faktorenanalyse. - uni-kiel.de · faktorenanalyse.! terminologie uneinheitlich!!ziel: ’ erkl...
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Faktorenanalyse.
! Terminologie uneinheitlich !
→ Ziel :
−’Erklarung ‘ der korrelativen Zusammenhange zwischen
mehreren Variablen
? Beispiel :
− Personlichkeitsfragebogen aus mehreren Einzelitems wie
? Ich habe meist gute Laune
→ trifft uberhaupt nicht zu (−3) . . . trifft voll und ganz zu (+3)
Erhebung an einer großen Zahl von Probanden
Ergebnis : Korrelationsmatrix der Items
→ Hohe Korrelationen sollen’erklart ‘ werden
− durch dahinterliegende Personlichkeitseigenschaften
− die jeweils mehrere Items’beeinflussen ‘
3.1 Modell FA13 1
Modellvorstellung :
♠ Hinter den beobachtbaren Variablen ( z. B. den Einzelitems )
− stehen latente Variablen oder Faktoren
− die diese Variablen’beeinflussen ‘
− und dadurch die Korrelationen bewirken
♠ Einflusse nicht’deterministisch ‘ , zusatzlich Fehler
♦ Prazisierung des Ausdrucks’Einfluss ‘ :
Die Werte der beeinflussenden Variablen werden jeweils mit
festen Koeffizienten multipliziert
Der Wert einer beeinflussten Variable ergibt sich als Summe
aller derartigen Einzelanteile
und eines Fehlers
BWerte der beeinflussenden Variablen sind von Person zu Person
unterschiedlich
B Fehler ebenso ( vielleicht sogar von Situation zu Situation )
B Koeffizienten , mit denen multipliziert wird , sind uber die
Personen hinweg konstant
4 Vergleiche : Multiple lineare Regression
3.1 Modell FA13 2
Standardisierungsvoraussetzung :
♣ Beobachtbare Variablen und Faktoren sind standardisiert
− Erwartungswert : 0
− Varianz : 1
4 Dies ist immer erreichbar durch
− lineare Reskalierung ( z-Transformation )
− Anpassung der Koeffizienten
B Vergleiche:
− b-Gewichte und β-Gewichte in der multiplen Regression
→ Standardisierungsvoraussetzung ist unkritisch
B Folgerung :
− Kovarianzmatrix = Korrelationsmatrix
− bei den beobachtbaren Variablen
− bei den Faktoren
3.1 Modell FA13 3
? Beispiel : Personlichkeitsfragebogen :
1. Ich fahre gerne Riesenrad
2. Ich liebe laute Musik
3. Ich habe Angst vor Spinnen
→ Modell mit zwei Faktoren :
− f1 : Extraversion
− f2 : Neurotizismus
f1 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
f2 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
x1
x2
x3
e1
e2
e3
....................................................
....................................................
....................................................
....................................................................
......................................
.7
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................
−.4
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.................
.8
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....................................
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......................................
0
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........
......................................
−.2
................................................................................................................................................................................................................................ .........................
.............
.9
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......................................
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3.1 Modell FA13 4
? Silvia Sorglos :
.6 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
−.4 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
x1
x2
x3
.2
−.1
.4
....................................................
....................................................
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....................................................................
......................................
.7
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................
−.4
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.................
.8
....................................
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....................................
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......................................
0
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........
......................................
−.2
................................................................................................................................................................................................................................ .........................
.............
.9
.................................................................................................................................................
......................................
.................................................................................................................................................
......................................
.................................................................................................................................................
......................................
Itemwerte:
x1 = (.7) (.6) + (−.4) (−.4) + .2 = .78
x2 = (.8) (.6) + (0) (−.4) + (−.1) = .38
x3 = (−.2) (.6) + (.9) (−.4) + .4 = −.08
Kurz :
x1x2x3
=
.7 −.4.8 0
−.2 .9
( .6
−.4
)+
.2
−.1.4
=
.78
.38
−.08
3.1 Modell FA13 5
? Zacharias Zaghaft :
−.3 .......................................................
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.5 .......................................................
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x1
x2
x3
−.1
.2
.1
....................................................
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....................................................
....................................................................
......................................
.7
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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−.4
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.8
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....................................................
......................................
0
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..........
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−.2
................................................................................................................................................................................................................................ .........................
.............
.9
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......................................
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Itemwerte:
x1 = (.7) (−.3) + (−.4) (.5) + (−.1) = −.51
x2 = (.8) (−.3) + (0) (.5) + .2 = −.04
x3 = (−.2) (−.3) + (.9) (.5) + .1 = .61
Kurz :
x1x2x3
=
.7 −.4.8 0
−.2 .9
(−.3.5
)+
−.1.2.1
=
−.51
−.04
.61
BWerte in den Faktoren und den Fehlern sind bei beiden
Personen unterschiedlich ( also auch Itemwerte )
B Koeffizienten sind bei allen Personen gleich
3.1 Modell FA13 6
? Bruno Beliebig :
f1 .......................................................
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f2 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
x1
x2
x3
e1
e2
e3
....................................................
....................................................
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......................................
.7
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................
−.4
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.................
.8
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................................
......................................
0
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........
......................................
−.2
................................................................................................................................................................................................................................ .........................
.............
.9
.................................................................................................................................................
......................................
.................................................................................................................................................
......................................
.................................................................................................................................................
......................................
Itemwerte:
x1 = (.7) f1 + (−.4) f2 + e1x2 = (.8) f1 + (0) f2 + e2x3 = (−.2) f1 + (.9) f2 + e3
Kurz :
x1x2x3
=
.7 −.4.8 0
−.2 .9
(f1f2
)+
e1e2e3
3.1 Modell FA13 7
Modell :
f1 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
f2 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
x1
x2
x3
e1
e2
e3
....................................................
....................................................
....................................................
....................................................................
......................................
.7
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................
−.4
........................................................................................................................................................................................................................................ .....................
.................
.8
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................................
......................................
0
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........
......................................
−.2
................................................................................................................................................................................................................................ .........................
.............
.9
.................................................................................................................................................
......................................
.................................................................................................................................................
......................................
.................................................................................................................................................
......................................
♦ Ladungsmatrix : .7 −.4.8 0
−.2 .9
B Zeilen : Items Spalten : Faktoren
4 In der i-ten Zeile und j-ten Spalte :
− Einfluss des j-ten Faktors auf das i-te Item
B Indizierung’der Einflussrichtung entgegengerichtet ‘
B ‘ i-tes Item durch j-ten Faktor ‘
♦ Die Koeffizienten heißen auch Ladungen
Bezeichnung fur die Ladungsmatrix : Λ
B λij : Koeffizient der Beeinflussung von Item i durch Faktor j
3.1 Modell FA13 8
→ Modell allgemein :
f1 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
f2 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
x1
x2
x3
e1
e2
e3
....................................................
....................................................
....................................................
....................................................................
......................................λ11
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................
λ12
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.................
λ21
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................................
......................................
λ22
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..........
......................................
λ31
................................................................................................................................................................................................................................ .........................
.............
λ32
.................................................................................................................................................
......................................
.................................................................................................................................................
......................................
.................................................................................................................................................
......................................
Ladungsmatrix :λ11 λ12λ21 λ22λ31 λ32
→ Gleichungen:
x1 = λ11 f1 + λ12 f2 + e1x2 = λ21 f1 + λ22 f2 + e2x3 = λ31 f1 + λ32 f2 + e3
Kurz :
x1x2x3
=
λ11 λ12λ21 λ22λ31 λ32
(f1f2
)+
e1e2e3
Noch kurzer :
x = Λf + e
3.1 Modell FA13 9
Zur Interpretation :
→ Modell ist offen gegenuber unterschiedlichen Interpretationen
♠ Substantielle Interpretation :
− Gleichungen werden als Beschreibung von Prozessen verstanden
− Faktoren womoglich mit physikalisch-physiologischem Korrelat
− Addition und Multiplikation sind inhaltlich zu interpretieren
− Hirn als primitive Rechenmaschine
♠ Regressionsinterpretation :
− Vorhersage der Items durch Personlichkeitseigenschaften
− Vorhersage nur im Sinne der Regression ( Fehlerminimierung )
− Keine inhaltliche Bedeutung von Addition und Multiplikation
− Status der Faktoren kann eher unbestimmt bleiben
B Die erste Interpretation ist naiv
B Der zweiten Interpretation fehlt das kausale Flair
3.1 Modell FA13 10
Modell mit spezifischen Faktoren.
