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FORMALE METHODEN SKRIPT ZUR VORLESUNG LOGIK FÜR LINGUISTEN Johannes Dölling

Institut für Linguistik Universität Leipzig 2010

Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig.

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Literaturhinweise

Symbolverzeichnis

1 Einführung 1.1 Logik und Linguistik 1.2 Schlüsse, gültige Schlüsse, Schlussschemata 1.3 Logische Folgerung und logische Konstanten

2 Aussagenlogik (AL) 2.1 Wahrheitsfunktionale Konnektoren 2.2 Syntax von AL 2.3 Semantik von AL 2.4 Entscheidungsverfahren für AL 2.5 Definierbarkeit von Konnektoren 2.6 Natürliches Schließen in AL

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) � Teil I 3.1 Die Grenzen von AL 3.2 Prädikate und Individuenterme 3.3 Quantoren 3.4 Syntax von PL1 3.5 Semantische Repräsentation mit PL1 3.6 Natürliches Schließen in PL1

4 Elementare Mengentheorie 4.1 Mengen 4.2 Operationen mit Mengen 4.3 Relationen 4.4 Funktionen

5 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) � Teil II 5.1 Semantik von PL1 5.2 Logische Gültigkeit, Folgerung, Äquivalenz

Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 3

Vorwort Was haben Logik und natürliche Sprachen miteinander zu tun? Wodurch unterscheiden sich natürliche und formale Sprachen? Wozu braucht man in der Sprachwissenschaft formale Methoden? Diese und ähnliche Fragen sollen beantwortet werden, indem in für die Linguistik wichtige Bereiche der mathematischen Logik und Mengentheorie eingeführt wird. Gegenstand des vorliegenden Skripts sind die Aussagenlogik, deren Erweiterung zur Prädikatenlogik der 1. Stufe sowie die elementare Mengentheorie. Vorrangig wird das Ziel verfolgt, methodische Voraussetzungen für eine systematische Beschäftigung mit formaler Semantik und Syntax der natürlichen Sprache zu schaffen. Das Skript liefert die grundlegenden Begriffe und Prinzipien der behandelten Wissenschaftsgebiete und demonstriert diese anhand von natürlichsprachlichen Beispielen. Zu jedem Abschnitt gibt es Aufgabenstellungen, die dabei helfen sollen, die logischen und mengentheoretischen Verfahren einzuüben. In den Tutorien zur Vorlesung werden die Ausarbeitungen zu den (Pflicht-)Übungen verglichen und diskutiert. Für die Zusatzaufgaben werden die Lösungen zur Selbstkontrolle zur Verfügung gestellt. Am Anfang jedes Abschnitts wird angegeben, wo man zur jeweiligen Problematik ausführlicher nachlesen sollte. Zusätzliche Literaturhinweise bieten eine Auswahl von Darstellungen, die sich ebenfalls für ein weiterführendes Studium eignen.

Johannes Dölling Leipzig, im Oktober 2010


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Literaturhinweise

Basisliteratur [Chierchia] Chierchia, Gennaro & McConnell-Ginet, Sally (20002): Meaning and Grammar. An

Intro-duction to Semantics. Cambridge, London: MIT Press. [Dowty] Dowty, David R., Wall, Robert E. & Peters, Stanley (19896): Introduction to Montague

Semantics. Dordrecht, Boston: Reidel. [Gamut] Gamut, L.T.F. (1991): Logic, Language, and Meaning, Vol. I: Introduction to Logic. Chicago,

London: The University of Chicago Press. [McCawley] McCawley, James D. (19932): Everything that Linguists have Always Wanted to Know about

Logic* (*but were ashamed to ask). Chicago, London: The University of Chicago Press. [Partee] Partee, Barbara, ter Meulen, Alice & Wall, Robert E. (19932): Mathematical Methods in

Linguistics. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers.

Zusatzliteratur Allwood, Jens, Andersson, Lars-Gunnar & Dahl, Östen (19919): Logic in Linguistics. Cambridge,

New York: Cambridge University Press. Beckermann, Ansgar (20032): Einführung in die Logik. Berlin: de Gruyter. Copi, Irving (1998): Einführung in die Logik. München: Fink. Deiser, Oliver (20042): Einführung in die Mengenlehre. Berlin, Heidelberg [u.a.]: Springer. Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2003): Einführung in die Mengenlehre. Heidelberg [u.a.]: Spektrum. Ebbinghaus, Heinz-Dieter, Flum, Jörg & Thomas, Wolfgang (19984): Einführung in die

mathematische Logik . Heidelberg [u.a.]: Spektrum. Friedrichsdorf, Ulf (1992): Einführung in die klassische und intensionale Logik. Braunschweig,

Wiesbaden: Vieweg. Gamut, L.T.F. (1991): Logic, Language, and Meaning, Vol. II: Intensional Logic and Logical Grammar.

Chicago, London: The University of Chicago Press. Halmos, Paul R. (19945): Naive Mengenlehre. Göttingen: Vandenhoek & Ruprecht. von Kutschera, Franz & Breitkopf, Alfred (20007): Einführung in die moderne Logik. Freiburg: Karl

Alber. Link, Godehard (1990): Formale Methoden in der Semantik. In: von Stechow, A. &

Wunderlich, D. (Hrsg.): Semantik. Ein internationales Handbuch der zeitgenössischen Forschung. Berlin: de Gruyter, 835-860.

Lohnstein, Horst (1996): Formale Semantik und natürliche Sprache. Opladen: Westdeutscher Verlag. Menne, Albert (20015): Einführung in die Logik. Tübingen: Francke. Strobach, Niko (2005): Einführung in die Logik. Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. Tuschik, Hans-Peter & Wolter, Helmut (20022): Mathematische Logik – kurzgefasst. Heidelberg,

Berlin: Spektrum. Van Orman Quine, Willard (19907): Grundzüge der Logik. Frankfurt am Main: Suhrkamp. Wessel, Horst (1998): Logik. Berlin: Logos Verlag.


Symbolverzeichnis

Logische Symbole ¬ Negation („nicht“) 2.1 � Konjunktion („und“) 2.1 � Disjunktion (einschließendes „oder“) 2.1 l Materiale Implikation („wenn..., dann“) 2.1 j Materiale Äquivalenz („genau dann, wenn“) 2.1 � Allquantor („für jedes“) 3.3 � Existenzquantor („für mindestens ein“) 3.3

Metasprachliche Symbole def= Definitonsgleichheit („ist definitionsgleich mit“) 2.5 / Schluss („also“; „deshalb“) 2.6 B (º ) Logische Folgerung

(logische/formale Implikation) („aus ... folgt logisch“) 2.3

B Logische Wahrheit (Tautologie) („ist logisch wahr“) 2.3 x (� ) Logische Äquivalenz (formale Äquivalenz) („ist logisch äquivalent mit“) 2.3 A Logische Ableitbarkeit („aus ... ist logisch ableitbar“) 2.6 A Beweisbarkeit („ist beweisbar“) 2.6 [ / ]G U H Substitution von U für H in G 3.4 V Bewertungsfunktion 2.3 D Diskursdomäne 5.1 I Interpretationsfunktion 5.1 M Modell 5.1 g Belegungsfunktion 5.1 a b ,M gB Semantischer Wert von B bezüglich M

und g 5.1

Mengentheoretische Symbole � Elementbeziehung („ist Element von“) 4.1 � Teilmengenbeziehung („ist Teilmenge von“) 4.1 � echte Teilmengenbeziehung („ist echte Teilmenge von“) 4.1 � leere Menge 4.1 A Kardinalität einer Menge A 4.1 ( )A( Potenzmenge einer Menge A 4.2 � Mengenvereinigung 4.2 � Mengendurchschnitt 4.2 \ Mengendifferenz 4.2 'A Komplement einer Menge A 4.2 × Kartesisches Produkt 4.3

1.1 Logik und Linguistik


1 Einführung

1.1 Logik und Linguistik [ Gamut 9-27, Partee 93-95, Chierchia 17-52 ] Natürliche Sprachen sind durch Ambiguitäten und Vagheiten beim Ausdruck von Denkinhalten charakterisiert. In der mathematischen, formalen Logik werden formale Sprachen, d.h. spezielle Kunstsprachen nach dem Vorbild der Mathematik entwickelt, mit denen sich begriffliche Inhalte direkt, eindeutig und präzise ausdrücken lassen. Begründer der mathematischen Logik ist Gottlob Frege (1848-1925); seine ‚Begriffsschrift’ (1879) gilt als Vorbild für Logiksprachen. Die Idee einer formalen Begriffssprache geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) zurück. Verwendung von Methoden der formalen Logik in der Linguistik

(1) in genereller Hinsicht: Die Linguistik legt � wie jede theoretische Wissenschaft � ihren Untersuchungen die Prinzipien der logischen Methodologie zugrunde, insofern sie nach Möglichkeit

x präzise Begriffe benutzt, x klare Aussagen formuliert, x ihre Ergebnisse generalisiert und x ihre Behauptungen deduktiv systematisiert.

(2) in spezieller Hinsicht: Noam Chomsky (Syntactic Structures, 1957):

x Natürliche Sprachen können mit formalen Sprachen beschrieben werden. º Begründung der formalen Syntax der natürlichen Sprache

Richard Montague (English as a Formal Language, 1970):

x Natürliche Sprachen können als interpretierte formale Sprachen beschrieben werden. º Begründung der formalen Semantik der natürlichen Sprache,

d.h. jener Wissenschaft, in der die Bedeutung natürlichsprachlicher Ausdrücke mit Mitteln der mathematischen Logik und Mengentheorie analysiert wird.

Wesentlichen Anteil an der Entwicklung der formalen Semantik haben u.a.

- die Logiker und Philosophen David Lewis, Max Cresswell, Terence Parsons und Hans Kamp - die Linguisten Barbara Partee, Emmon Bach, David Dowty und Robin Cooper.

Die Basis der formalen Semantik wird von der elementaren Logik und der elementaren Mengentheorie gebildet.

1 Einführung


Eine grundlegende Aufgabe der formalen Semantik ist die Klärung von semantischen Relationen, d.h. Bedeutungsbeziehungen zwischen natürlichsprachlichen Sätzen. Relation der semantischen Implikation (des semantischen Enthaltens, ‚Entailment’, Bedeutungseinschlusses) Ein Satz A impliziert semantisch (enthält semantisch, schließt der Bedeutung nach) einen Satz B (ein) genau dann, wenn die von B übermittelte Information in der von A übermittelten Information enthalten ist (bzw. jede Situation, die mit A beschreibbar ist, auch mit B beschrieben werden kann). ? Welche Sätze werden von den folgenden Sätzen semantisch impliziert?

(1) Felix ist ein gelber Papagei. �

Felix ist gelb. Felix ist ein Papagei. Felix ist gelb und ein Papagei. Felix ist ein Papagei und gelb.

(2) Felix ist gelb und ein Papagei.

(3) Paul ist eine große Maus.

(4) Jumbo ist groß und ein Elefant.

(5) Paul ist kleiner als Jumbo.

(6) Max ist so klein wie Moritz.

(7) Max ist so groß wie Moritz.

(8) Fritz sang laut und schön.

(9) Anna legte sich hin und schlief ein.

(10) Susi aß und trank viel.

(11) Hans küsste Maria leidenschaftlich.

(12) Hans und Maria heirateten einander.

(13) Hans weiß, dass Maria schwanger ist.

(14) Hans glaubt, dass Maria schwanger ist.

1.2 Schlüsse, gültige Schlüsse, Schlussschemata


Relation der semantischen Äquivalenz (Synonymie, Bedeutungsgleichheit) Zwei Sätze A und B sind semantisch äquivalent (synonym, bedeutungsgleich) genau dann, wennA semantisch B impliziert und B semantisch A impliziert. ? Sind folgende Sätze jeweils semantisch äquivalent?

(1) (a) Felix ist gelb und ein Papagei.

(b) Felix ist ein gelber Papagei.

(2) (a) Hans küsste Maria leidenschaftlich. (b) Maria wurde von Hans leidenschaftlich geküsst.

(3) (a) Paris ist die Hauptstadt von Frankreich.

(b) Die Hauptstadt von Frankreich ist Paris. (c) Frankreichs Hauptstadt ist Paris. (d) Frankreich hat eine Hauptstadt, die Paris heißt.

(4) (a) MARIA hat den Kuchen gebacken.

(b) Maria hat den KUCHEN gebacken. (c) Maria hat den Kuchen GEBACKEN.

Die Relation der semantischen Implikation erlaubt es, von gegebenen Sätzen auf andere Sätze zu schließen.

1.2 Schlüsse, gültige Schlüsse, Schlussschemata [ Gamut 1-4, Partee 95-97, McCawley 1-13 ] Die Logik ist die Wissenschaft vom richtigen Schließen (oder allgemeiner, von den richtigen Formen des Denkens). Begründer der Logik ist Aristoteles (384-322), dessen Syllogistik die erste systematische Bestimmung von logisch gültigen Schlüssen ist. Wann ist ein Schluss gültig? Wenn die Prämisse(n) des Schlusses wahr ist/sind, dann ist auch notwendigerweise seine Konklusion wahr. Es ist ausgeschlossen, dass die Prämisse(n) des Schlusses wahr ist/sind, die Konklusion aber falsch ist. Beispiele für gültige Schlüsse:

Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch.

(Prämisse) (Prämisse)

Sokrates ist sterblich. (Konklusion)

1 Einführung


Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.Es regnet. Die Straße wird nass.

Hans geht zur Party oder er geht ins Kino.Hans geht nicht zur Party. Hans geht ins Kino.

Alle Dackel sind Hunde. Alle Hunde sind gefährlich. Alle Dackel sind gefährlich.

Beispiele für Schlüsse, die nicht gültig sind:

Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.Es regnet nicht. Die Straße wird nicht nass.

Alle Katzen sind Säugetiere. Alle Hunde sind Säugetiere. Alle Katzen sind Hunde.

Nicht alle gültigen Schlüsse sind formal (oder logisch) gültig. Wann ist ein Schluss formal gültig?

x Die Gültigkeit des Schlusses besteht unabhängig vom konkreten Inhalt der Sätze. x Die Gültigkeit des Schlusses ist nur abhängig von der logischen Form der Sätze.

Wenn vom konkreten Inhalt eines Satzes abstrahiert wird, erhält man die logische Form des Satzes. Wenn vom konkreten Inhalt aller in einem Schluss vorkommenden Sätze abstrahiert wird, erhält man ein Schlussschema, d.h. das dem Schluss zugrunde liegende Schema. Was ist ein gültiges Schlussschema? Jeder Schluss nach einem gültigen Schlussschema ist formal gültig. Beispiele:

Wenn G , dann Z G

G oder Z Nicht G

Z Z

Die Logik untersucht, welche Schlussschemata gültig sind. Sie stellt logische Schlussregeln (Regeln des logischen Schließens, Deduktionsregeln) zur Verfügung.

1.3 Logische Folgerung und logische Konstanten


1.3 Logische Folgerung und logische Konstanten [ Gamut 4-9, 25-27 ] Was ist eine logische Folgerung? Die Konklusion eines formal gültigen Schlusses ist eine logische Folgerung seiner Prämisse(n). Die Logik untersucht die Eigenschaften der logischen Folgerungsrelation zwischen Sätzen. Die Relation der logischen Folgerung (logischen Implikation, logischen Konsequenz, logischen Inferenz) zwischen Sätzen wird mit Hilfe der grundlegenderen Eigenschaft der Wahrheit definiert. D1.1 Aus G folgt logisch Z genau dann, wenn (gdw) gilt: Immer wenn G wahr, ist auch Z wahr. Wahrheitsbedingungen und logische Konstanten Die Logik untersucht die Wahrheitsbedingungen von Sätzen, d.h. die Bedingungen, unter denen sie wahr sind. Die Wahrheitsbedingungen von logisch komplexen Sätzen werden durch Eigenschaften der in ihnen vorkommenden Ausdrücke nicht, und, oder, alle usw. determiniert. Solche Ausdrücke nennt man logische Konstanten oder Operatoren. Die Logik untersucht deren Eigenschaften. Man unterscheidet zwei Arten von logischen Konstanten, die entsprechend in zwei Bereichen der elementaren Logik untersucht werden:

x Konnektoren (oder Junktoren) z.B. nicht, und, oder, entweder-oder, weder-noch, wenn-dann

º Aussagenlogik

x Quantoren z.B. jeder, einige

º Prädikatenlogik der 1. Stufe Zu den Erweiterungen der elementaren Logik gehören die

x Prädikatenlogik höherer Stufe x Typenlogik (einschließlich M -Operator) x Modallogik (möglicherweise, notwendigerweise) x Temporallogik (es war der Fall, dass; es wird der Fall sein, dass) x Epistemische Logik (wissen, dass; glauben, dass)

x Deontische Logik (es ist erlaubt, dass; es ist verboten, dass)

x Intensionale Logik (Intension vs. Extension)

Übungen


Übungen Ü1.1 Welche Schlüsse sind gültig? Welche sind es nicht? (4 P.)

Jeder Teil des Spielzeugs ist weiß/quadratisch.(1) Das ganze Spielzeug ist weiß/quadratisch.

Gott ist ein Substantiv. Alle Gläubigen beten Gott an.

(2)

Alle Gläubigen beten ein Substantiv an.

Ich habe einen Kühlschrank in der Küche. Die Küche ist in meinem Wohnwagen.

(3)

Ich habe einen Kühlschrank in meinem Wohnwagen.

Eine Hammelkeule ist besser als nichts. Nichts ist besser als der himmlische Frieden.

(4)

Eine Hammelkeule ist besser als der himmlische Frieden.

Ü1.2 Gib für die folgenden Schlüsse die zugrunde liegenden Schlussschemata an. Welche der

Schlussschemata sind gültig? (4 P.)

Die Sonne scheint, obwohl es regnet.(1) Es regnet und die Sonne scheint.

Wenn Fritz Germanistik studiert, dann beschäftigt er sich auch mit Logik. Fritz beschäftigt sich nicht mit Logik.

(2)

Fritz studiert nicht Germanistik.

Wenn Anna Geburtstag hat, bekommt sie ein neues Kleid. Anna bekommt ein neues Kleid.

(3)

Anna hat Geburtstag.

Wenn Michael nach Tübingen fährt, dann besucht er Anke. Wenn er Anke besucht, dann diskutieren beide über Grammatik. Wenn beide über Grammatik diskutieren, dann gibt es Streit.

(4)

Wenn Michael nach Tübingen fährt, dann gibt es Streit.

Übungen


Zusatzübungen: Ü1.3 Der Schluss

Der Dozent ist krank. Morgen fällt die Vorlesung aus.

wird auf verschiedene Weisen beurteilt:

(a) Wie kann man das sagen? Es kann doch genauso gut eine Vertretung geben. (b) Der Dozent ist gar nicht krank. (c) Die Vorlesung kann nicht ausfallen, weil nächste Woche Prüfungen sind! (d) Ob krank oder nicht spielt keine Rolle, weil morgen ein Feiertag ist und die

Vorlesung daher eh nicht stattfinden würde.

