Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie I - Teil V: Thermodynamik der Atmosphäre-

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Gliederung der Vorlesung 0 Allgemeines I Einführung II Zusammensetzung und Aufbau der Atmosphäre III Strahlung IV Die atmosphärischen Zustandsvariablen V Thermodynamik der Atmosphäre ----------------------------------------------------- VI Dynamik der Atmosphäre VII Synoptische Meteorologie

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V Thermodynamik der Atmosphäre 1.  Adiabatische Prozesse mit Kondensation

-  Trocken- und Feuchtadiabaten -  Temperaturschichtung und Stabilität -  schiefes T - log p Diagramm

2.  Hebungs- und Absinkprozesse -  Auftrieb und Vertikalbewegung -  Wolkenbildung und Temperaturprofil -  Klassischer Föhnprozess -  Stabilisierung/Destabilisierung durch Vertikalbewegung

3.  Thermodynamische Diagrammpapiere -  Auswertehilfe für Vertikalsondierungen (Radiosonden)

4.  Verschiedene Phänomene -  Wolken -  Nebel -  Niederschlag

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V.1 Adiabatische Prozesse mit Kondensation

Änderungen der Feuchte beim trocken-adiabatischen Prozessen (Verhältnisse ohne Wolken)

Sättigungsadiabatischer Temperaturgradient (feucht-adiabatische Prozesse) (Verhältnisse mit Wolken)

Auch letzteres soll adiabatisch betrachtet werden, d.h. es findet kein Massen- und/oder Energiefluss durch die Volumenberandung statt. D.h. das kondensierte Wasser/Eis verbleibt als Wolkentropfen/kristalle in dem betrachteten Luftvolumen.

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Änderung der Feuchte – quantitativ – bei trockenadiabatischen Prozessen Annahmen:

1.  Ein Luftpaket nimmt oder gibt beim Auf- oder Absteigen (dabei Druckanpassung an Umgebung) keine Wärme ab bzw. auf (adiabatisch).

2.  Es findet keine Wasserdampfkondensation (Wolkenbildung) statt (trockenadiabatisch).

Zusammenhänge •  Grundlagen für die Betrachtungen sind der 1. Hauptsatz der

Thermodynamik (p↔T-Zusammenhänge bei Adiabasie) und die statische Grundgleichung (p↔z-Umrechnung)

•  Wir untersuchen, wie sich die verschiedenen Feuchtegrößen (z.B. absolute und relative Feuchte) beim adiabatischen Auf- und Absteigen von Luftpaketen ändern (qualitativ bereits im letzten Kapitel besprochen).

•  Das Hebungskondensationsniveau lässt sich daraus als einfache Abschätzung der Wolkenunterkante (über Temperatur=Taupunkt) berechnen.

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Denkmodell

•  Die Umgebungsluft habe eine bestimmte Schichtung (gegeben durch eine bestimmte vertikale Verteilung von Druck, Temperatur und Feuchte im Folgenden gekennzeichnet durch das Subskript U, also pU, TU, …).

•  In dieser Atmosphäre bewege sich ein Luftvolumen adiabatisch nach oben oder unten. Druck, Temperatur und Feuchte dieses Luftpartikels werden mit nicht indizierten Variablen gekennzeichnet (p, T, …)

T, TU

z

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Schon behandelt:

01 ≡−== dpdTcTdsq p ρδ

00 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=hadiabatisc

trocken

cR

dzdθ

ppT

pL

, θ

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für adiabatische Zustandsänderungen

verknüpft Druck- und Temperatur-änderungen des Partikels:

Hieraus ist ableitbar die Potentielle Temperatur θ

als Konstante bei (trocken-)adiabatischen

Zustandsänderungen aus Poissongleichung

und die Temperatur des Partikels ändert sich

dabei, wie folgt:

dTdz trocken

adiabatisch

= −gcp

TTU

≅ −gcp

≡ −0,98 K/100m ≡ -Γd

⇒θ = T (z)+Γd z− z(1000hPa)( )

Nun untersuchen wir quantitativ, wie sich die anderen meteorologischen Variablen bei Vertikalbewegungen

ändern, insbesondere die Feuchtegrößen.

