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W h t d E t i klWachstum und EntwicklungNeoklassische Wachstumstheorie –Th i ti l W h tTheorie optimalen Wachstums
Prof. Dr. Wolfgang StröbeleIn Zusammenarbeit mit Dipl.-Math. Eric Meyer
Lehrstuhl für VolkswirtschaftstheorieUniversität Münster
Variable Sparquote 2
Bislang wurde eine konstante Sparquote (s = const ) angenommenBislang wurde eine konstante Sparquote (s = const.) angenommen.Der Konsum ist jedoch einer eigenen Optimierung unterworfen, ausdem Konsum zieht man Nutzen, der zu maximieren ist:
∫∞
δ−⋅0
t
)t(Cdte))t(C(Umax
Frage: Wie kann so ein Problem gelöst werden?→ Dynamische Optimierung
Dynamische Optimierung 3
ProblemstellungBisher:Bisher:Gegeben ist eine Funktion
2)2x()x(f −−=die zu maximieren ist:
)x(fmaxoder)2x(maxx
2
x−−
Jetzt:∫ dt))t(x(fmax ∫ dt))t(x(fmax
)t(x
Zu maximieren ist ein Integral bzgl. einer Funktion (nicht wie zuvor bzgl. einer Variablen)einer Variablen).Außerdem gibt es als Nebenbedingung eine Differentialgleichung.
Dynamische Optimierung 4
Die Aufgabe
Ein typisches dynamische Optimierungsproblem sieht wie folgt aus:
( ) ( )( )∫T
dtttutxImax( )
( ) ( )( )∫t
tu0
dtt,tu,txImax
( ) ( ) ( )( )t,tu,txftx =&s.t.: ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) T00 xTx,xtx ==
Dynamische Optimierung 5
„Zutaten“1 Die Variablen1. Die VariablenMan unterscheidet Kontrollvariablen (hier u(t)) und Zustandsvariablen(hier x(t)).
Kontrollvariablen: Sie stehen dem Optimierer jederzeit als Einflußgrößenzur Verfügung. Mit ihrer Hilfe versucht er sein Zielfunktional zu optimieren. Beispiele: Konsum, Investitionen, …
Zustandsvariablen: Sie werden durch die Kontrollvariablen, sich selbst d U i t Z itt b i fl t d i k l B tä dund u.U. einem autonomen Zeitterm beeinflusst und wirken als Bestände
intertemporal. Beispiele: Kapital, Ressourcenbestand, …
Dynamische Optimierung 6
„Zutaten“2 Das Zielfunktional2. Das ZielfunktionalIm Zielfunktional werden die Gewinne bzw. der Nutzen aus allen PeriodenAddiert. Im kontinuierlichen Fall bedeutet das die Integration.
Endlicher Zeithorizont:
∫T
Ohne Restwert ( ) ( )∫=t0
dtt),t(u),t(xIt),t(u),t(xJ
( ) ( ) ( )TSdtt)t()t(It)t()t(JT
∫Mit Restwert
Unendlicher Zeithorizont:
( ) ( ) ( )T,xSdtt),t(u),t(xIt),t(u),t(xJ Tt0
+= ∫
Unendlicher Zeithorizont:( ) ( )∫
∞
=0t
dtt),t(u),t(xIt),t(u),t(xJ mit ( )∫∞
∞<0t
dtt,u,xI
Dynamische Optimierung 7
„Zutaten“3 Die Bewegungsgleichung3. Die BewegungsgleichungSie beschreibt die Veränderung der Zustandsvariable und wird durch denZustand, die Kontrollvariable und einen autonomen Zeitterm beeinflusst.
( ) ( ) ( )( )t,tu,txftx =&
Dynamische Optimierung 8
„Zutaten“4 Die End oder Transversalitätsbedingungen4. Die End- oder Transversalitätsbedingungen
x
xT
x Man unterscheidet:a) Feste Endzeit T, fester Endwert x(T)
x0 x0
) , ( )b) Feste Ebndzeit T, freier Endwert x(T)c) Erreichen einer Hyperebene f(x(T),T=0d) Optimale Endzeit
Tt0t Tt0 t
Hyperebene
) p
Die Transversalitätsbedingungen„spannen“ die Differentialgleichungen
x x
xT
Hyperebenef(x,t) ein und picken die Lösungen aus einer
Kurvenschar heraus.
