fakult¨at grundlagen - hochschule esslingenmohr/mathematik/me2/z_trafo_praes.pdfzlz-transf....
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DefinitionAnwendungen
z-Transformation
Fakultät Grundlagen
Juli 2010
Fakultät Grundlagen z-Transformation
-
DefinitionAnwendungen
Übersicht
1 Definition
2 Anwendungen
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 2
-
DefinitionAnwendungen
Abtastung
Abtastung: Umwandlung einer stetigen (zeitkontinuierlichen) Funktion ineine Folge von Funktionswerten (zeitdiskretes Signal).
f (t)
stetige Funktion(zeitkontinuierlich)
{f (kT )}Zahlenfolge(zeitdiskret)
Abtastung �
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 3
-
DefinitionAnwendungen
Abtastung
Abtastung: Umwandlung einer stetigen (zeitkontinuierlichen) Funktion ineine Folge von Funktionswerten (zeitdiskretes Signal).
f (t)
stetige Funktion(zeitkontinuierlich)
{f (kT )}Zahlenfolge(zeitdiskret)
Abtastung �
Verwendet man zusätzlich einHalteglied, das im jeweili-gen Intervall den Abtastwertf (kT ) beibehält, so erhältman eine Approximation dergebenen Funktion f (t) durchdie Treppenfunktion fT (t).
T 2T
f (t)
t
kT (k + 1)T
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 3
-
DefinitionAnwendungen
Abtastung
Abtastung: Umwandlung einer stetigen (zeitkontinuierlichen) Funktion ineine Folge von Funktionswerten (zeitdiskretes Signal).
f (t)
stetige Funktion(zeitkontinuierlich)
{f (kT )}Zahlenfolge(zeitdiskret)
Abtastung �
Verwendet man zusätzlich einHalteglied, das im jeweili-gen Intervall den Abtastwertf (kT ) beibehält, so erhältman eine Approximation dergebenen Funktion f (t) durchdie Treppenfunktion fT (t).
T 2T
f (t)
t
kT (k + 1)T
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 3
-
DefinitionAnwendungen
Abtastung
Abtastung: Umwandlung einer stetigen (zeitkontinuierlichen) Funktion ineine Folge von Funktionswerten (zeitdiskretes Signal).
f (t)
stetige Funktion(zeitkontinuierlich)
{f (kT )}Zahlenfolge(zeitdiskret)
Abtastung �
Verwendet man zusätzlich einHalteglied, das im jeweili-gen Intervall den Abtastwertf (kT ) beibehält, so erhältman eine Approximation dergebenen Funktion f (t) durchdie Treppenfunktion fT (t).
T 2T
f (t)
fT (t)
t
kT (k + 1)T
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 3
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DefinitionAnwendungen
Abtastung
Abtastung: Umwandlung einer stetigen (zeitkontinuierlichen) Funktion ineine Folge von Funktionswerten (zeitdiskretes Signal).
f (t)
stetige Funktion(zeitkontinuierlich)
{f (kT )}Zahlenfolge(zeitdiskret)
Abtastung �
Verwendet man zusätzlich einHalteglied, das im jeweili-gen Intervall den Abtastwertf (kT ) beibehält, so erhältman eine Approximation dergebenen Funktion f (t) durchdie Treppenfunktion fT (t).
T 2T
f (t)
fT (t)
t
kT (k + 1)T
fT (t) =∞∑
k=0
f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 3
-
DefinitionAnwendungen
Laplace-Transformation der Treppenfunktion fT (t)
L {fT (t)} =∞∑
k=0
f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}
]
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 4
-
DefinitionAnwendungen
Laplace-Transformation der Treppenfunktion fT (t)
L {fT (t)} =∞∑
k=0
f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}
]
=∞∑
k=0
f (kT )[e−kTs
s − e−(k+1)Ts
s
]
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 4
-
DefinitionAnwendungen
Laplace-Transformation der Treppenfunktion fT (t)
L {fT (t)} =∞∑
k=0
f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}
]
=∞∑
k=0
f (kT )[e−kTs
s − e−(k+1)Ts
s
]
= 1 − e−Tss︸ ︷︷ ︸H0(s)
·∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 4
-
DefinitionAnwendungen
Laplace-Transformation der Treppenfunktion fT (t)
L {fT (t)} =∞∑
k=0
f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}
]
=∞∑
k=0
f (kT )[e−kTs
s − e−(k+1)Ts
s
]
= 1 − e−Tss︸ ︷︷ ︸H0(s)
·∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs
H0(s) =1 − e−Ts
s� � rT (t) . . .
Haltevorgang;unabhängig von f (t)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 4
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DefinitionAnwendungen
Laplace-Transformation der Treppenfunktion fT (t)
L {fT (t)} =∞∑
k=0
f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}
]
=∞∑
k=0
f (kT )[e−kTs
s − e−(k+1)Ts
s
]
= 1 − e−Tss︸ ︷︷ ︸H0(s)
·∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs
H0(s) =1 − e−Ts
s� � rT (t) . . .
