ebene flächen- tragwerke ii · 1 einleitung eine platte ist ein dünnes ebenes flächentragwerk,...

Friedrich U. Mathiak

Ebene Flächen-tragwerke II

Grundlagen der Plattentheorie

Ebene Flächentragwerke II Grundlagen der Plattentheorie

Copyright Neubrandenburg 2008 / Friedrich U. Mathiak Der Nachdruck oder das Kopieren dieses Skriptes ist auch auszugsweise nur mit Genehmi-gung des Autors erlaubt. 1. Auflage Neubrandenburg 2008 Hochschule Neubrandenburg Prof. Dr.-Ing. Friedrich U. Mathiak Fachbereich: Bauingenieur- und Vermessungswesen Postanschrift: Brodaer Straße 2 D-17033 Neubrandenburg Tel.: (0395) 5693-(0)-301

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ..................................................................................................................................................I

1 Einleitung....................................................................................................................................................... 1

2 Einführung in den Tensorkalkül ................................................................................................................. 5

2.1 Skalar ...................................................................................................................................................... 5 2.2 Vektor ..................................................................................................................................................... 5 2.3 Der Tensor zweiter Stufe ........................................................................................................................ 5

2.3.1 Der transponierte Tensor................................................................................................................. 6 2.3.2 Der symmetrische Tensor................................................................................................................ 6 2.3.3 Der antimetrische Tensor ................................................................................................................ 7 2.3.4 Der Einheitstensor ........................................................................................................................... 7 2.3.5 Der Kugeltensor .............................................................................................................................. 7

2.4 Summationsvereinbarung........................................................................................................................ 8 2.5 Das Kronecker δ-Symbol ........................................................................................................................ 8 2.6 Das ε - Symbol ........................................................................................................................................ 9 2.7 Vektor- und Tensoralgebra.................................................................................................................... 10

2.7.1 Das Skalarprodukt zweier Vektoren.............................................................................................. 10 2.7.2 Das Vektorprodukt zweier Vektoren............................................................................................. 10 2.7.3 Das Spatprodukt dreier Vektoren .................................................................................................. 11 2.7.4 Das doppelte Vektorprodukt ......................................................................................................... 11 2.7.5 Skalarprodukt Vektor-Tensor........................................................................................................ 12 2.7.6 Skalarprodukt Tensor-Tensor........................................................................................................ 13 2.7.7 Doppelskalarprodukt Tensor-Tensor............................................................................................. 13

2.8 Vektor- und Tensoranalysis .................................................................................................................. 14 2.8.1 Der Nabla-Operator....................................................................................................................... 14 2.8.2 Der Gradient eines Skalarfeldes .................................................................................................... 14 2.8.3 Die Divergenz eines Vektorfeldes................................................................................................. 14 2.8.4 Der Rotor eines Vektorfeldes ........................................................................................................ 15 2.8.5 Der Gradient eines Vektorfeldes ................................................................................................... 15 2.8.6 Die Divergenz eines Tensorfeldes................................................................................................. 15 2.8.7 Der Delta-Operator........................................................................................................................ 16 2.8.8 Der Rotor eines Tensorfeldes ........................................................................................................ 16 2.8.9 Allgemeine Beziehungen für die Operatoren ................................................................................ 17

3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie ................................................................................... 19

3.1 Voraussetzungen ................................................................................................................................... 19 3.2 Plattenschnittlasten................................................................................................................................ 19 3.3 Transformationsgleichungen für die Schnittmomente .......................................................................... 21

II Inhaltsverzeichnis

3.3.1 Hauptbiegemomente...................................................................................................................... 21 3.3.2 Hauptdrillmomente ....................................................................................................................... 23

3.4 Gleichgewicht am Plattenelement ......................................................................................................... 25 3.5 Das Verschiebungsfeld w(x,y) .............................................................................................................. 26 3.6 Die Plattendifferenzialgleichung........................................................................................................... 28 3.7 Die Plattengleichung in Zylinderkoordinaten ....................................................................................... 28 3.8 Randbedingungen.................................................................................................................................. 32

3.8.1 Kartesische Koordinaten ............................................................................................................... 33 3.8.2 Zylinderkoordinaten...................................................................................................................... 34 3.8.3 Der eingespannte Rand.................................................................................................................. 34

3.8.3.1 Der eingespannte Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten........................................ 34 3.8.3.2 Der eingespannte Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten........................................ 35 3.8.3.3 Der eingespannte Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten................................................. 35 3.8.3.4 Der eingespannte Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten............................................... 36

3.8.4 Der gelenkig gelagerte Rand ......................................................................................................... 37 3.8.4.1 Der gelenkig gelagerte Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten ............................... 37 3.8.4.2 Der gelenkig gelagerte Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten ............................... 38 3.8.4.3 Der gelenkig gelagerte Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten ........................................ 38 3.8.4.4 Der gelenkig gelagerte Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten ...................................... 39

3.8.5 Der freie Rand ............................................................................................................................... 40 3.8.5.1 Der freie Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten ..................................................... 40 3.8.5.2 Der freie Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten ..................................................... 41 3.8.5.3 Der freie Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten .............................................................. 41 3.8.5.4 Der freie Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten ............................................................ 42

3.9 Das Verhalten der Platten an Ecken ...................................................................................................... 42

4 Die elastisch gebettete Platte ...................................................................................................................... 47

4.1 Lösung der homogenen Plattengleichung der elastisch gebetteten Platte in kartesischen Koordinaten 49 4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten ........................................................................... 52

4.2.1 Die Kelvin-Funktionen.................................................................................................................. 59 4.2.2 Rotationssymmetrie....................................................................................................................... 60

5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung ................................................................................ 65

5.1 Allgemeines .......................................................................................................................................... 65 5.2 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten.......................... 66

5.2.1 Potenzen in x und y ....................................................................................................................... 66 5.2.2 Potenzialfunktionen....................................................................................................................... 67 5.2.3 Potenzialfunktionen in Produktform ............................................................................................. 68 5.2.4 Logarithmische Funktionen........................................................................................................... 69 5.2.5 Bipotenzialfunktionen ................................................................................................................... 69 5.2.6 Direkte Produktlösungen von ΔΔw(x,y) = 0 ................................................................................. 70

5.3 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in Zylinderkoordinaten.................................. 71 5.3.1 Rotationssymmetrie....................................................................................................................... 71 5.3.2 Der Fall w = w(ϕ) ......................................................................................................................... 72 5.3.3 Potenzialfunktionen....................................................................................................................... 72 5.3.4 Rotationssymmetrische Lösung von ΔΔw..................................................................................... 73 5.3.5 Direkte Produktlösung................................................................................................................... 74 5.3.6 Lösungen der Form w(r,ϕ) = f(r) cosϕ .......................................................................................... 75 5.3.7 Lösungen der Form w(r,ϕ) = f(r) cos2ϕ ........................................................................................ 76

5.4 Untersuchung einfacher Biegeflächen................................................................................................... 76 5.4.1 Lineare Verschiebungen................................................................................................................ 76 5.4.2 Zylindrische Biegeflächen............................................................................................................. 77 5.4.3 Parabolische Biegeflächen ............................................................................................................ 78 5.4.4 Hyperbolische Biegeflächen ......................................................................................................... 79

Inhaltsverzeichnis III

5.4.5 Reine Torsion ................................................................................................................................ 80 5.5 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten ............................... 81

5.5.1 Partikuläre Lösungen für Flächenlasten ........................................................................................ 81 5.5.1.1 Flächenlast p = p0 ...................................................................................................................... 82 5.5.1.2 Flächenlast p(ξ) = p0 ξ ............................................................................................................... 82 5.5.1.3 Flächenlast p(x,y) = p0 η ........................................................................................................... 82 5.5.1.4 Flächenlast p(x,y) = p0(ξ + η) ................................................................................................... 82 5.5.1.5 Flächenlast p(x,y) = p0 ξ η ........................................................................................................ 83 5.5.1.6 Flächenlast p(x,y) = p0 sin(nπξ) ................................................................................................ 83 5.5.1.7 Flächenlast p(x,y) = p0 sin(nπξ) sin(kπη).................................................................................. 83

5.6 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in Polarkoordinaten ............................................ 83 5.6.1 Flächenlast p(r,ϕ) = p0................................................................................................................... 83 5.6.2 Flächenlast p(r,ϕ) = p0 ρ ............................................................................................................... 83 5.6.3 Flächenlast p(r,ϕ) = p0 ρ2 .............................................................................................................. 83

5.7 Die Fundamentallösung der klassischen Plattentheorie ........................................................................ 83 5.7.1 Die singuläre Lösung Einzelkraft.................................................................................................. 84 5.7.2 Die singuläre Lösung Einzelmoment M, Drehung um die y-Achse.............................................. 86 5.7.3 Die singuläre Lösung EinzelmomentM, Drehung um die x-Achse ............................................... 88

5.8 Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringplatten............................................................................. 89 5.9 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast ...................................................................................... 92 5.10 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter Gleichlast ............................................................................... 95 5.11 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung.................................................... 98 5.12 Die eingespannte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft ..................................................................... 102 5.13 Die eingespannte Kreisplatte mit Mittelstütze unter Gleichlast .......................................................... 103 5.14 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft .............................................................. 107 5.15 Die innen eingespannte Kreisringplatte unter Gleichlast .................................................................... 110 5.16 Die Kreisringplatte mit gelenkig gelagertem Außenrand unter Gleichlast.......................................... 114 5.17 Die Kreisringplatte mit eingespanntem Außenrand unter Gleichlast .................................................. 119 5.18 Die Kreisringplatte mit gelenkiger Lagerung unter Linienlast............................................................ 122 5.19 Die Kreisringplatte unter konstanter Linienlast längs eines Kreises ................................................... 128

6 Rechteckplatten......................................................................................................................................... 133

6.1 Der unendlich lange Plattenstreifen .................................................................................................... 133 6.2 Der Plattenhalbstreifen ........................................................................................................................ 140

6.2.1 Der Plattenhalbstreifen mit gelenkiger Lagerung des kurzen Randes......................................... 147 6.2.2 Der Plattenhalbstreifen mit Einspannung des kurzen Randes ..................................................... 156 6.2.3 Der Plattenhalbstreifen mit freiem kurzen Rand ......................................................................... 158

6.3 Die allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter Gleichlast.......................................................... 162 6.4 Die auf vier Eckstützen gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast ................................. 169

7 Die schubelastische Platte......................................................................................................................... 177

7.1 Allgemeines ........................................................................................................................................ 177 7.2 Die Grundgleichungen einer schubelastischen Platte.......................................................................... 177 7.3 Plattenkinematik.................................................................................................................................. 178 7.4 Die statischen Grundgleichungen........................................................................................................ 180 7.5 Das Stoffgesetz ................................................................................................................................... 183 7.6 Die Differenzialgleichungen ............................................................................................................... 184

IV Inhaltsverzeichnis

7.7 Die Grundgleichungen der flächenlastfreien Platte in kartesischen Koordinaten ............................... 189 7.8 Die Grundgleichungen der flächenlastfreien Platte in Polarkoordinaten ............................................ 190 7.9 Ein Vergleich mit der klassischen Lösung .......................................................................................... 191 7.10 Die isotherme Formänderungsenergie................................................................................................. 193 7.11 Der Satz von Betti ............................................................................................................................... 193 7.12 Die Randwerte einer schubelastischen Platte ...................................................................................... 194 7.13 Die eingespannte schubelastische Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung ........................ 195

8 Näherungsverfahren ................................................................................................................................. 203

8.1 Das Streifenkreuzverfahren nach Markus ........................................................................................... 203 8.2 Die drillweiche Platte .......................................................................................................................... 205

9 Fourierreihen............................................................................................................................................. 213

9.1 Einfache Fourierreihen........................................................................................................................ 213 9.2 Fourierdoppelreihen ............................................................................................................................ 218

Index................................................................................................................................................................... 221

Literatur............................................................................................................................................................. 225

1 Einleitung Eine Platte ist ein dünnes ebenes Flächentragwerk, das nur Lasten senkrecht zur Plattenmittel-fläche aufnimmt. Ihre Plattendicke h soll dabei als konstant vorausgesetzt werden. Die im Folgenden vorgestellte Theorie der dünnen Platte gehen in ihren theoretischen und experi-mentellen Grundlagen auf Arbeiten von

- Jakob II Bernoulli1, 1759-1789 - Ernst Florens Friedrich Chladni, Physiker, 1756-1827 - Leonhard Euler, schweiz. Mathematiker, 1707-1783 - Sophie Germain, 1776-1831 - Joseph Louis Comte de Lagrange, frz. Mathematiker, 1736-1813 - Claude Louis Marie Henri Navier, frz. Physiker, 1785-1836 - Simeón Dénis Poisson, frz. Physiker und Mathematiker, 1781-1840 - Gustav Robert Kirchhoff, 1824-1887

Ein Jahr vor seinem Tode legte Jakob II Bernoulli der Petersburger Akademie seine Platten-theorie2 vor. Die Anregung zur Aufstellung einer Plattentheorie erhielt der junge hoffnungs-volle Wissenschaftler aus der Arbeit von Chladni, der seine Entdeckungen über die Theorie des Klanges der Petersburger Akademie vortrug. Basis für Bernoullis Untersuchungen war die Arbeit von Leonhard Euler über die Transversalschwingungen von Stäben, deren Theorie Bernoulli auf die Platte übertrug, indem er eine rechteckige Platte als eine Doppelschicht von senkrecht zueinander angeordneten und miteinander fest verbundenen Stäben ansieht. Ber-noulli kommt zu der Differenzialgleichung

44

4

4

4

cz

yz

xz

=∂∂

+∂∂

Mit z wird die Auslenkung und mit x und y die Achsenkoordinaten der Ersatzstäbe angege-ben. c4 ist eine Konstante. Bernoulli räumt selbst Schwächen seiner Theorie ein. In seiner Ar-beit Neue Beiträge zur Akustik macht Chladni auf die Diskrepanz zwischen Theorie und Ex-

1 Enkel des großen Johann I Bernoulli, ertrank beim Baden in der Newa 2 Essai théoretique sur les vibrations des plaques élastiques, rectangulaires et libres

2 1 Einleitung

periment aufmerksam. Nachdem Chladni am Ende des Jahres 1808 der Französischen Aka-demie in Anwesenheit des regierenden Kaisers Napoleon seine Arbeiten zum Klang vortrug, setzte diese auf Empfehlung Napoleons einen außerordentlichen Preis für die mathematische Theorie der Flächenschwingungen aus. Die Aufgabe wurde in den Pariser Akademieberichten für das Jahr 1808 abgedruckt. Die Aufgabe lautete1:

Die mathematische Theorie von Schwingungen elastischer Flächen ist aufzustellen und mit dem Experiment zu vergleichen.

Da zunächst keine annehmbaren Arbeiten eingereicht wurden, musste die Bewerbungsfrist zweimal verschoben werden (1. Abgabetermin 1.10.1811, 2. Abgabetermin 1.10.1813, 3. Ab-gabetermin 1.10.1815). Von Sophie Germain wurden insgesamt drei Arbeiten eingereicht. Die 1. Denkschrift war fehlerhaft. Sie wurde von Lagrange, der Mitglied der Prüfungskommission war, berichtigt. In dieser Arbeit kommt sie zu der Differenzialgleichung

0yxz

yxz

tz

42

6

24

62

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂∂

λ+∂∂

Lagrange erhält nach Korrektur der Arbeit die Differenzialgleichung

0y

zyxz2

xzk

tz

4

4

22

4

4

42

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

die von der ersten stark abweicht. Das ist aber die noch heute bestehende Form der Platten-gleichung, wobei die Bedeutung von k zur damaligen Zeit noch nicht gegeben werden konnte. Zum 1. Oktober 1813 reichte Sophie Germain ihre neue Denkschrift ein, die von der Kom-mission "ehrenvoll erwähnt" wurde. Den ausgesetzten Preis erhielt sie dafür aber nicht. Das gelang ihr erst im Jahre 1816, obwohl auch diese Arbeit in den Augen der Gutachter noch immer nicht befriedigte. Es folgten dann Navier und Poisson, die weitere Grundlagen der heu-tigen Plattentheorie legten. Mit den Arbeiten von Kirchhoff kam die Entwicklung der klassischen Plattentheorie zu einem vorläufigen Ende, weshalb auch von der Kirchhoffschen Plattentheorie gesprochen wird. Erweiterte Theorien, die eng mit den Namen E. Reissner und R.D. Mindlin verbunden sind, versuchen die Diskrepanz der klassischen Plattentheorie zwischen zwei möglichen Randbe-dingungen für die Biegefläche und den dort vorhandenen drei Schnittlasten zu beseitigen. Das führt bei Reissner auf eine partielle Differenzialgleichung 6. Ordnung für die Biegefläche w und bei Mindlin auf ein Differenzialgleichungssystem zweier Differenzialgleichungen, die in

1 Donnez la théorie des surfaces élatiques et la comparez à l'expérience

1 Einleitung 3

der Summe ein Integrationsproblem 6. Ordnung darstellen und somit, wie bei Reißner, die Erfüllung dreier Randbedingungen am Rand ermöglichen

2 Einführung in den Tensorkalkül 2.1 Skalar

Ein Skalar1 ist eine von der Wahl eines Koordinatensystems unabhängige und damit gegen-über einer Koordinatentransformation invariante Größe, die durch Angabe einer Zahl charak-terisiert ist. Skalare werden auch als Tensoren nullter Stufe bezeichnet. Beispiel: Die Temperatur T

2.2 Vektor Ein Vektor2 ist eine Größe, die außer einem bestimmten Betrag eine bestimmte Richtung hat. Ein Vektor kann im Raum auch als geordnetes Zahlentripel definiert werden, das gewissen Transformationsgesetzen genügt. Vektoren werden auch als Tensoren erster Stufe bezeichnet.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=++=

z

y

x

zzyyxx

vvv

vvv eeev ; ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=++=

3

2

1

332211

vvv

vvv eeev

2.3 Der Tensor zweiter Stufe Ein Tensor3 zweiter Stufe ist eine extensive Größe höherer Ordnung, die durch 9 Zahlenanga-ben festgelegt ist.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⊗++⊗+⊗=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzzzyxxyxxxx

TTTTTTTTT

TTT eeeeeeT K

1 zu lat. scalaris ›zur Leiter, Treppe gehörig‹ 2 von lat. vector ›Träger‹, ›Fahrer‹, zu vehere ›fahren‹ 3 zu lat. tendere, tensum ›spannen‹

6 2 Einführung in den Tensorkalkül

oder

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⊗++⊗+⊗=

333231

232221

131211

333321121111

TTTTTTTTT

TTT eeeeeeT K

Tjk: Koordinate des Tensors T

kj ee ⊗ : Basisdyaden

kjjkT ee ⊗ : Komponente des Tensors T

ϕ: 1 = 30 Tensor 0.ter Stufe (Skalar im Ñ3) v: 3 = 31 Tensor 1.ter Stufe (Vektor im Ñ3) T: 9 = 32 Tensor 2.ter Stufe 27 = 33 Tensor 3.ter Stufe 81 = 34 Tensor 4.ter Stufe 3n Tensor n.ter Stufe Hinweis: Die dyadischen Produkte der Basisvektoren xx ee ⊗ oder 11 ee ⊗ usw. sind nicht

weiter zerlegbar. Für lineare Dyaden gelten die folgenden Rechenregeln

abbacbacbacbacba

⊗≠⊗⋅=⋅⊗⋅=⊗⋅

)()()()(

2.3.1 Der transponierte Tensor Aus T entsteht TT durch spiegeln der Elemente an der Hauptdiagonalen.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

152024131

101523241

TTT

2.3.2 Der symmetrische Tensor

TTT = und damit kjjk TT = .

2.3 Der Tensor zweiter Stufe 7

Beispiel: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

614132421

T

Der symmetrische Tensor ist durch sechs Zahlenangaben festgelegt.

2.3.3 Der antimetrische Tensor

TTT −= und damit kjjk TT −=

Beispiel: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

014102420

014102420

TTT

Der antimetrische Tensor ist durch drei Zahlenangaben festgelegt.

2.3.4 Der Einheitstensor

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

I

2.3.5 Der Kugeltensor

IT S100010001

SS000S000S

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Der Kugeltensor ist durch eine Zahlenangabe festgelegt.


2.4 Summationsvereinbarung

In der Tensorrechnung wird zwischen freien und gebundenen Indizes unterschieden.

Freie Indizes: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ=ϕ=ϕ=

→ϕ=

33

22

11

jj

cosaxcosaxcosax

cosax

oder

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ=ϕ=ϕ=

→ϕ=

33

22

11

rr

cosaxcosaxcosax

cosax

Gebundene Indizes: (sie kommen doppelt vor):

332211jj αααα ++=

332211kk ββββ ++=

332211kk yxyxyxyx ++=

333323321331

322322221221

311321121111kk

ββα+ββα+ββα+ββα+ββα+ββα+ββα+ββα+ββα=ββα ll

2.5 Das Kronecker δ-Symbol

⎩⎨⎧

≠=

=δkfür0kfür1

kl

ll

100010001

333231

232221

131211

=δ=δ=δ=δ=δ=δ=δ=δ=δ

mit δkl : Kronecker-Symbol1

Einheitstensor: kjjk

100010001

eeI ⊗δ=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Es gilt: kk ll δ=δ

1 Leopold Kronecker, Mathematiker, 1823-1891

2.6 Das ε - Symbol 9

sowie jkk33jk22jk11jkj δ=δδ+δδ+δδ=δδ ll

Beispiel: ll xx kk =δ , denn llll 332211kk xxxx δ⋅+δ⋅+δ⋅=δ

2.6 Das ε - Symbol Das ε-Symbol wird im Zusammenhang mit der Bildung des Vektorproduktes bei Vektoren und Tensoren benutzt. Es gilt:

⎪⎩

⎪⎨

⎧=−=

=εsonst0

.zyklund123mkfür1

.zyklund321mkfür1

mk l

l

l

010100

000

133123113

132122112

131121111

=ε+=ε=ε−=ε=ε=ε

=ε=ε=ε

001000100

233223213

232222212

231221211

=ε=ε−=ε=ε=ε=ε+=ε=ε=ε

000001010

333323313

332322312

331321311

=ε=ε=ε=ε=ε+=ε=ε−=ε=ε

lll mkmkmk ε=ε=ε (zyklisch vertauscht)

Entwicklungssatz der Tensor- und Vektorrechnung

knkmk

jnjmj

inimi

mnijk

δδδδδδδδδ

=εε

l

l

l

l

n = k: 3kmk

jkjmj

ikimi

mkijk

δδδδδδδδ

=εε

l

l

l

l

Entwicklung nach der letzten Zeile:


ll

llllll

llllll

lllll

jimijm

imjjmiimjjmiijmjim

imjjmiikjkmjkikmikjmkjkimk

imjjmiikjjkikmikjmjkimk

3333

)(3)()(

δδ−δδ=

δδ−δδ+δδ+δδ−δδ−δδ=

δδ−δδ+δδδ+δδδ−δδδ−δδδ=

δδ−δδ+δδ−δδδ−δδ−δδδ=

und damit: jmj

imiimjjmimkijk δδ

δδ=δδ−δδ=ε⋅ε

l

l

lll

m = j: llllll iiiijjjjijkijk 23 δ=δ−δ=δδ−δδ=εε

m = i 62 iiijkijk =δ=εε

2.7 Vektor- und Tensoralgebra

Die Basisvektoren werden aus schreibtechnischen Gründen umbenannt: 321zyx eeeeee ;;;; ⇒

rkj

321zzyyx

eee

eeeeeev

rkj

321x

vvv

vvvvvv

===

++=++=

2.7.1 Das Skalarprodukt zweier Vektoren

332211jjjkkjkjkj bababababababa ++==δ=⋅=⋅=⋅ kjkj eeeeba

Herausfiltern einer Koordinate: jkjkjkkj vvv =δ=⋅=⋅ eeev

2.7.2 Das Vektorprodukt zweier Vektoren

deeeeeeba kjkj ==ε=×=×=× llll dbababa jkkjkjkj

ll jkkjbad ε= ist nur von Null verschieden, wenn

2.7 Vektor- und Tensoralgebra 11

⎩⎨⎧

−→εεε+→εεε

=ε1;;1;;

132213321

312231123jkl

und damit

321

231213

eeeeeeeeeba

)baba()baba()baba(babababababa

122131132332

311223133221

−+−+−=−−−++=×

oder symbolisch:

321

321

bbbaaa

321 eeeba =×

Behauptung: ))(())(()()(!

cbdadbcadcba ⋅⋅−⋅⋅=×⋅×

))(())((

cbdadbcadcbadcba

dcbadcba)(dcba

dcbadcba

)dc()ba()d(c)b(a

kkjjkkjjjkkjkjkj

jmkmkjkmjmkjjmkkmjmkj

mnjknmkjnpmpjknmkj

pmpmnjknkjmmkkjj

cbdadbca

eeeeeed)(cb)(a

⋅⋅−⋅⋅=

−=−=

δδ−δδ=δδ−δδ=

εε=δεε=

ε⋅ε=×⋅×==×⋅×

lllllll

llll

llll

q.e.d.

2.7.3 Das Spatprodukt dreier Vektoren

321

321

321

231312123213132321

kjjkjkkjmkkjmkkj

cccbbbaaa

cbacbacbacbacbacba

cbacbacba)cb(a

=−−−++=

ε=ε=⋅ε=ε⋅=×⋅≡ llllllll mjmj eeeec)(ba[abc]

2.7.4 Das doppelte Vektorprodukt Behauptung: b)c(ac)b(ac)(ba ⋅−⋅=××

Zwischenrechnung: deecb kk ==ε=× krsksr dcb


b)c(ac)b(a

ee

eee

eeeeeec)(ba kjkj

⋅−⋅=

−=

δδ−δδ=δδ−δδ=

εε=ε=×=×=××

llll

lllllll

llll

cbacba

cbacba)(cba

cbadadada

jjjj

srjsrjsjrsrjsrjsjrsrj

jkrsksrjjkkjkjkj

q.e.d.

2.7.5 Skalarprodukt Vektor-Tensor

weeeeee

eeeeeeTv

====⋅=

⊗⋅=⊗⋅=⋅

llllllll

llll

wTvδTv)(Tv

)(TvTv

jjjkkjkjkj

kjkjkkjj

3

2

1

ee

eew

)TvTvTv()TvTvTv(

)TvTvTv(Tv

333232131

323222121

313212111jj

++++++

++== ll

nun:

jjjkjkjkjk

jkjkkjjkkjjk

vTvTδvT

)(vT)(vTv)(T

eee

eeeeeeeeevT

llll

llllll

===

⋅=⋅⊗=⋅⊗=⋅

Vergleich der obigen Ergebnisse zeigt:

vTTv T ⋅=⋅ Ist T der Einheitstensor, dann folgt:

veeeeee

eeeeeeIv

==δ=δδ=⋅δ=

⊗⋅δ=⊗δ⋅=⋅

jjjjjkkjkjkj

kjkjkkjj

vvv)(v

)(vv

llllll

llll

oder: vIvvI =⋅=⋅ Die Koordinaten eines Tensors erhält man durch entsprechende Skalarmultiplikation

jkmkjmkmmjkj TT)(T =δδ=⋅⊗⋅=⋅⋅ llll eeeeeTe

2.7 Vektor- und Tensoralgebra 13

2.7.6 Skalarprodukt Tensor-Tensor

)()(TS

TS

mjk

mjk

mkj

mkj

eeee

eeeeTS

⊗⋅⊗=

⊗⋅⊗=⋅

ll

ll

Def.: ))(()()( dacbdcba ⊗⋅=⊗⋅⊗

Ree

eeTSeeTSeeeeTS

mj

mjkmjkmjmjkmjk

=⊗=

⊗=⊗=⊗⋅=⋅

jm

kmjk

R

δ))((TS llll

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++++++++++++++++

=⋅

333323321331323322321231313321321131

332323221321322322221221312321221121

331323121311321322121211311321121111

TSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTSTS

TS

nun I statt T

Seeee

eeeeeeee

eeeeeeeeIS

kjj

jkkj

mkjmkj

=⊗=⊗δ=

⊗⋅⋅=⊗⋅⊗=

⊗⋅⊗δ=⊗δ⋅⊗=⋅

jkmjk

jjkjk

mjkmjk

S)(S

)()(S)()(S

)()(S)()(S

ll

lll

llll

IIIT;ITTIS;TTS =⋅=⋅=⋅⋅≠⋅

Das Ergebnis ist wieder ein Tensor.

2.7.7 Doppelskalarprodukt Tensor-Tensor

)()(S

)(T)(S

jk

mjk

mkjm

mkj

eeeeT

eeeeTS

⊗⋅⋅⊗=

⊗⋅⋅⊗=⋅⋅

ll

ll

Def.: ))(()()( dacbdcba ⋅⋅=⊗⋅⋅⊗

333323321331322322221221311321121111

kjjkjmkmjkjmkmjk

mjk

TSTSTSTSTSTSTSTSTS

TSTSδTS

))((TS

++++++++=

=δ=δ=

⋅⋅=⋅⋅

ll

ll mjk eeeeTS


T

eeeeIT

Spur:TTT

TTTδT

)(T

332211

mmmjjmkmjjkm

kjjkmm

=++=

==δ=δδ=δδ=

⊗δ⋅⋅⊗=⋅⋅

llllllll

ll

STTS ⋅⋅=⋅⋅ ; TTIIT Spur=⋅⋅=⋅⋅ ; 3=⋅⋅ II

2.8 Vektor- und Tensoranalysis

2.8.1 Der Nabla-Operator Der Nabla-Operator ist ein symbolischer Vektor.

j321 xxxxzyx ∂∂

=∇→∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ j321zyx eeeeeee

2.8.2 Der Gradient eines Skalarfeldes

j321 xFF

xxxFF

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇= j321 eeeegrad

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld.

2.8.3 Die Divergenz eines Vektorfeldes

3

3

2

2

1

1

j

jjk

j

kkk

jj x

vxv

xv

xv

xv

vx

div∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂

∂=δ

∂∂

=⋅∂∂

=⋅∇= eevv

Das Ergebnis ist ein skalares Feld.

2.8 Vektor- und Tensoranalysis 15

2.8.4 Der Rotor eines Vektorfeldes

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

=

ε∂∂

=×∂∂

=×∂∂

=×∇=

2

1

1

2

1

3

3

1

3

2

2

3

21

33

2

11

3

22

3

11

2

33

1

2

jkj

kkj

j

kk

j

xv

xv;

xv

xv;

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xvv

x

eeeeee

eeeeevvrot kj ll

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Beispiel:

)1e;1;1()1;8;0(

)1e;xcos0;10()xsinx;xe;xx(8

xx1133

xx21

2121

−−−=

−−−=→+++= ++

vrot

vrotv

2.8.5 Der Gradient eines Vektorfeldes

kjj

kkk

jj x

vvx

grad eeeevv ⊗∂∂

=⊗∂∂

=⊗∇=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

3

3

3

2

3

1

2

3

2

2

2

1

1

3

1

2

1

1

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

xv

grad v

Das Ergebnis ist ein Tensorfeld

2.8.6 Die Divergenz eines Tensorfeldes

33

33

2

23

1

132

3

32

2

22

1

121

3

31

2

21

1

11

j

jjk

j

kkj

j

kkk

jj

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

δxT

)(xT

Tx

div

eee

eeeeeeeeTT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂

∂=

∂∂

=⊗⋅∂∂

=⊗⋅∂∂

=⋅∇= l

l

ll

ll

ll


2.8.7 Der Delta-Operator

23

2

22

2

21

2

33

22

11

33

22

11

xxx

xxxxxxgraddiv

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⋅∇==Δ eeeeee

23

2

22

2

21

2

xF

xF

xFF

∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ

( ) ( )321332211 v;v;vvvv ΔΔΔ=++Δ=Δ eeev

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΔΔΔΔΔΔΔΔΔ

=Δ

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

T

2.8.8 Der Rotor eines Tensorfeldes Def.: cbacba ⊗×=⊗× )()(

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

=

⊗∂∂

=⊗×∂∂

=⊗×∂∂

=×∇=

2

13

1

23

2

12

1

22

2

11

1

21

1

33

3

13

1

32

3

12

1

31

3

11

3

23

2

33

3

22

2

32

3

21

2

31

mjkmj

kkj

j

kkk

jj

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

xT

rot

εxT

)xT

Tx

rot

T

eeee(eeeeTT ll

ll

ll

2.8 Vektor- und Tensoranalysis 17

2.8.9 Allgemeine Beziehungen für die Operatoren

)F(gradgrad)Fgradgrad()F(grad)Fgrad(

)(gradΔ)(Δgrad)(gradΔ)(Δgrad

divgrad)grad(div)grad(div

Fgrad)F(div)div()(div

TT

T

Δ=ΔΔ=Δ

==

=Δ=

=Δ=Δ

vvvv

vvvv

Ivv

3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie

3.1 Voraussetzungen

Die Platte ist ein dünnes ebenes Flächentragwerk Die Belastung erfolgt senkrecht zur Plattenebene und durch Randlasten Die Plattendicke h ist klein gegenüber den Abmessungen in der Ebene Die Plattendicke h ist konstant Es gilt das Hookesche Gesetz Die Schnittlasten werden am unverformten System ermittelt (Theorie 1. Ordnung)

Abb. 3-1 Dünne Rechteckplatte der Dicke h, mögliche Feld- und Randbelastungen

3.2 Plattenschnittlasten Wie beim Balken, wird auch in der Plattentheorie vorteilhaft mit Spannungsresultierenden gearbeitet. Allerdings werden bei der Platte die Spannungen nur über die Plattendicke h integ-

20 3 Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie

riert. Die so definierten Schnittgrößen haben dann die Dimension Kraft/Länge oder Mo-ment/Länge

Abb. 3-2 Spannungen an einem Plattenelement

Abb. 3-3 Querkräfte

Querkräfte:

dzσq2h

2hxzx ∫

−

=

dzσq2h

2hyzy ∫

−

=

(Kräfte je Längeneinheit)

Abb. 3-4 Biegemomente

Biegemomente:

dzzσm2h

2hxxxx ∫

−

=

dzzσm2h

2hyyyy ∫

−

=

(Momente je Längeneinheit)

Abb. 3-5 Drillmomente

Drillmomente:

dzzσm2h

2hxyxy ∫

−

=

dzzσm2h

2hyxyx ∫

−

=

yxxy mm =


3.3 Transformationsgleichungen für die Schnittmomente 21

3.3 Transformationsgleichungen für die Schnittmomente Wir untersuchen das Transformationsverhalten der Schnittmomente beim Übergang vom

y,x - Koordinatensystem auf das um den Winkel ϕ gedrehte y,x - Koordinatensystem.