♠ Zerlegung des Fehlers einer Variable in zwei Anteile :
− weiterer Faktor, der nur diese Variable beeinflusst
( spezifischer Faktor, unique factor )
− eigentlicher Fehler
f1 .......................................................
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f2 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
u1 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
u2 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
u3 .......................................................
...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
x1
x2
x3
e1
e2
e3
....................................................
....................................................
....................................................
....................................................................
......................................λ11
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
......................................
λ12
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.................
λ21
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................
....................................................
......................................
λ22
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..........
......................................
λ31
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.............
λ32
........................................................
.............................................................
.......................................................................
........................................................
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......................................
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4Wiederholte Messung :
− Nur der eigentliche Fehler schwankt zufallig
− Der spezifische Faktor andert sich nicht
→ Modell :
x = Λf + u + e
u : Zufallsvektor der spezifischen Faktoren (’unique ‘ )
e : Eigentlicher Fehler(vektor)
3.1 Modell FA13 11
Annahmen der Faktorenanalyse.
⊗Modellgleichung :
x = Λf + e
Anzahl der beobachtbaren Variablen : p
Anzahl der Faktoren : q
Λ ist (p× q)-Matrix
x und e sind p-Zufallsvektoren
f ist q-Zufallsvektor
⊗ Variablen und Faktoren sind standardisiert
• Folgerung:
E(e) = E(x−Λf) = E(x)−ΛE(f) = 0−Λ0 = 0
⊗ Die Fehler sind untereinander unkorreliert
⊗ Die Fehler sind mit den Faktoren unkorreliert
⊗ Zwei Modelle bei den Faktoren :
♦ UF : Orthogonales Modell ( Unkorrelierte Faktoren )
♦ KF : Schiefwinkliges ( obliques ) Modell ( Korrelierte Faktoren )
4 Genauer : bei KF konnen die Faktoren korrelieren
4 UF ist Spezialfall von KF
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 12
Diskussion der Modellannahmen.
Modellgleichung : Einflusse linear :
− Regressionsinterpretation : kraft Konstruktion
− substantielle Interpretation : ?
Standardisierung : unproblematisch ( Reskalierung )
Fehler und Faktoren unkorreliert :
− Regressionsinterpretation : kraft Konstruktion
− substantielle Interpretation : ?
Fehler untereinander unkorreliert :
− Regressionsinterpretation : ?
− substantielle Interpretation : ? – nicht ganz unplausibel
KF oder UF :
− UF ?
4 UF unkritisch bei Abstrichen an inhaltlicher Interpretation
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 13
Reduzierte Variablen.
Erinnerung an die Modellgleichung :
x = Λf + e
Ausformulierung fur xi :
xi =∑j
λijfj + ei
♦ Die xi :=∑λijfj heißen reduzierte Variablen
B Durch die gemeinsamen Faktoren’erklarte ‘ Anteile der xi
4 Analogie zur multiplen Regression : xi = xi + ei
→ Zusammenfassung zu Vektor :
x : Zufallsvektor mit Komponenten xi
B x = Λf
B x = x + e
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 14
Varianzzerlegung.
• Beziehung zwischen reduzierten Variablen und Fehlern :
C(x, e) = C(Λf , e) = ΛC(f , e) = Λ0 = 0
4 Die Komponenten von x und e sind unkorreliert
•Wegen xi = xi + ei folgt
1 = V(xi) = V(xi) + V(ei)
4 Varianzzerlegung von xi
Wegen V(xi) = 1 :
B V(xi) : Anteil der durch die gemeinsamen Faktoren
aufgeklarten Varianz an der Gesamtvarianz von xi
♦ V(xi) heißt auch Kommunalitat von xi
Abkurzung : h2i
B Kommunalitat + Fehlervarianz = 1
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 15
Modell mit spezifischen Faktoren.
⊗ Zusatzliche Voraussetzung :
− Die spezifischen Faktoren sind unkorreliert
− untereinander
− mit den gemeinsamen Faktoren
− mit den Fehlern
Wegen xi = xi + ui + ei :
• 1 = V(xi) + V(ui) + V(ei)
♦ Varianz eines spezifischen Faktors : Spezifitat oder Uniqueness
⊗Weitere Annahmen :
− Gemeinsame und spezifische Faktoren sind zeitlich stabil
− Restfehler ist reiner Zufallsfehler
• Also : Restfehler bei verschiedenen Messungen sind unkorreliert
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 16
Verfeinerte Varianzzerlegung.
B xi = xi + ui + ei
→ Im Sinne der KTT gilt dann :
Wahrer Wert von xi ist xi + ui =: ti
Fehler von xi ist ei
Wahre Varianz :
V(ti) = V(xi) + V(ui)
Wegen V(xi) = 1 :
→ V(ti) ist Reliabiltat von xi
• Reliabilitat = Kommunalitat + Spezifitat
B Zerlegung ist fur die eigentliche Faktorenanalyse irrelevant
→ In Zukunft :
Fehler = spezifischer Faktor + Restfehler
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 17
Korrelationen bei reduzierten Variablen.
→ Vergleiche Korrelationen von reduzierten und Originalvariablen
Wie in KTT ( Verdunnungsformeln ) :
• ρ(xi, xk) =ρ(xi, xk)
σ(xi)σ(xk)
4 σ(xi) =√h2i ≤ 1
B |ρ(xi, xk)| ≥ |ρ(xi, xk)|
B ρ(xi, xk) und ρ(xi, xk) haben gleiches Vorzeichen
Korrelation mit Faktoren analog :
• ρ(xi, fj) =ρ(xi, fj)
σ(xi)
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 18
Bezeichnungen.
Kovarianzmatrix der Faktoren : Kf
B Kf ist gleichzeitig Korrelationsmatrix ( Diagonale : Einsen )
B UF : Kf = I
Kovarianzmatrix der beobachtbaren Variablen : Kx
B Kx ist gleichzeitig Korrelationsmatrix ( Diagonale : Einsen )
Kovarianzmatrix der Fehler : De
B De ist Diagonalmatrix
Kovarianzmatrix von x : Kx
Bezeichnung :’Reduzierte Korrelationsmatrix ‘
! Vorsicht : Kx ist keine Korrelationsmatrix !
4 Die Diagonalelemente von Kx sind die Kommunalitaten h2i
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 19
Problemstellung.
→ Gesucht ist die latente Strukur
Genauer :
→ Gesucht sind Λ und Kf
Naherungsweise bekannt ist Kx
? Wie kommt man von Kx zu Λ und Kf ?
→ Grundidee ( grob ) :
Berechne Kx aus Λ und Kf
→ Lose die entstehende Formel nach Λ und Kf auf
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 20
Berechnung von Kx und Kx .
→ Schreibe Kx in terminis der’Modellparameter ‘ !
