torsionsmodul
Weitere Behandlung wie für Longitudinalwellen �
ρ= GvPh
Phasengeschwindigkeit einer Transversalwelle im Festkörper
Beispiel:
Bild
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33
3. Schallwellen in Gasen
Entscheidender Unterschied zum Festkörper:
Keine Scherkraft in Gasen ⇔ G = 0
Daher ausschließlich Longitudinalwellen möglich!
Betrachte wieder das Element dϑ und ∂(dϑ)
Bild
Volumenänderung durch Auslenkung s(z) und s(z + dz)
( ) dVdzAdVz s
z s
∂∂=
∂∂⋅=∂
Diese Volumenänderung bewirkt Druckänderung um dp.
1.12 Nun Anleihe an die Wärmelehre (vgl. später):
Verknüpfung von Druck, Temperatur und Volumen (Zustandsgrößen) eines Gasesdurch „Zustandsgleichung“.
Hier anzuwenden: „ Adiabatische Zustandsänderung“, bei welcher kein Wärmeaus-tausch zwischen Gasvolumen (dV) und Umgebung erfolgt.
p⋅Vκ = const. „Adiabatengleichung“
κ := Adiabaten – Koeffizient = Cp/Cv, abhängig von molekularenEigenschaften des Gases
35=κ für atomare Gase
57=κ für Luft (2-atomige Moleküle)
damit wird
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34
( ) ( ) ( )V1p
VVp
V.const
dVdp
V.constp 11 ⋅⋅κ−=⋅⋅κ−=⋅κ−=== −κ
κ
−κκ
�
VdVpdp ⋅⋅κ−=
Hier: Änderung d. Volumens dV und ∂(dV)
�( )
z s
∂∂⋅⋅κ−=∂⋅⋅κ−= p
dVdVpdp
Diese Druckänderung (z- abhängig!) führt zu Druckkräften
( ) ( )zdpAzdF ⋅−=
( ) ( ) ( )���
���
∂∂+⋅−=+⋅−=+ dz
zdp)z(dpAdzzdpAdzzdF
und damit zur rücktreibenden Gesamtkraft
( ) ( ) ( ) dzs²pAzdFdzzdFdFz²∂
∂⋅⋅κ−⋅−=−+=
Nun wieder Newton – Gleichung
�� ��� ��
�����
dF
dzs²pAs²
dmdzA
z² t² ∂∂⋅⋅κ⋅=
∂∂⋅⋅⋅ρ
�
z² t² ∂∂⋅
ρ⋅κ=
∂∂ s²ps² Wellengleichung
Schallgeschwindigkeit in Gasen = Phasengeschwindigkeit
ρ⋅κ== pvc Ph (Laplace – Beziehung)
Diskussion:
• Schallgeschwindigkeit scheint mit abnehmendem Gasdruck zu sinken!
Aber: Gasdruck ρ ∝ p (intuitiv klar)
Quantitative Diskussion wieder durch Anleihe an Thermodynamik (kinetische Gas-theorie):
ρ =⋅
⋅p
k TM für ideales Gas
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35
M := Masse eines Gasmoleküls (-atoms)
T := absolute Temperatur
k := Boltzmann – Konstante (1,38⋅10-23 J/K)
Damit wird
MTkc ⋅⋅κ= nur abhängig von T und M!
• Schallausbreitung ist offenbar an Gasteilchen als schwingendes Medium gebunden
� keine Schallausbreitung in Vakuum!
Akustik
Beispiel: Tonerzeugung (in der Musik)
Saiteninstrument = stehende Seilwelle
Bild
Blasinstrumente = stehende Schallwelle in einer Gassäule
musikalisch
- Ton: reine harmonische Schwingung
- Klang: periodische, aber nicht harmonische Schwingung, zerlegbar inGrund- und Oberschwingungen
- Geräusch: unperiodische Schwingung
Beispiel eines Tonerzeugers � Orgelpfeife
- Tonhöhe (Frequenz des Grundtons) wird eingestellt über Resonatorlänge („Stimmung“)
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36
( )L4c1n2n ⋅+=ν
- aber: Stimmung abhängig von der Gaszusammensetzung und -temperatur
Wichtig in der Musik:
� Tonintervalle = Frequenzverhältnisse zweier Töne ν2/ν1
Aus dem subjektiven Hörempfinden selektieren wir als „wohlklingend“ solche rationalenIntervalle
νν
2
1
2
1=
nn
mit möglichst kleinen nat. Zahlen n2 und n1
Beispiel:
ν2/ν1 Bezeichnung
2 Oktave
3/2 Quinte
4/3 Quart
5/4 Terz (gr.)
6/5 Terz (kl.)
9/8 Sekunde
� Tonleitern = Tonfolge beginnend mit beliebigem Grundton ν0 und endet bei 2ν0
Beispiel: „Dur – Tonleiter“
ν2/ν1 Bezeichnung Beispiel ν [Hz]1 do c 264
9/8 re d 2975/4 mi e 3304/3 fa f 3523/2 so g 3965/3 la a 440 „Kammerton“15/8 ti h 495
2 do c 528
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37
4. Longitudinalwellen auf Federkette
Bild
Wichtig:
diskretes Medium, d.h. z = n⋅a
� s(z,t) = s(n⋅a,t) = sn(t)
Kraft auf Masse n bei z = n⋅a:
Fn = -D(sn – sn-1) + D(sn+1 – sn)
Newton – Gleichung:
t²∂∂⋅= n
ns²mF
� { })t(s)t(s2)t(smDs)t(s²
1nn1nnn
−+ +−⋅==∂
∂��
t²
Bewegungsgleichung, Wellengleichung
Betrachte als Lösungsansatz die harmonischen Wellen:
( ) ( )knati0
kzti0n eses)t(s −ω−ω ⋅=⋅=
einsetzen liefert:
{ } )t(se2emD)t(s² n
ikaikan ⋅+−⋅=⋅ω− +−
Dies muß gelten für alle Zeiten t � Vorfaktoren von sn(t) müssen gleich sein, mit
)kacos(2
ee ikaika
=+ −
(Euler – Gleichung)
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38
ergeben sich
{ })kacos(22mD² ⋅−⋅=ω
Weiter:
( )α−⋅=��
���
� α cos121
2²sin (siehe Formelsammlung)
� ��
���
�⋅⋅=ω2
ka²sinmD4²
( ) ��
���
�⋅⋅=ω
ω
2kasin
mD2k
max
���
Dispersionsrelation!
Bild
Resultierende Wellengeschwindigkeit:
2ak2aksin
2a
k2aksin
k)k(v maxmaxPh ⋅
⋅
⋅ω⋅=
⋅
⋅ω=ω=
Gruppengeschwindigkeit:
��
���
� ⋅⋅⋅ω=ω=2
akcos2a
dkdv maxgr
Beachte:
vgr � 0 für k � kmax = π/a
� kein Energietransport für k = kmax, da z.B. an jedem Ort z = n⋅a ein Nulldurchgang
k aa
max ⋅ = � =2 2
π π kmax
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39
Grenzübergang zum kontinuierlichen Medium durch a � 0 (λ >> a).