ö S
Tt t
x0
t t
x0 Analog könnte man auch Start-bedingungen formulieren
Tt0 t t0t
Dynamische Optimierung 9
Die Aufgabe
Das dynamische Optimierungsproblem lautet:
( ) ( )( )∫T
dtttutxImax( )
( ) ( )( )∫t
tu0
dtt,tu,txImax
( ) ( ) ( )( )t,tu,txftx =&s.t.: ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) T00 xTx,xtx ==
Dynamische Optimierung 10
Hamilton-Funktion
Zur Lösung bildet man zunächst die Hamilton-Funktion
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )ttutxftttutxItttutxH λ+λ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )t,tu,txftt,tu,txIt,t,tu,txH ⋅λ+=λ
IntegrandIntegrand
Schattenpreis
Bewegungsbeschreibung
Dynamische Optimierung 11
LösungSatz: Maximumprinzip (Notwendige Bedingung für ein Maximum)Satz: Maximumprinzip (Notwendige Bedingung für ein Maximum)Sei u*(t) eine stückweise stetige Funktion auf [t0, T], die das obige Optimierungsproblem löst, und sei x*(t) der mit u*(t) assoziierte Pfad der Zustandsvariablen Dann existiert eine stückweise stetig differenzierbareZustandsvariablen. Dann existiert eine stückweise stetig differenzierbare Funktion λ(t), so dass für alle t ∈ [t0, T] gilt: 1.) Maximierungsbedingung *(t) i i t H( *(t) (t) λ(t) t)u*(t) maximiert H(x*(t), u(t), λ(t), t)
Meist heißt dieses, dass gilt ( ) 0tu
H=
∂∂
2. ) Kanonische Gleichungen
( ) ( )txt
H&=
λ∂∂ ( )
( ) ( )ttx
Hλ=
∂∂
− &
Dynamische Optimierung 12
Lösung
Zur Lösung eines dynamischen Optimierungsproblems sind also drei Dinge zu tun:1.) Ableiten der Hamilton-Funktion nach u(t), d.h. man maximiert die
Hamilton-Funktion nach der Variablen u(t).2.) Ableiten der Hamilton-Funktion nach dem Schattenpreis. Dieses
reproduziert die Bewegungsgleichung.3.) Ableiten der Hamilton-Funktion nach der Bestandsgröße x(t). Man
erhält eine Bewegungsgleichung für den Schattenpreis.g g g g p
Insgesamt ergeben sich damit zwei Differentialgleichungen, die dieLösungspfade für die Kontrollvariable und den Bestand charakterisierenLösungspfade für die Kontrollvariable und den Bestand charakterisieren.
Dynamische Optimierung 13
Interpretation1 D S h tt iDer Schattenpreis λ(t) gibt zu jedem Zeitpunkt t an, welchenW t“ i i l V ä d d B t d h t
1. Der Schattenpreis
„Wert“ eine marginale Veränderung des Bestandes hat.
• D.h. der Schattenpreis nennt eine Preis, den man für eine weitereD.h. der Schattenpreis nennt eine Preis, den man für eine weitere Bestandseinheit bereit ist zu zahlen.
• Der Wert bemisst sich dabei aus der Zielfunktion im Integral• Der Wert bemisst sich dabei aus der Zielfunktion im Integral
• Zentrale Bedeutung bei der Interpretation
• Der Schattenpreis „verknüpft“ alle Zeitpunkte.
Dynamische Optimierung 14
Interpretation2 Di H ilt F kti2. Die Hamilton-Funktion
( ) ( )43421321 t,u,xft,u,xIH ⋅λ+=21
1 Aktuelle Profitrate
d M i l Ä d d B t d2 Zukünftiger Profit
)t,u,x(fx dtdx ==&
dx: Marginale Änderung des Bestandes bei marginaler Änderung der Zeit
dtdx⋅λ
)(dt
: Preis für eine marginale Bestandseinheit mal eine marginale Bestandseinheit ergibt den Wert
Hamilton-Funktion gibt den Gesamtwert zu einem Zeitpunkt t an, bestehend aus der aktuellen Profitrate und dem zukünftigen Profit
Dynamische Optimierung 15
Interpretation3 Di M i i b di3. Die Maximierungsbedingung
fIbzw0fI0Hλ==
∂λ+
∂⇒=
∂
{uu
21
fI.bzw0uu
0u
⋅λ−==∂⋅λ+
∂⇒=
∂ 321
1 M i l Ä d d kt ll P fit t1 Marginale Änderung der aktuellen Profitrate2 Marginale Änderung des zukünftigen Profits
Aussage:Eine marginale Änderung der aktuellen Profitrate muss gleich dermarginalen Änderung des zukünftigen Profits seinmarginalen Änderung des zukünftigen Profits sein.Andernfalls lohnt sich eine Reallokation zwischen Gegenwart und Zukunft.