♦ Parameter des Modells sind die Elemente von Kf , De und Λ
Kovarianzmatrix von x :
Kx = V(Λf) = ΛKfΛ′
Spezialfall UF :
Kx = ΛΛ′
Wegen Unkorreliertheit von x und e :
Kx = V(x + e) = V(x) + V(e) = Kx + De
• Grundgleichungen der Faktorenanalyse :
(KF) Kx = ΛKfΛ′ + De
(UF) Kx = ΛΛ′ + De
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 21
Grundgleichung :
Kx = Kx + De
4 Kx und Kx unterscheiden sich nur in der Diagonale
B Kx entsteht aus Kx durch
Ersetzung der Diagonal-Einsen durch die Kommunalitaten
− oder gleichwertig : durch
Subtraktion der Fehlervarianzen von diesen Einsen
→ Ziel : Genauere Untersuchung der Matrizengleichung
Kx = ΛKfΛ′ + De
Gleichung von (p× p)-Matrizen
Elementweise p2 Einzelgleichungen
Symmetrie : Dieselben Gleichungen außerhalb der Diagonale
• Anzahl der verschiedenen Gleichungen :
p+
(p
2
)=
p (p+ 1)
2
→ Nachstes Teilziel : Ausformulierung dieser Gleichungen
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 22
→ Ziel : Ausformulierung der Gleichungen aus
Kx = ΛKfΛ′ + De
Bezeichnungen :
Korrelationen der Faktoren untereinander : ρ′kl
Korrelationen der beobachtbaren Variablen untereinander : ρij
Varianzen der Fehler : σ2i
Elemente von Kx = ΛKfΛ′ :
Das (i, j)-Element von Kx ist
∑k,l
λikλjlρ′kl
Spezialfall UF :
∑k
λikλjk
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 23
→ Zu untersuchen : Kx = ΛKfΛ′ + De
Außerhalb der Diagonalen :
− Interkorrelationen der beobachtbaren Variablen
− Von De nur Nullen als Beitrage
• ρij =∑k,l
λikλjlρ′kl
• UF : ρij =∑k
λikλjk
Auf der Diagonalen ( an i-ter Stelle ) :
• 1 =∑k,l
λikλilρ′kl + σ2i
• UF : 1 =∑k
λ2ik + σ2i
4 Die bekannte Varianzzerlegung
B Erster Summand ist jeweils V(xi) = h2i ( Kommunalitat )
B Die Parameter sind nicht’unabhangig ‘ voneinander :
− Die σ2i lassen sich aus den λij und den ρ′kl berechnen
B Nur die λij und ρ′kl sind’eigentliche ‘ Modellparameter
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 24
Formeln fur die Kommunalitaten.
• KF : h2i =∑k,l
λikλilρ′kl
• UF : h2i =∑k
λ2ik
Spezialfall UF.
Korrelation von xi und xj ( i 6= j ) :
ρij =∑k
λikλjk
B’Produkt ‘ der zugehorigen Zeilen der Ladungsmatrix
Kommunalitat von xi :
h2i =∑k
λ2ik
B Summe der quadrierten Ladungen
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 25
? Beispiel : Modell UF
Λ =
.7 −.4.8 0
−.2 .9
? Kommunalitaten, Interkorrelationen der xi , Fehlervarianzen ?
Losung :
Kx = ΛΛ′ =
.7 −.4.8 0
−.2 .9
( .7 .8 −.2−.4 0 .9
)=
.65 .56 −.5.56 .64 −.16
−.5 −.16 .85
Außerhalb der Diagonalen : Korrelationen der xi
Auf der Diagonale : Kommunalitaten
Fehlervarianzen : .35 .36 .15
? Einzelrechnungen :
Korrelation von x1 und x2 :
− Produkt der Zeilen 1 und 2 von Λ :
ρ12 = (.7)(.8) + (−.4)(0) = .56
Kommunalitat von x1 :
− Summe der quadrierten Ladungen :
h21 = (.7)2 + (−.4)2 = .49 + .16 = .65
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 26
Korrelationen zwischen Variablen und Faktoren.
• Die Matrix der Korrelationen von Variablen und Faktoren ist
ΛKf
on Diese Matrix ist gleichzeitig die Matrix der Kovarianzen, also
C(x, f) = C(Λf + e, f) = ΛC(f , f) + C(e, f) = ΛKf
• Die Korrelation zwischen xi und fj ist∑k
λikρ′kj
• Spezialfall UF : Die Matrix der Korrelationen von Variablen
und Faktoren ist Λ
on Kf = I
4 Beschreibung des Zusammenhangs zwischen Faktoren und
Variablen durch zwei Matrizen :
♦ Die Ladungsmatrix Λ heißt Faktormuster
♦ Die Matrix der Korrelationen ΛKf heißt Faktorstruktur
• Spezialfall UF :
Faktormuster = Faktorstruktur
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 27
Varianzaufklarung.
Grundgleichung : Kx = Kx + De
Spur : Spur(Kx) = Spur(Kx) + Spur(De)
→ Multivariate Varianzzerlegung !
→ Die Varianz von x ( Spur(Kx) ) wird zerlegt in
− durch die Faktoren aufgeklarte Varianz : Spur(Kx)
− Fehlervarianz : Spur(De)
♦ Die Spur von Kx heißt Gesamtkommunalitat
4 Maß fur die insgesamt durch die Faktoren aufgeklarte Varianz
→ Spur(Kx) =
p∑i=1
h2i
B Gesamtkommunalitat ist Summe der Einzelkommunalitaten
4 Multivariat erklarte Varianz =∑
univariat erklarte Varianzen
B Vergleiche Gesamtkommunalitat mit Gesamtvarianz der xi
− also mit Spur(Kx) = p
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 28
♣ Sonderfall UF.
4 Varianzaufklarung der Einzelvariablen ist additiv :
h2i =
q∑j=1
λ2ij
B λ2ij ist der Varianzanteil, der durch fj bei xi aufgeklart wird
! Bei korrelierten Faktoren ist keine derartige Zerlegung moglich
→ Finde geeignetes Maß fur die Bedeutung von fj insgesamt !
♦ Maß fur die Bedeutung des Faktors fj ( Modell UF ) :
p∑i=1
λ2ij
4 Summe der durch fj bei allen xi aufgeklarten Varianzen
4 Summe der quadrierten Ladungen von fj
? Beispiel
Λ =
.7 −.4.8 0
−.2 .9
λ2ij f1 f2 h2ix1 .49 .16 .65
x2 .64 .00 .64
x3 .04 .81 .85∑i λij
2 1.17 .97 2.14
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 29
Varianzaufklarung durch Einzelfaktoren ( Modell UF ) .
• Es giltq∑
j=1
(p∑
i=1
λ2ij
)=
p∑i=1
q∑j=1
λ2ij =
p∑i=1
h2i
4 Die Summe der Maße∑i
λ2ij ist die Gesamtkommunalitat
B∑i
λ2ij ist interpretierbar als durch fj erklarte Varianz
4 Additive Varianzzerlegung in Anteile der Faktoren !
B Vergleiche das Maß∑i
λ2ij der Bedeutung von fj mit
− der Gesamtkommunalitat ( relative Bedeutung von fj )
− oder der Gesamtvarianz p der xi ( Varianzaufklarung )
? Nochmal das Beispiel :
Λ =
.7 −.4.8 0
−.2 .9
λ2ij f1 f2 h2ix1 .49 .16 .65
x2 .64 .00 .64
x3 .04 .81 .85∑i λij
2 1.17 .97 2.14
B Hier ist die Gesamtvarianz 3
3.2 Annahmen und Konsequenzen FA13 30
Skizze des praktischen Vorgehens.
♣ Ausgangssituation :
− Die empirische Korrelationsmatrix R der beobachtbaren
Variablen liegt vor
− Annahme : Modell der Faktorenanalyse gilt ( KF oder UF )
− Die Anzahl q der Faktoren und ihre inhaltlichen Bedeutungen
sind zunachst unbekannt
4 Ob man KF oder UF voraussetzt, ist weniger wichtig, als
man meinen konnte
? UF : Λ = ?
? KF : Λ = ? Kf = ?
→ Eigenschaften, die die Losung besitzen muss
− Kf muss positiv semidefinit sein mit Einsen in der Diagonale
− ΛKfΛ′ muss Diagonalelemente ≤ 1 haben ( ΛKfΛ
′ = Kx )
→ Ferner sollte außerhalb der Diagonalen ΛKfΛ′ ≈ R gelten
B Außerhalb der Diagonale ist ΛKfΛ′ gleich Kx
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 31
Losungen (empirisch).