Damit wird:
k a⋅<<
21 für alle k
� sin ~k a k a⋅�
��
�
�� −
⋅2 2
� k
Phvgrv2a~)k( max ⋅
=
⋅ω−ω�����
linear
• Dispersion rührt ausschließlich von der Diskretisierung des Mediums her!
� Auch elastische Longitudinalwelle im Festkörper wird Dispersion zeigen, wenn λ indie Größenordnung des Atomabstandes kommt.
("Phononen" im Festkörper)
• Minimale Wellenlänge ist λmin = 2⋅a
(Schwingungsknoten an jeder Position z = n⋅a)
Grund:
Medium kann zwischen einer Welle mit k = k0
(0 ≤ k0 ≤ π/a) und Welle mit k = π/a + k0 nicht unterscheiden.
1.13 Energietransport in einer Welle
Beispiel 1: „elastische Longitudinalwelle“
grPh vEv =ρ
= (keine Dispersion)
s(z,t) = Auslenkung eines Massenelementes aus der Ruhelage
t)t,z(s)t,z(s)t,z(v
∂∂== � = Momentane Geschwindigkeit d. Massenelements
� kinetische Energie des Massenelements
2
kin t)t,z(sdm
21²sdm
21dE �
�
���
�
∂∂⋅⋅=⋅⋅=
�
� kinetische Energiedichte = kinetische Energie pro Volumeneinheit
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40
²s21
dV
)t,z(tsdV
21
)t,z(dV
dE
2
kin �⋅ρ⋅=��
���
�
∂∂⋅⋅ρ⋅
= dm = ρ⋅dV
Weiter:
Elastische (potentielle) Energie durch Dehnung bzw. Stauchung
Betrachte wieder Längenänderung eines inf. Elements dz um ε⋅dz � zs∂∂=ε
Spannung
AFEE =
∂∂⋅=ε⋅=σ
z s
Potentielle Energie durch Arbeit, um von dz aus dz(1 + ε) zu stauchen / dehnen.
�ε
ε⋅⋅σ⋅==0
pot 'dAdzdWdE
�ε
ε⋅⋅ε⋅=0
'dA'Edz
²21EAdz ε⋅⋅⋅⋅=
dzAE21 2
��
���
�
∂∂⋅⋅⋅=
z s
� Elastische (pot.) Energiedichte
2pot E
21
dzAdW
dVdE
��
���
�
∂∂⋅⋅=
⋅=
z s
Betrachte ebene harmonische Wellen z.B.
s(z,t)=s0⋅cos(k⋅z - ω⋅t)
als Lösung der Wellengleichung.
)tkzsin(s)t,z(s 0 ω−⋅⋅ω=�
( )tkzsinsk)t,z( 0 ω−⋅⋅−=∂∂
ts
� über eine Schwingungsperiode ��
���
�
ωπ= 2T gemittelte Energiedichte
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41
� ��
���
�=��
�
�T
0
kinkin dt)t,z(dV
dET1
dVdE
( )� ω−⋅⋅ωρ⋅=T
0 x
20 dttkz²sins²
21
T1
����� ω−= dxdt
���
��� ⋅ω⋅⋅ρ⋅= 2
02 s
21
21
20s²
41 ⋅ω⋅ρ⋅=
( ) 20
20
T
0
20
pot s²kE41s²kE
21dttkzsins²k
T1E
21
dVdE
⋅⋅⋅=���
��� ⋅⋅⋅=ω−⋅⋅⋅⋅=��
�
�
�� 2
1
Mit ρ
==ω Ev²k² 2
Ph ergibt sich
���
����
�=⋅⋅⋅=⋅ω⋅
ω⋅⋅=�
�
���
�
dVE
s²kE41s²
²²kE
41
dVdE pot2
020
kin
(mittlere kinetische und potentielle Energiedichte ist gleich und unabhängig von z)
Gesamte Energiedichte einer harmonischen Welle:
20
20
potkinE s²
21s²kE
21
dVE
dVdE
⋅ω⋅ρ⋅=⋅⋅⋅=���
����
�+�
�
���
�=ρ
Definition:
„Intensität“ oder „Energieflußdichte“ einer harmonischen Welle = Energie, die pro Zeitein-heit durch eine zur Ausbreitungsrichtung ⊥ Flächeneinheit transportiert wird.
Bild
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42
Da Energie einer ebenen harmonischen Welle mit der Phasengeschwindigkeit vPh transpor-tiert wird gilt:
ρ⋅= PhvI
dtA
dtvA PhE
⋅⋅⋅⋅ρ=
20Ph s²v
21 ⋅ω⋅ρ⋅⋅=
20Ph s²kEv
21I ⋅⋅⋅⋅=
Beachte:
• ρE und I sind proportional zum Quadrat der Amplitude und Frequenz bzw. Wellen-zahl
• Bei Superposition zweier harmonischer Wellen dürfen ρE und I nicht addiert werden!(Nur die Auslenkung s!)
• Einheiten:
[ρE] = J/m³
[I] = J/m² s = W/m²
Beispiel 2: Schallwelle
Wieder:
s(z,t) = s0⋅cos(kz - ωt)
( )tkz2sin²s21²s
21
dVdE 2
0kin ω−⋅ω⋅⋅ρ⋅=⋅ρ⋅= �
� ���
����
�=⋅ω⋅ρ=�
�
���
�
dVE
s²41
dVdE pot2
0kin
� 20E s²
21 ⋅ω⋅ρ⋅=ρ
� 20Ph s²
21v ⋅ω⋅ρ⋅⋅=I
Beachte:
I = I(ω), d.h. für kleine Frequenzen muß die Amplitude s0 größer werden (für gleiche In-tensität)
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43
menschliches Ohr:
Imin = 10-12 W/m² (Hörschwelle bei ν = 1 kHz)
Imax = 10 W/m² (Schmerzgrenze)
Wichtig:
Lautstärkeempfindung wächst proportional zum Logarithmus der Schallintensität
� „Lautstärke“
)()(log10Lmin
νν⋅⋅=II
Einheit:
[L] := „Phon“ bzw. „Dezibel“ (dB)
Beispiel:
Verdopplung der Schallintensität = Erhöhung um 3 dB
Beispiele für Phonzahlen einiger Schallerzeuger
leises flüstern 10 dB
deutliche Sprache 50 dB
Preßlufthammer (in 1m Abstand) 130 dB
Konzert der Popgruppe Motörhead 136 dB
1.14 Wellen bei bewegten Quellen (Doppler-Effekt)
Bisher wurde stets angenommen, daß Erzeugung einer Welle durch zeitliche Änderung derAusdehnung )t,r(s
�
am festen Ort 0r�
.erfolgt
Beispiel:
Martinshorn in Bewegung (bewegte Schallquelle)
Wichtig für die Diskussion: „Beobachtung“ einer Welle.
