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Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik
Dr. Jürgen Roth
4.1
Elemente der Algebra
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
4.2
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Inhaltsverzeichnis
Elemente der Algebra
1 Programm & Argumentationsgrundlagen
2 Funktionen
3 Lineare Funktionen, Gleichungenund Gleichungssysteme
4 Quadratische Funktionen und Gleichungen
5 Exponentialfunktionen
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
4.3
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Dr. Jürgen Roth
4.3
Dr. Jürgen RothFachbereich 6: AbteilungDidaktik der Mathematik
1 Program & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
4 Quadratische Funktionen und Gleichungen
Elemente der Algebra
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
4.4
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Quadratische Funktionen im Alltag
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
4.5
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Quadratische Funktionen im Alltag
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
4.6
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Quadratische Funktionen im Alltag
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
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4.7
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Anhalteweg
Bremsweg sB(v)
v: Geschwindigkeit in m/s
aB: Bremsverzögerung (8 m/s²)
Reaktionsweg sR(v)
v: Geschwindigkeit in m/s
tR: Reaktionszeit (ca. 1 s)
sR(v) = tR ⋅ v
Anhalteweg sA(v) = sR(v) + sB(v)
2
BB 2
1)( v
avs ⋅=
vtva
vs ⋅+⋅= R2
BA 2
1)(
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
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4.8
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Anhalteweg
sRsBsA
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
4.9
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Koeffizienten & Funktionsgraph: x + chttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
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4.10
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Koeffizienten & Funktionsgraph: (x – b)²http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
4.11
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Präsenzübunghttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
4.12
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Koeffizienten & Funktionsgraph: a⋅x²http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Präsenzübunghttp://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/
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3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
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4.14
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5 Exponen-tialfkt.
Koeffizienten & Funktionsgraph: Scheitel
cxbxaxfxf +⋅+⋅=→ 2)(,: aRR
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Lineare Funktionen
Definition:
Eine Funktion f : R→R, x ax² + bx + c mit a, b, c ∈ Rund a 0 heißt quadratische Funktion.
Darstellungen für den Funktionsterm einer quadratischen Funktion:
(1) f(x) = ax2 + bx + c allgemeine Form
(2) f(x) = a⋅ (x – xS)2 + yS Scheitelpunktform
(3) f(x) = a⋅ (x – x1) ⋅ (x – x2) faktorisierte Form
Die Darstellungen (1) und (3) sind gut zur Lösung quadratischer Gleichungen, also letztlich zur Nullstellenbestimmung geeignet.
Aus der Darstellung (2) können direkt die Koordinaten des Scheitels des zugehörigen Funktionsgraphen (Parabel) abgelesen und damit Extremwertaufgaben gelöst werden.
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Zusammenhang zwischen den Darstellungen
( ) = + +2f x ax bx c⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟⎝ ⎠
2 ba x x ca
+ +a 2x ax bx c
( )⋅ − +a2
S Sx a x x y
22 2b b
aba x x c
2 aa 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −
⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2b ba x c2a 4a
⎛ ⎞= ⋅ + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − xS = yS
( )2b b2a 4aS c⇒ − −
2 2
2 22 b b
a2 2ba x x
aac
a⎛ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎞ ⋅= ⋅ + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )
2 2
2
b b
b
a
a
2a+ +
= +
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Präsenzübung
Termumformung
Formen Sie analog zur letzten Folie den Term a⋅ (x – xS)2 + yS so um, dass Sie durch Koeffizientenvergleich die Koeffizienten b und c des umgeformten Terms ax2 + bx + c in Abhängigkeit von a, xS und yS ablesen können.
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Lösungsformeln
2
2
2
0
42
oder
42
ax bx c
b b acxa
b b acxa
+ + =
− + −=
− − −=
2 4 0b ac− =2 4 0b ac− < 2 4 0b ac− >
2
02p q⎛ ⎞ − <⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
02p q⎛ ⎞ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
02p q⎛ ⎞ − >⎜ ⎟
⎝ ⎠
keineLösung
eineLösung
zweiLösungen
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5 Exponen-tialfkt.