Haltevorgang;unabhängig von f (t)
f (kT ) · e−kTs � � Dirac-Stoß der Intensität f (kT ) bei kT
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 4
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DefinitionAnwendungen
Laplace-Transformation der Treppenfunktion fT (t)
L {fT (t)} =∞∑
k=0
f (kT )[L {σ(t − kT )} − L {σ(t − (k + 1)T )}
]
=∞∑
k=0
f (kT )[e−kTs
s − e−(k+1)Ts
s
]
= 1 − e−Tss︸ ︷︷ ︸H0(s)
·∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs
H0(s) =1 − e−Ts
s� � rT (t) . . .
Haltevorgang;unabhängig von f (t)
f (kT ) · e−kTs � � Dirac-Stoß der Intensität f (kT ) bei kT∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs � �∞∑
k=0
f (kT ) · δ(t − kT )
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 4
-
DefinitionAnwendungen
z-Transformation∞∑
k=0
f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs ;
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 5
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DefinitionAnwendungen
z-Transformation∞∑
k=0
f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs ; z = esT
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 5
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DefinitionAnwendungen
z-Transformation∞∑
k=0
f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs ; z = esT
� �
∞∑k=0
f (kT ) · z−k
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 5
-
DefinitionAnwendungen
z-Transformation∞∑
k=0
f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs ; z = esT
� �
∞∑k=0
f (kT ) · z−k
Die z-Transformierte der Folge {f (kT )}; k = 0, 1, 2, . . . wirddefiniert durch die Transformationsgleichung
Z{f (kT )} = F (z) =∞∑
k=0
f (kT ) · z−k ; z ∈ C
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 5
-
DefinitionAnwendungen
z-Transformation∞∑
k=0
f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs ; z = esT
� �
∞∑k=0
f (kT ) · z−k
Die z-Transformierte der Folge {f (kT )}; k = 0, 1, 2, . . . wirddefiniert durch die Transformationsgleichung
Z{f (kT )} = F (z) =∞∑
k=0
f (kT ) · z−k ; z ∈ C
z-Transformation einer Zahlenfolge {Ak}:
Z{Ak} = F (z) =∞∑
k=0
Ak · z−k ; z ∈ C
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 5
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DefinitionAnwendungen
z-Transformation∞∑
k=0
f (kT ) · δ(t − kT ) � �∞∑
k=0
f (kT ) · e−kTs ; z = esT
� �
∞∑k=0
f (kT ) · z−k
Die z-Transformierte der Folge {f (kT )}; k = 0, 1, 2, . . . wirddefiniert durch die Transformationsgleichung
Z{f (kT )} = F (z) =∞∑
k=0
f (kT ) · z−k ; z ∈ C
z-Transformation einer Zahlenfolge {Ak}:
Z{Ak} = F (z) =∞∑
k=0
Ak · z−k ; z ∈ C
Korrespondenzsysmbol: {Ak} � � F (z)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 5
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DefinitionAnwendungen
z-Transformation ⇐⇒ Laplace-TransformationDurch Abtastung einer stetigen Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 für t < 0
erhält man eine Folge von Funktionswerten {f (kT )} bzw. eineTreppenfunktion fT (t). Zwischen der Laplace-Transformierten der
Treppenfunktion fT (t) und der z-Transformierten von {f (kT )} bestehtfolgender Zusammenhang:
{f (kT )} fT (t) =∞∑
k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}⇐⇒
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 6
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DefinitionAnwendungen
z-Transformation ⇐⇒ Laplace-TransformationDurch Abtastung einer stetigen Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 für t < 0
erhält man eine Folge von Funktionswerten {f (kT )} bzw. eineTreppenfunktion fT (t). Zwischen der Laplace-Transformierten der
Treppenfunktion fT (t) und der z-Transformierten von {f (kT )} bestehtfolgender Zusammenhang:
{f (kT )} fT (t) =∞∑
k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}⇐⇒
Z Lz-Transf. L-Transf.� �
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 6
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DefinitionAnwendungen
z-Transformation ⇐⇒ Laplace-TransformationDurch Abtastung einer stetigen Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 für t < 0
erhält man eine Folge von Funktionswerten {f (kT )} bzw. eineTreppenfunktion fT (t). Zwischen der Laplace-Transformierten der
Treppenfunktion fT (t) und der z-Transformierten von {f (kT )} bestehtfolgender Zusammenhang:
{f (kT )}
F (z) =∞∑
k=0f (kT )z−k
fT (t) =∞∑
k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}
FT (s) = H0(s) ·∞∑
k=0f (kT ) · e−kTs
⇐⇒
Z Lz-Transf. L-Transf.� �
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 6
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DefinitionAnwendungen
z-Transformation ⇐⇒ Laplace-TransformationDurch Abtastung einer stetigen Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 für t < 0
erhält man eine Folge von Funktionswerten {f (kT )} bzw. eineTreppenfunktion fT (t). Zwischen der Laplace-Transformierten der
Treppenfunktion fT (t) und der z-Transformierten von {f (kT )} bestehtfolgender Zusammenhang:
{f (kT )}
F (z) =∞∑
k=0f (kT )z−k
fT (t) =∞∑
k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}
FT (s) = H0(s) ·∞∑
k=0f (kT ) · e−kTs⇐⇒
⇐⇒
z = eTs
Z Lz-Transf. L-Transf.� �
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 6
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DefinitionAnwendungen
z-Transformation ⇐⇒ Laplace-TransformationDurch Abtastung einer stetigen Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 für t < 0
erhält man eine Folge von Funktionswerten {f (kT )} bzw. eineTreppenfunktion fT (t). Zwischen der Laplace-Transformierten der
Treppenfunktion fT (t) und der z-Transformierten von {f (kT )} bestehtfolgender Zusammenhang:
{f (kT )}
F (z) =∞∑
k=0f (kT )z−k
fT (t) =∞∑
k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}
FT (s) = H0(s) ·∞∑
k=0f (kT ) · e−kTs⇐⇒
⇐⇒
z = eTs
Z Lz-Transf. L-Transf.� �
H0(s) ist unabhängig von f (t) bzw. f (kT ) !
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 6
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DefinitionAnwendungen
z-Transformation ⇐⇒ Laplace-TransformationDurch Abtastung einer stetigen Zeitfunktion f (t) mit f (t) = 0 für t < 0
erhält man eine Folge von Funktionswerten {f (kT )} bzw. eineTreppenfunktion fT (t). Zwischen der Laplace-Transformierten der
Treppenfunktion fT (t) und der z-Transformierten von {f (kT )} bestehtfolgender Zusammenhang:
{f (kT )}
F (z) =∞∑
k=0f (kT )z−k
fT (t) =∞∑
k=0f (kT ){σ(t − kT ) − σ(t − (k + 1)T )}
FT (s) = H0(s) ·∞∑
k=0f (kT ) · e−kTs⇐⇒
⇐⇒
z = eTs
Z Lz-Transf. L-Transf.� �
H0(s) ist unabhängig von f (t) bzw. f (kT ) !
Für die z-Transformation gelten ähnliche Sätze wie für die Fourier- und
Laplace-Transformation.
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 6
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DefinitionAnwendungen
Konvergenzverhalten der z-Transformation
Die Laplace-Transformation konvergiert für Re s > α0
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 7
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DefinitionAnwendungen
Konvergenzverhalten der z-Transformation
Die Laplace-Transformation konvergiert für Re s > α0
Umrechnung für z = eTs mit s = α + jω
z = eT (α+jω) = eTα · ejTω
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 7
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DefinitionAnwendungen
Konvergenzverhalten der z-Transformation
Die Laplace-Transformation konvergiert für Re s > α0
Umrechnung für z = eTs mit s = α + jω
z = eT (α+jω) = eTα · ejTω
|z | = |eTα| · |ejTω| = eTα > eTα0 = r0
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 7
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DefinitionAnwendungen
Konvergenzverhalten der z-Transformation
Die Laplace-Transformation konvergiert für Re s > α0
Umrechnung für z = eTs mit s = α + jω
z = eT (α+jω) = eTα · ejTω
|z | = |eTα| · |ejTω| = eTα > eTα0 = r0 . . . Äußere eines Kreises
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 7
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DefinitionAnwendungen
Konvergenzverhalten der z-Transformation
Die Laplace-Transformation konvergiert für Re s > α0
Umrechnung für z = eTs mit s = α + jω
z = eT (α+jω) = eTα · ejTω
|z | = |eTα| · |ejTω| = eTα > eTα0 = r0 . . . Äußere eines Kreises
Re
Im
α0
Konvergenzhalbebene
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 7
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DefinitionAnwendungen
Konvergenzverhalten der z-Transformation
Die Laplace-Transformation konvergiert für Re s > α0
Umrechnung für z = eTs mit s = α + jω
z = eT (α+jω) = eTα · ejTω
|z | = |eTα| · |ejTω| = eTα > eTα0 = r0 . . . Äußere eines Kreises
Re
Im
α0
Konvergenzhalbebene
=⇒
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 7
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DefinitionAnwendungen
Konvergenzverhalten der z-Transformation
Die Laplace-Transformation konvergiert für Re s > α0
Umrechnung für z = eTs mit s = α + jω
z = eT (α+jω) = eTα · ejTω
|z | = |eTα| · |ejTω| = eTα > eTα0 = r0 . . . Äußere eines Kreises
Re
Im
α0
Konvergenzhalbebene
=⇒ Re
Im
r0
Äußere des Ursprungskreises K (0; r0)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 7
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DefinitionAnwendungen
Beispiel
Im folgenden Beispiel sei: T = 1, f (kT ) = f (k) = fk
fk = σk =
{0 für k < 01 für k ≥ 0 k
1 2 3−1−2
1
σk
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 8
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DefinitionAnwendungen
Beispiel
Im folgenden Beispiel sei: T = 1, f (kT ) = f (k) = fk
fk = σk =
{0 für k < 01 für k ≥ 0 k
1 2 3−1−2
1
σk
F (z) =∞∑
k=0
1 · z−k =∞∑
k=0
(z−1
)k
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 8
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DefinitionAnwendungen
Beispiel
Im folgenden Beispiel sei: T = 1, f (kT ) = f (k) = fk
fk = σk =
{0 für k < 01 für k ≥ 0 k
1 2 3−1−2
1
σk
F (z) =∞∑
k=0
1 · z−k =∞∑
k=0
(z−1
)k. . .