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44
Meist:
„Beobachter sitzt am festen Ort � ′r und beobachtet die Schwingung )t,r(s ′�
Unterscheide 2 Fälle:
1) Quelle in Ruhe, Beobachter bewegt sich mit v relativ zur Quelle.
Quelle sende Welle aus mit Frequenz ν0
• ruhender Beobachter sieht während Periodendauer T00
1=ν
genau einen Wellenzug
• bewegter Beobachter sieht λ⋅ν
=∆ 0Tn zusätzliche Wellenzüge während T0
Bild
� wahrgenommene Schwingungsfrequenz
ν ν νλ
νλ
= + = +⋅⋅
= +00
00
0 00
0
∆nT
v TT
v
mit λ0⋅ν0 = vPh (z.B. Schallgeschwindigkeit)
ν ν ν ν= + ⋅ = ±�
��
�
��0 0 0 1
vv
vvPh Ph
„+“ : Beobachter bewegt sich auf die Quelle zu
„-„ : Beobachter bewegt sich von der Quelle weg
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45
2) Beobachter in Ruhe, Quelle bewegt sich mit v relativ zum Beobachter
Bild
Beobachter registriert Welle mit
�
λ νλ
= ⋅ −�
��
�
��
v vv
Ph
Ph0
0
1
zugehörige Frequenz
ν λ=vPh
� ν ν=±
�
�
����
�
�
����
01
1v
vPh
„+“ : Quelle bewegt sich auf den Beobachter zu
„-„ : Quelle bewegt sich vom Beobachter weg
Beobachte:
• Fälle 1) und 2) sind für Schallwellen nicht äquivalent!
(Grund: Schallwellen sind an schwingungsfähiges Medium gebunden, ansonsten z.B. fLichtwellen / vgl. später)
• Falls beide (Quellen und Beobachter) bewegt mit vQ bzw. vB
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46
Bild
ν ν= ⋅−
−0
1
1
vvvv
B
Ph
Q
Ph
(= ν0 für vQ = vB!)
Wichtig:
ν/ν0 kann nicht einfach durch Relativgeschwindigkeit (vQ - vB) ausgedrückt werden!
• Bei beliebiger Richtung der Geschwindigkeiten
Bild
Betrachte die Projektion der Geschwindigkeit auf die Verbindungsachse QB (Näherungfür kleine v, d.h. v⋅T0 << r)
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47
ν ν
β
β νββ= ⋅
−⋅
−⋅ = ⋅
+ ⋅− ⋅0 0
1
1
vv
vv
v vv v
B
Ph
Q
Ph
Ph B
Ph Q
cos
coscoscos
1.15 Wellenfronten
Betrachte punktförmige Schallquelle, die sich mit der Geschwindigkeit v in z- Richtung be-wegt und dabei Kugelwellen der Frequenz ν0 aussendet.
Bild
Wellenlänge, die der Beobachter B wahrnimmt:
λν
α= ⋅ − ⋅�
��
�
��
c vc0
1 cos c = vPh
(Näherung für kleine v, d.h. v⋅sin α << c)
Frage: Was geschieht für v � c?
Für α = 0: λ νv cc v
c→ = ⋅ −�
��
�
�� →
01 0 !
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48
Bild
Alle während der bisherigen Bewegung ausgesendeten Schallwellen überlagern sich inPhase am jeweiligen Ort der Schallerzeugers
� „Kopfwelle“ = nicht harmonische Stoßfront mit großer Druckamplitude
Effekt:
Die Kopfwelle hemmt die Bewegung des Schallerzeugers („Schallmauer“)
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49
Für v > c:
Bild
sin = nn v T
n
n v0
0
0
0
γ λ λ
λ
⋅⋅ ⋅
=⋅
⋅ ⋅=
c
cv
Die Stoßfront bildet einen Kegel mit dem Öffnungswinkel γ.
„Mach’scher Kegel“ (v/c := Machzahl)
(verantwortlich für die Druckwelle beim Überfliegen eines Flugzeuges mit Überschallge-schwindigkeit).
Bild
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50
1.16 Interferenz und Beugung
Erinnerung:
Überlagerung (Superposition) von Wellen durch Addition der Auslenkungen ( )s r t1�
, , ( )s r t2�
,
( ) ( ) ( )s r t s r t s r t� � �
, , ,= +1 2
Früher betrachtet:
s1, s2 harmonische Wellen mit (leicht) unterschiedlichen Frequenzen
Jetzt:
Betrachte die Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Frequenz, aber unterschiedlicherPhase
( )�
���
�
�
���
�
�
ω−ϕ
⋅= t
1
kzcosst,zs )1(01 ( )
����
�
�
����
�
�
ω−ϕ
ϕ∆+⋅= t
2
kzcosst,zs )2(02
�����
s = s1 + s2
( ) ( )tcosstcoss 2)2(
01)1(
0 ω−ϕ⋅+ω−ϕ⋅=
( ) ( ) tsinsinssinstcoscosscoss 2)2(
01)1(
02)2(
01)1(
0 ω⋅ϕ⋅+ϕ⋅+ω⋅ϕ⋅+ϕ⋅=
( ) [ ])z(tcoszs0 ϕ−ω⋅=
mit
�
21
21
)2(0
)1(0
)2(0
)1(00 cosss2sss
22
��
�
�
��
�
�
ϕ−ϕϕ∆⋅⋅⋅++=
2)2(
01)1(
0
2)2(
01)1(
0
cosscosssinssinstan
ϕ⋅+ϕ⋅ϕ⋅+ϕ⋅ϕ
=
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51
Besonders interessant:
• Phasendifferenz ∆ϕ = m⋅2π
[ ]s s s s s s s0 01
02
01
02
12
01
022 2
2= + + ⋅ ⋅ = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
„konstruktive Interferenz“, Teilwellen verstärken sich
• Phasendifferenz ∆ϕ = (2m + 1)⋅π
[ ]s s s s s s s0 01
02
01
02
12
01
022 2
2= + − ⋅ ⋅ = −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
„destruktive Interferenz“, Teilwellen schwächen sich ab
(vollständige Auslöschung bei s s01
02( ) ( )= )
Wichtige Voraussetzung für zeitlich stationäre Interferenzerscheinungen
Phasendifferenz ∆ϕ(z) muß zeitlich konstant sein
⇔ „räumliche Kohärenz“ der beiden Teilwellen
Wie erzeugt man so etwas?