♦ q-Faktorlosung zu gegebener empirischer Korrelationsmatrix R :
Modell KF :
− Jedes Paar (Kf ,Λ) aus einer (q × q)-Matrix Kf und einer
(p× q)-Matrix Λ mit
(i) Kf ist positiv semidefinit mit Einsen in der Diagonale
(ii) ΛKfΛ′ hat Diagonalelemente ≤ 1 und stimmt außerhalb
der Diagonale einigermaßen mit R uberein
Modell UF :
− Jede (p× q)-Matrix Λ , fur die ΛΛ′ Diagonalelemente ≤ 1
hat und außerhalb der Diagonale einigermaßen mit R
ubereinstimmt
♦ Zwei Losungen heißen aquivalent, wenn die aus diesen
Losungen konstruierten Matrizen ΛKfΛ′ ubereinstimmen
4 Bei Aquivalenz mussen auch die Kommunalitaten gleich sein
Informell : Gute der Losung :
Grad an Ubereinstimmung der tatsachlichen Korrelationen mit
den durch die Losung gegebenen
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 32
4”Λ ist Losung“ (Fall UF) bedeutet bisher :
− Es ist moglich, dass Faktoren existieren, die auf die
beobachtbaren Variablen in der durch Λ beschriebenen Weise
’einwirken ‘
− Die tatsachlichen Korrelationen wurden gut dazu passen
(Fehlervarianzen mussten die Diagonale von ΛΛ′ zu 1
erganzen)
B Keine konstruktive Ermittlung von Faktoren
B Man hat nur eine Matrix Λ , die nach gewissen Rechenregeln
die gegebenen Korrelationen einigermaßen reproduziert
B Aussagen im Potentialis (”Es konnte so sein . . .“)
? Konnte es auch’wirklich ‘ so sein ?
B Eher vorsichtig:”Was die Korrelationen angeht, so spricht
bisher nichts dagegen, dass moglicherweise . . .“
? Vielleicht gibt es weitere Tatsachen, die im Widerspruch zum
faktorenanalytischen Modell stehen ?
4 Unter schwachen Zusatzannahmen kann man bei Vorliegen
einer Losung konstruktiv weitere Variablen angeben, die die
Rolle der Faktoren und Fehler spielen konnten
→ Eine solche Faktorenstruktur konnte also’wirklich ‘ existieren
→ Sie muss jedoch nicht existieren
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 33
Interpretation.
? Ist die Losung inhaltlich vertretbar ?
? Konnen hypothetische Faktoren plausibel interpretiert werden ?
B Basis fur Interpretation : Nur Λ ( bzw. Λ und Kf )
→ Ziel: Finde Bedeutungen der Faktoren, die gut zu Λ passen
( bzw. zu Λ und Kf )
B Starke’Zusammenhange ‘ zwischen einem Faktor und einer
Variable sollen inhaltlicher Verwandschaft entsprechen
4 Interpretationsversuch ist vergleichsweise einfach im Modell UF
B Probleme im Modell KF :
− Faktorstruktur ΛKf und Faktormuster Λ konnen
’gegensatzliche ‘ Informationen liefern
? Welche der Matrizen ist relevant ?
→ Antwort abhangig von Interpretation :
− Substantielle Interpretation : Muster
− Regressionsinterpretation : Struktur
Keine sinnvolle Interpretation ?
→Weitersuchen !
Systematisches Weitersuchen bei gleichbleibender Gute :
Rotationen
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 34
Zwischeneindruck.
→ Losung kommt so zustande :
− Man lasst sich irgendwie (!) ein zu R passendes Λ einfallen
− Man dreht solange daran, bis man auch interpretieren kann
B Es gibt unterschiedliche Methoden der Faktorenanalyse
→ Fur manche ist der Eindruck nicht ganz falsch
→ Andere sichern Ergebnisse statistisch ab
Voraussetzung dabei :
− Modellgultigkeit mit zusatzlichen Verteilungsannahmen
→ Fragen von Einem, der an das Modell glaubt :
? Ist die Zahl der gefundenen Faktoren korrekt ?
? Stimmt das gefundene Λ einigermaßen ?
→ Zusatzliche theoretische Uberlegungen sind notwendig
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 35
Losungen (theoretisch).
♦ q-Faktorlosung zu gegebener wahrer Korrelationsmatrix Kx :
Modell KF :
− Jedes Paar (Kf ,Λ) aus einer (q × q)-Matrix Kf und einer
(p× q)-Matrix Λ mit
(i) Kf ist positiv semidefinit mit Einsen in der Diagonale
(ii) ΛKfΛ′ hat Diagonalelemente ≤ 1 und stimmt außerhalb
der Diagonale mit Kx uberein
Modell UF :
− Jede (p× q)-Matrix Λ , fur die ΛΛ′ Diagonalelemente ≤ 1
hat und außerhalb der Diagonale mit Kx ubereinstimmt
BWichtig hier : Exakte Reproduktion außerhalb der Diagonale
B’Losung ‘ bedeutet nicht, dass Λ und Kf ’
richtig ‘ sind
♦ Zwei Losungen heißen aquivalent, wenn die aus ihnen
konstruierten Matrizen ΛKfΛ′ ubereinstimmen
− Ubereinstimmung auch auf der Diagonale ! ( Kommunalitaten )
BWichtig ist zunachst nur exakte Rekonstruktion von Kx
− Interpretierbarkeit ist erstmal irrelevant
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 36
Fragen.
♣ Voraussetzung zunachst : UF
Existenzfrage fur q-Faktor-Losung :
? Gibt es eine (p× q)-Matrix Λ mit den Eigenschaften,
− dass ΛΛ′ außerhalb der Diagonale mit Kx ubereinstimmt
− und auf der Diagonale keine Elemente großer als 1 besitzt ?
Eindeutigkeitsfrage fur q-Faktor-Losung :
? Gibt es nur eine solche Matrix Λ oder mehrere ?
♦ Die Matrizen Kx , fur die eine Losung existiert, heißen
modellvertraglich
→ Ist das wahre Kx modellvertraglich, so kann es sein, dass ein
Modell mit q Faktoren gilt ( muss aber nicht )
→ Ist das wahre Kx nicht modellvertraglich, so kann kein Modell
mit q Faktoren gelten
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 37
Losungsbedingungen an Parameter.
♦ Parameter sind die Elemente der Matrix Λ ( Modell UF )
4 Anzahl der Parameter : pq
B Bedingungen fur eine Losung :
1. Außerhalb der Diagonale soll ΛΛ′ mit Kx ubereinstimmen
2. Auf der Diagonalen soll ΛΛ′ hochstens 1 sein
→ Bedingung 1 : p (p− 1)/2 Gleichungen mit pq Unbekannten
→ Bedingung 2 : p Ungleichungen
B Entscheidend ist die erste Bedingung
B Die zweite ist anschließend zu kontrollieren
4 Die Gleichungen der ersten Bedingung sind nichtlinear
− Die Theorie linearer Gleichungssysteme ist unzureichend
− Sie kann jedoch Hinweise liefern
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 38
? Beispiel : 4 Variable, 2 Faktoren ( Modell UF )
→ Kx (4× 4) gegeben. Finde Λ (4× 2) !
B ΛΛ′ soll außerhalb der Diagonale mit Kx ubereinstimmen :
→ 6 Gleichungen :
λ11λ21 + λ12λ22 = ρ12
λ11λ31 + λ12λ32 = ρ13
λ11λ41 + λ12λ42 = ρ14
λ21λ31 + λ22λ32 = ρ23
λ21λ41 + λ22λ42 = ρ24
λ31λ41 + λ32λ42 = ρ34
B Auf der Diagonale soll ΛΛ′ hochstens 1 sein :
→ 4 Ungleichungen :
λ211 + λ212 ≤ 1
λ221 + λ222 ≤ 1
λ231 + λ232 ≤ 1
λ241 + λ242 ≤ 1
4 Gleichungen und Ungleichungen sind nichtlinear !
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 39
? Beispiel :
Kx =
1 0 0 .5
0 1 0 .5
0 0 1 .5
.5 .5 .5 1
→ Keine Losung ! Matrix ist nicht modellvertraglich
? Beispiel
Kx =
1 0. −0.36 0.
0. 1 0. −0.36
−0.36 0. 1 0.