Dynamische Optimierung 16
Interpretation4 Di k i h Gl i h4. Die kanonischen Gleichungen
x)t,u,x(fxH&& =⇒=
λ∂∂λ∂
Reproduktion der Bewegungsgleichung
{ {λ−=⋅λ+λ−=
∂∂⋅λ+
∂∂
⇒λ=∂∂
− &&
321
&xx
321
fI.bzwxf
xI
xH
1 Marginale Änderung der aktuellen Profitrate2 Marginale Änderung des zukünftigen Profits3 Entwertungsrate3 Entwertungsrate
Momentanwertform vs. 17
GegenwartswertformHä fi d b i d i h P bl di W t di k ti tHäufig werden bei dynamischen Problemen die Werte diskontiert, um Zahlungsströme besser vergleichen zu können. Das dynamische Optimierungsproblem könnte dann diese Form annehmen:
( ) dtet,u,xImaxT
t
t
u0
∫ δ−⋅
)t,u,x(fx:.t.s =&
( ) ( ) T00 xTx,xtx ==Diskontierung
Die Zielfunktion liegt hier in Gegenwartswerten vor.
Das obige Lösungsverfahren lässt sich analog mit dem IntegrandenI(x,u,t)·e-δt anwenden.
Momentanwertform vs. 18
GegenwartswertformGrundsätzlich ist nun zwischen der Hamilton-Funktion in GegenwartswertenGrundsätzlich ist nun zwischen der Hamilton Funktion in Gegenwartswertenund in Momentanwerten zu unterscheiden.
( ) ( )t,u,xfet,u,xIH tG ⋅λ+= δ− Gegenwartswertform
Multiplikation/Aufzinsung mit eδt ergibt dann:HeH G
t= δ
( ) ( )( ) ( )t,u,xft,u,xI
t,u,xfet,u,xI
HeHt
GM
⋅μ+=⋅λ+=
=δ Momentanwertform
mit λ=μ δte( ) ( ),u,,u, μ mit μ
Man beachte:λ i t d S h tt i i G t t d i t d S h tt iλ ist der Schattenpreis in Gegenwartswerten und μ ist der Schattenpreis in Momentanwerten
Momentanwertform vs. 19
Gegenwartswertform
( ) ( )t,u,xfet,u,xIH tG ⋅λ+= δ− ( ) ( )t,u,xft,u,xIHM ⋅μ+=
Gegenwartswertform Momentanwertform
0feIu
Hu
tu
G =⋅λ+⋅=∂∂ δ− 0fI
uH
uuM =μ+=
∂∂
I.
( ) xt,u,xfHG &==λ∂
∂ ( ) xt,u,xfHM &==μ∂
∂
∂H ∂H
II.
λ=λ−−=∂∂
− δ− &x
tx
G feIx
Hδμ−μ=μ−−=
∂∂
− &xxM fI
xH
Rein technisch kann man also die Momentanwertform bilden (d h man
III.
Rein technisch kann man also die Momentanwertform bilden (d.h. man notiert nur I(x,u,t)) und bildet dann die drei Gleichungen rechts, wobei sich nur bei der Bewegungsgleichung des Schattenpreises etwas ändert.
Phasendiagrammtechnik 20
Häufig kommt es vor dass sich ein System von zwei DifferentialgleichungenHäufig kommt es vor, dass sich ein System von zwei Differentialgleichungen nicht mehr geschlossen lösen lässt.In solchen Fällen kann mit Hilfe der Phasendiagrammtechnik das qualitative Verhalten der betrachteten Größen untersucht werdenVerhalten der betrachteten Größen untersucht werden.
Diese Technik soll am folgenden Beispiel erläutert werden:
)x,x(g:xx2x)x,x(f:x2x612x
21212
21211
=−+−==−−=
&
&
),(g 21212
Frage: Wie bewegen sich die Größen x1 und x2?