Herleitung der p-q-Lösungsformel
)0(:02 ≠=+⋅+⋅ aacxbxa
02 =+⋅+ac
xab
x
02 =+⋅+ qxpx
22
2
2
)(
baba
ba
++=
+
q−
qxpx −=⋅+22
2⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
p
qpp
xpx −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⋅+
222
22
qpp
x −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
42
22
Fallunterscheidung für die Diskriminante:
qp
D −=4
2
1. Fall: D < 0Die Wurzel aus D ist nicht definiert.
Keine Lösung.
2. Fall: D = 0
02
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⇒
px
02
=+⇒p
x
2p
x −=⇒
3. Fall: D > 0q
ppx −=+⇒
42
2
2für
42
2für
42
2
2
pxq
ppx
pxq
ppx
−<−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
−≥−=+
qpp
xqpp
x −−−=∨−+−=⇒4242
2
2
2
1
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Satz von Vieta
Satz von Vieta
Zwei reellen Zahlen x1 und x2 sind genau dann Nullstellen der quadratische Funktion f : R→ R, x x² +p⋅x + q mit p, q ∈ R, wenn gilt:
p = –(x1 + x2)
q = x1 ⋅ x2
Beweis:
„ “:
Sind x1 und x2 zwei Nullstellen von f(x) = x² +p⋅x + q, dann gilt:
0 = x² +p⋅x + q = (x – x1) ⋅ (x – x2) = x² – (x1 + x2)⋅x + x1 ⋅ x2
Koeffizientenvergleich liefert: p = –(x1 + x2) und q = x1 ⋅ x2
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3 Lineare Fkt./Glei-chungen
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4.21
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Satz von Vieta
Satz von Vieta
Zwei reellen Zahlen x1 und x2 sind genau dann Nullstellen der quadratische Funktion f : R→ R, x x² +p⋅x + q mit p, q ∈ R, wenn gilt p = –(x1 + x2) und q = x1 ⋅ x2.
Beweis:
„ “:
Für die Koeffizienten p und q des quadratischen Terms f(x) = x² +p⋅x + q gelte p = –(x1 + x2) und q = x1 ⋅ x2.
O.B.d.A. gelte x1 ≤ x2.
f(x) = x² –(x1 + x2)⋅x + x1 ⋅ x2. Einsetzen in die p-q-Formel liefert:
( )21
22121
2
, 4242xx
xxxxq
ppx ba ⋅−
+±
+=−±−=
Fortsetzung auf der nächsten Seite
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Satz von Vieta
( )21
22121
, 42xx
xxxxx ba ⋅−
+±
+=
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+±+⋅= 21
22121 4
21
xxxxxx
[ ]212221
2121 42
21
xxxxxxxx −++±+⋅=
[ ]2221
2121 2
21
xxxxxx +−±+⋅=
[ ]22121 )(
21
xxxx −±+⋅=
[ ]212121
xxxx −±+⋅=
( )[ ]21212121
xxxxxx
−+⋅=≤
m
[ ]
[ ]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−++⋅=
=+−+⋅=⇒
12121
22121
2121
xxxxxx
xxxxxx
b
a
#
( ) ( )[ ]212
2121 441
21
xxxxxx ⋅⋅−+⋅±+⋅=
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3 Lineare Fkt./Glei-chungen
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Präsenzübung
Quadratische Ungleichung
Bestimmen Sie die x ∈ R, für die die quadratische Ungleichung x2 – 8x + 12 < 0 zu einer wahren Aussage führt.
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung x2 – 8x + 12 < 0 über der Grundmenge R.
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Extremwertproblem
Problem:
Mit 120 m Zaun soll ein rechteckiger Auslauf für Hühner abgegrenzt werden. Wie erhält man eine möglichst große Fläche, wenn der Auslauf an einerHauswand angelegt werden soll?
a a
b
ba += 2120
baA ⋅=
( )aaA 2120 −⋅=
aaA 1202 2 +−= ( )21−⋅
aaA 60221 −=⋅− ( )2
260+
90060900 221 +−=+⋅− aaA
( )2
21 30900 −=+⋅− aA
( ) 90030 2
21 −−=⋅− aA
900−
( )2−⋅
( ) 1800302 2 +−⋅−= aA
Der Graph dieser quadrati-schen Funktion ist eine nach unten (–2) geöffnete Parabel mit dem Scheitel S(30|1800).
Ergebnis:Damit ist der maximale Auslauf 30 m breit und 60 m lang. Es handelt sich also um ein halbes Quadrat.
