660 ARCH. MATH.

Eine Charakterisierung der Kugel

Von

P~ OL:F SCIINEID ]~R

Kiirzlich hat R. Blind [7] den folgenden Satz bewiesen: Ist K c E ~ ein glatter konvexer K 6~er derart, daft jede geschlos.sene Jordankurve au] a K mit der Schwenkung 0 au/ beiden Seiten die Ober/li~che yon K halbiert, so ist K eine Kugel.

Unter einem konvexen KSrper im n-dimensionalen euklidischen Raum E n soll hier eine kompakte , konvexe Teilmenge yon En mit inneren Punkten verstanden werden. Ein konvexer KSrper heil3t glatt, wenn es durch jeden Randpunkt yon K nur eine Stiitzebene gibt. I )ef ini t ionsgem~ halbiert eine Jordankurve auf aK die Oberflache yon K c E3, wenn die beiden yon der Kurve berandeten offenen Gebiete gleichen F1/icheninhalt haben.

Der angegebene Satz yon R. Blind ist vermSge des Gaui~-Bormetschen Satzes und des Theorema e ~ e ~ u m fiir allgemeine konvexe F1/~ehen (siehe Aleksandrov [4], S. 356 bzw. S. 207) eine Konsequenz des folgenden, in [7] bewiesenen Satzes: Ist K c E 3 ein glatter konvexer K6rper derart, daft ]ede geschlossene Jordankurve a u /~K , deren sph~irisches Bild den Inhalt Null hat und die ein Gebiet mit sphgrischem Bild yore Inhalt 2,'~ berandet, die Ober]lgche von K halbiert, so ist K eine Kugel.

Ziel dieser Note ist eine Verallgemeinerung des letzteren Ergebnisses auf hShere Dimensionen. Das Resultat ist in Satz 2 enthalten; Satz 1 dient als Hilfsmittel. Vor der Formulierung dieser Satze treffen wir zun/~chst einige Vorbereitungen.

~n bezeichne die Menge der konvexen K6rper des En. Es sei S n-1 die Einheits- sph/ire des E n mit Mittelpunkt 0 und ~ das spharische Lebesgue-Ma$ auf S n-1. Mit ~ ( E n) und ~(Sn-1) wird die a-Algebra der Borelmengen in E n bzw. S n-1 be- zeichnet. 5/~ ist das (n - - 1)-dimensionale Hausdorff-MaB in En. Einen Einheits- vektor u e S n-1 bezeichnen wir als einen Normalenvektor des konvexen KSrpers K e ~n im Punkt x ~ ~K, wenn es eine zu u orthogonale Stiitzebene an K durch x gibt und u ins Innere desjenigen Halbraumes weist, der K nicht enthi~lt.

Sei K e ~ n Fiir fl c E n sei a(K, fl) c S n-1 die Menge aller Normalenvektoren an K in Punkten yon ft. Fiir f l e ~ (E n) ist a (K, fl) eine Lebesgue-mel3bare Teilmenge yon Sn-L Wir setzen

(1) z (K, fl):----- ) . (a(g, fl)) fiir f l e ~ ( E n ) .

Darm ist z (K, -) ein MaI~ auf ~ (En). (Den Beweis dieser Behauptungen finder man fiir n ---- 3 bei Aleksandrov [4], Kap. V, w 2; diese Beweise gelten auch f 0 r n > 3;

Vol. XXIX, 1977 Eine Charakterisierung der Kugel 661

vgl. aueh Aleksandrov [3], w 6.) Wir bezeichnen z(K, .) als das (Gauflsche) Kriim- mungsmafl yon K.

Fiir co c S n-~ sei w(K, o)) die l~enge der Randpunkte yon K, in denen es einen zu co gehSrenden ~Tormalenvektor an K ~bt . Sei

(2) S n - I ( K , co):----- ~n - l ( ' g (K , co)) ffir o ~ e ~ ( S n - 1 ) .

Dazm ist Sn - z (K , ") ein Mal3 auf ~(Sn -1 ) , n~mlieh die yon Aleksandrov [2] und Fenchel-Jessen [10] eingeftihrte Ober/15chen/unktion yon K. (In [2] und [10] wird die Oberfls auf unterschiedliche und yon (2) verschiedene Weise ein- gefiihrt; die Gleichwertigkeit aller Defmitionen ist indessen unschwer einzusehen, vgl. Schneider [12], w 4.)