Beispiel 1:
Erzeugung zweier ebener Wellen durch harmonische Schwingungen an zwei verschiede-nen Orten z1, z2
Bild
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52
( )( ) ( ) ( )t,zs bzw. t,zs für WGLd. ungenRandbeding
t cosst,zzst cosst,zzs
21'022
'011
���
ω⋅==ω⋅==
( )��
�
�
��
�
�ω−−⋅⋅=
ϕ
tzzkcoss)t,z(s1
1'01
�����
; ( )��
�
�
��
�
�ω−−⋅⋅=
ϕ
tzzkcoss)t,z(s2
2'02
�����
; kvPh
=ω
� ( )[ ] ( )ϕ+−ω⋅−⋅⋅=+= kztcoss
zzkcoss2ss)t,z(s
0
12'021
��� ���� ��
tan sincos cos
sin cos
cos costan = sin
2
1 2ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ1
1 2 1 2
1 2 1 2
1 22
2 2
22 2
2++
=⋅ + ⋅ −
⋅ + ⋅ − = +
dies ist wieder eine ebene Welle mit Amplitude
( )[ ]1221'
00 zzkcoss2s −⋅⋅=
welche stark von der Phasendifferenz ( )∆ϕ = ⋅ −k z z2 1 abhängt :
( )∆∆ϕ πϕ π= ⋅ == + ⋅ =
���
��
m sm2 2
2 1 00 0
0
s s
für alle z'
Beispiel 2:
Erzeugung zweier Kugelwellen an verschiedenen Orten � �
r1, r2
( )2121 zzk +=ϕ
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53
Bild Geometrische Konstruktion einer Interferenzfigur
Folgerung:
Es existieren Punkte im Raum, in denen sich die Teilwellen stets konstruktiv bzw. destruktivüberlagern.
Auslenkung in einem beliebigen Punkt P:
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54
Bild
( ) ( )s r t sr
t krp10
11
�
,~
cos= ⋅ −ω ; ( ) ( )s r tsr t krp2
0
22
�
,~
cos= ⋅ −ω
( ) ( ){ } ( )���
��� ++ω⋅�
�
�
�−⋅⋅
⋅++⋅= 12
s
21
1221
22
21
0p rrk21tcosrrkcos
rr2
r1
r1s~t,rs
0
������� �������� ��
�
� Amplitude s0 abhängig vom „Gangunterschied“
∆ = k ⋅(r2 – r1)
und Ort auf der Hyperbel (r1 – r2) = const. = ∆/k
Bild
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55
Wichtig:
Bei destruktiver Interferenz ∆ = (2m + 1)⋅π
s sr r0 02 1
1 1= ⋅ −~
� niemals vollständige Auslöschung, da für r1 = r2 stets Verstärkung
Ermittlung des Gangunterschieds aus der Geometrie ( r2 – r1) Unterscheide 2 Grenzfälle:
a) r1, r2 >> d
� �r1 ungefähr parallel zu �r2
� r2 – r1 ≈ d⋅sin α
„Fernfeld – Interferenz“
b) r1, r2 nicht >> d
� r2 – r1 komplizierte Funktion von �
rp
„Nahfeld – Interferenz“
Interferenzprinzip ist entscheidend zur Beschreibung der räumlichen Ausbreitung von Wel-len.
Betrachte hierzu zunächst ebene Welle, erzeugt durch Erregung s(z = 0,t) = s0⋅cos(ωt)
Bild
Diese Welle ist nicht unterscheidbar von einer zweiten Welle, welche z.B. bei z = λ/2 durchSchwingung s0⋅cos(ωt + π) erzeugt wird.
� Beschreibung der Wellenausbreitung formal dadurch, daß in jedem Zeitpunkt t an jedemOrt z einer Phasenfläche eine neue Welle erzeugt wird.
Verallgemeinerung dieses Prinzips auf 3-Dimensionen:
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56
Von jedem Punkt einer Phasenfläche einer Welle werden zur gleichen Zeit Kugelwellen(Elementarwellen) gleicher Phase ausgesendet, deren Überlagerung dann die eigentlicheWelle ergibt. (Christian Huygens, 1680).
Folgerung:Konstruktion einer neuen Phasenfläche F t tϕ0 0( )+ ∆ als Einhüllende (Tangentialfläche) an
Phasenflächen )tt(F 0''0
∆+ϕ
der Elementarwellen, welche zum Zeitpunkt t0 von jedem Punktder Phasenfläche F tϕ0 0( ) ausgesandt werden.
Bild
Wichtig:
• Alle Elementarwellen [EW], welche zur selben Zeit von Punkten einer Phasenflächeausgesandt werden, überlagern sich kohärent.
• Nach dem Huygens – Prinzip ist die Interferenz durch Herausfiltern zweier Elementar-wellen äquivalent zur Erzeugung zweier Kugelwellen (im Gebiet z > 0)
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57
Bild
� Beschreibung von der Wellenausbreitung bei Behinderung durch Grenzflächen
Wichtige Konsequenzen des Huygens – Prinzip:
1) Reflexion von Wellen
Betrachte eine ebene Welle, welche unter dem Winkel α auf eine Wand trifft.
Bild
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58
• Zum Zeitpunkt t0 erreicht Punkt A der Phasenfläche die Wand und sendet von dorteine Elementarwelle aus
• Zum Zeitpunkt t0 + ∆t erreicht B die Wand ∆t = s/vPh
• Phasenfläche der Elementarwelle aus A für t0 + ∆t:
Kugel vom Radius vPh⋅∆t.
• Geometrisch ergibt sich eine neue Phasenfläche mit β = α, welche von der Wandwegläuft.
„Reflektierte Welle“ mit β=α „Reflexionsgesetz“
(Ausfallswinkel = Einfallswinkel)
2) Brechung von Wellen
Betrachte eine ebene Welle, welche auf die Grenzfläche zwischen zwei Medien mit un-terschiedlicher Phasengeschwindigkeit trifft.
Bild
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59
atvsin
)1(Ph ∆⋅=α
atvsin
)2(Ph ∆⋅=β
� )2(Ph
)1(Ph
vv
sinsin =
βα
„Brechungsgesetz“
3) Beugung von Wellen
Betrachte eine ebene Welle, welche auf ein Hindernis (irgend eine gerade Begren-zungsfläche) trifft.
gebeugte Welle existiert im Bereich hinter der Wand
Bild
Zur Beschreibung der in P registrierten Auslenkung
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60
Bild
Betrachte N Quellen, welche gleichphasige Elementarwellen aussenden
Auslenkung durch Quelle Q1
( )( )
s r t se
rn p
i kr t
n
n�
, ~= ⋅−
0
ω~s0 := Amplitude
� Gesamtauslenkung
( ) ( )( )
��=
ω−
=
⋅==N
1n n
tkri
0n
N
1nnp r
es~t,rst,rsn
��
Im Grenzfall beliebig vieler Quellen mit beliebig kleinem Abstand d � dx.