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4.25
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Präsenzübung
Problem:
Mit 120 m Zaun soll ein rechteckiger Auslauf für Hühner abgegrenzt werden. Wie erhält man eine möglichst große Fläche, wenn der Auslauf auf offenem Gelände angelegt werden soll?
a a
b
b
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
Permanenzprinzip
Erweiterungen so, dass die bisherigenGesetze & Rechenregeln gültig bleiben!
Potenzen mit Exponenten aus N:
Beispiel:
Definition: Für a ∈R und n ∈ Nmit n ≥ 2 gilt:
Bezeichnungen:
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1442443
5
5 Faktoren
2 2 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅K14243
n
n Faktoren
a : a a a
anExponent
BasisPotenz
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5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
Rechengesetze: m, n ∈ N \ {1} und a ∈ R
+
+
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =K K14243 14243144424443
Def Def.m n m n
m Faktoren n Faktoren
m n Faktoren
a a a a a a a
−
−
⎧⎪ >⎪⋅ ⋅
= = =⎨⋅ ⋅ ⎪⎪ <⎩
64748K
K14243
m Faktoren m n
Def. Kürzen!m n
n Faktorenn m
a für m na aa : a 1 für m na a
1 für m naa 0≠
+
+
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =K K14243 14243144424443
Def Def.m n m n
m Faktoren n Faktoren
m n Faktoren
a a a a a a a
−
−
⎧⎪ >⎪⋅ ⋅
= = =⎨⋅ ⋅ ⎪⎪ <⎩
64748K
K14243
m Faktoren m n
Def. Kürzen!m n
n Faktorenn m
a für m na aa : a 1 für m na a
1 für m na
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4.28
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
Rechengesetze: m, n ∈ N \ {1} und a ∈R
( ) = ⋅ ⋅K14243
Def.nm m m
nFaktoren
a a a
⋅
⋅
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⋅ ⋅ =
64748 64748K K K
14444244443
K14243
mFaktoren mFaktorenDef.
nKlammern
Def.m n
m nFaktoren
a a a a
a a a ⋅
⋅
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= ⋅ ⋅ =
64748 64748K K K
14444244443
K14243
mFaktoren mFaktorenDef.
nKlammern
Def.m n
m nFaktoren
a a a a
a a a
( ) = ⋅ ⋅K14243
Def.nm m m
nFaktoren
a a a
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4.29
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
Rechengesetze: m, n ∈ N \ {1} und a ∈R
[ ][ ]
+
+
⋅ =
⋅ =
m 1 m 1
m m 1
vgl.
vgl. Def.
a a a
a a a
=1a a
[ ]+⋅ = =
⎡ ⎤⋅ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
m 0 m 0 m
m m
vgl.
1 ist neutrales Element
der Multiplikation.
a a a a
a 1 a
=0a 1
[ ][ ]
+
+
⋅ =
⋅ =
m 1 m 1
m m 1
vgl.
vgl. Def.
a a a
a a a
=1a a
[ ]+⋅ = =
⎡ ⎤⋅ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
m 0 m 0 m
m m
vgl.
1 ist neutrales Element
der Multiplikation.
a a a a
a 1 a
=0a 1
Da lineare Gleichungen eindeutig lösbarbleiben sollen, muss festgelegt werden:
Wie oben muss man also festlegen: Achtung:a ∈ R\{0}
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4.30
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
Rechengesetze: n ∈ N0 und a, b ∈ R
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅K144424443
Kommutativg.Assoziativg. Def.
n
n Faktoren
(a b) (a b) (a b)
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅K K14243 14243
Def.n n
n Faktoren n Faktoren
a b a a b b
⋅ ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
64748K
KK 144244314243
n Faktorennn Def. Def.
n nn
n Faktorenn Faktoren
a a a a a aa : bb b b b b b
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅K K14243 14243
Def.n n
n Faktoren n Faktoren
a b a a b b
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅K144424443
Kommutativg.Assoziativg. Def.
n
n Faktoren
(a b) (a b) (a b)
⋅ ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
64748K
KK 144244314243
n Faktorennn Def. Def.