0. −0.36 0. 1
→ Einige Losungen :
Λ1 =
0.6 0
0 0.6
−0.6 0
0 −0.6
Λ2 =
0.54 0.72
−0.72 0.54
−0.24 −0.32
0.32 −0.24
Λ3 =
0.9 0
0 0.9
−0.4 0
0 −0.4
Es gilt namlich
Λ1Λ′1 =
0.36 0. −0.36 0.
0. 0.36 0. −0.36
−0.36 0. 0.36 0.
0. −0.36 0. 0.36
Λ2Λ′2 = Λ3Λ
′3 =
0.81 0. −0.36 0.
0. 0.81 0. −0.36
−0.36 0. 0.16 0.
0. −0.36 0. 0.16
4 Λ2 und Λ3 sind aquivalent ( gleiche Kommunalitaten )
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 40
Saturiertheit und Identifizierbarkeit.
♦ Ein Modell heißt saturiert , wenn jede (sinnvolle) Verteilung
der beobachtbaren Variablen mit dem Modell vertraglich ist
♦ Ein Modell heißt identifizierbar , wenn aus der wahren
Verteilung der beobachtbaren Variablen auf die Parameter
geschlossen werden kann
B Mit weiteren allgemeinen Verteilungsvoraussetzungen
(Multinormalverteilung) :
→ Die Verteilung der beobachtbaren Variablen ist durch Kx
vollstandig festgelegt
4 Ein FA-Modell ist saturiert, wenn jede Korrelationsmatrix Kx
mit dem Modell vertraglich ist
4 Ein FA-Modell ist identifizierbar, wenn von Kx auf Λ
( bzw. Λ und Kf ) geschlossen werden kann
? Das UF-Modell mit 2 Faktoren und 4 Variablen ist weder
saturiert noch identifizierbar
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 41
4 Ein saturiertes Modell kann nicht mit der Empirie kollidieren
4 Es gibt vollstandig passende Losungen fur beliebige Variablen
→ Radikaler Standpunkt :
Ein saturiertes Modell hat keinen empirischen Gehalt
4 Nicht saturierte Modelle sind oft testbar ( als H0 )
? Prinzip eines solchen Tests bei der Faktorenanalyse :
→ Beurteile den’Abstand ‘ der empirischen Korrelationsmatrix
zu den modellvertraglichen
4 Bei nicht identifizierbaren Modellen sind die Parameter
prinzipiell unzuganglich
→ Radikaler Standpunkt :
Reden uber solche Parameter ist sinnlos
4 Faktorenanalytische Modelle mit q > 1 Faktoren sind
( mit uninteressanten Ausnahmen ) nie identifizierbar
B Versuche von Antworten auf die Frage nach der wahren
Ladungsmatrix bleiben also grundsatzlich im Spekulativen
4 Die Begriffe der Saturiertheit und der Identifizierbarkeit sind
weitgehend unabhangig voneinander
B Faktorenanalytische Modelle sind sehr oft testbar, jedoch
( praktisch ) nie identifizierbar
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 42
Anzahl von Parametern und Gleichungen.
4 Modell UF : Kx = ΛΛ′ + De
− pq Parameter
− p (p− 1)/2 Gleichungen
? Vermutung :
− Im Fall p (p− 1)/2 > pq ( oder (p− 1)/2 > q ) braucht
im Allgemeinen keine Losung zu existieren
− Mehr Gleichungen als Unbekannte
4 Die Vermutung ist richtig, es gibt dann Korrelationsmatrizen,
die mit einem q-Faktor-Modell nicht vertraglich sind
? Weitere mogliche Vermutungen :
− Im Fall (p− 1)/2 > q existiert hochstens eine Losung
− Im Fall (p− 1)/2 = q existiert genau eine Losung
− Im Fall (p− 1)/2 < q existieren viele Losungen
B Diese Vermutungen treffen noch nicht einmal im Fall linearer
Gleichungssysteme immer zu
Entsprechend sind sie hier auch nicht richtig
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 43
Parametrisierende Abbildung (UF).
♣ Modell : UF mit q Faktoren
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F
Θ
Ω
ωq
Θ : Parameterraum, Menge der Ladungsmatrizen
Ω : Menge der Verteilungen ↔ Korrelationsmatrizen
F : Parametrisierende Abbildung
4 F ordnet jeder Ladungsmatrix Λ das zugehorige Kx zu
( Kx = ΛΛ′ + De )
ωq : Menge der modellvertraglichen Korrelationsmatrizen
( q Faktoren )
4 ωq ist das Bild von Θ unter F
B Dimension von Θ : pq
B Dimension von Ω : p (p− 1)/2
4 Hier ist F nicht surjektiv (ωq 6= Ω )
4 Dies Modell ist also nicht saturiert
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 44
♣ Zusatzliche (mogliche) Eigenschaft :
− Mehrere Λ mogen zur gleichen Korrelationsmatrix fuhren
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F
Θ
Ω
ωq•
4 Hier ist F nicht injektiv
4 Dies Modell ist also nicht identifizierbar
B Die Illustration ist typisch fur viele Modelle der FA :
− Fehlende Identifizierbarkeit (−)
− Keine Saturiertheit (+)
B Injektivitat von F ←→ Identifizierbarkeit
B Surjektivitat von F ←→ Saturiertheit
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 45
Suchen von Losungen.
♣ Voraussetzung : Die Anzahl q der Faktoren ist schon bestimmt
R : empirische Korrelationsmatrix
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F
Θ
Ω
ωq
•R
→ Suche eine modellvertragliche Matrix K nahe bei R !
→Wahle ein zu K passendes Λ aus !
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F
Θ
Ω
ωq•
•R
K•Λ
B Unterschiedlicher’Abstandsbegriff ‘ bei den verschiedenen
Verfahren der FA
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 46
Modellvertragliche Korrelationsmatrizen.
4 Allgemein gilt : ω1 ⊆ ω2 ⊆ . . . ⊆ ωp ⊆ Ω
→ Schematische Illustration :
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•
Ω
ω1
ω2
ω3
B Die ωq unterscheiden sich auch in der’Dimension ‘
? Konkretes Beispiel : 4 beobachtbare Variablen
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ω3 = ω4 = Ω
ω1
ω2
4 Das 3- und das 4-Faktormodell sind saturiert
4’Dimensionen ‘ :
− ω1 hat’Dimension ‘ 4
− ω2, ω3, ω4, Ω haben’Dimension ‘ 6
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 47
Bestimmung der Zahl der Faktoren.
♣ Situation ( schematisch ) :
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•
Ω
ω1
ω2
ω3
•R
R : empirische Korrelationsmatrix
? Ein, zwei oder drei Faktoren ?
− Anpassung wird besser mit wachsender Zahl der Faktoren
− Große Zahl von Faktoren ist unangenehm fur Interpretation
→ Kompromiss suchen !
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 48
Zusammenfassung : Schritte bei einer Faktorenanalyse.
→ Verfahren ( idealiter ) :
1. Schritt : Schatzung der Zahl der Faktoren
2. Schritt : Schatzung der’wahren ‘ Korrelationsmatrix Kx
3. Schritt : Auswahl einer zugehorigen Ladungsmatrix
4 Die Schritte konnen oft nicht sauber getrennt werden
B Es gibt viele unterschiedliche Verfahren
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 49
Besonderheiten im Modell KF.
B Eine Losung besteht aus Kf und Λ mit
− Kf ist positiv semidefinit mit Einsen in der Diagonale
− ΛKfΛ′ ist außerhalb der Diagonale gleich Kx
und hat Diagonalelemente ≤ 1
4 Mehr Parameter des q-Faktormodells als im Fall UF
? Mehr modellvertragliche Korrelationsmatrizen ?
• Nein ! Die modellvertraglichen Korrelationsmatrizen sind fur
UF und KF die gleichen
B Das Problem der Identifizierbarkeit stellt sich im Modell KF
noch scharfer als im Modell UF
B Hinsichtlich der Saturiertheit unterscheiden sich die Modelle
nicht
→ Praktische Folge : Bei Untersuchungen kann man sich oft
zunachst auf das einfachere Modell UF beschranken
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 50
Maximum-Likelihood-Faktorenanalyse.