Welche Beurteilung nimmt jeweils Stellung - zur Prämisse, - zur Konklusion, - zur Relevanz der Prämisse bzw. zum Gewicht der Prämisse für die Konklusion?

Welche der Beurteilungen sind inhaltlich, welche formal?

Ü1.4 Gib jeweils ein Beispiel an für einen

- gültigen Schluss mit falschen Prämissen und falscher Konklusion, - gültigen Schluss mit falschen Prämissen und wahrer Konklusion, - ungültigen Schluss mit wahren Prämissen und wahrer Konklusion.

2 Aussagenlogik (AL)



2.1 Wahrheitsfunktionale Konnektoren [ Gamut 28-35, Partee 101-106 ] Nur Aussagesätze, d.h. Deklarativ-, nicht aber Frage- oder Aufforderungssätze bringen das Zutreffen einer Aussage (oder Proposition) zum Ausdruck. Im Weiteren werden deshalb unter Sätzen immer Aussagesätze verstanden. Aussagen (und damit indirekt auch Aussagesätze) können wahr oder falsch sein. Wahr und falsch sind Wahrheitswerte von Aussagen. Die Aussagenlogik befasst sich mit Aussagen, die aus anderen Aussagen mit Hilfe von Konnektoren aufgebaut sind. Bezeichnung Natürlichsprachlicher Ausdruck Symbol

1-stelliger Konnektor (aussagenbildender Funktor der Kategorie /S S ):

Negation nicht ¬ (_ )

2-stellige Konnektoren (aussagenbildende Funktoren der Kategorie /S SS bzw. ( / )/S S S ):

Konjunktion und � (& ) Disjunktion (Alternative) oder � Materiale Implikation (Konditional) wenn ..., dann l (� ) Mteriale Äquivalenz (Bikonditional) genau dann, wenn j (w )

Die Konnektoren von AL sind wahrheitsfunktional definiert: Der Wahrheitswert von Aussagen, die mit Hilfe von wahrheitsfunktionalen Konnektoren gebildet werden, ist nur abhängig von den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen. Die Aussagenlogik untersucht die Wahrheitsbedingungen von Aussagen mit wahrheitsfunktionalen Konnektoren und damit die Eigenschaften von solchen Konnektoren. Für die klassische Ausssagenlogik gilt das Bivalenzprinzip (oder Polaritätsprinzip): Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch, d.h.

x keine Aussage kann zugleich wahr und falsch sein (Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch) und

x keine Aussage kann etwas anderes als wahr oder falsch sein (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten, lat. tertium non datur).

Die klassische Logik ist eine zweiwertige Logik.

2.1 Wahrheitsfunktionale Konnektoren


Eigenschaften von wahrheitsfunktionalen Konnektoren Konjunktion („und“) Eine Konjunktion G Z� ist wahr gdw die Konjunkte G und Z wahr sind. Wahrheitstafel:

G Z G Z�

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

Beispiele: Hans ist fleißig und Maria ist klug. Hans ist fleißig und klug. Hans und Maria sind klug. Hans ist fleißig, aber Maria ist klug. Hans ist fleißig, obwohl er klug ist.

? Welche Differenzen gibt es zwischen der logischen Konjunktion und dem natürlich-

sprachlichen Ausdruck und ? Disjunktion (einschließendes „oder“) Eine Disjunktion G Z� ist wahr gdw mindestens eines der beiden Disjunkte G oder Z wahr ist. Wahrheitstafel:

G Z G Z�

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

Beispiele: Hans ist klug oder Maria ist klug. Hans ist klug oder fleißig.

Kontravalenz (ausschließendes „oder“, d.h. „entweder-oder“) Eine Kontravalenz :G Z ist wahr gdw G oder Z wahr ist, aber nicht beide. Wahrheitstafel:

G Z :G Z

1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 1 0

Beispiele: Hans ist klug oder Hans ist dumm. Hans ist klug oder dumm.



Materiale Implikation („wenn-dann“) Eine materiale Implikation G Zl ist wahr gdw das Antezedens G falsch oder das Konsequens Z wahr ist. Wahrheitstafel:

G Z G Zl

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 1 1

Beispiel: Wenn Hans Maria küsst, dann ist Susi eifersüchtig. ? Welche Differenzen gibt es zwischen der materialen Implikation und dem natürlich-

sprachlichen Ausdruck wenn ..., dann?

Eine zulässige materiale Implikation ist z.B. 2 2 5+ = lDer Mond ist ein Käse. Diese Aussage ist sogar wahr. Dagegen ist Wenn 2 2 5+ = , dann ist der Mond ein Käse kein wahrer natürlichsprachlicher Satz. Im Gegensatz zur materialen Implikation drückt wenn ..., dann einen inhaltlichen Zusammenhang aus. Es gilt: Wenn der natürlichsprachliche Satz Wenn G , dann Z wahr ist, dann ist auch die materiale Implikation G Zl wahr, aber nicht umgekehrt.

Andere Entsprechungen zu G Zl sind

x Z dann, wenn G x Z , falls G x Z vorausgesetzt, dass G x G nur dann, wenn Z x Z ist eine notwendige Bedingung für G x G ist eine hinreichende Bedingung für Z

Beispiele: Wenn Hans die Prüfungen besteht, dann war er fleißig. Hans war dann fleißig, wenn er die Prüfungen besteht. Hans war fleißig, falls er die Prüfungen besteht. Hans besteht die Prüfungen nur dann, wenn er fleißig war.

‚Dass Hans fleißig war, ist eine notwendige Bedingung dafür, dass Hans die Prüfungen besteht.’ ‚Dass Hans die Prüfungen besteht, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass Hans fleißig war.’ ‚Es ist ausgeschlossen, dass Hans die Prüfungen besteht, ohne dass er fleißig war.’

2.1 Wahrheitsfunktionale Konnektoren


Materiale Äquivalenz („genau dann, wenn“) Eine materiale Äquivalenz G Zj ist wahr gdw G und Z denselben Wahrheitswert haben. Wahrheitstafel:

G Z G Zj

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

Beispiele: Hans besteht die Prüfungen genau dann, wenn er fleißig war. Hans besteht die Prüfungen dann und nur dann, wenn er fleißig war.

? Warum hat ( ) ( )G Z Z Gl � l immer denselben Wahrheitswert wie G Zj ? Negation („nicht“, „es ist nicht der Fall, dass“) Eine Negation G¬ ist wahr gdw G falsch ist. Wahrheitstafel:

G G¬ 1 0

0 1

Beispiele: Hans liebt Maria nicht. Es ist nicht der Fall, dass Hans Maria liebt.



2.2 Syntax von AL [ Gamut 35-41, Partee 99-100 ]

Vokabular von AL Aussagenvariablen (AV):

1, , , ,...p q r p (Leerstellen für einfache Aussagen)

Konnektoren: , , , ,¬ � � l j

Technische Hilfszeichen: (,) AV sind nicht-logische, Konnektoren sind logische Grundausdrücke von AL. Beliebige endliche Folgen von Grundausdrücken (z.B. , ,p q r p rq� ¬j ) sind Ausdrücke von AL. Wohlgeformte Ausdrücke von AL sind Formeln von AL.

Syntaktische Regeln von AL D2.1 Formeln von AL

(1) AV sind Formeln. (2) Wenn G eine Formel ist, dann ist G¬ eine Formel. (3) Wenn G und Z Formeln sind, dann sind ( ),( ),( )G Z G Z G Z� � l und ( )G Zj

Formeln. Formeln nach (1) sind atomare Formeln, Formeln nach (2) und (3) sind komplexe Formeln von AL. Beispiele: q ,

1( )p rj , ( )p p� ¬ , (( ) ( ))p q q p¬ l � l

? Sind die folgenden Ausdrücke Formeln von AL?

(( ) )p p q� ¬ l , ( )p q¬� , p¬¬ , p ql

? Übersetze folgende Sätze in Formeln von AL.

(1) Es regnet. (2) Wenn es regnet, dann schneit es nicht. (3) Hans und Maria sind glücklich.

Bei der Benutzung von formalen Sprachen wird eine strikte Unterscheidung von Objekt- und Metasprache vorgenommen. Die Sprache, mit der man über die Sprache redet, heißt Metasprache; die Sprache, über die man redet, heißt Objektsprache.

2.2 Syntax von AL


Objektsprache Metasprache

Verwendung: Paris , , ,...p q r (( ) ),...p q r� l

Erwähnung:„Paris“ „p “, „q “, „r ”,... „(( ) )p q r� l “,... Metavariablen für Formeln: , , ,...G Z D Beispiel: Instanzen von (( ) )G Z G� l sind (( ) )p q p� l , (( ( )) )p p q p� l l und ((( ) ( )) ( ))p r p q p r� � l l � .

Um Formeln zu vereinfachen, werden die folgenden Konventionen zur Klammereinsparung angewandt:

(1) Außenklammern können weggelassen werden. (2) Die Bindungsstärke der Konnektoren nimmt in folgender Reihenfolge ab:

, , , ,¬ � � l j . ? Welche Klammern können in folgenden Formeln eingespart werden?

( )p q¬ � , (( ) )p q r� � , ( ( ))p q r� � , ((( ) ) )p p q r� ¬ l �

? Welche Klammern können in folgenden Formeln gesetzt werden?

p q¬ � , p q pl � , p q p q� j � , 1 2 1p q p r p¬ � � l j

Eine Alternative zur Standardnotation von Formeln ist die klammerfreie Polnische Notation (Jan � ukasiewicz, 1878-1956).

Standardnotation Polnische Notation

p¬ Np p q� Kpq p q� Apq p ql Cpq p qj Epq

? Übertrage ( ( ))q p q¬ l � in Polnische Notation.

Übungen


Übungen Ü2.1 Sind folgende Ausdrücke Formeln von AL? (6 P.)

(1) p (2) q¬ (3) p q� (4) ( )p p¬ l ¬ (5) ((( ) ) )r p p rj � ¬ (6) ((( ) ) (( ) ))r r q p p q� ¬ � j � ¬ � Zusatz: (7) ( )p q r� � (8) (( ) )p q¬ l

(9) (( ) ( ( ))))p q r q p� � l � (10) (( ( )) ((( ) )) )p q r p q r p� � j ¬ � � l (11) ( ( )) ( )p p q p q¬ � � l � ¬

Ü2.2 Beseitige so viele Klammern wie nach den Konventionen zur Klammereinsparung

zulässig ist. (3 P.)

(1) ( ( ) ( ))p q q p¬ � � � (2) ( (( ) ))p q p r� l � (3) ( (( ) ))p q r sl ¬ � � Zusatz: (4) (( ( )) (( ) ))p q r p q r� ¬ � j � � (5) (( ) ( ))p q p r¬ � l � (6) (( ( )) ( ( )))p q r p q rl � l � � ¬ (7) ( ( ))p p ql ¬ l

Ü2.3 Mache in den folgenden Formeln die Klammereinsparungen rückgängig. (3 P.)

(1) p q r� � (2) p q q r¬ � l � (3) p q r s pj � ¬ � l Zusatz: (4) p q r p q rl � j � � ¬ (5) p q p q� � ¬ � ¬ (6) p q r r q p� � l � � (7) p p q¬ � ¬¬ l

Übungen


Ü2.4 Übersetze mithilfe wahrheitsfunktionaler Konnektoren. (6 P.)

(1) p , oder q und p . (2) Nicht p , sondern q . (3) Weder p noch q . (4) q , falls p . (5) q nur, falls p . (6) p ist notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für q . Zusatz: (7) q nur dann, wenn nicht p . (8) Nicht r , vorausgesetzt, dass falls p , so q . (9) p , statt dass q , falls r , ohne dass s .

Ü2.5 Symbolisiere folgende Sätze in AL. (5 P.)

(1) 20 Jahre lang hat Fred Fords gefahren, aber jetzt fährt er einen Mercedes. (2) Man kann Klara gebildet nennen, falls sie tschuwaschich lesen kann. (3) Entweder ist die Linguistik eine Wissenschaft oder eine Ansammlung von

empirischen Daten. (4) Maria geht nur dann mit Hans aus, wenn er seinen Bart abrasiert und aufhört zu

trinken. (5) Die Aktien steigen dann und nur dann, wenn das allgemeine Vertrauen in die

Wirtschaft wächst. Zusatz: (6) Wenn ich glücklich bin, bin ich nicht unglücklich. (7) Wenn es regnet, während die Sonne scheint, wird es einen Regenbogen geben. (8) Wenn Hans seinen Hund sieht, ruft er ihn und gibt ihm, falls er kommt, einen

Knochen. (9) Vorausgesetzt, dass ich das Spiel verloren habe, wenn ich keinen Zug mehr

machen kann, dann habe ich das Spiel verloren. Zusatzübungen: Ü2.6 (a) Übertrage in Polnische Notation.

(i) ( )p p q q¬ � ¬ l l (ii)

1(( ) ( )) ( )p q q r p q� � � � �

(b) Übertrage in Standardnotation.

(i) ApCKNpNqKpEqr (ii)

1AEAKKKpqrp pqr

Übungen


Ü2.7 Welche der folgenden Formeln sagt das gleiche aus wie r p p q� ¬ �¬ l ?

(1) ( ( ))r p p q� ¬ � ¬ l (2) ( ( ))r p p q� ¬ � ¬ l (3) ( (( ) ))r p p q� ¬ � ¬ l (4) ( ) ( )r p p q� ¬ �¬ l

Ü2.8 Welche der folgenden Formeln sind atomare Formeln, Negationen, Disjunktionen,

Konjunktionen, materiale Implikationen, materiale Äquivalenzen?

(1) p q¬ � (2) p (3) p p¬¬ j (4) p q p q� � � ¬ (5) p q ql � ¬ (6) ( )p q ql � ¬ (7) p¬¬ (8) ( )p q p r� � �

Ü2.9 Was sind jeweils adäquate Negationen der folgenden Sätze?

(1) Dozenten sind zu Studenten freundlich.

(a) Nicht Dozenten sind zu Studenten freundlich. (b) Dozenten sind zu Studenten nicht freundlich. (c) Dozenten sind nicht zu Studenten freundlich. (d) Dozenten sind zu Studenten unfreundlich.

(2) Peter ist im Kino oder in der Kneipe.

(a) Peter ist nicht im Kino oder nicht in der Kneipe. (b) Peter ist weder im Kino noch in der Kneipe. (c) Peter ist nicht sowohl im Kino als auch in der Kneipe.

Ü2.10 Übersetze mit p für Peter kommt und q für Quintus kommt.

(1) Peter und Quintus kommen. (2) Peter kommt nicht, aber Quintus kommt. (3) Wenn Peter kommt, dann kommt auch Quintus. (4) Peter kommt oder er kommt nicht. (5) Peter kommt ohne Quintus. (6) Peter kommt, obwohl Quintus kommt. (7) Peter und Quintus kommen beide nicht. (8) Peter und Quintus kommen nicht beide. (9) Peter kommt mit Quintus oder beide kommen nicht. (10) Peter kommt nur, wenn Quintus nicht kommt.

Übungen


Ü2.11 Ist der Satz Wenn Hans ein Auto fährt und es ein Sportwagen ist, dann ist es ein Jaguar identisch mit (a) oder (b)?

(a) ( )h s jl l (b) ( )h s jl l



2.3 Semantik von AL [ Gamut 41-58, Partee 107-114 ] Ein und derselbe Satz kann in Bezug auf unterschiedliche Situationen

1s und

2s

unterschiedliche Wahrheitswerte haben. Beispiel:

Es regnet. Es regnet nicht.

1s : 0 1

2s : 1 0

Es gibt Sätze, die in Bezug auf unterschiedliche Situationen immer wahr bzw. immer falsch sind. Beispiele:

Es regnet und es regnet nicht.

1s : 0 0 1

2s : 1 0 0

Es ist nicht der Fall, dass es regnet und nicht regnet.

1s : 1 0 0 1

2s : 1 1 0 0

Die Wahrheitswerte der zusammengesetzten Sätze hängen auf eine bestimmte Weise von den Wahrheitswerten ihrer Teilsätze ab. Gesucht wird ein Algorithmus, d.h. eine genau definierte Handlungsvorschrift, mit der sich für eine beliebige Situation errechnen lässt, welchen Wahrheitswert logisch komplexe Sätze ausgehend von den Wahrheitswerten der in ihnen vorkommenden atomaren Sätze in Bezug auf diese Situation haben.

Wahrheitsbedingungen von AL-Formeln Die Wahrheitsbedingungen einer Formel von AL werden durch die Angabe aller möglichen AL-Bewertungen dieser Formel bestimmt. Eine AL-Bewertung ist eine Funktion, die auf der Menge der Formeln definiert ist und jedem Element dieser Menge genau einen Wahrheitswert zuordnet. Eine Funktion ist eine Zuordnung von Elementen einer Menge B (Funktionswerte) zu den Elementen einer Menge A (Argumente), so dass jedem Element von A genau ein Element von B zugeordnet wird. Es handelt sich damit um eine eindeutige Abbildung von A nach B .

2.3 Semantik von AL


Beispiel für eine Funktion von A (eine Menge von Personen) nach B (eine Menge von Namen):

A B

Beispiele für Abbildungen, die keine Funktionen sind:

A B

A B

AL-Bewertung V :

1 2 3{ , , ,...}A G G G= {0,1}B =

1G º 1

2G º 0

3G º 0

... ... (Argumente)

(Funktionswerte) Notation: ( ) 1V G = steht für „Der Wahrheitswert von G bei V ist gleich 1.“

Lisa

Bart

Maggie

Lisa

Bart

Maggie

Lisa

BartMaggie



D2.2 AL-Bewertung

Eine AL-Bewertung V ist eine Funktion von der Menge der AL-Formeln nach { }0,1 , so dass gilt: (1) Für jede atomare Formel G gilt entweder ( ) 1V G = oder ( ) 0V G = . (2) ( ) 1V G¬ = gdw ( ) 0V G = . (3) (a) ( ) 1V G Z� = gdw ( ) 1V G = und ( ) 1V Z = .

(b) ( ) 1V G Z� = gdw ( ) 1V G = oder ( ) 1V Z = . (c) ( ) 1V G Zl = gdw ( ) 0V G = oder ( ) 1V Z = . (d) ( ) 1V G Zj = gdw ( ) ( )V VG Z= .

Beispiele:

p q ( )p q¬ ¬ � ¬

1V : 1 1 1 1

2V : 1 0 1 0

3V : 0 1 0 1

4V : 0 0 0 0

Bei n atomaren Formeln ergeben sich 2n mögliche Bewertungen. ? Gib die Wahrheitswerte der komplexen Formeln in ( )p q¬ ¬ � ¬ bei den Bewertungen

1 4V V� an.

