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FHM 04 EI - Elektrische Messtechnik - Prof. Dr. Mayr
Zeitfunktionen
• Dreieck
• Puls
(Navigation durch Mausklick bzw. Cursortasten!)
• Sinus
• Rechteck
Häufige Zeitfunktionen:Allgemeine Betrachtung:
• Wechselspannung• Mischspannung
• Kenngrößen
FHM 04 EI - Elektrische Messtechnik - Prof. Dr. Mayr
Kenngrößen U
T
0
22 dtt)(uT
1t)(u U
Effektivwert oder RMS-Wert U:
zurück zu Zeitfunktionen nächste Folievorherige Folie Präsentation beenden
Der Effektivwert ist der Wert einer Gleichspannung, die an einem ohmschen Verbraucher im zeitlichen Mittel die selbe Wirkleistung hervorruft, wie die zeitabhängige Spannung u(t).Formel:
Der Name RMS-Wert kommt von Root Mean Square t)(u 2
Bedeutung:
Zeitliche Reihenfolge: 1. Quadrieren; 2. Mittelwertbildung3. Radizieren
FHM 04 EI - Elektrische Messtechnik - Prof. Dr. Mayr
Kenngrößen <|u(t)|>
T
0
dt|)t(u|T
1|)t(u|
Gleichricht(mittel)wert <|u(t)|>:
zurück zu Zeitfunktionen nächste Folievorherige Folie Präsentation beenden
Der Gleichrichtwert eines Stromes ist mit dem Ladungstransport korreliert. In der Messtechnik ist <|i(t)|> bzw. <|u(t)|> die wirksame Größe bei sinuskalibrierten Strom- und Spannungsmessgeräten.Formel:
Die Betragsstriche um u(t) berücksichtigen in mathematischer Formdie (ideale) Gleichrichtung.Zeitliche Reihenfolge: 1. Gleichrichtung;
2. Mittelwertbildung
Bedeutung:
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Kenngrößen kF
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Kurvenformfaktor kF:
|)t(u|
UkF
Bedeutung:
Bei Kenntnis des Kurvernformfaktors kF,X einer nicht sinusförmigem Messgröße kann der Effektivwert auch aus einer Messung mit sinuskalibriertem Messgerät ermittelt werden.
Formel:
AnzSinus,F
X,FX U
k
kU
Hinweis:Je „peak-förmiger“ der Zeitverlauf,desto größer wird der Kurvernformfaktor.
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Kenngrößen kC
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Spitzenfaktor oder crest factor kC:
Bedeutung:
Die Garantiefehlergrenzen gelten bei einem Messgerät zur echten Effektivwertmessung nur, wenn der Spitzenfaktor der Messgröße einen maximal zulässigen Wert nicht überschreitet.
Formel:
maxC
|u(t)|k =
U|u(t)|max = maximaler Betrag des Zeitverlaufs
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Wechselspannung
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t0
û
T
-û
u(t)
2T
Eine Wechselspannung zeichnet sich dadurch aus, dass kein linearer Mittelwert U0 (Gleichanteil) existiert.
T
0
0 0dt)t(uT
1)t(uU
t0
T
u(t)
2T+ +
- -t0
u(t)
+ +- -positive Fläche = negative Fläche
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Mischspannung U0, uW(t)
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Eine Mischspannung u(t) ist eine zeitlich veränderliche Spannung, deren linearer Mittelwert U0 (Gleichanteil) existiert.
T
0
0 0dt)t(uT
1)t(uU
-
positive Fläche > negative Fläche
+t0
T
u(t)
2T0
U0
u(t) = U0 + uW(t)
, uW(t)
bzw. uW(t) = u(t) - U0
Liegt eine Periode von u(t) in numerischer Form im Rechner mit N Abtastwerten ui vor, so kann U0 und uW numerisch bestimmt werden:
0ii,W
N
1ii0 Uuuundu
N
1U
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Mischspannung U = f(U0, UW)
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Welcher Zusammenhang besteht zwischen:U2 = <u2(t)>; U0
2 und UW2 = <uW
2(t)>
t0
T
u(t)
2T0
U0
, uW(t)
u(t) = U0 + uW(t)< u2(t) > = < (U0 + uW(t))2 >U2 = < U0
2 + 2U0uW(t) + uW2(t) >
U2 = < U02 > + < 2U0uW(t) > + < uW
2(t) >U2 = U0
2 + 0 + UW2
2W
20 UUU
Bedeutung: Sind nur zwei der drei Größen bekannt oder können gemessen werden, so kann die dritte berechnet werden.