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Luftdruckänderung bei Vertikalbewegungen

zgp UU ∂−=∂ ρGrundlage ist die

statische Grundgleichung, die für die Umgebungsluft

gelten soll:

p

p

= pU

= pU

Beim Verschieben von Luftvolumen kommt es

zum quasi-instantanen Druckausgleich

zwischen Luftvolumen und Umgebung

dpdz

≡∂pU∂z

= −ρUg =p=ρURLTvU

! −p

RLTvUg

⇒ 1pdpdz

= −g

RLTvU

≈ 9,81287 ⋅300

≈0, 01100

≈ −1%

100m

9

Änderung der spezifischen Feuchte (q) und des Massenmischungsverhältnisses (m) bei trockenadiabatischen Bewegungen

0trocken trockenadiabatisch adiabatisch

dq dmdz dz

= ≡

Als Verhältnisse von Massen (Dichten) bleiben beide Feuchtegrößen bei adiabatischen Prozessen konstant!

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Änderung des Dampfdruckes (e) bei trockenadiabatischen Prozessen

0 = dqdz

=

d ρwρ

!

"#

$

%&

dz=

d TReTRwpl

!

"##

$

%&&

dz=RRw

d ep!

"#

$

%&

dz=RRw

1pdedz

−ep2dpdz

!

"##

$

%&&

⇒1pdedz

=ep2dpdz

⋅pe

⇒1ededz

=1pdpdz

≅ −1%100m

Der Dampfdruck ändert sich prozentual um den gleichen Wert um den sich auch der Gesamtluftdruck ändert.

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Änderung des Sättigungsdampfdruckes e* bei trockenadiabatischen Prozessen

1e *de *dz trocken

adiabatisch

=Ketten-regel

e*=e*(T ) 1e *de *dT

dTdz trocken

adiabatisch

=ClausiusClapeyronGleichung

L

RWT2

dTdz trocken

adiabatisch

≈ −6%100m

Da e*≡e*(T) muss bei adiabatischen Prozessen nur die damit verbundene Temperaturänderung betrachtet werden, also

Clausius -ClapeyronGleichung :de*dT

=L

TΔα≈

LTαGas

=Gas-

gleichung

!Le*TRWT

mit

L KondensationswärmeΔα spez. Volumenänderung bei Verdampfungαgas Volumen des GasesDie adiabatische Temperaturabnahme führt zu

einer starken Abnahme von e* (vergleiche mit -1%/100m bei e) beim adiabatischen Aufstieg.

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Änderung der relativen Feuchte f bei trockenadiabatischen Prozessen

dfdz trocken

adiabatisch

=f = e

e*

!

d ee*

!

"#

$

%&

dz

trockenadiabatisch

=1e*dedz trocken

adiabatisch

−ee*2

de*dz trocken

adiabatisch

⇒Multiplikationmite*

e=1/ f

!1fdfdz trocken

adiabatisch

=1ededz trocken

adiabatisch

~−1%/100m! "# $#

−1e*de*dz trocken

adiabatisch

~−6%/100m! "## $##

≈5%100m

Die Abnahme von e* mit der Höhe ist stärker als die Abnahme von e mit der Höhe (siehe

vorherige Seiten), womit die relative Feuchte mit der Höhe zunimmt.

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Änderung des Taupunktes τ(=TD) bei trockenadiabatischen Prozessen

dedz trocken

adiabatisch

=e=e*(τ )de * (τ )dz

trockenadiabatisch

=Ketten-regel

de * (τ )dτ

dτdz trocken

adiabatisch

⇒dτdz trocken

adiabatisch

=de * (τ )dτ

!

"#

$

%&

−1dedz trocken

adiabatisch

erweitern mit

1≡ e*(τ )e

=1e *de * (τ )dτ

=siehe Clausius-

Clapeyron-Gleichungmit τ→T ersetzen

L

RWτ2

!

"

#######

$

%

&&&&&&&

−1

1ededz trocken

adiabatisch

≈ −0,18 K/100m

Der Taupunkt eines Luftvolumens nimmt bei adiabatischer Hebung um ca. 0,2 K/100m ab.

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Hebungskonsensationsniveau (HKN) Lifting Condensation Level (LCL) Wie hoch muss ein Luftvolumen gehoben werden, bis der Wasserdampf kondensiert? Bis die Temperatur des Teilchens gleich seinem Taupunkt ist ! Dies ist unabhängig von der Umgebungsluft in der Höhe!