D2.3 AL-Tautologie

Eine Formel G ist eine AL-Tautologie (ist AL-wahr, AL-gültig) gdw für jede AL-Bewertung V gilt: ( ) 1V G = .

Notation:

ALGB

Tautologien sind immer wahr. Beispiele: ( )p p¬ � ¬ , p p� ¬

Einige AL- Gesetze G G� ¬B Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten ( )G G¬ � ¬B Gesetz vom ausgeschlossenen Widerspruch G G¬¬ jB Gesetz der doppelten Negation

G Z G� lB Konjunktionsabschwächung � j �G Z Z GB Kommutativität der Konjunktion ( ) ( )G Z D G Z D� � j � �B Assoziativität der Konjunktion

2.3 Semantik von AL


( ) ( ) ( )G Z D G Z G D� � j � � �B Distributivität der Konjunktion über die Disjunktion

( ) ( )G Z Z Gl j ¬ l ¬B Kontraposition der materialen Implikation ( )G Z G Z¬ � j ¬ � ¬B ( )G Z G Z¬ � j ¬ � ¬B } de Morgansche Gesetze

( ) ( ) ( )G Z G D G Z Dl � l l l �B Konklusionskonjunktion ( ) ( ) ( )G Z Z D G Dl � l l lB Transitivität der materialen Implikation

Jede Formel, die unter ein logisches Gesetz ‚fällt’, ist eine Tautologie. Beispiele: p p� ¬B

( )p p p p¬¬ � ¬ j � ¬B

( ) ( ) ( )p q q r s p r sl � l � ¬ l l � ¬B

D2.4 AL-Kontradiktion

Eine Formel G ist eine AL-Kontradiktion (ist AL-falsch) gdw für jede AL-Bewertung V gilt: ( ) 0V G = .

Kontradiktionen sind immer falsch. Beispiele: G G� ¬ , ( ) ( )Z Z G Gl l ¬ � ¬

D2.5 AL-Kontingenz

Eine Formel G ist eine AL-Kontingenz (ist AL-kontingent) gdw für mindestens eine AL-Bewertung V gilt: ( ) 0V G = und für mindestens eine AL-Bewertung V gilt: ( ) 1V G = .

Kontingenzen können sowohl wahr als auch falsch sein. Jede Formel ist entweder eine Kontingenz, eine Tautologie oder eine Kontradiktion. D2.6 AL-Folgerung

Die Formel Z ist eine AL-Folgerung (AL-Implikation) von 1,..., nG G ( 1)n p

bzw. aus 1,..., nG G folgt AL-logisch Z gdw für jede AL-Bewertung V gilt:

Wenn 1( ) 1,..., ( ) 1nV VG G= = , dann ( ) 1V Z = .

Notation:

1,..., n ALG G ZB (oder

1,..., n ALG G Zº )

Spezialfall:

ALZB (AL-Tautologie)

(falls 0n = )



Beispiele: AL

AL

G Z G

G G D

�

� ¬

B

B

D2.7 AL-Äquivalenz

Die Formeln G und Z sind AL-äquivalent gdw für jede AL-Bewertung V gilt: ( ) ( )V VG Z= .

Notation:

ALG Zx (oder

ALG Z� )

Beispiele:

( )

( )

,

( )

,

,

,

,

� x �

¬ l x �¬

l x ¬ l ¬

¬ � x ¬ �¬

l l x � l

AL

AL

AL

AL

AL

G Z Z G

G Z G Z

G Z Z G

G Z G Z

G Z D G Z D

Metatheoreme über AL (Beweisbare Sätze über AL)

ALGB gdw G¬ eine AL-Kontradiktion ist

BAL

G Z gdw ALG ZlB

1,..., n ALG G ZB gdw B

1... nAL

G G Z� � l

ALG Zx gdw

ALG ZjB

ALG Zx gdw

ALG ZlB und

ALZ GlB

D2.8 AL-Gültigkeit eines Schlussschemas

Ein Schlussschema 1,..., /nG G Z ist AL-gültig (eine AL-Schlussregel) gdw

1,..., n ALG G ZB .

Beispiele: , /G Z G Zl modus ponens (MP), Abtrennungsregel (AR)

, /G Z Z Gl ¬ ¬ modus tollens (MT)

/

, /

( ) ( )/

G Z G Z

G Z Z D G D

G Z G D G Z D

� �

l l l

l � l l �

2.4 Entscheidungsverfahren für AL


2.4 Entscheidungsverfahren für AL Wahrheitstafelmethode Variante 1: p q r q r� ( )p q rl � ( ( ))p q r¬ l �

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 1 0 1 1 1 1

0 0 0 1 0 0 0 0

Variante 2:

¬ (p l (q � ))r

0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 0 0

1 1 1 0 1 1 1 0

1 0 1 0 1 0 1 0

4. 1. 3. 1. 2. 1. ? Konstruiere für ( )p q r¬ � j eine Wahrheitstafel nach Variante 2.

Reduktionsmethode Bedingung für die Anwendung der Methode ist, dass die Formel die Form G Zl hat oder sich in eine solche Form überführen lässt. Variante 1: Indirekter Beweis Annahme: G Zl ist keine Tautologie. Also: Es gibt mindestens eine Bewertung V , so dass ( ) 0V G Zl = . Also: ( ) 1V G = und ( ) 0V Z = usw.

Wenn die Annahme zu einem Widerspruch führt, so ist sie falsch.

Also ist G Zl eine Tautologie.



Beispiel:

(p l )q l (¬ q l ¬ )pAnnahme: 0 Also: 1 0 Also: 1 0 Also: 0 1 Also: 1 0 Also: 0 Widerspruch

Also: ( ) ( )p q q pl l ¬ l ¬B

? Zeige, dass ( ),( )/( )p q q r p rl l l ein gültiger Schluss ist.

Variante 2: Direkter Beweis Annahme: ( ) 1V G = Behauptung: ( ) 0V Z = ist ausgeschlossen, d.h. es ist immer ( ) 1V Z = . Also ist G Zl eine Tautologie. Beispiel:

(p � )q l ¬ (¬ q � ¬ )pAnnahme: 1 Also: 1 1 Also: 1 1 Also: 0 0 Also: 0 Also: 1

Wenn also ( ) 1V p q� = , so auch ( ( )) 1V q p¬ ¬ � ¬ = . Also: ( ) ( )p q q p� l ¬ ¬ � ¬B

Ein indirekter Beweis ist in der Regel einem direkten Beweis vorzuziehen.

2.5 Definierbarkeit von Konnektoren


2.5 Definierbarkeit von Konnektoren Generell können Begriffe mit Hilfe von anderen, grundlegenderen Begriffen nach folgendem Definitionsschema definiert werden: Definiendum

def= Definiens

def

A B= („A ist definitionsgleich mit B “)

A wird durch Definition als mit B bedeutungsgleich eingeführt und kann im Weiteren an Stelle von B verwendet werden. Dabei stellt A eine Abkürzung von B dar. Eine wesentliche Voraussetzung für die Korrektheit einer Definition ist, dass B nicht bereits A enthält oder durch ein C definiert wird, das seinerseits A enthält (Ausschluss einer ‚Zirkeldefinition’). Konnektoren lassen sich mit Hilfe von anderen Konnektoren definieren. Grundlage für die Adäquatheit der Definitionen sind entsprechende logische Äquivalenzen zwischen Formeln, in denen die betreffenden Konnektoren vorkommen. Beispiele:

,

,

,

( ) ( )

( )

: ( ), ( )

def

def

def

def

G Z G Z Z G

G Z G Z

G Z G Z

G Z G Z G Z

j = l � l

l = ¬ �

� = ¬ ¬ � ¬

= � ¬ � ¬ �

? Aus welchem Grund sind die angegebenen Definitionen korrekt? Was ist jeweils

Grundlage dafür, dass die Definitionen adäquat sind?

? Definiere j und : unter ausschließlicher Verwendung von ¬ und � . Eine Menge von AL-Konnektoren, mit der sich alle anderen AL-Konnektoren definieren lassen, nennt man definitorisch vollständig. Beispiele: { } { } { } { }, , , , , , ,¬ � ¬ � ¬l ¬j

Übungen


Übungen Ü2.12 Konstruiere für jede der folgenden Formeln eine Wahrheitstafel nach Variante 2.

Welche Formeln sind Tautologien, welche Kontradiktionen? (4 P.)

(a) p rl (b) q ql (c) ( ) ( )p q r rl � ¬ l (d) ( ) ( ( ))p q r p q rl � ¬ � ¬ l � ¬ Zusatz: (e) p q ql ¬ � (f) ( ) ( )p q q rl � l

Ü2.13 Konstruiere für jede der Formeln eine Wahrheitstafel nach Variante 2. Gib an, welche

der Formeln logisch äquivalent sind. (7 P.)

(a) p q� ¬ (b) ( )p q¬ ¬ � (c) p q¬ � (d) ( )p q pj � (e) (( ) )p q p ql l l

Ü2.14 Verwende die Reduktionsmethode, um die Gültigkeit der folgenden Formeln zu überprüfen. (3 P.)

(a) ( ) ( )p q p q p� � � ¬ l (b) (( ) )p q p pl l l (c) ( )p q p q¬ � l ¬ � Zusatz: (d) ( ( ))p q p¬ � l (e) ( ) ( )p q q pl � l

Ü2.15 Verwende die Reduktionsmethode, um die Gültigkeit der folgenden Schlüsse zu überprüfen. (4 P.)

(a) , /p q p ql

(b) /p p q� ¬ (c) , , /p q p r q r r� l l

(d) , ( ) /p q p q r r� � l

Übungen


Zusatz: (e) , /p q q pl ¬ ¬

(f) ( )/p q q pl � ¬ ¬ (g) , /p q p q q� l

(h) /p q p ql ¬ l ¬ Ü2.16 Überprüfe, ob folgende Formeln Tautologien sind. Wenn nicht, gib eine Zuordnung von Wahrheitswerten für die atomaren Formeln an, die die ganze Formel falsch macht. (3 P.)

(a) ( )p q pl l (b) p q p q� l � (c) ( ) ( )q p p q¬ ¬ � � l Zusatz: (d)

1((( ) ) ) ( )p q r q p ql l l l l

(e) ( ) (( ) ( ))r q p p q q p� l � l � l (f) ( ) ( )p p p p¬¬ l � l ¬¬ (g)

1 1(( ) ( )) ( ) ( )p q r p p q r p� � � j � � �

Ü2.17 Ist p q p r� l � logisch äquivalent zu ( )p q r� l ? Folgt logisch eine der Formeln

aus der anderen? (1 P.) Ü2.18 Zeige, dass jedes der folgenden Schlussschemata nicht gültig ist.

(a) 1 1

, , /Z G Z D D Z G Z� ¬ � l � (1 P.) Zusatz: (b)

1 1, , /G Z D D G D Z Dl l � �

(c) 1 2 1 2

( ), ( ), /G Z D D G G G G Gl � l � ¬ l (d)

1 2 2 1( ) ,( ) , ( ), ( )/G Z D G G G D Z G G G Z D Z� l l l ¬ l � l ¬ l j

(e) 3 1 3

( ) , ( ), , /G Z D Z D G G Z G Z Z G� j j � j � � (f)

1 1( ) ( ), ( )/G Z D G D Z Gl l l ¬ l

Ü2.19 Zeige, dass sich , ,jl � und : jeweils mit Hilfe von ¬ und � definieren lassen. (4 P.) Ü2.20 Gib die Wahrheitstafel des Konnektors „weder – noch“ (Exklusion |) an.(1 P.) Zusatz:

Gib 3 mögliche Definitionen dieses Konnektors | mit Hilfe der bisher benutzten Konnektoren an. Zeige außerdem, dass {}| definitorisch vollständig ist.

Übungen


Zusatzaufgaben: Ü2.21 Zeige, dass folgende Formeln jeweils logisch äquivalent sind.

(a) p pl ¬ ALx p¬

(b) ( )p q r� � ALx ( )r q p� �

(c) ( )p q rl � ALx ( ) ( )p q p rl � l

Ü2.22 Ist die folgende Wahrheitstafel korrekt?

p q r q rl ( )p q r� l p¬ r p� ¬ ( )p q r r p� l l � ¬

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 1 1 0 1 0

1 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

Ü2.23 Sind folgende Behauptungen wahr oder falsch?

(1) Wenn G eine Tautologie ist, ist Z Gl ¬¬ auch eine Tautologie. (2) Wenn G eine Tautologie ist, hängt der Wahrheitswert von G Z� vom

Wahrheitswert von Z ab. (3) Jede Disjunktion, bei der ein Argument eine Tautologie ist, ist selber eine

Tautologie. (4) Jede Disjunktion, bei der ein Argument eine Kontradiktion ist, ist selber eine

Kontradiktion. Ü2.24 Ergänze.

Wenn G eine Tautologie und Z eine Kontradiktion ist, dann ist G Z� eine ______________________ , G Zl eine _____________________ , Z Gl eine _____________________ , G Zj eine ______________________ , G¬ eine _________________________ , (( ) ) ( )G G Z G Z¬ � � � l ¬ eine ____________________ .

Wenn ( )G Z¬ � eine Tautologie ist, dann ist G ________________ und Z ist __________________ . Wenn ( )G Zl eine Kontradiktion ist, dann ist G _________________ und Z ist __________________ .

Übungen


Wenn ( )G Zj eine Kontradiktion ist und G eine Tautologie ist, dann ist Z __________________ . Wenn G weder Tautologie noch Kontradiktion ist, dann ist G¬ _____________________________ . Wenn ( )G Z¬ l eine Kontradiktion ist, dann ist G ____________________ und Z ist _____________________ . Wenn ( )G Z� ¬ eine Kontradiktion ist, dann ist G ____________________ und Z ist _____________________ . Wenn ( )G Z¬ � weder Tautologie noch Kontradiktion ist und Z eine Tautologie ist, dann ist G¬ _______________ .

Ü2.25 Finde ein Gegenbeispiel gegen die Behauptung:

( )G Z� ist eine Tautologie genau dann, wenn G eine Tautologie ist oder Z eine Tautologie ist.

Ü2.26 Ergänze in den folgenden Formeln die fehlenden Konnektoren, so dass die Formel eine

Tautologie ist.

(a) ( ? ) ( )p q p qj ¬ ¬ � ¬ (b) ( ? ) ( ) ( )p q p q q pj l � l (c) ( ? ) ( ? )p q p q¬ j ¬ ¬ (d) (( ? ) ( ? ))p q q p¬ j (e) (( ? ) )p p q¬ l



2.6 Natürliches Schließen in AL [ Gamut 128-140, Partee 115-123, McCawley 65-79 ] Bisher wurde bei der Überprüfung der Gültigkeit von Schlüssen oder Schlussschemata insofern ein semantisches Herangehen verfolgt, als wir auf die Bewertung von Formeln mit Wahrheitswerten zurückgegriffen haben. Eine andere Möglichkeit besteht in einem rein syntaktischen Herangehen: Ein Schlussschema

1,..., /nG G Z ist AL-gültig gdw es eine Ableitung von Z aus

1,..., nG G in AL

gibt. Eine Ableitung ist ein rein syntaktisches Verfahren des Operierens mit Ausdrücken. Dabei wird nur auf die Gestalt von Formeln Bezug genommen; insbesondere bleiben die Wahrheitswerte von Formeln unberücksichtigt. D2.9 Ableitung

Eine Ableitung von Z aus 1,..., nG G ist eine endliche Folge von Formeln, wobei die

letzte dieser Formeln Z ist und für jede Formel der Folge gilt: Entweder ist die jeweilige Formel eine der Annahmen (Voraussetzungen)

1,..., nG G oder aus

vorhergehenden Formeln mit Hilfe von Ableitungsregeln gewonnen. D2.10 AL-Ableitbarkeit

Aus 1,..., nG G ist Z AL-ableitbar gdw es eine Ableitung von Z aus

1,..., nG G in AL

gibt.

Notation: 1,..., n ALG G ZA

D2.11 AL-Beweisbarkeit (AL-Theorem, AL-Gesetz)

Eine Formel Z ist AL-beweisbar (ein AL-Theorem, AL-Gesetz) gdw es eine Ableitung von Z aus der leeren Menge von Annahmen in AL gibt.

Notation:

ALZA

Metatheoreme über AL

1,..., n ALG G ZB gdw

1,..., n ALG G ZA

ALZB gdw

ALZA

Zwei Typen von deduktiven Systemen

x Axiomatische Systeme: Axiome + Ableitungs-(Deduktions-)regeln x Systeme des natürlichen Schließens: Ableitungs-(Deduktions-)regeln

2.6 Natürliches Schließen in AL


Ein System des natürlichen Schließens für AL

Struktur einer Ableitung im SNSAL Ableitung von Z aus Annahmen

1,..., nG G :

1.

1G

2. 2G

# ...

.n nG

²¦¦¦¦¦»¦¦¦¦¦¼

Annahmen

1.+n ... # ...

}| Anwendung von Ableitungsregeln

.k Z Konklusion Zwei Typen von Ableitungsregeln im SNSAL

x Einführungsregeln für Konnektoren (E) x Beseitigungsregeln für Konnektoren (B)

Konjunktion E�

1m . 1

D

2m . 2

D n . 1 2

D D� E� 1m ,

2m

B� (i) m . 1 2

D D� n . 1

D B� m B� (ii) m . 1 2

D D� n . 2

D B� m Beispiel: p q q p� �A

1. p q� Annahme 2. p B� 1 3. q B� 1 4. q p� E� 3, 2



Disjunktion E� (i) m . 1

D n . 1 2

D D� E� m E� (ii) m . 2

D n . 1 2

D D� E� m B� (i)

1m . 1 2

D D�

2m . 2

D¬ n . 1

D B� 1m ,

2m

B� (ii)

1m . 1 2

D D�

2m . 1

D¬ n . 2

D B� 1m ,

2m

Beispiel: ,p q q p r� ¬ �A

1. p q� Annahme 2. q¬ Annahme 3. p B� 1, 2 4. p r� E� 3

Materiale Implikation El m . 1

D zusätzliche Annahme (z.A.) # ... 1n � . 2

D n . 1 2

D Dl Eo m , n �1

1 2D Dl gilt gdw

2D aus

1D abgeleitet werden kann.

Nur die Zeile n ist eine echte Zeile der Ableitung. Die Zeilen m bis 1n � sind eine eingeschobene Ableitung (‚Nebenrechnung’); sie dienen allein als Beweis der Zeile n und dürfen in der weiteren Ableitung nicht mehr verwendet werden. Bl

1m . 1 2

D Dl

2m . 1

D n . 2

D Bl 1m ,

2m



Beispiel: p ql� , q r p rl lA

1. p ql Annahme 2. q rl Annahme 3. p z.A. 4. q Bl 1, 3 5. r Bl 2, 4 6. p rl El 3, 5

? Zeige, dass r p ql � aus r pl und r ql ableitbar ist.