Satz 1. Sei K ~ ~ (n ~ 2) ein konvexer K6rper, /iir den (mit einer reellen Kon- stanten c) (3) z (g , fl) = cJ~ n-1 (fl)

liar jede Borelmenge fl c a K gilt. Dann ist K eine Kugel.

Es wiirde offenbar geniigen, die Gleichung (3) nur ftir jede abgeschlossene (oder fiir jede retativ offene) Teilmenge ]7 yon aK vorauszusetzen. Satz 1 lal~t sich als Verallgemeinerung des Satzes yon Liebmann (,,Die einzigen C2-Eifl/ichen konstanter Gaul3scher Kriimmung sind die Sph~ren") auf allgemeine konvexe Fls ansehen. Eine BeweismSgliehkeit ist bei Aleksandrov [4], S. 337, angedeutet; ein allgemeinerer Satz ist yon Diskant [9] bewiesen worden. Der hier ben6tigte speziellere Satz 1 1/i~t sich sehr rasch beweisen; daher wollen wir der Vollst~indigkeit halber einen Beweis angeben.

Bewe i s y o n S a t z 1. Sei K e ~n ein K6rper, der (3) erffillt fiir alle Borelmengen fl c a K . Sei co c S n-z eine abgesehlossene Menge. Dann ist auch/7 : = ~(K, co) abge- schIossen. Wegen (1) und der Relation a(K,/7) o eo ~ l t

(4) g(K, fl) = 2((y(K, fl)) >= ).(co).

Sei R (K) die Menge der regul~ren Randpunkte yon K. R (K) ist als Komplement (beziiglieh OK) einer abz~hlbaren Vereinigung yon abgeschlossenen ~engen darstell- bar, also eine Borelmenge. Bekanntlieh gilt

J/t ~n-~ ( a K \ R (K) ) = 0

(ftir einen einfachen Beweis und eine Verallgemeinerung siehe Anderson-Klee [5]). Ftir die Borelmenge fl' := fl c~ _R (K) gilt also

y l~-~ (#3 = Jc~-~ (#).

Wegen (3) (offenbar ist c # 0) und (1) folgt

z(K,/7) = 7.(K,/7') = 2(~(K,/7')) =< ).(r

wobei zuletzt die Relation a(K , fl') c o) benutzt wurde, die sieh unmittelbar aus den Definitionen yon fl,/7' und a(K,/7 ') er~bt. Zusammen mit (4) liefert das z(K,/7)---- = 2 (co) und daher nach (2) und (3)

c Sn-1 (K, a)) = c JF n-1 (/7) = z (K, fl) = 2 (w).

662 R. SCHNBID]~I~ AIZCH. MATH.

Da also die Gleichnng c S n - l ( K , w ) ~ - 2 ( w ) yon jeder abgeschlossenen Menge o~ c S n-z erffillt wird, gilt sie fiir jede Borelmenge co e ~ (Sn-1). Aus cSn-1 (K, ") -.~ ), folgt nun IIach dem Satz yon Aleksalidrov-Fenchel-Jessen (z.B. [10], siehe auch Busemann [8], S. 70), dab K eine Kugel ist. �9

Definition. Sei K e ~n und/~ ein auf aK konzentriertes BorelmaB. Wir sagen, daB die Borelmenge M c OK das Marl/~ halbiert (8treng halbiert), welm

# (relint M) ----/~ ( re l in t (aK\M)) ( ~ ~-/~(aK))

ist. (Hier bezeichnet rel int M das Innere yon M relativ zu OK.)

Satz 2. Sei K e ~ (n ~ 3) ein glatter konvexer .K6rper derart, daft ~edes Jordan- gebiet au] aK, das die Kri2mmung yon K streng halbiert, auch die Ober/liiche yon K halbiert. Dann ist K eine Kugel.