� ( )( )
s r t se
r x y dx dyp
i kr x y t�
, ( , )
( , )
= ⋅≈ −
−∞
∞
−∞
∞
�� 0
ω
"Fresnel – Kirchhoff’sches Beugungsintegral"
s0
≈:= Amplitudendichte, Amplitude der Elementarwelle, welche von der Quelle dxdy bei
(x,y) erzeugt wird : dxdyss~d 00
≈=
r(x,y) aus der Geometrie
r x y x x y y z( , ) ( )² ( )²= − + − +0 0 02
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61
Bild
Zur Beobachtung einfacher Beugungserscheinungen betrachte wieder Kette von N dis-kreten Quellen und Fernfeld - Näherung (r >> N⋅d)
Bild
Dann sind alle rn ≈ r und αn ≈ α
� ( ) ( ) ( )��=
ω−⋅ω−⋅
=
⋅−⋅=αN
1n
trki0trkiN
1n n
0 nn ers~~e
rs~r,s
Gangunterschied benachbarter Quellen ist
∆ = k ⋅ d ⋅ sin α
� ( )( )
( )tkri
A
N
1n
n2
1Ni0 eers~r,s ω−
α
=
∆⋅��
���
� −+
⋅⋅=α ��� ��� ��
Mit e e ee
in
n
Ni
iN
i−
=
−−
−� = ⋅−−
∆ ∆∆
∆1
11
( geometrische Reihe: q q qq
n
n
N n
=� = ⋅
−−1
11
)
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62
Amplitude in P (unter dem Winkel α) :
( ) ( )( )2
20
2i
2i
2Ni
2Ni
0i
iN2
1Ni0
sinNsin
rs~
ee
eers~
1e1ee
rs~A
∆
∆
∆∆−
∆∆−
∆−
∆−∆− ⋅⋅=
−
−⋅=−−⋅⋅=α
Einsetzen für ∆ liefert
( )( )
��
���
� α⋅λ⋅π
��
���
� α⋅λ⋅π⋅
⋅=α⋅⋅α⋅⋅⋅
⋅=α sindsin
sindNsin
rs~
sindksin sindkNsin
rs~)(A 0
21
21
0
Diskussion:
• A(α) besitzt Nullstellen dort, wo Zähler = 0 (und Nenner ≠ 0)
⇔ π⋅=α⋅λ⋅π⋅ m sindN (m ≥ 1)
• A(α) besitzt Hauptmaxima dort, wo Nenner = 0
⇔ π⋅=α⋅λ⋅π m sind
Da sin α ≤ 1 � Unterscheide 2 Fälle:
d < λλλλ: dλ
α⋅ <sin 1 für alle α
� kein Hauptmaximum außer für m = 0 � α = 0
Bild
d > λλλλ: dλ
α⋅ >sin 1
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63
� Int (d/λ) Hauptmaxima
Bild
Beispiel:
d = 3λ � 3 Hauptmaxima außer α = 0
Läßt man bei konstanter Gesamtausdehnung N⋅d = D die zahl der Quellen � ∞ gehen(d.h. d � 0), so ergibt sich
α⋅λ⋅π
��
���
� α⋅λ⋅π
⋅⋅≈��
���
� α⋅λ⋅
⋅π
��
���
� α⋅λ⋅π
⋅=α
<<
sinD
sinDsin
rs~N
sinN
Dsin
sinDsin
rs~)(A 0
1
0
�� ��� ��
Damit ist die unter dem Winkel α gemessene Intensität:
22 xx²sin
sinND
sinD²sin)²(A)( =
��
���
� α⋅λ⋅
⋅π
��
���
� α⋅λ⋅π
∝α∝αI
"Beugung an einem Spalt der BreiteD"
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64
Bild
Auch hier ist der Verlauf I(α) wieder stark abhängig von D/λ.
Bild
Beachte: α kann nicht größer als π/2 werden.
2 Elektromagnetische Wellen
2.1 Wellengleichung
Der Name sagt bereits, daß hier elektrische und magnetische Felder beteiligt sind.
Aus Vorlesung „Grundlagen der Physik II“ ist bekannt, daß zeitlich veränderliche �
E - und �
B -Felder sich gegenseitig beeinflussen.
Beschreibung durch Maxwell – Gleichungen
t B -=E=E rot∂∂×∇�
���
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65
t E +j=B=B rot 000 ∂
∂⋅µε⋅µ×∇�
����
„Grundgleichungen der Elektrodynamik“
0
=E=E divερ⋅∇
���
0BBdiv =⋅∇=���
Betrachte zunächst den materiefreien Raum (Vakuum)
Hier:
nsportLadungstra = Strom u. gebunden Materie an Ladung da 0=j eStromdicht0= hteLadungsdic
���ρ
��
Dadurch:
t B -=E∂∂×∇�
��
(1)
t E =B 00 ∂
∂⋅µε×∇�
��
(2)
Bilde Rotation von (1)
( ) ( )Bt
t B -=E
��
�
����
×∇∂∂−=�
�
�
�
��
�
�
∂∂×∇×∇×∇
Einsetzen von (2) liefert
( ) ��
�
�
��
�
�
∂∂µε
∂∂−=×∇×∇
t E
t E 00
�
���
Benutze Vektoridentität: ( ) ( ) ( )� � � � � � � � �
∇ × ∇ × = ∇ ⋅ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ ∇ ⋅V V V
Einschub:
( ) ���
����
�
∂∂+
∂∂
+∂∂=
z V
y V
x VgradV div grad zyx
�
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66
( ) V:VVV
z V
z V
z V
y V
y V
y V
x V
x V
x V
z ,
y,
x V grad div
z
y
x
zyx
zyx
zyx
��
∆=���
�
�
���
�
�
∆∆∆
=
�������
�
�
�
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⋅���
�
�
∂∂
∂∂
∂∂=
Im Vakuum ist ρ = 0 � 0Ediv =�
� ( )� � � �
∇ × ∇ × = −E E∆
� t² E²=E 00 ∂
∂⋅µε∆�
�
Wellengleichung für Vektor ( )��
E r t,
� Existieren Wellen mit Auslenkung ( ) ( )� �
�
�
s r t E r t, ,= welche sich im Vakuum mit der Ge-schwindigkeit
000
1cµ⋅ε
=
ausbreiten.
Wichtig: c0 unabhängig von ω, k ⇔ keine Dispersion !
Analoge Gleichung für �
B−Feld
t² B²=B 00 ∂
∂⋅µε∆�
�
�
E und �
B sind über Maxwell – Gleichung miteinander verknüpft.