♣ Voraussetzung :
− Gemeinsame Normalverteilung von Faktoren und Fehlern
→ Zu untersuchen : q-Faktor-Modell
→ Schatzung der Parameter mit der ML-Methode
B Prinzip der Schatzung der Parameter :
− Empirische Daten sollen maximale Wahrscheinlichkeit haben
→ Genauer : Likelihood
→ Vorzug : Moglichkeit eines Modelltests
− Das q-Faktor-Modell ist die Nullhypothese
− H1 macht keine Restriktionen
Test mit dem Likelihood-Quotienten-Test
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 51
Likelihood-Quotienten-Test.
B Prinzip :
− Vergleich der Wahrscheinlichkeiten der Daten unter H0 und H1
( Likelihood-Quotient )
− H0 wird verworfen, wenn die empirischen Daten unter H1
viel wahrscheinlicher sind
→ Meist logarithmische Transformation des Likelihood-Quotienten
4 Die Teststatistik ist dann eine Art’Abstand ‘ von R zu ωq
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....
Ω
ωq
•R
4 Teststatistik ist’meist ‘ asymptotisch χ2-verteilt
4 Freiheitsgrade: Differenz der’Dimensionen ‘ von Ω und ωq
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 52
Exploratorische und konfirmatorische Faktorenanalyse.
Exploratorische FA :
− Faktorenzahl und Ladungsmatrix unbekannt
Konfirmatorische FA :
− Modell mit genaueren Vorstellungen
− Zahl der Faktoren liegt meist fest
− Oft Zusatzannahmen uber die Λ ( Beispiel : Nullen )
B Vorzug der konfirmatorischen FA :
− Modell ist testbar
− Allerdings : Als H0
→ Bezeichnung’konfirmatorisch ‘ ist etwas hochstaplerisch
4 Immerhin : Auch ernst zu nehmende Tests sind moglich
? Beispiel : Ist eine bestimmte Ladung 0 ? (H0 )
! Modellgultigkeit wird allerdings hier vorausgesetzt
B Verallgemeinerung : Strukturgleichungsmodelle, Pfadanalyse
− Zusatzliche Struktur im Bereich der latenten Variablen
→ Prinzipiell ahnliches Vorgehen bei großerer Komplexitat
3.3 Vorlaufiges zu”
Losungen“ FA13 53
Variablentransformationen.
♠ Generelles Prinzip der multivariaten Statistik :
− ( Umkehrbare ) lineare oder affine Transformationen von
Variablen sind zu Originalvariablen gleichberechtigt
4 Kein Informationsverlust wegen Rekonstruierbarkeit
B Vorteile :
− manchmal technischer Art
− manchmal auch leichtere Interpretierbarkeit
Anwendung auf die Faktorenanalyse.
♣ Voraussetzung : Das Modell x = Λf + e gilt
Variablentransformation der Faktoren :
− Ersetzung der Faktoren durch Transformationen
♦ Eine Variablentransformation heißt hier auch Rotation
Kompensatorische Anderung der Ladungsmatrix
( Hoffentlich ) leichtere Interpretierbarkeit
4 Vom multivariaten Standpunkt aus harmlos :
− Nur alternative Beschreibung des gleichen Sachverhalts
B Alte und neue Faktoren enthalten die gleiche Information
4 Teilweise Entkraftung des Vorwurfs fehlender Identifizierbarkeit
3.4 Rotationen FA13 54
♣ Voraussetzungen.
x = Λf + e
KF
→Weitere Voraussetzungen, die meist gemacht werden :
Kf hat maximalen Rang q
Λ hat maximalen Rang q
Wenn Voraussetzungen erfullt :’regulare q-Faktor-Losung ‘
4 Sind die beiden letzten Voraussetzungen nicht erfullt,
so bestehen noch’Abhangigkeiten ‘
B Man kann dann die Zahl der Faktoren reduzieren,
ohne die reduzierten Variablen xi zu andern
? Allerdings :
− Ist das kompatibel mit einer substantiellen Interpretation ?
3.4 Rotationen FA13 55
Rotationen.
Lineare Variablentransformation der Faktoren
Transformationsmatrix : G
♦ G heißt auch Rotationsmatrix
♦ Neue Faktoren : fj
B G = (gij) ist (q × q)-Matrix
− j-te Spalte von G : Koeffizienten zur Bildung von fj
Transformation der Faktoren ( neue Faktoren : fj ) :
fj =∑
gijfi
Neue Faktoren ( zusammengefasst zu f ) :
f = G′f
→ Kovarianzmatrix von f :
Kf = G′KfG′′ = G′KfG
3.4 Rotationen FA13 56
Bedingungen fur die Rotationsmatrix.
? Welche Bedingungen sollen fur G gelten ?
− G muss invertierbar sein
− Die Kovarianzmatrix der neuen Faktoren
Kf = G′KfG
muss in der Diagonale Einsen besitzen
♣ Diese Bedingungen sollen fur Rotationsmatrizen ab jetzt gelten
Spezialfall : Orthogonale Rotationen.
− Vorher gilt Modell UF
− Die neuen Faktoren sollen wieder unkorreliert sein
B Rotation von UF nach UF
→ Bedingung an G dann :
G′G = I
4 Also : G soll Orthogonalmatrix sein
4 Erinnerung :
− Ist G Orthogonalmatrix, so gilt : G = G′−1
3.4 Rotationen FA13 57
Neue Ladungsmatrix und neue Faktorstruktur.
Neue Faktoren:
f = G′f
Kompensatorisch ( Regeln der Variablentransformation ) :
− Neue Ladungsmatrix :
Λ = ΛG′−1
→ Dann gilt namlich :
Λf = ΛG′−1G′f = Λf
→ Man erhalt die gleichen reduzierten Variablen wie vorher
→ Insbesondere bleiben Kx und die Kommunalitaten gleich
4 Die Modelle
x = Λf + e und x = Λf + e
sind’in Wirklichkeit ‘ nicht verschieden
4 Nur unterschiedliche Sichtweisen desselben Sachverhalts
→ Berechnung der neuen Faktorstruktur (vorher: ΛKf ) :
ΛKf = (ΛG′−1) (G′KfG) = (ΛKf) G
B Neues Muster mit G′−1 , neue Struktur mit G
3.4 Rotationen FA13 58
Orthogonale Rotationen.
→ Neue Ladungsmatrix :
Λ = ΛG
4 Hier ist namlich G′−1 = G
→ Neue Faktorstruktur : ΛG
4Wieder : Muster = Struktur
Zusammenfassung :
KF −→ KF alt neu
Korrelationsmatrix der Faktoren Kf G′KfG
Ladungsmatrix Λ ΛG′−1
Faktorstruktur ΛKf (ΛKf) G
UF −→ UF alt neu
Korrelationsmatrix der Faktoren I I
Ladungsmatrix Λ ΛG
Faktorstruktur Λ ΛG
Rotation in praxi.
→ Suche G so, dass die neue Ladungsmatrix angenehmer ist
? Warum Muster und nicht Struktur ?
3.4 Rotationen FA13 59
Graphische Darstellung des Modells.
♣ Generelle Voraussetzung : Kf ist invertierbar
Kovarianztreue Darstellung der Faktoren
Zugehorige Vektoren sind linear unabhangig
Faktoren definieren Koordinatensystem
Reduzierte Variablen sind Linearkombinationen
Ladungen sind Koordinaten
→ Es gelten die Eigenschaften kovarianztreuer Darstellungen
? Beispiel : Unkorrelierte Faktoren
Λ =
0.3 0.6
0.2 0.8
0.7 0.3
−0.5 0.6
0.5 −0.7
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rrr
r
r........................................