Beispiel: A ( ) ( )p q p q rl l l �

1. ( )p ql z.A. 2. p z.A. 3. q Bl 1, 2 4. q r� E� 3 5. p q rl � El 2, 4 6. ( ) ( )p q p q rl l l � El 1, 5

? Zeige, dass ( ) ( )p q q p� l ¬ l beweisbar ist.

Materiale Äquivalenz Ej

1m . 1 2

D Dl

2m . 2 1

D Dl n . 1 2

D Dj Ej 1m ,

2m

Bj (i) m . 1 2

D Dj n . 1 2

D Dl Bj m Bj (ii) m . 1 2

D Dj n . 2 1

D Dl Bj m Negation E¬ m . 1

D z.A. # ... 1n � . 2 2

D D� ¬ Widerspruch n . 1

D¬ E� m Die Zeilen m bis 1n � sind wieder nur ein eingeschobener Beweis für die n . Zeile und dürfen in der weiteren Ableitung nicht mehr verwendet werden.



Beispiel: p ql , q¬ p¬A

1. p ql Annahme 2. q¬ Annahme 3. p z.A. 4. q Bl 1, 3 5. q q� ¬ E� 4, 2 Widerspruch 6. p¬ E� 3

B¬ m . 1

D¬ z.A. # ... 1n � . 2 2

D D� ¬ Widerspruch n 1

D B� m Beispiel: p p¬¬ A

1. p¬¬ Annahme 2. p¬ z.A. 3. p p¬¬ � ¬ E� 1, 2 Widerspruch

4. p B� 2 ? Zeige, dass p¬¬ aus ( )q q p� l ableitbar ist.

Ergänzungen zur Struktur einer Ableitung im SNSAL

x Bewiesene AL-Gesetze (AL-Theoreme) dürfen als neue Zeilen in eine Ableitung eingefügt werden.

x Bewiesene AL-Schlussschemata dürfen in einer Ableitung verwendet werden. x Bewiesene AL-Äquivalenzen dürfen zur äquivalenten Ersetzung von Formeln in einer

Ableitung verwendet werden. Beispiel: ,p q r q r pl � ¬ � ¬ ¬A

1. p q rl � Annahme 2. q r¬ � ¬ Annahme 3. ( )q r q r¬ � ¬ j ¬ � de Morgansches Gesetz

4. ( )q r q r¬ � ¬ l ¬ � Bj 3

5. ( )q r¬ � Bl 4, 2 (oder äquivalente Ersetzung 2)

6. p¬ modus tollens (MT) 1, 5 ? Zeige, dass Hans nicht lacht oder Maria nicht lacht, wenn es nicht der Fall ist, dass

beide lachen.



Hans lacht nicht oder Maria lacht nicht, wenn es nicht der Fall ist, dass beide lachen. Symbolisierung: ( )¬ � l ¬ �¬p q p q Einfachere Lösung:

( )¬ � ¬ �¬p q p qA Ableitung:

1. ( )¬ �p q Annahme 2. ( )¬ ¬ �¬p q z.A. 4. ( )¬ ¬ �¬ l �p q p q Vor.:

ein bewiesenes de Morgansches Gesetz 5. �p q Bl 2, 4

6. ( )� �¬ �p q p q E� 5, 1 Wid.

7. ¬ �¬p q B¬ 2

Voraussetzung zur Ableitung: ( )¬ ¬ �¬ l �p q p qA (de Morgansches Gesetz)

Beweis: 1. ( )¬ ¬ �¬p q z.A.

2. ¬p z.A. 3. ¬ �¬p q E� 2 4. ( ) ( )¬ �¬ �¬ ¬ �¬p q p q E� 3, 1 Wid.

5. p B¬ 2 6. ¬q z.A. 7. ¬ �¬p q E� 6 8. ( ) ( )¬ �¬ �¬ ¬ �¬p q p q E� 7, 1 Wid.

9. q B¬6 10. �p q E� 5, 9 11. ( )¬ ¬ �¬ l �p q p q El 1, 10



Komplexere Lösung:

( )¬ � l ¬ �¬p q p qA Beweis:

1. ( )¬ �p q z.A. 2. ( )¬ ¬ �¬p q z.A.

3. ( )¬ ¬ �¬p q z.A.

4. ¬p z.A. 5. ¬ �¬p q E� 4 6. ( ) ( )¬ �¬ �¬ ¬ �¬p q p q E� 5, 3 Wid.

7. p B¬ 4 8. ¬q z.A. 9. ¬ �¬p q E� 8 10. ( ) ( )¬ �¬ �¬ ¬ �¬p q p q E� 9, 3 Wid.

11. q B¬ 8 12. �p q E� 7, 11 13. ( )¬ ¬ �¬ l �p q p q El 3, 12

14. �p q Bl 2, 13 15. ( )� �¬ �p q p q E� 14, 1 Wid. 16. ¬ �¬p q B¬ 2 17. ( )¬ � l ¬ �¬p q p q El 1, 16

Übungen


Übungen Ü2.27 Beweise im SNSAL, dass folgende Ableitbarkeitsbehauptungen gelten. (5 P.)

(a) ( ), ,p q r p q rl l A

(b) 1 1

( ), ,p q r r p p pl � l A

(c) 1 1

( ) ( ) ( )p q r q p p pl � l l lA (d) , ( )p q r q r p� l ¬ l ¬A

(Hinweis: Benutze die AL-Äquivalenz ( )G Z G Z¬ l x � ¬ .)

(e) ( ) ( ),p q r s p r q sl � l � �A

(Hinweis: Benutze die de Morganschen Gesetze.) Ü2.28 Zeige im SNSAL, dass folgende Beweisbarkeitsbehauptungen gelten. Benutze bei (j) die

AL-Gesetze ( ) ( ) ( )G Z G Z G G Zl � ¬ l l � ¬ l und ( )G G� ¬ . (3 P.)

(a) (( ) ) ( ( ))p q r p q r� l l l lA (b) ( ) ( )p q q pl l ¬ l ¬A (c) ( ( )) ( )p p q p ql l l lA Zusatz: (d) p pl ¬¬A (e) ( ( )) (( ) )p q r p q rl l l � lA (f) ( ) ( )p q p q� ¬ l ¬ lA (g) ( ) ( )p q r q r q� l l l � ¬A (h) ( ) ( ) ( )p q r p q p rl � l l � lA (i) ( )p q p q¬ � j ¬ � ¬A (j) ( ) ( )p q p q¬ j l ¬ jA

Ü2.29 Beweise im SNSAL, dass folgende Schlussschemata gültig sind.

(a) 1 1 1 1

, , /G Z G Z G Z G Zl ¬ l ¬ l l (1 P.)

Zusatz: (b)

1 1 1 1, , ( ) /G Z Z G G Z Z G Z¬ � ¬ � ¬ � l �

Übungen


Ü2.30 Symbolisiere die folgenden Schlüsse und prüfe im SNSAL, ob sie gültig sind.

(a) Der Butler oder der Koch oder der Chauffeur hat den Baron umgebracht. Wenn der Koch den Baron umgebracht hat, dann war der Eintopf vergiftet, und wenn der Chauffeur den Baron umgebracht hat, dann war eine Bombe im Auto. Der Eintopf war nicht vergiftet und der Butler hat den Baron nicht umgebracht. Also hat der Chauffeur den Baron umgebracht. (5 P.)

(b) Maria oder Klara gehen morgen ins Kino. Wenn Maria morgen ins Kino geht,

dann verabredet sie sich heute mit Hans. Klara muß sich von Paul Geld leihen, falls sie morgen ins Kino geht. Klara braucht sich von Paul kein Geld zu leihen. Also verabredet sich Maria heute mit Hans. (6 P.)

(c) Wenn ich anständig bin, dann bin ich naiv. Ich bin anständig oder naiv, oder

aber Sam hatte recht und jener Illustriertenverkäufer ist ein Schwindler. Ich bin nicht naiv, und der Illustriertenverkäufer ist sicherlich ein Schwindler. Also hatte Sam recht. (5 P.)

Zusatzaufgaben: Ü2.31 Gegeben seien folgende Voraussetzungen:

(a) Peter bekommt in der Prüfung eine gute Note genau dann, wenn er lernt, alle Konsultationen besucht und genügend schläft.

(b) Peter kann nicht genügend schlafen, wenn er ständig in die Disko geht. (c) Peter besucht alle Konsultationen, lernt, geht ständig in die Disko und wird dort

von seinem Professor gesehen.

Bekommt Peter in der Prüfung eine gute Note? Zu welchem Ergebnis kommt man, wenn man die erste Voraussetzung durch folgende ersetzt:

(a') Wenn Peter lernt oder alle Konsultationen besucht oder genügend schläft, so

bekommt er in der Prüfung eine gute Note. Ü2.32 Gegeben seien folgende Voraussetzungen:

(a) Wenn der Himmel wolkig ist oder wenn der Mond nicht zur Zeit aufgeht, so sehe ich die Mondfinsternis nicht.

(b) Wenn das Wetter sich nicht ändert, so ist der Himmel wolkig. (c) Wenn das Wetter sich ändert, so sehe ich die Mondfinsternis. (d) Genau dann, wenn der Mond zur Zeit aufgeht, ändert sich das Wetter nicht. Was folgt daraus? Ist der Himmel wolkig? Geht der Mond zur Zeit auf? Ändert sich das Wetter? Sehe ich die Mondfinsternis?

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) – Teil I

Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig

1

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) � Teil I

3.1 Die Grenzen von AL [ Partee 95-97 ]

Schluss AL-Schema Prädikatenlogische Struktur

Alle Logiker sind Pedanten. G [ ( ) ( )]x LOGIKER x PEDANT x� l

Max ist Linguist oder Logiker. 1 2Z Z� (max) (max)LINGUIST LOGIKER�

Max ist nicht Linguist. 1Z¬ (max)LINGUIST¬

Max ist Pedant. D (max)PEDANT

Einige Studenten sind Millionäre. G [ ( ) ( )]x STUDENT x MILLIONÄR x� �

Jeder Millionär ist faul.

Z

[ ( ) ( )]x MILLIONÄR x FAUL x� l

Einige Studenten sind faul. D [ ( ) ( )]x STUDENT x FAUL x� � Die Gültigkeit solcher Schlüsse ist nicht in AL, sondern erst in PL1 nachweisbar. PL1 ist eine Erweiterung von AL in zwei Richtungen: In PL1 wird die logische Struktur einfacher Sätze, d.h. die Prädikat-Individuenterm-Struktur analysiert.

Max ist Linguist. N( max )IndividuentermPrädikat

LINGUIST��

In PL1 wird die logische Struktur von Sätzen mit Quantorenausdrücken, d.h. die Quantor-Skopus-Struktur analysiert.

Alle Logiker sind Pedanten. N [ ( ) ( )]

Quantor Skopus

x LOGIKER x PEDANT x� l��

AL-Gültigkeit ist ein Spezialfall von PL1-Gültigkeit: Jede AL-gültige (AL-wahre) Aussage ist auch PL1-gültig (PL1-wahr). Jeder AL-gültige Schluss ist auch PL1-gültig.

3.2 Prädikate und Individuenterme


2

3.2 Prädikate und Individuenterme [ Dowty 14-23, Gamut 65-70 ] Ein Individuenterm (Individuenausdruck) ist ein Ausdruck, der das bezeichnet, worüber in Aussagen etwas ausgesagt wird, d.h. ein Ausdruck für ein Individuum (einen Gegenstand) im weitesten Sinne Ein Prädikat (Merkmalsausdruck) ist ein Ausdruck, der das bezeichnet, was in Aussagen über etwas ausgesagt wird, d.h. ein Ausdruck für ein Merkmal im weitesten Sinne Einfache Sätze und ihre logische Struktur Beispiele: (1) Hans schnarcht. (2) Berlin ist schmutzig. (3) Edmund ist Bayer. (4) Die Sonne scheint. (5) Die Schweiz ist schön. (6) Der Rhein ist ein Fluss.

³ 1-stelliges Prädikat

(7) Anna liebt Hans. (8) Maria ist eine Schwester von Fritz. (9) Die Sonne ist größer als der Mond.


(10) Berlin liegt zwischen Warschau und Paris. (11) Hans vergleicht Maria mit Miss Sachsen.


(12) Hans ist Anna ähnlicher als Fritz Maria.


? Welche Unterschiede gibt es zwischen der logischen und grammatischen Analyse der

Sätze? Faustregel der logischen Analyse: Wenn in einem einfachen Satz ein oder mehrere Individuenterme gestrichen werden, dann ist der verbleibende Ausdruck ein Prädikat.



3

Beispiel: Analysemöglichkeiten für Satz (7)

... liebt ...

... liebt Hans Anna liebt ...

(2-stelliges Prädikat) (1-stelliges Prädikat) (1-stelliges Prädikat)

1-stellige Prädikate sind Eigenschaftsausdrücke, mehrstellige Prädikate sind Relationsausdrücke. Funktor-Argument-Strukturen (Gottlob Frege: Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, 1879):

x Prädikate sind ungesättigte Ausdrücke und damit ergänzungsbedürftig.

x Prädikate sind spezielle Funktoren, die eine bestimmte Anzahl von Argumentstellen haben. Das sind Stellen, die durch passende Argumente besetzt werden können.

x Ein n-stelliges Prädikat ( 1n p ) ist ein aussagenbildender Funktor von n Argumenten.

Kategorialgrammatik (Kazimierz Ajdukiewicz: Syntaktische Konnexität, 1935):

x Basiskategorien: S (Aussage, Satz), N (Individuenterm, Name) x Funktionale Kategorien: 1-stelliges Prädikat: /S N

2-stelliges Prädikat: /S NN oder ( / )/S N N 3-stelliges Prädikat: /S NNN oder (( / )/ )/S N N N n -stelliges Prädikat:

1/ ... nS N N oder

1( ( / )/...)/ nS N N"

Symbolisierung von einfachen Sätzen in PL1 Individuenterme werden mit Individuenkonstanten , , ,...a b c oder mit Individuenvariablen , , ,...x y z , Prädikate mit Prädikatskonstanten , , ,...n n nP Q R notiert. Dabei gibt der Index n ( 1n p ) die Stelligkeit der jeweiligen Prädikatskonstanten an. Weil die Stelligkeit normalerweise aus dem Kontext eindeutig entnommen werden kann, wird der Index gewöhnlich weggelassen Prädikat-Individuenterm-Strukturen:

1( )P a : „a hat das Merkmal 1P “ „ 1P trifft auf a zu“ „ 1P wird von a prädiziert“ „ 1P von a “ (funktionale Sprechweise)

Eigennamen werden als spezifizierte Individuenterme analysiert und deshalb mit Individuen-konstanten symbolisiert. Individuenkonstanten sind in ihrem Bezug festgelegt.



4

Prädikat-Individuenterm-Strukturen der einfachen Sätze (1)-(12): alternativ: (1)-(6) 1( )P a 1P a (7)-(9) 2( , )Q a b 2Q ab (oder: 2aQ b ) (10), (11) 3( , , )R a b c 3R abc (12) 4( , , , )R a b c d 4R abcd Die dargestellten Strukturen sind einfache Aussagen. Personalpronomina und (echte) Reflexivpronomina werden als unspezifizierte Individuenterme analysiert und deshalb mit Individuenvariablen symbolisiert. Individuenvariablen sind in ihrem Bezug nicht festgelegt. Sie sind Leerstellen für beliebige Individuenkonstanten, d.h. für sie können Individuenkonstanten eingesetzt (substituiert) werden. Prädikat-Individuenterm-Strukturen von einfachen Sätzen mit Personalpronomina und (echten) Reflexivpronomina:

alternativ:

Sie ist klug. 1( )P x 1P x Er liebt sie. 2( , )Q x y 2Q xy (oder: 2xQ y ) Er stellt sich Hans vor. 3( , , )R x a x 3R xax

Die dargestellten Strukturen sind einfache Aussageformen. ? Symbolisiere die folgenden einfachen Sätze in PL1.

(1) Hans ist Berliner. (2) Er zeigte Maria den Leipziger Platz. (3) Sie kennt ihn besser als das Brandenburger Tor.

Die Anwendung eines n -stelligen Prädikatskonstante ( 1n p ) auf n Individuenterme ergibt eine einfache Aussage oder eine einfache Aussageform. Im Unterschied zu Aussagen sind Aussageformen weder wahr noch falsch. Aus einer Aussageform G erhält man eine Aussage 'G , wenn für jede Individuenvariable in G eine Individuenkonstante eingesetzt (substituiert) wird. Die Aussage 'G ist eine Spezialisierung (oder Substitutionsinstanz) der Aussageform G . Dabei muss für jedes Vorkommen einer Individuenvariablen in einer Aussageform dieselbe Individuenkonstante eingesetzt werden. Für Vorkommen verschiedener Individuenvariablen darf dieselbe Individuenkonstante eingesetzt werden.



5

Beispiele:

G 'G

1( )P x 1( )P b 2( , )Q y z 2( , )Q c a 3( , , )R x y x 2( , , )R b c b 3( , , )Q z y y 3( , , )Q a a a

Mit Hilfe von AL-Konnektoren können komplexe Aussagen und komplexe Aussageformen gebildet werden. Beispiel: 1 2 3( ) ( , ) ( , , )P x P a y P x y b� l ¬ Logische Form in PL1 Das Ergebnis der Symbolisierung eines Satzes in PL1 ist dessen logische Form (LF). Beispiel:

Jumbo ist größer als Max oder Max ist größer als Jumbo. LF: ( , ) ( , )G j m G m j� Schlüssel: ( , )G x y : x ist größer als y

j : Jumbo; m : Max Weitere Beispiele:

Jumbo ist größer oder kleiner als Max. ( , ) ( , )G j m K j m� Fritz ist nicht reich. ( )R f¬ Hans und Peter sind Studenten. ( ) ( )S h S p� Hans und Peter sind Freunde. ( , ) ( , )F h p F p h� Felix ist ein gelber Papagei. ( ) ( )G f P f� Wenn Hans Maria sieht, dann freut er sich. ( , ) ( )S h m F hl Wenn Maria Hans trifft, dann küsst sie ihn. ( , ) ( , )T m h K m hl Anna und Fritz bewundern einander. ( , ) ( , )B a f B f a� Anna bewundert sich nicht selbst. ( , )B a a¬

? Symbolisiere die folgenden Sätze in PL1.

(1) Hans besuchte nicht Peter, sondern Maria. (2) Maria interessiert sich für Logik, aber nicht für Linguistik. (3) Hans empfahl Maria Aspects of the Theory of Syntax und Knowledge of Language.