Einfache Lösungen der Wellen – Gleichung:
( ) ( )
( ) ( )
��
�
��
�
��
��
E r t E eB r t B e
i t kr
i t kr,,
= ⋅
= ⋅
���
��
−
−0
0
ω
ω ebene harmonische Wellen
für diese Wellen (und nur für diese !) gilt: ω=∂∂ it
und � �
∇ = − ik
�
( ) ( )∂
∂ω
E,B
t
� �
� �
= i E B, und ( ) ( )� � � � � �
∇ × = − ×E B ik E B, ,
aus (1) wird
( )( ) ( )rkti0
rkti0 eBieEki
��
�� ���
−ω⋅−ω⋅ ⋅⋅ω⋅−=⋅×⋅−
� 00 BEk���
⋅ω=×
Analog:
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67
aus (2) wird
0000 EBk���
⋅ω⋅µε=×
Folgerungen:
• � �
B E0 0 ⊥ � B E��
⊥
• � �
B k0 ⊥ � k B��
⊥ ⇔�
B ist Transversalwelle
• � �
E k0 ⊥ � k E��
⊥ ⇔ E�
ist Transversalwelle
� Ebene elektromagnetische Wellen sind Transversalwellen mit EB ��
⊥
Bild
• E�
und B�
schwingen in Phase
• 0000 EBk���
⋅ω⋅µε=⋅
�
�
00
0
0c
1000 E
c1E
ck
B20
⋅=⋅ω⋅µε=
� magnetischer Anteil hat meist nur geringe Auswirkungen (Auge)
• Elektromagnetische Wellen zeigen Polarisationserscheinungen
- lineare Polarisation
- elliptische Polarisation
- zirkulare Polarisation
2.2 Energietransport durch elektromagnetische Wellen
Benutze Energiedichte des �
E - bzw. �
B - Feldes (siehe „Grundlagen der Physik II)
²E21
dVdE
0E ⋅ε⋅=�
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68
²B121
dVdE
0
B ⋅µ⋅=
�
� ( )t,r²E²E21²E
21=
B
²Ec11
21²E
21
dVdE
00
000
2
200
0ges �
�����
⋅ε=⋅µµε⋅+⋅ε⋅��
�
����
�⋅⋅
µ⋅+⋅ε⋅=
Mittelung über eine Schwingungsperiode liefert:
200E E
21 ⋅ε⋅=ρ (mittlere) Energiedichte des elektromagnetischen Feldes
Intensität einer ebene elektromagnetischen Welle (im Vakuum)
00
200
0E
1E21
c
µε⋅⋅ε⋅=
⋅ρ=I�
20
0
0 E21 ⋅
µε⋅=I
Definition: „Vektor der Energiestromdichte“
( )BEcHES 200 Vakuum)mi(
�����
×⋅⋅ε=×= „Poynting – Vektor“
Richtung von �
S = Richtung der Energietransports
Betrag von �
S
( )
( )
)t(S eEc
eBEc
BEcS
trki22000
trki200
200
200
=⋅⋅⋅ε=
⋅⋅⋅⋅ε=
⋅⋅⋅ε=
ω−⋅
ω−⋅
��
��
An einem bestimmten Ort �r oszilliert S mit 2ω.
Im zeitlichen Mittel ist S = I
Einschub:
Erzeugung elektromagnetischer Wellen prinzipiell durch beschleunigte Ladungen
(Strom = q⋅v, d q vIdt
= ⋅ � )
Beispiel: Hertz’scher Dipol
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69
Bild
Induktion eines Wechselstromes in einem geraden Leiter
⇔ Elektronen schwingen gegen (feststehende) positive Ionen
� Abstand der Ladungsschwerpunkte x(t) = x0⋅cos(ωt)
� zeitlich veränderliches Dipolmoment )t(xq)t(p ⋅−=�
� Elektromagnetisches Feld des oszillierenden Dipols
( ) ( ) ( ) ( ) ( )³rc4
rrp³r4
pr̂r̂p3t,rEt,rEt,rE 2000
sekundärprimär ⋅⋅ε⋅π××+
⋅ε⋅π−⋅⋅⋅=+=
���������������
( )³r4
pr̂r̂p3E0
primär ⋅ε⋅π−⋅⋅⋅=����
�
:= zeitabhängiges Feld eines stationären Dipols
( )�� � �
Ep r r
rsekundär =× ×
⋅ ⋅
��
³4 0π ε:= elektromagnetisches Feld, erzeugt durch zeitliche Änderung von
�p
Wichtig:
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70
• Erprimär ∝1³; E
rsekundär ∝1
� für große r � �
E Esekundär→
• � �
p p trc= −
�
��
�
��
0„Retardierung“ wegen Laufzeit der Feldänderungen
� in großer Entfernung r:
( )E r tp t
rc
c r, , ~
�� sinϑ
ϑ
π ε−
−�
��
�
�� ⋅
⋅ ⋅ ⋅0
0 024
Bild
Einsetzen von �
p trc q x e
i tr
c−�
��
�
�� = − ⋅ ⋅
⋅ −�
��
�
��
00
0ω
( )E r, tq x
c re
i tr
cϑω ϑ
π ε
ω, ~ ² sin
−⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅⋅
⋅ −�
��
�
��
0
0 024
0
Abgestrahlte Energieflußdichte
( )I r, c E q xc r
ϑ ε ω ϑπ ε
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅0 0 0
22
02 4 2
20 0
3 212 32
sin
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71
Bild Elektrisches Feldlinienbild des Hertz’schen Dipols zu Zeitpunkten t = t0 + n⋅T/4. Die Verteilung ist rotationssymmetrischum die Dipolachse.
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72
Bild Die räumliche Verteilung der elektrischen Feldlinien. Die Wellenlänge λ der abgestrahlten elektromagnetischen Welleentspricht dem doppelten räumlichen Abstand zwischen zwei Nullstellen des elektrischen Feldes.
Bild Räumliche Verteilung der Leistungsabstrahlung eines schwingenden Dipols. Die Länge der Strecke r(ϑ) ist proportionalzur Energiestromdichte S.
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73
Klassifizierung elektromagnetischer Wellen nach Frequenzen bzw. Wellenlänge.
Bild Übersicht des gesamten bisher bekannten elektromagnetischen Spektrums.
Wichtig für die Optik:
• Licht ist eine elektromagnetische Welle
• Im Vakuum ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen(und damit des Lichtes) unabhängig von der Frequenz.
� c0 = (Vakuum-) Lichtgeschwindigkeit
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74
2.3 Elektromagnetische Wellen in Materie
In Materie gelten modifizierte Maxwell – Gleichungen
tBE∂∂−=×∇�
��
��
�
�
��
�
�
∂∂+µ⋅µ=×∇
tDjB 0
�
���
mit ED 0
��
⋅ε⋅ε= „Dielektrische Verschiebungsdichte“
ρ=×∇ D��
0B =⋅∇��
ε := Dielektrizitätskonstante; µ := relative Permeabilität
Unterscheide 2 Fälle:
• Nichtleitendes Medium
• Leitendes Medium
2.3.1 Nichtleitendes Medium
Im Isolator ist die Stromdichte �
j = 0. Ebenso ist für elektrisch neutrales Medium: ρ = 0
Analog zur Herleitung der Wellengleichung im Vakuum:
²t E²E 00 ∂
∂⋅µ⋅µ⋅ε⋅ε=∆�
�
Dies ist wieder eine Wellengleichung, aber mit geänderter Ausbreitungsgeschwindigkeit:
0000
c11c ⋅µ⋅ε
=µ⋅µ⋅ε⋅ε
=
Definition:
µ⋅ε==ccn 0 „Brechungsindex“ des Mediums
Für nicht ferromagnetische Materialien ist |µ - 1| << 1, daher (in der Optik) µ ≈ 1
� ε≈n
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75
Frage:
Warum ist im Medium die Ausbreitungsgeschwindigkeit anders?
Grund:
Atome im Medium bilden Dipole, welche durch die eingestrahlte Welle zu erzwungenenSchwingungen angeregt werden.
