Fachdidaktikseminar WS 05/06

Statistische Mechanik-

vom „Einteilchen- zum Vielteilchensystem“

Manuel Fliri

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1: Der elastische Stoß - Das Modell

Kapitel 2: Das ideale Gas

Kapitel 3: Makroskopische Effekte

- Brown`sche Bewegung

- Diffusion

- Osmose usw.

Der elastische Stoß

Der nicht-zentrale Stoß: 2D

2D Stoß

2 Kugeln: Masse m1; Masse m2; Geschw. v1; v2

Der elastische Stoß

Der nicht-zentrale Stoß: 2D

Impulserhaltung:

X-Richt.:

Y-Richt.:

Energie: 2222

2222

42312211vmvmvmvm

42312211vmvmvmvm

2421312211coscos vmvmvmvm

242131sinsin0 vmvm

Das ideale Gas

Annahmen eines idealen Gases:

1. Gas besteht aus Teilchen (Atomen, Molekülen).

2. Gasteilchen haben ein vernachlässigbares Volumen.

3. Die Wechselwirkungszeit der Gasteilchen ist vernachlässigbar klein gegenüber der freien Flugzeit, d.h. sie üben (abgesehen von Stößen) keine Wechselwirkungskräfte aufeinander aus.

4. Gasteilchen stoßen vollkommen elastisch.

5. Die Newton’schen Gesetze der Mechanik sind anwendbar.

Das ideale GasMakroskopische Größen (p, T) mikroskopisch hergeleitet:

Impulsänderung an Wand:

xixixixi mvmvmvp 2)(

t

mv

t

pF

xixii

2

2

1*** tvA

V

NN xit

itges FNF *

Das ideale Gas

Teilchen haben unterschiedliche Geschw. in X-Richt.:

Mittlere Geschwindigkeit <vx> verwenden

rms…root mean square (Wurzel aus Betragsquadrat)

2xiAmv

V

NFges

N

vvvvv N

xxx

rmsxx

222...

21

2

rmsxAmv

V

NFges

Das ideale Gas

da keine Vorzugsrichtung

Druck im idealen Gas:

22

2222

3

1vv

vvvv

x

zyx

V

Nmvp

rms

3

2

A

Fp

Das ideale Gas

Ideales Gasgesetz aus der Thermodynamik:

Kinrmsrms

NEmvNNmv

pV3

2

23

2

3

22

*

TNkpV B

TkN

pVmvE B

rmsKin

2

3

2

3

2

2

Das ideale Gas

Die Maxwell-Boltzmann`sche Geschwindigkeitsverteilung:

P(v)dv entspricht relativen Anteil der Teilchen die eine Geschw. im Intervall dv um Geschw. v haben.

Normierung:

RTMvevRT

MvP 2/22/3 2

)2(4)(

0

1)( dvvP

Das ideale Gas

Charakteristische Geschwindigkeiten:

rms-Geschw.: umformen aus EKin

Mittlere Geschw.:

Wahrscheinlichste Geschw.:

Maxwell-Boltzmannverteilung

m

Tk

m

TkdvvvPv

BBmittl

55.28)(

0

m

Tkv

Brms

3

m

Tkv

dv

dP Bp

20

Das ideale Gas

Nochmals: Ideales Gasgesetz TNkpV B

Applet-Zustandsänderungen

Makroskopische Effekte mikroskopisch betrachtet

a) Brown`sche Molekularbewegung:

Historisches:

Robert Brown (Botaniker) entdeckte 1827, dass Blütenstaubkörnchen in Wassertropfen ständig zufällige, zittrige Bewegungen machten.

Wenn Masse von Staubkörnchen sehr klein wird sie von den Wassermolekülen, die sich in thermischer Bewegung befinden, angestoßen.

Applet-Brownsche Bewegung

b) Diffusion: Video

Fick`sches Diffusionsgesetz:

Mittlere freie Weglänge:

nrn 24

11

2)(

21rr

dx

dnvj

mittlx *

3

dx

dnDjx *

b) Diffusion:

Diffusionskoeffizient

3

mittlvD

m

Tkv

Bmittl

8

m

Tk

nD

B

8

3

1

c) Osmose:

Osmotischer Druck Pi

n…Molzahl

cRTRTV

n

nRTV

c) Osmose:

Umkehrosmose: Druck p >

d) Verdampfungskühlen:

Schnelle Teilchen können entkommen,

langsamere bleiben zurück Mittlere Geschw. bzw. Temperatur

des Systems sinkt

Applet 1 Applet 2

e) Laserkühlen:

Schnelle Teilchen werden Wellenlängenselektiv

mit Laser gebremst (Doppler-Effekt)

Mittlere Geschw. bzw. Temperatur sinkt

Applet

Statistische Szenarien:

Dichte Fußgängergebiete Fluchtszenarien

Internetadressen der verwendeten Applets:

2D Stoß:

http://www.pk-applets.de/phy/stoss/stoss.html

Maxwell-Boltzmann-Verteilung: http://physik.uibk.ac.at/physlets/physics_selection/thermo/kinetic/illustration20_1.html

Zustandsänderungen (ideales Gas):

http://www.colorado.edu/physics/phet/simulations/gasses-buoyancy/idealgas.jnlp

Brownsche Bewegung:

http://www.physik.rwth-aachen.de/~harm/aixphysik/waerme/Brown/index.html

Video-Diffusion:

http://www.physik.uni-wuerzburg.de/video/thermodynamik/k/k03.html

Internetadressen der verwendeten Applets:

Verdampfungskühlen-Applet 1:

http://physik.uibk.ac.at/physlets/physics_selection/thermo/kinetic/illustration20_4.html

Verdampfungskühlen-Applet 2:

http://www.iap.uni-bonn.de/P2K/bec/evap_cool.html

Laserkühlen-Applet:

http://www.iap.uni-bonn.de/P2K/bec/lascool3.html

Fußgängergebiete:

http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~helbing/Pedestrians/Corridor.html

Fluchtszenarien:

http://angel.elte.hu/~panic/pedsim/pedsim_m.html