geometrische Reihe
mit q = 1z
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 8
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DefinitionAnwendungen
Beispiel
Im folgenden Beispiel sei: T = 1, f (kT ) = f (k) = fk
fk = σk =
{0 für k < 01 für k ≥ 0 k
1 2 3−1−2
1
σk
F (z) =∞∑
k=0
1 · z−k =∞∑
k=0
(z−1
)k. . .
geometrische Reihe
mit q = 1z
= 1
1 − 1z
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 8
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DefinitionAnwendungen
Beispiel
Im folgenden Beispiel sei: T = 1, f (kT ) = f (k) = fk
fk = σk =
{0 für k < 01 für k ≥ 0 k
1 2 3−1−2
1
σk
F (z) =∞∑
k=0
1 · z−k =∞∑
k=0
(z−1
)k. . .
geometrische Reihe
mit q = 1z
= 1
1 − 1z
= zz − 1
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 8
-
DefinitionAnwendungen
Beispiel
Im folgenden Beispiel sei: T = 1, f (kT ) = f (k) = fk
fk = σk =
{0 für k < 01 für k ≥ 0 k
1 2 3−1−2
1
σk
F (z) =∞∑
k=0
1 · z−k =∞∑
k=0
(z−1
)k. . .
geometrische Reihe
mit q = 1z
= 1
1 − 1z
= zz − 1 für∣∣∣1z
∣∣∣ < 1 ⇐⇒ |z | > 1
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 8
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DefinitionAnwendungen
Beispiel
Im folgenden Beispiel sei: T = 1, f (kT ) = f (k) = fk
fk = σk =
{0 für k < 01 für k ≥ 0 k
1 2 3−1−2
1
σk
F (z) =∞∑
k=0
1 · z−k =∞∑
k=0
(z−1
)k. . .
geometrische Reihe
mit q = 1z
= 1
1 − 1z
= zz − 1 für∣∣∣1z
∣∣∣ < 1 ⇐⇒ |z | > 1=⇒ {σk} � � zz − 1; |z | > 1
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 8
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DefinitionAnwendungen
Beispiel
Im folgenden Beispiel sei: T = 1, f (kT ) = f (k) = fk
fk = σk =
{0 für k < 01 für k ≥ 0 k
1 2 3−1−2
1
σk
F (z) =∞∑
k=0
1 · z−k =∞∑
k=0
(z−1
)k. . .