n nn
n Faktorenn Faktoren
a a a a a aa : bb b b b b b
b 0≠
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4.31
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
− −⋅ = = =
⋅ = =
n n n n 0
nn
n n
a a a a 11 aa 1a a
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
Potenzen mit Exponenten aus Z: n ∈ N0 und a ∈ R \ {0}
Da lineare Gleichungen eindeutig lösbarbleiben sollen, muss festgelegt werden:
Damit vereinfacht sich der Quotient zweier Potenzen mit gleicher Basis zu:
− −⋅ = = =
⋅ = =
n n n n 0
nn
n n
a a a a 11 aa 1a a
− =nn
1aa
−=m
m nn
a aa
− =nn
1aa
−=m
m nn
a aa
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2 Funktio-nen (Fkt.)
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Potenzen mit Exponenten aus Q: n ∈ N und a ∈ R+
Die bisherigen Rechengesetze sollen unverändert erhalten bleiben (Permanenzprinzip):
Potenzen mit Exponenten aus R:
Potenzen mit irrationalen Exponenten lassensich über Intervallschachtellungen definieren.
D. h. sollte als reelle Lösung der Gleichung
definiert werden. Da man aber die einzige reelle Lösung
dieser Gleichung, nämlich bereits kennt, muss
man definieren:
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
Beispiel
Potenzfunktionen
Potenzfunktionen mit Exponenten n ∈ N sind auf ganz Rdefiniert, sind also von der Bauart f : R→ R, x xn.
Potenzfunktionen mit Exponenten n ∈Z– sind nur auf R\{0} definiert, sind also von der Bauart f : R\{0} →R, x xn.
Potenzfunktionen mit Exponenten n ∈ R\Z sind nur auf R+
definiert, sind also von der Bauart f : R+ →R, x xn.
( )32− ( ) ( ) ( ) 8222 −=−⋅−⋅−=
3 8−=− 2 ( )31
8−= ( )62
8−= ( ) 61
28 ⋅−= ( )[ ]6128−=
[ ]61
64= [ ]61
62= 61
62
⋅= 6
6
2= 12= 2=
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5 Exponen-tialfkt.
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
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3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
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4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
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5 Exponen-tialfkt.
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5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
5
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5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
4.40
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
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1 Pro-gramm & Grund-lagen
3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
Dr. Jürgen Roth
4.41
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
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3 Lineare Fkt./Glei-chungen
2 Funktio-nen (Fkt.)
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4.42
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
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2 Funktio-nen (Fkt.)
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4.43
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
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2 Funktio-nen (Fkt.)
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4.44
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
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4.45
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Potenzen und Potenzfunktionen
Lässt sich 00 definieren?
Für alle n ∈Q+ gilt: 0n = 0.
Für alle a ∈ R\{0} gilt: a0 = 1.
Funktion f : R\{0} → R, x x0
Der Graph von f ist eine zur x-Achse parallele Geradeim Abstand 1, die im Punkt P(0|1) eine Lücke hat.
Die Funktion f *: R→R, x 1 ist eine Fortsetzung der Funktion f.
Funktion g : Q+ → R, x 0x
Der Graph von g entspricht dem positiven Teil der x-Achse.
Die Funktion g*: Q0+ →R, x 0 ist
eine Fortsetzung der Funktion g.
Funktion h : R+ × Q+ →R+, (x, y) xy
h kann durch h*(0, y) = 0 für y ∈ Q+ und h*(x, 0) = 1 für x ∈R+
zu einer Funktion h* : R0+ ×Q0
+ \{(0, 0)} →R0+, (x, y) xy
fortgesetzt werden.
Hier würde 00 = 0 passen.
Hier würde 00 = 1 passen.
Hier würde 00 = 1 passen.
Hier würde 00 = 0 passen.
Hier passt keine Festlegung für 00.
Es gibt keine für alle Situationen sinnvolle Festlegung für 00.Nein!
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4.46
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Exkurs: Heron-Verfahren
Berechnungsgrundlage für Straßenreinigungsgebühren:
An die Straße grenzende Grundstückslänge (Frontmetermaßstab).
Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen als der von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist.
Gemeinderat: Für ein größeres Grundstück mehr zahlen.
Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage
Straßenreinigungsgebührenwerden aus der Seitenlänge eines zum Grundstück flächeninhaltsgleichen Quadrats berechnet.