T (z) = To −Γdz

τ (z) = τ o +dτdz tr.ad.

z

τ (zK ) ≡im HKN! T (zK )

⇒ zK =To −τ o

Γd +dτdz tr.ad.

≈120(To −τ o ) , m

K/100m 1.

−≈adtrdz

dT

T, τ

z

erzwungene Hebung

zK HKN LCL

τo To

K/100m 2,0.

−≈adtrdz

dτ

TU

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Cumuluskondensationsniveau (CKN) Cumulus Condensation Level (CCL)

Cumuli entstehen nicht durch erzwungene Hebung, sondern durch selbständig aufsteigende Luftpakete. Das Cumuluskondensationsniveau CKN liegt meist oberhalb des HKN)). Das CKN berücksichtigt eine zusätzliche Aufheizung von Luft dicht am Boden bis zur sogenannten Auslöse-Temperatur TA; die Luft muss so leicht werden, dass sie durch Auftrieb bis zur Kondensation des Wasserdampfes aufsteigt. Dazu muss die Temperatur der aufsteigenden Luft immer wärmer als die Umgebungsluft sein. Das CKN ist durch den Schnittpunkt der Taupunktkurve mit der Umgebungstemperaturkurve gegeben. CKN und HKN fallen zusammen, wenn die Grenzschicht gut durchmischt ist

T, т

z

HKN

тo To

TU

TA

CKN

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Der feuchtadiabatische Temperaturgradient

- was passiert in Wolkenluft? - •  Beim Abkühlen durch adiabatisches

Aufsteigen (-1 K/100m) steigt die relative Feuchte.

•  Bei 100% relativer Feuchte (Taupunkt wird erreicht) kondensiert Wasser-dampf zu Wasser oder Eis. Eine Wolke entsteht.

•  Bei Kondensation wird die Verdampfungswärme L frei und erwärmt Wasser und Luft. Diese Erwärmung reduziert die adiabatische Abkühlung.

•  Hierdurch ist die Temperaturabnahme beim Aufstieg in der Wolkenluft geringer. Im Mittel beträgt sie -0.65 K/100m, ist jedoch von Druck und Temperatur abhängig.

T

z

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Genauer: •  Tritt beim Aufsteigen verbunden mit dem adiabatischen Abkühlen

Sättigung bezüglich Wasserdampf ein (Temperatur=Taupunkt), so erfolgt beim weiteren Aufsteigen Kondensation des überschüssigen Wasserdampfs (Wolkenbildung).

•  Da bei der Kondensation des Wasserdampfes dessen latente Wärme (L=2,5x106 J /kg) frei wird (die wird der Luft zugeführt), muss die Abkühlung des Luftvolumens beim weiteren Aufsteigen geringer ausfallen als im trocken-adiabatischen Fall.

•  Der resultierende Temperaturgradient (feucht-adiabatisch) ist damit über die Sättigungsdampfdruckkurve (e*(T) nimmt bei höheren Temperaturen stärker zu als bei niedrigen) von der momentanen Temperatur abhängig und daher nicht höhenkonstant.

•  Wenn die Temperatur bereits sehr kalt ist, nähert sich der feucht-adiabatische Gradient wieder dem trocken-adiabatischen Gradienten, da wegen des mit der Temperatur abnehmenden Sättigungsdampfdruckes zunehmend weniger Wasserdampf kondensiert werden kann.

•  Die am Ende (nach dem Auskondensieren des gesamten Wasserdampfes) erreichte potenzielle Temperatur, nennt man Äquivalent-Potenzielle Temperatur θe.

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Potenzielle Temperatur θ und Äquivalent-Potenzielle Temperatur θe

. .d

tr ad

dTdz

= −Γ

T

z

1000 hPa

.. .s

sätt ad

dTdz

= −Γ

θ θe

θ

z

θ θe

θ potenzielle Temperatur: konservative Größe bei trockenadiabatischen Prozessen

θe äquivalent-potenzielle

Temperatur: konservative Größe bei feuchtadiabatischen Prozessen

θe ist die Endtemperatur eines Luftvolumens, wenn es zunächst solange gehoben wird, bis aller Wasserdampf kondensiert ist, und dann trocken-adiabatisch auf 1000 hPa abgesenkt wird.

m

z

m

m=m*

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1. HS der Thermodynamik mit Phasenänderung

•  Der Temperaturzuschlag durch die Kondensation des Wasserdampfes über einen adiabatischen Prozess (Äquivalentzuschlag Δθe=θe-θ) ist offensichtlich von der Änderung des Wasserdampfgehaltes der Luft durch Auskondensieren abhängig.