Phasendiagrammtechnik 21
Schritt 1: Isoklinen ermitteln
Id Eli i i di itli h Abl itIdee: Eliminiere die zeitlichen Ableitungen → Ermittle jene Punkte (x1,x2), in denen sich entweder x1 oder x2 nicht bewegen, mithin wo also 0x1 =& oder 0x2 =& gilt. g , 1 2 gIm bedeutet dieses
211 x2x6120:0x −−==&
212 xx20:0x −+−==&
Diese beiden Gleichungen kann man nach x2 auflösen und erhält damit die Funktionsgleichungen für die beiden Isoklinen 0x& und 0x& :die Funktionsgleichungen für die beiden Isoklinen 0x1 = und 0x2 = :
122
121
x2x:0xx36x:0x
+−==−==
&
&
122 x2x:0x +
Phasendiagrammtechnik 22
Schritt 2: Eintragen in ein x1-x2-Diagramm
0x2 =&
x2
6
B 0x2
2
1A
C
x121
0x1 =&-2D
Phasendiagrammtechnik 23
Schritt 3: Bewegung in den vier Sektoren
Analysiere getrennt die Bewegung in x1 und x2 Richtung mit Hilfe derAnalysiere getrennt die Bewegung in x1- und x2-Richtung mit Hilfe der jeweils zugehörigen Differentialgleichung: Bewegung in x1-Richtung: i) Gehe auf die Isokline 0x1 =& Hi ilt fü di d 02612& fü llHier gilt für die x1 und x2 0x2x612x 211 =−−=& für alle x.ii) Bewege Dich in den Sektor A hinein Um sich von der Isokline 0x =& in den Sektor A hineinzubewegen mussUm sich von der Isokline 0x1 = in den Sektor A hineinzubewegen muss man x1 oder x2 erhöhen. Auf der Isokline galt: 0x2x612x 211 =−−=& . Wenn man x1 oder x2 erhöht, so subtrahiert man mehr als vorher auf der I kli 0& lt Al 0& lt d h h ftIsokline, wo 0x1 =& galt. Also muss nun 0x1 <& gelten, d.h. x1 schrumpft. Dieses symbolisiert man durch einen Pfeil nach links im Diagramm.
Phasendiagrammtechnik 24
Schritt 3: Bewegung in den vier Sektoren
Bewegung in x Richtung:Bewegung in x2-Richtung:i) Gehe auf die Isokline 0x2 =& Hier gilt für x1 und x2: 0yx2x2 =−+−=&Hier gilt für x1 und x2: 0yx2x2 =+= . ii) Bewege Dich in de Sektor A hinein Um sich von der Isokline 0x2 =& in den Sektor A hineinzubewegen muss 2 gman x1 erhöhen oder x2 verringern. Auf der Isokline galt:
0yx2x2 =−+−=& . Wenn man x1 erhöht oder x2 verringert, so addiert man mehr oder subtrahiert man weniger als vorher auf der Isokline woman mehr oder subtrahiert man weniger als vorher auf der Isokline, wo
0x2 =& galt. Also muss nun 0x2 >& gelten, d.h. x2 wächst. Dieses symbolisiert man durch einen Pfeil nach oben im Diagramm.
Phasendiagrammtechnik 25
Schritt 3: Bewegung in den vier Sektoren
x2
0x2 =&
6
B
2
1A
C
x121
0x1 =&-2 D
Modell optimalen Wachstums 26
(1) U(C) Nutzenfunktion (abhängig vom( ) ( ) ( g g Konsum) (2) Y = F (K, L) Produktionsfunktion
F(K L) erfülle die F(K,L) erfülle die Inada-Bedingungen (3) w = FL Faktorpreisfestlegung r = i = FK (4) I = S (Ersatz für eine)
Investitionsfunktion Investitionsfunktion(5) =K& I = F(K,L) – C Bewegungsgleichungen für Kapitalstock K (6) LnL ⋅=& Bewegungsgleichung für Arbeit L Gegeben sind: K0, L0; n ≥ 0 (zunächst sei n=0)
Modell optimalen Wachstums 27
E ilt d N t d K i i t dEs gilt, den Nutzen aus dem Konsum zu maximieren, unter der Nebenbedingung der Bewegungsgleichung für das Kapital. Gesucht istalso der optimale Konsumpfad C(t).
∫∞
δ− ⋅= t
)t(Cdt))t(C(UeWmax ∫
0)t(C
Nebenbedingung: )t(C)L,K(FK −=& mit δ > 0, 0)C(U >′ , 0)C(U <′′ ,
0)C(Ulim,)C(UlimC0C
=′∞=′∞→→
Beachte: Zunächst wird von einer konstanten Bevölkerung ausgegangen, also n=0also n 0.
Modell optimalen Wachstums 28
Die Hamilton-Funktion lautet: H = U (C(t)) te δ− + λ (t) ⋅ [F (K(t), L ) – C(t)] Notwendige Bedingung für ein Maximum bzgl. C:
(1) )t(e))t(C(U:0)t(C
H t λ=⋅′=∂∂ δ−
)(Die kanonische Gleichung lautet:
(2) λ−=⋅λλ−=∂∂ &&
KF)t(:KH
Modell optimalen Wachstums 29
Wir ermitteln die Wachstumsraten der Gleichung (1) durch logarithmisches Differenzieren:(3) λ=δ−′ ˆ)C(U Aus Gleichung (2) erhält man:Aus Gleichung (2) erhält man:(4) λ−= ˆFK Aus (3) und (4) ergibt sich durch Gleichsetzen (5) δ−=′− KF)C(U
)C(U′ lässt sich auch schreiben als &
)C(U′ = )C(UC)C(U
′⋅′′
Damit folgt:Damit folgt:
(6) δ−=′
⋅′′− KF
)C(UC)C(U &
Modell optimalen Wachstums 30
Erweitern mit C und Verwendung der Grenznutzenelastizität g
))t(C(UC))t(C(U
′⋅′′
=η− ergibt:
(7) δ−=η⋅ KFC woraus die Ramsey-Regel für die Wachstumsrate des Konsumsauf dem Optimalpfad folgt:p p g
(8) ηδ−
= KFC
Ramsey-Regel31
InvestitionskalkülDer Ramsey-Regel liegt ein Investitionskalkül zugrunde ob eine Gütereinheit
( )1
Der Ramsey-Regel liegt ein Investitionskalkül zugrunde, ob eine Gütereinheit heute investiert werden soll.