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f1
f2
x1x4
− Faktoren haben Lange 1 und sind senkrecht ( UF )
− Ladungen sind Koordinaten
3.4 Rotationen FA13 60
? Genauere Untersuchung des Beispiels
Λ =
0.3 0.6
0.2 0.8
0.7 0.3
−0.5 0.6
0.5 −0.7
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rrr
r
r
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f1
f2
x1x4
Abstand der ( reduzierten ) Variablen vom Nullpunkt :
− Wurzeln aus Kommunalitaten
→ Lage innerhalb des Einheitskreises
Winkel ↔ Korrelationen ( Achtung : reduzierte Variablen )
B |ρ(xi, xj)| ≤ |ρ(xi, xj)| bei gleichem Vorzeichen
3.4 Rotationen FA13 61
? Beispiel mit zwei korrelierten Faktoren
? ρ = .8 ↔ Winkel : 36.87
Λ =
−0.9 1.5
−0.87 1.35
1.59 −1.35
−1.56 1.2
−1.12 0.8
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rr
r
r r..........................
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f1
f2x2
− Ladungen ↔ Koordinaten
− Abstand vom Nullpunkt : Wurzel der Kommunalitat
− Faktorstruktur : Lote auf die Faktorachsen
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rr
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f1
f2
x2
B Diskrepanz zwischen Muster und Struktur
3.4 Rotationen FA13 62
Graphische Darstellung einer Rotation.
? Beispiel einer orthogonalen Rotation ( UF → UF )
Ausgangssituation : Zwei unkorrelierte Faktoren mit
Λ =
0.3 0.6
0.2 0.8
0.7 0.3
−0.5 0.6
0.5 −0.7
Rotationsmatrix :
G =
(.8 .6
−.6 .8
)
4 G ist Orthogonalmatrix, Rotationsbedingung ist erfullt
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rrr
r
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f1
f2
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f1
f2
− Neues Koordinatensystem ist orthogonal ( Spalten von G )
− Neue Ladungen : Neue Koordinaten ( Beispiel: x1 )
− Hier :’Rotation‘ des Koordinatensystems
3.4 Rotationen FA13 63
Graphische Rotation.
→ Graphik nicht als Illustration, sondern zur Konstruktion
→Wahle Achsen so, dass sie nahe bei den Punkten liegen !
→ Gute Interpretierbarkeit ! ( ? )
? Beispiel :
Λ =
−0.9 1.5
−0.87 1.35
1.59 −1.35
−1.56 1.2
−1.12 0.8
Kf =
(1 0.8
0.8 1
).................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...................
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rr
r
r r..........................
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f1
f2x2
Winkel zwischen Achsen : arccos(.8) = 36.87
B Beachte die Ladungen > 1 !
→ Suche bessere Achsen !
3.4 Rotationen FA13 64
→ Bessere Achsen :
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rr
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r r..........................
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f1
f2
f1
f2.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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G kann jetzt abgelesen werden, ebenso Λ
G =
(5/3 −1
−4/3 8/5
)Λ =
0.045 0.975
−0.0315 0.8175
0.8955 −0.0975
−0.972 −0.06
−0.744 −0.12
: – )
→ Korrelation der neuen Faktoren : −.6
Faktorenstruktur :
( kann alternativ auch aus Graphik ermittelt werden )0.045 0.975
−0.0315 0.8175
0.8955 −0.0975
−0.972 −0.06
−0.744 −0.12
(
1 −0.6
−0.6 1
)=
−0.54 0.948
−0.522 0.8364
0.954 −0.6348
−0.936 0.5232
−0.672 0.3264
: – (
3.4 Rotationen FA13 65
Varimax-Rotation.
→ Rotation UF → UF
→ Ziel : Betrage der Zahlen in den Spalten sollen stark variieren !
→ Hoffentlich gute Interpretierbarkeit
Prazisierung :
− Die Summe φ der spaltenweisen Varianzen der quadrierten
und durch ihre Kommunalitaten dividierten Ladungen soll
maximal werden
? Beispiel : Die Ladungsmatrix einer orthogonalen Losung :0.5 0.5
0.4 0.4
0.5 −0.5
0.4 −0.4
Kommunalitaten : .5, .32, .5, .32
Matrix der quadrierten Ladungen und Matrix der quadrierten
und durch die Kommunalitaten dividierten Ladungen :
0.25 0.25
0.16 0.16
0.25 0.25
0.16 0.16
0.5 0.5
0.5 0.5
0.5 0.5
0.5 0.5
→ φ = 0 – Fur Varimax schlechtest-moglicher Fall
? Schlecht interpretierbar ?
3.4 Rotationen FA13 66
? Beispiel : Orthogonale Rotation mit
1√2
(1 1
−1 1
)
Neue Ladungsmatrix :
1√2
0 1
0 .8
1 0
.8 0
Kommunalitaten bleiben gleich
Matrix der quadrierten Ladungen und Matrix der quadrierten
und durch die Kommunalitaten dividierten Ladungen :0 0.5
0 0.32
0.5 0
0.32 0
0 1.0
0 1.0
1.0 0
1.0 0
→ φ = .5 ( maximal ) – Dies ist die Varimax-Rotation
→ Tatsachlich wohl gute Interpretierbarkeit ! ( Besser ?! )
4 In der Praxis :
− Formeln bei zwei Faktoren, sonst iterative Verfahren
? Gehorcht die Natur dem Varimax-Kriterium ?
3.4 Rotationen FA13 67
Losungen auf Basis der empirischen Korrelationsmatrix.
♣ Gegeben ist die empirische Korrelationsmatrix R
→ Aufgabe ( pragmatisch ) :
Finde Losung, bei der die zugehorigen ( theoretischen )
Korrelationen etwa gleich den empirischen Korrelationen sind
B Man kann sich auf orthogonale Losungen beschranken
→ Formal : Finde Λ , so dass außerhalb der Diagonale gilt :
ΛΛ′ ≈ R
→ Erstrebenswert : Nicht allzu viele Faktoren
B Allerdings : Wo bleibt dann die’Wahrheit ‘ ?
→ Konflikt zwischen den Zielen
− Gute Approximation
−Wenig Faktoren
? Kompromiss ?
4 Es gibt viele Methoden, eine Losung zu finden
→ Hier : Hauptachsenanalyse mit Kommunalitateniteration
3.5 Faktorenextraktion FA13 68
Hauptachsenanalyse mit Kommunalitateniteration
→ Entscheidende Teilschritte :
− Kommunalitatenschatzung
− Eigentliche Faktorenextraktion
Schritte werden abgewechselt
→ Iteration bis zu stabiler Losung
Teilschritt Faktorenextraktion
♣ Voraussetzung : Kommunalitaten sind irgendwie geschatzt
In R wird die Diagonale durch die Schatzungen ersetzt
Ergebnis : Rr
4 Rr entspricht Kx
→ Ziel :
− Finde nahe bei Rr eine mogliche reduzierte Korrelationsmatrix
4 Die moglichen reduzierten Korrelationsmatrizen sind positiv
semidefinite Matrizen kleineren Ranges
B Der Rang gibt die Anzahl der Faktoren an
→ Umformulierte Aufgabe :
− Finde in der Nahe von Rr eine positiv semidefinite Matrix mit
kleinerem Rang
3.5 Faktorenextraktion FA13 69
→ Aufgabe : Finde in der Nahe von Rr eine positiv semidefinite
Matrix mit kleinerem Rang
→ Losung :
Erstrebter Rang sei q
Lq : Die ersten q normalisierten Eigenvektoren von Rr
LqL′q : Nachstgelegene positiv semidefinite Matrix mit Rang q
B Quadrierter Abstand :
− Summe der restlichen quadrierten Eigenwerte
→Wahle also Lq als Ladungsmatrix
B Eigenschaften von Lq :
Spalten: Orthogonale Eigenvektoren von Rr zu den ersten q
Eigenwerten
Quadratsummen zeilenweise : Kommunalitaten ( UF ! )
Quadratsummen spaltenweise : Eigenwerte
− Gleichzeitig : Maß fur Varianzaufklarung ( UF ! )
− Summe ist Gesamtkommunalitat
4 Ist L die Matrix aller p normalisierten Eigenvektoren von
Rr , so besteht Lq aus den ersten q Spalten von L
3.5 Faktorenextraktion FA13 70
? Zentrale Frage : Wieviele Faktoren ?