Bild
Auslenkung des Elektrons um �x in Richtung des äußeren �
E - Feldes liefert:
• Dipolmoment
• Rücktreibendes E – Feld
Eine einfache Beschreibung dieses Phänomens benutzt das Modell des harmonischen Os-zillators:
Rückstellkraft FR = -D⋅x
� Bewegungsgleichung des Elektrons
( )kzti0 eEexDxbxm −ω⋅⋅−=⋅+⋅+⋅ ���
( )kzti0
20 eE
mexxx −ω⋅⋅−=⋅ω+⋅γ+ ���
Aus der Diskussion der erzwungenen Schwingung (siehe Grundlagen der Physik I) wissenwir die stationäre ("eingeschwungene") Lösung dieser Bewegungsgleichung :
( )ϕ+ω⋅= ti0 ex)t(x harmonische Schwingung mit der
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76
Amplitude ( ) ( )x
em
E
i0
0
02 2
ωω ω γω
=⋅
− +
Phasenverschiebung tanϕ γωω ω
= −−0
2 2
Bild Amplitude und Phase der erzwungenen Schwingung .
Damit ergibt sich ein zeitabhängiges Dipolmoment
( )ϕ+ω⋅⋅−=⋅−= ti0 exe)t(xe)t(p
welches in großem Abstand r >> x0 wieder ein elektromagnetisches Feld erzeugt
���
����
� π−ω
⋅⋅⋅ε⋅π
ω⋅⋅−= 0cti
200
0D e
rc4²xeE
nur 1r
d.h << 0
−
=
≈
�
�
������
�
�
������
Term
Θ π
ϕ ω ω2
0, .
Weiter:
Überlagerung der an verschiedenen Stellen des Mediums erzeugten Dipolfeldes.
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77
• Zahl der Dipole im Volumenelement dV = 2π r‘ dr‘ dz:
N⋅dV N := Dipoldichte
• '²r²zr +=
� ( )�∞
=0
Ds 'drz,'rE)z(dE
���
�
�
���
�
�
��
�
��
��
⋅ω
−π⋅ε⋅π⋅ω⋅⋅
⋅π⋅ε⋅π⋅ω⋅⋅
⋅⋅π⋅⋅⋅ε⋅π⋅ω⋅⋅
π⋅⋅⋅ε⋅π⋅ω⋅⋅
∞ω−ω
∞
=
ω−ω
∞
=
ω−ω
∞ω−
ω
�
�
�
z
cri
0200
ti20
zr
cri
200
ti20
zr
cri
200
ti20
0
cri
200
ti20
0
0
0
0
eNic 2 dz
c4exe-=
dr eN2c4exe-=
dr'r
r'r2r
eNdzc4exe-=
'dr'r2r
eNdzc4exe-=
Der Term r � ∞ trägt nichts bei, da dort N � 0 (endliche Ausdehnung der einfallendenWelle)
�
���
����
�−ω
⋅ε
⋅⋅⋅ω−= 0czti
00
0s edz
c2Nxei)z(dE
Einsetzen von x0 liefert
( )[ ]���
����
�−ω
⋅⋅��
���
�
γω+ω−ωε⋅ω−= 0c
zti
022000
s eEim2
²eNcdzi)z(dE (*)
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78
Die Gesamtfeldstärke an Ort z ergibt sich durch Überlagerung der einfallenden Wellemit der der Sekundärwelle
E(z,t) = Ee(z,t) + dEs(z,t)
Makroskopisch:
Phasenverschiebung nach Durchlaufen der Mediumschicht der Dicke dz:
( )000 c
dz1ncdz
ncdzd −⋅ω=ω−ω=ϕ
�ϕ−�
��
����
�−ω
���
�
�ϕ−��
�
����
�−ω
⋅⋅=⋅= idczti
0
dczti
0 eeEeE)t,z(E 00 (**)
da dϕ << 1 � e idid− − −ϕ ϕ~1
� ( )���� ����� ��
�����
)t,z(dE
eEcdz 1n i
)t,z(EeE)t,z(E
s
czti
00
e
czti
000���
����
�−ω�
��
����
�−ω
⋅⋅−ω−⋅=
Durch Vergleich mit � ergibt sich
( )[ ]γω+ω−ωε⋅+=
im2²eN1n 22
00
Brechungsindex in der Näherung des klassischen harmonischen Oszillators.
Diskussion:
• n ist eine komplexe zahl !� n = n‘ +iκ
Ausrechnen liefert:
( ) 222220
220
0
2
m2Ne1'n
ωγ+ω−ω
ω−ω⋅ε
+=
( ) 2222200
2
m2Ne
ωγ+ω−ωγω⋅
ε=κ
• physikalische Bedeutung von n‘ und κ:
Hierzu Integration d. Gl. (**) von z = 0 bis z, d.h. die Welle läuft ab z = 0 durch das Me-dium.
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79
����������
ausbreitet n'c mit sich die Welle,
zc
'nti
Amplitudeigeortsabhäng
zc
0
zc
zc
1'niczti
00
00000 eeEeeeE)t,z(E���
����
�⋅−ω⋅κ⋅ω−⋅κ⋅ω−⋅−ω�
��
����
�−ω
⋅⋅=⋅⋅⋅=
Dies ist eine gedämpfte Welle mit
- Ausbreitungsgeschwindigkeit c cn
= 0
'
� n‘ ist der Brechungsindex
Achtung: n‘ = n‘(ω) � c = c(ω)
n‘ beschreibt die Dispersion!
- Amplitudez
c0
0eE⋅κω−
⋅
� I I= ⋅ −0 e zα (Beer’sches Absorptionsgesetz)
� Energiedichte der Welle nimmt ab (Energie wird an das Medium abgegeben)
„Absorption der Welle“
κ⋅ω⋅=α0c
2 „Absorptions – Koeffizient“
Schematisch:
Bild Absorptionskoeffizient α(ω) = 2k0 ⋅ κ(ω) und Realteil des Brechungsindex in der Umgebung einer Absorptionslinie bei ω0.
Bemerkung:
• Elektronenbewegung muß eigentlich quantenmechanisch beschrieben werden.
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80
Resultat: Es existieren mehrere Resonanzfrequenzen ω0, welche Übergängen zwi-schen bestimmten Energiezuständen des Elektrons entsprechen.