Die Transformationsgesetze für Vektoren liefern bei einer Drehung um den Winkel ϕ

Abb. 3-6 Plattenelement mit Schnittmomenten

ϕ+ϕ−−=

ϕ−ϕ−−+=

ϕ+ϕ−++=

2cosm2sin)mm(21m

2sinm2cos)mm(21)mm(

21m

2sinm2cos)mm(21)mm(

21m

xyyyxxyx

xyyyxxyyxxyy

xyyyxxyyxxxx

Gl. 3-1

Es gelten (Gl. 3-1) die folgenden invarianten Beziehungen

2xyyyxx

2yxyyxx

yyxxyyxx

mmmmmm

mmmm

−=−

+=+ Gl. 3-2

3.3.1 Hauptbiegemomente Die Matrix des Schnittmomententensors

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

ηη

ξξ

m00m

mmmm

yyyx

xyxxM


erhält Diagonalgestalt, wenn wir den Drehwinkel ϕ = ϕ1 so wählen, dass

02cosm2sin)mm(21

1xy1yyxx =ϕ+ϕ−− Gl. 3-3

und damit

)2tan(mm

m22tan 1

yyxx

xy1 π+ϕ=

−=ϕ Gl. 3-4

wird. Ein so in der Ebene orientiertes Element ist somit frei von Drillmomenten. Zu den in Gl. 3-4 ermittelten Richtungen gehören die Biegemomente

1xy1yyxxyyxx

1xy1yyxxyyxx

2sinm2cos)mm(21)mm(

21m

2sinm2cos)mm(21)mm(

21m

ϕ−ϕ−−+=

ϕ+ϕ−++=

ηη

ξξ

Gl. 3-5

Abb. 3-7 Hauptbiegemomente

Wegen ( )π+ϕ=ϕ 11 2tan2tan existiert eine zweite Richtung

212π

+ϕ=ϕ Gl. 3-6

für die Gl. 3-3 ebenfalls erfüllt ist. Für diese Drehwinkel werden außerdem die Biegemomen-te extremal, denn die für das Vorliegen von Extremwerten notwendigen Bedingungen

0d

dm xx =ϕ

und 0d

dm yy =ϕ

führen wiederum auf Gl. 3-4. Der unter diesen Richtungen auftre-

tende drillmomentenfreie Zustand wird Hauptbiegemomentenzustand genannt. Die Achsen

3.3 Transformationsgleichungen für die Schnittmomente 23

ξ und η heißen Hauptachsen. Die Invarianten Gl. 3-2 gehen für den Hauptbiegemomenten-

zustand wegen 0m =ξη über in

2xyyyxx

yyxx

mmmmm

mmmm

−=

+=+

ηηξξ

ηηξξ Gl. 3-7

Aus Gl. 3-7 lassen sich die Hauptmomente berechnen, ohne den Weg über die Transformati-onsgleichungen zu gehen. Eine direkte Zuordnung zum Drehwinkel ist dann allerdings nicht möglich. Wir ordnen sie so an, dass 2211 mm > ist und erhalten

( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−++=

2xy

2yyxxyyxx22

2xy

2yyxxyyxx11

m4mmmm21m

m4mmmm21m

Gl. 3-8

Wegen yyxx

xy2

12

11 mm

m2y1y2

tan1tan22tan

−=

′−′

=ϕ−

ϕ=ϕ folgt aus Gl. 3-4 die Differenzialglei-

chung der Hauptbiegemomententrajektorien.

1m2

mmm2

mmy

2

xy

xxyy

xy

xxyy2,1 −⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

−=′ Gl. 3-9

Hinweis: Weil 1yy 21 −=′⋅′ ist, schneiden sich die Hauptbiegemomententrajektorien unter

einem Winkel von 90°.

3.3.2 Hauptdrillmomente Die Richtung für die extremalen Drillmomente erhalten wir aus der Forderung

3xy3yyxxyx 2sinm22cos)mm(0

ddm

ϕ−ϕ−−==ϕ

und damit

)2tan(2cot2tan1

m2mm

2tan 311xy

yyxx3 π+ϕ=ϕ−=

ϕ−=

−−=ϕ Gl. 3-10

Diesen Richtungen sind die Hauptdrillmomente


2xy

2yyxx12 m4)mm(

21m +−±= Gl. 3-11

zugeordnet. Der Hauptdrillmomentenzustand ist i. Allg. nicht biegemomentenfrei, vielmehr wirken in dieser Schnittfläche die Biegemomente

)mm(21m yyxxM += Gl. 3-12

Abb. 3-8 Der Hauptdrillmomentenzustand

Nach Gl. 3-10 gilt

23

23

xy

yyxx3 y1

y2tan1tan2

m2mm

2tan′−′

=ϕ−

ϕ=

−−=ϕ Gl. 3-13

Auflösung nach y' liefert

1mm

m2mm

m2y

2

yyxx

xy

yyxx

xy2,1 +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−±

−=′ Gl. 3-14

die Differenzialgleichung der Hauptdrillmomententrajektorien. Hinweis: Weil 1yy 21 −=′⋅′ gilt, schneiden sich die Hauptdrillmomententrajektorien unter

einem Winkel von 90°. Die Hauptdrill- und die Hauptbiegemomententrajektorien bilden je für

sich ein orthogonales Netz. Wegen 1

3 2tan12tanϕ

−=ϕ stehen die beiden Richtungen 32ϕ

3.4 Gleichgewicht am Plattenelement 25

und 12ϕ senkrecht aufeinander. Damit wird 413π

+ϕ=ϕ . Beide Netze schneiden sich unter

einem Winkel von °=α 45 .

3.4 Gleichgewicht am Plattenelement

Wir betrachten ein aus der Platte herausgeschnittenes Element der Abmessungen dx, dy (s.h. Abb. 3-2). Das Element wird belastet durch eine Flächenlast p(x,y) und durch die durch den Schnitt freigesetzten Querkräften qx, qy und Momenten mxx, myy, mxy = myx entsprechend Abb. 3-3 - Abb. 3-5.

∑ = 0Fz : 0dyqdxqdydxx

qqdxdy

yq

qdydxp xyx

xy

y =−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂++

0M x =∑ : 02

dydydxy

qdxdyqdxdy

xm

dydxy

m yy

xyyy =∂

∂++

∂

∂−

∂

∂−

∑ = 0M y : 02

dxdxdyx

qdydxqdydx

ym

dxdyx

m xx

yxxx =∂∂

−−∂

∂+

∂∂

Mit 0dydx → liefert das Kraftgleichgewicht

0py

qx

q yx =+∂

∂+

∂∂

Gl. 3-15

sowie das Momentengleichgewicht getrennt um beide Achsen

0qy

mx

m

0qy

mx

m

yyyxy

xyxxx

=−∂

∂+

∂

∂

=−∂

∂+

∂∂

Gl. 3-16

Einsetzen von Gl. 3-16 in Gl. 3-15 liefert

0pym

yxm

2xm

2yy

2xy

2

2xx

2

=+∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

Gl. 3-17


3.5 Das Verschiebungsfeld w(x,y)

Die Verschiebung eines Punktes P mit dem Abstand z von der Mittelfläche setzt sich zusam-men aus der Verschiebung w(x,y) der Plattenmittelfläche und den Verschiebungen u(x,y,z) sowie v(x,y,z), die sich wie folgt auf die Verschiebung w der Plattenmittelfläche zurückfüh-ren lassen.

Abb. 3-9 Verschiebung des Punktes P

Unter der Voraussetzung kleiner Verformungen und kleiner 1. Ableitungen der Verformun-

gen entnehmen wir Abb. 3-9: xwz)z,y,x(u∂∂

−= ywz)z,y,x(v∂∂

−=

wobei die Verschiebung w der Plattenmittelfläche nur von den Koordinaten x, y abhängt. Damit ergeben sich die Verzerrungen

0;ywz

yv;

xwz

xu

zz2

2

yy2

2

xx =ε∂∂

−=∂∂

=ε∂∂

−=∂∂

=ε

yxwz2

xv

yu 2

xy ∂∂∂

−=∂∂

+∂∂

=γ ; 0yzxz =γ=γ

In einer dünnen Platte kann mit guter Näherung ein ebener Spannungszustand ( )0zz =σ un-

terstellt werden, für den gilt:

( ) ( ) xyxyxxyy2yyyyxx2xx G1

E1

Eγ=σνε+ε

ν−=σνε+ε

ν−=σ

3.5 Das Verschiebungsfeld w(x,y) 27

Abb. 3-10 Spannungsverteilung in Dickenrichtung

Einsetzen der Verzerrungen in das Stoffgesetz liefert die linear über die Höhe z verteilten Spannungen

zG2

zxw

yw

1E

zyw

xw

1E

xyxy

2

2

2

2

2yy

2

2

2

2

2xx

γ−=σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ν+∂∂

ν−−=σ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ν+∂∂

ν−−=σ

Gl. 3-18

Unter Beachtung der Definition für das Biegemoment mxx erhalten wir

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

ν+∂∂

ν−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

ν+∂∂

ν−−=σ=

=

−−∫∫ 2

2

2

2

2

3

12/h

2/h

2/h

22

2

2

2

2

2/h

2/hxxxx y

wxw

)1(12Ehdzz

yw

xw

1Edzzm

343421

und mit der Plattensteifigkeit

)1(12EhN 2

3

ν−= Gl. 3-19

folgt insgesamt für die Schnittlasten

( )yx

w1Nmm

xw

ywNm

yw

xwNm

2

yxxy

2

2

2

2

yy

2

2

2

2

xx

∂∂∂

ν−−==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ν+∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ν+∂∂

−=

Gl. 3-20

wy

Nyw

xw

yNq

wx

Nyw

xw

xNq

2

2

2

2

y

2

2

2

2

x

Δ∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−=

Δ∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−=

Gl. 3-21


In Gl. 3-21 wurde der planare Laplace1 - Operator

2

2

2

2

yx ∂∂

+∂∂

=Δ Gl. 3-22

eingeführt.

3.6 Die Plattendifferenzialgleichung


( ) 0pyx

wywN

yxw1N2

yxw

xwN 22

4

4

4

22

4

22

4

4

4

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂ν+

∂∂

−∂∂

∂ν−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂ν+

∂∂

−

und nach Zusammenfassung

Np

yw

yxw2

xw

4

4

22

4

4

4

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

Gl. 3-23

Unter Beachtung von Gl. 3-22 können wir dafür auch

N)y,x(p)y,x(w =ΔΔ Gl. 3-24

schreiben.

3.7 Die Plattengleichung in Zylinderkoordinaten

Zur Berechnung kreis- oder kreisringförmiger Platten ist die Verwendung kartesischer Koor-dinaten ungeeignet. Dem Problem angepasst sind hier Zylinderkoordinaten, das sind ebene Polarkoordinaten r, ϕ und die z- Richtung. Die Definition der Schnittlasten erfolgt analog zur Definition der Schnittlasten bei Verwendung kartesischer Koordinaten.

1 Pierre Simon Marquis de (seit 1817) Laplace, frz. Mathematiker und Physiker, 1749-1827

3.7 Die Plattengleichung in Zylinderkoordinaten 29

Abb. 3-11 Spannungsverteilung an einem Plattenelement, Zylinderkoordinaten

Abb. 3-12 Querkräfte

Querkräfte:

dzσq2h

2hrzr ∫

−

=

dzσq2h

2hz∫

−ϕϕ =

(Kräfte je Längeneinheit)

Abb. 3-13 Biegemomente

Biegemomente:

dzzσm2h

2hrrrr ∫

−

=

dzzσm2h

2h∫

−ϕϕϕϕ =


Abb. 3-14 Drillmomente

Drillmomente:

dzzσm2h

2hrr ∫

−ϕϕ =

dzzσm2h

2hrr ∫

−ϕϕ =

rr mm ϕϕ =



Das Kraftgleichgewicht am Plattenelement liefert

0pq

r1

rq

rq rr =+

ϕ∂

∂++

∂∂ ϕ Gl. 3-25

Für das Momentengleichgewicht erhalten wir

0qr

m2

rmm

r1

0qm

r1

rm

rm

rm

rr

rrrrrr

=−+∂

∂+

ϕ∂

∂

=−ϕ∂

∂+−+

∂∂

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

Gl. 3-26

Unter Verwendung des Laplace-Operators in ebenen Polarkoordinaten

2

2

22

2

r1

rr1

r ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ Gl. 3-27

schreibt sich die Verschiebungsdifferenzialgleichung

N),r(p),r(w ϕ

=ϕΔΔ Gl. 3-28

oder

N),r(p

wr1w

r4

rw

r2

rw

r2

rw

r1

rw

r1

rw

r2

rw

wr1

rr1

rr1

rr1

rw

4

4

42

2

42

3

322

4

232

2

23

3

4

4

2

2

22

2

2

2

22

2

ϕ=

ϕ∂∂

+ϕ∂

∂+

ϕ∂∂∂

−ϕ∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂

=ΔΔ

Gl. 3-29

Die Schnittlasten sind

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂∂∂

ν−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν+ϕ∂

∂+

∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂+

∂∂

ν+∂∂

−=

ϕ

ϕϕ

wr1

rN)1(m

rww

r1

rw

r1Nm

wr1

rw

r1

rwNm

r

2

2

2

2

2

2

2

22

2

rr

Gl. 3-30

3.7 Die Plattengleichung in Zylinderkoordinaten 31

( )

( )wr1Nq

wr

Nqr

Δϕ∂∂

−=

Δ∂∂

−=

ϕ

Gl. 3-31

Im Falle der Rotationssymmetrie verbleiben wegen 0=ϕ∂∂ : )r(ww = , )r(pp = .

Mit )(drd

r′==

∂∂ wird ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+=Δ

drdr

drd

r1

drd

r1

drd

2

2

und Gl. 3-29 geht über in

N)r(pw

r1w

r1w

r2w

drdwr

drd

r1

drdr

drd

r1w

drd

r1

drd

drd

r1

drdw

32

2

2

2

2

=′+′′−′′′+′′′′=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=ΔΔ

Gl. 3-32

0mdr

wddrdw

r1Nm

drdw

r1

drwdNm

r

2

2

2

2

rr

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν+−=

ϕ

ϕϕ Gl. 3-33

0qdrdwr

drd

r1

drdNqr

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ϕ

Gl. 3-34

Betrachten wir Gl. 3-20, Gl. 3-30, dann können wir die Plattendifferenzialgleichung auch in zwei Differenzialgleichungen zweiter Ordnung aufspalten. Dazu bilden wir zunächst aus Gl. 3-20 und Gl. 3-30 die bezogenen Momentensummen

wN1

mm1

mm:M rryyxx Δ−=

ν+

+≡

ν+

+= ϕϕ Gl. 3-35

Die Plattendifferenzialgleichung

p)wN(wN =ΔΔ=ΔΔ Gl. 3-36

zerfällt dann in die beiden Differenzialgleichungen zweiter Ordnung


NMw

pM

−=Δ

−=Δ Gl. 3-37

Diese Darstellung der Plattendifferenzialgleichung ist dann von Interesse, wenn am Platten-rand die Momentensumme M bekannt ist. Dies trifft z.B. für gerade, gelenkig gelagerte Rän-der oder freie Ränder zu. Unabhängig vom Verschiebungsfeld w kann dann aus der 1. Glei-chung die Funktion M bestimmt werden. Ist M bekannt, dann folgt aus der 2. Gleichung von Gl. 3-37 das Verschiebungsfeld w.

3.8 Randbedingungen

Gl. 3-24 und Gl. 3-28 entsprechen jeweils einer partiellen Differenzialgleichung 4. Ordnung, mit der an zwei gegenüberliegenden Rändern jeweils zwei Randbedingungen erfüllt werden können. Es liegt aber in der Natur der Sache, dass an jedem Rand drei Randbedingungen zu erfüllen sind, da der Spannungsvektor drei Spannungskomponenten besitzt. Wir betrachten den krummlinigen Rand nach Abb. 3-15, an dem die Schnittlasten mnn, mns und qn als Reaktionslasten angreifen (mnn: Einspannmoment, mns: Einspanndrillmoment, qn: Auflagerkraft).

Abb. 3-15 Krummlinige Berandung einer Platte, Spannungen und Schnittlasten

Nach einem Vorschlag von Thomson1 u. Tait2 wird am Rand das Drillmoment statisch äqui-valent durch eine Folge von Einzellasten ersetzt.

1 William Thomson, seit 1892 Lord Kelvin of Largs, brit. Physiker, 1824-1907 2 Peter Guthrie Tait, 1831-1901

3.8 Randbedingungen 33

Abb. 3-16 Ersatzquerkräfte

An der Grenze zweier benachbarter Elemente verbleibt nur der Zuwachs dss

mdm ns

ns ∂∂

= .

Diese Einzelkraft wird Ersatzquerkraft genannt und der Querkraft qn hinzugefügt. Die Summe

sm

qq nsnn ∂

∂+= Gl. 3-38

heißt Randquerkraft. Die Randquerkraft entspricht der endgültigen Auflagerkraft. Im Sinne des Prinzips von de Saint-Venant wirkt sich diese Randstörung nur in unmittelbarer Randnähe aus.

3.8.1 Kartesische Koordinaten

An einem Rand x = x0 = konst. geht Gl. 3-38 über in

ym

qq xyxx ∂

∂+= Gl. 3-39

und entsprechend für einen Rand y = y0 = konst. erhalten wir

xm

qq yxyy ∂

∂+= Gl. 3-40

Einsetzen von Gl. 3-20 und Gl. 3-21 in Gl. 3-39 und Gl. 3-40 ergibt

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν−+∂∂

∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν−+∂∂

∂∂

−=

2

2

2

2

y

2

2

2

2

x

xw)2(

yw

yNq

yw)2(

xw

xNq

Gl. 3-41


3.8.2 Zylinderkoordinaten Entsprechend Gl. 3-39 und Gl. 3-40 erhalten wir

rm

qq

mr1qq

r

rrr

∂

∂+=

ϕ∂

∂+=

ϕϕϕ

ϕ

Gl. 3-42

und unter Verwendung von Gl. 3-31 und Gl. 3-32

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂∂∂

ν−+Δϕ∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂∂∂

ν−+Δ∂∂

−=

ϕw

r1

r)1()w(

r1Nq

wr1

rr1)1()w(

rNq

2

2

2

2

r

Gl. 3-43

Von Interesse ist noch der Sonderfall der Rotationssymmetrie. Hier gilt 0mr =ϕ und 0q =ϕ .

Damit ist rr qq = sowie 0qq == ϕϕ und es verbleiben

0q

)wr1w

r1w(N

drdwr

drd

r1

drdNq 2r

=

′−′′+′′′−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ϕ

Gl. 3-44

3.8.3 Der eingespannte Rand

3.8.3.1 Der eingespannte Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten

0xw

0)y,x(w

y,xx

0

0=

∂∂

=

=


Aus 0)y,x(w 0 = folgen 0yw,0

yw

2

2

=∂∂

=∂∂ usw. Aus 0

xw

=∂∂ folgen sofort 0

yxw2

=∂∂

∂ und

0yxw

2

3

=∂∂

∂ . Damit ist aber am Rand auch 0mxy = und nach Gl. 3-38 ist xx qq = . Die Reak-

tionslasten sind:

y,xx3

3

x

y,xx2

2

xx

0

0

xwNq

xwNm

=

=

∂∂

−=

∂∂

−= Gl. 3-45

3.8.3.2 Der eingespannte Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten

0xw

0)y,x(w

0yy,x

0

=∂∂

=

=

Aus 0)y,x(w 0 = folgen 0xw,0

xw

2

2

=∂∂

=∂∂ usw. Aus 0

yw


yxw2

=∂∂

∂ und

0yx

w2

3

=∂∂

∂ . Damit ist aber wieder am Rand auch 0mxy = und yy qq = . Die Reaktionslasten

sind:

0

0

yy,x3

3

y

yy,x2

2

yy

ywNq

ywNm

=

=

∂∂

−=

∂∂

−= Gl. 3-46

3.8.3.3 Der eingespannte Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten

0rw

0),r(w

,rr

0

0

=∂∂

=ϕ

ϕ=


Aus w = 0 folgen 0w,0w2

2

=ϕ∂

∂=

ϕ∂∂ usw. Aus 0

rw


rw2

=∂ϕ∂

∂ und

0r

w2

3

=∂ϕ∂

∂ . Damit ist aber wieder am Rand auch 0mr =ϕ und rr qq = . Die Reaktionslasten

sind:

ϕ=

ϕ=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

−=

∂∂

−=

,rr3

3

3

3

r

,rr2

2

rr

0

0

rw

r1

rwNq

rwNm

Gl. 3-47

Im Fall der Rotationssymmetrie gilt

0)rr(w0)rr(w

0

0

==′==

Gl. 3-48

3.8.3.4 Der eingespannte Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten

0w

0),r(w

0,r

0

=ϕ∂

∂

=ϕ

ϕ=ϕ

Aus 0),r(w 0 =ϕ folgen 0rw,0

rw

2

2

=∂∂

=∂∂ usw. Aus 0

rw


rw2

=ϕ∂∂

∂ und

0r

w2

3

=ϕ∂∂

∂ . Damit ist aber wieder am Rand 0mr =ϕ und ϕϕ = qq . Die Reaktionslasten sind:

0

0

,r3

3

3

,r2

2

2

wr1Nq

wr1Nm

ϕ=ϕ

ϕ

ϕ=ϕϕϕ

ϕ∂∂

−=

ϕ∂∂

−=

Gl. 3-49

Bei dieser Lagerung entfällt der Sonderfall der Rotationssymmetrie


3.8.4 Der gelenkig gelagerte Rand

3.8.4.1 Der gelenkig gelagerte Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten

0)y,x(m0)y,x(w

0xx

0

==

Wegen 0w = ist dann auch 0yw,0

yw

2

2

=∂∂

=∂∂ usw. Dann ist

y,xx0

2

2

2

2

xx

0

yw

xwNm

==⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

ν+∂∂

−=321

.

Um mxx = 0 zu erfüllen, genügt also auch die Forderung 0xw

y,xx2

2

0=

∂∂

= bzw. 0wy,xx 0=Δ

=

( )

0xw

0y,xw

y,xx2

20

0=

∂∂

=

=

Gl. 3-50

oder

( )0w

0y,xw

y,xx

0

0=Δ

=

=

Gl. 3-51

Die Randbedingung für einen gelenkig gelagerten Rand nach Gl. 3-51 werden Naviersche1 Randbedingungen genannt. Für die Reaktionskraft am Rand gilt:

( )y,xx

2

2

2

2

x

0yw2

xw

xNq

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν−+∂∂

∂∂

−= Gl. 3-52

1 Claude Louis Marie Henri Navier, frz. Physiker, 1785-1819


3.8.4.2 Der gelenkig gelagerte Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten

0)y,x(m0)y,x(w

0yy

0

==

Wegen w = 0 ist dann auch 0xw,0

xw

2

2

=∂∂

=∂∂ usw. Dann ist

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

ν+∂∂

−=

=0

2

2

2

2

yy xw

ywNm . Um

myy = 0 zu erfüllen, genügt also auch die Forderung 0yw

0yy,x2

2

=∂∂

= bzw. 0w0yy,x=Δ

=.

( )

0yw

0y,xw

0yy,x2

20

=∂∂

=

=

Gl. 3-53

oder

0w

0)y,x(w

0yy,x

0

=Δ

=

=

Gl. 3-54

Für die Reaktionskraft am Rand gilt:

( )0yy,x

2

2

2

2

y xw2

yw

yNq

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν−+∂∂

∂∂

−= Gl. 3-55

3.8.4.3 Der gelenkig gelagerte Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten

0),r(m0),r(w

0rr

0

=ϕ=ϕ


Aus w = 0 folgen 0w,0w2

2

=ϕ∂

∂=

ϕ∂∂ usw. 0w

r1

rw

r1

rwNm

,rr0

2

2

22

2

rr

0

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ϕ∂∂

+∂∂

ν+∂∂

−=

ϕ==43421

Hinweis: Wegen 0rr

1rr

1rr

1r 2

2

0

2

2

22

2

≠∂∂

+∂∂

=ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ

=321

kann am gekrümmten drehbar

gelagerten Rand nicht 0w =Δ gefordert werden. Am Rand kann dann auch

0rw

r1

rw

0),r(w

,rr2

2

0

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν+∂∂

=ϕ

ϕ=

Gl. 3-56

geschrieben werden. Die Reaktionskraft ist

ϕ=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂∂∂

ν−+Δ∂∂

−=,rr

2

2

r

0

wr1

rr1)1()w(

rNq Gl. 3-57

Im Fall der Rotationssymmetrie sind

0wr1w

0)r(w

,rr

0

0

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′ν+′′

=

ϕ=

Gl. 3-58

und

ϕ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−′′+′′′−=

,0rr2r w

r1w

r1wNq Gl. 3-59

3.8.4.4 Der gelenkig gelagerte Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten

0),r(m0),r(w

0

0

=ϕ=ϕ

ϕϕ


Aus w = 0 folgen 0rw,0

rw

2

2

=∂∂

=∂∂ usw.

0rww

r1

rw

r1Nm

0,r0

2

2

2

2

2

0

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

ν+ϕ∂

∂+

∂∂

−=

ϕ=ϕ==

ϕϕ321321

Dann kann auch

0w

0),r(w

0,r2

2

0

=ϕ∂

∂

=ϕ

ϕ=ϕ

Gl. 3-60

geschrieben werden. Wegen

0r1

rr1

rw

0

2

2

2

00

2

2

=ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ

===321

gilt an diesem Rand 0w =Δ .

Statt Gl. 3-60 kann dann auch

0w0),r(w

0,r

0

=Δ

=ϕ

ϕ=ϕ

Gl. 3-61

geschrieben werden. Die Reaktionskraft ist

0,r2

2 wr1

r)1()w(

r1Nq

ϕ=ϕ

ϕ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂∂∂

ν−+Δϕ∂∂

−= Gl. 3-62

Der Fall der Rotationssymmetrie entfällt bei dieser Lagerung.

3.8.5 Der freie Rand

3.8.5.1 Der freie Rand x = x0 = konst. in kartesischen Koordinaten

( )( ) 0y,xq

0y,xm

0x

0xx

==


( ) 0yw2

xw

x

0yw

xw

y,xx2

2

2

2

y,xx2

2

2

2

0

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν−+∂∂

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν+∂∂

=

= Gl. 3-63

3.8.5.2 Der freie Rand y = y0 = konst. in kartesischen Koordinaten

0)y,x(q

0)y,x(m

0y

0yy

=

=

( ) 0xw2

yw

y

0xw

xw

00

00

yy,x2

2

2

2

yy,x2

2

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν−+∂∂

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν+∂∂

=

= Gl. 3-64

3.8.5.3 Der freie Rand r = r0 = konst. in Zylinderkoordinaten

0),r(q0),r(m

0r

0rr

=ϕ=ϕ

0wr1

rr1)1()w(

r

0wr1

rw

r1

rw

,rr2

2

,rr2

2

22

2

0

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂∂∂

ν−+Δ∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂+

∂∂

ν+∂∂

ϕ=

ϕ= Gl. 3-65

Im Fall der Rotationssymmetrie verbleibt von Gl. 3-65


0wr1w

r1w

0wr1w

,rr2

,rr

0

0

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−′′+′′′

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′ν+′′

ϕ=

ϕ= Gl. 3-66

3.8.5.4 Der freie Rand ϕ = ϕ0 = konst. in Zylinderkoordinaten

0),r(q0),r(m

0

0

=ϕ=ϕ

=ϕ=ϕ

ϕ

ϕϕ

0wr1

r)1()w(

r1

0rww

r1

rw

r1

0

0

,r2

2

,r2

2

2

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂∂∂

ν−+Δϕ∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν+ϕ∂

∂+

∂∂

ϕ=ϕ

ϕ=ϕ Gl. 3-67

Der Sonderfall der Rotationssymmetrie entfällt bei dieser Lagerung.

3.9 Das Verhalten der Platten an Ecken

Abb. 3-17 Plattenecke, drehbare Lagerung beider Ränder

3.9 Das Verhalten der Platten an Ecken 43

Aufgrund der getroffenen kinematischen Zwänge der Bernoullischen Hypothese können an den Plattenecken Erscheinungen auftreten, die gesondert zu betrachten sind. Wir behandeln zuerst den Fall, dass an einer Ecke zwei drehbar gelagerte Ränder aufeinander treffen. Kon-zentrierte Belastungen infolge von Einzellasten in der Ecke ausgeschlossen sein sollen. Von den Transformationsformeln Gl. 3-1 verbleibt

ϕ=

ϕ=

2cosmm

2sinm0

xyyx

xy

und von Gl. 3-2 2xy

2yx mm =

xxm yym xym xxm yym yxm

20 π

<ϕ< 0 0 0 0 0 0

2π

=ϕ 0 0 x 0 0 x

π<ϕ<π2

0 0 0 0 0 0

π=ϕ 0 0 x 0 0 x

23π

<ϕ<π 0 0 0 0 0 0

23π

=ϕ 0 0 x 0 0 x

π<ϕ<π 22

3 0 0 0 0 0 0

π=ϕ 2 0 0 x 0 0 x

Tabelle 3-1 Auswertung der Transformationsgleichungen

Für die Öffnungswinkel 2π

=ϕ und 2

3π=ϕ ist 0mxy ≠ möglich. Dabei ist dann

xyyx mm −= . Für die Öffnungswinkel π=ϕ und π=ϕ 2 ist auch 0mxy ≠ möglich. Dabei ist

dann xyyx mm = .


Abb. 3-18 Plattenecke bei beidseitig drehbar gelagerten Rändern, Auftreten einer Eckkraft

Bei Öffnungswinkeln ππ=ϕ 2, heben sich die aus den Drillmomenten herrührenden statisch

äquivalenten Einzelkräfte in der Ecke gegenseitig auf. Das trifft nicht bei den Winkeln

23,

2ππ

=ϕ zu. Die aus dem Drillmoment resultierenden statisch äquivalenten Ersatzquerkräf-

te addieren sich hier zur Eckkraft

xym2A = Gl. 3-68

3.9 Das Verhalten der Platten an Ecken 45

die bei einem drehbar gelagerten Rand vom Auflager aufgenommen werden muss. Eine ähnliche Situation tritt auf, wenn in der Ecke ein freier und ein drehbar gelagerter Rand aufeinander treffen (Abb. 3-19).

Abb. 3-19 Plattenecke mit einem freien und einem drehbar gelagerten Rand

Für die Öffnungswinkel 2π

=ϕ und 2

3π=ϕ ist 0mxy ≠ möglich. Dabei ist dann

xyyx mm −= . Die Folge ist eine Eckkraft A = 2mxy.

4 Die elastisch gebettete Platte

Abb. 4-1 Platte auf nachgiebiger Unterlage

Wir betrachten eine Platte, die vollständig auf einer elastischen Unterlage liegt1. Die Platte sei durch Flächen- und Einzellasten in z- Richtung belastet (Abb. 4-1). Nach Winkler2 wird an-genommen, dass der Bodendruck pB proportional zur lokalen Eindringtiefe w ist:

)y,x(wk)y,x(pB = Gl. 4-1

Die Konstante k heißt Bettungsmodul.

[ ]( ) ( ) 3

2222 m

NskgmEinheit,ZeitLänge

Massek =⋅

= −−

Material Bettungsmodul k [MN/m3]

Sand, locker, rund 10...15 Sand, mitteldicht, rund 50...100 Sand, dicht, eckig 150...250 Geschiebemergel, fest 30...100 Lehm, halbfest 20...50

Tabelle 4-1 Rechenwerte von Bettungszahlen k einiger ausgewählter Böden für Vorentwürfe3

Alle bisher gewonnenen Beziehungen bleiben erhalten, wenn wir p durch Bpp − ersetzen.