→Wieviele Spalten von L sollen beibehalten werden ?
? Kriterien fur die Zahl der Faktoren ?
B Kriterien hangen von den Eigenwerten von Rr ab
→ Einige Moglichkeiten :
− Solange extrahieren, bis’Varianzaufklarung ‘ befriedigt
( moglichst große Summe der entsprechenden Eigenwerte )
( Vergleich mit Gesamtvarianz p )
− Nur Faktoren ubrigbehalten mit hinreichend großem Eigenwert
( z.B. mindestens 1 )
− Abbruch bei deutlichem Großensprung der Eigenwerte
(’scree test ‘ – Trennen von Substanz und Rauschen )
4Wie vertragt sich dieser Pragmatismus mit dem hohen
theoretischen Status des Modells ?
B Es werden keine Faktoren extrahiert, sondern es wird eine
passende Matrix gefunden, die Ladungsmatrix sein konnte
3.5 Faktorenextraktion FA13 71
? Beispiel :
Rr =
0.38 0.1 0.02 0.06 −0.36
0.1 0.7 0.14 −0.06 −0.2
0.02 0.14 0.86 0.18 −0.04
0.06 −0.06 0.18 0.86 −0.12
−0.36 −0.2 −0.04 −0.12 0.92
B Diagonalelemente : ( Irgendwie ) geschatzte Kommunalitaten
Eigenwerte : 1.28 .96 .8 .48 .2
Matrix aus normalisierten Eigenvektoren :
L =
−0.4 −0.2 −0.1 0.1 0.4
−0.4 −0.2 0.5 −0.5 0
−0.4 0.6 0.5 0.3 0
−0.4 0.6 −0.5 −0.3 0
0.8 0.4 0.2 −0.2 0.2
B Quadratsummen spaltenweise : Eigenwerte ↔ Varianzaufklarung
Faktorenzahl Gesamtkommunalitat Quadrierter Abstand zu Rr
3 1.28 + .96 + .8 = 3.04 .482 + .22 = .2704
2 1.28 + .96 = 2.24 .82 + .482 + .22 = .9104
Zugehorige Ladungsmatrizen :
L3 =
−0.4 −0.2 −0.1
−0.4 −0.2 0.5
−0.4 0.6 0.5
−0.4 0.6 −0.5
0.8 0.4 0.2
L2 =
−0.4 −0.2
−0.4 −0.2
−0.4 0.6
−0.4 0.6
0.8 0.4
3.5 Faktorenextraktion FA13 72
? Extraktionskriterium : Nur Eigenwerte > 1
→ Ein Faktor :
L1 =
−0.4
−0.4
−0.4
−0.4
0.8
? Extraktionskriterium : scree test
r r r r r1
Kein deutlicher Bruch im Verlauf
→ ?
3.5 Faktorenextraktion FA13 73
Teilschritt Kommunalitatenschatzung
4 Sind sie uberhaupt schatzbar ? Identifizierbarkeit ?
B Die Schatzung ist von zentraler Bedeutung
− Sie entscheidet uber Ladungsmatrix und die Zahl der Faktoren
→ Naheliegende einfache’Schatzmethoden ‘ fur den Start :
− Reliabilitaten ( Uberschatzung )
− Hochste Korrelation mit den anderen Variablen
− Durch die anderen Variablen aufgeklarte Varianz
B Hintergrund :
− Die anderen Variablen enthalten in gewisser Weise die Faktoren
B Bemerkenswert :
− Die entstehende Matrix ist womoglich nicht mehr positiv
semidefinit
B Unangenehm :
− Das Ergebnis der nachfolgenden Faktorenextraktion hangt von
der nicht unproblematischen Schatzung ab
3.5 Faktorenextraktion FA13 74
Kommunalitateniteration.
? Ein Ausweg aus dem Schatzproblem ?
→ Iteratives Verfahren :
1. Anfangliche Kommunalitatenschatzung
2. Faktorenextraktion
3. Berechnung der zugehorigen Kommunalitaten
4. Verwendung dieser Kommunalitaten zur erneuten Schatzung
5. Weiter bei 2. oder
6. Abbruch, sobald die Schatzungen sich stabilisieren
3.5 Faktorenextraktion FA13 75
? Beispiel mit zwei Variablen ( unrealistisch, aber ubersichtlich )
(0) Gegeben ist empirische Korrelationsmatrix
R =
(1 0.36
0.36 1
)
(1) Anfangskommunalitatenschatzung ( vielleicht Reliabilitaten ) :
.73 und .52
Rr =
(0.73 0.36
0.36 0.52
)
(2) Faktorenextraktion :
Eigenwerte 1.0 und .25. Normalisierte Eigenvektoren in
L =
(0.8 0.3
0.6 −0.4
)
Ein Faktor wird extrahiert. Ladungsmatrix : Erste Spalte
(3) Zugehorige Kommunalitaten
.82 = .64 und .62 = .36
(4) Neues Rr : (0.64 0.36
0.36 0.36
)
(5) Erneute Faktorenextraktion → (2) ...... bis zur Stabilitat (6)
3.5 Faktorenextraktion FA13 76
→ Iterationsprozess :
Schritt Kommunalitaten Eigenwerte Ladungsmatrix
1 0.7300 0.5200 1.0000 0.2500 0.8000 0.6000
2 0.6400 0.3600 0.8863 0.1137 0.7770 0.5315
3 0.6037 0.2825 0.8373 0.0489 0.7676 0.4981
4 0.5892 0.2481 0.8170 0.0203 0.7638 0.4833
5 0.5834 0.2336 0.8088 0.0083 0.7623 0.4771
6 0.5811 0.2277 0.8054 0.0033 0.7617 0.4746
7 0.5802 0.2252 0.8041 0.0013 0.7614 0.4736
8 0.5798 0.2243 0.8035 0.0005 0.7614 0.4732
9 0.5797 0.2239 0.8033 0.0002 0.7613 0.4730
10 0.5796 0.2237 0.8032 0.0001 0.7613 0.4729
11 0.5796 0.2237 0.8032 0.0000 0.7613 0.4729
12 0.5796 0.2236 0.8032 0.0000 0.7613 0.4729
13 0.5796 0.2236 0.8032 0.0000 0.7613 0.4729
14 0.5796 0.2236 0.8032 0.0000 0.7613 0.4729
15 0.5796 0.2236 0.8032 0.0000 0.7613 0.4729
→ Stabilisierung
→ Ergebnis :
− Ladungsmatrix : (.7613
.4729
)
− Gesamtkommunalitat : .8032
− Kommunalitatenschatzung : .5796 und .2236
4 Hier werden Kommunalitaten geschatzt, die gar nicht
identifizierbar sind
3.5 Faktorenextraktion FA13 77
→ Mit Anfangskommunalitatenschatzung .8 und .4 erhalt man
− Ladungsmatrix (.8540
.4215
)
− Gesamtkommunalitat .9070
− Kommunalitatenschatzungen : .7293 und .1777
→ Viele ungeklarte Fragen
− Konvergiert das Verfahren uberhaupt immer ?
−Wenn ja, wohin ? wohin ???
−Was ist die Logik dahinter ?
− Abhangigkeit von der Anfangsschatzung ?
B Bemerkenswert : Am Ende oft negative Eigenwerte
3.5 Faktorenextraktion FA13 78
Schlussbemerkungen.
→ Einzelentscheidungen des Anwenders :
− Art der Anfangskommunalitatenschatzung
− Extraktionskriterium
→ Besonders durch die Wahl des Extraktionskriteriums kann man
massiv Einfluss auf das Endergebnis nehmen
B Neben dem geschilderten Verfahren gibt es viele weitere
→ Der Anwender hat die Auswahl
− zwischen verschiedenen Verfahren
− zwischen spezifischen Festlegungen bei einzelnen Verfahren
→ Fazit : Gute Chancen fur eine befriedigende Losung
3.5 Faktorenextraktion FA13 79