• Im klassischen harmonischen Oszillator: ω01610
1~−s
Frequenzen des sichtbaren Lichts:s110~ 14−
� n‘ nimmt zu mit zunehmendem ω (abnehmendem λ0)
(normale Dispersion)
• Ebene Welle:
( )� � �
k n k n i k= ⋅ = + ⋅0 0' κ kc0
0=ω
Aus Maxwell – Gleichungt B E∂∂−=×∇�
��
folgt (mit ki��
−=∇ und ω=∂∂ it )
� Phasenverschiebung zwischen �
E und �
B im absorbierenden Medium
2.3.2 Leitendes Medium
Hier existiert Leitfähigkeit σ
� Elektrisches Feld E�
erzeugt Stromdichte
Ej��
⋅σ=
Einsetzen in die Maxwell - Gleichungen liefert
( )tE
tE
c1E 02
2
20 ∂
∂σµµ+∂∂⋅=∆
��
�
(*)
Ansatz zur Lösung dieser modifizierten Wellengleichung :
( ) ( )kztiz2
0 eeEt,zE −ωα−⋅⋅=
��
Einsetzen in die Wellengleichung liefert
( ) ( ) EiEc1Eik
2 02
20
2���
σµµω+ω−=��
���
� −α−
� ( ) σµµω+ω−=−α+α02
0
22
2
ic
kik4
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81
� 20
22
2
ck
4ω−=−α und ( ) σµµω=⋅α 0k
Dies sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ! Auflösen liefert :
20
20
2422
c442 σµω+ω+ω−
=α
Im Grenzfall kleiner Frequenzen ω und hoher Leitfähigkeit σ kann man nähern
2000
00
c22εωσ=
εεωσµ≈α
Folgerung:
• Die Welle wird im Medium absorbiert !
• Eindringtiefe δ der Welle ist bestimmt durch ( ) e0II =δ
σωε=
α=δ
2c1 2
00 "Skintiefe" für das Eindringen einer elektromagnetischen Welle
in ein leitendes Medium2.4 Elektromagnetische Wellen an Grenzflächen
Betrachte den Durchtritt einer ebenen Welle
( ) ( ) ( )rktie0e
eeEt,rE�
��
� ⋅−ω⋅=
durch eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Brechungsindizes n1 und n2
� Aufspaltung der Welle in reflektierte und gebrochene Welle
( ) ( ) ( )rktir0r
reEt,rE�
��
��
⋅−ω⋅=
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82
( ) ( ) ( )rktig0g
geEt,rE�
�
��
� ⋅−ω⋅=
Bereits bekannt : α′=α (Reflexionsgesetz) und er kk��
=
1
2
nn
sinsin =
βα (Brechungsgesetz) und e
1
2g k
nnk
��
=
Frage:
Wie groß sind die Amplituden ( )r0E
�
bzw. ( )g0E
�
und damit die Intensitäten der reflektierten undgebrochenen Wellen ?
Zerlege hierzu die Amplitudenvektoren in Komponenten ⊥0E und �0E senkrecht und
parallel zur Einfallsebene ( = Ebene, welche durch gre kundk,k���
aufgespannt wird)
Erinnerung an Elektrodynamik :
• Tangentialkomponente von E�
ist an der Grenzfläche stetig
�( )( ) ( )( ) ( )( )zg
0zr
0ze
0 EEE =+ (***)
• Tangentialkomponenten von B�
verhalten sich wie 12
1 ≈µµ
wegen ( )Ek1B���
×ω
=
( )( ) ( )( ) ( )( )x
g0gx
r0rx
e0e EkEkEk
������
×=×+×
Ausmultiplizieren liefert : ( ) ( )�
( )y0zz0yx0 E0
kEkEk=
−=×��
� ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )zg0ygz
r0yrz
e0ye EkEkEk ⋅=⋅+⋅
Mit ( ) ( )yrye kk −= folgt :
für nicht ferromagnetischeMaterialien
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83
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )zg0
ye
ygz
r0z
e0 E
kk
EE ⋅=− (****)
Aus (***) und (****) ergibt sich
( )( )( )( ) β+α
β−α=+−=
⊥
⊥
cosncosncosncosn
a1a1
EE
21
21e
0
r0 ( )
( ) ⊥=β+αβ−α= r
sinsin
( )( )( )( ) β+α
α=+
=⊥
⊥
cosncosncosn2
a12
EE
21
1e
0
g0 ⊥= t
Analoge Herleitung für die Parallelkomponenten liefert
( )( )( )( ) β+α
β−α=cosncosncosncosn
EE
12
12e
0
r0
�
� ( )( ) �
rtgtg =
β+αβ−α=
( )( )( )( ) β+α
α=⊥
⊥
cosncosncosn2
EE
12
1e
0
g0
�t=
a:cosncosn
coskcosk
1
2
e
g =αβ=
α⋅β⋅
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84
"Fresnel - Gleichungen", ermöglichen die Bereichnung des Reflexions- bzw.Transmissionsvermögens einer Grenzfläche als Funktion des Einfallswinkels α und derBrechungsindizes n1, n2
Def. : Reflexionsvermögen( )
( )
( )
( ) 2e0
2r0
e
r
E
ER
�
�
==II
Transmissionsvermögen R1T −=
Zerlege wieder in Komponenten parallel bzw. senkr. zur Einfallsebene :
( )( )( )( )
2
21
212e
0
2r0
cosncosncosncosn
EE
R ���
����
�
β+αβ−α==
⊥
⊥⊥ und ⊥⊥ −= R1T
( )( )( )( )
2
12
122e
0
2r0
cosncosncosncosn
E
ER ��
�
����
�
β+αβ−α==
�
�
�und
��R1T −=
Die Winkel α und β sind dabei über das Brechungsgesetz verknüpft.
Diskussion :
• Für α = 0 ist auch β = 0
��
RnnnnR
2
21
21 =���
����
�
+−=⊥
• Mit βα=
sinsin
nn
2
1 und Additionstheoremen für die Winkelfunktionen ergibt sich :
( )( )
2
sinsinR �
�
���
�
β+αβ−α=⊥ und ( )
( )2
tgtgR �
�
���
�
β+αβ−α=
�
Da α, β ≤ π/2 und α ≠ β (für n2 ≠ n1) � α + β < π
Folgt 0R ≠⊥ (für n2 ≠ n1)
Aber : 0R =�
dann, wenn ( )2
tg π=β+α⇔∞→β+α
Der zugehörige Einfallswinkel, für welchen diese Bedingung erfüllt ist,heißt Brewster - Winkel αB
( )1
2B
B
B
B
BB
nntg
cossin
2sin
sinsin
sin =α=αα=
��
���
� α−πα=
βα
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85
Der Brewster-Winkel wird ausgenutzt, um z. B. für linear polarisiertes Licht die Reflexionan Grenzflächen vollständig zu vermeiden.
• Betrachte die Reflexion im Fall n2 > n1 ("Reflexion an optisch dichterem Medium")
Dann ist α<α=β sinsinnnsin
2
1� β < α
und es gilt für die
Senkrechtkomponente (⊥ Einfallsebene) :
( ) 0sin >β−α , da α, β ≤ π/2
�( )( ) 0
sinsinr <
β+αβ−α−=⊥ �
( )( )⊥r0E
�
ändert das Vorzeichen bei Reflexion
Da 1ei −=π , bezeichnet man dies als einen "Phasensprung um π"
Parallelkomponente (|| Einfallsebene) :
( ) 0tg >β−α , aber ( ) 0tg <β+α für 2π>β+α
�( )( ) 0
tgtgr <
β+αβ−α=
�für α > αB
� Phasensprung um π für α > αBkein Phasensprung für α < α