1 Solche Systeme treten z.B. im Bauwesen bei Flachgründungen auf. 2 Emil Winkler, 1835-1888 3 Nach Empfehlungen des Arbeitsausschusses Ufereinfassungen - EAU, 8. Aufl. 1990

48 4 Die elastisch gebettete Platte

Aus Gl. 3-24 folgt dann

Nppw B−

=ΔΔ Gl. 4-2

und mit Gl. 4-1

Npw

Nkw

Np

Npw B

=+ΔΔ

=+ΔΔ Gl. 4-3

Setzen wir noch

44

Nk

Nk

=κ→κ= Gl. 4-4

dann erhalten wir aus Gl. 4-3

Npww 4 =κ+ΔΔ Gl. 4-5

Bei fehlender Querbelastung p gilt die homogene Differenzialgleichung

0ww 4 =κ+ΔΔ Gl. 4-6

Ist das Verschiebungsfeld w bekannt, dann folgt für die Schnittlasten weiterhin

( )yx

w1Nmm

xw

ywNm

yw

xwNm

2

yxxy

2

2

2

2

yy

2

2

2

2

xx

∂∂∂

ν−−==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ν+∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ν+∂∂

−=

Gl. 4-7

wy

Nyw

xw

yNq

wx

Nyw

xw

xNq

2

2

2

2

y

2

2

2

2

x

Δ∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−=

Δ∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−=

Gl. 4-8

4.1 Lösung der homogenen Plattengleichung der elastisch gebetteten Platte in kartesischen Koordinaten 49

4.1 Lösung der homogenen Plattengleichung der elastisch gebetteten Platte in kartesischen Koordinaten

Wir beschränken uns auf Lösungen der homogenen Differenzialgleichung Gl. 4-5

0ww 4 =κ+ΔΔ Gl. 4-9

´ in Produktform, also

)y(Y)x(X)y,x(w = Gl. 4-10


0XYYXYX2YX 4 =κ+′′′′+′′′′+′′′′ Gl. 4-11

Division mit XY führt zunächst auf

0Y

YYY

XX2

XX 4 =κ+

′′′′+′′′′

+′′′′

Gl. 4-12

Gl. 4-12 lässt sich entkoppeln, wenn wir

2

YY

α−=′′

Gl. 4-13

setzen. Dann erhalten wir als Lösung von Gl. 4-13

ysinCycosC)y(Y 65 α+α= Gl. 4-14

Der Separationsparameter α in Gl. 4-13 bleibt dabei noch unbestimmt. Wegen 2Y α−=′′ und

YYY 42 α=′′α−=′′′′ geht dann Gl. 4-12 über in

( ) 0XX2X 442 =κ+α+′′α−′′′′ Gl. 4-15


Zur Lösung dieser gewöhnlichen homogenen Differenzialgleichung 4. Ordnung machen wir den Ansatz

( )xexp)x(X β= Gl. 4-16


( )[ ] 0X4222 =κ+α−β Gl. 4-17

Gl. 4-17 führt auf die charakteristische Gleichung

( ) 04222 =κ+α−β Gl. 4-18

Gl. 4-18 hat die Lösungen

221 iκ+α=β ; 22

2 iκ+α−=β ; 223 iκ−α=β ; 22

4 iκ−α−=β Gl. 4-19

Diese mit beliebigen (komplexwertigen) Konstanten versehenen Fundamentallösungen fassen wir zur allgemeinen homogenen Lösung

( ) ( ) ( ) ( )xiexpDxiexpCxiexpBxiexpA)x(X 22222222 κ−α−+κ−α+κ+α−+κ+α=

zusammen. Unter Beachtung von ( ) ( )aba21iaba

21iba 2222 −+±++=± kann

noch umgeformt werden. Z.B. gilt

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−κ+α⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+κ+α=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−κ+α+α+κ+α=κ+α

x21iexpx

21exp

x21ix

21expxiexp

244244

24424422

und unter Beachtung der Euler-Identitäten ( ) ϕ±ϕ=ϕ± sinicosiexp kommt

4.1 Lösung der homogenen Plattengleichung der elastisch gebetteten Platte in kartesischen Koordinaten 51

( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−κ+α+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α−κ+α⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+κ+α=

κ+α

x21sinix

21cosx

21exp

xiexp

244244244

22

Entsprechend können die verbleibenden Terme umgeformt werden. Insgesamt erhalten wir dann mit den Abkürzungen

( ) ( ) 112

112

44 −ακ+α

=γ+ακ+α

=β

[ ] [ ][ ] [ ]xsinixcos)xexp(Bxsinixcos)xexp(C

xsinixcos)xexp(Bxsinixcos)xexp(A)x(Xγ+γβ−+γ−γβ++γ−γβ−+γ+γβ=

oder nach Zusammenfassung

( ) ( )( ) ( ) xsin)xexp(DBixcos)xexp(DB

xsin)xexp(CAixcos)xexp(CA)x(Xγβ−−−γβ−+++γβ−+γβ+=

sowie mit neuen Konstanten (A und C sowie B und D müssen konjugiert komplex sein) [ ] [ ]xsinCxcosC)xexp(xsinCxcosC)xexp()x(X 4321 γ+γβ−+γ+γβ=

Damit lautet die vollständige Lösung in Produktform

[ ]( )[ ]( )ysinCycosCxsinCxcosC)xexp(

ysinCycosCxsinCxcosC)xexp()y,x(w

6543

6521

α+αγ+γβ−++α+αγ+γβ=

Gl. 4-20

Hinweis: In Gl. 4-20 können x und y vertauscht werden. Für den Sonderfall 0=α verbleibt von Gl. 4-13 0Y =′′ mit der Lösung

yCC)y(Y 65 += Gl. 4-21

und Gl. 4-15 reduziert sich auf

0XX 4 =κ+′′′′ Gl. 4-22

mit der Lösung


[ ]( )[ ]( )yCCxsinCxcosC)xexp(

yCCxsinCxcosC)xexp()y,x(w

6543

6521

+δ+δδ−+++δ+δδ=

( κ=δ 221 ) Gl. 4-23

4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten Die Differenzialgleichung der elastisch gebetteten Platte in Zylinderkoordinaten lautet

N),r(p),r(w),r(w 4 ϕ

=ϕκ+ϕΔΔ Gl. 4-24

Bei fehlender flächenhaft verteilter Belastung p(r,ϕ) geht Gl. 4-5 über in die homogene Glei-chung

0),r(w),r(w 4 =ϕκ+ϕΔΔ Gl. 4-25

die sich in folgenden Formen schreiben lässt

[ ] [ ] [ ] [ ] 0),r(w)i()i(

0),r(w)i()i(22

22

=ϕκ−Δκ+Δ

=ϕκ+Δκ−Δ Gl. 4-26

was durch ausdifferenzieren leicht bestätigt wird. Diese Gleichungen werden sicherlich dann erfüllt, wenn im ersten bzw. zweiten Fall

0),r(w])i([ 12 =ϕκ+Δ bzw. 0),r(w])i([ 2

2 =ϕκ−Δ Gl. 4-27

gefordert wird. Wir beschaffen uns zunächst eine Lösung von

0),r(w])i([ 12 =ϕκ+Δ Gl. 4-28

Der Produktansatz

)()r(R),r(w 11 ϕΦ=ϕ Gl. 4-29

liefert unter Beachtung von 2

2

22

2

r1

rr1

r ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ nach Einsetzen in Gl. 4-28

4.2 Die elastisch gebettete Platte in Zylinderkoordinaten 53

( ) 0RiRr1R

r1R 1

2

1211 =Φκ+Φ′′+Φ′+Φ′′ Gl. 4-30

wobei die Striche die Ableitungen nach den jeweiligen Argumenten bedeuten. Nach Umsor-tierung erhalten wir

( )ΦΦ′′

−=κ+′

+′′ 2

1

1

1

12

irRRr

RRr Gl. 4-31

Da die linke Seite eine reine Funktion von r und die rechte eine reine Funktion von ϕ ist, kön-nen nach der Schlussweise von Daniel Bernoulli beide Seiten nur gleich sein, wenn sie ein und derselben Konstanten (hier p2) entsprechen1. Damit erhalten wir

2p=ΦΦ′′

− Gl. 4-32

bzw. mit Gl. 4-31

( ) 0RpirRrRr 122

112 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −κ+′+′′ Gl. 4-33

Mit der neuen Variablen

irz κ= i

zrκ

=→ i

dzdrκ

=→ Gl. 4-34

wird Gl. 4-33

0)z(R~)pz()z(R~z)z(R~z 122

112 =−++ &&& Gl. 4-35

In der obigen Gleichung bezeichnet der Punkt die Ableitung nach z. Diese lineare gewöhnli-che Differenzialgleichung zweiter Ordnung heißt Besselsche2 Differenzialgleichung. Durch

den Potenzreihenansatz ∑∞

=

=0k

kk1 zc)z(R~ erhalten wir aus Gl. 4-35 die Lösung

k2p

0k

k

p1 2z

)1kp(!k)1()z(J)z(R~

+∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ−

== ∑ Gl. 4-36

1 Mit 2p/ −=ΦΦ ′′− hätten wir in ϕ - Richtung exponentiell ansteigende Funktionen erhalten, was in unseren Anwendungen keinen Sinn macht. 2 Friedrich Wilhelm Bessel, deutsch. Astronom, Mathematiker und Geodät, 1784-1846


In Gl. 4-36 bezeichnet )z(Jp die Besselsche Funktion erster Gattung p-ter Ordnung. Es ist

ersichtlich, dass die Funktion Jp(z) für reelle p und reelle z = x ebenfalls reelle Werte an-nimmt. Man bezeichnet eine Funktion, die Lösung der Besselschen Differenzialgleichung ist, allgemein als Zylinderfunktion Zp(z) der Ordnung p.

x

Abb. 4-2 Gammafunktion Γ(x)

Im Nenner von Gl. 4-36 steht die Gamma-funktion, für die folgende Rekursionsfor-meln gelten

!n)1n()x(x)1x(

=+ΓΓ=+Γ

Einige Werte der Gammafunktion:

±∞=Γ )0( 1)1( =Γ ; 1)2( =Γ ; 2)3( =Γ

π−=−Γ 2)2/1( ; π=Γ )2/1(

π=−Γ34)2/3( ; π=Γ

21)2/3(

Neben Jp(z) ist auch J-p(z) eine Lösung von Gl. 4-35, so dass mit beliebigen Konstanten C1 und C2

)z(JC)z(JC)z(R~ p2p11 −+= Gl. 4-37

die vollständige Lösung von Gl. 4-35 darstellt. Die Wronskische1 Determinante des Funda-mentalsystems

zpsin2

JJJJ

)J,J(Wpp

pppp

ππ

−=′′

=−

−−

ist für nicht ganzzahlige p verschieden von Null. Im Falle ganzzahliger p = n (n ∈ Z) ist da-gegen

)z(J)1()z(J nn

n −=− Gl. 4-38

womit diese beiden Lösungen linear abhängig sind, und die Wronskische Determinante ver-schwindet. Die allgemeine Lösung ist dann

)z(YC)z(JC)z(R~ p2p11 += Gl. 4-39

1 nach Josef Maria Hoene-Wronski, frz. Philosoph und Mathematiker, 1778-1853


Die Funktion

π−π

= −

psin)z(J)z(Jpcos

)z(Y ppp Gl. 4-40

wird Besselsche Funktion zweiter Gattung p-ter Ordnung, bzw. Weberfunktion1 oder auch Neumannfunktion2 genannt. Die Wronskische Determinante dieses Fundamentalsystems ist

z2

YJYJ

)Y,J(Wpp

pppp π

=′′

=

Ist p eine ganze Zahl, dann scheitert zunächst mit 00)z(Yn = die Verwendung von Gl. 4-40.

Wir ermitteln dann den Grenzwert np → nach der Regel von de L’Hospital3

np

pnpn p

)z(J)1(

p)z(J1)z(Y

=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂−−

∂∂

π= Gl. 4-41

Mit Gl. 4-39 liegt dann die allgemeine Lösung von Gl. 4-33 vor, wobei im Falle ganzzahliger p

pY durch den Grenzwert Gl. 4-41 zu ersetzen ist. Für nichtnegative Werte p = n ergibt sich

übrigens nach Gl. 4-36 mit )!kn()1kn( +=++Γ die Entwicklung

k2n

0k

k

n 2z

)!kn(!k)1()z(J

+∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=∑ Gl. 4-42

In den folgenden Abbildungen sind einige Bessel- und Weberfunktionen für positive ganzzah-lige Werte von p und reelle x aufgezeichnet. Beide Funktionen zeigen ein gedämpftes oszillie-

rendes Verhalten. Ihre Amplituden fallen mit x/1 . Entwickeln wir die Funktion Y0(x) in eine Reihe um den Nullpunkt, dann kommt mit der Eulerschen Konstanten C = 0,5772157….

)x(O)C2lnx(ln2)x(Y 20 ++−

π=

Die Funktionen Yn(x) gehen bei Annäherung an den Punkt x = 0 gegen ∞− (s.h. Abb. 4-4).

1 Wilhelm Eduard Weber, deutsch. Physiker, 1804-1891 2 Carl Gottfried Neumann, deutsch. Mathematiker, 1832-1925 3 Die Regel ist benannt nach Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital (1661-1704), der sie allerdings nicht selbst entdeckte, sondern aus einem Kurs von Johann Bernoulli übernahm, jenem abkaufte und 1696 in seinem Buch Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung, veröffentlichte.


x

J0

J1

J2

x

Y0

Y1

Y2

Abb. 4-3 Die Besselfunktionen J0, J1, J3 Abb. 4-4 Die Weberfunktionen Y0, Y1, Y2

Die Lösung für w2(r,ϕ) beschaffen wir uns aus

0),r(w])i([ 22 =ϕκ−Δ Gl. 4-43

Der Produktansatz und die Variablensubstitution Gl. 4-34 liefern in ϕ-Richtung wieder Gl. 4-32 sowie

0R~)pz(R~zR~z 222

222 =+−+ &&& Gl. 4-44

Bis auf das Vorzeichen bei z2 ist Gl. 4-44 identisch mit Gl. 4-35. Wir haben in Gl. 4-35 deshalb lediglich z durch iz zu ersetzen. Entsprechend Gl. 4-39 ist dann die allgemeine Lösung von Gl. 4-44

)iz(YC)iz(JC)z(R~ p4p32 += Gl. 4-45

Mit der Entwicklung nach Gl. 4-36 erhalten wir

)z(Ii2z

)1kp(!k1i

2iz

)1kp(!k)1()iz(J p

p

)z(I

k2p

0k

pk2p

0k

k

p

p

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ−

=+∞

=

+∞

=∑∑

4444 34444 21

Gl. 4-46

Die Funktion


k2p

0kp

pp 2

z)1kp(!k

1)iz(Ji)z(I+∞

=

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ== ∑ Gl. 4-47

heißt modifizierte Besselfunktion erster Gattung p-ter Ordnung. Entsprechend erhalten wir

)z(Ki2)z(Ii)iz(Y pp

p)p1(

p−+

π−= ( 2/zarg π≤<π− ) Gl. 4-48

In Gl. 4-48 liegt mit der modifizierten Besselfunktion zweiter Gattung p-ter Ordnung

π−π

= −

psin)z(I)z(I

2)z(K pp

p Gl. 4-49

die auch MacDonaldsche Funktion genannt wird, eine weitere linear unabhängige Funktion vor, so dass mit neuen Konstanten auch

)z(KC)z(IC)z(R~ p2p12 += Gl. 4-50

die allgemeine Lösung von Gl. 4-44 darstellt. Die Wronskische Determinante dieses Funda-mentalsystems ist

z1

KIKI

)K,I(Wpp

pppp −=

′′=

Für nichtnegative ganzzahlige p = n ergibt sich nach Gl. 4-47 die Entwicklung

k2p

0kn

nn 2

z)!kn(!k

1)iz(Ji)z(I+∞

=

− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+== ∑ Gl. 4-51

Ist p eine ganze Zahl, dann scheitert wegen 00)z(Kn = zunächst die Verwendung von Gl.

4-49. Die Berechnung des Grenzwertes np → nach der Regel von de L’Hospital liefert hier

np

ppn

n p)z(I

p)z(I

2)1()z(K

=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂−

∂∂−

= Gl. 4-52

Damit ist Gl. 4-50 die allgemeine Lösung der Gl. 4-44, wenn wir im Falle ganzzahliger p = n auf Gl. 4-52 zurückgreifen. In den folgenden Abbildungen sind einige modifizierte Besselfunktio-


nen In und Kn mit positiven ganzzahligen p = n und reellen x dargestellt. Entwickeln wir die Funktion K0(x) in eine Reihe um den Nullpunkt, dann kommt

)x(OC2lnxln)x(K 20 +−+−=

Die Funktionen In(x) und Kn(x) haben kein oszillierendes Verhalten. Beispielsweise wächst die Funktion I0 monoton von 1 bis ∞+ wie eine Exponentialfunktion und die Funktion K0(x) fällt von ∞+ bis 0.

I0 I1I2

x x

K0

K1 K2

Abb. 4-5 Modifizierte Besselfunktionen I0, I1, I2 Abb. 4-6 Modifizierte Besselfunktionen K0, K1 K2

Bezeichnen wir die Funktionen J, I, Y, K allgemein mit Z, dann genügen diese den folgenden Rekursionsformeln

)z(Zzp)z(Z)z(Z

dzd);z(Z

zp)z(Z)z(Z

dzd

)z(Zdzd2)z(Z)z(Z);z(Z

zp2)z(Z)z(Z

p1ppp1pp

p1p1pp1p1p

+−=−=

=−=+

+−

+−+−

Gl. 4-53

Wir benötigen noch die Lösung inϕ -Richtung. Aus Gl. 4-32 erhalten wir

ϕ+ϕ=ϕΦ psinApcosA)( 21 Gl. 4-54

Über den Separationsparameter p kann noch verfügt werden. Für p = 0 folgt aus Gl. 4-32

ϕ+=ϕΦ 21 AA)( Gl. 4-55

Soll )2,r(w),r(w π+ϕ=ϕ erfüllt sein, dann muss p ganzzahlig sein, also p = n. Die Gesamt-

lösung des homogenen Problems Gl. 4-25 ist dann in jedem Fall )()r(R),r(w ϕΦ=ϕ mit


)iir(YC)iir(JC)ir(YC)ir(JC)r(R p4p3p2p1 κ+κ+κ+κ= Gl. 4-56

4.2.1 Die Kelvin-Funktionen Für spezielle Argumente der modifizierten Besselfunktionen entstehen die Kelvin- oder auch Thomsonfunktionen1. Sie sind wie folgt definiert:

)ix(Ki)x(keii)x(ker

)iix(Ii)ix(Ii)ix(Ji)iix(J)x(beii)x(ber

pp

pp

pp3

pp

pp2

ppp

−=+

−−==−==+ Gl. 4-57

ber(x)bei(x)

x

ker(x)kei(x)

x

Abb. 4-7 Die Funktionen ber(x) und bei(x)

Abb. 4-8 Die Funktionen ker(x) und kei(x) Setzen wir zur Abkürzung rx κ= , dann erhalten wir unter Beachtung von Gl. 4-48 sowie

iii −= die folgenden Zerlegungen:

[ ])x(beii)x(beri)ix(J)ir(J ppp2

pp −==κ

[ ] [ ])x(keii)x(keri2)x(beii)x(beri

)ix(Ki2)ix(Ii)ixi(Y)ix(Y)ir(Y

ppp2

ppp21

pp

p)p1(

ppp

−π

−−=

−π

−−=−==κ

−+

−+

)x(beii)x(ber)iix(J)iir(J pppp +==κ

1 William Thomson, seit 1892 Lord Kelvin of Largs, 1824-1907


[ ] [ ])x(keii)x(ker2)x(beii)x(beri

)ix(Ki2)ix(Ii)iix(Y)iir(Y

pppp

pp

p)p1(

pp

+π

−+=

π−==κ −+

Die Kelvin-Funktionen sind für positive p und reelle x alle reellwertig. Im Fall p = 0 wird der Index nicht geschrieben, d.h. ber0(x) = ber(x) usw. Unter Verwendung neuer Integrationskonstanten geht Gl. 4-56 über in

)r(keiC)r(kerC)r(beiC)r(berC)r(R p4p3p2p1 κ+κ+κ+κ= Gl. 4-58

und die vollständige Lösung lautet dann

[ ][ ]ϕ+ϕκ+κ+κ+κ=ϕ psinApcosA)r(keiC)r(kerC)r(beiC)r(berC),r(w 21p4p3p2p1 Gl. 4-59

4.2.2 Rotationssymmetrie Im Falle der Rotationssymmetrie verschwinden alle Änderungen in ϕ-Richtung. Dieser Fall folgt mit p = 0 unmittelbar aus Gl. 4-55, wenn wir dort A2 = 0 setzen. Die Gesamtlösung ist dann

)r(keiC)rker(C)r(beiC)r(berC)r(w 4321 κ+κ+κ+κ= Gl. 4-60

Beispiel 4-1

p0 p0

r

ab

kk

Abb. 4-9 Elastisch gebettete Kreisringplatte

Für die elastisch gebettete Kreisringplatte nach Abb. 4-9 (Innenradius b, Außenradius a) der Dicke h sind sämtliche Zustandsgrößen zu ermitteln. Die innen eingespannte und außen frei gelagerte Platte wird durch eine konstante Flächenlast p = p0 belastet.

Belastung: p0 = 20 kN/m2 Geometrie: m2,0h;m0,1b;m0,5a ===

Beton C25/30: 27 m/kN1005,3E ⋅= ; 2,0=ν ; kNm56,21180)1(12

EhN 2

3

=ν−

=

Bettung: k = 4000 kN/m3; 14 m65922,0N/k −==κ ; 2961,3a =κ ;

Wir benötigen noch ein Partikularintegral der inhomogenen Differenzialgleichung


Npww

r1w

r1w

r2w 0

p4

p3p2pp =κ+′+′′−′′′+′′′′

Der Ansatz Kwp = = konst. liefert die Lösung N

pw 40

p κ= und damit die vollständige Lösung

[ ]1)r(keiC)rker(C)r(beiC)r(berCN

p)r(w 432140 +κ+κ+κ+κ

κ= Gl. 4-61

Ist w bekannt, dann ergibt sich der Bodendruck pB als Reaktionskraft auf die Platte zu

[ ]1)r(keiC)rker(C)r(beiC)r(berCp)r(wk)r(p 43210B +κ+κ+κ+κ== Gl. 4-62

Für die Momente gilt: 0m;wwr1Nm;w

r1wNm rrr =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′ν+′−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′ν+′′−= ϕϕϕ

und für die Querkräfte: 0q;wr1w

r1wNq 2r =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−′′+′′′−= ϕ

Wegen 0mr =ϕ entspricht die Reaktionskraft der am Rand vorhandenen Querkraft qr. Die vier freien Konstanten werden aus den Randbedingungen ( a/b;a/r =β=ρ )

0)1(q;0)1(m;0)(w;0)(w rrr ==ρ==ρ=β=ρ′=β=ρ Gl. 4-63

ermittelt. Zur Berechnung von rrr qundm,w′ benötigen wir Ableitungen des Verschiebungs-

feldes Gl. 4-61. Diese umfangreichen Rechnungen wurden mit einem Computerprogramm auf einem Digitalrechner durchgeführt. Es ergeben sich die folgenden Konstanten:

015394,2C;566323,0C;048171,0C;109301,0C 4321 ===−=

Die Zustandsgrößen können den folgenden Grafiken entnommen werden.

a/r=ρ0,2

w

0,55

Abb. 4-10 Verschiebung w [cm]

a/r=ρ

pB

Abb. 4-11 Bodendruck pB [kN/m2]


mrrmϕϕ

a/r=ρ

-5,39

10,71

75,6

0,2

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

5

Abb. 4-12 Schnittmomente mrr u. mϕϕ [kNm/m]

83,90

a/r=ρ

0,2

qr

Abb. 4-13 Querkraft qr [kN/m]

Beispiel 4-2

k

p0

ra a

Abb. 4-14 Elastisch gebettete Kreisringplatte

Für die elastisch gebettete Kreisplatte nach Abb. 4-14 (Radius a, Dicke h) sind sämtliche Zustandsgrößen zu ermitteln. Die Platte ist am Außenrand frei drehbar gelagert und durch eine konstante Flächenlast p = p0 be-lastet.

Die Systemwerte entnehmen wir Beispiel 4-1. Ein Blick auf Abb. 4-8 zeigt, dass die Funktio-nen ker und kei für 0r → gegen Unendlich gehen. Wir streichen deshalb diese Anteile aus der allgemeinen Lösung und es verbleibt

[ ]1)r(beiC)r(berCN

p)r(w 2140 +κ+κ

κ= Gl. 4-64

Die beiden noch freien Konstanten werden aus den Randbedingungen bei r = a bestimmt. Dort müssen die Durchbiegung w und das Biegemoment mrr verschwinden. Die Berechnung der Konstanten ergibt: 388066,0C;210517,0C 21 −== . Die Zustandsgrößen können den fol-

gen Grafiken entnommen werden.


a/r=ρ

0,61

w

Abb. 4-15 Verschiebung w [cm]

a/r=ρ

pB

Abb. 4-16 Bodendruck pB [kN/m2]

mrrmϕϕ

a/r=ρ

9,14

13,10

10,71

14,40

Abb. 4-17 Schnittmomente mrr u. mϕϕ [kNm/m]

a/r=ρ

-19,43

qr

Abb. 4-18 Querkraft qr [kN/m]

Die maximale Durchbiegung ergibt sich an der Stelle r = 0 zu

[ ]1CN

p)0r(w 140 +

κ== Gl. 4-65

5 Lösungsmethoden der Plattendiffe-renzialgleichung

5.1 Allgemeines

Die analytische Lösung der linearen Plattendifferenzialgleichung


setzt sich additiv aus einer Lösung wh der homogenen Differenzialgleichung

0)y,x(w h =ΔΔ Gl. 5-2

und einer partikulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung

N)y,x(p)y,x(w p =ΔΔ Gl. 5-3

zusammen, so dass wir für die Gesamtlösung

)y,x(w)y,x(w)y,x(w ph += Gl. 5-4

erhalten. Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung enthält noch freie Konstanten, mit denen die Gesamtlösung an die Ränder angepasst werden kann. Zur Beschaffung analytischer Lösungen sowie auch von Näherungslösungen ist es von Vorteil, über eine Fülle von Lösun-gen der Gl. 5-2 und Gl. 5-3 zu verfügen. Analytische Methoden zur Lösung der Plattendifferenzialgleichung sind auf spezielle Platten-geometrien und Belastungen (Randlasten, Feldbelastungen) beschränkt. Für die in der Praxis vorkommenden Platten mit komplizierten Berandungen und Belastungen werden neben den

66 5 Lösungsmethoden der Plattendifferenzialgleichung

strengen Verfahren Näherungsmethoden und numerische Methoden eingesetzt (Abb. 5-1), von denen sich die FE-Methode als allgemein einsetzbare Methode durchgesetzt hat.

Lösung derPlattendgl.

Einfach- undDoppelreihen-

lösungen

Integraltrans-formationen

Funktionen-theoretischeMethoden

Analytische Methoden

Direkte Variations-methoden nach Ritz, Wlassow

Galerkin, Kantorowitsch

Näherungsmethoden

Finite-Elemente-Methode(FEM)

Finite-Differenzen-Methode(FDM)

Randelementmethode(BEM)

Numerische Methoden

Allgemeine Lösungsmethoden

Abb. 5-1 Allgemeine Lösungsmethoden

5.2 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialglei-chung in kartesischen Koordinaten

Im Folgenden werden einfache Integrale der homogenen Plattendifferenzialgleichung betrach-tet. Aufgrund der Homogenität der Differenzialgleichung können die Verformungen und die damit verbundenen Schnittlasten nur durch Randlasten erzeugt werden1. Jeder Lösung der Gleichung 0w =ΔΔ , d.h. jeder Bipotenzialfunktion, entspricht genau ein Deformations- und Schnittlastenzustand der Platte. Durch geschickte Auswahl und Kombina-tion von Bipotenzialfunktionen kann oft eine Lösung auch für schwierige Randbedingungen konstruiert werden, weshalb im Folgenden eine Liste von elementaren Lösungen bereitgestellt wird.

5.2.1 Potenzen in x und y Ist z.B. die Funktion w ist eine reine Funktion von x, also )x(ww = ,dann gilt: 0)x(w =′′′′

1 Singuläre Lösungen, die auch der homogenen Differenzialgleichung genügen, werden an dieser Stelle nicht betrachtet.

5.2 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten 67

und damit 3

32

210 xCxCxCC)x(w +++= Gl. 5-5

oder x und y vertauscht

33

2210 yCyCyCC)y(w +++= Gl. 5-6

5.2.2 Potenzialfunktionen Potenzialfunktionen sind Lösungen der Laplaceschen Differenzialgleichung 0)y,x( =ΔΦ .

Lösungen von 0)y,x( =ΔΦ genügen dann auch der homogenen Bipotenzialgleichung

0)y,x(w =ΔΔ , was sofort einleuchtet, wenn wir

Φ=Δ=ΔΦ=ΔΔ w0)w( Gl. 5-7

setzen. Potenzialfunktionen erhalten wir als Real- und Imaginärteil analytischer1 Funktionen

)y,x(iv)y,x(u)iyx(w)z(w +=+= . Analytische Funktion genügen den Cauchy-

Riemannschen2 Differenzialgleichungen

xv

yu,

yv

xu

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂ Gl. 5-8

aus denen sofort 0v,0u =Δ=Δ folgt.

n u(x,y) v(x,y) 0 1 0 1 x y 2 22 yx − xy2

3 23 xy3x − 32 yyx3 −

4 4224 yyx6x +− 33 xy4yx4 −

5 4235 xy5yx10x +− 5324 yyx10yx5 +−

Tabelle 5-1 Harmonische Polynome

1 Funktionen f(z), die in allen Punkten eines Gebietes differenzierbar sind, heißen analytisch. 2 Georg Friedrich Bernhard Riemann, Mathematiker, 1826-1866


Wählen wir z.B. die analytische Funktion nn )iyx(z)z(w +== , wobei n eine natürliche Zahl

ist, dann erhalten wir die harmonischen Polynome (Tabelle 5-1). Auch hier können wieder x und y vertauscht werden.

5.2.3 Potenzialfunktionen in Produktform

Ist )y(Y)x(X)y,x(w = , dann folgt aus 0)y,x(w =Δ 0)y(Y)x(X)y(Y)x(X =′′+′′→ oder

separiert:

)y(Y)y(Y

)x(X)x(X ′′

−=′′

Dieser auf Daniel Bernoulli1 zurückgehende Lösungsansatz ist auch als Produktansatz be-kannt. Da die linke Seite eine reine Funktion von x und die rechte Seite eine reine Funktion von y ist, können beide Seiten nur dann gleich sein, wenn sie ein und derselben Konstanten (hier -λ2) gleich sind.

Das erfordert: 2

)x(X)x(X

λ−=′′

oder 0)x(X)x(X 2 =λ+′′ .

Lösung: xsinCxcosC)x(X 21 λ+λ=

Weiterhin ist dann: 2

)y(Y)y(Y

λ=′′

oder 0)y(Y)y(Y 2 =λ−′′

Lösung: ysinhCycoshC)y(Y 43 λ+λ= .

Insgesamt erhalten wir

)ysinhCycoshC)(xsinCxcosC()y,x(w 4321 λ+λλ+λ= Gl. 5-9

sowie x und y vertauscht. Es ergeben sich folgende Teillösungen:

xsine)y,x(w y λ= λ , xcose y λλ , xsine y λλ− , xcose y λλ− Gl. 5-10

oder

xsinycosh)y,x(w λλ= , xcosycosh λλ , xsinysinh λλ , xcosysinh λλ Gl. 5-11

Sonderfall 0=λ : xCC)x(X 21 += , yCC)y(Y 43 +=

1 Daniel Bernoulli, schweizer. Mathematiker, Physiker und Mediziner niederländischer Herkunft, der die Grund-prinzipien der Hydrodynamik aufdeckte, 1700-1782

5.2 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten 69

)yCC)(xCC()y,x(w 4321 ++= Gl. 5-12

mit den Teillösungen

xy,y,x,1)y,x(w = Gl. 5-13

5.2.4 Logarithmische Funktionen

)yxln()y,x(w 22 += , )yxln(x 22 + , )yxln(y 22 + , )yxln()yx( 2222 ++ ,

(ax + by) ln(x2+y2), ]y)axln[( 22 ++ , ]y)axln[()ax( 22 +++

Gl. 5-14

(a, b beliebige Konstante) sowie x und y vertauscht.

5.2.5 Bipotenzialfunktionen

Ist u(x,y) eine Potenzialfunktion, dann sind auch: yux

xuy,

yuy

xux,

yu,

xu

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂ wieder

Potenzialfunktionen. Sind u(x,y) und v(x,y) Potenzialfunktionen, dann sind

)y,x(v)yx()y,x(u),y,x(xv)y,x(u),y,x(yv)y,x(u),y,x(xv)y,x(u

22 ++

+++

Bipotenzialfunktionen. Setzen wir den Polynomansatz

∑∑ ∑∑==m n m n

mnnm

mn )y,x(Pyxa)y,x(P

in die Bipotenzialgleichung ein, dann lassen sich die Koeffizienten amn so bestimmen, dass

0)y,x(P =ΔΔ

erfüllt ist. Die so gewonnen Polynome Pmn heißen biharmonische Polynome.


0nm =+ 1nm =+ 2nm =+ 3nm =+ 4nm =+

1 x 2x 3x 224 yx3x −

y 2y 2xy yx 3

xy yx 2 3xy

3y 224 yx3y −

Tabelle 5-2 Biharmonische Polynome

In Tabelle 5-2 können wieder x und y vertauscht werden. Die in kartesischen Koordinaten an-gegebenen biharmonischen Polynome können durch Koordinatentransformation auf Polar-koordianten umgeschrieben werden.

5.2.6 Direkte Produktlösungen von ΔΔw(x,y) = 0 Soll w in der Form )y(Y)x(X)y,x(w = erscheinen, dann liefert die Bipotenzialgleichung

0Y

YYY

XX2

XX,0YXYX2YX =

′′′′+′′′′

+′′′′

→=′′′′+′′′′+′′′′ .

Die Separierung gelingt mit: 2

YY

λ−=′′

, YYY 42 λ=′′λ−=′′′′

Lösung: ysinCycosC)y(Y 65 λ+λ=

Es verbleibt noch: 0XX2

XX 42 =λ+

′′λ−

′′′′ oder 0XX2X 42 =λ+′′λ−′′′′

Der Lösungsansatz xe)x(X α= liefert 0e)2( x4224 =λ+αλ−α α

mit der charakteristischen Gleichung: 0)( 222 =λ−α

Lösung: λ−=αλ−=αλ=αλ=α 4321 ;;; . Daraus folgt unter Beachtung der Doppelwurzeln

x

4x

3x

2x

1 xeCxeCeCeC)x(X λ−λλ−λ +++= Gl. 5-15

oder

xsinhxCxcoshxCxsinhCxcoshC)x(X 4321 λ+λ+λ+λ= Gl. 5-16

damit ist

)ysinCycosC)(xeCxeCeCeC()y,x(w 65x

4x

3x

2x

1 λ+λ+++= λ−λλ−λ Gl. 5-17

5.3 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialgleichung in Zylinderkoordinaten 71

oder

)ysinCycosC)(xsinhxCxcoshxCxsinhCxcoshC()y,x(w 654321 λ+λλ+λ+λ+λ= Gl. 5-18

Sonderfall 0=λ

)yCC)(xCxCxCC()y,x(w 653

42

321 ++++= Gl. 5-19

Ist C6 = 0, dann hängt die Lösung nicht mehr von y ab und es verbleibt

34

2321 xCxCxCC)x(w +++= Gl. 5-20

5.3 Lösungen der homogenen Plattendifferenzialglei-chung in Zylinderkoordinaten

Sämtliche in kartesischen Koordinaten hergeleiteten Teillösungen können unter Beachtung von ϕ= cosrx und ϕ= sinry auf Polarkoordinaten umgeschrieben werden. Zum Beispiel

folgt aus: ϕ=ϕϕ=ϕϕ=ϕ→= 2sin2rcossinrsinrcosr),r(wxy)y,x(w

22 .

5.3.1 Rotationssymmetrie Wegen )r(ww = und 0=

ϕ∂∂ verbleibt mit )(

drd ′= die homogene Bipotenzialgleichung

0wr1w

r1w

r2w)r(w 32 =′+′′−′′′+′′′′=ΔΔ Gl. 5-21

Multiplikation mit r4 liefert die Eulersche Differenzialgleichung 4. Ordnung

0wrwrwr2wr 234 =′+′′−′′′+′′′′ Gl. 5-22


Lösungsansatz: α= r)r(w . Unter Beachtung von 4321 r)3)(2)(1(w,r)2)(1(w,r)1(w,rw −α−α−α−α −α−α−αα=′′′′−α−αα=′′′−αα=′′α=′ ,

erhalten wir:

0r])1()2)(1(2)3)(2)(1([ =α+−αα−−α−αα+−α−α−αα α Gl. 5-23

und daraus die charakteristische Gleichung: 0)2( 22 =−αα mit den Lösungen:

2;0 4321 =α=α=α=α .

Damit erhalten wir bei Beachtung der Doppelwurzeln für die Verschiebung

rlnrCrlnCrCC)r(w 243

221 +++= Gl. 5-24

5.3.2 Der Fall w = w(ϕ)

Im Falle )(ww ϕ= ist 0r=

∂∂ und mit )(

dd ′=ϕ

verbleibt: 0)w4w(r14 =′′+′′′′ oder

0w4w =′′+′′′′ Gl. 5-25

Lösung:

ϕ+ϕ+ϕ+=ϕ 2cosC2sinCCC)(w 4321 Gl. 5-26

5.3.3 Potenzialfunktionen Wir gehen aus vom Produktansatz )()r(R),r(w ϕΦ=ϕ . Dann ist

0Rr1R

r1Rw 2 =Φ ′′+Φ′+Φ′′=Δ oder 0

r1

RR

r1

RR

2 =ΦΦ ′′

+′

+′′

bzw. ΦΦ ′′

−=′

+′′

RRr

RRr 2

Separierung liefert: 2λ−=ΦΦ ′′

mit der Lösung:

λϕ+λϕ=ϕΦ sinCcosC)( 43 Gl. 5-27


Es verbleibt noch: 0RRrRr 22 =λ−′+′′ . Das ist eine Eulersche Differenzialgleichung 2. Ord-

nung. Mit dem Lösungsansatz: α= r)r(R und 21 r)1(R,rR −α−α −αα=′′α=′ erhalten wir

0r])1([ 2 =λ−α+−αα α und daraus die charakteristische Gleichung 022 =λ−α mit den

Lösungen: λ−=αλ=α 21 ; . Dann ist λ−λ += rCrC)r(R 21 und wir erhalten insgesamt

)sinCcosC)(rCrC(),r(w 4321 λϕ+λϕ+=ϕ λ−λ Gl. 5-28

Teillösungen:

λϕ= λ cosrw , λϕλ sinr , λϕλ− cosr , λϕλ− sinr Gl. 5-29

Sonderfall 0=λ ( )0=Φ ′′

)CC)(CrlnC(),r(w 4321 +ϕ+=ϕ Gl. 5-30

Teillösungen

rln,,rln,1w ϕϕ= Gl. 5-31

5.3.4 Rotationssymmetrische Lösung von ΔΔw

Mit )r(ww = wird die Bipotenzialgleichung

0drdwr

drd

r1

drdr

drd

r1)r(w =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ΔΔ Gl. 5-32

Diese Gleichung kann direkt integriert werden1

1 rlndr

r1);1rln2(r

41rlnr 2 =−= ∫∫


rlnrCrlnCrCC

DrlnCr)8A

4B

8A(rlnr

4Aw

rCr)

2B

4A(rlnr

2A

drdw

Cr2B)

21r(lnr

2A

drdwr

BrrlnArdrdwr

drd

BrlnAdrdwr

drd

r1

rA

drdwr

drd

r1

drd

Adrdwr

drd

r1

drdr

0drdwr

drd

r1

drdr

drd

243

221

22

22

+++=

++−+−+=

++−+=

++−=

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Die Lösung ist mit Gl. 5-24 bereits bekannt.