Heute Morgen( ))1t(F1))1t(C(U
11
K ++⋅+′δ+
Durch die Investition steigt das
Investition heute führt zu einemNutzenverlust durch Minderkonsumbewertet durch die Nutzenfunktion:
))t(C(U′)1t(FK +
Durch die Investition steigt dasEinkommen:(1)Außerdem wurde gestern schon
bewertet durch die Nutzenfunktion:
Außerdem wurde gestern schon investiert, diese Einheit muss nunnicht mehr investiert werden.(2) 1(2) 1Insgesamt erhält man bewertet indiskontierten Nutzeneinheiten:
Ramsey-Regel 32
InvestitionskalkülDer heutige Nutzenverlust muss genau durch den morgigen NutzengewinnDer heutige Nutzenverlust muss genau durch den morgigen Nutzengewinn ausgeglichen werden:
U’(C(t)) = 1 U’(C(t+1)) (1 + FK (t +1))( ( ))δ+1
( ( )) ( K ( ))
Der Grenznutzen U’(C(t)) lässt sich durch eine Taylor-Reiehnentwicklung Approximieren: pp
δ+Δ
+′′−+′≈′1
C))1t(C(U))1t(C(U))t(C(U
Einsetzen ergibt g (1 + δ) U’(C(t+1)) - ΔC U’’(C(t+1)) = U’(C(t+1)) (1 + FK (t +1)) bzw.
′′Δ )C(UC(10.15) δ−=′′′⋅Δ
− KF)C(U
)C(UC
Ramsey-Regel 33
Investitionskalkül
Einsetzen der Grenznutzenelastizität: C)C(U: ⋅′′
=η− )C(U
:′
η
ergibt wieder die Ramsey-Regel bei konstanter Bevölkerung δ−KFˆ
ηδ
= KFC
Exkurs: Grenznutzenelastizität 34
und isoelastische Nutzenfunktion1 Die Grenznutzenelastizität ist die Inverse der intertemporalen
1ätl ti itG t
1. Die Grenznutzenelastizität ist die Inverse der intertemporalenSubsitutionselastizität:
itätonselastizSubstitutiraleIntertempoätnelastizitGrenznutze =
D.h.: Je größer die Grenznutzenelastizität ist, desto schwieriger ist esg , gden Konsum zwischen zwei Perioden hin- und herzuschieben.Umgekehrt: Je kleiner die Grenznutzenelastizität ist desto leichterlässt sich der Konsum zwischen den Perioden verschiebenlässt sich der Konsum zwischen den Perioden verschieben
Exkurs: Grenznutzenelastizität 35
und isoelastische Nutzenfunktion
Häufig wird mit isoelastischen Nutzenfunktionen gearbeitet, bei denen die Grenznutzenelastizität konstant ist:
C)C(''UC))C('U(d ⋅ .const)C('UC)C(U
)C('UC
dC))C(U(d: =
⋅=⋅=η−
Di d lti d N t f kti h b di FDie daraus resultierenden Nutzenfunktionen haben die Form:
U(C) = ⎪⎪⎨
⎧ ≠η⋅η−
η− 1 C1
A 1
U(C) =
⎪⎪⎩
⎨
=η⋅
η
1 ClnA
Exkurs: Grenznutzenelastizität 36
und isoelastische Nutzenfunktion
Verläufe isoelastischer Nutzenfunktionen für verschiedene η
η <1U(C)
η = 1
1
Cη >1
1
Ramsey-Regel 37
Bewegung von Kapital und Konsum
P blProblem:Die Ramsey-Regel bestimmt zwar die Determinanten der Konsum-wachstumsrate (und damit indirekt auch den Konsumpfad an. Jedoch hängt dieser immer noch via FK von der Entwicklung des Kapital-bestandes ab.