Frage: Wie findet man die Seitenlänge dieses Quadrats?
A B
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4.47
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
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Heron-Verfahren (Wurzelberechnung)
A = 24
a0 = 4
= 4,8a1
Ab1 =
= 52
a0 + b0a0 =
2an + bnan+1 =
an
Abn =
Gesucht: A
Anfangswert: a0
= 6a0
Ab0 =
http://www.juergen-roth.de/excel/
Schnell konvergierende Intervallschachtelung.
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4.48
4 Quadrat. Fkt./Glei-chungen
5 Exponen-tialfkt.
Präsenzübung
Tangenten an eine Parabel
Bestimmen Sie rech-nerisch die Funktions-gleichungen der beiden Tangenten tR und tL durch den Punkt C(0|–1) an den Graph folgender Fkt.:
Bestimmen Sie rech-nerisch die Koordinaten der Berührpunkte BR und BL, also der Punkte, in denen die Tangenten tR
und tL den Graphen der Funktion f jeweils berühren.
32,: 2 ++→ xxxf aRR
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4.49
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Präsenzübung
Extremwertaufgabe
Jeder Punkt P der Trapez-seite [CD] ist Eckpunkt eines Rechtecks, das dem Trapez einbeschrieben ist. Die Seiten der einbe-schriebenen Rechtecke sind parallel zu den Koordinatenachsen. Der Punkt A ist Eckpunkt eines jeden einbeschriebenen Rechtecks.
Gesucht ist das P, für das der Flächeninhalt des einbeschriebenen Rechtecks maximal ist.
Das Trapez ABCD mit A(0|0), B(8|0), C(8|3) und D(0|15)
ist gegeben.
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4.50
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Präsenzübung
Transversalen im Parallelogramm
Es ist ein Parallelogramm ABCD mit den Eckpunkten A(1|1), B(4|2), C(5|6) und D(2|5) gegeben.
Zeigen Sie durch Rech-nung, dass sich die Mittel-linien und Diagonalen in einem Punkt schneiden.
Mittellinien: Verbindungs-geraden gegenüberliegen-der Seitenmittelpunkte
Diagonalen: Verbindungs-geraden gegenüberliegen-der Eckpunkte
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4.51
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Präsenzübung
Injektiv und/oder surjektiv?
Bestimmen Sie jeweils ein a∈R so, dass die Zuordnung
a) eine surjektive, aber nicht injektive Funktion ist,
b) eine injektive, aber nicht surjektive Funktion ist,
c) eine Funktion ist, die weder injektiv noch surjektiv ist,
d) keine Funktion ist.
( ) ( )2,: 200 −−−→ ++ aaxxfa aRR
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4.52
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5 Exponen-tialfkt.
Präsenzübung
Quadratische Gleichung
Es ist eine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 gegeben, in der p und q ungerade ganze Zahlen sind.
Zeigen Sie, dass keine zwei Zahlen x1, x2 ∈Z existieren können, die beide Lösung dieser Gleichung sind.
Lösungsvorschlag:
1. Fall: x1 ∨ x2 gerade
O.B.d.A. x1 gerade ⇒ ∃k∈Z x1 = 2k
⇒ q = x1 ⋅ x2 = 2k ⋅ x2 = 2 ⋅ (k ⋅ x2)
2. Fall: x1 ∧ x2 ungerade ⇔ ∃k,l∈Z x1 = 2k + 1 ∧ x2 = 2l + 1
⇒ –p = x1 + x2 = 2k + 1 + 2l + 1 = 2 ⋅ (k + l + 1)
∈Z
∈Z
q ungerade
p ungerade#
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Vieta.
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4.53
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Funktionalgleichung
Allgemeine quadratische Funktionen x ax² + bx + c
Es existiert keine Funktionalgleichung.
Spezialfall: x x²
Es gilt die Funktionalgleichung:
Diese Funktionalgleichung ist charakteristisch für alle Funktionen x xk mit k ∈Q.
Beweisidee:
)()()( 2121, 21xfxfxxfxx ⋅=⋅∀ ∈R
})()()()( 21212121 xfxfxxxxxxf kk
tzPotenzgese
k ⋅=⋅=⋅=⋅
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4.54
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Differenzenfolgen
Definition:
Eine Folge ist eine Funktion ⟨an⟩: N→R, n an := a(n).