•  Die Berechnung erfolgt wieder über den 1. Hauptsatz der Thermodynamik, wobei die frei werdende latente Wärme bei Kondensation L (J/kg) und die damit verbundenen Änderung der Feuchte z.B. über das Massenmischungsverhältnis dm berücksichtigt wird.

•  Interpretation: Wenn m zunimmt muss vorhandenes Wasser verdunsten. Bei konstantem Druck und Temperatur würde dazu Wärme benötigt – daher positives Vorzeichen.

•  Für adiabatische Zustandsänderungen (δq=0) muss also gelten:

δq = cpdT − 1ρ dp+ Ldm

0 = cpdT − 1ρ dp+ Ldm

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Ableitung Äquivalent-Potenzielle Temperatur θe

trocken-adiabatisch

0 ≡ cpdT −1ρdp statische

Grundgleichung

! cpdT + gdzintegr. adiabatisch ab

Referenzniveau 0

= cp T −T0( )+ g z − z0( )θ ≡T0 =T +

gcpz − z0( )

dθdz tr.ad .

= 0

dTdz tr.ad .

= −Γd = −gcp

feucht-adiabatisch

0 ≡ cpdT −1ρdp+Ldm

! cpdT + gdz +Ldm

= cp T −T0( )+ g z − z0( )+L(m−m0 )

θe ≡T0 +Lcpm0 =T +

gcpz − z0( )

θ" #$$ %$$

+Lcpm

θe− θ Äquivalentzuschlag

!

dθedz

sätt .ad .

= 0

dTdz sätt .ad .

= −Γs = −gcp−Lcpdmdz

= −gcp−Lcpdm*dz<0!

in Wolkenluft& '$$ ($$

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Berechnung von Гs (ersetze in Formel auf letzter Seite m*=0,622e*(T)/p)

Γs =gcp

1+ LRL

m*

T

1+ Lcpm* 1

e*de*

dT=

Clausius-Clapeyron-Gleichung

!L

RWT2

!"#

<1! "### $###

=

m*=ρw*

ρl=e*(T )Rl

pRw= f (T ,p)

!f (T , p)

Гs K/100m

-20 °C

-10 °C

0 °C

+10 °C

+20 °C

+30 °C

1000 hPa 0,86 0,77 0,65 0,53 0,43 0,36

800 hPa 0,84 0,73 0,60 0,49 0,39 0,33

600 hPa 0,80 0,68 0,55 0,44 0,35 0,30

400 hPa 0,74 0,60 0,47 0,37 - -

200 hPa 0,60 0,46 - - - -

Гs< Гd Je wärmer, desto größer ist Δe* bei einer festen Temperaturänderung. Entsprechend kleiner ist Гs, da mehr Wasser auskondensiert wird pro K Temperaturabnahme (siehe Abbildung). Je höher der Druck, desto mehr Luftmasse muss durch die freiwerdende latente Wärme erwärmt werden. Der Feuchteeffekt auf die Temperaturänderung ist also scheinbar kleiner und damit Гs größer (näher an Гd).

TT T1 2

e*

e*1

2

e*

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Formeln für θe

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+−+=

TcLm

ppT

mcLzz

cgT

p

cR

pp

pL

exp

)(

0

0

e

e

:gilt itAbhängigke-p die Für

:bereits hatten Wir

θ

θ

Achtung: In der hier vorgestellten Ableitung und auch in der genaueren p-abhängigen Formel für θe gibt es einige versteckte Näherungen. So ist z.B. cp selbst noch vom Wasserdampfgehalt und L von der Temperatur abhängig. Bei einer genaueren Betrachtung muss auch festgelegt werden, was mit dem kondensierten Wasser geschieht: - bleibt es im Volumen (Wolkenadiabate) -  fällt es sofort aus (spezielle Pseudoadiabate) -  wird es mit erwärmt oder nicht - …

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Temperaturschichtung und Stabilität •  Bei instantanem Druckausgleich sind bei gleich zusammengesetzter Luft

unterschiedliche Dichten mit unterschiedlichen Temperaturen verbunden (wärmere Luft ist bei gleichem Druck leichter, s. Gasgleichung); daher erfolgt Auftrieb (Beschleunigung) der weniger dichten (weil wärmeren).