Frage:Wie kann man die Bewegung des Konsums und des Kapitals außerhalb des Gleichgewichts und die gleichgewichtige Wachstumsrate bestimmendes Gleichgewichts und die gleichgewichtige Wachstumsrate bestimmen.
Ramsey-Regel 38
Bewegung von Kapital und Konsum
Es seien nun folgende funktionelle Vereinfachungen angenommeng g g(1) Isoelastische Nutzenfunktion
( ) =η−CCU
1
(2) Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
( )η−1
CU
D b i h di b id B l i h
( ) aa1 LKL,KF −=
Daraus ergeben sich die beiden Bewegungsgleichungen
( ) CLKa1Caa
⋅η
δ−−=
−& aus der Ramsey-Regel
ηCLKK aa1 −= −& aus der Kapitalbewegungsgleichung
Ramsey-Regel 39
Bewegung von Kapital und Konsum
Das Bewegungsverhalten lässt sich mit Hilfe der PhasendiagrammtechnikDas Bewegungsverhalten lässt sich mit Hilfe der Phasendiagrammtechnik ermitteln.
Bildung der Isoklinen-Gleichungen:
L*K0Ca1
−
⎟⎞
⎜⎛ δ& L
a1*K:0C ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−
==
aa1 LKC0K −& aa1 LKC:0K ==
Ramsey-Regel 41
Ergebnisse:
Bewegung von Kapital und Konsum
Ergebnisse:1. Bei gegebenem Anfangskapitalbestand führt nur ein bestimmter Anfangskonsum zu einem Pfad der in das Gleichgewicht führt. Für andereHöhen des Anfangskonsums kommt es entweder zu einer ÜberHöhen des Anfangskonsums kommt es entweder zu einer Über-Akkumulation des Kapitals (C0 zu klein) oder zu einem Überkonsum (C0 zu hoch). Wohlbemerkt: bei nutzenmaximierendem Verhalten.2 I Gl i h i ht h K d K it l k t t W t2. Im Gleichgewicht nehmen Konsum und Kapital konstante Werte an:
L*Ka1
−
⎟⎞
⎜⎛ δ
= L*Ca
1a−
⎟⎞
⎜⎛ δ
=
3. Der Kapitalbestand passt sich so an, dass der Zinssatz (Grenz-
La1
K ⎟⎠
⎜⎝ −
= La1
C ⎟⎠
⎜⎝ −
=
p p , (Produktivität des Kapitals) langfristig im Gleichgewicht gleich der Zeitpräferenzrate δ ist.
Ramsey-Regel 42
Bewegung von Kapital und Konsum
4. Außerhalb des Gleichgewichts wird die Wachstumsrate beeinflusst durch die Zeitpräferenzrate, die Grenznutzenelastizität und indirekt durchdie Produktionselastizität.die Produktionselastizität.
Ramsey-Regel bei43
wachsender BevölkerungEs sei nun angenommen dass die Bevölkerung mit der Rate n wachse
nt0eL)t(L.bzwnLL ==&
Es sei nun angenommen, dass die Bevölkerung mit der Rate n wachse,also:
CKY
Entsprechend werden alle Größen wieder pro Kopf angegeben:
LCc;
LKk;
LYy ===
nkc)k(fk −−=&
Für die Bewegungsgleichung der Kapitalintensität gilt dann:
Ramsey-Regel bei 44
wachsender BevölkerungD it ibt i h d f l d O ti i bl
∫∞
δ− ⋅=0
t
)t(cdt))t(c(UeWmax
Damit ergibt sich nun das folgende Optimierungsproblem:
0
Nebenbedingung: )t(kn)t(c))t(k(f)t(k ⋅−−=& mit δ > 0, 0)c(U >′ , 0)c(U <′′ ,
0)c(Ulim,)c(UlimC0C
=′∞=′∞→→
Ramsey-Regel bei 45
wachsender BevölkerungDie Hamilton-Funktion lautet dann:Die Hamilton Funktion lautet dann: H = U (c(t)) te δ− + λ (t) ⋅ [f(k(t))– c(t) – nk(t)] Notwendige Bedingung für ein Maximum bzgl. C:
(1) )t(e))t(c(U:0)t(c
H t λ=⋅′=∂∂ δ−
)t(c∂Die kanonische Gleichung lautet:
(2) ( ) λ−=−′⋅λλ−=∂∂ && n)k(f)t(:kH
Ramsey-Regel bei 46
wachsender BevölkerungDamit erhält man wie zuvor: (3) λ=δ−′ ˆ)c(U Aus Gleichung (2) erhält man: (4) λ′ ˆn)k(f(4) λ−=−′ n)k(fAus (3) und (4) ergibt sich durch Gleichsetzen (5) δ−−′=′− n)k(f)c(U(5) δ)()(UMit dem Einsetzen der Grenznutzenelastizität ergibt sich dann für dieRamsey-Regel bei wachsender Bevölkerung:
(6) η
δ−−′=
n)k(fc
Ramsey-Regel 47
Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und Kapitalintensität
Die Bewegung wird nun wieder durch zwei Differentialgleichungen Gesteuert. Wieder wird eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion und Ei k t t G t l ti ität t t lltEine konstante Grenznutzenelastizität unterstellt.