5.3.5 Direkte Produktlösung Ist )()r(R),r(w ϕΦ=ϕ , dann liefert der Bipotenzialoperator

0Rr1R

r4R

r2R

r2R

r1R

r1R

r2R 443232 =Φ ′′′′+Φ ′′+Φ ′′′−Φ ′′′′+Φ′+Φ′′−Φ′′′+Φ′′′′

oder umgeformt

04)RRr2

RRr2(

RRr

RRr

RRr2

RRr 2234 =

ΦΦ ′′′′

+ΦΦ ′′

+ΦΦ ′′′

−′′

+′

+′′

−′′′

+′′′′

Dies Gleichung separieren wir mit 2λ−=ΦΦ ′′

, Φλ=Φ ′′′′ 4 . Dann folgt

04)RRr2

RRr2(

RRr

RRr

RRr2

RRr 4222234 =λ+λ−λ

′−′′

−′

+′′

−′′′

+′′′′

und umgeformt: 0R)4(R)21(rR)21(rRr2Rr 2222234 =−λλ+′λ++′′λ+−′′′+′′′′

Das ist eine Eulersche Differenzialgleichung 4. Ordnung, die mit dem Ansatz α= r)r(R ge-

löst wird. Es ergibt sich

λ−λ+λ−λ +++= 24

2321 rCrCrCrC)r(R Gl. 5-33


Insgesamt erhalten wir dann

)sinCcosC)(rCrCrCrC(),r(w 652

42

321 λϕ+λϕ+++=ϕ λ−λ+λ−λ Gl. 5-34

Hinweis: Soll )2,r(w),r(w π+ϕ=ϕ bestehen, dann muss λ ganzzahlig sein )n( =λ

Sonderfall: 0=λ

)CC)(rlnrCrlnCrCC(),r(w 652

432

21 ϕ++++=ϕ Gl. 5-35

Für C6 = 0 hängt die Lösung nur noch von r ab. Es gilt dann wieder


221 +++= Gl. 5-36

5.3.6 Lösungen der Form w(r,ϕ) = f(r) cosϕ

0cos)fr1f

r4f

r2f

r2f

r1f

r1f

r2f(

wr1w

r4

rw

r2

rw

r2

rw

r1

rw

r1

rw

r2

rw),r(w

443232

4

4

42

2

42

3

322

4

232

2

23

3

4

4

=ϕ+−′+′′−′+′′−′′′+′′′′=

ϕ∂∂

+ϕ∂

∂+

ϕ∂∂∂

−ϕ∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=ϕΔΔ

Daraus folgt die Eulersche Differenzialgleichung 4. Ordnung

0fr3f

r3f

r3f

r2f 432 =−′+′′−′′′+′′′′

Der Ansatz: α= r)r(f liefert die Lösung

rlnrCrCr1CrC)r(f 4

3321 +++= Gl. 5-37

Insgesamt ist dann

ϕ+++=ϕ cos)rlnrCrCr1CrC(),r(w 4

3321 Gl. 5-38

Teillösungen

ϕϕϕϕ= cosrlnr,cosr,cosr1,cosrw 3 Gl. 5-39


5.3.7 Lösungen der Form w(r,ϕ) = f(r) cos2ϕ Mit ϕ= 2cos)r(f)r(w erhalten wir

02cos)fr9f

r9f

r2f(

wr1w

r4

rw

r2

rw

r2

rw

r1

rw

r1

rw

r2

rw),r(w

32

4

4

42

2

42

3

322

4

232

2

23

3

4

4

=ϕ′+′′−′′′+′′′′=

ϕ∂∂

+ϕ∂

∂+

ϕ∂∂∂

−ϕ∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

=ϕΔΔ

und damit die Lösung

4423

221 rC

r1CrCC)r(f +++= Gl. 5-40

Insgesamt ist dann

ϕ+++=ϕ 2cos)rCr1CrCC(),r(w 4

4232

21 Gl. 5-41

Teillösungen

ϕϕϕϕ= 2cosr,2cosr1,2cosr,2cosw 42

2 Gl. 5-42

5.4 Untersuchung einfacher Biegeflächen Im Folgenden werden einfache Biegeflächen hinsichtlich ihres Verformungs- und Schnittlas-tenzustandes untersucht.

5.4.1 Lineare Verschiebungen

Die Lösungen .konstw = , Cx)x(w = , Cy)y(w = (C: beliebige Konstante) liefern keine

Krümmungen der Plattenmittelfläche, da die 2. Ableitungen verschwinden. Die Platte bleibt damit spannungslos. Diese Verschiebungen beschreiben Starrkörperverschiebungen.

5.4 Untersuchung einfacher Biegeflächen 77

5.4.2 Zylindrische Biegeflächen Verschiebungsfunktion, die die Polynome x2 oder y2 enthalten, führen auf zylindrische Biege-flächen, da entweder die Krümmung in x- oder y-Richtung verschwindet. So liefert z.B. die Biegefläche

2Cx)y,x(w = Gl. 5-43

Abb. 5-2 Biegefläche w(x,y) = x2

die Schnittlasten

( )

0)y,x(q)y,x(q

0yx

w1N)y,x(m)y,x(m

mNC2xwN)y,x(m

NC2xwN)y,x(m

yx

2

yxxy

xx2

2

yy

2

2

xx

==

=∂∂

∂ν−−==

ν−=ν=∂∂

ν=

−=∂∂

−=

Gl. 5-44

An den Rändern x = konst. müssen demnach Biegemomente NC2mxx −= und an den Rän-

dern y = konst. Biegemomente xxyy mm ν−= angreifen, um eine Biegefläche nach Gl. 5-43 zu

erhalten.


Abb. 5-3 Verformungs- u. Schnittlastenzustand einer Zylinderfläche w(x,y) = Cx2

5.4.3 Parabolische Biegeflächen

Die Biegefläche

222 Cr)yx(C)y,x(w =+= Gl. 5-45

Abb. 5-4 Biegefläche w(x,y) = x2 + y2 (Rotationsparaboloid)

entspricht einem Rotationsparaboloid. Es ergeben sich folgende Schnittlasten

0)y,x(q)y,x(q

0)y,x(m)y,x(m

mNC)1(2)y,x(mNC)1(2)y,x(m

yx

yxxy

xxyy

xx

==

==

=ν+−=ν+−=

Gl. 5-46

5.4 Untersuchung einfacher Biegeflächen 79

Die Platte wird durch eine konstante zweiachsige Biegung beansprucht. Drillmomente und Querkräfte treten nicht auf.

Abb. 5-5 Verformungs- u. Schnittlastenzustand einer parabolischen Biegefläche

5.4.4 Hyperbolische Biegeflächen Die Biegefläche

)yx(C)y,x(w 22 −= Gl. 5-47

ist ein hyperbolisches Paraboloid.

Abb. 5-6 Biegefläche w(x,y) = x2 - y2 (Hyperbolisches Paraboloid)

Es ergeben sich folgende Schnittlasten


0)y,x(q)y,x(q

0)y,x(m)y,x(m

)y,x(mNC)1(2)y,x(mNC)1(2)y,x(m

yx

yxxy

xxyy

xx

==

==

−=ν−=ν−−=

Gl. 5-48

Die Platte wird durch eine zweiachsige Biegung beansprucht. Drillmomente und Querkräfte treten nicht auf.

5.4.5 Reine Torsion Die Lösung

xyC)y,x(w = Gl. 5-49

entspricht einer Platte, die auf reine Torsion beansprucht wird.

Abb. 5-7 Biegefläche w(x,y) = xy

Von allen Schnittlasten verbleibt nämlich nur das Drillmoment

( ) ( )C1Nyx

w1N)y,x(m)y,x(m2

yxxy ν−−=∂∂

∂ν−−== Gl. 5-50

Werden am Rand einer Rechteckplatte die Drillmomente durch die statisch äquivalenten Kräf-tepaare ersetzt, dann verbleiben an den vier Ecken jeweils Einzelkräfte xym2A = . Zwischen

5.5 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten 81

den Ecken heben sich wegen der konstanten Drillmomente die Ersatzquerkräfte auf und die Randquerkräfte verschwinden.

Abb. 5-8 Reine Torsionsbeanspruchung, Eckenkräfte A = 2mxy

Wegen 0mm yyxx == treten die extremalen Biegemomente unter einem Winkel von

40

π=ϕ auf. Die Hauptbiegemomente sind xy, mm ±=ηηξξ .

5.5 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in kartesischen Koordinaten

Die Lösungen der homogenen Differenzialgleichung enthalten freie Konstanten, aber nicht die Belastung. Für die partikulären Lösungen gilt das Umgekehrte. Sie enthalten die Belas-tung aber keine Integrationskonstanten. Partikuläre Lösungen genügen der inhomogenen Dif-ferenzialgleichung


Sie liefern Randwerte, die i. Allg. nicht den vorgeschriebenen entsprechen, lösen also nicht das vollständige Randwertproblem. Die im Folgenden aufgelisteten Teillösungen enthalten die beliebigen Bezugslängen a und b, mit denen die normierten Koordinaten ax=ξ und

by=η gebildet werden. N bezeichnet weiterhin die Plattensteifigkeit.

5.5.1 Partikuläre Lösungen für Flächenlasten


5.5.1.1 Flächenlast p = p0

44

0p N

ap241)(w ξ=ξ

44

0p N

bp241)(w η=η

2222

0p N

bap81),(w ηξ=ηξ

)(N)ba(

bap241),(w 44

44

440

p η+ξ+

=ηξ

2224224

440

p )(N)b3ba2a3(

bap81),(w η+ξ

++=ηξ

2224224

440

p )1(N)b3ba2a3(

bap81),(w −η+ξ

++=ηξ

5.5.1.2 Flächenlast p(ξ) = p0 ξ

54

0p N

ap120

1)(w ξ=ξ

44

0p N

ap241),(w ξη=ηξ

234

0p N

ap241),(w ηξ=ηξ

5.5.1.3 Flächenlast p(x,y) = p0 η

54

0p N

bp120

1)(w η=η

44

0p N

bp241),(w ηξ=ηξ

234

0p N

bp241),(w ξη=ηξ

5.5.1.4 Flächenlast p(x,y) = p0(ξ + η)

)ba(Np

481),(w 54540

p η+ξ=ηξ

5.6 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in Polarkoordinaten 83

5.5.1.5 Flächenlast p(x,y) = p0 ξ η

3322

0p N

bap721)y,x(w ηξ=

5.5.1.6 Flächenlast p(x,y) = p0 sin(nπξ)

πξπ

= nsinNap

n1)y,x(w

40

44p

5.5.1.7 Flächenlast p(x,y) = p0 sin(nπξ) sin(kπη)

πηπξ+π

= ksinnsinN

bap

)kban

ab(

1)y,x(w22

0

2224p

5.6 Partikularlösungen der Plattendifferenzialgleichung in Polarkoordinaten

Mit einer beliebigen Bezugslänge a wird ρ=a/r gesetzt.

5.6.1 Flächenlast p(r,ϕ) = p0

44

0p N

ap641),r(w ρ=ϕ

5.6.2 Flächenlast p(r,ϕ) = p0 ρ

54

0p N

ap2251),r(w ρ=ϕ

5.6.3 Flächenlast p(r,ϕ) = p0 ρ2

64

0p N

ap5761),r(w ρ=ϕ

5.7 Die Fundamentallösung der klassischen Plattentheorie Im Fall der Rotationssymmetrie ist


rlnrCrCrlnCC)r(w 24

2321 +++= Gl. 5-52

5.7.1 Die singuläre Lösung Einzelkraft Durch spezielle Wahl der Konstanten in Gl. 5-52 lässt sich mit der Normierung ar=ρ die

Fundamentallösung der klassischen Plattentheorie

ρρπ

=ϕ lnN8

Fa),r(w 22

Gl. 5-53

(ρ ≠ 0) nachweisen, die auch als klassische Singularität bezeichnet wird.

Abb. 5-9 Singuläre Lösung Einzelkraft ( ρρ= lnw~ 2 )

Dabei bedeutet a eine beliebige Bezugslänge.

Abb. 5-10 Platte mit Einzelkraft im Ursprung

5.7 Die Fundamentallösung der klassischen Plattentheorie 85

Wir wollen zeigen, dass die Gl. 5-53 die Auslenkung eines Punktes P einer unendlich ausge-dehnten Platte infolge einer Einzelkraft F im Ursprung beschreibt. Sie erfüllt nämlich einer-seits wegen

22

1Na4Fw;1

Na4Fw);3ln2(

NF

81w);1ln2(

NFa

81w

ρπ−=′′′′

ρπ=′′′+ρ

π=′′+ρρ

π=′

die homogene Differenzialgleichung

[ ] 01ln23ln2421Na8Fw

r1w

r1w

r2ww 2232 =+ρ+−ρ−+−

ρπ=′+′′−′′′+′′′′=ΔΔ

andererseits ist mit der Querkraft rq

[ ]ρπ

−=+ρ+−ρ−−ρπ

=

′−′′+′′′−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

aF

211ln23ln221

aF

81

)wr1w

r1w(N

drdwr

drd

r1

drdNq 2r

Abb. 5-11 Kraftgleichgewicht

das Kraftgleichgewicht in z- Richtung

0d2FFdsqFF

2

0

L

0rz =ϕ

π−=+= ∫∑ ∫

π

erfüllt (q.e.d.). Die vollständige Lösung Einzelkraft lautet mit der beliebigen Bezugslänge a und a/r=ρ


[ ]

[ ]

0),r(q

1aF

21),r(q

0),r(m

31ln)1(28F),r(m

3ln)1(28F),r(m

lnN8

Fa),r(w

r

r

rr

22

=ϕρπ

−=ϕ

=ϕ

ν++ρν+π

−=ϕ

ν++ρν+π

−=ϕ

ρρπ

=ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

Wegen 0)2r(lim

r2r1

lim

r1

rlnlimrlnrlim2

0r30r

2

0r

2

0r=−=

−==

→−→→→ bleiben die Verschiebungen bei

Annäherung an den Punkt r = 0 endlich. Die Schnittlasten wachsen dagegen für 0r → über alle Grenzen. Der Punkt r = 0 gehört nicht zum Lösungsgebiet (punktierte Vollebene)

5.7.2 Die singuläre Lösung Einzelmoment M, Drehung um die y-Achse In der Kirchhoffschen Plattentheorie lässt sich die singuläre Lösung Einzelmoment durch ei-nen Grenzübergang in Gl. 5-53 ermitteln. Für ein Moment M mit Drehwirkung nach Abb. 5-12

Abb. 5-12 Einzelmoment M

erhalten wir a/r=ρ (a: beliebige Bezugslänge)

( ) ϕρ+ρπ

=ϕ cosln21N8

Ma),r(w ( )0≠ρ Gl. 5-54

5.7 Die Fundamentallösung der klassischen Plattentheorie 87

Abb. 5-13 Singuläre Lösung Einzelmoment [ ( ) ϕρ+ρ=ϕ cosln21),r(w~ ]

Abb. 5-14 Höhenliniendarstellung der singulären Lösung Einzelmoment [ ( ) ϕρ+ρ=ϕ cosln21),r(w~ ]


und damit die vollständige Lösung Einzelmoment

ϕρπ

=ϕ

ϕρπ

=ϕ

ϕρπ

ν−=ϕ

ϕρπ

ν+−=ϕ

ϕρπ

ν+−=ϕ

ϕρ+ρπ

=ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

sin1aM

21),r(q

cos1aM

21),r(q

sin1aM

41),r(m

cos1aM

41),r(m

cos1aM

41),r(m

cos)ln21(N

Ma81),r(w

22

22r

r

rr

Gl. 5-55

5.7.3 Die singuläre Lösung Einzelmoment M, Drehung um die x-Achse

Abb. 5-15 Einzelmoment M, Drehung um die x-Achse

Man erhält entsprechend mit a/r=ρ (a: beliebige Bezugslänge)

5.8 Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringplatten 89

ϕρπ

=ϕ

ϕρπ

−=ϕ

ϕρπ

ν−=ϕ

ϕρπ

ν+=ϕ

ϕρπ

ν+=ϕ

ϕρ+ρπ

−=ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

cos1aM

21),r(q

sin1aM

21),r(q

cos1aM

41),r(m

sin1aM

41),r(m

sin1aM

41),r(m

sin)ln21(N

Ma81),r(w

22

22r

r

rr

Gl. 5-56

5.8 Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringplatten

Im Fall rotationssymmetrischer Beanspruchung von kreis- und kreisringförmigen Platten ver-bleibt wegen w = w(r) und damit 0d/d =ϕ die gewöhnliche inhomogene Differenzialglei-

chung

N)r(pw

r1w

r1w

r2w)r(w 32 =′+′′−′′′+′′′′=ΔΔ Gl. 5-57

In Gl. 5-57 bezeichnet der Strich die Ableitung nach r. Die allgemeine Lösung der obigen Gleichung besteht aus der Lösung der homogenen und einer partikulären Lösung der inhomo-genen Differenzialgleichung, also

)r(w)r(w)r(w ph += Gl. 5-58

Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist bereits bekannt


221h +++= Gl. 5-59

Partikuläre Lösungen können durch direkte Integration gewonnen werden

( )∫ ∫ ∫⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= drdrdrdr)r(prr1r

r1

N1)r(w p Gl. 5-60


Die in Gl. 5-59 vorhandenen Konstanten gestatten die Anpassung der Gesamtlösung an die Randbedingungen. Mit der Biegefläche w = w(r) liegen auch die Schnittlasten fest. Sie erge-ben sich durch Differenziation des Verschiebungsfeldes. Für die Biegemomente gilt

0m

wwr1Nm

wr1wNm

r

rr

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′ν+′−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′ν+′′−=

ϕ

ϕϕ Gl. 5-61

und für die Querkräfte

0q

wr1w

r1wNq 2r

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−′′+′′′−=

ϕ

Gl. 5-62

Hinweis: Wegen 0mr =ϕ entspricht die Reaktionskraft in allen Fällen der am Rand vorhan-

denen Querkraft qr

rr q)ar(q == Gl. 5-63

Zur Ermittlung der Schnittlasten benötigen wir die Ableitungen der Verschiebungsfunktion w(r). Da die Lösung der homogenen Plattendifferenzialgleichung für alle rotationssymmetri-schen Plattenaufgaben identisch ist, konzentrieren wir uns zunächst auf die Ableitungen der Gl. 5-59. Die Ableitungen der partikulären Lösung beschaffen wir uns dann im konkreten Ein-zelfall. Mit der dimensionslosen Koordinate ρ und der zugeordneten Differenziationsregel

ar

=ρ ρ

=→dd

a1

drd Gl. 5-64

(a: beliebige Bezugslänge) ergeben sich die folgenden Ableitungen

5.8 Rotationssymmetrische Kreis- und Kreisringplatten 91

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

ρρ=′′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ρ+

ρ−=′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ρρ+

ρ+ρ=′

ρρ+ρ+ρ+=

4323h

43222h

432h

243

221h

CC11a2w

C)3ln2(C1C2a1w

C)1ln2(C1C2a1w

lnClnCCCw

Gl. 5-65

Die vollständige Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist dann

[ ]

[ ]

43h,r

43222h,

43222h,rr

243

221h

C1aN4q

C31ln)1(2C)1(1C)1(2aNm

C3ln)1(2C)1(1C)1(2aNm

lnClnCCCw

ρ−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ν++ρν++ν−ρ

+ν+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ν++ρν++ν−ρ

−ν+−=

ρρ+ρ+ρ+=

ϕϕ

Gl. 5-66

Damit für die Vollkreisplatte bei regulärer Belastung die Lösungen für die Verschiebung und die Schnittlasten im Punkt r = 0 regulär bleiben, müssen offensichtlich die Konstanten C3 und C4 zu Null gesetzt werden. Die obigen Gleichungen gehen dann über in

221h CC)r(w ρ+= Gl. 5-67

0q

mC)1(2aNm

C)1(2aNm

h,r

h,rr22h,

22h,rr

=

=ν+−=

ν+−=

ϕϕ Gl. 5-68

Im Folgenden werden einige ausgewählte Beispiele rotationssymmetrischer Plattenaufgaben behandelt. Sie sollen die Vorgehensweise bei der Lösung dieser speziellen Randwertprobleme verdeutlichen.


5.9 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast

Abb. 5-16 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast p0

Die partikuläre Lösung ist

44

0p N

ap641w ρ= Gl. 5-69

von der wir zur Ermittlung der Schnittlasten die Ableitungen bis zur 3. Ordnung benötigen. Es sind

ρ=′′′

ρ=′′

ρ=′

Nap

83w

Nap

163w

Nap

161w

0p

22

0p

33

0p

Gl. 5-70

Diesem partikulären Lösungsanteil der Verschiebung sind unter Berücksichtigung von Gl. 5-61 und Gl. 5-62 die Schnittlasten

ρ−=

ρν+−=

ρν+−=

ϕϕ

2ap

q

)31(16

apm

)3(16

apm

0p,r

22

0p,

22

0p,rr

Gl. 5-71

zugeordnet. Die Gesamtlösung der Zustandsgrößen schreiben wir dann in der Form

5.9 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast 93

ρ−=

ρν+−ν+−=

ρν+−ν+−=

ρ+ρ+=

ϕϕ

2ap

q

)31(16

apC)1(2

aNm

)3(16

apC)1(2

aNm

Nap

641CCw

0r

22

022

22

022rr

44

0221

Gl. 5-72

Die Konstanten C1 und C2 werden aus den Randwerten bei 1=ρ bestimmt. Dort müssen die

Einspannbedingungen

Nap

161C20)1(w

Nap

641CC0)1(w

40

2

40

21

+===ρ′

++===ρ Gl. 5-73

erfüllt sein. Aus Gl. 5-73 folgen die Konstanten

Nap

321C;

Nap

641C

40

2

40

1 −== Gl. 5-74

Damit ist die vollständige Lösung

( )

[ ]

[ ]

ρ−=

ρν+−ν+=

ρν+−ν+=

ρ−=

ϕϕ

2ap

q

)31(116

apm

)3(116

apm

1Nap

641w

0r

22

0

22

0rr

224

0

Gl. 5-75


Abb. 5-17 Biegefläche

Abb. 5-18 Schnittlasten mrr und mϕϕ

Von Interesse sind noch die speziellen Lösungen

5.10 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter Gleichlast 95

16a)1(p

)0(m

16a)1(p

)0(m

Nap

641)0(w

20

20

rr

40

ν+==ρ

ν+==ρ

==ρ

ϕϕ

2ap

)1(q

8ap

)1(m

8ap

)1(m

0r

20

20

rr

−==ρ

ν−==ρ

−==ρ

ϕϕ

Weiterhin gilt: 0mrr = für ν+ν+

=ρ31 ; 0m =ϕϕ für

ν+ν+

=ρ31

1

Unabhängig von ν verlaufen alle Kurven für ϕϕm durch den Punkt 577.0331

≈=ρ . Das

Moment hat dort den Wert: 24ap

)331(m2

0==ρϕϕ

5.10 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter Gleich-last

Abb. 5-19 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter Gleichlast p0

Es gilt wieder Gl. 5-72. Am Rand 1=ρ ist jetzt neben der Randbedingungen w = 0 noch

Momentenfreiheit für mrr sicherzustellen. Beachten wir zusätzlich Gl. 5-71, dann muss

)3(16

apC)1(2

aN0)1(m

Nap

641CC0)1(w

20

22rr

40

21

ν+−ν+−===ρ

++===ρ Gl. 5-76

erfüllt sein, woraus die Konstanten


ν+ν+

−=ν+ν+

=13

N32ap

C;15

N64ap

C4

02

40

1 Gl. 5-77

ermittelt werden. Die vollständige Lösung lautet dann

( )

( )

( )[ ]

ρ−=

ρν+−ν+=

ρ−ν+=

ρ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ−

ν+ν+

=

ϕϕ

2ap

q

31316

apm

)1(316

apm

115

N64ap

w

0r

22

0

22

0rr

224

0

Gl. 5-78


5.10 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter Gleichlast 97


Von Interesse sind noch die folgenden speziellen Lösungen

( )

( )ν+=

ν+=

ν+ν+

=

ϕϕ 316

ap)0(m

316

ap)0(m

15

N64ap

)0(w

20

20

rr

40

( )

ρ−=

ν−=ϕϕ

2ap

)1(q

18ap

)1(m

0r

20


5.11 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung

Abb. 5-22 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung

Aufgrund der Unstetigkeit in der Belastung bei r = b muss das Lösungsgebiet in zwei Berei-che aufgeteilt werden. Im Bereich I, hier ist br0 <≤ , wird die Platte durch eine konstante Flächenlast p0 belastet. Die Lösung ist mit Gl. 5-72 bekannt

ρ−=

ρν+−ν+−=

ρν+−ν+−=

ρ+ρ+=

ϕϕ

2ap

q

)31(16

apC)1(2

aNm

)3(16

apC)1(2

aNm

Nap

641CCw

0Ir

22

022

I

22

022

Irr

44

0221

I

Gl. 5-79

Im Bereich II mit b < r < a ist die Platte unbelastet. Hier gilt die Lösung der homogenen Dif-ferenzialgleichung. Mit neuen Konstanten erhalten wir aus Gl. 5-66

[ ]

[ ]

43IIr

43222II

43222IIrr

243

221

II

K4aNq

K31ln)1(2K)1(1K)1(2aNm

K3ln)1(2K)1(1K)1(2aNm

lnKlnKKKw

ρ−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ν++ρν++ν−ρ

+ν+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ν++ρν++ν−ρ

−ν+−=

ρρ+ρ+ρ+=

ϕϕ

Gl. 5-80

5.11 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung 99

Den sechs Konstanten in Gl. 5-79 und Gl. 5-80 stehen vier Übergangsbedingungen bei r = b und zwei Randbedingungen am eingespannten Rand bei r = a gegenüber. Setzen wir noch

β=a/b , dann lauten die Übergangs- und Randbedingungen

0)1(w

0)1(w

)(q)(q)(m)(m)(w)(w

)(w)(w

I

I

IIr

Ir

IIrr

Irr

III

III

==ρ′

==ρ

β=ρ=β=ρ

β=ρ=β=ρ

β=ρ′

=β=ρ′

β=ρ=β=ρ

Gl. 5-81

Gl. 5-81 entspricht einem linearen Gleichungssystem zur Bestimmung der sechs Unbekannten C1,C2 und K1-K4. Die Lösungen sind

[ ] ( )

( )2

40

44

40

3

1222

40

1

224

02

224

01

N8ap

KN16ap

K

KK2N32ap

K

ln4N32ap

C)ln43(4N64ap

C

β=β=

−=β+β=

β−ββ=β−β−β=

Gl. 5-82

Lösung im Bereich I ( β<ρ≤0 )

( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

ρ−=

ρν+−β−ββν+=


ρ+ρβ−ββ−−ββ+β=

ϕϕ

2ap

q

31ln4116

apm

3ln4116

apm

)ln4(23ln44N64ap

w

0Ir

2222

0I

2222

0Irr

4222424

0I

Gl. 5-83

Lösung im Bereich II ( 1≤ρ<β )

[ ]

( )

( )

ρβ

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ν−

ρβ

ν−−ρ−βν+β=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ρβ

ν−+ρ−βν+β=

ρρ+β+ρ−β+β=

ϕϕ

20II

r

2

222

20II

2

222

20II

rr

222224

0II

2ap

q

4)1()ln4(116

apm

4)1()ln4(116

apm

ln)2(2)1)(2(N32ap

w

Gl. 5-84

Von Interesse sind noch folgende spezielle Lösungen


( )[ ]

( )[ ]

( )[ ])ln4(116

ap)0(m

)ln4(116

ap)0(m

3ln44N64ap

)0(w

222

0I

222

0Irr

224

0I

β−βν+β==ρ

β−βν+β==ρ

−ββ+β==ρ

ϕϕ

20II

r

222

0II

222

0IIrr

2ap

)1(q

)2(8ap

)1(m

)2(8ap

)1(m

β−==ρ

−ββν

==ρ

−ββ==ρ

ϕϕ

Aus der Lösung Teilflächenbelastung lassen sich durch Grenzbetrachtungen weitere Lösun-gen angeben. Setzen wir z.B. in Gl. 5-83 1a/b ==β , dann liegt Volllast vor und Gl. 5-83

geht über in Gl. 5-75.

Abb. 5-23 Biegefläche (β = 0.5)

5.11 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung 101

Abb. 5-24 Schnittlasten mrr und mϕϕ (β = 0.5)

Abb. 5-25 Querkraft qr (β = 0.5)


5.12 Die eingespannte Kreisplatte unter mittiger Ein-zelkraft

Die Lösung für diesen Lastfall beschaffen wir uns aus Gl. 5-84 indem wir bei festgehaltener

Querlast π= 20bpP den Grenzübergang 0b → durchführen.

Abb. 5-26 Die eingespannte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft

Setzen wir dort π

= 20 bPp folgt nach Grenzübergang 0b → die vollständige Lösung

[ ]

( )[ ]

( )[ ]

ρπ−=

ρν++νπ

−=

ρν++π

−=

ρ−ρ−π

=

ϕϕ

1a2

Pq

ln14Pm

ln114Pm

)ln21(1N16

Paw

r

rr

22

Gl. 5-85

Speziell gilt wegen 0rlnrlim 2

0r=

→

−∞=

∞=

∞=π

=

ϕϕ

)0(q

)0(m

)0(mN16

Pa)0(w

r

rr

2

a2P)1(q

4P)1(m

4P)1(m

r

rr

π−==ρ

πν

−==ρ

π−==ρ

ϕϕ

5.13 Die eingespannte Kreisplatte mit Mittelstütze unter Gleichlast 103


5.13 Die eingespannte Kreisplatte mit Mittelstütze un-ter Gleichlast

Abb. 5-28 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast mit Mittelstütze

Die Platte kann als statisch unbestimmt gelagert angesehen werden. Wir denken wir uns das System nach Abb. 5-28 aus zwei Teillösungen aufgebaut: 1. Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast und 2. Die eingespannte Kreisplatte unter Einzelkraft in Feldmitte


Beide Teillösungen sind mit Gl. 5-75 und Gl. 5-85 bekannt.

Lösung Gleichlast:

[ ]

[ ]

[ ]

ρ−=

ρν+−ν+=

ρν+−ν+=

ρ−=

ϕϕ

2ap

q

)31(116

apm

)3(116

apm

1Nap

641w

0r

22

0

22

0rr

224

0

Lösung Einzelkraft X in Feldmitte:

[ ]

( )[ ]

( )[ ]

ρπ−=

ρν++νπ

−=

ρν++π

−=

ρρ+ρ−π

=

ϕϕ

1a2

Xq

ln14Xm

ln114Xm

ln21N16

Xaw

r

rr

222

Abb. 5-29 Geometrische Kompatibilität

Führen wir die Stützkraft in Plattenmitte als statisch Unbestimmte X ein, dann liefert die For-derung nach Kompatibilität der Verschiebung w0 + w1 = 0 oder

0N16

XaNap

641 24

0 =π

+ 20ap

4X π

−=→ Gl. 5-86

Superponieren wir nun beide Teillösungen, dann erhalten wir die vollständige Lösung

( )

[ ]

[ ]

)41(18ap

q

)31(ln)1(2116

apm

)3(ln)1(216

apm

ln21N64ap

w

20r

22

0

22

0rr

224

0

ρ−ρ

=

ρν+−ρν++ν+=

ρν+−ρν++ν+=

ρ−−ρρ=

ϕϕ

Gl. 5-87

5.13 Die eingespannte Kreisplatte mit Mittelstütze unter Gleichlast 105


Speziell gilt:

Nap

00253.0)451.0(wwmax4

0==ρ=

Das maximale Feldmoment mrr tritt an der Stelle [ ])2(636

6)3(2

1* ν−ν+≈ν+ν+

=ρ auf. Ins-

besondere gilt für 0=ν : 41.066)0(* ===νρ . Damit wird 2

0*

rr ap03776,0)41,0(m ==ρ

16ap

)1(m2

0rr −==ρ

16ap

)1(m)1(m2

0rr

ν−==ρν==ρϕϕ

ap83)1(q 0r −==ρ

Die Querkraft qr verschwindet bei .2/1=ρ


Abb. 5-31 Biegemomente mrr und mϕϕ

Abb. 5-32 Querkraft qr

5.14 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft 107

5.14 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft

Abb. 5-33 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft

Wir könnten diese Lösung auch durch Grenzbetrachtungen an der drehbar gelagerten Kreis-platte herleiten. Der Lösungsweg würde demjenigen der eingespannten Kreisplatte mit Teil-flächenbelastung entsprechen. Wir wollen hier jedoch einen anderen Weg beschreiten. Unter Berücksichtigung der Rotationssymmetrie wird zunächst als Partikulärlösung die klassische Singularität

ρρπ

= lnN8

Paw 22

p Gl. 5-88

verwendet. Wir benötigen von der homogenen Lösung Gl. 5-59 dann nur noch den regulären Anteil

221h CCw ρ+= Gl. 5-89

so dass wir als vollständige Lösung

[ ]

[ ]

ρπ−=

ρν++ν++πν+π

−=

ρν++ν++πν+π

−=

ρρπ

+ρ+=

ϕϕ

1a2Pq

ln)1(Pa2)31(PaNC)1(16a81m

ln)1(Pa2)3(PaNC)1(16a81m

lnN8

PaCCw

r

2222

2222rr

22

221

Gl. 5-90

gewinnen. Am Rand 1=ρ müssen


[ ])3(PaNC)1(16a810)1(m

CC0)1(w

222rr

21

ν++πν+π

−===ρ

+===ρ Gl. 5-91

erfüllt sein. Damit sind die Konstanten

12

2

1 CC13

N16PaC −=

ν+ν+

π= Gl. 5-92

und für die vollständige Lösung erhalten wir

[ ]

ρπ−=

ν−−ρν+π

−=

ρν+π

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ρρ+ρ−

ν+ν+

π=

ϕϕ

1a2Pq

)1(ln)1(4Pm

ln)1(4Pm

ln2)1(13

N16Paw

r

rr

222

Gl. 5-93


5.14 Die drehbar gelagerte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft 109


Speziell gilt wegen 0rlnrlim 2

0r=

→

−∞==ρ

∞==ρ

∞==ρν+ν+

π==ρ

ϕϕ

)0(q

)0(m)0(m

13

N16Pa)0(w

r

rr

2

a2P)1(q

)1(4P)1(m

0)1(m

r

rr

π−==ρ

ν−π

==ρ

==ρ

ϕϕ


5.15 Die innen eingespannte Kreisringplatte unter Gleichlast

Abb. 5-36 Die Kreisringplatte unter Gleichlast

Ein Partikularintegral ist

44

0p N

ap641)(w ρ=ρ Gl. 5-94

Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist

ρρ+ρ+ρ+=ρ lnClnCCC)(w 243

221h Gl. 5-95

Die Gesamtlösung schreiben wir dann mit neuen Konstanten in der Form

[ ]4224

0 lnDlnCBANap

641)(w ρ+ρρ+ρ+ρ+=ρ Gl. 5-96

Wir benötigen die folgenden Ableitungen

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

ρ−

ρ−=′′′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ+

ρ+

ρ=′′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ++ρ+

ρ−=′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ++ρρ+

ρ+ρ=′

24D2C6Np

641w

24D2C2N

ap641w

12)3ln2(DCB2Nap

641w

4)1ln2(DCB2Nap

641w

240

30

22

20

33

0

5.15 Die innen eingespannte Kreisringplatte unter Gleichlast 111

Daraus ergeben sich die Schnittlasten

[ ]

[ ]

( )20r

22

20

22

20

rr

8D116

apq

)31(431ln)1(2DC1B)1(264ap

m

)3(43ln)1(2DC1B)1(264ap

m

ρ+ρ

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ρν++ν++ρν++ρν−

+ν+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧


−ν+−=

ϕϕ Gl. 5-97

Die Konstanten sind aus den Randwerten bei r = b ( β=ρ ) und r = a ( 1=ρ ) zu bestimmen.