Unter einem Jordangebiet ist bier eine offelie Teilmenge yon aK verstaliden, deren Rand homSomorph zu S n-2 ist. (,.often" und , ,Rand" sind relativ zu aK gemeint. Entsprechendes gilt auch im folgendeli, wie jeweils aus dem Zusalnmenhaiig klar sein wird.) Wie der naehstehende Beweis zeigt, k~me man auch mit geeigneten kleineren Mengenklassen aus; hierauf wollen wir jedoeh nicht eingeheii.

Dureh Satz 2 wird das Hauptergebnis yon R. Blind [7] auf hShere Dimensiolien iibertr~gen. Um diese Ubertragung zu ermSglichen, erwies es sieh als notwendig, den in [7] aiigegebenen Beweis in wesentlichen Punkten abzus Einige Grund- ideeii konnteii jedoch iibernommen werdenl). Wir stelleii zun~Lehst zwei Hilfss~tze bereit.

Hilissatz 1. Sei # ein (positives) Marl au/ ~ (E n) mit der Eigenscha/t /~ (H) ---- 0/i~r ]ede Hyperebene H c E n. Dann gibt es zu jedem n-Tupe l A1 . . . . , A n e ~ ( E n) mit /~(A~) ~ oo (i ---- 1, . . . , n) eine Hyperebene H c E n mit /~(A~ n H +) ---- # ( A i n H - ) /i~r i -~ 1, . . . , n, wo H +, H - die von H berandeten o//enen Halbriiume sind.

Man beweist dies auf die gleiche Weise wie den wohlbekannten Spezialfall, in dem # das Lebesguesche MaB ist, siehe Hilton-Wylie [11], 4.3.8. Der Vollst~iidigkeit halber wollen wir das in [11] nicht ansgefiihrte Stetigkeitsargument fiir den vor- liegenden l~all kurz erl~utern. Wir fassen E n als Unterraum yon E n+l (versehea mit Skalarprodukt ( , ) ) auf und w~hlen 1o e E n + z \ E n . Seien A I . . . . . A n e ~ ( E n) mi t /~ (A~) ~ oo (i = 1, . . . , n) gegeben. Fiir x e Sn setzeli wir

H + (x):-~ (y e E n+l : (y, x) > (Io, x)} und

u~ (x) :----/~ (A~ (~ H + (x)) (i ---- 1, . . . , n) .

Sei nun (x~)~e~ eilie Folge in S n mit lira x~ = x0. Sei I~ die (auf/~n erkl~rte) Indi- katorfunktioli yon A~ (~ H + (xk). Dalm gilt lira I~ ~ I~ /,-fast fiberall, denn fiir

1) Frau Blind m6chte ich herzlich danken f'ur die ?3berlassung einer Kopie ihres Manuskriptes vor der VerSffentlichung.

Vol. XXIX, 19Z7 Eine Charakterisierung der Kugel 663

y e E n \ S H + ( x o ) ist I ~ ( y ) = I~(y) Fdr fast alle k, und naeh Voraussetzung ist t t (OH + (xo) n E n) ~ O. l~erner ist die Indikatorfunktion yon A~ eine/~-inte~cwierbare Majorante f'fir I~. Nach dem Konvergenzsatz yon Lebesgue folgt also

lira ui (xx) = lim S g d~ = ] I~ d# = ui (x0). k-~oo k-~oo E~ E"

Somit ist die Funktion u~ stetig (i = 1, . . . , n). Der Rest des Beweises verliiuft wie in [11], 4.3.8. �9

Itilfssatz 2. Sei K e ~n ein glatter konvexer K6rper. Fiir ]ede Hyloerebene H c E n gilt dann ~ (K, a K (5 H) = O.

Wir verallgemeinern (ira wesentlichen) den Beweis yon Kilfssatz 4 in [7]. Sei H c E n e i n e Hyperebene, o .B.d.A, sei 0 e H und 0 innerer Punkt yon K. Sei u e E n ein zu H senkrechter Einheitsvektor. Sei G c S n-1 ein Grollkreisbogen mit End- punkten u, - - u. Fiir i0 e aK sei p ' e S n-1 der (wegen der Glattheit yon K eindeutig bestimmte) Normaleneinheitsvektor an K in P. Seien/~, q e 0K (~ H zwei Punkte mit p' , q' e G. Der Normaleneinheitsvektor 1o• an K ~ H in H im Pnnk t p l i e~ in