6

Wahrheitsbedingungen von einfachen Aussagen Eine einfache Aussage mit einer 1-stelligen Prädikatskonstanten P ist unter der folgenden Bedingung wahr: ( )P a ist wahr gdw das mit a bezeichnete Individuum die mit P bezeichnete Eigenschaft hat.

PL1 ist eine extensionale Logik. Deshalb wird in PL1 die mit einer 1-stelligen Prädikatskonstanten bezeichnete Eigenschaft mit der Menge jener Individuen identifiziert, die diese Eigenschaft haben. Es gilt also: ( )P a ist wahr gdw das von a bezeichnete Individuum ein Element der Menge der Individuen

ist, die die mit P bezeichnete Eigenschaft haben. Allgemein können Ausdrücke eine Denotation und damit einen bestimmten semantischen Wert haben. Notation: a bB : die Denotation von D In PL1 werden die Denotationen von Ausdrücken mit jenen Werten identifiziert, die diese mit Bezug auf eine bestimmte Situation haben. Speziell für Aussagen sind das die Wahrheitswerte 1 oder 0 , für 1-stellige Prädikatskonstanten Mengen von Individuen mit der jeweiligen Eigenschaft und für Individuenkonstanten die jeweils bezeichneten Individuen. Damit gilt: a b( ) 1P a = gdw a b a ba P� , d.h. die Denotation von ( )P a ist gleich 1 gdw die Denotation von a ein Element der Denotation von P ist.

a b( ) 0P a = gdw a b a ba P� , d.h. die Denotation von ( )P a ist gleich 0 gdw die Denotation von a kein Element der Denotation von P .

Pa b

Pa b

+

aa b

+

aa b

Übungen


7

Übungen Ü3.1 Symbolisiere folgende Sätze in PL1. (11 P.)

(1) Karl ist freundlich, aber Paul nicht. (2) Peter fuhr mit Jutta nach Rom. (3) Wenn Peter nach Rom gefahren ist, dann hat er den Papst besucht. (4) Gerd und Eva sind Bruder und Schwester oder Cousin und Cousine. (5) Obwohl Hans und Maria einander lieben, werden sie nicht heiraten. (6) Maria wird nicht nur von Hans geliebt, sondern auch von Peter. (7) Hans rasiert sich nur dann, wenn Eva und Susi ihn besuchen. (8) Arthur ist Wilhelms Großvater väterlicherseits. (9) Wenn Anna sich wäscht, dann wäscht sie auch Jumbo. (10) Anna wäscht sich und Jutta nicht. (11) Anna schämt sich und Jutta nicht.


Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig 1

3.3 Quantoren [ Gamut 70-74, McCawley 23-44, Chierchia 113-117 ] ? Sind folgende Sätze jeweils synonym?

(1) (a) Hans ist verheiratet oder nicht verheiratet.

(b) Hans ist verheiratet oder Hans ist nicht verheiratet.

(2) (a) Jeder ist verheiratet oder nicht verheiratet. (b) Jeder ist verheiratet oder jeder ist nicht verheiratet.

Symbol Natürlichsprachlicher Ausdruck

Allquantor (Generalisator)

� (alternativ: � ) jeder, alle

Existenzquantor (Partikularisator)

� (alternativ: � ) ein, einige, manche

Allquantifizierung (Generalisierung)

( )x P x� wird gelesen als „Für jedes x gilt: ( )P x .“

x� : ein mit der Variablen x besetzter Allquantor

Beispiele:

(3) Jedes Ding ist vergänglich. (4) Alle Dinge sind vergänglich. (5) Alles ist vergänglich. Logische Struktur von (3)-(5):

„Für jedes Ding gilt: es ist vergänglich.“ EF (Explizitform): „Für jedes x gilt: x ist vergänglich.“

LF (Logische Form): ( )xV x�

Existenzquantifizierung (Partikularisierung)

( )x P x� wird gelesen als „Für mindestens ein x gilt: ( )P x .“

(„Es gibt mindestens ein x , für das ( )P x gilt.“) x� : ein mit der Variablen x besetzter Existenzquantor

3.3 Quantoren


Beispiele:

(6) Ein Ding ist vergänglich. (7) Einige Dinge sind vergänglich. (8) Einiges ist vergänglich. Logische Struktur von (6)-(8):

„Für mindestens ein Ding gilt: es ist vergänglich.“ EF: „Für mindestens ein x gilt: x ist vergänglich.“ LF: ( )xV x�

Ausdrücke der Form ( )x P x� sind Allaussagen, Ausdrücke der Form ( )x P x� sind

Existenzaussagen. Allaussagen und Existenzaussagen sind quantifizierende Aussagen. Wie wird der natürlichsprachliche Quantorausdruck kein symbolisiert? Beispiele:

(9) Kein Ding ist vergänglich. (10) Nichts ist vergänglich. Logische Struktur von (9) und (10):

„Für kein Ding gilt: es ist vergänglich.“ EF: „Es ist nicht der Fall, dass für mindestens ein x gilt: x ist

vergänglich.“ LF: ( )xV x¬�

Wahrheitsbedingungen von quantifizierenden Aussagen Die Quantifizierung einer Aussageform erfolgt immer bezüglich eines bestimmten Bereichs der Individuenvariablen. Das ist die Menge derjenigen Individuen, die Gegenstand von Aussagen im jeweiligen Diskurs sind. Die betreffende Menge von Individuen ist die Diskursdomäne (der Diskursbereich, das Diskursuniversum)D .

( )x P x� : „Für jedes x der Diskursdomäne D gilt: ( )P x .“

( )x P x� : „Für mindestens ein x der Diskursdomäne D gilt: ( )P x .“

Falls keine explizite Angabe einer Diskursdomäne erfolgt, wird die Menge aller Individuen (‚das Universum’) als D vorausgesetzt.

a bP D



( )x P x� ist wahr bzgl. D gdw jedes Individuum d von D Element der Menge der Individuen

ist, die die mit P bezeichnete Eigenschaft haben.

( ) 1x P x� =c fd ge h bzgl. D gdw für jedes d D� gilt: a bd P� .

( )x P x� ist wahr bzgl. D gdw mindestens ein Individuum d von D Element der Menge der

Individuen ist, die die mit P bezeichnete Eigenschaft haben.

( ) 1x P x� =c fd ge h bzgl. D gdw für mindestens ein d D� gilt: a bd P� .

In der folgenden geometrischen Darstellung der Wahrheitsbedingungen ist durch Schraffur kenntlich gemacht, dass kein Individuum von D Element der betreffenden Menge ist. Durch + ist dargestellt, dass die betreffende Menge mindestens ein Element enthält. wahr falsch

( )x P x�

( )x P x�

? Gib die Bedingungen an, unter denen Aussagen der Form ( )x P x� und ( )x P x� falsch

sind.

xxxxa bP a bP

+

a bP +

xxxxxxxxx

a bP

3.4 Syntax von PL1


3.4 Syntax von PL1 [ Gamut 74-78, Partee 137-142, Chierchia 117-122 ]

Vokabular von PL1 Individuenvariablen (IV): , , ,...x y z Individuenkonstanten (IK):

, , ,...a b c } Individuenterme (IT)

Prädikatskonstanten (PK): , , ,...n n nP Q R ( 1)n p Konnektoren: , , , ,¬ � � l j Quantoren: ,� � Technische Hilfszeichen: (,),[, ]

IV, IK und PK sind nicht-logische, Konnektoren und Quantoren sind logische Grundausdrücke von PL1. Beliebige endliche Folgen von Grundausdrücken sind Ausdrücke von PL1. Wohlgeformte Ausdrücke von PL1 sind Formeln von PL1.

Syntaktische Regeln von PL1 D3.1 Formeln von PL1

(1) Wenn nQ eine n -stellige PK ist und 1,..., nU U IT sind, dann ist

1( ,..., )n

nQ U U eine Formel.

(2) Wenn G eine Formel ist, dann ist G¬ eine Formel. (3) Wenn G und Z Formeln sind, dann sind ( ),( ),( )G Z G Z G Z� � l und ( )G Zj

Formeln. (4) Wenn G eine Formel und H eine IV ist, dann sind [ ]H G� und [ ]H G� Formeln.

Formeln nach (1) sind atomare (elementare) Formeln von PL1. Formeln nach (2)-(4) sind komplexe Formeln von PL1. Konventionen zur Klammereinsparung

(1) Außenklammern können weggelassen werden. (2) Die Bindungsstärke der Konnektoren nimmt in folgender Reihenfolge ab:

, , , ,¬ � � l j . (3) H� und H� haben dieselbe Bindungsstärke wie ¬ . (4) Formeln [ ]( )� ¬H G oder [ ]( )� ¬H G werden ersetzt durch [ ]� ¬H G bzw. [ ]� ¬H G .

Beispiele: 2 1 2 1 1 2 1( , ), ( ), ( , ), [ ( ) ( )], [ ( , ) ( )],� ¬� � l � ¬ �Q a b x P x yQ a y x P x R x z R z b Q c

? Sind folgende Ausdrücke Formeln von PL1?

2 1 2 2 2 2 1( , ), ( ) ( ), [ ( )], ( , ) [ ( , ) ( )]xQ a b x P x R x x P x y R a x x y R x y z P z� � � �¬ � � � � l �



? Ergänze eingesparte Klammern. D3.2 Der Skopus eines Vorkommens von H� oder H� in einer Formel G ist die unmittelbar auf dieses Vorkommen folgende Formel Z . Beispiele: ( )x P x� , ( ) ( )x P x Q y� � , [ ( ) ( )]x Q x P x� ¬ l , ( , )x y R x y� �

D3.3 Ein Vorkommen einer Variablen H in einer Formel G ist gebunden gdw H in G Teil

eines Quantors H� oder H� ist oder in G im Skopus eines Quantors H� oder H� steht. Ansonsten ist das Vorkommen von H frei.

Beispiele:

geb. geb.( )x P x� ,

geb. geb. frei

[ ( ) ( )]x P x Q y� � , geb. geb. geb.[ ( ) ( )]]x Q x P x� ¬ l ,

geb. geb. geb. geb.

( , )x y R x y� �

D3.4 Eine Formel G ist geschlossen (eine Aussage) gdw G kein freies Vorkommen einer

Variablen enthält. Ansonsten ist die Formel G offen (eine Aussageform). ? Welche der folgenden Formeln ist offen, welche geschlossen?

(i) [ ( ) ( )]x y P y P x� ¬� � ¬

(ii) [ ( , ) ( , )]z yQ y z R y z� � �

(iii) ( , )x P a x�

(iv) ( ) [ ( , ) ( , )]Q a x R a x y R y xl ¬� � �

? Überführe offene in geschlossene Formeln durch minimale Veränderungen.

D3.5 Eine Variable H ist in einer Formel G frei für die Variable E gdw kein freies

Vorkommen von H in G im Skopus eines Quantors E� oder E� steht. Beispiele:

( ) ( )x P x Q y� � x ist frei für y y ist frei für x x und y sind frei für z

[ ( ) ( )]x P x Q y� � x ist frei für y y ist nicht frei für x x und y sind frei für z

[ ( ) ( )]z P x Q y� � x ist frei für y y ist frei für x x und y sind nicht frei für z

( ) ( )P x Q y� x und y sind frei für beliebige Variablen

3.4 Syntax von PL1


D3.6 Eine Formel 'G geht aus einer Formel G durch Substitution eines Terms U für die Variable H hervor gdw 'G aus G dadurch entsteht, dass alle freien Vorkommen von H in G durch U ersetzt werden. Für den Fall, dass U eine Variable E ist, sei dabei H in G frei für E .

Notationen: [ ]G H : eine Formel, in der die Variable H frei vorkommen kann

[ / ]G U H : eine Formel, die aus G durch Substitution von U für H

hervorgegangen ist (d.h. ' [ / ]G G U H= )

Enthält [ ]G H die Variable H nicht frei, so gilt: [ / ] [ ]G U H G H= .

Beispiele:

[ ]G H U [ / ]G U H

( )P x a ( )P a

( )P x y ( )P y ( )x P x� y ( )x P x�

( ) ( )x P x Q x� � y ( ) ( )x P x Q y� �

[ ( ) ( )]x P x Q y� � a ( ) ( )x P x Q a� �

[ ( ) ( )]x P x Q y� � x nicht erlaubt, weil y nicht frei für x ist D3.7 Eine Formel Q '[ ]E G E geht aus einer Formel Q [ ]H G H durch gebundene

Umbenennung der Variablen H in die Variable E hervor gdw H in G frei für E ist, E in G nicht frei vorkommt und '[ ]G E die Formel '[ / ]G E H ist.

Beispiele: Q [ ]H G H E Q '[ ]E G E

( )x P x� y ( )y P y�

( , )x y R x y� � z ( , )z y R z y� �

( , )x y R x y� � y nicht erlaubt, weil x in ( , )y R x y� nicht frei für y ist

( , )x R x y� z ( , )z R z y�

( , )x R x y� y nicht erlaubt, weil y frei in ( , )R x y vorkommt

Übungen


Übungen Ü3.2 Sind folgende Folgen von Grundsymbolen Formeln von PL1? (3 P.)

(a) ( )x yR y� � (b) ( , )bP b x� (c) ( , ( ))P x yH y¬ � Zusatz: (d) ( ( ) ( ))xP x x P x¬� l � ¬ (e) ( , )y xQ x y� �¬

Ü3.3 Welche der folgenden Sätze sind synonym? Gib jeweils die LF an. (6 P.)

(a) Nicht jedes Ding ist vergänglich. (b) Mindestens ein Ding ist nicht vergänglich. (c) Nichts ist nicht vergänglich. (d) Nicht alles ist vergänglich.

Ü3.4 Was sind jeweils adäquate Negationen von Satz (1) und (2)? Gib für jeden Satz die LF an. ( D die Menge der Menschen)

(1) Jemand ist zu Hause. (4 P.)

(a) Jemand ist nicht zu Hause. (b) Niemand ist zu Hause.

Zusatz:

(2) Alle fahren nach Rom.

(a) Nicht jeder fährt nach Rom. (b) Keiner fährt nach Rom. (c) Jemand fährt nicht nach Rom. (d) Alle fahren nicht nach Rom.

Ü3.5 Gib jeweils zwei Aussagen an, die mit Bezug auf die gegebene Situation wahr bzw.

falsch sind. (4 P.)

xxxxa bP

Übungen


Ü3.6 Welchen Wahrheitswert haben jeweils die Aussagen

(a) ( )x P x� ,

(b) ( )x P x� ,

(c) ( )x P x¬� ,

(d) ( )x P x¬� ,

(e) ( )x P x� ¬ ,

(f) ( )x P x� ¬ ,

(g) ( )x P x¬� ¬ und

(h) ( )x P x¬� ¬

mit Bezug auf folgende Situation? (8 P.)

D = {Ø,b,×} (= die Menge bestehend aus den Elementen Ø,bund ×) a bP = {Ø, ×} (= die Menge bestehend aus den Elementen Øund ×)

Ü3.7 Gib für die folgenden Formeln jeweils an:

(a) den Skopus der Quantoren (b) welche Variablenvorkommen frei und welche gebunden sind, und durch welche

Quantoren sie gebunden werden (c) ob die Formeln offen oder geschlossen sind (4 P.) (i) ( , )x y R x y� � ¬ (ii) [ ( ) ( , )]y P a zQ y z� l � (iii) [ ( , ) [ ( , ) ( , )]]x Q x y z x yP y x R y z� � � � � l (iv) [ ( ) ( , , )]x P x y zQ x y z� ¬ l � �

Zusatz:

(v) ( , ) ( , )xQ x y R b x� � (vi) [ ( ) ( , )]y xQ x zP y z� � l � (vii) [ ( ) [ ( ) ( , )]]x P x yQ y zR y z� l � l � (viii) ( ) ( , ) ( )x P x zQ x y yP y� ¬ � ¬� l � (d) Überführe die offenen Formeln durch kleine Änderungen in geschlossene.

Übungen


Ü3.8 Besagen die paarweise angegebenen Formeln jeweils dasselbe oder nicht? (8 P.)

(a) ( ) ( )P x Q x� ( ) ( )P y Q y�

(b) ( ) ( )P x Q x� ( ) ( )P x Q y�

(c) ( ) ( )xP x Q x� � ( ) ( )xP x Q y� �

(d) ( ) ( )xP x xQ x� � � ( ) ( )xP x yQ y� � �

(e) ( ) ( )xP y Q x� � ( ) ( )P y Q x�

(f) ( , )x yR x y� � ( , )y xR x y� �

(g) ( , )x yR x y� � ( , )y xR x y� �

(h) ( , )x yR x y� � ( , )x yR y x� �

Zusatz: (i) ( ) ( )P b Q x� ( ) ( )P a Q z�

(j) ( )x xP x� � ( )xP x�

(k) ( ) ( )xP x Q y� � ( ) ( )yP y Q x� �

(l) ( ) ( )xP x Q x� � ( ) ( )yP y Q x� �

Zusatzaufgabe: Ü3.9 Gib für die folgenden Formeln die Resultate

(a) der gebundenen Umbenennung von x in y (b) der Substitution von x für z an.

(i) ( , )xQ x z¬�

(ii) [ ( ) ( , )]x P x zQ x z� l �

(iii) ( ( ) ( , )) ( , )x P x R x z Q y z� � �



3.5 Semantische Repräsentation mit PL1 [ Gamut 78-83 ] PL1 kann man als Formalismus zur Darstellung der Bedeutung natürlichsprachlicher Sätze verwenden. Solche Darstellungen werden als semantische Repräsentationen der betreffenden Sätze bezeichnet. Dabei werden für die Sätze deren logische Formen in PL1 angegeben. Es wird auch von einer PL1-Formalisierung oder Übersetzung der natürlichsprachlichen Sätze in PL1-Formeln gesprochen.

Zwei Varianten der Repräsentation von Sätzen mit Quantorausdrücken Für Sätze mit Quantorausdrücken gibt es zwei Möglichkeiten der semantischen Repräsentation mit PL1. Sie unterscheiden sich hinsichtlich der dabei zugrunde gelegten DomänenD . Entsprechend lassen sich die Sätze durch jeweils zwei unterschiedliche PL1-Formeln repräsentieren. Beispiele:

(1) Alles Schöne ist vergänglich. (2) Einiges Schöne ist vergänglich.

Variante (A): D enthält nur Individuen, die schön sind. Variante (B): D enthält beliebige Individuen.

(A): EF(1): Für jedes schöne Individuum x gilt: x ist vergänglich.

LF(1): ( )xV x�

EF(2): Für mindestens ein schönes Individuum x gilt: x ist vergänglich. LF(2): ( )xV x�

(B): EF(1): Für jedes Individuum x gilt: Wenn x schön ist, dann ist x vergänglich.