geometrische Reihe
mit q = 1z
= 1
1 − 1z
= zz − 1 für∣∣∣1z
∣∣∣ < 1 ⇐⇒ |z | > 1=⇒ {σk} � � zz − 1; |z | > 1
Analog: {ak} � � zz − a ; |z | > |a|
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 8
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DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
-
DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Diskretisierung
=⇒ y(tk) − y(tk−1)T
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
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DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Diskretisierung
=⇒ y(tk) − y(tk−1)T
T=1
=⇒ yk−yk−1
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
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DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Diskretisierung
=⇒ y(tk) − y(tk−1)T
T=1
=⇒ yk−yk−1
L[y ] = y ′ + 2y
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
-
DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Diskretisierung
=⇒ y(tk) − y(tk−1)T
T=1
=⇒ yk−yk−1
L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
-
DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Diskretisierung
=⇒ y(tk) − y(tk−1)T
T=1
=⇒ yk−yk−1
L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk = 3yk − yk−1
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
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DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Diskretisierung
=⇒ y(tk) − y(tk−1)T
T=1
=⇒ yk−yk−1
L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk = 3yk − yk−1Bei Verschiebung nach rechts/links ist zu beachten: fk = 0 für k < 0
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
-
DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Diskretisierung
=⇒ y(tk) − y(tk−1)T
T=1
=⇒ yk−yk−1
L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk = 3yk − yk−1Bei Verschiebung nach rechts/links ist zu beachten: fk = 0 für k < 0Pos. 0 1 2 3 . . . z-Transformierte
{fk} f0 f1 f2 f3 . . . � � f0 + f1 1z + f2 1z2 + f3 1z3 . . . = F (z)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
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DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Diskretisierung
=⇒ y(tk) − y(tk−1)T
T=1
=⇒ yk−yk−1
L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk = 3yk − yk−1Bei Verschiebung nach rechts/links ist zu beachten: fk = 0 für k < 0Pos. 0 1 2 3 . . . z-Transformierte
{fk} f0 f1 f2 f3 . . . � � f0 + f1 1z + f2 1z2 + f3 1z3 . . . = F (z){fk−1} 0 f0 f1 f2 . . . � � f0 1z + f1 1z2 + f2 1z3 . . . =
F (z)z
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
-
DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Diskretisierung
=⇒ y(tk) − y(tk−1)T
T=1
=⇒ yk−yk−1
L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk = 3yk − yk−1Bei Verschiebung nach rechts/links ist zu beachten: fk = 0 für k < 0Pos. 0 1 2 3 . . . z-Transformierte
{fk} f0 f1 f2 f3 . . . � � f0 + f1 1z + f2 1z2 + f3 1z3 . . . = F (z){fk−1} 0 f0 f1 f2 . . . � � f0 1z + f1 1z2 + f2 1z3 . . . =
F (z)z
{fk+1} f1 f2 f3 f4 . . . � � f1 + f2 1z + f3 1z2 + f4 1z3 . . . = z · [F (z) − f0]
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
-
DefinitionAnwendungen
Differenzialgleichung ⇐⇒ DifferenzengleichungenApproximation der 1. Ableitung durch einen Differenzenquotienten
dydt
≈ y(t) − y(t − T )T
Diskretisierung
=⇒ y(tk) − y(tk−1)T
T=1
=⇒ yk−yk−1
L[y ] = y ′ + 2y ⇐⇒ L[yk ] = yk − yk−1 + 2yk = 3yk − yk−1Bei Verschiebung nach rechts/links ist zu beachten: fk = 0 für k < 0Pos. 0 1 2 3 . . . z-Transformierte
{fk} f0 f1 f2 f3 . . . � � f0 + f1 1z + f2 1z2 + f3 1z3 . . . = F (z){fk−1} 0 f0 f1 f2 . . . � � f0 1z + f1 1z2 + f2 1z3 . . . =
F (z)z
{fk+1} f1 f2 f3 f4 . . . � � f1 + f2 1z + f3 1z2 + f4 1z3 . . . = z · [F (z) − f0]
{fk} � � F (z) =⇒{fk−1} � � 1z · F (z){fk+1} � � z ·
[F (z) − f0
]{fk+2} � � z2 ·
[F (z) − f0 − f1z
]Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 9
-
DefinitionAnwendungen
Lineare Systeme
Lineare, zeitdiskrete Systeme werden durchlineare Differenzengleichungen beschrieben. System�
{xk} �{yk}
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 10
-
DefinitionAnwendungen
Lineare Systeme
Lineare, zeitdiskrete Systeme werden durchlineare Differenzengleichungen beschrieben.Meist spielen die Startwerte keine Rolle;deshalb Verschiebung nach rechts!!
System�{xk} �{yk}
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 10
-
DefinitionAnwendungen
Lineare Systeme
Lineare, zeitdiskrete Systeme werden durchlineare Differenzengleichungen beschrieben.Meist spielen die Startwerte keine Rolle;deshalb Verschiebung nach rechts!!
System�{xk} �{yk}
yk + a1yk−1 + . . . + anyk−n = xk + b1xk−1 + . . . + bmxk−m
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 10
-
DefinitionAnwendungen
Lineare Systeme
Lineare, zeitdiskrete Systeme werden durchlineare Differenzengleichungen beschrieben.Meist spielen die Startwerte keine Rolle;deshalb Verschiebung nach rechts!!
System�{xk} �{yk}
yk + a1yk−1 + . . . + anyk−n = xk + b1xk−1 + . . . + bmxk−m z-Trafo �
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 10
-
DefinitionAnwendungen
Lineare Systeme
Lineare, zeitdiskrete Systeme werden durchlineare Differenzengleichungen beschrieben.Meist spielen die Startwerte keine Rolle;deshalb Verschiebung nach rechts!!
System�{xk} �{yk}
yk + a1yk−1 + . . . + anyk−n = xk + b1xk−1 + . . . + bmxk−m z-Trafo �
Y (z) ·[1 + a1
1z + . . . + an
1zn
]= X (z) ·
[1 + b1
1z + . . . + bm
1zm
]
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 10
-
DefinitionAnwendungen
Lineare Systeme
Lineare, zeitdiskrete Systeme werden durchlineare Differenzengleichungen beschrieben.Meist spielen die Startwerte keine Rolle;deshalb Verschiebung nach rechts!!