•  Bei adiabatischen Auslenkungen von Luftpaketen aus ihrem Ursprungsniveau kommt es zu Temperaturdifferenzen zwischen Umgebungsluft und dem ausgelenkten Partikel und damit zu Auf- oder Abtrieb - wenn die Luft selbst nicht adiabatisch geschichtet ist. –  Die entstehenden Temperaturunterschiede (und damit der Auftrieb)

hängen damit von der Temperaturschichtung und von der Luftfeuchte (tritt Kondensation auf oder nicht) ab.

•  Da es bei diesen Betrachtungen um kleine Temperaturdifferenzen geht, müssen wir die Zusammensetzung der Luft beachten und mit der virtuellen Temperatur arbeiten!

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Auftrieb eines Luftvolumens bei zunächst Tv=TvU nach adiabatischer vertikaler Auslenkung (z-z0) Ein Luftvolumen werde aus seiner Position (Ausgangslage z0) adiabatisch vertikal um z-z0 ausgelenkt z. B. durch Turbulenz (rote Gerade in der Abbildung). •  Ist die Umgebungstemperaturschichtung (gestrichelte Geraden in der Abbildung)

selbst nicht adiabatisch, so stellt sich eine Temperaturdifferenz und damit Dichtedifferenz zwischen Teilchen und Umgebung ein.

•  Abhängig von der Temperaturschichtung wird es dann in die gleiche Richtung beschleunigt, oder abgebremst und in die Ausgangsposition zurückgelenkt:

z

z0 TvU(z0) = Tv(z0)

zTvU

vU ∂∂−=γ labil

bei

⇒

<−= vUv

vvU dzdTT γγ

stabil

bei

⇒

>−= vUv

vvU dzdTT γγ

T

•  Die adiabatische Temperatur-änderung (rote Kurve)kann dabei trockenadiabatisch (Γd=1K/100m) oder feucht-adiabtisch (Γs<1K/100m) sein je nachdem ob die Schicht “trocken” ist oder in einer Wolke.

dTvdz

= −Γd wenn trocken Γ f wenn in Wolkenluft

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

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Stabilitätszustände

γ U > ΓdΓd > γ U > Γs

Γs > γ U

(absolut) labil

bedingt labil/stabil ≡ feuchtlabil(absolut) stabil

Isothermie γ U = 0 absolut stabilInversion γ U > 0 absolut stabilStandardatmosphäre:∂TUv

∂z= −0,65 K/100m feuchtlabil, denn

Γd(= 0,98) > γ U > Γs (≈ 0,55)

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Zustandskurve und Stabilität - ein Beispiel -

T

z

TvU(z) Zustandskurve Tv(z) Trockenadiabaten (∂Tv/∂z=-1K/100m) Feuchtadiabaten (∂Tv/∂z≈-0,6 K/100m)

Stabilitätsbewertung: absolut stabil absolut stabil (Inversion) feucht labil absolut stabil (Inversion) absolut labil

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Ziele von thermodynamischen Diagrammpapieren •  Man trägt in thermodynamische (aerologische) Diagramme die

Radiosondenmessungen (Druck, Temperatur, Feuchte, also T(p), RH(p), q(p), v(p),…) ein, um den Zustand der Atmosphäre zu bestimmen.

•  Mit Hilfe der Diagrammen lassen sich einfach Zustandsänderungen von Luftpaketen bei Vertikalbewegungen graphisch untersuchen.

•  Man kann schnell thermodynamisch wichtige Größen aus den Aufstiegsdaten bestimmen, z.B. θ, θe, m, RH, τ, Tv, Tf, HKN, CKN,…

•  Man kann ohne aufwändige Rechenarbeit die Stabilität der atmosphärischen Schichtung beurteilen und Aussagen über Thermik, Quellwolkenbildung, Schauer- und Gewitter-wahrscheinlichkeit machen.