LF(1): [ ( ) ( )]x S x V x� l

EF(2): Für mindestens ein Individuum x gilt: x ist schön und x ist vergänglich. LF(2): [ ( ) ( )]x S x V x� �

Allsätze als generalisierte materiale Implikationen Bei Variante (B) werden Allsätze der Form Alle P sind Q bzw. Jedes P ist Q als generalisierte materiale Implikationen [ ( ) ( )]x P x Q x� l repräsentiert. Die Wahrheitsbedingungen solcher

Formeln sind: [ ( ) ( )]x P x Q x� l ist wahr bez. D gdw für jedes d D� gilt: Wenn a bd P� , dann a bd Q� ,

d.h. gdw es kein d D� gibt, so dass gilt: a bd P� und a bd Q� . Die angegebenen Mengenverhältnisse können geometrisch mit Hilfe eines Venn-Diagramms (John Venn, 1834-1923) dargestellt werden.

3.5 Semantische Repräsentation mit PL1


Dagegen wäre die Repräsentation von Allsätzen als generalisierte Konjunktionen [ ( ) ( )]x P x Q x� � nicht adäquat. Solche Formeln haben folgende Wahrheitsbedingungen:

[ ( ) ( )]x P x Q x� � ist wahr bez. D gdw für jedes d D� gilt: a bd P� und a bd Q� .

Ein solches Verständnis von Allsätzen wäre zu stark. ? Durch welchen Satz müsste (1) ersetzt werden, um eine Situation zu beschreiben, die

mit [ ( ) ( )]x S x V x� � erfasst wird?

Problem: Eine Formel [ ( ) ( )]x P x Q x� l ist auch dann wahr, wenn für kein d D� gilt: a bd P� , d.h.

wenn a bP leer ist. Das ist eine Konsequenz der für l geltenden Wahrheitsbedingungen.

Ein Satz wie (1) ist damit auch dann wahr, wenn es kein schönes Individuum gibt. Das scheint unserer Intuition zu widersprechen. Weitere Beispiele:

(3) Alle Mondmenschen sind blauäugig. LF: [ ( ) ( )]x M x B x� l

Da ( )x M x¬� wahr ist, ist [ ( ) ( )]x M x B x� l wahr.

(4) Alle Antragsteller werden in Raum 3 abgefertigt.

? Ist hier die Repräsentation angemessen?

xxxxxxxxxxxxxa bQ a bP

xxxxa bQ a bP

xxxxa bP a bQ



Existenzsätze als partikularisierte Konjunktionen Bei Variante (B) werden Existenzsätze der Form Einige P sind Q bzw. Ein P ist Q als partikularisierte Konjunktionen [ ( ) ( )]x P x Q x� � repräsentiert. Die Wahrheitsbedingungen

solcher Formeln sind: [ ( ) ( )]x P x Q x� � ist wahr bez. D gdw für mindestens ein d D� gilt: a bd P� und a bd Q� .

Dagegen wäre die Repräsentation von Existenzsätzen als partikularisierte Implikationen [ ( ) ( )]x P x Q x� l nicht adäquat. Letztere haben folgende Wahrheitsbedingungen:

[ ( ) ( )]x P x Q x� l ist wahr bez. D gdw für mindestens ein d D� gilt: wenn a bd P� ,

dann a bd Q� . Wiederum auf Grund der Wahrheitsbedingungen für lgilt: Eine Formel [ ( ) ( )]x P x Q x� l

ist auch dann wahr, wenn für kein d D� gilt: a bd P� , d.h. wenn a bP leer ist.

Ein solches Verständnis von Existenzsätzen wäre zu schwach.

Einige Äquivalenzen zwischen All- und Existenzsätzen Beispiele:

(5) Alle Lehrer sind freundlich. LF (Variante A): ( )xF x� LF (Variante B): [ ( ) ( )]x L x F x� l

(6) Einige Lehrer sind freundlich. LF (Variante A): ( )xF x� LF (Variante B): [ ( ) ( )]x L x F x� �

(7) Alle Lehrer sind unfreundlich. LF (Variante A): ( )x F x� ¬ LF (Variante B): [ ( ) ( )]x L x F x� l ¬

xxxx

a bP a bQ

a bP a bQ +



(8) Einige Lehrer sind unfreundlich. LF (Variante A): ( )x F x� ¬ LF (Variante B): [ ( ) ( )]x L x F x� � ¬

? Gib für folgende Sätze die PL1-Repräsentationen gemäß Variante (B) an.

(9) Kein Lehrer ist unfreundlich. (10) Nicht jeder Lehrer ist unfreundlich. (11) Kein Lehrer ist freundlich. (12) Nicht jeder Lehrer ist freundlich.

? Welche der Sätze (5)-(12) sind jeweils synonym?

Es gelten folgende PL1-Äquivalenzen:

(i) HG H G� x ¬� ¬

(ii) HG H G� x ¬� ¬

(iii) HG H G¬� x � ¬

(iv) HG H G¬� x � ¬

Wegen (i) und (ii) sind � und � gegenseitig definierbar, d.h. jeder der beiden Quantoren kann mit Hilfe des jeweils anderen definiert werden.

def

def

H G H G

H G H G

� = ¬� ¬

� = ¬� ¬

Auf Grund von (i)-(iv) sowie der AL-Äquivalenzen (v) und (vi) lassen sich die PL1-Repräsentationen von All- und Existenzsätzen durch äquivalente Umformungen ineinander überführen.

(v) G Gx ¬¬ (vi) ( )G Z G Zl x ¬ � ¬

Beispiele: Äquivalente Umformung von (5) in (9):

[ ( ) ( )]x L x F x� l [ ( ) ( )]x L x F xx ¬� ¬ l (nach (i))

[ ( ) ( )]x L x F xx ¬� ¬¬ � ¬ (nach (vi))

[ ( ) ( )]x L x F xx ¬� � ¬ (nach (v))



Äquivalente Umformung von (6) in (10):

[ ( ) ( )]x L x F x� � [ ( ) ( )]x L x F xx ¬� ¬ � (nach (ii))

[ ( ) ( )]x L x F xx ¬� ¬ � ¬¬ (nach (v))

[ ( ) ( )]x L x F xx ¬� l ¬ (nach (vi))

? Zeige, wie sich die PL1-Repräsentationen von (7) und (11) sowie von (8) und (12) durch

äquivalente Umformungen ineinander überführen lassen.

Skopusambiguität bei Sätzen mit Quantorausdrücken Ein Satz wie (13) ist ambig, d.h. er hat zwei mögliche Lesarten oder Bedeutungen. Genauer gesagt, liegt ein Fall von Skopusambiguität der in ihm vorkommenden Quantorausdrücke vor. Deshalb wird ein solcher Satz durch zwei PL1-Formeln repräsentiert, die sich in der Reihenfolge der verwendeten Quantoren unterscheiden.

(13) Jeder liebt jemanden. D = die Menge der Personen

(a) EF1: Für jedes x gibt es ein y derart, dass gilt: x liebt y .

LF1: ( , )x yL x y� �

(b) EF2: Es gibt ein y derart, dass für jedes x gilt: x liebt y . LF2: ( , )y x L x y� �

(14) Jeder Mann liebt eine Frau.

(a) Zu jedem Mann gibt es (irgend-)eine Frau, die er liebt.

EF1: Für jedes x gilt: Wenn x ein Mann ist, dann gibt es ein y , so dass gilt: y ist eine Frau und x liebt y .

LF1: [ ( ) [ ( ) ( , )]]x M x y F y L x y� l� �

(b) Es gibt eine (bestimmte) Frau, die jeder Mann liebt.

EF2: Es gibt ein y derart, dass y eine Frau ist und für alle x gilt: Wenn x ein

Mann ist, dann liebt x y . LF2: [ ( ) [ ( ) ( , )]]y F y x M x L x y� � � l

? Charakterisiere die Skopusverhältnisse der Quantoren bei den Lesarten von (13) und

(14). ? Welche der jeweils beiden Lesarten ist spezieller und impliziert damit die andere?



Weitere PL1-Repräsentationen Beispiele:

(15) Nicht alles, was glänzt, ist Gold. [ ( ) ( )]x G x O x¬� l (16) Alles, was glänzt, ist nicht Gold. [ ( ) ( )]x G x O x� l ¬

bzw. [ ( ) ( )]x G x O x¬� l (17) Wer stiehlt, wird bestraft.

1[ ( ) ( , )]x S x yB y x� l �

(18) Wer zu spät kommt, den bestraft das Leben. 1

[ ( ) ( , )]x Z x B l x� l (19) Jeder betrügt sich selbst.

2[ ( , )]x B x x�

(20) Selig sind die Sanftmütigen. 1 2[ ( ) ( )]x S x S x� l

(21) Jeder ist sich selbst der Nächste. ( , )xN x x�

(22) Jede Unglückswolke hat einen Silberstreifen. 3

[ ( ) [ ( ) ( , )]]xU x y S y H x y� l � �

(23) Für jede Handlung gibt es ein Motiv. [ ( ) ( , )]x H x yM y x� l � (24) Keine Regel ohne Ausnahme. [ ( ) ( , )]x R x yA y x¬� � ¬�

Bei Satz (17-21) wird vorausgesetzt: D = die Menge der Personen ? Gib für (17-21) die PL1-Repräsentationen bei universellem D an.

? Gib die jeweils andere PL1-Repräsentation für die skopusambigen Sätze (22-23) an.

? Gib PL1-Repräsentationen für folgende Sätze an.

(25) Nicht jeder Baum ist ein grüner Laubbaum. (26) Einige verwirrte Politiker sind anständig oder naiv. (27) Keine Ente ist eine Amphibie, die einen Schnabel hat. (28) Alle Maler oder Dichter sind berühmt und arm. (29) Keiner ist Millionär und verschenkt sein Geld.

? Gib PL1-Repräsentationen für folgende Sätze an und diskutiere ihre Adäquatheit.

(30) Ein Wal ist ein Säugetier. (31) Der Adler ist ein Vogel. (32) Löwen sind Raubtiere. (33) Tiger sind gestreift.

Eingeschränkte Quantifikation Um semantische Repräsentationen mehr dem intuitiven Verständnis der Bedeutungsstruktur von Sätzen anzugleichen, kann man sich der eingeschränkten (restringierten) Quantifikation bedienen. Der Geltungsbereich des jeweiligen Quantors wird dabei auf diejenigen Individuen eingeschränkt, für die die betreffende Aussage gilt. Die einschränkende Formel wird



Restriktor, die unmittelbar auf den eingeschränkten Quantor folgende Formel nuklearer Skopus (Matrix, Nukleus) genannt. Beispiele:

(34) Jede Katze schläft. [S[NP[Det Jede] [N Katze]] [VP[V schläft]]]

Standardnotation: [ ( ) ( )]x K x S x� l Eingeschränkte Quantifikation: ( )[ ( )]x K x S x� : oder

( )( )

K xx S x�

„Für jedes x derart, dass ( )K x , gilt: ( )S x “

(35) Eine Katze schläft. [S[NP[Det Eine] [N Katze]] [VP[V schläft]]]

Standardnotation: [ ( ) ( )]x K x S x� � Eingeschränkte Quantifikation: ( )[ ( )]x K x S x� : oder

( )( )

K xx S x�

„Für ein x derart, dass ( )K x , gilt: ( )S x “ Weitere Beispiele:

(36) Kein Optimist hat alle Fakten verdrängt und vergessen.

Standardnotation: 1 2

[ ( ) [ ( ) ( , ) ( , )]]x O x y F y V x y V x y¬� �� l � Eingeschränkte Quantifikation:

1 2: ( ) : ( )[ ( , ) ( , )]x O x y F y V x y V x y¬� � �

oder

1 2( ) ( )[ ( , ) ( , )]

O x F yx y V x y V x y¬� � �

(37) Jeder Linguist kennt ein Buch, dessen Autor Chomsky ist.

Standardnotation: [ ( ) [ ( ) ( , ) ( , )]]x L x y B y A c y K x y� l� � � Eingeschränkte Quantifikation: : ( ) : ( ) ( , )[ ( , )]x L x y B y A c y K x y� � �

oder

( ) ( ) ( , )( , )

L x B y A c yx y K x y

�� )

? Gib die PL1-Repräsentation mit eingeschränkter Quantifikation bei der zweiten Lesart

von (37) an.

Übungen


Übungen Ü3.10 Gib jeweils geometrische Darstellungen der Wahrheitsbedingungen folgender Formeln

an. (3 P.)

(a) [ ( ) ( )]x P x Q x¬� � (b) [ ( ) ( )]x P x Q x� � (c) ( ) ( )xP x x Q x� � � ¬

Ü3.11 Welche der Formeln sind PL1-Repräsentationen des jeweiligen Satzes? (3 P.)

(1) Max kennt einen Linguisten.

(a) ( ) ( , )L x K m x� (b) [ ( ) ( , )]x L x K m x� � (c) [ ( ) ( ) ( , )]x y M x L y K x y� � � �

(2) Alle dicken Bücher sind interessant.

(a) [ ( ) ( ) ( )]x B x D x I x� � � (b) [ ( ) ( ) ( )]x B x D x I x� � l (c) [ ( ) ( ) ( )]x D x B x I x� l � (d) [ ( ) ( ) ( )]x B x D x I x� l � (e) [ ( ) [ ( ) ( )]]x B x D x I x� l l

(3) Kein Dinosaurier hat überlebt.

(a) [ ( ) ( )]x D x Ü x¬� � (b) [ ( ) ( )]x D x Ü x� ¬ � (c) [ ( ) ( )]x D x Ü x� ¬ � ¬ (d) [ ( ) ( )]x D x Ü x� � ¬

Ü3.12 Gib natürlichsprachliche Korrelate für die folgenden Formeln an, wobei ( )B x für die

Aussageform Ich berühre x und ( )G x für x wird zu Gold steht. (8 P.)

(a) [ ( ) ( )]x B x G x� l (b) [ ( ) ( )]x B x G x� l ¬ (c) [ ( ) ( )]x B x G x� � (d) [ ( ) ( )]x B x G x� � (e) [ ( ) ( )]x B x G x� � ¬ (f) [ ( ) ( )]x B x G x¬� � (g) [ ( ) ( )]x B x G x¬� l (h) [ ( ) ( )]x B x G x� ¬ �

Übungen


Ü3.13 Gib PL1-Repräsentationen für folgende Sätze an. (7 P.)

(1) Alles, was Fritz mag, ist unmoralisch, widerrechtlich oder macht dick. (2) Fritz mag alles, was unmoralisch oder widerrechtlich ist oder dick macht. (3) Hans sucht ein Einhorn und einen Drachen, findet aber keins von beiden. (4) Wenn jemand schnarcht, kann keiner schlafen. (5) Jeder liest ein langweiliges Buch und träumt von einem interessanten Film. (6) Jemand hat ein Buch geliehen und es nicht zurückgegeben. (7) Niemand hat etwas verloren, das wichtig für ihn ist.

Ü3.14 Gib PL1-Repräsentationen für folgende Sätze an. (4 P.)

(1) Niemand beantwortet jede Frage. (2) Jede Frage wurde von jemandem beantwortet. (3) Jeder beantwortet mindestens eine Frage. (4) Einige beantworten keine Frage. Zusatz: (5) Manche beantworten eine Frage, die sich alle stellen. (6) Niemand stellt eine Frage, ohne sie zu beantworten.

Ü3.15 Ordne den Sätzen ihre PL1-Repräsentation zu, wobei D die Menge der Personen ist. (6 P.)

(a) Es gibt jemanden, den niemand kennt. ( , )y xK x y� � (b) Jeder kennt jemanden. ( , )x yK x y¬� � (c) Niemand kennt jemanden. ( , )y xK x y� ¬� (d) Nicht jeder kennt jemanden. ( , )x yK x y� � (e) Niemand kennt niemanden. ( , )x yK x y¬� ¬� (f) Es gibt jemanden, den jeder kennt. ( , )x yK x y¬� �

Zusatz:

(g) Kein Student ist faul. [ ( ) ( )]x S x F x¬� l (h) Alle Studenten sind nicht faul. [ ( ) ( )]x S x F x¬� � ¬ (i) Ein Student ist nicht faul. [ ( ) ( )]x S x F x� � ¬ (j) Nicht alle Studenten sind nicht faul. [ ( ) ( )]x S x F x¬� � (k) Kein Student ist nicht faul. [ ( ) ( )]x S x F x� l ¬ (l) Nicht alle Studenten sind faul. [ ( ) ( )]x S x F x¬� l ¬

Zusatzübungen: Ü3.16 Gib für folgende Sätze PL1-Repräsentationen mit eingeschränkter Quantifikation an.

(1) Jeder Fisch ist schön, wenn er an der Angel hängt. (2) Ich habe alle Spiele, die jeder haben muss. (3) Jeder kennt jeden.

Übungen


(4) Maria hat niemanden getroffen, der noch keine Geschichte über Hans gehört hat.

(5) Jeder kennt eine Primzahl, aber keiner kennt sie alle. (6) Wer keinem trauen kann, ist einsam.



3.6 Natürliches Schließen in PL1 [ Gamut 142-147, Partee 154-165, McCawley 44-54 ] Das System des natürlichen Schließens SNSPL ist eine Erweiterung des Systems SNSAL. Zu den bisherigen zehn Ableitungsregeln (Beseitigungs- und Einführungsregeln) für , , , ,¬ � � l j werden je zwei weitere Ableitungsregeln für � und für � hinzugefügt.

Existenzquantor

E� m . [ / ]G U H

n . H G� E� m

Beispiel:

Noam ist Linguist. Es gibt mindestens einen Linguisten. 1. ( )L n Annahme 2. ( )x L x� E� 1

Also: ( ) ( )L n x L x�A

? Zeige, dass folgender Schluss gültig ist (mit D= die Menge der Personen).

Hans liebt Maria. Also liebt jemand jemanden.

B� m . H G�

n . [ / ]G L H B� m

Einschränkende Bedingungen:

(i) Eine auf Grund von B� eingeführte Hilfskonstante L darf nicht in der letzten Ableitungszeile vorkommen.

(ii) Eine auf Grund von B� eingeführte Hilfskonstante L darf nicht schon in früheren Ableitungszeilen auf Grund von B� vorkommen. Bei jeder Anwendung von B� muss also eine neue Hilfskonstante gewählt werden.

(iii) Kommen in G neben H weitere Individuenvariablen 1,..., nE E frei vor, so muss L

in Bezug auf 1,..., nE E relativiert werden.

3.6 Natürliches Schließen in PL1


Beispiel:

Einige Linguisten sind genial und ignorant. Einige Linguisten sind genial und einige Linguisten sind ignorant. 1. [ ( ) ( )]x G x I x� � Annahme

(D= die Menge der Linguisten) 2. ( ) ( )G IL L� B� 1 3. ( )G L B� 2 4. ( )I L B� 2 5. ( )xG x� E� 3

6. ( )x I x� E� 4

7. ( ) ( )xG x x I x� � � E� 5, 6

Also: [ ( ) ( )] ( ) ( )x G x I x xG x xI x� � � � �A ? Zeige anhand des Beispiels, dass Einschränkung (i) notwendig ist.