Satz:
Für Folgen ⟨an⟩ der Form an = bn2 + cn + d mit b, c, d ∈R gilt:
Die Folge ⟨dn⟩ der Differenzen dn = an+1 − an ist linear.
Die Folge ⟨en⟩ der zweiten Differenzen en = dn+1 − dnist konstant.
Beispiel:
⟨an⟩: N→R, n an = n2
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4.55
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Differenzenfolgen
Beispiel:
⟨bn⟩: N→ R, n bn = n2 + 2n + 3
Beweis:
an = bn2 + cn + d
nnn aad −= +1
dcnbndccnbbnbn −−−+++++= 22 2 )(2 cbnb ++⋅=
nnn dde −= +1
( ) ( )cbbncbbbn +−−+++= 222 b2= #
( ) ( ) ( )dcnbndncnb ++−++⋅++⋅= 22 11
( ) ( ) ( )[ ]cbnbcbnb ++⋅−+++⋅= 212
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4.56
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Parabel als Ortslinie
Definition:
Eine Parabel ist die Ortslinie aller Punkte, die von einer vorgegebenen Gerade g (der Leitgerade) und einem Punkt F(dem Brennpunkt) mit F∉g den gleichen Abstand besitzen.
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4.57
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Parabel als Ortslinie
Eigenschaften:
d ist der Abstand zwi-schen der Leitgeraden gund dem Brennpunkt F.
Der Mittelpunkt S der zugehörigen Lotstrecke ist nach Definition ein Punkt der Parabel (der Scheitel).
Einführen eines kart. Koordinatensystems mit S(0| 0) und F(0| d/2).
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4.58
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Parabel als Ortslinie
Eigenschaften:
Wegen d = d(F, g), S(0| 0) und F(0| d/2) gilt:
g: y = –d/2
Wegen |PF| = |PG| folgt:
Daraus ergibt sich:
Daraus folgt:
Für die Normalparabel gilt also: d = d(F, g) = ½
PPP yd
xyd
+=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
222
2
22
2
22⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − PPP y
dxy
d
22
222
22 PPPPP yydd
xyydd
+⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=++⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
PP ydx ⋅= 22
2
21
PP xd
y ⋅=
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4.59
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Parabel: Brennpunkteigenschaft
Senkrecht zur Leitgeraden g in eine Parabel einfallende (Licht-) Strahlen werden so reflektiert, dass sie durch den Brennpunkt F verlaufen. (Warum?)
Anwendungen: Satellitenschüsseln, Autoscheinwerfer (?), …
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4.60
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5 Exponen-tialfkt.
Monotonie quadratischer Funktionen
Satz:
Eine quadratische Funktion f : R→R, x a⋅(x – xS)² + ySmit a, xS, yS ∈ R, a 0 ist
für a > 0 in ]–∞; xS] streng monoton fallend undin [xS; ∞[ streng monoton steigend,
für a < 0in ]–∞; xS] streng monoton steigend undin [xS; ∞[ streng monoton fallend.
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Monotonie quadratischer Funktionen
Beweis:
Zur Feststellung von Monotonieeigenschaften muss das Vorzeichen der Differenz f(x2) – f(x1) für x1, x2 ∈Rmit x1 < x2
überprüft werden.
( )( ) ( )( )SSSS yxxayxxaxfxf +−⋅−+−⋅=− 21
2212 )()(
( ) ( )( )21
22 SS xxxxa −−−⋅=
( ) ( )bababa +⋅−=− 22(*)
( ) ( )( ) ( ) ( )( )SSSS xxxxxxxxa −+−⋅−−−⋅= 1212
(*)
( ) ( ) ( )( )SS xxxxxxa −+−⋅−⋅= 1212 4342121,0 xxda <> ] ]
[ [
444 3444 21
⎪⎩
⎪⎨⎧
∞∈>
∞−∈<
;,für0
;,für0
21
21
S
S
xxx
xxx
[ [( ) ] ]( )[ [( ) ] ]( )⎩
⎨⎧
∞−∈∧>∨∞∈∧<<
∞−∈∧<∨∞∈∧>>−⇒
SS
SS
xxxaxxxa
xxxaxxxaxfxf
;,0;,0 für 0
;,0;,0 für 0)()(
2121
212112
#