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Effektivwert U:
t)(uU.bzwt)(u U 222
Sinus U
t0
û
T
-û
u(t)
t0
û2
T
u2(t)
mit u2(t) = û2sin2(t)
und sin2 = (1-cos(2)) wird
U2 = <u2(t)> = <û2 (1-cos(2t))>
U2 = <u2(t)> = û2/2
U2=û2/2
2
ûU
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2/T
0
W dt)tsin(û2/T
1|)t(u|
Sinus <|uW(t)|>
t0
û
T
-û
u(t)
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Gleichricht(mittel)wert < |u(t)| >:
t0
û
T
|u(t)|
T/2
mit |u(t)| = ûsin(t) in 0 t T/2
wird
0
W dx)xsin(û1
|)t(u|
0 2
<|u(t)|>
<|u(t)|> = (2/û
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Sinus kF, kC
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Kurvenformfaktor kF:
mit|)t(u|
UkF
2
û|)t(u|und2
ûU
Spitzenfaktor (crest factor) kC:
mitU
|)t(u|k max
C
2
ûUundû|)t(u| max
2kC 11,122
kF
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t)(u U 2
Rechteck U
t0
û
T
-û
u(t)
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t0
û2
T
u2(t)
mit u2(t) = û2, d.h. <u2(t)> = û2
U
wird: U = û
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Rechteck <|u(t)|>, kF, kC
t0
û
T
-û
u(t)
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<|u(t)|> = û
Kurvenformfaktor kF:
û
û
|)t(u|
UkF
kF = 1
|u(t)| |u(t)| = û = const.
Spitzenfaktor (crest factor) kC:
û
û
U
|)t(u|k max
C
kC = 1
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Effektivwert U:
t)(uU.bzwt)(u U 222
Dreieck U
t0
û
T
-û
u(t)
3
ûU
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t0
û2
T
u2(t)
mit u2(t) = Parabelabschnitte
Mittelung über 0 t T/4 (Symmetrie)222 t)
T/4
û()t(u.bzwt
T/4
û u(t)mit
.dtt)T/4
û(
T/4
1dt)t(u
T/4
1 U
4/T
0
224/T
0
22
U2=û2/3 3
û
3
)4/T(
(T/4)
ûdtt
(T/4)
û U
23
3
24/T
0
23
22
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Dreieck <|u(t)|>, kF, kC
<|u(t)|>
T/2
0
dtu(t)T/2
1
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, |u(t)|
t0
û
T
-û
u(t)
T/2
T/2
1FlächeFläche
T/2
1T/2û/2
<|u(t)|> = û/2
Kurvenformfaktor kF:
2/û
3/û
|)t(u|
UkF
155,13
2kF
Spitzenfaktor (crest factor) kC:
3/û
û
U
|)t(u|k max
C
3kF
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Dreieck verallgemeinert
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t0
û
T
-û
u(t)
Die Formeln für U, <|u(t)|>, kF und kC gelten auch für folgende Wechselspannungen:
„schiefes“ Dreieck
„schiefes“ Dreieck
Sägezahn
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Puls U0, <|u|>
Gleichanteil U0:
U0 = <u(t)> T
0
dtu(t)T
1
T
1 Rechteckfläche
T
1 T û
= û
t
u(t)
0 T
û
T
Tastgrad (0 < < 1)
U0 = <u(t)> = û
U0
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Da u(t) stets > 0 gilt: <|u|> = U0 = û
, <|u|>
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Puls U
T
0
22 dtt)(uT
1t)(u U
Effektivwert (RMS-Wert) U:
t
u(t)
0 T
û
T
Tastgrad (0 < < 1)
t
u2(t)
0 T
û2
T
U2 = < u2(t) > T
1 Rechteckfläche
T
1 T û2
= û2
U = δût)(u 2
U
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Puls UW
Effektivwert (RMS-Wert) des Wechselanteils UW:
t
u(t)
0 T
û
TTastgrad (0 < < 1)
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mitUUU 20
2W
U0
ûUundûU 0
U
wird 222W ûûU
)1(ûUW bzw.
0 0.5 1
U w( )
0.5û
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Puls <|uW(t)|>
Gleichricht(mittel)wert des Wechselanteils < |uW(t)| >
< |uW(t)| > T
0
W dt|(t)u|T
1
T
1 Tû(1-) + T(1-)·û
u(t)Tastgrad (0 < < 1)
t0 T
û
T
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U0 = û· uW(t) = u(t) - U0
(Fläche 1 + Fläche 2) T
1
Fläche 2Flä
che
1
< |uW(t)| > = 2 û (1 - )
t0 T
û(1-)
T
uW(t)
-û
û
, |uW(t)|
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Puls kF (Mischspannung)
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Kurvenformfaktor der Mischspannung kF:
F
Uk = mit
<|u(t)|>
U = û δ
0und <|u(t)|> = U δ û
F
1k =
δ
t
u(t)
0 T
û
T
Tastgrad (0 < < 1)
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Puls kF (Wechselanteil)
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t0 T
û(1-)
T
uW(t)
-û
Kurvenformfaktor des Wechselanteils kF:
mit|)t(u|
Uk
W
WF
)1(ûUW
)1(2û|)t(u|und W
)1(2
1kF
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Puls kC (Mischspannung)
Spitzenfaktor (crest-factor) der Mischspannung kC:
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maxC
|u(t)|k = mit
U
und U = û δ
max|u(t)| = û
C
1wird k =
t
u(t)
0 T
û
T
Tastgrad (0 < < 1)
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Puls kC
Spitzenfaktor (crest-factor) des Wechselanteils kC:
zurück zu Zeitfunktionen nächste Folievorherige Folie Präsentation beenden
t0 T
û(1-)
T
uW(t)
-û
mitU
|)t(u|k
W
maxwC
)1(ûUund W
))1(û;û(Max|)t(u| maxW
)1
;1
(Maxkwird C