[ ]

[ ]

( )8D16

ap0)1(q

)3(4)3(DC)1(B)1(264ap

0)1(m

4)1ln2(DCB21Nap

6410)(w

lnDlnCBANap

6410)(w

0r

20

rr

4223

0

4224

0

+−===ρ

ν++ν++ν−−ν+−===ρ

β++ββ++ββ

==β=ρ′

β+ββ+β+β+==β=ρ

Gl. 5-98

Daraus folgen die Konstanten

[ ]

[ ]

[ ]

8D)1()1(

)1()1(ln)1(44C

)1()1()3()1()ln21()1(22B

)1()1()3(2)35()1(ln)1(16ln3)1(4A

2

22

2

42

2

24222

−=ν++βν−

ν−−βν+−βν+β=

ν++βν−ν++ν−β−β+βν−

=

ν++βν−ν+−βν−−βν−+βν+−βν++ν+ββ

=

Gl. 5-99



Abb. 5-38 Schnittmomente mrr und mϕϕ (β = 0.2)

5.15 Die innen eingespannte Kreisringplatte unter Gleichlast 113

Abb. 5-39 Querkraft qr (β = 0.2)


[ ]⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ν−β+ν+β+βν++ν−β+ν−β−ν−β+ν+

β−

−ν−β+ν+

ν+

==ρ

)1()1()ln4)(1(5ln4)1()57(71

)1()1(37

N64ap

)1(w

2

2422

240

und insbesondere für 0=ν

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

β+β+β+β+β−β+

β−β+

==ν=ρ 2

2422

2

40

1)ln4(5ln471

17

N64ap

)0,1(w

Setzen wir noch 0=β (Punktlagerung), dann verbleibt vom obigen Ausdruck

Nap

1094,0Nap

647)0,1(wlim

40

40

0===ν=ρ

→β

Für die Bemessung interessieren die Schnittlasten bei β=ρ und 1=ρ

[ ] ( ))1()1(

13ln144)1(8ap

)(m 2

2220

rr ν−β+ν+−ν−βν+−ν+ν−ββ

−=β=ρ

und für 0=ν

2

420

rr 11ln4

8ap

)0,(mβ+

−β−β−==νβ=ρ

[ ] ( ))1()1(

13ln144)1(8ap

)(m)(m 2

2220

rr ν−β+ν+−ν−βν+−ν+ν−ββ

ν−=β=ρν=β=ρϕϕ

und für 2/1=ν


( )2

2220

3ln1254

16ap

)2/1,(mβ+

β−−+ββ−==νβ=ρϕϕ

)1()1(1)ln4(

8)1(ap

)1(m 2

22220

ν−β+ν+−β−ββν−

−==ρϕϕ

und für 0=ν

2

2220

11)ln4(

8ap

)0,1(mβ+

−β−ββ−==ν=ρϕϕ

Setzen wir D = -8 in die Querkraftbeziehung Gl. 5-98, dann gilt: ( )20r 11

2ap

)(q ρ−ρ

=ρ

Die größte Querkraft tritt bei β=ρ auf. Hier gilt:

( )20r 11

2ap

)(q β−β

=β=ρ .

5.16 Die Kreisringplatte mit gelenkig gelagertem Au-ßenrand unter Gleichlast

Abb. 5-40 Gelenkig gelagerte Kreisringplatte unter konstanter Flächenlast

Das Partikularintegral ist wieder

44

0p N

ap641)(w ρ=ρ Gl. 5-100

Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung war

ρρ+ρ+ρ+=ρ lnClnCCC)(w 243

221h Gl. 5-101

Die Gesamtlösung schreiben wir dann mit neuen Konstanten in der Form

5.16 Die Kreisringplatte mit gelenkig gelagertem Außenrand unter Gleichlast 115

( )4224

0 lnDlnCBANap

641)(w ρ+ρρ+ρ+ρ+=ρ Gl. 5-102

Wir benötigen die folgenden Ableitungen

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

ρ−

ρ−=′′′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ+

ρ+

ρ=′′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ++ρ+

ρ−=′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ++ρρ+

ρ+ρ=′

24D2C6Np

641w

24D2C2N

ap641w

12)3ln2(DCB2Nap

641w

4)1ln2(DCB2Nap

641w

240

30

22

20

33

0

Daraus ergeben sich die Schnittlasten

[ ]

[ ]

( )20r

22

20

22

20

rr

8D116

apq

)31(431ln)1(2DC1B)1(264ap

m

)3(43ln)1(2DC1B)1(264ap

m

ρ+ρ

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧


+ν+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧


−ν+−=

ϕϕ Gl. 5-103


[ ]

)3(4)3(DC)1(B)1(264ap

0)1(m

1BA0)1(w8D0)(q

)3(43ln)1(2DC1B)1(20)(m

20

rr

2r

22rr

ν++ν++ν−−ν+−===ρ

++===ρβ+==β=ρ

βν++ν++βν++ρν−

−ν+==β=ρ

Gl. 5-104

2

2

422

2

442

2

442

8D)1)(1(

ln)1(16)1)(3(4C

)1)(1(ln)1(8)3(2)3(4)3(2B

)1)(1(ln)1(8)3(2)311(5A

β−=

β−ν−ββν++β−ν+β

−=

β−ν+ββν++βν++βν+−ν+

−=

β−ν+ββν++βν++βν+−ν+

=

Gl. 5-105



Abb. 5-42 Schnittlast mrr (β = 0.2)

5.16 Die Kreisringplatte mit gelenkig gelagertem Außenrand unter Gleichlast 117

Abb. 5-43 Schnittlast mϕϕ (β = 0.2)

Abb. 5-44 Schnittlast qr


Von Interesse sind noch folgende Teillösungen

2

22222240

1)1(3ln4[ln4)1()1)(75(

N64ap

)0,(wβ−

β+−ββββ++β−ββ−==νβ=ρ

2

24220

1ln)1(4)1(43

8ap

)(mβ−

βν+β+ν−β+β−ν+=β=ρϕϕ

2

44220

1ln)1(4)31(41

8ap

)1(mβ−

βν+β+ν+β−νβ+ν−==ρϕϕ

( )220r

12ap

q β−ρρ

−= ; )1(2ap

)1(q 20r β−−==ρ

Ist der Innenradius b sehr klein, dann kann näherungsweise mit der Lösung gerechnet werden, die sich beim Grenzübergang 0→β ergibt. Von den Konstanten Gl. 5-105 verbleiben:

0DC;1

)3(2B;15A ==

ν+ν+

−=ν+ν+

=

ν+ρν++ρν+−ν+

=1

)1()3(25N64ap

w424

0 ; ν+ν+

=→ρ 1

5N64ap

wlim4

0

0

)1)(3(16

apm 2

20

rr ρ−ν+= ; )3(16

apmlim

20

rr0ν+=

→ρ

[ ]22

0 )31(316

apm ρν+−ν+=ϕϕ ; )3(

16ap

mlim2

0

0ν+=ϕϕ→ρ

Abb. 5-45 Schnittlasten mrr und mϕϕ (ν = 0)

5.17 Die Kreisringplatte mit eingespanntem Außenrand unter Gleichlast 119

5.17 Die Kreisringplatte mit eingespanntem Außen-rand unter Gleichlast

Abb. 5-46 Eingespannte Kreisringplatte unter konstanter Flächenlast


[ ]

4DCB20)1(w1BA0)1(w

8D0)(q

)3(43ln)1(2DC1B)1(20)(m

2r

22rr

+++===ρ′++===ρβ+==β=ρ

βν++ν++βν++ρν−

−ν+==β=ρ

Gl. 5-106


2

2

422

2

442

2

442

8D)1()1(

ln)1(4)1(14C

)1()1(ln)1(8)3(2)1(4)1(2B

)1()1(ln)1(8)3(2)35(1A

β−=

ν−+βν+ββν++βν−+ν+

β−=

ν−+βν+ββν+−βν+−βν−−ν−

−=

ν−+βν+ββν+−βν+−βν−−ν−

=

Gl. 5-107



Abb. 5-48 Schnittmomente mrr (β = 0.2)

5.17 Die Kreisringplatte mit eingespanntem Außenrand unter Gleichlast 121

Abb. 5-49 Schnittmomente mϕϕ (β = 0.2)

Von Interesse sind noch folgende Teillösungen

w( 2

242640

1)ln16ln201()ln47(71

N64ap

)0,β+

β+β+β−β+β−β+==νβ=ρ

)1()1(ln)1(4)31(41

8ap

)1(m 2

44220

rr ν−+βν+ββν++βν+−νβ+ν−

−==ρ

)1()1()ln41()1(

8ap

)(m 2

24220

ν−+βν+ββ−−βν−

−=β=ρϕϕ

)1()1(ln)1(4)31(41

8ap

)1(m 2

44220

ν−+βν+ββν++βν+−νβ+ν−ν

−==ρϕϕ

Der Querkraftverlauf entspricht dem des gelenkig gelagerten Kreisringes:

( )220r

12ap

q β−ρρ

−= ; )1(2ap

)1(q 20r β−−==ρ


5.18 Die Kreisringplatte mit gelenkiger Lagerung un-ter Linienlast

Abb. 5-50 Gelenkig gelagerte Kreisringplatte unter Randlast

Die Platte nach Abb. 5-50 wird durch eine Linienlast am freien Rand belastet. Eine Feldbelas-tung fehlt, womit hier nur die Lösung der homogenen Differenzialgleichung benötigt wird. Mit Gl. 5-59 ist dann


221 +++= Gl. 5-108

und für die Ableitungen gilt:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

ρρ=′′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ρ+

ρ−=′′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ρρ+

ρ+ρ=′

4323

43222

432

CC11a2w

C)3ln2(C1C2a1w

C)1ln2(C1C2a1w

Gl. 5-109

Die vollständige Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist dann

[ ]

[ ]

43r

43222

43222rr

243

221

C1aN4q

C31ln)1(2C)1(1C)1(2aNm

C3ln)1(2C)1(1C)1(2aNm

lnClnCCCw

ρ−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ν++ρν++ν−ρ

+ν+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ν++ρν++ν−ρ

−ν+−=

ρρ+ρ+ρ+=

ϕϕ

Gl. 5-110

5.18 Die Kreisringplatte mit gelenkiger Lagerung unter Linienlast 123

Die Konstanten sind aus den Randwerten bei r = b (ρ = β) und r = a (ρ = 1) zu bestimmen. Dort gilt

[ ]

432rr

243

221

430r

4322rr

C)3(C)1(C)1(20)1(mlnClnCCC0)1(w

C1aN4q)(q

C3ln)1(2C)1(1C)1(20)(m

ν++ν−−ν+===ρρρ+ρ+ρ+===ρ

β−=−=β=ρ

ν++βν++ν−β

−ν+==β=ρ

Gl. 5-111


N4qa

C

)1)(1(ln)1(

N2qa

C

CC)1)(1(

)1)(3(ln)1(2N8qa

C

03

4

20

33

3

12

2

220

3

1

β=

−βν−βν+β

−=

−=−βν+

−βν++ββν+β=

Gl. 5-112




Von Interesse sind die folgenden Lösungen Die größte Durchbiegung tritt bei β=ρ auf

)1)(1(ln4)1()1)(1)(3(

N8aq

wmax 22

222230

ν−β−ββ+β−β+ν−ν+β

=

2/1=ν : 2

222230

1ln36)1()1(7

N24aq

wmaxβ−

ββ+β+β−β=

und für 2,0=β

Naq

0884.0)5ln25112(N2000

aqwmax

302

30 =⋅+=

Für das Biegemoment ϕϕm gilt

2

20

1ln)1(2)1)(1(

2aq

)(mβ−

βν+−β−ν−β=β=ρϕϕ

und für 2/1=ν

2

20

1ln61

4aq

)(mβ−

β−β−β=β=ρϕϕ

aq553.0)2.0(m 0==β=ρϕϕ


2

220

1ln)1(2)1)(1(

2aq

)1(mβ−

βν+β−β−ν−β==ρϕϕ

und für 0=ν : 2

20

1)ln21(1

2aq

)1(mβ−

β+β−β==ρϕϕ

und für 2,0=β aq1134.0)2.0,1(m 0==β=ρϕϕ

Die Kreisringplatte mit Einspannung unter Linienlast

Abb. 5-53 Eingespannte Kreisringplatte unter Randlast

Ist der äußere Rand eingespannt (Abb. 5-53), dann lauten die Randbedingungen

[ ]

432

243

221

430r

4322rr

CCC20)1(wlnClnCCC0)1(w

C1aN4q)(q

C3ln)1(2C)1(1C)1(20)(m

++===ρ′ρρ+ρ+ρ+===ρ

β−=−=β=ρ

ν++βν++ν−β

−ν+==β=ρ

Gl. 5-113

und damit die Konstanten

N4qa

C

)1()1(1ln)1(

N2qa

C

CC)1()1(

1)3(ln)1(2N8qa

C

03

4

20

33

3

12

2

220

3

1

β=

ν−+βν++βν+β

−=

−=ν−+βν+

ν−+βν++ββν+β=

Gl. 5-114

Die größten Durchbiegungen treten bei β=ρ auf


ν−+βν+ββν++ν+β−βν++ββ+ν−

β=β=ρ1)1(

ln)1(4)3()1(2ln81N8aq

)(wmax 2

2242230

0=ν : 1

ln43)ln41(21N8aq

)0,(wmax 2

224230

+βββ+β−β+β+

β==νβ=ρ

2/1=ν : 13

ln1276ln16(1N8aq

)2/1,(wmax 2

22230

+ββ+β−+ββ+

β==νβ=ρ

Biegemomente:

ν−+βν+−β−βν−β

=β=ρϕϕ 1)1()1ln2)(1(

2aq

)(m 2

220

und für 2/1=ν

131ln2

4aq3

)2/1,(m 2

20

+β−β−ββ

==νβ=ρϕϕ

Am eingespannten Rand ( 1=ρ ) treten folgende Momente auf

ν−+βν+ν−β−ββν+−ν−β

−==ρ1)1(

)1(ln)1(212aq

)1(m 2

220

rr

und für 2/1=ν : 13

)1ln6(12aq

)2/1,1(m 2

20

rr +β+ββ−β

−==ν=ρ

ν−+βν+ν−β−ββν+−ν−

νβ

−==ρν==ρϕϕ 1)1()1(ln)1(21

2aq

)1(m)1(m 2

220

rr

Dieses Moment verschwindet für 0=ν

und für 2/1=ν : 13

)1ln6(14aq

)2/1,1(m 2

20

+β+ββ−β

−==ν=ρϕϕ


5.19 Die Kreisringplatte unter konstanter Linienlast längs eines Kreises

Wir betrachten dazu die drehbar gelagerte Kreisplatte in Abb. 5-56, die längs eines Kreises mit dem Radius r = b eine Linienbelastung der Intensität q0 trägt.

b

a

r

2a

2b

q0

q0

q0

q0

r = b

)b(qIr )b(qII

r

)b(mIrr )b(mII

rr

Abb. 5-56 Konstante Linienbelastung längs eines Kreises mit dem Radius b

Aufgrund der Unstetigkeit in der Belastung muss das Lösungsgebiet in zwei Bereiche aufge-teilt werden. Im Bereich I, hier ist br0 <≤ , ist die Platte frei von Flächenlasten. Da die Schnittlasten bei Annäherung an den Punkt r = 0 endlich bleiben sollen, wird von Gl. 5-59 nur der reguläre Anteil der Verschiebungen verwendet. Mit a/r=ρ und neuen Konstanten ist die

vollständige Lösung

( )

0q

mCbq41m

Cbq41m

CC)1(N8

baqw

Ir

Irr20

I

20Irr

221

20I

=

=−=

−=

ρ+ν+

=

ϕϕ

Gl. 5-115

Im Bereich b < r < a gilt dann Gl. 5-59

5.19 Die Kreisringplatte unter konstanter Linienlast längs eines Kreises 129

( )

30II

r

42320II

42320IIrr

42

32

21

20II

Krb

1q

21q

K111K

131ln2K2bq

81m

K111K

13ln2K2bq

81m

lnKlnKKK)1(N8

baqw

ν+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ν+ν−

ρ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ν+ν+

+ρ+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ν+ν−

ρ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ν+ν+

+ρ+−=

ρ+ρρ+ρ+ν+

=

ϕϕ

Gl. 5-116

Die 6 Konstanten in Gl. 5-115 und Gl. 5-116 werden aus 4 Übergangsbedingungen und 2 Randbedingungen für den drehbar gelagerten Rand ermittelt. Setzen wir noch a/b=β , dann

lauten die Übergangs- und Randbedingungen

0)1(m0)1(w

q)(q)(q

)(m)(m)(w)(w

)(w)(w

Irr

I0

Ir

IIr

IIrr

Irr

III

III

==ρ

==ρ

−=β=ρ−β=ρ

β=ρ=β=ρ

β=ρ′

=β=ρ′

β=ρ=β=ρ

Gl. 5-117

Aus dem linearen Gleichungssystem Gl. 5-81 errechnen sich die Konstanten

)1(2K

)1(2KKK);1(3K

)1)(1(ln)1(2C

)1)(3(ln)1(2C

24

3

122

1

22

221

ν+β=

ν+=−=ν−β−ν+=

β−ν−−βν+=

β−ν++βν+β=

Gl. 5-118


( )

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]0q

mln12114aqm

ln12114aqm

ln2)1(11)1(

13

N8aqw

Ir

Irr

20I

20Irr

222223

0I

=

=βν+−β−ν−β=

βν+−β−ν−β=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ βρ+β+β−ρ

ν+ν−

−β−ν+ν+

β=

ϕϕ

Gl. 5-119



( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ρβ

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ρν+−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ+

ρβ

−ν−β=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ρν+−ρ−ρβ

ν−β=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ρρ+β+ρ−β

ν+ν−

−ρ−ν+ν+

β=

ϕϕ

0IIr

22

20II

22

20II

rr

222223

0II

qq

ln121214aqm

ln12114aqm

ln2)1(11)1(

13

N8aqw

Gl. 5-120

Fassen wir die äußere Belastung aus der Linienbelastung q0 zur Resultierenden βπ= aq2Q 0

und damit )a2/(Qq0 βπ= zusammen, dann erhalten wir, getrennt nach beiden Bereichen, die

folgenden Lösungen: Lösung im Bereich I ( β<ρ<0 )

( )

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]0q

mln12118Qm

ln12118Qm

ln2)1(11)1(

13

N16Qaw

Ir

Irr

2I

2Irr

222222

I

=

=βν+−β−ν−π

=

βν+−β−ν−π

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ βρ+β+β−ρ

ν+ν−

−β−ν+ν+

π=

ϕϕ

Gl. 5-121


( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ρπ−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ρν+−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ+

ρβ

−ν−π

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρν+−ρ−

ρβ

ν−π

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ρρ+β+ρ−β

ν+ν−

−ρ−ν+ν+

π=

ϕϕ

1a2

Qq

ln121218Qm

ln12118Qm

ln2)1(11)1(

13

N16Qaw

IIr

22

2II

22

2IIrr

222222

II

Gl. 5-122

5.19 Die Kreisringplatte unter konstanter Linienlast längs eines Kreises 131

wQa

N2

0,0266

a/r=ρ

Abb. 5-57 Verschiebung w(r) (β = 0,6, ν = 1/5)

0,0407

a/r=ρ

1

1Q

Q

mrr

mϕϕ

Abb. 5-58 Biegemomente mrr(r) und mϕϕ(r) (β = 0,6, ν = 1/5)


-0,265

-0,159

-

-

-

rqQa

a/r=ρ

Abb. 5-59 Querkraftverlauf (β = 0,6, ν = 1/5)

Von Interesse sind noch die folgenden Teillösungen:

( ) ( )2II

222

I

141Q)1(m

ln2)1(13

N16Qa)0(w

β−πν−

==ρ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ββ+β−

ν+ν+

π==ρ

ϕϕ

Gl. 5-123

6 Rechteckplatten Auf dem Wege zur Berechnung umfangsgelagerter Rechteckplatten ist es sinnvoll, sich die-sem schon recht komplizierten Problem in Schritten zu nähern. Wir werden deshalb in auf-bauender Weise Lösungen für die Randwertprobleme

1. des unendlich langen Plattenstreifens und 2. des Halbstreifens

bereitstellen. Für diese Problemklassen, können in Abhängigkeit von speziellen Lagerungen und Belastungen feste Lösungswege angegeben werden. Ziel der folgenden Untersuchungen ist das Aufzeigen dieser Lösungswege anhand konkreter Beispiele.

6.1 Der unendlich lange Plattenstreifen

Abb. 6-1 Plattenstreifen, Behinderung der Querdehnung

Die Plattengeometrie des unendlich langen Plattenstreifens besteht aus einem Streifen mit endlicher Länge in x-Richtung aber unendlicher Ausdehnung in y-Richtung. Die Ränder x = konst. können dabei beliebig gelagert sein, in y-Richtung sollen sich die Lagerungsbedingun-gen jedoch nicht ändern. Wird zusätzlich noch eine von y unabhängige Belastung gefordert,

134 6 Rechteckplatten

also p = p(x), dann liegt eine zylindrische Biegefläche vor, deren Ableitungen in y-Richtung identisch Null sind. Mit )(dxdx ′==∂∂ verbleibt von der Plattendifferenzialgleichung

N)x(p)x(w =′′′′ Gl. 6-1

also eine gewöhnliche inhomogene Differenzialgleichung 4. Ordnung, die durch Integration gelöst wird. Ist die Biegefläche bekannt, dann folgen daraus die Schnittlasten

0qmwNq

mwNmwNm

yxy

x

xxyy

xx

==

′′′−=

ν=′′ν−=

′′−=

Gl. 6-2

Gl. 3-23 entspricht offensichtlich der Differenzialgleichung der Balkenbiegung, wenn die

Plattensteifigkeit )]1(12[EhN 23 ν−= durch die Biegesteifigkeit EI eines Balkens mit der

Breite "1" ersetzt wird. Dann gilt 12/)h1E(EI 3⋅⋅= . Alle Lösungen des Balkens sind dann

auch Lösungen des Plattenstreifens. Zwischen der Lösung w(x) der Platte und der Lösung w~ (x) eines gleichbelasteten Balkens mit dem Querschnitt h1hb ⋅=⋅ bestehen damit die Be-

ziehungen nach Tabelle 6-1. Die Durchbiegungen der Platte sind )1( 2ν− - mal kleiner als die

des Balkens. Die Biegemomente mxx und die Querkräfte qx stimmen überein, da sie unabhän-gig von den Biegesteifigkeiten sind. Das Moment myy und die Querkraft qy existieren für den Balken nicht.

Plattenstreifen Balken

)x(p)x(wN =′′′′ )x(q)x(w~EIyy =′′′′

)1(12EhN 2

3

ν−=

12h1EEI

3⋅⋅=

w~)1()x(w 2ν−=

)x(m~)x(m xxxx =

xxyy mm ν= nicht vorhanden

0mxy = nicht vorhanden

)x(q~)x(q xx =

0q y = nicht vorhanden

Tabelle 6-1 Gegenüberstellung der Zustandsgrößen von Plattenstreifen und Balken

6.1 Der unendlich lange Plattenstreifen 135

Das Zustandekommen der Biegemomente myy beim Plattenstreifen können wir uns wie folgt vorstellen: Bei einem positiven Biegemoment mxx werden die Fasern oberhalb der Span-nungs-Nullinie gedrückt und die Fasern unterhalb entsprechend gezogen. Plattenelemente im oberen Bereich möchten sich infolge der Querdehnung aufweiten, im unteren Bereich dage-gen zusammenziehen. Das ist aber aufgrund des Zusammenhangs der Platte nicht möglich. Um also nach der Verformung ein geometrisch kompatibles System zu erhalten, müssen Querbiegemomente myy vorhanden sein, die die Klaffung wieder rückgängig machen. Bei einem Balken sind diese Momente nicht notwendig und deshalb Null, weil er sich ohne Zwängung quer zur Längsachse verformen kann. Hinweis: In der Biegetheorie gerader Balken werden Rechteckquerschnitte untersucht, deren Breite b von derselben Größenordnung ist wie die Höhe h. Die obigen Untersuchungen legen es nahe, bei Balken, deren Querschnitte einem Brett gleichkommen, (b h>> ), den Elastizi-tätsmodul E durch

21EE~ν−

=

zu ersetzen. Die bei diesen brettförmigen Balken auftretende Behinderung der Querdehnung

führt zu einer scheinbaren Erhöhung des Elastizitätsmoduls auf das )1/(1 2ν− -fache, z.B. bei

Stahl mit 3/1=ν auf das 9/8-fache.

Beispiel: 6-1

Für den beidseitig gelenkig gelagerten Plattenstreifen unter linear veränderlicher Last in x-Richtung sind sämtliche Zustandsgrößen zu berechnen.

Abb. 6-2 Gelenkig gelagerter Plattenstreifen

Die Biegedifferenzialgleichung lautet mit lppp r −=Δ und a/x=ξ


( )ξΔ+==′′′′ ppN1

N)x(p)x(w l Gl. 6-3

Viermalige Integration der Gl. 6-3 und anschließende Anpassung an die Randbedingungen

0)a(m)0(m;0)a(w)0(w xxxx ====

liefert die vollständige Lösung

( ) ( )

( ) ( )

( ) )31(6pa21

2ap

q

mm

16pa1

2ap

m

7103N360

pa12N24ap

w

2x

xxyy

222

xx

244

234

ξ−Δ

+ξ−=

ν=

ξ−ξΔ

+ξ−ξ=

+ξ−ξξΔ

++ξ−ξξ=

l

l

l

Gl. 6-4

Hinweis: Wegen 0mxy = entsprechen die Querkräfte xq den Randquerkräften xq und damit

den endgültigen Auflagerkräften. Wie bereits erwähnt, existiert aufgrund der zylindrischen Biegefläche keine Krümmung in y-Richtung. Trotzdem erhalten wir auch Biegemomente xxyy mm ν= . Für Stahlbeton (ν = 1/5)

hätten wir xxyy m2,0m = . Diese Momente, die allein aus der Querdehnung herrühren, sind

nach DIN 1045 mit einer Querbewehrung ≥ 1/5 der Hauptbewehrung abzudecken.

Abb. 6-3 Allgemeine Belastung

Für allgemeine Belastungen p(x) und gelenkig gelagerter Längsränder kann folgendes Lö-sungsschema angegeben werden. Zunächst wird die Belastung in x-Richtung antimetrisch bezüglich x = 0 mit der Periode L = 2a in eine Fourierreihe entwickelt


∑∞

=

π=

1nn a

xnsinp)x(p Gl. 6-5

Die Fourierkoeffizienten

dxaxnsin)x(p

a2p

a

0xn

π= ∫

=

Gl. 6-6

können mit Gl. 6-6 für den weiteren Rechengang als bekannt vorausgesetzt werden. Entwi-ckeln wir auch die Verschiebung entsprechend Gl. 6-5 antimetrisch in eine Fourierreihe, also

∑∞

=

π=

1nn a

xnsinw)x(w Gl. 6-7

dann befriedigt dieser Ansatz von vornherein die Randbedingungen der gelenkig gelagerten Ränder bei x = 0 und x = a. Die Verschiebung w(x) und die Belastung p(x) müssen die Plat-tendifferenzialgleichung erfüllen. Setzen wir Gl. 6-5 und Gl. 6-7 in die Differenzialgleichung des Plattenstreifen Gl. 3-23 ein, dann muss

∑ ∑∞

=

∞

=

π=

π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

1n 1nn

4

n axnsinp

N1

axnsin

anw

erfüllt sein, was nach Koeffizientenvergleich in a

xnsin π

n

4

n pna

N1w ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛π

= Gl. 6-8

erfordert. Einsetzen von Gl. 6-8 in Gl. 6-7 liefert dann die vollständige Lösung des Problems

0qma

xncosn

paq

ma

xnsinnpam

axnsin

npam

axnsin

np

Naw

yxy

1n

nx

xx1n

2n

2

2

yy

1n2n

2

2

xx

1n4n

4

4

==

ππ

=

ν=π

πν

=

ππ

=

ππ

=

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

Gl. 6-9


Beispiel: 6-2

Abb. 6-4 Teilflächenbelasteter Plattenstreifen

Für den teilflächenbelasteten Plattenstreifen nach Abb. 6-4 sind sämtliche Zustandsgrößen zu ermitteln. Wir entwickeln zunächst die Belastung q(x) antimetrisch in eine Fourierreihe. Die Fourierkoeffizienten der Belastung sind mit Gl. 6-6

acnsin

aunsin

np4

dxa

xnsinpa2dx

axnsin)x(p

a2p 0

cu

cux0

a

0xn

πππ

=π

=π

= ∫∫+

−==

Gl. 6-10

Die Fourierkoeffizienten der Biegefläche folgen dann aus Gl. 6-8

acnsin

aunsin

n1

Nap4

w 55

40

nππ

π= Gl. 6-11

und damit die vollständige Lösung

0qmaxncos

acnsin

aunsin

n1ap4

q

axnsin

acnsin

aunsin

n1ap4

m

axnsin

acnsin

aunsin

n1ap4

m

axnsin

acnsin

aunsin

n1

Nap4

w

yxy

1n22

0x

1n33

20

yy

1n33

20

xx

1n55

40

==

ππππ

=

ππππν

=

ππππ

=

ππππ

=

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

Gl. 6-12

Durch Grenzbetrachtungen lassen sich aus Gl. 6-12 weitere Lösungen herleiten.


a) Der Plattenstreifen unter konstanter Linienlast in y- Richtung

Abb. 6-5 Der Plattenstreifen unter Linienlast

Wir fassen die Teilflächenbelastung p0 auf der Länge 2c zur Linienlast cp2q 00 = zusammen

und führen dann unter Beachtung von 1

acna

cnsinlim

0c=

π

π

→ den Grenzübergang derart durch, dass

für 0c → das Produkt cp2 0 konstant bleibt. Aus Gl. 6-12 folgt dann die vollständige Lösung

Linienlast

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

πππ

=

ν=ππ

πν

=

πππ

=

πππ

=

1n

0x

xx1n

220

yy

1n22

0xx

1n44

30

axncos

aunsin

n1q2

q

ma

xnsina

unsinn1aq2

m

axnsin

aunsin

n1aq2

m

axnsin

aunsin

n1

Naq2

w

Gl. 6-13

b) Der Plattenstreifen unter Gleichlast Setzen wir in Gl. 6-12 2/acu == , dann folgt unter Beachtung von

⎩⎨⎧ =

=π

sonst0,5,3,1nfür1

2nsin 2 K

die vollständige Lösung Gleichlast, die mit 0p =Δ und a/x=ξ auch unmittelbar aus Gl. 6-4

gewonnen werden kann


( )

( )

( )ξ−=π

π=

ν=π

πν

=

ξ−ξ=π

π=

+ξ−ξξ=π

π=

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

212ap

axncos

n1ap4

q

maxnsin

n1ap4

m

12ap

axnsin

n1ap4

m

12N24ap

axnsin

n1

Nap4

w

0

5,3,1n22

0x

xx5,3,1n

33

20

yy

20

5,3,1n33

20

xx

5,3,1n

234

055

40

K

K

K

K

Gl. 6-14

Hinweis: Der Zusammenhang zwischen den Lösungen Gl. 6-14 und Gl. 6-4 (mit 0p =Δ ) lässt

sich sofort herstellen, wenn z.B. die Verschiebung ( )12N24ap

w 234

0 +ξ−ξξ= antimetrisch in

eine Fourierreihe entwickelt wird. Wir erhalten im Einzelnen

( ) K5,3,1nNn

ap41ncos

Nnap2

dnsin)12(N12ap

dnsin)(w2dxaxnsin)x(w

a2w

55

40

55

40

1

0

234

01

0

a

0xn

=π

=−ππ

−=

ξπξ+ξ−ξξ=ξπξξ=π

= ∫∫∫=ξ=ξ=

und damit in Übereinstimmung mit Gl. 6-14

∑∑∞

=

∞

=

ππ

=π

=KK 5,3,1n

55

40

5,3,1nn a

xnsinn1

Nap4

axnsinw)x(w

6.2 Der Plattenhalbstreifen

Wir wollen zunächst eine Methode vorstellen, die wir dann später auch bei der Lösung des Randwertproblems spezieller umfangsgelagerter Rechteckplatten einsetzen werden. Um diese Methode anwenden zu können, sind folgende Voraussetzungen erforderlich: 1. Zwei gegenüberliegende Ränder müssen gelenkig gelagert sein und 2. die Belastung p(x,y) muss sich als Produkt )y(r)x(q)y,x(p = schreiben lassen.

Nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass die Ränder x = 0 und x = a ge-lenkig gelagert sind (Abb. 6-6), dann ergeben sich an der Stelle y = 0 für den Plattenhalbstrei-fen am kurzen Rand insgesamt 3 Lagerungsmöglichkeiten

6.2 Der Plattenhalbstreifen 141

Abb. 6-6 Mögliche Lagerungsbedingungen am kurzen Rand des Plattenhalbstreifens

Ausgangspunkt ist wieder die Plattendifferenzialgleichung


Die Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen Differenzialgleichung und einer parti-kulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung zusammen

)y,x(w)y,x(w)y,x(w ph += Gl. 6-16

Für die Lösung der homogenen Differenzialgleichung wird der Produktansatz

)y(Y)x(X)y,x(w h = Gl. 6-17

gemacht. Einsetzen von Gl. 6-17 in die homogene Differenzialgleichung 0w h =ΔΔ liefert:

0YXYX2YX =′′′′+′′′′+′′′′

und nach Umordnung

0Y

YYY

XX2

XX

=′′′′

+′′′′

+′′′′

Gl. 6-18

Eine Separierung der beiden Unbekannten Funktionen X(x) und Y(y) gelingt, wenn wir

2

XX

λ−=′′

Gl. 6-19


und damit

XXX 42 λ=′′λ−=′′′′ Gl. 6-20

fordern. Für X(x) folgt aus Gl. 6-19 und dem noch unbekannten Separationsparameter λ die Lösung

xsinAxcosA)x(X 21 λ+λ= Gl. 6-21

Einsetzen von Gl. 6-19 in Gl. 6-18 unter Beachtung von Gl. 6-20 liefert die gewöhnlichen Diffe-renzialgleichung

0YY2Y 42 =λ+′′λ−′′′′ Gl. 6-22

für die Funktion Y(y), die mit dem Ansatz

)yexp()y(Y α= Gl. 6-23

auf die charakteristischen Gleichung

0)( 222 =λ−α Gl. 6-24

führt. Ihre Lösungen sind λ−=αλ−=αλ=αλ=α 4321 ;;; . Unter Beachtung der Doppel-

wurzeln erhalten wir die vier linear unabhängigen Lösungen

y4

y3

y2

y1 yeCyeCeCeC)y(Y λ−λλ−λ λ+λ++= Gl. 6-25

oder unter Verwendung der Hyperbelfunktionen

ysinhyCycoshyCysinhCycoshC)y(Y 4321 λλ+λλ+λ+λ= Gl. 6-26

Damit ist die vollständige Lösung der homogenen Differenzialgleichung

)xsinAxcosA)(yeCyeCeCeC()y,x(w 21y

4y

3y

2y

1h λ+λλ+λ++= λ−λλ−λ Gl. 6-27



)xsinAxcosA)(ysinhyCycoshyCysinhCycoshC()y,x(w 214321h λ+λλλ+λλ+λ+λ=

Gl. 6-28

Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung soll an den Längsrändern bereits die Rand-bedingungen eines gelenkig gelagerten Randes erfüllen, also

asinA)a(X0)y,a(wA)0(X0)y,0(w

2h

1h

λ======

Gl. 6-29

Die nichttriviale Lösung ( 0A 2 ≠ ) fordert 0asin =λ , was durch

an

nπ

=λ=λ (n = 1,2,3..) Gl. 6-30

erfüllt wird. Von Gl. 6-21 verbleibt dann lediglich

axnsinA)x(X)x(X n,2nπ

=→ Gl. 6-31

Wegen

( ) ( )XYYNYXYXNyw

xwNm 2

n2

2

2

2

xx ′′ν+λ−−=′′ν+′′−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

ν+∂∂

−=

sind die Randbedingungen 0)y,0(m xx = und 0)y,a(m xx = mit Gl. 6-31 dann automatisch

auch erfüllt, weil X(0) = X(a) = 0 ist. Mit neuen Konstanten erhalten wir

∑∞

=

λ−λλ−λ λλ+λ++=1n

ny

nn4y

nn3y

n2y

n1h xsin)yeCyeCeCeC()y,x(w nnnn Gl. 6-32


∑∞

=

λλλ+λλ+λ+λ=1n

nnnn4nnn3nn2nn1h xsin)ysinhyCycoshyCysinhCycoshC()y,x(w

Gl. 6-33


Hinweis: Da die homogene Lösung an den Längsrändern bereits sämtliche Randbedingungen erfüllt, dürfen diese durch Hinzufügen eines Partikularintegrals nicht mehr gestört werden. Zur Herleitung einer partikulären Lösung beachten wir, dass sich die Belastung in Produkt-form )y(r)x(q)y,x(p = schreiben lassen soll. Außerdem wird die Belastung in x-Richtung

antimetrisch bezüglich x = 0 entwickelt. Dann gelte

∑∞

=

π=

1nn a

xnsinq)x(q Gl. 6-34

und damit

∑∑∞

=

∞

= =

π=

π=

1jn

1j )y(p

n axnsin)y(p

axnsin)y(rq)y,x(p

n

321 Gl. 6-35

In pn(y) sind der funktionale Verlauf der Last in y-Richtung und die Fourier-Koeffizienten der x-Richtung enthalten. Die Fourierentwicklung einer konstanten Belastung in x-Richtung folgt sofort aus Gl. 6-10, wenn wir dort u = c = a/2 setzen

..)5,3,1n(.konstnp4

2nsin

np4

)y(p 02

0n ==

π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

π= Gl. 6-36

Für die Verschiebung wp(x,y) wird ein zu Gl. 6-35 entsprechender Ansatz gemacht

∑∞

=

π=

..5,3,1npnp a

xnsin)y(w)y,x(w Gl. 6-37

Einsetzen von Gl. 6-37 und Gl. 6-35 in Gl. 6-15 liefert

[ ]a

xnsinN

)y(pa

xnsin)y(w)y(w2)y(w..5,3,1n

n

..5,3,1npnpn

2npn

4n

π=

π′′′′+′′λ−λ ∑∑∞

=

∞

=

Gl. 6-38

Der Koeffizientenvergleich in axnsin π erfordert

N)y(p

)y(w)y(w2)y(w npn

4npn

2npn =λ+′′λ−′′′′ Gl. 6-39


Aus dieser Differenzialgleichung ist eine Partikulärlösung )y(w pn zu bestimmen. Ist diese

gefunden, dann lautet die Gesamtlösung

[ ]∑∞

=

λ−λλ−λ λ++++=..5,3,1n

ny

n4y

n3y

n2y

n1pn xsinyeCyeCeCeC)y(w)y,x(w nnnn Gl. 6-40

oder

[ ]∑∞

=

λλ+λ+λ+λ+=..5,3,1n

nnn4nn3nn2nn1pn xsinysinhyCycoshyCysinhCycoshC)y(w)y,x(w

Gl. 6-41

Im Falle der Gleichlast p(x,y) = p0 ist die rechte Seite von Gl. 6-39 mit π

=np4

)y(p 0n konstant.

Mit dem Ansatz .konstK)y(w np == folgt aus Gl. 6-39:

Nnp4

N)y(pK 0n4

n π==λ

und damit

Nnap4

)y(w 55

40

np π= Gl. 6-42

Die obigen Gleichungen enthalten noch vier freie Konstanten, die aus den vier Randbedin-gungen an zwei gegenüberliegenden Rändern in y-Richtung zu berechnen sind. Wegen ∞≠∞),x(w müssen für den Plattenhalbstreifen 0CC n3n1 == gefordert. Mit neuen

Konstanten erhalten wir

( )∑∞

=

λ− λ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ++

π=

K5,3,1nn

ynnn55

40 xsineyBA

n1

Nap4

)y,x(w n Gl. 6-43

Aus Gl. 6-43 folgt durch Differenziation die vollständige Lösung des Halbstreifens mit kon-stanter Flächenlast


( )

( )[ ]

( )[ ]

[ ]

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

λπ

−=

λ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π=

λλ−−πν−

=

λ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ λ+ν−−+ν

π=

λ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ λ+ν−+ν+

π=

λ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ++

π=

K

K

K

K

K

K

5,3,1nn

yn

320

y

5,3,1nn

yn5

320

x

5,3,1nn

ynnn

23

20

xy

5,3,1nn

ynnnn5

23

20

yy

5,3,1nn

ynnnn5

23

20

xx

5,3,1nn

ynnn55

40

xsineBnap8

)y,x(q

xcoseB2n1n

ap4)y,x(q

xcose)y1(BAnap)1(4

)y,x(m

xsineyBA)1(B2n

nap4

)y,x(m

xsineyBA)1(B2n1n

ap4)y,x(m

xsineyBAn1

Nap4

)y,x(w

n

n

n

n

n

n

Gl. 6-44

Für die Lösung des Halbstreifens mit eingespanntem kurzem Rand wird die Tangentennei-gung der Biegefläche in y-Richtung benötigt. Es gilt:

[ ]∑∞

=

λ− λλ−−π

−=∂

∂

K5,3,1nn

ynnn4

30 xsine)y1(BAnNap4

y)y,x(w

n

und an der Stelle y = 0 ist

( )∑∞

=

λ−π

−=∂

=∂

K5,3,1nnnn4

30 xsinBAnNap4

y)0y,x(w Gl. 6-45

Die Randquerkräfte sind

[ ]

[ ]∑

∑∞

=

λ−

∞

=

λ−

λν++λ+ν−π

−=

λ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ λ+ν−−ν−+

π=

K

K

5,3,1nn

ynnnn

320

y

5,3,1nn

ynnnn5

320

x

xsineB)1()yBA)(1(nap4

)y,x(q

xcose)yBA)(1(B)2(2n1n

ap4)y,x(q

n

n

Gl. 6-46

und die Auflagerkräfte

[ ]

[ ]∑

∑∞

=

∞

=

λ−

λν++ν−π

−==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ λ+ν−−ν−+

π==

K

K

5,3,1nnnn

320

y

5,3,1n

ynnnn5

320

x

xsinB)1(A)1(nap4

)0y,x(q

e)yBA)(1(B)2(2n1n

ap4)y,0x(q n

Gl. 6-47


Die Lösung des unendlich langen Plattenstreifens unter Gleichlast entsprechend Gl. 6-4 können wir auch aus Gl. 6-44 gewinnen, wenn wir dort den Grenzübergang ∞→y durchführen. Dann

erhalten wir

0qm

)21(2ap

axncos

n1ap4

q

)1(2ap

axnsin

n1ap4

m

)1(2ap

axnsin

n1ap4

m

)12(N24ap

axnsin

n1

Nap4

w

yxy

0

5,3,1n22

0x

20

5,3,1n33

20

yy

20

5,3,1n33

20

xx

234

0

5,3,1n55

40

==

ξ−=π

π=

ξ−ξν

=π

πν

=

ξ−ξ=π

π=

+ξ−ξξ=π

π=

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

K

K

K

K

Gl. 6-48

Die Auflagerkräfte bei x = 0 sind, wenn wir beachten, dass 2

5,3,1n2 8

1n1

π=∑∞

= K

gilt:

2ap

n1ap4

)y,0x(q 0

5,3,1n22

0x =

π== ∑

∞

= K

Gl. 6-49

6.2.1 Der Plattenhalbstreifen mit gelenkiger Lagerung des kurzen Randes

Abb. 6-7 Gelenkig gelagerter Plattenstreifen

Die Lösung Gl. 6-44 ist am kurzen Rand an die Randbedingungen eines gelenkig gelagerten Randes anzupassen. Dort müssen

∑∞

=

λ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

π==

K5,3,1nnn55

40 xsinA

n1

Nap4

0)0,x(w


[ ]∑∞

=

λ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ν−+ν+

π==

K5,3,1nnnn5

23

20

yy xsinA)1(B2n1n

ap40)0,x(m

erfüllt sein, was

5nn5n n1

21A

21B;

n1A −==−= Gl. 6-50

erfordert. Damit erhalten wir die vollständige Lösung

( )

( )

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

λπ

=

λ−π

=

λλ+πν−

−=

λ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

ν−−ν−ν

π=

λ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

ν−+−

π=

λ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ+−

π=

K

K

K

K

K

K

5,3,1nn2

y

20

y

5,3,1nn

y22

0x

5,3,1nn

yn33

20

xy

5,3,1nn

yn33

20

yy

5,3,1nn

yn33

20

xx

5,3,1nn

yn55

40

xsinn

eap4)y,x(q

xcose1n1ap4

)y,x(q

xcosey1n1ap)1(2

)y,x(m

xsiney2

1n1ap4

)y,x(m

xsiney2

111n1ap4

)y,x(m

xsiney2111

n1

Nap4

)y,x(w

n

n

n

n

n

n

Gl. 6-51

Die Auflagerkräfte sind

∑

∑∞

=

∞

=

λ−

λπν−

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

ν−−−

π==

K

K

5,3,1nn22

0y

5,3,1n

yn22

0x

xsinn1ap)3(2

)0y,x(q

ey2

111n1ap4

)y,0x(q n

Gl. 6-52

In den Ecken treten Drillmomente auf. Bei x = y = 0 ist

∑∞

=πν−

−=K5,3,1n

33

20

xy n1ap)1(2

m Gl. 6-53

Damit existieren in den Ecken die Einzelkräfte

∑∞

=πν−

−==K5,3,1n

33

20

xy n1ap)1(4

m2A Gl. 6-54


Abb. 6-8 Durchbiegung w (ν = 1/3)

Abb. 6-9 Biegemoment mxx (ν = 1/3)


Abb. 6-10 Biegemoment myy (ν = 1/3)

Abb. 6-11 Drillmoment mxy (ν = 1/3)


Abb. 6-12 Querkraft qx (ν = 1/3)

Abb. 6-13 Querkraft qy (ν = 1/3)


Tragen wir das Biegemoment

∑∞

=

λ− π⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

ν−−ν−ν

π==

K5,3,1n

yn33

20

yy 2nsiney

21

n1ap4

)y,2/ax(m n

an der Stelle x = a/2 längs y auf, dann ergibt sich ein Verlauf entsprechend Abb. 6-14.

Abb. 6-14 Biegemoment myy (a/2,y)

Von Interesse ist noch die Verteilung der Auflagerkraft längs des Randes y = 0

∑∞

=

ππν−

=K5,3,1n

220

y axnsin

n1ap)3(2

)0,x(q Gl. 6-55

Der Maximalwert der Auflagerkraft tritt an der Stelle x = a/2 auf. Dort ist der Wert der Sum-me

91596,00204,00400,01111,01)1(n1

2nsin

n1

5,3,1n

21n

25,3,1n

2 =−+−=−=π ∑∑

∞

=

−∞

=

LKK

und wir erhalten

ap)3(1856,02

nsinn1ap)3(2

)0,2/a(q 05,3,1n

220

y ν−=π

πν−

= ∑∞

= K

Gl. 6-56


Abb. 6-15 Auflagerkraft yq am Rand y = 0

Die Auswertung der Gleichung für das Drillmoment bei x = a und y = 0 liefert:

∑∞

=πν−

−=K5,3,1n

33

20

xy n1ap)1(2

)0,a(m

Beachten wir, dass 0518,1008,0037,01n1

5,3,1n3 =+++=∑

∞

=

KK

ist, dann erhalten wir

2

0xy ap)1(06784,0)0y,ax(m ν−−=== Gl. 6-57

und damit existiert in der Ecke x = y = 0 die Einzelkraft1

20xy aν)p1(13569,0m2A −−== Gl. 6-58

die nach unten gerichtet ist. In der gegenüberliegenden Ecke bei x = a und y = 0 dreht sich das Vorzeichen für das Drillmoment um, auch in dieser Ecke tritt eine nach unten gerichtete Ein-zelkraft auf, die denselben Betrag nach Gl. 6-58 hat.

1 Für p0 = 2kN, ν = 0.2, a = 5m erhalten wir z.B.: kN43,5528,01357,0A 2 −=⋅⋅⋅−=


Abb. 6-16 Auflagerkraft y)(0,qx

In Abb. 6-17 sind die Auflagerkräfte und die Eckenkräfte mit ihrer positiven Wirkungsrichtung eingetragen. Die Eckenkräfte A sind erforderlich, um die Ecken der Platte auf ihre Auflager-ebene hinunterzudrücken. Ohne diese Eckenkräfte würde sich die Platte von ihrer Unterlage abheben.

Abb. 6-17 Auflagerkräfte und Eckenkräfte bei der allseits gelenkig gelagerten Platte

Unabhängig von der Querdehnung gilt in hinreichender Entfernung vom Rand y = 0


ap21

n1ap4

qlim 05,3,1n

220

xy ∑∞

=∞→

=π

=K

Gl. 6-59

In der Ecke x = y = 0 treten die folgenden Momente auf:

∑∞

=πν−

−=

==

K5,3,1n33

20

xy

yyxx

n1ap)1(2

m

0mm

Wegen mxx = myy = 0 sind die Richtungen der Hauptbiegemomente unter einem Winkel von

4π=ϕ gegenüber der positiven x-Achse

geneigt.. Die Transformationsformeln liefern:

xyxyyy

xyxyxx

m2

sinmm

m2

sinmm

−=π

−=

=π

=

In den Ecken haben die Hauptbiegemomente offensichtlich die gleiche Größenordnung wie das dort vorhandene Drillmoment.

Abb. 6-18 Drillbewehrung in den Ecken, an denen zwei gelenkig gelagerte Ränder zusammenstoßen

Bei Stahlbetonrechteckplatten ist deshalb bei unter 90° zusammentreffenden gelenkig gela-gerten Rändern in der Ecke eine Drillbewehrung anzuordnen (s. h. DIN 1045 und Spezial-vorlesungen Massivbau). An der Oberseite ist die Bewehrung in Richtung der Winkelhalbie-renden und an der Unterseite senkrecht dazu anzuordnen. Diese Anordnung ergibt sich aus der Wirkungsrichtung der Hauptbiegemomente.


6.2.2 Der Plattenhalbstreifen mit Einspannung des kurzen Randes

Abb. 6-19 Plattenhalbstreifen mit Einspannung des kurzen Randes

Die Konstanten An und Bn in Gl. 6-44 sind aus den Randbedingungen

[ ]∑

∑∞

==

∞

=

λ−π

−==∂

∂

λ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

π===

K

K

5,3,1nnnn4

30

0y

5,3,1nnn55

40

xsinBAnNap4

0y

)y,x(w

xsinAn1

Nap4

0)0y,x(w

zu ermitteln. Aus der ersten Beziehung ergibt sich unmittelbar: 5n n1A −= . Die zweite Bezie-

hung erfordert 5nn n1BA −== . Damit erhalten wir endgültig

( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ]

( )

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

λπ

=

λ−π

=

λλπν−

−=

λλν−−ν+−νπ

=

λλν−+ν+−π

=

λλ+−π

=

K

K

K

K

K

K

5,3,1nn2

y

20

y

5,3,1nn

y22

0x

5,3,1nn

yn33

20

xy

5,3,1nn

yn33

20

yy

5,3,1nn

yn33

20

xx

5,3,1nn

yn55

40

xsinn

eap8)y,x(q

xcose21n1ap4

)y,x(q

xcoseyn1ap)1(4

)y,x(m

xsiney1)1(n1ap4

)y,x(m

xsiney111n1ap4

)y,x(m

xsiney11n1

Nap4

)y,x(w

n

n

n

n

n

n

Gl. 6-60



Die Randquerkräfte sind

[ ]

[ ]∑

∑∞

=

∞

=

λ−

λλν−+π

=

λν−−λν−+π

=

K

K

5,3,1nnn22

0y

n5,3,1n

yn22

0x

xsiny)1(2n1ap4

)y,x(q

xcose)3(y)1(1n1ap4

)y,x(q n

Gl. 6-61

und die Auflagerkräfte

[ ]

∑

∑∞

=

∞

=

λ−

λπ

==

ν−−λν−+π

==

K

K

5,3,1nn22

0y

5,3,1n

yn22

0x

xsinn1ap8

)0y,x(q

e)3(y)1(1n1ap4

)y,0x(q n

0)0,0(q2

ap)2(n1ap)2(4

)0,0(q

y

0

5,3,1n22

0x

=

ν−−=

πν−

−= ∑∞

= K


6.2.3 Der Plattenhalbstreifen mit freiem kurzen Rand

Abb. 6-21 Plattenhalbstreifen mit freiem kurzen Rand

Die Konstanten An und Bn in Gl. 6-44 sind jetzt aus den Randbedingungen

0)0y,x(q

0)0y,x(m

y

yy

==

==

zu ermitteln. Mit

∑∞

=

λ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν−−+ν

π===

K5,3,1nnnn5

22

20

yy xsinA)1(B2n

nap4

0)0y,x(m

und

[ ]∑∞

=

λν++ν−π

−===K5,3,1n

nnn30

y xsinB)1(A)1(nap4

0)0y,x(q

erhalten wir das lineare Gleichungssystem

0B)1(A)1(n

B2A)1(

nn

5nn

=ν++ν−

ν=−ν−

Die Auflösung liefert

5n5n n)3(B;

n)1)(3()1(A

ν+ν

−=ν−ν+ν+ν

=

und damit die vollständige Lösung


∑

∑

∑

∑

∑

∑

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

∞

=

λ−

λν+

νπ

=

λ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ν+−

π=

λ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ

ν−−

ν+ν

π=

λ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ

ν+ν−

−−νπ

=

λ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ−

ν+ν−

ν+π

=

λ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ−

ν−ν+

ν+ν

+π

=

K

K

K

K

K

K

5,3,1nn2

y

20

y

5,3,1nn

y22

0x

5,3,1nn

yn33

20

xy

5,3,1nn

yn33

20

yy

5,3,1nn

yn33

20

xx

5,3,1nn

yn55

40

xsinn

e3

ap8)y,x(q

xcose3

21n1ap4

)y,x(q

xcosey2

11n1

3ap8

)y,x(m

xsine)y311(1

n1ap4

)y,x(m

xsine)y1(311

n1ap4

)y,x(m

xsiney11

31

n1

Nap4

)y,x(w

n

n

n

n

n

n




Abb. 6-24 Drillmoment (ν = 0)

Die Durchbiegung am Rand y = 0 ist


∑∞

=

λν−ν+

ν−π

==K5,3,1n

n55

40 xsin

n1

)1)(3(3

Nap4

)0y,x(w .

Beachten wir, dass gilt (Beweis durch Fourier-Entwicklung)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛π

=π

=λ ∑∑∞

=

∞

= ax

ax2

ax

96axnsin

n1xsin

n1 345

5,3,1n5

5,3,1nn5

KK

und damit ( )a/x=ξ

( ) ( )ξ+ξ−ξν=ξ+ξ−ξν−ν+

ν−== 34

4034

40 2

N24ap

)(g2N24ap

)1)(3(3)0y,x(w

Der freie Rand des Halbstreifens verbiegt sich damit wie die weit entfernt liegenden Platten-

bereiche, nur sind die Durchbiegungen um den Faktor )1)(3(

3)(gν−ν+

ν−=ν größer.

ν ν = 0 ν = 1/5 ν = 1/3 ν = 1/2

g(ν) 1 0938,13235

= 2,156= 4286,1

710

=

Die maximale Durchbiegung tritt bei x = a/2 auf

Nap

3845)(g

N24ap

165)(g)0y,x(w

40

40 ν=ν==

In der Ecke des Halbstreifens tritt bei x = y = 0 das Drillmoment1

∑∞

=ν+ν

π=

K5,3,1n33

20

xy n1

3ap8

)0,0(m

auf. Damit entsteht wieder eine Eckenkraft

20

5,3,1n33

20

xy ap3

543,0n1

3ap16

m2Aν+

ν≈

ν+ν

π== ∑

∞

= K

die z.B. für 5/1=ν (Stahlbeton) den Wert 20ap034,0A = annimmt. Für 0=ν verschwindet

die Eckenkraft. Von Interesse ist noch das Biegemoment mxx am Rand y = 0. Wir erhalten

1 0518,1n1

5,3,1n3≈∑

∞

= K


∑∞

=

λ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ν+ν−

ν+π

==K5,3,1n

n33

20

xx xsin311

n1ap4

)0y,x(m

Beachten wir: ( )ξ−ξπ

=λ∑∞

=

18

xsinn1 3

5,3,1nn3

K

dann kommt: )1(2ap

)(h)0y,x(m2

0xx ξ−ξν==

mit ν+ν−

ν+=ν311)(h

ν ν = 0 ν = 1/5 ν = 1/3 ν = 1/2

h(ν) 1 05,12021

= 06667,11516

= 0714,11415

=

Das maximale Moment tritt bei x = a/2 auf. Dort gilt: 8ap

)(h)0y,2/ax(m2

0xx ν===

6.3 Die allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter Gleichlast

Abb. 6-25 zeigt eine allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast p(x,y) = p0

Abb. 6-25 Die allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast p0

6.3 Die allseits gelenkig gelagerte Rechteckplatte unter Gleichlast 163

Als partikuläre Lösung verwenden wir die Lösung des unendlich langen Plattenstreifens mit p0 = konst. Die Belastung konnte in eine Fourier-Reihe entwickelt werden

)a/x(nsinn1p4

)y,x(p5,3,1n

0 =ξπξπ

= ∑∞

= K

Gl. 6-62

Für die Verschiebung erhielten wir

πξπ

= ∑∞

=

nsinn1

Nap4

)y,x(w5,3,1n

55

40

pK

Gl. 6-63

Diese Lösung erfüllt bereits die inhomogene Plattengleichung. Sie enthält also die Belastung und befriedigt an den Längsrändern ( a,0x = ) die Randbedingungen eines gelenkig gelager-

ten Randes. Um die geforderten Randbedingungen an den Rändern 2by ±= in Ordnung zu

bringen, benötigen wir noch Integrale der homogenen Plattengleichung, die die Randwerte an den Längsrändern, die ja bereits den endgültigen Randwerten entsprechen, nicht mehr verän-dern dürfen. Die Lösung der homogenen Plattengleichung ist ( )a/y=η

∑∞

=

πξ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πηπη+πη

+πηπη+πη=

K5,3,1n n4n3

n2n1h nsin

ncoshnCnsinhCnsinhnCncoshC

)y,x(w Gl. 6-64

Die vollständige Lösung w = wp + wh schreiben wir dann mit neuen Konstanten

∑∞

=

πξ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πηπη+πη

+πηπη+πη+

π=

K5,3,1n nn

nn55

40 nsin

ncoshnDnsinhCnsinhnBncoshA1

n1

Nap4

)y,x(w Gl. 6-65

Aufgrund der Symmetrie in System und Belastung muss w(x,-y) = w(x,y) erfüllt sein, was

0DC nn == Gl. 6-66

erfordert. Dann verbleibt von Gl. 6-65

( )∑∞

=

πξπηπη+πη+π

=K5,3,1n

nn55

40 nsinnsinhnBncoshA1

n1

Nap4

)y,x(w Gl. 6-67

An den Rändern 2by ±= müssen die Navierschen Randbedingungen


0)2by,x(w0)2by,x(w

==Δ==

Gl. 6-68

erfüllt sein. Das erfordert ( a/b=β )

βπ

=β

π

+βπ

βπ

−=

2ncosh2

1B;

2ncosh2

22

ntanh2

nA nn Gl. 6-69

Einsetzen der obigen Konstanten in Gl. 6-65 liefert die Verschiebungen und nach entsprechen-der Differenziation die Schnittlasten

[ ]

[ ]

[ ]

( )

( )

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

πξπηπ

−=

πξ−πηπ

−=

πξ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡πηπη

+πη+

πν−

−=

πξ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

πηπην−−πη+ν−−ν

π=

πξ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

πηπην−+πην−ν−+

π=

πξπηπη+πη+π

=

K

K

K

K

K

K

5,3,1nn22

0y

5,3,1nn22

0x

5,3,1n n

nn33

20

xy

5,3,1n n

nn33

20

yy

5,3,1n n

nn33

20

xx

5,3,1nnn55

40

nsinnsinhBn1ap8

q

ncos1ncoshB2n1ap4

q

ncosncoshnBnsinhBA

n1ap)1(4

m

nsinnsinhnB)1(ncoshB2A)1(

n1ap4

m

nsinnsinhnB)1(ncoshB2A)1(1

n1ap4

m

nsinnsinhnBncoshA1n1

Nap4

w

Gl. 6-70

Von Interesse sind noch die Auflagerkräfte. Dazu beachten wir

xm

qq;y

mqq xy

yyxy

xx ∂

∂+=

∂

∂+= Gl. 6-71

Die Reihe für die Verschiebungsfunktion w hat eine sehr gute Konvergenz. Das trifft auch noch für die Ableitungen zu, wie das Ausrechnen beweist. Wir beschränken uns im Folgen-den auf eine quadratische Platte (a = b) und wollen zunächst die Durchbiegung in Plattenmitte (x = a/2, y = 0) berechnen


[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ π+

ππ

=π

+π

= ∑ ∑∑∞

=

∞

=

∞

= K KK 5,3,1n 5,3,1nn555

40

5,3,1nn55

40

max 2nsinA

n1

2nsin

n1

Nap4

2nsinA1

n1

Nap4

w

Nach Gl. 6-69 ist

2ncosh2

22

ntanh2

nAn π

+ππ

−=

Unter Beachtung von: 5

5,3,1n

21n

55,3,1n

5 15365)1(

n1

2nsin

n1

π=−=π ∑∑

∞

=

−∞

= KK

erhalten wir zunächst:

∑∞

=

−

π

+ππ

−π

−=K5,3,1n

5

21n

5

40

40

max

2ncosh2

22

ntanh2

n

n)1(

Nap4

Nap

3845w

Ausrechnen liefert (hier reichen drei Reihenglieder):

Nap

16,2461

Nap

0040624,0w4

04

0max ==

Das maximale Biegemoment mxx in Feldmitte einer quadratischen Platte erhält man für den Sonderfall 0=ν aus Gl. 6-70 zu

( )( ) 21n

5,3,1nn33

20

xx 1A1n1ap4

)0,2/a(m−

∞

=∑ −+

π=

K

und unter Berücksichtigung der Konstanten An

∑∞

=

−

−⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

π

+ππ

−π

=K5,3,1n

21n

33

20

xx )1(

2ncosh2

22

ntanh2

n1

n1ap4

)0,2/a(m

Die Auswertung dieser Reihe liefert (9 Reihenglieder)

2,27ap

ap0368,0)0,2/a(m2

020xx ==



Abb. 6-27 Höhenlinien der Durchbiegung w (ν = 1/3)



Abb. 6-31 Querkraft qx (ν = 1/3)

6.4 Die auf vier Eckstützen gelagerte Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast 169

6.4 Die auf vier Eckstützen gelagerte Rechteckplatte un-ter konstanter Flächenlast

Abb. 6-32 Rechteckplatte auf vier Einzelstützen unter konstanter Belastung

Abb. 6-32 zeigt eine Rechteckplatte unter konstanter Flächenlast p0, die an den vier Eckpunkten gelagert ist. Aufgrund der Symmetrie in System und Belastung muss das Verschiebungsfeld w(x,y) symmetrisch in x und y sein. Die folgenden Untersuchungen zeigen, dass der Ansatz

46

225

44

23

221 yCyxCxCyCxCC)y,x(w +++++= Gl. 6-72

für die Durchbiegung w(x,y) dieses Problem näherungsweise löst. Gl. 6-72 besitzt offensicht-lich die geforderte Symmetrie. Da nur 6 Konstanten vorhanden sind, ist eine exakte Lösung nicht zu erwarten. Der Verschiebungsansatz muss selbstverständlich die Plattendifferenzial-

gleichung Np

)y,x(w 0=ΔΔ erfüllen. Das erfordert für die Konstanten

Np

C24C8C24 0654 =++ Gl. 6-73

An den freien Ränder müssen außerdem die Randquerkräfte verschwinden, also


( ) 0yw2

xw

xN)y,x(q

y,ax2

2

2

2

x =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν−+∂∂

∂∂

−=±=

Gl. 6-74

und

( ) 0xw2

yw

yN)y,x(q

x,by2

2

2

2

y =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

ν−+∂∂

∂∂

−=±=

Gl. 6-75

Gl. 6-74 und Gl. 6-75 erfordern

0C)2(C60C)2(C6

56

54

=ν−+=ν−+

Gl. 6-76

Aus Gl. 6-73 und Gl. 6-76 lassen sich bereits die Konstanten

460

50

4 CC;1

1N8

pC;

12

N48p

C =ν−

−=ν−ν−

= Gl. 6-77

berechnen. Einsetzen dieser Konstanten in Gl. 6-72 liefert zunächst für das Verschiebungsfeld

]yx6)yx)(2[()1(N48

pyCxCC)y,x(w 224402

32

21 −+ν−ν−

+++= Gl. 6-78

mit noch zu bestimmenden Konstanten C1-C3. Zu diesem Verschiebungsfeld gehören die Schnittlasten

[ ] [ ]

[ ] [ ]

y2

p)y,x(q;x

2p

)y,x(q

xy2

p)y,x(m

yx)2()1(N4

pC2xy)2(

)1(N4p

C2N)y,x(m

xy)2()1(N4

pC2yx)2(

)1(N4p

C2N)y,x(m

0y

0x

0xy

2202

2203yy

2203

2202xx

−=−=

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−ν−

ν−+ν+−ν−

ν−+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−ν−

ν−+ν+−ν−

ν−+−=

Gl. 6-79

Offensichtlich haben die noch verbleibenden Konstanten C1-C3 keinen Einfluss auf das Drill-moment und die Querkräfte. An den rechtwinkligen Plattenecken entstehen die Eckkräfte

abp)by,ax(m2A 0xy ==== Gl. 6-80


die mit der Gesamtbelastung abp4R 0= im Gleichgewicht stehen. An den freien Rändern

müssen neben den Randquerkräften auch die Biegemomente verschwinden. Offensichtlich lassen sich aber mit Gl. 6-79 durch keine Wahl der Konstanten diese Momente zum Ver-schwinden bringen. Dazu reicht der Verschiebungsansatz Gl. 6-72 nicht aus. Fordern wir je-doch etwas abgeschwächt, nur das Verschwinden der Biegemomente im integralen Mittel, also

∫∫==

====a

0xyy

b

0yxx 0dx)by,x(m;0dy)y,ax(m Gl. 6-81

dann folgen aus Gl. 6-81 zwei weitere Bestimmungsgleichungen

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 0a1b6pCCN24

0b1a6pCCN2422

023

22032

=ν−−+ν+

=ν−−+ν+ Gl. 6-82

An den Ecken ( ax ±= , by ±= ) müssen die Verschiebungen verschwinden. Das erfordert

zusätzlich

[ ] 0ba6)ba)(2()1(N48

pbCaCC)by,ax(w 224402

32

21 =−+ν−ν−

+++=== Gl. 6-83

Aus Gl. 6-82 und Gl. 6-83 erhalten wir die verbleibenden Konstanten ( α==β=α 1ab;ba )

[ ]

[ ]

[ ])51(6)1()1(N24

bpC

)51(6)1()1(N24

apC

)71(2))(10()1(N48

apC

22

20

3

22

20

2

22222

40

1

ν+α+−−ννν−

=

ν+β+−−ννν−

=

ν−+β+αν−ν+βν−

=

Gl. 6-84

Unter Beachtung der Abkürzungen α==β=α=η=ξ 1ab;ba;by;ax erhalten wir

abschließend für die Verschiebungen

( )[ ]

[ ] ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ηξ−ηβ+ξαν−ν++

+η+ξ+ν+ηβ+ξα−ν−ν+

+ν−+ν−ν+β+α

ν−=ηξ

224242

2222222

222

2

220

6))(2()1())(15())(6(2

)71(210)(

)1(N48bap

),(w Gl. 6-85

und die Schnittlasten


[ ]

[ ]

η−=ηξξ−=ηξ

ξη=ηξ

−ξν−α+η−=ηξ

−ην−β+ξ−=ηξ

2bp

),(q;2ap

),(q

2abp

),(m

)13)(1()1(612

bp),(m

)13)(1()1(612

ap),(m

0y

0x

0xy

2222

0yy

2222

0xx

Gl. 6-86

Die maximale Durchbiegung tritt in Feldmitte bei 0=η=ξ auf

( )[ ])71(210)()1(N48

bap)0,0(ww 222

2

220

max ν−+ν−ν+β+αν−

==η=ξ= Gl. 6-87

Dort werden auch die Biegemomente extremal

[ ]

[ ])1(612

bp)0,0(m

)1(612

ap)0,0(m

22

0yy

22

0xx

ν−α−==η=ξ

ν−β−==η=ξ Gl. 6-88

Wir haben darauf hingewiesen, dass aufgrund der Schwäche des Verschiebungsansatzes an den Rändern die Biegemomente nur im integralen Mittel verschwinden. Hier gilt:

)13)(1(12

ap)1,(m

)13)(1(12

bp),1(m

22

0yy

22

0xx

−ξν−=±=ηξ

−ην−=η±=ξ Gl. 6-89


Abb. 6-33 Quadratische Platte, bezogene Durchbiegung (ν = 0)

Abb. 6-34 Quadratische Platte, bezogene Durchbiegung w~ (ν = 0), Höhenliniendarstellung


Abb. 6-35 Quadratische Platte, normierte Biegemomente mxx / (p0 a2) für ν = 0

Abb. 6-36 Quadratische Platte, normierte Biegemomente myy / (p0 a2) für ν = 0


Abb. 6-37 Quadratische Platte, normierte Drillmomente mxy / (p0 a2) für ν = 0

7 Die schubelastische Platte 7.1 Allgemeines

Die klassische Plattentheorie, die nach ihrem Vollender als Kirchhoffsche1 Plattentheorie be-zeichnet wird, führt bekanntlich auf eine partielle Differenzialgleichung 4. Ordnung für die Plattendurchbiegung w. In praktischen Anwendungen wird diese Theorie mit viel Erfolg ein-gesetzt. Sie hat physikalisch jedoch den Nachteil, dass die Erfüllung nur zweier Randbedin-gungen je Randpunkt möglich ist. Es liegt aber in der Natur der Sache, dass genau drei Rand-wertaussagen getroffen werden müssen. Nach einem Vorschlag von Thomson und Tait wird deshalb in der klassischen Plattentheorie das Drillmoment und die Querkraft am Rand zu ei-ner Schnittgröße, der Randquerkraft, zusammengefasst. Der Grund für die zu geringe Ord-nung der das Problem der Plattenbiegung beschreibenden Differenzialgleichung der Kirch-hoffschen Plattentheorie liegt in der Vernachlässigung der Querschubverzerrungen. Eine ver-feinerte Theorie, die von den Bernoullischen Hypothesen abgeht, wurde erstmalig von Reiss-ner2 veröffentlicht. Im Folgenden wird auf eine Plattenkinematik zurückgegriffen, die auf Mindlin3 zurückgeht. Diese Theorie führt auf ein System partieller Differenzialgleichungen, das insgesamt ein In-tegrationsproblem 6. Ordnung darstellt. Deren Lösungsvorrat erlaubt nun auf natürliche Wei-se die Erfüllung dreier Randbedingungen. Eine Zusammenstellung verfeinerter Plattentheo-rien findet sich bei Panc4.