•  Hier besprechen wir nur das schiefe T – log p Diagramm

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Skewed T-log p - Diagramm •  Die Isothermen (braun,

Zebrastreifen) sind nach rechts gekippt, um den Zeichenbereich besser auszunutzen.

•  Die Adiabaten (trocken=braun und feucht=grün/durchgezogen) gehen von unten rechts nach oben links.

•  Die Taupunktskurven (mit Werten des beim Aufstieg konstanten Sättigungs-mischungsverhältnisses, grün/gestrichelt) neigen sich nach rechts.

•  Die Isobaren sind waagerechte gerade braune Linien. •  Die Höhen (grüne Skala links) beziehen sich auf die US-

Standardatmosphäre, welche als dicke braune Linie im Diagramm eingetragen ist.

Das Wichtigste Bei trocken-adiabatischen Hebun-gen über 100 m in einer hydrostatisch geschichteten Luft ändern sich p und e um -1%, die relative Feuchte um +5% und der Taupunkt um ca. -0,2°C

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Das Hebungskondensationsniv. (HKN) ergibt sich aus dem Schnittpunkt zwischen Trockenadiabate und Taupunkt-kurve beide beginnend im Ausgangsniveau.

Das Cumuluskondensationsniveau (CKN) ergibt sich aus dem Schnittpunkt von Umgebungstemperaturkurve und Taupunktkurve.

HKN und CKN sind identisch bei gut durchmischer Luft.

Ist die Luft gesättigt so erweitert sichder 1. HS der Thermodynamik zu

δq = cpdT − 1ρ dp+ Ldm

Die äquivalent -potenzielle Temperaturaddiert zur potenziellen Temperatur den latenten Wärmegehalt der Luft durchden Wasserdampf

θe = T +gcp

z− z0( )

θ! "## $##

+Lcpm

θe− θ Äquivalentzuschlag

!

Der feuchtadiabtische Temperaturgradientist betraglich geringer als der trocken-adiabatischeund hängt über m* von Druck und Temperatur ab .

Γs =gcp+Lcpdm*dz<0!

in Wolkenluft! "## $##

= f ( p,T )

Über die Stabilität der Luft entscheidet das Temperaturprofil im Vergleich zum trocken- bzw. feuchtadiabatischen Aufstieg.

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Übungen zu V.1 (1) 1.  Am Boden herrsche bei 1000 hPa eine Temperatur von 20°C und ein

Taupunkt von 15°C. Die vertikale Temperaturabnahme in der Atmosphäre betrage 0,65 K/100m. a)  Bestimme geometrische Höhe, Druck, Temperatur und

Dampfdruck der gehobenen Luft im Hebungskondensationsniveau (HKN).

b)  Bestimme geometrische Höhe, Druck, Temperatur und Dampfdruck der aufgestiegenen Luft im Cumuluskondensationsniveau (CKN).

2.  Mit den Angaben in 1. a)  Bestimme die potenzielle und die äquivalentpotenzielle

Temperatur am Boden. b)  Schätze den feuchtadiabatischen Temperaturgradienten in der

Wolke in der Nähe des CKN ab.

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Übungen zu V.1 (2) 3.  Am Boden herrsche bei 1000 hPa eine Temperatur von 18°C und ein

Taupunkt von 14°C. Temperatur/Taupunkt betragen in 15/14°C in 900 hPa, 9/-2°C in 800 hPa, 0/-3°C in 700 hPa, -10/-10°C in 600 hPa, -20/-25°C in 500 hPa, -33/-50°C in 400 hPa, -50/-70°C in 300 und in 200 hPa.

–  Trage die Werte in das T – log p Diagramm ein. –  Bestimme die Stabilität der Luftschichten zwischen den angegebenen

Höhen (stabil, bedingt stabil/labil, labil) –  Bestimme bei 1000 hPa pot. Temperatur, Pseudopot. Temp.,

Mischungsverh., rel. Feuchte, Dampfdruck, Feuchttemperatur und virtuelle Temperatur.

–  Bestimme den Druck im HKN, CKN, und die Auslösetemperatur.

Zusatzübungen zu V.1 1.  Verifiziere 1/e de/dzad = 1/p dp/dzad 2.  Vollziehe die Berechnung von Γs auf S.21 nach.

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