? Erkläre, warum der folgende Schluss ungültig ist. Zeige in diesem Zusammenhang die

Notwendigkeit von Einschränkung (ii).

Einige Studenten sind klug. Einige Studenten sind faul. Einige Studenten sind klug und faul.

Allquantor

B� m . H G� n . [ / ]G U H B � m

Beispiele:

Alles ist vergänglich. Etwas ist vergänglich. 1. ( )xV x� Annahme

2. ( )V y B � 1 3. ( )xV x� E� 2

Also: ( ) ( )xV x xV x� �A



Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch.

Sokrates ist sterblich. 1. [ ( ) ( )]x M x S x� l Annahme 2. ( )M s Annahme 3. ( ) ( )M s S sl B � 1 4. ( )S s Bl 3, 2 Also: [ ( ) ( )], ( ) ( )x M x S x M s S s� l A

? Zeige, dass folgender Schluss gültig ist.

Einige Studenten sind Millionäre. Jeder Millionär ist faul. Also sind einige Studenten faul.

E � m . [ '/ ]G H H

n . H G� E� m

Einschränkende Bedingung: H darf in den Annahmen nicht frei vorkommen. Beispiel:

Alle Dackel sind Hunde. Alle Hunde sind gefährlich.

Alle Dackel sind gefährlich. 1. [ ( ) ( )]x D x H x� l Annahme

2. [ ( ) ( )]x H x G x� l Annahme

3. ( ) ( )D x H xl B � 1 4. ( ) ( )H x G xl B � 2 5. ( ) ( )D x G xl Transitivität l 6. [ ( ) ( )]x D x G x� l E� 5

Also: [ ( ) ( )], [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]x D x H x x H x G x x D x G x� l � l � lA

? Zeige, dass folgende Ableitbarkeitsbehauptung gilt.

[ ( ) ( )], [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]x P x Q x y R y P y z Q z R z� � � l¬ � �¬A

? Zeige, dass folgende Beweisbarkeitsbehauptung gilt.

[ ( ) ( )] ( ) ( )x P x Q x y Q y zP z� � � � ¬ l�A

Übungen

Johannes Dölling: Logische Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig.

Übungen Ü3.17 Untersuche, was für Noam gilt, falls folgende Annahmen getroffen werden. (3 P.)

(1) Noam ist Linguist. (2) Alle Linguisten vertrauen sich selbst und nicht Noam, oder sie vertrauen sich

nicht selbst, aber Noam. Ü3.18 Zeige, dass folgende Schlüsse gültig sind.

(a) Alle KugelstoßerInnen wiegen mindestens 200 Pfund. Mathilda wiegt weniger als 200 Pfund. Also ist Mathilda keine Kugelstoßerin. (3 P.)

(b) Alle Taxifahrer und Oberkellner sind mürrisch und grob. Also sind alle

Taxifahrer mürrisch. (4 P.) (c) Babys sind unlogisch. Niemand, der verachtet wird, kann mit einem Krokodil

umgehen. Unlogische Leute werden verachtet. Also können Babys nicht mit einem Krokodil umgehen. (5 P.)

(d) Alle Vokale sind sonor. Alle Verschlusslaute sind Geräuschlaute. Nichts ist

sowohl sonor, als auch ein Geräuschlaut. Also ist nichts sowohl ein Vokal als auch ein Verschlusslaut. (5 P.)

Zusatz:

(e) Kein Linguist glaubt an das Prinzip der Gleichheit. Jeder glaubt an das Prinzip

der Gleichheit oder ist Behaviorist. Jeder Spezialist für Schlankheitsdiät entsagt dem Behaviorismus. Meine Tante ist eine Spezialistin für Schlankheitsdiät. Also gibt es jemanden, der weder ein Linguist, noch ein Behaviorist ist.

(f) Jeder Vernünftige kann Logik treiben. Unvernünftige sind mondsüchtig. Kein

Mondsüchtiger kann als Geschworener zugelassen werden. Keiner Deiner Söhne kann Logik treiben. Also kann keiner Deiner Söhne als Geschworener zugelassen werden.

(g) Enten können nicht Walzer tanzen. Offiziere lehnen keinen Walzertanz ab. All

mein Federvieh sind Enten. Zu meinem Federvieh gehören also keine Offiziere.

(h) Kein Kannibale ist Pazifist. Es gibt Kannibalen, aber keine Pazifisten. Also gibt es einen Kannibalen, der nicht Pazifist ist.

Ü3.19 Erkläre, warum der folgende Schluss ungültig ist. (4 P.)

Einige Katzen sind böse. Einige Hunde sind böse. Einige Katzen sind Hunde.

Übungen


Ü3.20 Beweise die Gültigkeit folgender Schlüsse. (3 P.)

(a) [ ( ) ( )], ( ), ( ) / [ ( ) ( )]x P x Q x R a P a x R x Q x� l � � (b) [ ( ) ( )], [ ( ) ( )] / [ ( ) ( )]x P x Q x x R x Q x x R x P x� l � � ¬ � � ¬ (c) [ ( ) ( )], [ ( ) ( )] / [ ( ) ( )]x P x Q x x P x R x x R x Q x� l ¬� l � ¬ � Zusatz: (d) [ ( ) ( )], [ ( ) ( )] / [ ( ) ( )]x P x Q x x P x R x x R x Q x¬� � � � � � ¬ (e) [ ( ) ( ) ( )], [ ( ) ( ) ( )] / [ ( ) ( )]x P x Q x R x x R x S x T x x P x T x� � l � � l � l

Zusatzaufgaben: Ü3.21 Warum ist folgender Schluss nicht gültig? Welche Prämisse muss ergänzt werden, um

einen gültigen Schluss zu bekommen?

Alle Spartaner sind tapfer. Alle Spartaner sind Griechen. Einige Griechen sind tapfer.

Ü3.22 Zeige, dass der Satz Ich gehe Känguruhs aus dem Wege aus den folgenden Sätzen erschlossen

werden kann. Setze zur Vereinfachung als Diskursdomäne die Menge der Tiere voraus.

(1) Die einzigen Tiere in diesem Hause sind Katzen. (2) Jedes Tier ist als Schoßtier geeignet, falls es gern in den Mond guckt. (3) Wenn ich ein Tier verabscheue, so gehe ich ihm aus dem Wege. (4) Nur solche Tiere sind Fleischfresser, die nachts umherschweifen. (5) Jede Katze tötet Mäuse. (6) Nur die Tiere in diesem Haus mögen mich leiden. (7) Känguruhs sind nicht als Schoßtiere geeignet. (8) Nur Fleischfresser töten Mäuse. (9) Ich verabscheue Tiere, die mich nicht leiden mögen. (10) Tiere, die nachts umherschweifen, gucken gerne in den Mond.

4 Elementare Mengentheorie


1


4.1 Mengen [ Partee 3-11, McCawley 135-140, Chierchia 529-531 ] Die Mengentheorie ist entwickelt worden, um eine Basis für den Aufbau der gesamten Mathematik zu haben. Ihr Begründer ist Georg Cantor (1845-1918). Die Standard-Semantik von PL1 wird unter Verwendung der Mengentheorie formuliert. Umgekehrt kann die Mengentheorie in einer prädikatenlogischen Sprache präzise dargestelllt werden. Der klassische Mengenbegriff Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte sind die Elemente der Menge.

x „abstrakt“: Die Objekte werden nicht in einem physischen Sinne zusammengefasst. x „Zusammenfassung“: Die Objekte werden nicht auf eine bestimmte Weise angeordnet. x „wohlunterschieden“: Die Objekte müssen für sich genommen identifizierbar sein. x „Anschauung“/„Denken“: Es kann sich um konkrete oder abstrakte Objekte handeln.

Mengen werden gewöhnlich mit , , , , , , ,ABC XY Z! ! , Elemente von Mengen, d.h. beliebige Objekte mit , , , , , , ,a b c x y z! ! notiert. Die Elementrelation wird mit der speziellen Prädikatskonstanten � notiert: a A� : „a ist Element von A “ D4.1 ( )

defa A a A� = ¬ �

„a ist kein Element von A “ D4.2 ( ) [ ]

defA B x x A x B= = � � j �

„A ist identisch mit B ” („A und B sind gleich“ , „A und B sind dieselbe Menge“)

D4.3 ( ) ( )

defA B A Bv = ¬ = (d.h. [ ]x x A x B x A x B� � � � � � � �

„A ist verschieden von B “

B

A

4.1 Mengen


Eine endliche Menge ist eine Menge, die endlich viele Elemente enthält.

Beispiel: die Menge der Monde des Saturn Eine unendliche Menge ist eine Menge, die unendlich viele Elemente enthält. Beispiel: die Menge aller Primzahlen Eine Einermenge ist eine Menge, die genau ein Element enthält. Dabei muss klar zwischen der Menge und ihrem einzigen Element unterschieden werden.

Beispiel: die Menge, die nur Georg Cantor enthält Die leere Menge � ist diejenige Menge, die kein Element enthält, d.h.¬� � �[ ]x x bzw.

[ ]x x� �� .

Beispiel: die Menge, die nur runde Quadrate enthält Mengen können selbst Elemente von Mengen sein. Es wird zwischen Mengen verschiedener Stufe unterschieden (Bertrand Russell, 1872-1970, Typentheorie):

x Mengen, die Individuen als Elemente enthalten, sind Mengen der 1. Stufe. x Mengen, die Mengen der n -ten Stufe ( 1np ) als Elemente enthalten, sind Mengen der

n+1. Stufe. Spezifikation von Mengen (A) Aufzählung (Listennotation): !

1{ , , }nx x : „die Menge bestehend aus

1, , nx x! “

(„die Menge , die aus 1, , nx x! besteht“)

{ }x : „die Einermenge bestehend aus x “ Beispiele:

{Ø,b,×}: „die Menge bestehend aus Ø,bund ×“ ^ `Karlo,Hans,Pluto : „die Menge bestehend aus Karlo, Hans und Pluto“

^ `, ,Karlo Hans Pluto : „die Menge bestehend aus den Namen Karlo, Hans und Pluto“

{ }� : „die Menge bestehend aus der leeren Menge“ { }{ }a : „die Menge bestehend aus der Einermenge { }a ” { }{ }, ,a a � : „die Menge bestehend aus { }a , a und der leeren Menge”

{{ , , },{{ },1},Hans}a b c d : „die Menge bestehend aus den Mengen { , , }a b c und {{ },1}d und Hans”

? Von welcher Stufe sind die angegebenen Mengen?



3

(B) Abstraktion (Prädikatsnotation):

{ | ...}x : „die Menge der x , für die gilt: ...“ { | ( )}x P x : „die Menge der x , für die gilt: ( )P x “ („die Menge der P “)

Beispiele:

{ | ( )}x MENSCH x : „die Menge der x , für die gilt: x ist ein Mensch“ („die Menge der Menschen“) alternativ: { |x x ist ein Mensch}

Weitere Beispiele:

{ | und 2 und 100}x x x x� p b�� (� : die Menge der natürlichen Zahlen) { |x x ist deutsche Bundeskanzlerin} { | ( ) ( )}x QUADRAT x RUND x� { |x x existiert oder x existiert nicht}

? Gib an, welche der folgenden Mengen identisch sind.

{ |x x ist Primzahl und 10}xb � { |x x ist Primzahl, gerade und 2}x> {2,3,5,7} ,

Prinzip der Mengenkonversion Für ein beliebiges a gilt: { | ( )}a x P x� gdw ( )P a .

Mächtigkeit von Mengen Die Anzahl der Elemente einer Menge A ist deren Mächtigkeit (oder Kardinalität). Sie wird mit | |A , #A oder ( )card A angegeben. Im Falle einer endlichen Menge ist deren Mächtigkeit eine natürliche Zahl. Beispiele: |{ ,{ ,2}}| 2a c =

|{ |x x ist ein Vokal, der im Wort Paris vorkommt}| 2=

| | 0� =

4.1 Mengen


Teilmengenrelationen Neben der Identitätsrelation können zwischen Mengen auch Teilmengenrelationen bestehen. D4.4 [ ]

defA B x x A x B� = � � l �

„A ist eine Teilmenge von B “ („B ist eine Obermenge von A “)

Die leere Menge � ist Teilmenge einer beliebigen Menge, d.h. [ ]X X� � � . Beispiele:

{2,3, } {2,3, }e e�

{ } {{ }, }a a a�

{ |x x� � studiert Linguistik}

D4.5 ( )def

A B A B= ¬ �{ (d.h. [ ]x x A x B� � � � )

„A ist keine Teilmenge von B “ D4.6 � = � � v

defA B A B A B

„A ist eine echte Teilmenge von B “ („B ist eine echte Obermenge von A “)

Beispiele:

{2, } {2,3, }e e�

{ } {{ }, }a a a� { |x x�� studiert Linguistik}

A B +

A B



5

D4.7 ( )def

A B A B� = ¬ �

„A ist keine echte Teilmenge von B “ Beispiele: { , , } { , , }a b c a b c� { , , } { , }a b c a b�

{ , , } {2,4,9}a b c � ? Gib an, welche Teilmengenrelationen zwischen folgenden Mengen bestehen.

, ,{{ }},{ }S S S�

Mengentheoretische Gesetze Die Identität ist

reflexiv: A A= symmetrisch: ( ) ( )A B B A= l =transitiv: ( ) ( ) ( )A B B C A C= � = l =

Die Teilmengenrelation ist

reflexiv: A A� antisymmetrisch: ( ) ( ) ( )A B B A A B� � � l =transitiv: ( ) ( ) ( )A B B C A C� � � l �

Die echte Teilmengenrelation ist

irreflexiv: A A� asymmetrisch: ( ) ( )A B B A� l �transitiv: ( ) ( ) ( )A B B C A C� � � l �

Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie usw. sind Eigenschaften von Relationen. Die Identität ist eine Äquivalenzrelation. Die Teilmengenrelation ist eine schwache Ordnungsrelation. Die echte Teilmengenrelation ist eine strenge Ordnungsrelation. Weitere Relationen zwischen Mengen sind z.B. die Überlappung (o ) und die Disjunktheit ( ¨ ) von Mengen. ? Gib die Definitionen dieser Mengenrelationen an.

4.2 Operationen mit Mengen


4.2 Operationen mit Mengen [ Partee 11-21, McCawley 140-148, Chierchia 531-534, 539-540 ] Mit Hilfe von mengentheoretischen Operationen lassen sich neue Mengen bilden. Potenzmenge (‚power set’) D4.8 ( = �( ) { | }

defA X X A (auch: ( )pow A , ( )A� )

„( von A “ Die Potenzmenge von A ist die Menge aller Teilmengen von A . Wenn A eine Menge der n -ten Stufe ist, dann ist ( )A( eine Menge der n +1. Stufe. Mächtigkeit von Potenzmengen: Wenn | |A n= , dann | ( ) | 2nA =( , d.h. 2 2 2� � �! (n -mal).

Beispiele:

({Hans,Maria}) { ,{Hans},{Maria},{Hans,Maria}}= �(

({1,2,3}) { ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}= �(

({ }) { ,{ }}S S= �(

( ) { }� = �(

({ ,{ }}) { ,{ },{{ }},{ ,{ }}}S S S S S S= �(

? Gib für die folgende Menge ihre Potenzmenge an.

{{ , }, }a b c

Mengenvereinigung (‚union’) D4.9.1 � = � � �{ | }

defA B x x A x B

„A vereinigt mit B “ Die Vereinigung von A und B ist die Menge, die alle Elemente, die in A oder in B vorkommen, und nur diese enthält.

A B



7

Beispiele:

{ , , } {1,2} { , , ,1,2}a b c a b c� =

{ } { ,{ }} { ,{ }}S S S S S� =

{ , } { , }e t e t��= Verallgemeinerung: D4.9.2 { | [ ]}

defU x X X U x X= � � � �* (alternativ: { | : [ ]}x X X U x X� � � ,

„die Vereinigungsmenge von U “ oder einfacher: { | [ ]}x X U x X� � � ) Beispiel: { }{ , },{47},{ , , } { , , 47, , , }a b c d f a b c d f=*

Mengendurchschnitt (‚intersection’) D4.10.1 � = � � �{ | }

defA B x x A x B

„A geschnitten mit B “ Die Durchschnitt von A und B ist die Menge, die alle Elemente, die sowohl in A als auch in B vorkommen, und nur diese enthält.

Beispiele:

{2,3,7,11} {1,2,3,4} {2,3}� =

{ ,{ }} { ,{ },{ ,{ }}} { ,{ }}a a a a a a a a� =

{ , } {1,2}a b � =� Verallgemeinerung: D4.10.2 { | [ ]}

defU x X X U x X= � � l �� (alternativ: { | : [ ]}x X X U x X� � � ,

„die Schnittmenge von U“ oder einfacher: { | [ ]}x X U x X� � � ) Beispiel: { }{0,1},{0,1,2, 3},{1} {1}=�

A B



Mengendifferenz (‚subtraction’) D4.11 \ { | }

defA B x x A x B= � � �

„A ohne B “ Die Differenz von A und B ist die Menge, die genau die Elemente aus A enthält, die nicht in B vorkommen.

Beispiele:

{Hans,Maria}\{Maria} {Hans}=

{ }\{ }S S =�

{0,1}\ {0,1}�=

Komplement einer Menge Ein Spezialfall der Differenz ist das Komplement einer Menge A bezüglich einer vorausgesetzten Grundmenge � , wobei A�� . Dabei ist � entweder explizit angegeben oder aus dem Kontext entnehmbar. D4.12 ' \

defA A= � (alternativ: { | }x x A� �� )

Das Komplement von A ist die Menge, die genau die Elemente der Grundmenge � enthält, die nicht in A vorkommen.

Beispiele:

Sei { , , , }a b c d=�� .