�9 t

G t~ H, entsprechendes gilt fiir q. Es ist also p ~ = qH. Daher ist die Verbindungs- strecke yon p mad q im Rand yon K (~ H und somit im Rand yon K enthalten. Diese Streeke liegt in einer Stiitzebene an K. Aus der Glattheit yon K folgt jetzt p ' = q'. Jeder Grol3kreisbogen mit Endpunkten 4 -u triift also das sph~irische Bild a (K, OK n H) nur in einem Punkt. Daraus folgt 2(a(K, OK r~ H)) ---- 0, a l so die Behauptung. �9

B e w e i s y o n S a t z 2. Sei K e ~n ein konvexer KSrper, der die Voraussetzungen yon Satz 2 erfiillt. O.B.d.A. sei 0 innerer Punkt yon K. Unter einem polyedrischen Jordangebiet wollen wir den Durehschnitt yon OK mi t einem offenen polyedrisehen Kegel (niehtleerer Durehsehnitt yon endlich vielen offenen Halbr~umen, deren Randebenen dureh 0 gehen) verstehen. Fiir jedes polyedrisehe Jordangebiet M c OK gilt u(K, 0M) = 0 wegen ttilfssatz 2. Hieraus mad aus u(K , {x}) -~ 0 folgert man unter Verwendung eines einfachen Stetigkeitsargumentes leieht die folgende Tat- saehe: I s t M c OK ein polyedrisehes Jordangebiet und 0 <2 a <: u(K, M), so gibt es ein polyedrisches Jordangebiet M ' c M mit u(K, M' ) = ~. Von dieser Bemerkung werden wir verschiedentlieh Gebraueh maehen. Zun~chst kann man sie zusammen mit elementaren l~berlegungen verwenden, um die Existenz einer Zahl e > 0 mit folgender Eigensehaft einzusehen: Shad M1, M2 c OK polyedrisehe Jordangebiete mit Durchmessern ~ s und mit g (K, M1) ---- ~. (K, Me) ---- : :r ~ ~ sowie mit el MI n n el M2 4 = 0 (el bezeiehnet die abgesehlossene Hiille), so gibt es ein polyedrisches Jordangebiet M3 c OK mit el MI n cl M3 ---- O, cl M2 r~ el Ms ~ 0 und u (K, M3) ---- a. Eha polyedrisehes Jordangebiet M c OK vom Durchmesser ~ e mi t g (K, M) ~ s wollen wir fiir die Zwecke dieses Beweises als 8peziell bezeiehnen.

Seien nun M1, M2 c OK zwei polyedrische Jordangebiete mit cl M1 n cl M2 = 0 und

(5) z ( K , M1) ---- u ( K , M2) .

664 R. SCHNEIDEI~ ARCH. MATH.

Wir behaupten, dab dann

(6) ~ n - ~ (M~) = 2't ~n-~ (M~)

gilt. Zum Beweis sei H c E n eine nach tIilfssatz 1 und Hilfssatz 2 (und der Voraus- setzung n _> 3) existierende Hyperebene mit

z (K , O K + ) = ~ ( K , OK-), z ( K , M + ) = z ( K , M ~ ) ( i = 1 , 2 ) , (7)

wobei aK + :---- 0K (~ H+, 0K- :-- OK • H - ,

M + :---- Mt c~ H + , M~- :---- M~ c~ H - (i = 1, 2)

gesetzt ist. H trifft dos Innere yon K. Wir setzen noch

A + : = 0K+\c l (M + w M+)~ A - :---- 0 K - \ c l ( M i- u M~-).

Aus (5) und (7) sowie g(K, H) = 0 und g(K, OMi) = 0 fo l~

(8) ~(K, (0K+ w M1)\cl M~) = ~ ( K , A + t.) M ~ w M~') = �89 ~(K, OK).