Bewegung des Pro-Kopf-Konsums:
( ) cnka1ca
⋅η
δ−−−=
−&
Bewegung der Kapitalintensität:
nkckk a1 −−= −&
Ramsey-Regel 48
Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und Kapitalintensität
Damit erhält man die folgenden Isoklinen für die Phasendiagrammanalyse:
a1
na1*k:0c ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
δ+−
==&
nkkc:0k a1 −== −&
Ramsey-Regel 49
Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und Kapitalintensität
c &c = 0
c
P
*c(b)
maxc&k < 0
&k = 0 (a)
0IIIc
0IIc
&k > 0
k0 kk∗
0c0Ic
k max k
Ramsey-Regel 50
Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und Kapitalintensität - Ergebnisse
1. Steady-State-Wachstumsrate ist n.
2. Die Charakterisierung des Steady-State-Niveaus ist die Bedingung:
ensitätintKapitalStateSteady*kmitn*)k(f −−=δ+=′
g y g g
→„Goldener Nutzenpfad“→„Goldener Nutzenpfad
3. Für eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist die Steady-State-Kapitalintensität:
a1
na1*k ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
δ+−
=
Kapitalintensität:
n)k(f max =′4. Für die maximal mögliche Kapitalintensität erhält man die Bedingung:
Ramsey-Regel 51
Bewegung von Pro-Kopf-Kosum und Kapitalintensität
Parametervariationen:
Erhöhung von δ:gGleichgewichtige Kapitalintensität und der gleichgewichtige Pro-Kopf-Konsum sinken.
Erhöhung von n:Isokline für c verschiebt sich nach links, Isokline für k wird „nach untengebogen“:gebogen :→ Niveau des Pro-Kopf-Konsums im Steady-State verringert sich, Steady-
State-Kapitalintensität verringert sich.
Ramsey-Regel mit technischem 52
Fortschritt
)LeK(F)ALK(FY mt
Es sei nun arbeitsvermehrender technischer Fortschritt unterstellt, der mit der Rate m wächst. Für die Produktionsfunktion heißt das:
)Le,K(F)AL,K(FY mt==
CKY
Entsprechend werden die Pro-Kopf-Größen in Effizienzeinheiten notiert:
ALCc;
ALKk;
ALYy ===
Intensitäten in natürlichen“ Einheiten werden so notiert:
LCc;
LKk;
LYy natnatnat ===
Intensitäten in „natürlichen Einheiten werden so notiert:
Ramsey-Regel mit technischem 53
FortschrittD O ti i bl i t d it
∫∞
δ−= t dt))t(c(UeWmax
Das Optimierungsproblem ist damit:
∫ ⋅=0
nat)t(cdt))t(c(UeWmax
Nebenbedingung: )t(k)mn()t(c))t(k(f)t(k ⋅+−−=& Beachte:
Bewegungsgleichung in EffizienzeinheitenAber: Maximierung in natürlichen Einheiten
Ramsey-Regel mit technischem 54
FortschrittDie Hamilton-Funktion lautet dann:Die Hamilton Funktion lautet dann: H = U (cnat(t)) te δ− + λ (t) ⋅ [f(k(t))– c(t) – (n+m)·k(t)] Notwendige Bedingung für ein Maximum bzgl. c:
(1) )t(eA))t(c(U:0)t(c
H tnat λ=⋅⋅′=
∂∂ δ−
)t(c∂Die kanonische Gleichung lautet:
(2) ( ) λ−=+−′⋅λλ−=∂∂ && )mn()k(f)t(:kH
Ramsey-Regel mit technischem 55
Fortschritt(1) formt man um in Wachstumsraten und erhält:(1) formt man um in Wachstumsraten und erhält: λ=δ−+′ ˆA)c(U nat (3) δ−+⋅η−=λ⇒ mcˆ
t(3) δ+ηλ⇒ mcnat
Aus (2) erhält man. (4) )k(f)mn(ˆ ′−+=λ Gleichsetzen der Wachstumsraten für λ ergibt dann folgende modifizierte Ramsey-Regel:
−δ−′ n)k(f(5)ηδ
=n)k(fcnat Ramsey-Regel mit technischem Fortschritt
In Effizienzeinheiten lautet die Regel:
(6) η
η−−δ−′=
mn)k(fc
Ramsey-Regel mit technischem 56
FortschrittFrage mit welchen Raten wachsen Kapital Sozialprodukt und KonsumFrage mit welchen Raten wachsen Kapital, Sozialprodukt und Konsum im Steady-State:
Im Steady State müssen die Wachstumsraten konstant sein UnterstelltIm Steady-State müssen die Wachstumsraten konstant sein. Unterstelltman eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion gilt:
K)1(a
δ⎟⎞
⎜⎛
−
.constn
Le)a1(
cmt
nat =η
−δ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
mLKknat =−=
Das kann nur gelten, wenn gilt:
nat
Ramsey-Regel mit technischem 57
Fortschritt
Aus der Produktionsfunktion erhält man dann die Wachstumsrate des Sozialproduktes
ˆˆˆ
mn)mn(a)mn()a1()mL(aK)a1(Y
+=+⋅++⋅−=+⋅+⋅−=
Aus der Verwendungsgleichung des Sozialproduktes folgt:Aus der Verwendungsgleichung des Sozialproduktes folgt:
KK
KC
KYKCY
&& +=⇒+=
D it hältDamit erhält man mnKC +== Also muss die Wachstumsrate des Konsums pro natürlichen Kopf m sein p p mcnat =
Ramsey-Regel mit technischem 58
Fortschritt
cnatc
W-rate ( )′ = + +f k n mδ η
mn)k(f ++δ=′m
( )
W-rate m knat k
Steady-State-Bedingung ist:
Ramsey-Regel mit technischem 59
Fortschritt - Ergebnis
Bei exogen gegebenem technischen Fortschritt ist im Steady-State die Veränderung der Kapitalausstattung und des Konsums pro effizienter Arbeitseinheit gleich Null Im Steady State gilt dann mn)k(f ++δ′Arbeitseinheit gleich Null. Im Steady-State gilt dann mn)k(f η++δ=′ . Der Konsum pro natürlichem Kopf kann hingegen mit der Rate m des technischen Fortschritts gesteigert werden. Sowohl der Anpassungspfad von C0 bis zum letztendlich erreichten C* im Steady-State als auch die Niveauwerte Y*, K* und C* hängen y , gendogen von den Parametern der Produktions- und Nutzenfunktion ab. Die Steady-State-Wachstumsrate in K* ist hingegen immer von den exogen gegebenen Parametern m + n abhängig.e oge gegebe e a a ete ab ä g g
Modell optimalen Wachstums 60
Die Marktlösung
(1)dte))t(c(UWmax
0
t
)t(c ∫∞
δ−⋅= Intertemporale Nutzenmaximierung der Haushalte
0
(2) )t(na)t(c)t(raw)t(a −−+=&
Bewegungsgleichung des Vermögens der Haushalte
(3) Y=F(K L) Produktionsfunktion der Unternehmen(3) Y=F(K,L) Produktionsfunktion der Unternehmen (erfüllt die Inada-Bedingungen)
(4) nLL =& Bewegungsgleichung der BevölkerungszahlBevölkerungszahl
Modell optimalen Wachstums 61
Die Marktlösung
Haushalte:1.) Maximieren ihren Nutzen aus dem Konsum2.) Bewegungsgleichung des Vermögens (a = Pro-Kopf-Vermögen)) g g g g g ( p g )
)t(na)t(c)t(raw)t(a −−+=&
Pro-Kopf-Lohneinkommen
Pro-Kopf-Kapitaleinkommen
Pro-Kopf-Konsum
„Asset-widening“
Aus dem Hamiltonansatz ergibt sich dann die Ramsey-Regel
δη
δ−−=
nrc
Modell optimalen Wachstums 62
Die Marktlösung
Unternehmen: Die Unternehmen maximieren ihren Gewinn (statisch).
)wLrK()LK(FGmax +
))wrk()k(f(L
)wLrK()L,K(FGmaxk
+−⋅=
+−=
Ableiten von G nach k und Nullsetzen ergibt als Bedingung für eineAbleiten von G nach k und Nullsetzen ergibt als Bedingung für einegewinnmaximierende Kapitalintensität k: r)k(f =′
Modell optimalen Wachstums 63
Die Marktlösung
Da in einer geschlossenen Volkswirtschaft der Kapitalstock immer irgend-jemandem gehören muss, muss gelten:
ka=k
Dann folgt jedoch für die Bewegungsgleichung und die Ramsey-Regel:
nkcrkwk −−+=&
δ−−′ n)k(fcη
=c
Da w + rk = f(k) ist, entspricht dieses dem Ergebnis für den gesamtwirtschaftlichen Optimierer.