System�{xk} �{yk}
yk + a1yk−1 + . . . + anyk−n = xk + b1xk−1 + . . . + bmxk−m z-Trafo �
Y (z) ·[1 + a1
1z + . . . + an
1zn
]= X (z) ·
[1 + b1
1z + . . . + bm
1zm
]bzw.
Y (z) =
1 + b11z + . . . + bm−1
1zm−1
+ bm1
zm
1 + a11z + . . . + an−1
1zn−1
+ an1zn
· X (z) = H(z) · X (z)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 10
-
DefinitionAnwendungen
Lineare Systeme
Lineare, zeitdiskrete Systeme werden durchlineare Differenzengleichungen beschrieben.Meist spielen die Startwerte keine Rolle;deshalb Verschiebung nach rechts!!
System�{xk} �{yk}
yk + a1yk−1 + . . . + anyk−n = xk + b1xk−1 + . . . + bmxk−m z-Trafo �
Y (z) ·[1 + a1
1z + . . . + an
1zn
]= X (z) ·
[1 + b1
1z + . . . + bm
1zm
]bzw.
Y (z) =
1 + b11z + . . . + bm−1
1zm−1
+ bm1
zm
1 + a11z + . . . + an−1
1zn−1
+ an1zn
· X (z) = H(z) · X (z)
Die Übertragungsfunktion H(z) ist eine gebrochen rationale Funktion.
Die Lage der Pole und Nullstellen bestimmt das Systemverhalten. Liegen
alle Pole im Einheitskreis, so ist das System stabil, d. h. die Antwort des
Systems auf eine beschränkte Anregung ist beschränkt.
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 10
-
DefinitionAnwendungen
Beispiel: yk + 2yk−1 = xk + xk−1
yk + 2yk−1 = xk + xk−1
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 11
-
DefinitionAnwendungen
Beispiel: yk + 2yk−1 = xk + xk−1
yk + 2yk−1 = xk + xk−1
�
�
�
�
�
�
�
�
Y (z) + 2Y (z)
z = X (z) +X (z)
z
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 11
-
DefinitionAnwendungen
Beispiel: yk + 2yk−1 = xk + xk−1
yk + 2yk−1 = xk + xk−1
�
�
�
�
�
�
�
�
Y (z) + 2Y (z)
z = X (z) +X (z)
z
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Y (z) ·[z + 2
z
]= z + 1z · X (z)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 11
-
DefinitionAnwendungen
Beispiel: yk + 2yk−1 = xk + xk−1
yk + 2yk−1 = xk + xk−1
�
�
�
�
�
�
�
�
Y (z) + 2Y (z)
z = X (z) +X (z)
z
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Y (z) ·[z + 2
z
]= z + 1z · X (z)
Y (z) = z + 1(z + 2)︸ ︷︷ ︸H(z)
·X (z)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 11
-
DefinitionAnwendungen
Beispiel: yk + 2yk−1 = xk + xk−1
yk + 2yk−1 = xk + xk−1
�
�
�
�
�
�
�
�
Y (z) + 2Y (z)
z = X (z) +X (z)
z
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Y (z) ·[z + 2
z
]= z + 1z · X (z)
Y (z) = z + 1(z + 2)︸ ︷︷ ︸H(z)
·X (z)
Nullstelle des Nenners: z1 = −2 � instabil
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 11
-
DefinitionAnwendungen
Beispiel: yk + 2yk−1 = xk + xk−1
yk + 2yk−1 = xk + xk−1
�
�
�
�
�
�
�
�
Y (z) + 2Y (z)
z = X (z) +X (z)
z
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Y (z) ·[z + 2
z
]= z + 1z · X (z)
Y (z) = z + 1(z + 2)︸ ︷︷ ︸H(z)
·X (z)
Nullstelle des Nenners: z1 = −2 � instabil
H(z) = zz + 2 +1
z + 2
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 11
-
DefinitionAnwendungen
Beispiel: yk + 2yk−1 = xk + xk−1
yk + 2yk−1 = xk + xk−1
�
�
�
�
�
�
�
�
Y (z) + 2Y (z)
z = X (z) +X (z)
z
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Y (z) ·[z + 2
z
]= z + 1z · X (z)
Y (z) = z + 1(z + 2)︸ ︷︷ ︸H(z)
·X (z)
Nullstelle des Nenners: z1 = −2 � instabil
H(z) = zz + 2 +1
z + 2
�
�
�
�
�
�
hk = (−2)k + (−2)k−1
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 11
-
DefinitionAnwendungen
Beispiel: yk + 2yk−1 = xk + xk−1
yk + 2yk−1 = xk + xk−1
�
�
�
�
�
�
�
�
Y (z) + 2Y (z)
z = X (z) +X (z)
z
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Y (z) ·[z + 2
z
]= z + 1z · X (z)
Y (z) = z + 1(z + 2)︸ ︷︷ ︸H(z)
·X (z)
Nullstelle des Nenners: z1 = −2 � instabil
H(z) = zz + 2 +1
z + 2
�
�
�
�
�
�
hk = (−2)k + (−2)k−1
Das zur ÜbertragungsfunktionH(z) gehörende Zeitsignal {hk}ist die Impulsantwort des Systems,d. h. die zu xk = δk,0 gehörendeLösung {yk}.