Nun ist, da es sich bei M1 und M2 11121 polyedrische Jordangebiete mit

cl M1 n cl M2 ---- 0

handelt, leicht zu zeigen, dab (OK + w M1)\cl M2 ebenfalls ein Jordangebiet ist. Da sein Rand in der Vereinigung endlich vieler Hyperebenen liegt und daher Kriim- mungsmaB Null hat, halbiert es nach (8) streng die Kriimmung yon K. Nach Voraus- setzung halbiert es also die Oberfl/iche yon K, und zwar streng, da sein Rand (n -- 1)- dimensionales HausdorffmaB/qull hat. Es folgt

~,j'g~n-1 (A+) _.~ ~ n - 1 (.M?) + j/~n-1 (M?) ----

_-- ~ n - i ((OK + U M i ) \ c l Me) =

= { ~ z ~ - i (0K) . Analog ist

Jt~ § ,~- 2"Cn-I(M+) -}- j t n - l ( M 2 ) __-- -~-j~n-I(0K),

also I t ~ (M1) = ~Zfn-1 (M2). I)amit ist die Behaupfung (6) bewiesen. lkTnn seien M1, M2 c OK zwei beliebige spezielle Jordangebiete, die (5) erfiillen.

Sind ihre abgeschlossenen Hiillen disjunkt, so gilt (6). Andernfalls gibt es nach Wahl yon ~ ein polyedrisches Jordangebiet Ma c OK mit cl M1 (~ cl M3 ---- O, cl M.~ n n cl Ms -~ O und ~ (K, M3) -~- z (K, M1) ---- ~ (K, M2). l~ach dem bereits Bewiesenen ist j /f n-1 (M~) = 5/zn-1 (M3) fiir i = 1, 2, also 2"t ~n-l(M1) = $Fn-1 (M2).

Sei :r ~ 0 eine Zahl derart, dal~ es ein spezielles Jordangebiet 2 / c OK mit ;~(K, 2/) = :r gibt. Wit k6nnen eine Funk t ion / : ]0, ~] --> R erkl~ren durch folgende Festsetzung. Sei x e ]0, :r Dann kSrmen wir ein spezielles Jordangebiet 2 / c OK w&hlen *nit ~ (K, 2/) -----x. I)a :Jr~ nach dem Vorstehenden nur yon x und nicht yon der Auswahl der Menge 2/abh&ngt, k6nnen wir/(x) = ,~n-1 (2/) setzen. Seien nun x, y ~ 0 zwei reelle Zahlen mit x ~- y =< :r Es gibt ein spezielles Jordan- gebiet M c OK mit u (K, M) ---- x + y. I-Iierzu gibt es (wie Hilfssatz 2 und ein Stetig- keitsarg~ment zeigen) eine ttyperebene H1 dutch 0 mit u (K, 2 / (~ H +) = x und

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(K, M c~ HI-) ~ y. Da M n H ~ und M n H i- ebenfalls spezielle Jordangebiete sind, ~ I t

/ (x q- y) -~ Jt ~ (M) = j/ f~-i (M n H +) + ~,~n-1 (M n H-) =

=/(x) +/(y) .

Die Funk t ion / geniigt also (in ihrem Defmitionsbervivh ]0, a]) der Cauehyschen Funktionalgleichtmg. Da ] ~ 0 ist, muB / ( x ) = cx mit einer Kons tan ten c sein (vgl. Aez~l [1], S. 50- -51 und S. 45). Es ist also 9 f f n - l ( M ) = c~(K, M) ftir jedes spezielle Jordangebie t M c OK mit n (K, M) <= ~. Da die hier zugelassenen Mengen M ein durchsehnit tsstabiles Erzeugendensys tem der a-Algebra der Borelsvhen Teil- mengen yon 0K bilden und da z (K, .) und Wn-1 endliche MaBe auf dieser a-Algebra sind, gilt 3tC ~-1 (fl) ---- c ~ (K, fl) fiir jede Borelmenge /~ c ~K (siehe z.B. Bauer [6], Satz 5.5). J e t z t folg~ aus Satz 1, dal3 K vine Kugel ist. []

Ganz analog k a n n m a n zeigen:

Satz 3. Sei K ~ ~n (n _~ 3) ein glatter konvexer K6rlper derart, daft ]edes Jordan- gebiet au/ OK, das die Ober/liiche von K streng halbiert, auch die Kriimmung yon K halbiert. ])ann ist K vine Kugel.

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Anschrift des Autors:

Rolf Schneider Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universit~t Albertstr. 23 b D-7800 Freiburg i.Br.

Eingegangen am18.4.1977