7.2 Die Grundgleichungen einer schubelastischen Platte

Ähnlich wie in der klassischen Plattentheorie betrachten wir ein dünnes ebenes Flächentrag-werk konstanter Dicke h. Neben einer kartesischen Einheitsvektorbasis 321 ,, eee (Koordinaten

3,21 xx,x ) wird auf dem Gebietsrand G∂ eine orthogonale Einheitsvektorbasis n(s) und t(s)

vorgegeben. Die natürliche Koordinate s ist die Bogenlänge der Randkurve. Die Plattenmittel-

1 Gustav Robert Kirchhoff, deutsch. Physiker, 1824-1887 2 Reissner, E.: On the Theory of Bending of Elastic Plates. J. Math. Phys. 23 1944 3 Mindlin, R.D.: Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates. Journal of Applied Mechanics, 1951 4 Panc, V.: Theories of elastic Plates. Noordhoff, Int. Publ., Leyden 1975

178 7 Die schubelastische Platte

fläche fällt mit der 1-2-Ebene zusammen. G ist die offene Punktmenge im R2. Die Vereini-

gung von G und G∂ bezeichnen wir mit G .

G s1e

G

2e)s(n

)s(t

Abb. 7-1 Koordinaten in der Plattenebene

Mit der äußeren Normalen n(s) gilt dann die Beziehung

3)s()s( etn ×= Gl. 7-1

7.3 Plattenkinematik

P

P'

.h/2

h/2 e3

e3

x3

n up

w

wp∇⋅n

u

ωt ˆ⋅±

Abb. 7-2 Kinematik einer schubelastischen Platte

Es wird eine Kinematik entsprechend Abb. 7-2 unterstellt. Die in dieser Abbildung zum Aus-druck kommende Hypothese nimmt an, dass die Normalen zur Plattenmittelfläche gerade bleiben und auch keine Dehnungen erleiden. Allerdings stellt sich in Erweiterung zur klassi-schen Theorie ein Schubwinkel ein, der die Berücksichtigung der Querschubverzerrungen gestattet.

7.3 Plattenkinematik 179

In Anlehnung an Mindlin machen wir für die Verschiebung eines Punktes P auf der Platten-normalen mit dem Abstand x3 von der Mittelfläche den folgenden Ansatz

( ) 3321 xx,xˆ ewuu p ×++= ω Gl. 7-2

In Gl. 7-2 beschreibt pu den planaren Anteil der Mittelflächenverschiebung. Die Durchbiegung

der Plattenmittelfläche ( ) 321 x,xw ew = ist unabhängig von der Dickenrichtung. Mit

( ) ( ) 22121211 x,xx,xˆ ee ω+ω=ω Gl. 7-3

wird die Drehung der ursprünglich Normalen gegenüber dem Raum festgelegt. Bei den folgenden Herleitungen benutzen wir Bezeichnungen, die an dieser Stelle kurz erläu-tert werden. Vektoren werden durch kleine fette lateinische oder griechische Buchstaben ge-schrieben (z.B. u und ω ). Fette Großbuchstaben bezeichnen Tensoren zweiter Stufe. Das Zeichen ⊗ steht für das dyadische oder auch tensorielle Produkt zweier Vektoren. Der De-formator ( )∇∇ ⊗+⊗= __21_def ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, der für die

Beschreibung des Verzerrungszustandes bei kleinen Verformungen anfällt. Der Platzhalter _ steht dabei für einen planaren oder räumlichen Vektor. In kartesischen Koordinaten lautet der räumliche bzw. planare Nabla-Operator

33

22

11 xxx ∂

∂+

∂∂

+∂∂

= eee∇ 2

21

1p xx ∂∂

+∂∂

= ee∇

Der linearisierte Verzerrungstensor entspricht dem symmetrischen Anteil des Gradienten von u

( ) ( )33 ˆdefxsym eEEuE 3p0 ×=++=⊗= ωωω∇ Gl. 7-4

Die Verzerrung der Plattenmittelfläche

pdefuEp0 = Gl. 7-5

spielt bei kombinierten Platten- u. Scheibenproblemen eine Rolle. Das Verzerrungsmaß

( ) ( )[ ] [ ]ϕϕω∇ω∇ ⊗+⊗=+⊗+⊗+= 33p33p 21ww

21 eeeeE3 Gl. 7-6

mit dem Winkelvektor


ω∇ϕ += wp Gl. 7-7

der Relativverdrehung der Normalen gegenüber der Plattenmittelfläche beschreibt die Glei-tung des Plattenelementes. Der Übergang zur klassischen Plattentheorie wird durch den kine-matischen Zwang

wp∇ωϕ −=→= 0 Gl. 7-8

vollzogen, der als Bernoullische Hypothese bekannt ist. Dem Deformator von ω entspricht in der klassischen Plattentheorie der linearisierte Krümmungstensor. Im Folgenden werden nur Plattenprobleme behandelt. Der planare Verzerrungsanteil p0E wird deshalb nicht weiter be-

rücksichtigt. Von Gl. 7-4 verbleibt

3EE += ωdefx3 Gl. 7-9

7.4 Die statischen Grundgleichungen

Der Spannungszustand der Platte wird durch einen symmetrischen Tensor zweiter Stufe

TSS = beschrieben, der Spannungstensor genannt wird. Die Spannungen werden am Platten-rand r(s) zu resultieren Schnittlasten zusammengefasst. Mit dem ebenen Spannungstensor Sp definieren wir den Schnittmomententensor

∫−

=2h

2h

33dxxpSM Gl. 7-10

und damit den auf die Schnittlängeneinheit bezogenen Momentenvektor

3eMnm ×⋅−=n Gl. 7-11

Mit der Schnittquerkraft bezogen auf die Längeneinheit

( ) 3dx3

2h

2h

33n eSeeInq ⋅⋅⊗−⋅= ∫−

Gl. 7-12

und dem auf die Schnittlängeneinheit bezogenen Querkraftvektor

7.4 Die statischen Grundgleichungen 181

( ) QneeSeeIneq 3

2h

2h

333n ⋅=⊗⋅⋅⊗−⋅== ∫−

33n dxq~ Gl. 7-13

lässt sich die Existenz eines Querkrafttensors

( ) 3dx3

2h

2h

333 eeSeeIQ ⊗⋅⋅⊗−= ∫−

Gl. 7-14

nachweisen. In den obigen Gleichungen bezeichnet j

3

1jj eeI ∑

=

⊗= den Einheitstensor. Aus Gl.

7-13 folgt

33 eQqqneQneq ⋅=⇒⋅=⋅⋅==⋅ n3n q~ Gl. 7-15

An einem beliebig herausgeschnittenen Plattenteilgebiet G1 können Rand- und Oberflächen-lasten wirken.

dss

.

e1

e2

e3

)s(r

1G∂ 3eMn ×⋅−

Qn

G1

p m

nn

nq

Abb. 7-3 Schnitt- u. Oberflächenlasten einer Platte

Mit den flächenhaft verteilten Querlasten

33p ep = Gl. 7-16

und den Schüttmomenten

( )2211 mmˆ eemmem 3 +=×= Gl. 7-17

fordert das Kraftgleichgewicht in 3-Richtung


0dsdGp11 GG

3 =⋅+ ∫∫∂

qn Gl. 7-18

Die Anwendung des Gaußschen Integralsatzes für die Ebene

∫∫∂

=11 GG

p ds__dG__ n∇ Gl. 7-19

liefert

( ) 0p0dGp 3pG

p3

1

=+⋅⇔=⋅+∫ qq ∇∇ Gl. 7-20

Das Momentengleichgewicht bezogen auf einen beliebigen Punkt in der 1-2-Ebene lautet

( ) 0mqremprp =+×+×−× ∫∫∫ ∫∂∂

dsds~sdGdG111 1 G

nnG

pG G

3 Gl. 7-21

Die Randintegrale werden mit dem Gaußschen Integralsatz umgeformt. Im Einzelnen erhalten wir

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] dGdG

dGdG

dGds

dsdsds~

11

11

11

111

G3p

G3p

G3p

G3p

G3p3

G

33GGG

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫∫

×⋅⊗+⋅×=

⋅×+⋅×=

⋅×=⋅×=

⋅⋅×=⋅×=×

∂

∂∂∂

eqreqr

eqreqr

eqreqnr

eeQnrQnrqr

pp

pp

pp

ppnp

∇∇

∇∇

∇

sv

sv

t

Führen wir in die obige Beziehung mit p∇s

⊗= pp rI den planaren Einheitstensor ein, dann

folgt

( ) dGdGds~111 G

3G

3pG

∫∫∫ ×+⋅×=×∂

eqeqrqr pnp ∇v

Weiterhin gilt

∫∫∫∂∂∂

×⋅−=×⋅−=111 G

3pG

3G

n dsdsds eMeMnm ∇

Eine Zusammenfassung der obigen Gleichungen liefert

( ) ( ) 0emqMemqMqer =×+−⋅−=×+−⋅−+⋅× ∫∫∫ dGdGdG)p(111 G

3pG

3pG

3p3p ∇∇∇v

Das lokale Momentengleichgewicht wird offensichtlich dann erfüllt werden, wenn

7.5 Das Stoffgesetz 183

0mqM =+−⋅p∇ Gl. 7-22

gilt. Einsetzen von Gl. 7-22 in Gl. 7-20 liefert

( ) 0mM =⋅++⋅⋅ p3pp p ∇∇∇ Gl. 7-23

7.5 Das Stoffgesetz

Die mechanischen Variablen, also die Verzerrungen E und die Spannungen S, werden über das folgende querisotrope Stoffgesetz miteinander verbunden

[ ]ppppp IEeeeeEIIEES ⋅⋅⊗+⊗⋅⋅+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ν−ν

+ν+

= 33333G2tr11

E Gl. 7-24

Der Index p an den Vektoren und Tensoren zeigt an, dass nur die planaren Anteile der 1-2-Ebene zu nehmen sind. Die erste Invariante des planaren Verzerrungstenors ist mit

pp EIE ⋅⋅=tr (Spur des Verzerrungstensors) bezeichnet. j

2

1jj eeIp ∑

=

⊗= heißt planarer Ein-

heitstensor. Das Doppelskalarprodukt zweier Tensoren A und B ist dabei wie folgt definiert:

llll kkkkjiij baba =⊗⋅⋅⊗=⋅⋅ eeeeBA .Über doppelt vorkommende Indices wird summiert. Das

Werkstoffgesetz Gl. 7-24 folgt aus der Spezialisierung des orthotropen Stoffes auf einen queri-sotropen Körper (Isotropie quer zur 3-Richtung). Mit E (Elastizitätsmodul), ν (Querkontrakti-onszahl) und G3 verbleiben noch drei Stoffkonstanten. Der erste Term auf der rechten Seite von Gl. 7-24 entspricht dem Stoffgesetz der schubstarren Platte bei Unterstellung eines ebenen Spannungszustandes. Der zweite Term zeigt die Erweiterung gegenüber der klassischen Plat-tentheorie, bei der mit ∞→3G kein Stoffgesetz für die Querkräfte zur Verfügung steht. Be-

achten wir in Gl. 7-24 das Verzerrungsmaß Gl. 7-9 und setzen in die Schnittlastendefinition Gl.

7-10 ein, dann erhalten wir das Stoffgesetz für die Biegemomente

( ) ( )[ ]pIΩΩM tr1N ν+ν−= Gl. 7-25

wobei zur Abkürzung

ωΩωΩ ⋅== ptr;def ∇ Gl. 7-26

gesetzt wurde. In Gl. 7-25 wird


( ) ( )2

33

112Eh

16GhN

ν−=

ν−= Gl. 7-27

Plattensteifigkeit genannt. Für die Querkräfte gilt:

( )( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ =

ν+=+=

GGs;

12EGwsGh 3

p ωq ∇ Gl. 7-28

Die Kinematik in Verbindung mit dem Stoffgesetz liefert Schubspannungen, die konstant über die Plattendicke verteilt sind. Dieser Sachverhalt steht allerdings im Widerspruch zu den lokalen Gleichgewichtsbedingungen und den Oberflächenrandbedingungen. In Gl. 7-28 wurde mit sGG3 = (s > 0) die Stoffkonstante G3 auf den Schubmodul G bezogen.

Energieüberlegungen zeigen, dass bei Ansatz quadratisch verteilter Schubspannungen G65G3 = eine gute Approximation darstellt. Bei geschichteten Platten mit dicken füllwei-

chen Schichten (Sandwichplatten) ist in der Regel GG3 << .

Hinweis: Der Übergang zur schubstarren Platte wird mit ( )wp∇ωϕ −== 0 vollzogen. Da-

mit entfällt das Stoffgesetz für die Querkräfte. Diese werden zu Reaktionskräften, die dann aus den Gleichgewichtsbedingungen Gl. 7-22 berechnet werden müssen.

7.6 Die Differenzialgleichungen

Zur besseren Übersicht sollen an dieser Stelle die wichtigsten Grundgleichungen nochmals aufgelistet werden. Aus der Plattenkinematik ergab sich der Verzerrungstensor

( )

ω∇ϕ

ϕϕω

+=

⊗+⊗+=

w21defx

p

333 eeE Gl. 7-29

Kraft- und Momentengleichgewicht am Plattenelement fordern

( ) 0p0p

p3ppp

3p=⋅++⋅⋅⇔

⎭⎬⎫

=+−⋅

=+⋅mM

0mqM

q∇∇∇

∇

∇ Gl. 7-30

7.6 Die Differenzialgleichungen 185

Die Stoffgleichungen der schubelastischen Platte

( ) ( )[ ]pIΩΩM tr1N ν+ν−= Gl. 7-31

und

( )ω∇ϕ +== wsGhsGh pq Gl. 7-32

ergaben sich aus der Annahme eines querisotropen Stoffverhaltens. Zur Reduktion des Sys-tems Gl. 7-29-Gl. 7-31 gehen wir den Weg der Elimination der Spannungen. Einsetzen des Stoffgesetzes Gl. 7-31 in die Momentengleichgewichtsbedingung liefert

( ) mq +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

ν−ν+

+ν−

= ω∇∇ωΔ ppp 11N

21

Gl. 7-33

Der Nachweis von Gl. 7-33 gelingt mit ( OperatorLaplaceplanarer:ppp −⋅= ∇∇Δ )

( )[ ]ω∇∇ωΔω∇ ⋅+=⋅ pppp 21def ; ( ) ( )ω∇∇ω∇ ⋅=⋅ pppp Ideftr

Mit der Kraftgleichgewichtsbedingung Gl. 7-30 erhalten wir aus Gl. 7-33 eine Gleichung für ω allein

( ) m⋅−−=⋅ p3pp pN ∇ω∇Δ Gl. 7-34

Aus Gl. 7-34 lässt sich der Drehwinkel ω eliminieren. Setzen wir das Stoffgesetz Gl. 7-32 in die Kraftgleichgewichtsbedingung Gl. 7-30 ein, so folgt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=⋅ wsGhp

p3

p Δω∇ Gl. 7-35

Die Anwendung des Δp-Operators auf Gl. 7-32 liefert

( )wsGh

1pppp Δ∇ΔωΔ −= q Gl. 7-36

und unter Berücksichtigung von Gl. 7-35 und Gl. 7-36 in Gl. 7-34


( )

m

mq

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ν−−=

+ν−ν+

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

p3p

22p

3p

2

ppp

2

ps6

h1

11wN

ps12

h11wN

s12h1

∇ΔΔ

∇Δ∇Δ Gl. 7-37

Die Gleichungen Gl. 7-37 stellen insgesamt ein Integrationsproblem 6. Ordnung dar. Damit wird es möglich, am Rand genau drei Randbedingungen zu erfüllen. Für die von Flächenlasten freie Platte gehen die Grundgleichungen Gl. 7-37 über in

( )

0wN

0h

s12cwNc11

2p

22

ppp2

=

>=Δ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Δ

∇Δ q Gl. 7-38

Wie wir im Folgenden zeigen, kann Gl. 7-38 auf das Aufsuchen zweier skalarwertiger Funk-tionen zurückgeführt werden. Nach einem Satz von Helmholtz lässt sich nämlich ein Vektor-feld stets eindeutig als Summe eines Gradienten eines Skalarfeldes sowie eines Rotors eines Vektorfeldes mit beliebiger Divergenz darstellen. Für die Querkraftbeziehung in Gl. 7-38 ma-chen wir nach Helmholtz folgenden Ansatz

( ) ( )Nˆewˆ p3ppp qqq =Θ×+Φ+−= ∇∇Δ∇ Gl. 7-39

Φ und Θ sind dabei skalare Ortsfunktionen der planaren Koordinaten x1 und x2. Die Forde-rung nach Erfüllung des Kraftgleichgewichtes

0wˆ p2pp =Φ+−=⋅ ΔΔ∇ q Gl. 7-40

zeigt, dass die Funktion Φ der Laplace-Gleichung

0p =ΦΔ Gl. 7-41

genügen muss. Wird der Ansatz Gl. 7-39 in die Querkraftbeziehung nach Gl. 7-38 eingeführt, dann folgt

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Θ−Θ×−=Φ p2p3p c

1e Δ∇∇ Gl. 7-42

Setzen wir

7.6 Die Differenzialgleichungen 187

Θ−Θ=Γ p2c1Δ Gl. 7-43

dann geht Gl. 7-42 über in

Γ×−=Φ p3p ∇∇ e Gl. 7-44

Die Komponenten der Gl. 7-44 hinsichtlich einer kartesischen Basis entsprechen den Cauchy-Riemanschen Differenzialgleichungen. Die Funktionen Φ und Γ sind konjugiert harmonisch. Die Funktion Γ erfüllt die Laplace-Gleichung

0c1 2

p2pp =Θ−ΘΔ=Γ ΔΔ Gl. 7-45

Mit der Abkürzung

Θ=ψ p2c1Δ Gl. 7-46

wird aus Gl. 7-45

0c2p =ψ−ψΔ Gl. 7-47

und die Gl. 7-44 kann umgeformt werden in

ψ×=Θ×+Φ p3p3p e ∇∇∇ e Gl. 7-48

Berücksichtigen wir in Gl. 7-39 die Beziehung Gl. 7-48, dann folgt für die Querkraft der schubelastischen Platte

[ ]3ppp )w(N eq ×ψ+−= ∇Δ∇ Gl. 7-49

Aus dem Stoffgesetz für die Querkräfte Gl. 7-32 lässt sich mit Gl. 7-49 der Drehwinkel ω entnehmen

( ) ( ) 3p

2

p

2

p s16hw

s16hw e×ψ

ν−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ν−+−= ∇Δ∇ω Gl. 7-50

Mit den bereitgestellten Beziehungen lassen sich die Grundgleichungen einer flächenlastfrei-en schubelastischen Platte angeben, in der als Unbekannte nur die Durchbiegung w und die Momentenfunktion ψ auftreten.


( )( ) ( )[ ]

( )[ ]3ppp

3p2

p2

p

2p

2p

wN

deftrdef1N

ww

0c

0w

eq

IM

e

p

×ψ+−=

ν+ν−=

×ψλ−λ+−=

=ψ−ψ

=

∇Δ∇

ωω

∇Δ∇ω

Δ

Δ

Gl. 7-51

wobei

( )s16h2

2

ν−=λ Gl. 7-52

gesetzt wurde. Eine weitere Strukturierung des Gleichungssystems Gl. 7-51 ergibt sich durch Einführung der Funktion

ww p2Δλ+=ϕ Gl. 7-53

Damit folgt unter Berücksichtigung von Gl. 7-47

wpp ΔΔ =ϕ Gl. 7-54

und wegen 0w2p =Δ erhalten wir

02p =ϕΔ Gl. 7-55

Beachten wir in Gl. 7-53 die Beziehung Gl. 7-54 dann erhalten wir nach Umstellung

ww p2Δλ−ϕ= Gl. 7-56

Damit können wir die Grundgleichungen der schubelastischen Platte in folgendes Schema bringen

( )[ ]

0

Idivdef1N

;

;ww

p

3p2

p

p2

=⋅⋅=

ν+ν−=

×ψλ−ϕ−=

λ−ϕ=

qMq

M

e

∇∇

ωω

∇∇ω

Δ

Gl. 7-57

Die Funktionen ϕ und ψ genügen dabei den folgenden Nebenbedingungen

7.7 Die Grundgleichungen der flächenlastfreien Platte in kartesischen Koordinaten 189

0c

02

2p

=ψ−ψ

=ϕ

Δ

Δ Gl. 7-58

Hinweis: Der Grenzübergang s → ∞ in Gl. 7-57 liefert die Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie.

7.7 Die Grundgleichungen der flächenlastfreien Platte in kartesi-schen Koordinaten

( ) ( )212122

2

21

2

321 x,x;x,xww;xx

; ψ=ψ=∂∂

+∂∂

==× Δeee

0cxx

0xw

xxw2

xw

222

2

21

2

42

4

22

21

4

41

4

=ψ−∂ψ∂

+∂ψ∂

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

Gl. 7-59

[ ]

[ ]1

22

22

2

22

11

xww

x

xww

x

∂ψ∂

λ+λ+∂∂

−=ω

∂ψ∂

λ−λ+∂∂

−=ω

Δ

Δ Gl. 7-60

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂ω∂

+∂ω∂ν−

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂ω∂

ν+∂ω∂

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂ω∂

ν+∂ω∂

=

1

2

2

112

1

1

2

222

2

2

1

111

xxN

21m

xxNm

xxNm

Gl. 7-61

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ψ∂

−∂ψ∂

−λ+∂∂∂

ν−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂ψ∂

−∂∂

ν+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂ψ∂

+∂∂

ν+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

−=

22

2

21

222

21

2

12

21

22

21

22

22

2

22

21

22

22

22

21

2

11

xxs12hww

xx1Nm

xxs6h

xww

s6hw

xNm

xxs6h

xww

s6hw

xNm

Δ

Δ

Δ

Gl. 7-62


⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂ψ∂

−∂∂

−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂ψ∂

+∂∂

−=

122

211

xw

xNq

xw

xNq

Δ

Δ Gl. 7-63

7.8 Die Grundgleichungen der flächenlastfreien Platte in Polar-koordinaten

),r();,r(wwr1

rr

rr1

r1

rr1

r; 2

2

22

2

22

2

3r

ϕψ=ψϕ=ϕ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=ϕ∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ=× ϕ eee

0cr1

rr1

r

0wr1w

r4

rw

r2

rw

r2

rw

r1

rw

r1

rw

r2

rw

22

2

22

2

4

4

42

2

42

3

322

4

232

2

23

3

4

4

=ψ−ϕ∂ψ∂

+∂ψ∂

+∂ψ∂

=ϕ∂

∂+

ϕ∂∂

+ϕ∂∂

∂−

ϕ∂∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

Gl. 7-64

r)ww(

r1

r1)ww(

r

22

22r

∂ψ∂

λ+λ+ϕ∂∂

−=ω

ϕ∂ψ∂

λ−λ+∂∂

−=ω

ϕ Δ

Δ Gl. 7-65

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂ω∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−

ϕ∂ω∂ν−

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂ω∂

ν+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω+

ϕ∂ω∂

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ϕ∂ω∂

+ων

+∂ω∂

=

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕ

rr1N

21m

rr1Nm

rrNm

rr

rr

rr

rr

Gl. 7-66

( )

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂ψ∂

−ϕ∂∂

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ϕ∂ψ∂

+∂∂

−=

ϕ rw

r1Nq

r1w

rNqr

Δ

Δ Gl. 7-67

7.9 Ein Vergleich mit der klassischen Lösung 191

7.9 Ein Vergleich mit der klassischen Lösung Wir entnehmen dem Schema Gl. 7-57, dass die drei letzten Gleichungen gegenüber dem klas-sischen Fall keine Änderungen erfahren haben. Lösungen für qM,,ω der Differenzialglei-

chungen der klassischen Theorie sind mit

kpw∇ω −= Gl. 7-68

auch Lösung der Differenzialgleichungen der schubelastischen Platte1. Das gilt allerdings nicht für die Randwerte. Der kinematische Zwang Gl. 7-68 hat zur Folge, dass mit 0=ωrot

wegen Gl. 7-50 0=ψ gefolgert werden muss. Von Gl. 7-51 verbleibt dann

www p2

k Δλ+= Gl. 7-69

bzw. unter Beachtung ww pkp ΔΔ = und mit Gl. 7-69

kp2

k www Δλ−= Gl. 7-70

Damit hat sich gegenüber der klassischen Lösung nur die Durchbiegung geändert, die aller-dings mit wk festliegt. Die Durchbiegungen stimmen überall dort überein, wo kpwΔ ver-

schwindet. Im schubelastischen Fall existiert übrigens ein nicht ausgebogener Zustand

0w = Gl. 7-71

der mit

ψ×λ= p32 ∇ω e Gl. 7-72

die Querkräfte

ψ×= p3N ∇eq Gl. 7-73

und die Momente

( ) 3pp

2

s6hN eM ×ψ⊗−= ∇∇ Gl. 7-74

1 Der Index k steht für klassische Lösung


liefert. Zum Vergleich mit der klassischen Lösung schreiben wir die Funktionen ϕ und ψ in folgender Weise

ψ=ψϕ+ϕ=ϕˆˆk Gl. 7-75

Der Index k bezeichnet wieder die klassische Lösung. Ohne die Anteile ϕ und ψ ist die all-

gemeine Lösung des Randwertproblems der schubelastischen Platte nicht möglich. Unter Be-achtung der Beziehungen Gl. 7-75 liefert das Schema Gl. 7-57

www

ˆˆw

Schubk

w

kp2

w

kp2

k

Schub

++=

ϕλ−ϕ+ϕλ−ϕ=43421321ΔΔ

Gl. 7-76

ψϕ ++=

ψ×λ+ϕ−ϕ−=

ˆˆk

p32

pkp ˆˆ

ωωω

∇∇∇ω e Gl. 7-77

( )[ ]( )[ ]( )

ψϕ

ψ

ϕϕ

++=

ν−+

ν+ν−+

ν+ν−=

ˆˆ

ˆ

pˆˆ

pkk

def1NIdivdef1N

Idivdef1N

MMM

M

k

ω

ωω

ωω

Gl. 7-78

mit

( )

( )ψ⊗×λ=

ϕ⊗−=

⊗+⊗=

ψ

ϕ

ˆdef

ˆdef21def

pp32

ˆ

ppˆ

pkkpk

∇∇ω

∇∇ω

∇ωω∇ω

e

Gl. 7-79

( )( )

ψϕ ++=

ψ×λ+ϕλ−=

+=⋅=

ˆˆk

p32

pp2

Schubp

pp

ˆˆwsGh

wsGh

qqq

e

Mq

∇Δ∇∇

∇ω∇

Gl. 7-80

Welche Anteile in den speziellen Lösungen auftreten, hängt vom entsprechenden Randwert-problem ab.

7.10 Die isotherme Formänderungsenergie 193

7.10 Die isotherme Formänderungsenergie

Im Fall isothermer Prozesse1 wird

( ) ( ) ( ) dG1tr1N21dGdxW

G

22

2

G

2h

2h3

E

0∫∫ ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

λ+ν+⋅⋅ν−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′⋅⋅′=

−

ϕΩΩΩEdES Gl. 7-81

als isotherme Formänderungsenergie bezeichnet. Wir betrachten das bilineare Funktional

( )∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

λ+ν+⋅⋅ν−=

G2 dG1trtr1

2N)2,1(J

212121ΩΩΩΩ ϕϕ Gl. 7-82

der beiden unabhängigen Zustände (1) und (2). Dieses Funktional entspricht der halben Wechselwirkungsenergie und hat folgende Eigenschaften:

1||für0)1,1(J)1,2(J)2,1(J

≤ν≥=

Gl. 7-83

Sind beide Zustände identisch, so zeigt ein Vergleich von Gl. 7-81 mit Gl. 7-82 die Gültigkeit von J = W. Die Umformung von Gl. 7-82 mit Hilfe des Gaußschen Satzes liefert die vorläufi-ge Identität:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅++⋅= ∫ ∫

∂G G3 dsw)(dG)wp(

21)2,1(J

21212121ωMnqnωm Gl. 7-84

7.11 Der Satz von Betti

Aus der Symmetrieeigenschaft des Funktionals Gl. 7-82 folgt in Verbindung mit Gl. 7-84 der Satz von Betti2

∫ ∫∂

⋅⋅−⋅−⋅⋅+⋅−=−⋅−+⋅G G

33 ds)ww(dG)wpwp(1212212112122121ωMnqnωMnqnωmωm

Gl. 7-85

1 also T = konst. 2 Dieser Satz spielt eine zentrale Rolle bei der Herleitung von Einflußflächen isotroper Platten.


7.12 Die Randwerte einer schubelastischen Platte

Eine Zuordnung von Schnittlasten und Deformationen liefert die virtuelle Formänderungs-energie Wδ . Aus Gl. 7-81 folgt

( ) dG1)tr)(tr(1N)1(WG

2∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ δ⋅

λν+δ⋅⋅ν−=δ

111111ΩΩΩΩ ϕϕ Gl. 7-86

Ein Vergleich mit Gl. 7-82 zeigt

)1,1(J2)1(W δ=δ Gl. 7-87

und mit der Darstellung Gl. 7-84

∫ ∫∂

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ δ⋅⋅+δ⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ δ+δ⋅=δ

G G

1111

3

111dswdGwp)1(W ωMnqnωm

1 Gl. 7-88

Wir beschränken uns im Folgenden auf homogene Randvorgaben. Mit den drei unabhängigen Verrückungsvariationen ωn ⋅=ωn,w und ωt ⋅=ωt und den diesen Deformationen zuge-

ordneten Schnittlasten

tMnnMnqn ⋅⋅=⋅⋅=⋅= ntnnn mmq Gl. 7-89

lassen sich genau acht sinnvolle homogene Randwertprobleme stellen (Tabelle 7-1). In der Kirchhoffschen Plattentheorie wird die Annahme G3 → ∞ getroffen. Diese Annahme führt zu einer Einschränkung der geometrischen Freiheitsgrade. Dort gilt mit ϕ = 0

wpt ∇⋅−=⋅=ω tωt Gl. 7-90

Legt man am Rand w(s) fest, dann ist gemäß Gl. 7-90 auch der Drehwinkel ωt bestimmt. Es existieren also nur zwei geometrische Freiheitsgrade, die Durchbiegung w(s) und der Dreh-winkel ωn(s). In der klassischen Plattentheorie werden deshalb die Randlasten entsprechend den verbleibenden geometrischen Freiheitsgraden zu einer Randquerkraft

smqq ns

nn ∂∂

+= Gl. 7-91

7.13 Die eingespannte schubelastische Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung 195

und einer Randschnittlast mnn zusammengefasst.

Symbol Bezeichnung Randwerte

1

w = 0 ωn = 0 ωt = 0

2

Einspannung

w = 0 ωn = 0 mnt = 0

3

w = 0 mnn = 0 mnt = 0

4

Drehbar gelagerter Rand Klemmschneidenlagerung w = 0 mnn = 0 ωt = 0

5 qn = 0 mnn = 0 mnt = 0

6

Freier Rand qn = 0 mnn = 0 ωt = 0

7

qn = 0 ωn = 0 mnt = 0

8

Gleitlager qn = 0 ωn = 0 ωt = 0

Tabelle 7-1 Homogene Randwerte einer schubelastischen Platte

7.13 Die eingespannte schubelastische Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung

p0

r

ab b

a

Abb. 7-4 Die eingespannte Kreisplatte unter konstanter Teilflächenbelastung

Wir betrachten die schubelastische Kreisplatte nach Abb. 7-4. Da System und Belastung rota-tionssymmetrisch sind, ergibt sich mit 0qmr ===ω ϕϕϕ auch ein rotationssymmetrischer


Spannungs- und Verformungszustand. Wegen p = p0 = konst. und damit 0pp =Δ verbleiben

von Gl. 7-37, Gl. 7-32 und Gl. 7-31 die Grundgleichungen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂ω∂

ν+ω

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

ν+

∂ω∂

=

ν−+

∂∂

−=ω

=

rrN)r(m

rrN)r(m

qsN6)1(

hrw)r(

p)r(wN

rrrr

rr

rr

r

2

r

02pΔ

Gl. 7-92

Aufgrund der Unstetigkeit in der Belastung muss das Lösungsgebiet in zwei Bereiche aufge-teilt werden. Im Bereich I, hier ist 0 ≤ r < b, wird die Platte durch eine konstante Flächenlast p3 = p0 belastet. Aus dem Kraftgleichgewicht folgt unter Berücksichtigung von a/r=ρ sofort

die Querkraft ρ−=2apq 0I

r . Auch im Bereich II kann die Querkraft sofort notiert werden, hier

gilt ρβ

−=2

0IIr 2

apq . In den folgenden Gleichungen wird zur Abkürzung

2

2s

s ah

s)1(61

aGhN

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ν−==κ Gl. 7-93

gesetzt. Die Lösung ist

( )

[ ]

ρ−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ κ+ρ

ν+ν+

+ν+−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ κ+ρ

ν+ν+

+ν+−=

κ+ρ+ρ−=ω

ρ+ρ+=

ϕϕ

2apq

161

312C)1(ap321m

16132C)1(ap

321m

162CN32ap

CCNap

641w

0Ir

s2

22

0I

s2

22

0Irr

s2

2

30I

r

4221

40I

Gl. 7-94

Im Bereich II mit b < r < a ist die Platte unbelastet. Hier sind die Grundgleichungen Gl. 7-65 und Gl. 7-67 mit 0=ψ anzuwenden. Das sehen wir sofort, wenn wir den Rotor von ω bilden

33p

2

p 12

s)1(6h ee ψ

ν−=ψΔ

ν−=×ω∇

Da aber 0)r( rpp =ω×=× e∇ω∇ gilt, muss 0=ψ gefordert werden. Wir erhalten im Einzel-

nen


( )[ ]

430II

r

4s23222II

4s23222IIrr

4s2

32

2IIr

243

221

II

K4apq

K)1(4)31(ln)1(2K)1(1K)1(2aNm

K)1(4)3(ln)1(2K)1(1K)1(2aNm

K4ln21KK2a1

lnKlnKKKw

ρ−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ κν−

ρ+ν++ρν++ν−

ρ+ν+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ κν−

ρ−ν++ρν++ν−

ρ−ν+−=

κ+ρ+ρ++ρρ

−=ω

ρρ+ρ+ρ+=

ϕϕ

Gl. 7-95

Den sechs Konstanten in Gl. 7-94 Gl. 7-95 und stehen zunächst drei Übergangsbedingungen gegenüber

)(m)(m)()()(w)(w

IIrr

Irr

III

III

β=ρ=β=ρ

β=ρω=β=ρω

β=ρ=β=ρ

Gl. 7-96

Die Übergangsbedingung in der Querkraft qr ist erfüllt. Allerdings muss im Bereich II die

Bedingung ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

−=r

wr1

rw

rNq

II

2

II2IIr gefordert werden, was 2

40

4 N8apK β= erfordert. Am

eingespannten Rand bei r = a sind die beiden Randbedingungen

0)1(;0)1(w IIII ==ρω==ρ Gl. 7-97

zu erfüllen. Gl. 7-96 und Gl. 7-97 entspricht einem linearen Gleichungssystem zur Bestim-mung der sechs Unbekannten C1, C2 und K1-K4. Die Lösungen sind unter Beachtung von

β=a/b :

[ ]( )[ ]

( )

( )

24

04

s22

40

3

12

224

01

s22

2

s22

40

1

N8apK

8N16apK

KK

2N32apK

8ln42C

)ln21(16)ln43(4N64apC

β=

κ−ββ=

−=

β+β=

κ−β−ββ=

β−κ+β−β−β=

Gl. 7-98



( )( )[ ]

( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

ρ−=



ρ−β−ββρ=ω

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

ρ−β−βκ+

+ρ+ρβ−ββ−−ββ+β=

ϕϕ

2apq

31ln4116

apm

3ln4116

apm

ln4N16ap

ln2116)ln4(23ln44

N64apw

0Ir

2222

0I

2222

0Irr

2223

0Ir

22s

42224240I

Gl. 7-99


[ ]

( )[ ]

( )

( )

ρβ

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ν−

ρβ

ν−−ρ−βν+β=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

ρβ

ν−+ρ−βν+β=

ρρ−ρ−βρβ

=ω

ρκ−ρρ+β+ρ−β+β=

ϕϕ

20II

r

2

222

20II

2

222

20II

rr

22223

0IIr

s22222

40II

2apq

4)1()ln4(116

apm

4)1()ln4(116

apm

ln41N16ap

ln16ln)2(2)1)(2(N32apw

Gl. 7-100


( ) ( )[ ]

( )[ ]

( )[ ])ln4(116

ap)0(m

)ln4(116

ap)0(m

ln21163ln44N64ap)0(w

222

0I

222

0Irr

2s

224

0I

β−βν+β==ρ

β−βν+β==ρ

β−βκ+−ββ+β==ρ

ϕϕ

20IIr

222

0II

222

0IIrr

2ap

)1(q

)2(8ap

)1(m

)2(8ap

)1(m

β−==ρ

−ββν

==ρ

−ββ==ρ

ϕϕ


Abb. 7-5 Die eingespannte Kreisplatte unter Gleichlast p0

Aus der Lösung Teilflächenbelastung lassen sich durch Grenzbetrachtungen weitere Lösun-gen angeben. Setzen wir in Gl. 5-83 1=β , dann liegt Gleichlast vor (Abb. 7-5). Von den

Konstanten Gl. 7-98 verbleiben

( )

( )s2

s

40

1

812C

161N64apC

κ+−=

κ+= Gl. 7-101

und Gl. 5-83 geht über in

( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

ρ−=

ρν+−ν+=

ρν+−ν+=

ρ−ρ=ω

κ+ρ−ρ−=

ϕϕ

2apq

31116

apm

3116

apm

1N16ap

1611N64apw

0r

22

0

22

0rr

23

0r

s22

40

Gl. 7-102

Ein Vergleich mit der klassischen Lösung zeigt, dass sich infolge der Schubelastizität nur die Verschiebung verändert hat, alle anderen Größen bleiben gleich. Die größte Durchbiegung ergibt sich mit

( )s

40 161N64ap)0(w κ+==ρ Gl. 7-103

in Feldmitte. Diese Änderung ist mit s = 5/6 bei isotropen Platten jedoch sehr klein. Bei Sandwichplatten und auch geschichteten Platten kann diese Schubkorrektur jedoch bedeutsam sein.