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 11
-
DefinitionAnwendungen
Beispiel: yk + 2yk−1 = xk + xk−1
yk + 2yk−1 = xk + xk−1
�
�
�
�
�
�
�
�
Y (z) + 2Y (z)
z = X (z) +X (z)
z
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭
Y (z) ·[z + 2
z
]= z + 1z · X (z)
Y (z) = z + 1(z + 2)︸ ︷︷ ︸H(z)
·X (z)
Nullstelle des Nenners: z1 = −2 � instabil
H(z) = zz + 2 +1
z + 2
�
�
�
�
�
�
hk = (−2)k + (−2)k−1
Das zur ÜbertragungsfunktionH(z) gehörende Zeitsignal {hk}ist die Impulsantwort des Systems,d. h. die zu xk = δk,0 gehörendeLösung {yk}.
Bemerkung
Stabilität bei der Laplace-Transformation: Lage aller Pole in der
Halbebene Re{s} < 0
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 11
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)
{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;
{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·
[Y (z) − 1 − 2z
]
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)
{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;
{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·
[Y (z) − 1 − 2z
]
z2 ·[Y (z) − 1 − 2z
]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)
{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;
{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·
[Y (z) − 1 − 2z
]
z2 ·[Y (z) − 1 − 2z
]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3
Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)
{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;
{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·
[Y (z) − 1 − 2z
]
z2 ·[Y (z) − 1 − 2z
]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3
Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z
2 − zz2 − 3z + 2 +
2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)
{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;
{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·
[Y (z) − 1 − 2z
]
z2 ·[Y (z) − 1 − 2z
]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3
Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z
2 − zz2 − 3z + 2 +
2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)
(z2−3z+2) = (z−1)(z−2)z2−z = z(z−1)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)
{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;
{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·
[Y (z) − 1 − 2z
]
z2 ·[Y (z) − 1 − 2z
]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3
Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z
2 − zz2 − 3z + 2 +
2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)
(z2−3z+2) = (z−1)(z−2)z2−z = z(z−1)
Y (z) = zz − 2 + 2z(z − 1)(z − 2)(z − 3)
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)
{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;
{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·
[Y (z) − 1 − 2z
]
z2 ·[Y (z) − 1 − 2z
]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3
Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z
2 − zz2 − 3z + 2 +
2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)
(z2−3z+2) = (z−1)(z−2)z2−z = z(z−1)
Y (z) = zz − 2 + 2z(z − 1)(z − 2)(z − 3)Partialbruchzerlegung: 2
(z − 1)(z − 2)(z − 3) =1
z − 1 − 2z − 2 + 1z − 3
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)
{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;
{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·
[Y (z) − 1 − 2z
]
z2 ·[Y (z) − 1 − 2z
]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3
Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z
2 − zz2 − 3z + 2 +
2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)
(z2−3z+2) = (z−1)(z−2)z2−z = z(z−1)
Y (z) = zz − 2 + 2z(z − 1)(z − 2)(z − 3)Partialbruchzerlegung: 2
(z − 1)(z − 2)(z − 3) =1
z − 1 − 2z − 2 + 1z − 3Y (z) = z ·
[1
z − 1 − 1z − 2 + 1z − 2]