Abb. 7-6 Die eingespannte Kreisplatte unter mittiger Einzelkraft

Von Interesse ist noch die Kreisplatte mit mittiger Einzellkraft. Setzen wir πβ

= 220 aPp und

führen dann bei festgehaltenem P den Grenzübergang 0b → durch, dann erhalten wir

( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

ρπ−=

ρν++νπ

−=ρν++π

−=

ρρπ

−=ρω

ρκ−ρ+ρ−π

=ρ

ϕϕ

1a2

Pq

ln14Pm;ln11

4Pm

lnN4

Pa)(

ln421N16

Pa)(w

r

rr

r

s22

2

Gl. 7-104

Entfernen wir aus der Verschiebungsfunktion in Gl. 7-104 die regulären Anteile, so verbleibt die singuläre Lösung für die Plattenverschiebung

( ) ρκ−ρπ

=ρ ln4N8

Pa)(w s2

2

Gl. 7-105

die von einer Einzellkraft auf einer unendlich ausgedehnten Platte erzeugt wird. Gegenüber

der klassischen Singularität tritt jetzt ein Schubterm auf, der mit ρκπ

−=ρ lnN2

Pa)(w s

2

S bei

Annäherung an den Punkt ρ = 0 logarithmisch unendlich wird (Abb. 7-7). In Verbindung mit

der Querkraft ρπ

−=ρ1

a2P)(qr ergibt sich die vollständige singuläre Lösung Einzelkraft der

schubelastischen Platte


( )

( )

( )[ ]

[ ]

ρπ−=

ν++ρν+π

−=

ν++ρν+π

−=

ρ+ρπ

−=ρω

ρκ−ρπ

=ρ

ϕϕ

1a2

Pq

31ln)1(28Pm

3ln128Pm

ln21N8

Pa)(

ln4N8

Pa)(w

r

rr

r

s2

2

Gl. 7-106

Schubterm

KlassischeSingularität

SchubelastischePlatte

)(wPaN

2 ρ

Abb. 7-7 Verschiebung Singuläre Lösung Einzelkraft (κS = 0,0025)

8 Näherungsverfahren 8.1 Das Streifenkreuzverfahren nach Markus

Beim Streifenkreuzverfahren von Markus werden zunächst unabhängig voneinander zwei sich in der Mitte kreuzende Streifen von einem Meter Breite betrachtet.

Abb. 8-1 Rechteckplatte nach Markus

Die Aufteilung der Flächenlast p(x,y) Last erfolgt additiv in der Form yx ppp += . Setzen wir

ppx α= , dann ist p)1(ppp xy α−=−= . Die Lastverteilungszahl α , die nur von der Plat-

tengeometrie abhängig ist, wird nun so bestimmt, dass die Durchbiegungen der separat be-trachteten Streifen in Feldmitte gleich sind. Damit ist Kontinuität der Verschiebungen ( yx ww = ) nur an diesem Punkt erfüllt. Im Fall der drehbar gelagerten Streifen errechnet sich

204 8 Näherungsverfahren

unter Beachtung von EI

p384

5w;EI

p384

5w4yy

y

4xx

x

ll== und der Abkürzung yx ll=λ die

Lastverteilungszahl

411λ+

=α Gl. 8-1

Abb. 8-2 Verteilungszahlen α für die drehbar gelagerte Platte

Für die maximalen Schnittmomente erhalten wir dann in einfacher Weise

8p)1(m;

8pm

2y

y

2x

x

llα−=α= Gl. 8-2

Abb. 8-3

8.2 Die drillweiche Platte 205

Die von Abb. 8-1 abweichenden Lagerungsfälle werden entsprechend behandelt. Beispielswei-se ergibt sich für die links eingespannte sonst frei drehbar gelagerte Rechteckplatte mit den Verschiebungen in Feldmitte

EIp

3845w;

EIp

1921w

4yy

y

4xx

x

ll== 425

5λ+

=α→ Gl. 8-3

Das Streifenkreuzverfahren von Markus gestattet eine grobe Berechnung der Zustandsgrößen einer Platte, es hat aber heute seine baupraktische Bedeutung verloren.

8.2 Die drillweiche Platte Einen entscheidenden Einfluss auf das zweidimensionale Tragverhalten der Platte haben die Drillmomente. Vernachlässigen wir diesen Einfluss, dann wird von einer drillweichen Platte gesprochen. Anwendungen zu dieser vereinfachten Plattenlösung finden sich im Stahlbeton-bau. Zu den Grundgleichungen der drillweichen Platte gelangen wir, wenn wir im Werkstoff-

gesetz für die Drillmomente die als Verwindung bezeichnete Größe yx

w2

∂∂∂ zu Null setzen.

Unterstellen wir zusätzlich noch 0=ν , dann verbleiben von den Momenten

0m;ywNm;

xwNm xy2

2

yy2

2

xx =∂∂

−=∂∂

−= Gl. 8-4

und den Querkräften

3

3

y3

3

x ywNq;

xwNq

∂∂

−=∂∂

−= Gl. 8-5

Setzen wir die Biegemomente in die modifizierten Gleichgewichtsbedingungen

0pym

xm

2

yy2

2xx

2

=+∂

∂+

∂∂ Gl. 8-6

dann erhalten wir die Differenzialgleichung der drillweichen Platte


Np

yw

xw

4

4

4

4

=∂∂

+∂∂ Gl. 8-7

Im Vergleich zur drillsteifen Platte fehlt hier offensichtlich der mittlere Term 22

4

yxw2∂∂

∂ .

Die Vernachlässigung dieses Terms studieren wir an der allseitig drehbar gelagerten Recht-eckplatte unter konstanter Belastung (Abb. 8-4).

xy

2b

2b

a

a

p(x,y) = p0 p0

Abb. 8-4 Die allseitig drehbar gelagerte Rechteck-Platte mit konstanter Belastung

Zur Lösung von Gl. 3-23 wird zunächst die Belastung p(x,y) in x-Richtung antimetrisch in eine Fourier-Reihe entwickelt

∑∑∞

=

∞

=

π==

1mm

1m axmsin)y(p)y,x(p)y,x(p Gl. 8-8

In Gl. 8-8 ist eine Teillast

axmsin)y(p)y,x(p mπ

= Gl. 8-9

Die Darstellung der Gesamtlast erfolgt dann durch Superposition. Für die Verschiebungen wird ein gleichartiger Ansatz gemacht

∑∑∞

=

∞

=

π==

1mm

1m axmsin)y(w)y,x(w)y,x(w Gl. 8-10

Jede Teillösung


axmsin)y(w)y,x(w mπ

= Gl. 8-11

muss die Plattendifferenzialgleichung Gl. 8-7 erfüllen was

axmsin

N)y(p

axmsin)y(w

am)y(w m

m

4

mπ

=π

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+′′′′ Gl. 8-12

Erfordert. Ein Koeffizientenvergleich in Gl. 8-12 fordert das Bestehen der gewöhnlichen Diffe-renzialgleichung 4. Ordnung

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=λ=λ+′′′′a

m;N

)y(p)y(w)y(w mm

m4mm Gl. 8-13

Die vollständige Lösung der obigen Gleichung setzt sich aus Lösung der homogenen Diffe-renzialgleichung

0yw

xw

4h

4

4h

4

=∂∂

+∂∂ Gl. 8-14

und einer partikulären Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung

Np

yw

xw

4p

4

4p

4

=∂∂

+∂∂

Gl. 8-15

zusammen. Wir beschaffen uns zunächst die Lösung der homogenen Differenzialgleichung. Aus Gl. 8-13 folgt mit verschwindender rechter Seite

0)y(w)y(w h,m4mh,m =λ+′′′′ Gl. 8-16

Mit dem Ansatz

)yexp()y(w mh,m α= Gl. 8-17

geht Gl. 8-16 über in die Beziehung 0)yexp()( m4m

4m =αλ+α , die nur besteht, wenn die charak-

teristische Gleichung


04m

4m =λ+α Gl. 8-18

erfüllt ist. Gl. 8-18 hat die vier komplexen Lösungen

)i1();i1();i1();i1( m4,mm3,mm2,mm1,m −κ−=α−κ=α+κ−=α+κ=α Gl. 8-19

In Gl. 8-19 wurde zur Abkürzung

2a2

m221

mmπ

=λ=κ Gl. 8-20

gesetzt. Die vollständige Lösung der homogenen Differenzialgleichung ist dann

)yexp(C)yexp(C)yexp(C)yexp(C)y(w 4,m43,m32,m21,m1h,m α+α+α+α= Gl. 8-21

und unter Beachtung von Gl. 8-19 mit neuen Konstanten

( ) ( )ysinCycosCeysinCycosCe)y(w mm4mm3y

mm2mm1y

h,mmm κ+κ+κ+κ= κ−κ Gl. 8-22

Mit den 4 Konstanten lassen sich an zwei gegenüberliegenden Rändern jeweils 2 Randbedin-gungen erfüllen. Die Gesamtlösung ist dann in jedem Fall

[ ]( )( )

xsin)y(wysinCycosCe

ysinCycosCe

xsin)y(w)y(ww

m1m p,mmm4mm3

ymm2mm1

y

m1m

p,mh,m

m

m

λ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+κ+κ+

κ+κ=

λ+=

∑

∑∞

=κ−

κ

∞

= Gl. 8-23

Die partikuläre Lösung wm,p(y) in Gl. 8-23 ist noch für die Flächenlast p(x,y) = p0 zu bestim-men. Die Entwicklung der konstanten Belastung in eine Fourier-Reihe liefert

∑∑∞

=

∞

=

ππ

=π

=5,3,1m

0

1mm a

xmsinm1p4

axmsinp)y,x(p Gl. 8-24

Ein Vergleich mit Gl. 8-24 zeigt: .konstmp4

p 0m =

π= Zur Beschaffung einer Partikularlösung

von


mNp4)y(w)y(w 0

p,m4mp,m π

=λ+′′′′ Gl. 8-25

machen wir den Ansatz

.konstK)y(w p,m == Gl. 8-26

Einsetzen von Gl. 8-26 in Gl. 8-25 ergibt

55

40

4004

Nmap4

mNp4K

mNp4K

π=

πλ=→

π=λ Gl. 8-27

Damit ist die allgemeine Lösung der drillweichen Platte mit zwei gegenüberliegenden gelen-kig gelagerten Rändern für den Fall konstanter Flächenlast mit

( )

( )xsin

ysinCycosCe

ysinCycosCem1

Nap4)y,x(w m

5,3,1mmm4mm3

y

mm2mm1y

55

40

m

m

λ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

κ+κ+

κ+κ+

π= ∑

∞

= κ−

κ

Gl. 8-28

bekannt. Aufgrund der Symmetrie des Systems bezüglich der x-Achse müssen die antimetri-schen Anteile in y-Richtung verschwinden. Von Gl. 8-28 verbleibt mit neuen Konstanten

xsin)ysin()ysinh(K

)ycos()ycosh(Km1

Nap4)y,x(w m

5,3,1mmmm2

mmm155

40 λ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

κκ+

κκ+π

= ∑∞

=

Gl. 8-29

Die beiden verbleibenden Konstanten K1m und K2m gestatten die Anpassung der Verschiebun-gen w und der Biegemomente myy an die gelenkig gelagerten Ränder bei 2by ±= .

Randbedingungen:

1. 0)2b,x(w =± 0)sin()sinh(K)cos()cosh(Km1

mmm2mmm15 =κκ+κκ+→ (a)

2. 0)2b,x(wy2

2

=±∂∂ 0coscoshKsinsinhK mmm2mmm1 =κκ−κκ→ (b)

In den obigen Gleichungen wurde zur Abkürzung

a4bm2

4b2

2b

mmmπ

=λ=κ=κ Gl. 8-30

gesetzt. Die Lösung des Gleichungssystems (a, b) liefert die Konstanten


m2

m2

mm5m2

mm5m1

cossinhsinsinh

m1K

coscoshm1K

κ+κ=Δ

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Δκκ

−=

Δκκ

−= Gl. 8-31

die eingesetzt in Gl. 8-29

( )( ) xsin

)ysin()ysinh(sinsinh)ycos()ycosh(coscosh11

m1

Nap4)y,x(w m

5,3,1m mmmm

mmmm55

40 λ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡κκκκ+κκκκ

Δ−

π= ∑

∞

=

Gl. 8-32

Ergeben. Speziell in Feldmitte ( 0y,2ax == ) gilt für die größte Durchbiegung

( )∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δκκ

−−π

==5,3,1m

mm5

21m

5

40

0coscosh1

m11

Nap4w)0,2a(w Gl. 8-33

Für den Sonderfall der quadratischen Platte (b = a) erhalten wir die Durchbiegung in Feldmit-te

Nap008204,0w

40

0 = Gl. 8-34

Im Vergleich dazu erhalten wir bei der drillsteifen Platte mit ν = 0 die Verschiebung in Plat-

tenmitte Nap

004062,0w4

00 = , ein Wert, der etwa halb so groß ist wie der der drillweichen

Platte. Die Schnittlasten folgen entsprechend Gl. 3-20 und Gl. 3-21 durch Differenziationsoperationen am Verschiebungsfeld w.

( )( ) xsin


m1ap4)y,x(m m

5,3,1m mmmm

mmmm33

20

xx λ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣


Δ−

π= ∑

∞

=

Gl. 8-35

Insbesondere gilt in Feldmitte für die quadratische Platte.

( )∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δκκ

−−π

==5,3,1m

mm3

21m

3

20

0,xxxxcoscosh

1m11

ap4m)0,2a(m Gl. 8-36


Aufgrund der weitgehenden Symmetrie der quadratischen Platte ist )0,2a(m)0,2a(m yyxx = .

Die Auswertung der obigen Reihe ergibt

96,12ap

ap07716,0mm2

0200,yy0,xx === Gl. 8-37

Der Vergleichswert für die drillsteife Platte ist 2,27

apap0368,0m

202

00,xx == . Die Querkräfte

ergeben sich zu

( )( ) xcos


m1ap4)y,x(q m

5,3,1m mmmm

mmmm22

0x λ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣


Δ−

π= ∑

∞

=

Gl. 8-38

und für die Mitte des Längsrandes x = 0 folgt

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δκκ

−π

===5,3,1m

mm22

0x

coscosh1m1ap4)0y,0x(q Gl. 8-39

Die Auswertung der Reihe ergibt ap3466,0)0y,0x(q 0x === . Bei der drillsteifen Platte

wird mit 0=ν der Wert ap3683,0)0y,0x(q 0x === errechnet.

9 Fourierreihen 9.1 Einfache Fourierreihen Bei vielen Problemen der mathematischen Physik ist es erforderlich, vorgegebene periodische Funktionen f(x) mit der Periode L (Abb. 9-1) exakt oder angenähert durch trigonometrische Summen darzustellen.

Abb. 9-1 Periodische Funktion mit der Periode L

Unter der Voraussetzung, dass die Funktion f(x) im Intervall Lx0 << stückweise stetig ist, gilt die Summendarstellung1:

),2,1k(,dxLxk2sin)x(f

L2b

),2,1k(,dxLxk2cos)x(f

L2a

dx)x(fL2a

Lxk2sinb

Lxk2cosa

2a

)x(f

L

0k

L

0k

L

00

1kk

1kk

0

K

K

=π=

=π=

=

π+π+=

∫

∫

∫

∑∑∞

=

∞

=

Gl. 9-1

1 Jean-Baptiste Joseph, Baron de (seit 1808) Fourier, frz. Mathematiker und Physiker, 1768-1830

214 9 Fourierreihen

Überall dort, wo die Funktion f(x) stetig ist, liefert Gl. 9-1 die Werte von f(x) und an Unstetig-keitsstellen den Mittelwert von f(x). Bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten nach Gl. 9-1 können oft spezielle Eigenschaften der Funktion f(x) vorteilhaft ausgenutzt werden. 1. f(x) ist eine gerade Funktion, d.h. f(-x) = f(x), dann gilt bk = 0 und es verbleiben

0b

),2,1k(,dxLxk2cos)x(f

L4a

dx)x(fL4a

k

2L

0k

2L

00

=

=π=

=

∫

∫

K Gl. 9-2

2. f(x) ist eine ungerade Funktion, d.h. f(-x) = -f(x), dann gilt ak = 0 und es verbleiben

),2,1k(,dxLxk2sin)x(f

L4b

0a0a

2L

0k

k

0

K=π=

==

∫

Gl. 9-3

Die Fourierreihe lässt sich auch in der Form

∑∞

=

ϕ+π+=1k

kk0 )

Lxk2sin(A

2a

)x(f Gl. 9-4

schreiben. Hierbei sind

2k

2kk baA += ;

k

kk b

atan =ϕ Gl. 9-5

Die Bestimmung der Fourierreihe einer gegebenen Funktion f(x) ist Aufgabe der harmoni-schen Analyse.

9.1 Einfache Fourierreihen 215

Funktion f(x) Fourierkoeffizienten k

π=

==

kq2

b

0aqa

0k

k

00

K5,3,1

π−=

==

kq2

b

0aqa

0k

k

00

K5,3,1

π=

==

kq4

b

0a0a

0k

k

0

K5,3,1

π−=

==

+

kq2

)1(b

0a0a

01kk

k

0

K3,2,1

π−=

π−−=

=

+

kq

)1(b

)1k2(q2

a

2q

a

01kk

220

k

00

K3,2,1

Lek2sin

Lck2sin

kq2b

Lek2cos

Lck2sin

kq2a

Lcq4a

0k

0k

00

πππ

=

πππ

=

=

K3,2,1

Lek2sin

LP2b

Lek2cos

LP2a

LP2a

k

k

0

π=

π=

=

K3,2,1

Tabelle 9-1 Zusammenstellung einiger Fourierreihen

216 9 Fourierreihen

Beispiel: 9-1

Die Funktion f(x) sei durch

[ )( ]⎩

⎨⎧

∈−∈−

=2/L,0xfürp

0,2Lxfürp)x(f

0

0

gegeben.

Da f(x) ungerade ist, sind alle ak gleich Null. Für die Koeffizienten bk gilt

∫ π=2L

0k dx

Lxk2sin)x(f

L4b

Integration liefert mit Lxk2u π= und damit

Ldxk2du π=

[ ] ( )[ ])5,3,1k(

kp4

11kp2

1kcoskp2

ucoskp2

duusink2Lp

L4dx

Lxk2sin)x(f

L4b

0

k00

k

00

k

00

2L

0k |

K=π

=

−−π

−=−ππ

−=

π−=

π=π=

ππ

∫∫

Die Fourierreihe der Funktion f(x) lautet somit

)Lx10sin

51

Lx6sin

31

Lx2(sin

p4Lxk2sin

k1p4

)x(f5,3,1k

00 KK

+π+π+ππ

=ππ

= ∑∞

=

Gl. 9-6

Diese stellt f(x) in allen Punkten 2Lkx ≠ (k ∈ Ù) dar. In den Punkten x = kL/2 liefert sie

den Mittelwert, also den Wert Null. Für praktische Fälle reicht es oftmals aus, wenn man sich auf wenige Reihenglieder be-schränkt. Dazu werten wir Gl. 9-6 für N = 5 und N = 10 aus.

∑∞

= π=π

π=

K5,3,1k

00 p4Lxk2sin

k1p4

)x(f

9.1 Einfache Fourierreihen 217

0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

Abb. 9-2 f(x) für N = 5 (p0 = 1, L = 2π)

0 2 4 6 8-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x

Abb. 9-3 f(x) für N = 10 (p0 = 1, L = 2π))

Die Formeln Gl. 9-1-Gl. 9-5 gelten auch bei Verwendung von Polarkoordinaten

Abb. 9-4 Setzen wir s statt x und beachten, dass ϕ= as und Φ= aL sind, dann gehen Gl. 9-1 und Gl. 9-2

über in

),2,1k(,dk2sin)(f2b

),2,1k(,dk2cos)(f2a

d)(f2a

k2sinbk2cosa2

a)(f

0k

0k

00

1kk

1kk

0

K

K

=ϕΦϕ

πϕΦ

=

=ϕΦϕ

πϕΦ

=

ϕϕΦ

=

Φϕ

π+Φϕ

π+=ϕ

∫

∫

∫

∑∑

Φ

Φ

Φ

∞

=

∞

=

Gl. 9-7

218 9 Fourierreihen

Es können wieder folgende Sonderfälle betrachtet werden: 1. f(ϕ) ist eine gerade Funktion, d.h. f(-ϕ) = f(ϕ), dann gilt bk = 0 und es verbleiben

0b

),2,1k(,dk2cos)(f4a

d)(f4a

k

2

0k

2

00

=

=ϕΦϕ

πϕΦ

=

ϕϕΦ

=

∫

∫Φ

Φ

K Gl. 9-8

2. f(ϕ) ist eine ungerade Funktion, d.h. f(-ϕ) = -f(ϕ), dann gilt ak = 0, so verbleiben

),2,1k(,dk2sin)(f4b

0a0a

2

0k

k

0

K=ϕΦϕ

πϕΦ

=

==

∫Φ

Gl. 9-9

9.2 Fourierdoppelreihen Für die Darstellung von Funktionen f(x,y) mit zwei Variablen werden Fourierdoppelreihen verwendet. Die Perioden sind Lx und Ly. Dann gilt:

∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

ππ+

ππ+=

1m 1n yxmn

1m 1n yxmn

0

Lyn2sin

Lxm2sina

Lyn2cos

Lxm2cosa

4a

)y,x(f Gl. 9-10

Die Fourierkoeffizienten sind

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

ππ=

ππ=

=

x y

x y

x y

L

0

L

0 yxyxmn

L

0

L

0 yxyxmn

L

0

L

0yx0

dydxL

yn2sinL

xm2sin)y,x(fLL4b

dydxL

yn2cosL

xm2cos)y,x(fLL4a

dydx)y,x(fLL4a

Gl. 9-11

9.2 Fourierdoppelreihen 219

Sonderfälle: 1. f(x,y) ist symmetrisch bezüglich x = 0 und y = 0, dann gilt:

0b

dydxL

yn2cosL

xm2cos)y,x(fLL

16a

dydx)y,x(fLL

16a

mn

2L

0

2L

0 yxyxmn

2L

0

2L

0yx0

x y

x y

=

ππ=

=

∫ ∫

∫ ∫

Gl. 9-12

2. f(x,y) ist antimetrisch bezüglich x = 0 und y = 0, dann ist:

∫ ∫ππ

=

==

2L

0

2L

0 yxyxmn

mn

0

x y

dydxL

yn2sinL

xm2sin)y,x(fLL

16b

0a0a

Gl. 9-13

Beispiel: 9-1 Für die bezüglich x = 0 und y = 0 antimetrische Belastung nach Abb. 9-5 sind die Fourierkoef-fizienten zu ermitteln.

Abb. 9-5 Feldweise veränderliche Belastung

220 9 Fourierreihen

Mit Lx = 2a und Ly = 2b erhalten wir mit der Substitution b

ynv;a

xmu π=

π=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

π=

π−π−π

=π

=

ππ=

ππ=

∫∫

∫ ∫∫ ∫ππ

π

=

π

== =

K

K

,5,3,1n,5,3,1m

mnq16

)ncos1)(mcos1(mn

q4vdvsinudusinmnq4

dvduvsinusinnb

ma

abq4dydx

bynsin

axmsin

abq4b

2

2

n

0

m

02

m

0u

n

0y

a

0x

b

0ymn

und damit:

∑ ∑∞

=

∞

=

πππ

=K K5,3,1m 5,3,1n yx

2 Lyn2sin

Lxm2sin

mn1q16)y,x(f

Ist die Flächenlast feldweise begrenzt, dann ist entsprechend zu verfahren.

Beispiel: 9-2

Abb. 9-6 Antimetrische Teilflächenbelastung

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==ππππ

π=

ππππ

=

ππ=

+−

+−

+

−=

+

−=∫ ∫

K

K

,3,2,1n,3,2,1m

bdnsin

bvnsin

acmsin

aumsin

mn1q16

|b

yncos|a

xmcosnb

ma

abq4

dydxb

ynsina

xmsinabq4b

2

dvdv

cucu

cau

cux

dv

dvymn

und damit

bynsin

axmsin

bdnsin

bvnsin

acmsin

aumsin

mn1q16)y,x(f

1m 1n2

πππππππ

= ∑∑∞

=

∞

=

Index A

Analyse harmonische 214

B Basisvektoren 6, 10 Beanspruchung

rotationssymmetrisch 89 Belastung

feldweise veränderlich 219 Bernoulli

Daniel 53 Jakob II 1 Johann I 1

Bessel 53 Besselfunktion

modifizierte 57 Betti 193 Bettungsmodul 47 Beziehungen

invariante 21 Biegeflächen

hyperbolische 79 parabolische 78

Biegemoment 22 Biegemomente 20, 22, 24, 29, 77, 81, 90, 106,

126, 131, 134, 135, 136, 171, 172, 174, 183, 205, 209

Bipotenzialfunktion 66 Bogenlänge 177

C Chladni 1

D Deformator 179 Delta-Operator 16 Differenzialgleichung

homogene 65 Laplace 67 partikuläre Lösung 65

Differenzialgleichungen Cauchy-Riemann 67, 187

Divergenz eines Tensorfeldes 15 eines Vektorfeldes 14

Doppelskalarprodukt 183 Drehwinkel ω 185 Drillmoment 20, 23, 29, 32, 44, 79, 80, 148,

150, 153, 155, 160, 161, 167, 168, 170, 175, 177, 205

Durchbiegung 62, 63, 124, 149, 157, 159, 160, 161, 164, 166, 169, 172, 173, 179, 187, 191, 194, 199, 210

Dyaden lineare 6

E Ecken 42 Eckkraft 44, 45 Einheitstensor 7, 8, 12, 181, 182, 183 Einspannbedingungen 93 Elastizitätsmodul 135, 183 Entwicklungssatz

der Tensor- und Vektorrechnung 9 Euler 1

F FE-Methode 66 Flachgründungen 47 Formänderungsenergie 193, 194

isotherme 193 Fourierdoppelreihen 218 Fourierreihe 136, 137, 138, 140, 214, 216 Fourier-Reihe

einer konstanten Belastung 208 Fourierreihen

einfache 213 Freiheitsgrade 194 Fundamentallösung 84

der klassischen Plattentheorie 83 Fundamentalsystem 54, 55, 57 Funktion

gerade 214 ungerade 214

Funktional bilineares 193

Funktionen

222 Index

analytische 67

G Germain 1 Gleitlager 195 Gradient

eines Skalarfeldes 14 eines Vektorfeldes 15

Grundgleichungen schubelastische Platte 177 statische 180

H Hauptbiegemomente 21 Hauptdiagonale 6 Hauptdrillmoment 23 Helmholtz 186 Hoene-Wronski 54 Hypothese

Bernoullische 180

I Integralsatz

Gaußscher 182

K Kinematik

einer schubelastischen Platte 178 Kirchhoff 1 Klemmschneidenlagerung 195 Koeffizientenvergleich 137, 144, 207 Konstanten

freie 65 Koordinaten

eines Tensors 12 kartesische 33

Koordinatentransformation 5, 70 Kreisplatte 62, 92, 95, 98, 102, 103, 107, 128,

195, 199, 200 Kreisringplatte 60, 62, 110, 114, 119, 122,

125, 128 Kronecker 8 Kugeltensor 7

L Lagrange 1 Laplace

planarer Operator 28 Lastverteilungszahl 203 Lösung

Vergleich mit der klassischen 191 Lösungen

komplexe 208

M MacDonaldsche Funktion 57 Mindlin 2, 177, 179 Mittelwert 214 Momentenfunktion 187 Momentengleichgewicht 25, 30, 182, 184 Momentenvektor 180

N Nabla-Operator 14, 179 Näherungsverfahren 203 Navier 1 Neumann 55

O Operatoren

allgemeine Beziehungen 17

P Partikularlösungen der

Plattendifferenzialgleichung kartesische Koordinaten 81 Polarkoordinaten 83

Platte drillsteif 206 drillweich 205 dünne 1, 26 elastisch gebettet 47 quadratische 210 schubelastisch 177 statisch unbestimmt gelagert 103

Platten geschichtete 184

Plattendicke 1 Plattendifferenzialgleichung 28, 31, 32, 65,

66, 71, 90, 134, 137, 141, 169, 207 Plattenebene 19, 178 Plattenelement

Gleichgewicht 25 Plattengleichung in Zylinderkoordinaten 28 Plattenhalbstreifen 140, 145, 147, 156, 158 Plattenkinematik 177, 178, 184 Plattenmittelfläche 1, 26, 76, 178, 179, 180 Plattenschnittlasten 19 Plattensteifigkeit 27, 81, 134, 184 Plattenstreifen

unendlich lang 133 Plattentheorie

Grundgleichungen der klassischen Plattentheorie 19 Kirchhoffsche 2

Plattentheorien verfeinerte 177

Poisson 1 Polynome

biharmonische 69 harmonische 67

Index 223

Potenzialfunktionen 67, 72 Produktansatz 52, 56, 68, 72, 141 Produkte

dyadische 6 Produktlösungen

direkte 70

Q Querkontraktionszahl 183 Querkräfte 20, 29, 61, 79, 80, 90, 134, 136,

170, 183, 184, 187, 191, 211 Querkrafttensor 181 Querkraftvektor 180 Querschubverzerrungen 177

R Rand

eingespannt 34 frei gelagert 40 gelenkig gelagert 37

Randbedingungen 2, 32, 37, 61, 62, 66, 90, 95, 99, 125, 129, 136, 137, 143, 144, 145, 147, 156, 158, 163, 177, 186, 197, 208, 209

Randintegrale 182 Randlasten 19 Randquerkraft 33, 177, 194 Randwerte

einer schubelastischen Platte 194 homogene 195

Reaktionskraft 37, 38, 39, 40, 61, 90 Rechteckplatte 19, 80, 162, 169, 203, 205, 206 Reißner 3 Reissner 2, 177 Rekursionsformeln 58 Rotationssymmetrie 31, 34, 36, 39, 40, 41, 42,

60, 71, 83, 107 Rotor

eines Tensorfeldes 16 eines Vektorfeldes 15

S Sandwichplatten 184 Satz

Gaußscher 193 Schnittlasten 2, 19, 27, 28, 30, 32, 48, 66, 77,

78, 79, 80, 86, 90, 91, 92, 94, 97, 101, 103, 109, 111, 113, 115, 118, 124, 127, 128, 134, 164, 170, 171, 180, 194, 210

Schnittmomente Transformationsverhalten 21

Schnittquerkraft 180 Schubmodul 184 Schubspannungen 184 Schüttmomente 181 singuläre Lösung

Einzelkraft 84

Einzelmoment um die x-Achse 88 Einzelmoment um die y-Achse 86

Singularität klassische 84

Skalar 5 Skalarprodukt 10 Spannungen 19, 20, 27, 32, 180, 183, 185 Spannungstensor 180 Spatprodukt

dreier Vektoren 11 Spur

des Verzerrungstensors 183 Stoffgesetz 27, 183, 184, 185, 187 Streifenkreuzverfahren

nach Markus 203 Summationsvereinbarung 8 Summen

trigonometrische 213 Superposition 206

T Teilflächenbelastung 98, 100, 107, 139, 195,

199, 220 Tensor 5

der antimetrische 7 der symmetrische 6 der transponierte 6 zweiter Stufe 5

Tensoralgebra 10 Tensoranalysis 14 Tensorkalkül

Einführung 5 Tensor-Tensor

Doppelskalarprodukt 13 Skalarprodukt 13

Thomsonfunktionen 59 Torsion

reine 80 Tragverhalten

zweidimensionales 205 Transformationsgesetze

für Vektoren 21

U Übergangsbedingungen 99, 129, 197 Unstetigkeit

in der Belastung 98 Unterlage

elastische 47

V Vektor 5 Vektorfeld 15 Vektorprodukt 10, 11

das doppelte 11 Vektor-Tensor

Skalarprodukt 12 Verrückungsvariationen 194

224 Index

Verschiebungsfeld 26, 32, 48, 169, 170, 210 Verwindung 205 Verzerrungen 26, 27, 183 Verzerrungstensor

linearisierter 179

W Weber 55 Weberfunktionen 56

Wechselwirkungsenergie 193 Winkelvektor 179 Winkler 47

Z Zylinderfunktion 54 Zylinderkoordinaten 28, 29, 34, 35, 36, 38, 39,

41, 42, 52, 71

Literatur / 1 / Girkmann, K.: Flächentragwerke. Springer-Verlag Wien, New York, 6. Auflage, un-

veränderter Nachdruck 1978

/ 2 / Raack, W.: Schriftenreihe Ebene Flächentragwerke, Technische Universität Berlin, 2. Institut für Mechanik Bände 1-7.

/ 3 / Holm Altenbach, Altenbach J., Naumenko K.: Ebene Flächentragwerke, Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

/ 4 / Szabó, István: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwen-dungen, 3. Auflage, Stuttgart: Birkhäuser, 1987

ebene flächen- tragwerke ii · 1 einleitung eine platte ist ein dünnes ebenes flächentragwerk,...

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