= zz − 1 − zz − 2 + zz − 3
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
yk+2 − 3yk+1 + 2yk = 2 · 3k ; y0 = 1, y1 = 2 (wegen Startwerte Verschiebung nach links)
{3k} � � zz − 3{yk} � � Y (z) ;
{yk+1} � � z · [Y (z) − 1]{yk+2} � � z2 ·
[Y (z) − 1 − 2z
]
z2 ·[Y (z) − 1 − 2z
]− 3z · [Y (z) − 1] + 2Y (z) = 2zz − 3
Y (z) · [z2 − 3z + 2] = z2 − z + 2zz − 3Y (z) = z
2 − zz2 − 3z + 2 +
2z(z2 − 3z + 2)(z − 3)
(z2−3z+2) = (z−1)(z−2)z2−z = z(z−1)
Y (z) = zz − 2 + 2z(z − 1)(z − 2)(z − 3)Partialbruchzerlegung: 2
(z − 1)(z − 2)(z − 3) =1
z − 1 − 2z − 2 + 1z − 3Y (z) = z ·
[1
z − 1 − 1z − 2 + 1z − 2]
= zz − 1 − zz − 2 + zz − 3
Mittels Korrespondenztabelle: {yk} = {σk} − {2k} + {3k}
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 12
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yn
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸ ︷︷ ︸ = 0
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸ ︷︷ ︸yn+2 − 7yn+1 + 12yn
= 0
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸ ︷︷ ︸yn+2 − 7yn+1 + 12yn
= 0
Lineare, homogene Gleichung 1. OrdnungDifferenzengleichung: Differenzialgleichung:yn+1 − yn = λyn bzw. yn+1 = (λ + 1)yn ; y0 = 1 y ′ = λy ; y(0) = 1
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸ ︷︷ ︸yn+2 − 7yn+1 + 12yn
= 0
Lineare, homogene Gleichung 1. OrdnungDifferenzengleichung: Differenzialgleichung:yn+1 − yn = λyn bzw. yn+1 = (λ + 1)yn ; y0 = 1 y ′ = λy ; y(0) = 1
y(x) = eλx
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸ ︷︷ ︸yn+2 − 7yn+1 + 12yn
= 0
Lineare, homogene Gleichung 1. OrdnungDifferenzengleichung: Differenzialgleichung:yn+1 − yn = λyn bzw. yn+1 = (λ + 1)yn ; y0 = 1 y ′ = λy ; y(0) = 1
y(x) = eλx
y(x) =(eλ
)x
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸ ︷︷ ︸yn+2 − 7yn+1 + 12yn
= 0
Lineare, homogene Gleichung 1. OrdnungDifferenzengleichung: Differenzialgleichung:yn+1 − yn = λyn bzw. yn+1 = (λ + 1)yn ; y0 = 1 y ′ = λy ; y(0) = 1
z · [Y (z) − 1] = (λ + 1) · Y (z)y(x) = eλx
y(x) =(eλ
)x
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸ ︷︷ ︸yn+2 − 7yn+1 + 12yn
= 0
Lineare, homogene Gleichung 1. OrdnungDifferenzengleichung: Differenzialgleichung:yn+1 − yn = λyn bzw. yn+1 = (λ + 1)yn ; y0 = 1 y ′ = λy ; y(0) = 1
z · [Y (z) − 1] = (λ + 1) · Y (z)Y (z) · [z − (λ + 1)] = z y(x) = e
λx
y(x) =(eλ
)x
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸ ︷︷ ︸yn+2 − 7yn+1 + 12yn
= 0
Lineare, homogene Gleichung 1. OrdnungDifferenzengleichung: Differenzialgleichung:yn+1 − yn = λyn bzw. yn+1 = (λ + 1)yn ; y0 = 1 y ′ = λy ; y(0) = 1
z · [Y (z) − 1] = (λ + 1) · Y (z)Y (z) · [z − (λ + 1)] = z
Y (z) = zz − (λ + 1)
y(x) = eλx
y(x) =(eλ
)x
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸ ︷︷ ︸yn+2 − 7yn+1 + 12yn
= 0
Lineare, homogene Gleichung 1. OrdnungDifferenzengleichung: Differenzialgleichung:yn+1 − yn = λyn bzw. yn+1 = (λ + 1)yn ; y0 = 1 y ′ = λy ; y(0) = 1
z · [Y (z) − 1] = (λ + 1) · Y (z)Y (z) · [z − (λ + 1)] = z
Y (z) = zz − (λ + 1)
{yn} = (λ + 1)n
y(x) = eλx
y(x) =(eλ
)x
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
-
DefinitionAnwendungen
Zusammenhang Differenzial- und Differenzengleichung
y ′(x) ∼ Δyn = yn+1 − yny ′′(x) = (y ′(x))′ ∼ Δ2yn = Δyn+1 − Δyn
= [yn+2 − yn+1] − [yn+1 − yn]= yn+2 + yn − 2yn+1
y ′′−5y ′+6y = 0 � [yn+2 + yn − 2yn+1] − 5 [yn+1 − yn] + 6yn︸ ︷︷ ︸yn+2 − 7yn+1 + 12yn
= 0
Lineare, homogene Gleichung 1. OrdnungDifferenzengleichung: Differenzialgleichung:yn+1 − yn = λyn bzw. yn+1 = (λ + 1)yn ; y0 = 1 y ′ = λy ; y(0) = 1
z · [Y (z) − 1] = (λ + 1) · Y (z)Y (z) · [z − (λ + 1)] = z
Y (z) = zz − (λ + 1)
{yn} = (λ + 1)n
y(x) = eλx
y(x) =(eλ
)xeλ = 1 + λ + λ
2
2!+ . . .
Fakultät Grundlagen z-Transformation Folie: 13
DefinitionAnwendungen
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