{ }' { , , }a b c d= { , }' { , }d b a c= { , , , }'a b c d =�

A B

A

�



9

Mengentheoretische Gesetze Idempotenz: A A A� =

A A A� =

Kommutativität: A B B A� = � A B B A� = �

Assoziativität: ( ) ( )A B C A B C� � = � � ( ) ( )A B C A B C� � = � �

Distributivität: ( ) ( ) ( )A B C A B A C� � = � � � ( ) ( ) ( )A B C A B A C� � = � � �

Identität: A A��= A� =� � A��=� A A� =�

Komplement: 'A A� =� ( ')'A A=

'A A� =� \ 'A B A B= �

De Morgansche Gesetze:

( )' ' 'A B A B� = � ( )' ' 'A B A B� = �

Konsistenz: A B A B B� j � =A B A B A� j � =

Identische Umformungen Die Gesetze für die mengentheoretischen Operationen erlauben es, Mengenausdrücke durch identische Umformungen ineinander zu überführen und dabei insbesondere auch zu vereinfachen. Beispiele:

( ) ( )'A B B C� � � ( ) ( ' ')A B B C= � � � de Morgansches Gesetz ( ( ' '))A B B C= � � � Assoziativität (( ') ')A B B C= � � � Assoziativität ( ')A C= � �� Komplement ( ' )A C= � �� Kommutativität A= �� Identität =� Identität



( ) 'B A A� � ' ( )A B A= � � Kommutativität ( ' ) ( ' )A B A A= � � � Distributivität ( ' )A B= � �� Komplement 'A B= � Identität 'B A= � Kommutativität \B A= Komplement

Algebraische Strukturen Eine Algebraische Struktur (oder Algebra) A

1, , , nA f f= ! ist eine Menge A , auf der

Operationen 1, , nf f! definiert sind.

Seien � und � 2-stellige Operatoren, * ein 1-stelliger Operator und 1 und 0 ausgezeichnete Elemente einer MengeB . Eine Boolesche Algebra , , ,*,1,0BA B � �= ist eine algebraische Struktur, die die Gesetze der Assoziativität, Kommutativität, Distributivität, Identität und des Komplements erfüllt (George Boole, 1815-1864).

Potenzmengen von beliebigen nicht-leeren MengenX haben die Struktur einer Booleschen Algebra ( ), , ,', ,X X� � �( . Beispiel: Sei { , , }X a b c=� . Dann ist ( ){ , , } , , ,',{ , , },a b c a b c� � �( eine Boolesche Algebra. Die Aussagenlogik AL ist ebenfalls eine Boolesche Algebra , , , , ,B �� ¬ ?F� , wobeiB die Menge der Formeln von AL ist und F und? entsprechend die tautologischen bzw. die kontradiktorischen Formeln repräsentieren. Die AL-Konnektoren � , � und ¬ werden deshalb auch Boolesche Operatoren genannt.

Übungen


Übungen Ü4.1 Gegeben seien die folgenden Mengen:

{ , , ,2, 3,4}A a b c= { , }B a b= { ,2}C c= { , }D b c= { , ,{ }}E a b c=

F = � {{ , },{ ,2}}G a b c=

Überprüfe die Wahrheit oder Falschheit der folgenden Behauptungen. (12 P.)

(a) c A� (b) c E� (c) { }c E� (d) { }c E� (e) { }c C� (f) { }c C� (g) D A� (h) D E� (i) F A� (j) B G� (k) B G� (l) G A�

Ü4.2 Gib für je zwei der folgenden Mengen an, ob sie in der Identitäts- oder der

Teilmengenrelation stehen. (4 P.)

{ , , , }A a b c d= B = �

{ ,{ , }}C a b b= { , ,{ }, , }D a b b c d=

Zusatz:

{ ,{ }, , }E a b c d= {{ , , , }}F a a c b= { , , , }G a b d c=

Übungen


Ü4.3 Gib für jede der folgenden Mengen eine äquivalente Darstellung in der Listennotation an. (3 P.)

(a) { |x x ist eine positive ganze Zahl, die größer als 4, aber kleiner als 10 ist} (b) { |x x ist ein Buchstabe, der im Wort Banane vorkommt} (c) { |x x ist ein Element der leeren Menge} Zusatz: (d) { |x x ist eine positive ganze Zahl, die kleiner als 4, aber größer als 10 ist} (e) { |x x ist eine Teilmenge der Buchstaben, die im Wort Bus vorkommen} (f) { |x x ist echte Teilmenge der Buchstaben, die im Wort Bus vorkommen}

Ü4.4 Gib für jede der folgenden Mengen eine äquivalente Darstellung in der Prädikatsnotation an. (2 P.)

(a) {2,4,6,8,10} (b) �

Zusatz: (c) { }� (d) {1,2, 3,5,7,11,13}

Ü4.5 Gib die Elemente der folgenden Potenzmengen an. (3 P.)

(a) ({ , , })a b c( (b) ( )�( (c) ( ({ }))a( (

Ü4.6 Gegeben seien die Mengen aus Ü4.1. Gib die Resultate folgender Mengenoperationen an: (5 P.)

(a) A B� (b) \A C (c) D E� (d) F G� (e) { , , }AB E�

Zusatzübungen: Ü4.7 Zeige, dass ( ) ( ') ( \ )A B A C A B C� � � = � . Ü4.8 (a) Zeige, dass ( ){ , , } , , ,',{ , , },a b c a b c� � �( eine Boolesche Algebra ist.

(b) Zeige, dass , , , , ,AL B= �� ¬ ?F� eine Boolesche Algebra ist.



4.3 Relationen [ Partee 27-30, 39-51, McCawley 148-149, Chierchia 534-536 ] Relationen können als spezielle Mengen verstanden werden. Hierfür muss zunächst der Begriff eines weiteren mengentheoretischen Objektes – der des geordneten n-Tupels – eingeführt werden. Geordnete n-Tupel Bei Mengen ist die Reihenfolge ihrer Elemente irrelevant, d.h. es gilt z.B.: { , } { , }x y y x= . Für bestimmte Zwecke werden geordnete Zusammenstellungen von Objekten benötigt. Der einfachste Fall einer solchen Zusammenstellung ist ein geordnetes Paar ,x y , wobei x das erste Element und y das zweite Element des Paares ist. Im Allgemeinen gilt: , ,x y y xv . Geordnete Paare lassen sich als spezielle Mengen definieren. Auf der Basis von geordneten Paaren lassen sich dann geordnete Tripel , ,x y z , Quadrupel , , , 'x y z z , Quintupel

, , , ', ''x y z z z etc., allgemein geordnete n-Tupel 1, ,! nx x , wobei n � � , definieren.

Kartesisches Produkt (nach René Descartes, 1596-1650) Aus zwei gegebenen Mengen lässt sich eine Menge von geordneten Paaren bilden. D4.13 { , | }

defA B x y x A y B× = � � �

„ A kreuz B “

Das Kartesische Produkt (bzw. die Kreuzmenge) von A und B ist die Menge aller geordneten Paare derart, dass das erste Element aus A und das zweite Element aus B stammt.

Beispiel: Sei { }, ,A a b c= und { }1,2B = . { ,1 , ,2 , ,1 , ,2 , ,1 , ,2 }A B a a b b c c× =

? Bestimme B A× .

Verallgemeinerung:

D4.14 1 1 1 1

... { ,..., | ... }n n n ndefA A x x x A x A× × = � � � �

„ 1A kreuz ... kreuz nA “ Beispiel: Sei { }, ,A a b c= und { }1,2B = .

,1,1 , ,1, 2 , , 2,1 , , 2, 2 ,

,1,1 , ,1, 2 , , 2,1 , , 2, 2 ,

,1,1 , ,1, 2 , , 2,1 , , 2, 2

£ ²¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦× × = ¤ »¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¥ ¼

a a a a

A B B b b b b

c c c c

4.3 Relationen


2

D4.15 2

defA A A= ×

„die 2. Kartesische Potenz von A “ Die 2. Kartesische Potenz von A ist das Kartesische Produkt (bzw. die Kreuzmenge) von A mit sich selbst. ? Bestimme 2A für { }, ,A a b c= .

Verallgemeinerung: D4.16 = × ×!

��

n-mal

n

defA

A A A

„die n. Kartesische Potenz von A “

Relationen als Mengen von n-Tupeln Eine 2-stellige (oder binäre) Relation R zwischen Elementen x und y lässt sich mit { , | ( , )}x y R x y , d.h. der Menge der geordneten Paare ,x y identifizieren, für die ( , )R x y gilt. D4.17 R ist eine 2-stellige (oder binäre) Relation zwischen Elementen x von A und y von B gdw � ×R A B . Dass zwei Elemente x und y in einer Relation R zueinander stehen, kann also nicht nur mit Hilfe von ( , )R x y oder xRy , sondern auch mit ,x y R� angezeigt werden. Beispiel: „… füttert ...“; F : Relation des Fütterns

( , )

, �

F x y

xFy

x y F

Beispiel: Angenommen, für { }Lisa,Bart,MaggieA = und { }Karlo,PlutoB = gelte, dass

Bart den Kater Karlo und Maggie sowohl Karlo als auch den Hund Pluto füttert. Die Relation des Fütterns F zwischen Elementen von A und Elementen von B ist dann wie folgt bestimmt:

{ }Bart,Karlo , Maggie,Karlo , Maggie,PlutoF = , wobei { } { }Lisa,Bart,Maggie Karlo,Pluto� ×F , d.h.

Lisa,Karlo , Lisa,Pluto ,

Bart,Karlo , Bart,Pluto ,

Maggie,Karlo , Maggie,Pluto

£ ²¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦� ¤ »¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¥ ¼

F



Ein Spezialfall ist eine 2-stellige (oder binäre) Relation R in einer Menge A , d.h. zwischen Elementen ein und derselben Menge. D4.18 R ist eine 2-stellige (oder binäre) Relation in A gdw 2R A� . ? Angenommen, für { }Lisa,Bart,MaggieA = gelte, dass zum einen Lisa und Maggie

Bart und zum anderen Bart und Maggie Lisa mögen und außerdem Bart sich selbst mag.

Bestimme die Relation des Mögens M in A als eine Teilmenge von ×A A .

Lisa,Lisa , Lisa,Bart , Lisa,Maggie ,

Bart,Lisa , Bart,Bart , Bart,Maggie ,

Maggie,Lisa , Maggie,Bart , Maggie,Maggie

£ ²¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦× = ¤ »¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¦ ¦¥ ¼

A A

Verallgemeinerung: Eine n-stellige Relation R zwischen Elementen

1,..., nx x lässt sich entsprechend mit

! !1 1

{ , , | ( , , )}n nx x R x x , d.h. mit der Menge der geordneten n-Tupel 1, ,! nx x

identifizieren, für die 1

( , , )! nR x x gilt. D4.19 R ist eine n-stellige Relation zwischen Elementen

1x von

1A ,

2x von

2A , ... und nx

von nA gdw 1

... nR A A� × × .

Eine 2-stellige (oder binäre) Relation kann auch als eine Abbildung aus einer Menge nach einer Menge aufgefasst werden. D4.20 R ist eine Abbildung aus A nach B gdw R A B� × . Beispiel: Die binäre Relation des Fütterns F zwischen Elementen von { }Lisa,Bart,MaggieA = und Elementen von { }Karlo,PlutoB = lässt sich als Abbildung aus A nach B wie folgt darstellen:

A B

Lisa

Bart

Maggie

Karlo

Pluto

4.3 Relationen


4

Jedes Element von B , das mit einem bestimmten Element x von A gepaart auftritt, heißt ein Bild von x bei R . Umgekehrt heißt jedes Element von A , das mit einem bestimmten Element y von B gepaart ist, ein Urbild von y bei R . Die Menge der Urbilder bei R bilden den Vorbereich Vb und die Menge der Bilder den Nachbereich Nb von R . D4.21 (1) [ ]( ) { | , }

defVb R x A y B x y R= � � � �

(2) [ ]( ) { | , }def

Nb R y B x A x y R= � � � �

? Gib für die Relationen F und M jeweils deren Vor- und Nachbereich an.

Das Komplement 'R einer Relation R A B� × enthält alle geordneten Paare aus A B× , die nicht Elemente von R sind. D4.22 ' { , | , }

defR x y x y R= �

Dagegen enthält die Inverse 1R� einer Relation R A B� × alle geordneten Paare aus B A× , die aus den Paaren von R dadurch hervorgehen, dass die Reihenfolge von deren Elementen umgekehrt wird. D4.23 1 { , | , }

defR y x x y R� = �

Beispiel: Wenn { }Bart,Karlo , Maggie,Karlo , Maggie,PlutoF = , dann ist

' { Bart,Pluto , Lisa,Karlo , Lisa,Pluto }F = und

1 { Karlo,Bart , Karlo,Maggie , Pluto,Maggie }F� = . ? Wie lässt sich das Komplement 'F von F und die Inverse 1�F von F angesichts

dessen charakterisieren, dass F die Relation des Fütterns („... füttert ...“) ist? ? Bestimme die Relationen 'M und 1�M als Teilmengen von ×A A .

Eigenschaften von binären Relationen D4.24 (1) R in A ist reflexiv gdw [ ],x A x x R� � � .

(2) R in A ist irreflexiv gdw [ ],x A x x R� � � . Beispiele: (a) Sei {1,2,3}A= . zu (1):

1{ 1,1 , 2,1 , 2,2 , 3,3 }R =

zu (2): 2

{ 1,3 , 2,3 }R = (b) Sei A die Menge der Menschen.

zu (1): „... ist ebenso alt wie ...“ zu (2): „... ist älter als ...“



D4.25 (1) R in A ist symmetrisch gdw , [ , , ]x y A x y R y x R� � � l � .

(2) R in A ist asymmetrisch gdw , [ , , ]x y A x y R y x R� � � l � .

(3) R in A ist antisymmetrisch gdw , [ , , ]x y A x y R y x R x y� � � � � l = . Beispiele: (a) zu (1):

3{ 1,2 , 2,1 , 2,2 }R =

zu (2): 4

{ 1,2 , 3,1 }R =

zu (3): 5

{ 1,1 , 2,3 }R = (b) zu (1): „... ist Geschwister von ...“

zu (2): „... ist Mutter von ...“ zu (3): „... ist nicht älter als ...“

D4.26 (1) R in A ist transitiv gdw , , [ , , , ]x y z A x y R y z R x z R� � � � � l � .

(2) R in A ist intransitiv gdw , , [ , , , ]x y z A x y R y z R x z R� � � � � l � . Beispiele: (a) zu (1):

6{ 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,3 }R =

zu (2): 7

{ 1,2 , 2,3 }R = (b) zu (1): „... ist Vorfahre von ...“ zu (2): „... ist Großtante von ...“ D4.27 R in A ist konnex (oder linear) gdw , [ , , ]x y Ax y x y R y x R� � v l � � � . Beispiele: (a)

8{ 1,3 , 2,1 , 3,2 }R =

(b) „... ist älter als ... oder ebenso alt“ ? Welche der vorangehend definierten Eigenschaften hat die Relation M ?

{ }Lisa,Bart , Bart,Lisa , Bart,Bart , Maggie,Lisa , Maggie,Bart=M

D4.28 (1) R aus A nach B ist linkstotal gdw [ ],x A y B x y R� � � � �

(2) R aus A nach B ist rechtstotal (oder surjektiv) gdw [ ],y B x A x y R� � � � � . Damit gibt es bei linkstotalem R zu jedem Element von A mindestens ein Bild (d.h.

( )Vb R A= ), bei rechtstotalem R zu jedem Element von B mindestens ein Urbild (d.h. ( )Nb R B= ).

? Sind die Relationen F und M linkstotal oder rechtstotal oder beides?

? Was folgt hieraus jeweils für die inversen Relationen 1�F und 1�M ?

4.3 Relationen


6

D4.29 (1) R aus A nach B ist linkseindeutig (oder injektiv) gdw

[ ], ' , ', 'x x A y B x y R x y R x x� � � � � � � l = .

(2) R aus A nach B ist rechtseindeutig gdw

[ ], ' , , ' 'x A y y B x y R x y R y y� � � � � � � l = . Damit gibt es bei linkseindeutigem R zu jedem Element von B höchstens ein Urbild, bei rechtseindeutigem R zu jedem Element von A höchstens ein Bild. ? Sind die Relationen F und M linkseindeutig oder rechtseindeutig oder beides?

? Was folgt hieraus jeweils für die inversen Relationen 1�F und 1�M ?

Spezielle Arten von binären Relationen Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, ist eine Äquivalenzrelation. Beispiele: (a)

9{ 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 }R =

(b) „... ist ebenso alt wie ...“ Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, ist eine schwache Ordnungsrelation (oder reflexive Halbordnung). Beispiele: (a)

10{ 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,2 , 3,3 }=R

(b) „... ist nicht älter als ...“ Eine Relation, die irreflexiv, asymmetrisch und transitiv ist, ist eine strenge Ordnungsrelation (oder irreflexive Halbordnung). Beispiele: (a)

11{ 1,2 , 1,3 , 2,3 }=R

(b) „... ist älter als ...“ Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und konnex ist, ist eine totale Ordnungsrelation (oder Totalordnung). Beispiel: (a)

12{ 1,1 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 3,3 }=R

? Warum gehört die Relation M zu keiner dieser speziellen Arten?



Übungen Ü4.9 Sei {1,2,3}A= und { , }B a b= . (6 P.)

(a) Gib die folgenden Mengen in Listennotation an: B A× B B× ( ) ( \ )A B B A� × ( ) ( )A A B B× � ×

(b) Sei { 1, , 2, , 2, }R a a b= eine Relation ausA nach B . Gib das Komplement 'R und die Inverse 1R� an.

Zusatz: (c) Gilt 1 1( ') ( )'R R� �= ?

Ü4.10 Welche der folgenden Relationen über der Menge der Menschen sind reflexiv,

irreflexiv, symmetrisch, asymmetrisch oder transitiv? (1) „… ist genauso alt wie …“ (3 P.) (2) „… ist Onkel von …“ (2 P.) (3) „… kennt …“ (2 P.)

Ü4.11 Sind die folgenden Relationen Äquivalenzrelationen? (4 P.)

(1) „… ist Nachfahre von …“ in der Menge der Menschen (2)

1{ , | ,R p q p q= sind aussagenlogische Formeln und es gelten p ql und }q pl

(3) 2

{ , | ( ) ( ) }R AB A G B G A B= � � � � �( ( , wobei {1,2,3}G= (4) “… kann genauso viele Gedichte rezitieren wie …”

Zusatzübungen: Ü4.12 Sei { , , }D j m s= . Wieviele verschiedene Relationen in D gibt es? Wieviele davon sind

reflexiv? Ü4.13 Zeige für die in {1,2,3,5,6,10,15,30}A= definierte Relation

{ , |R x y y= ist ohne Rest durch x teilbar},

dass sie eine schwache, aber keine totale Ordnungsrelation ist.



4.4 Funktionen [ Gamut 41-44, Partee 30-36, Chierchia 536-539 ] Funktionen sind spezielle binäre Relationen bzw. spezielle Abbildungen und damit nichts anderes als spezielle Mengen. Funktionen werden gewöhnlich mit f , g , ... oder F , G , ... notiert. D4.30 Eine binäre Relation (oder eine Abbildung) f ist eine Funktion von A nach B gdw

es für jedes x A� genau ein y B� gibt derart, dass ,x y f� , d.h. wenn f linkstotal und rechtseindeutig ist.

Falls 2f A� , wird von einer Funktion in A gesprochen. Beispiel: Sei { }Lisa,Bart,MaggieA = und { }Karlo,PlutoB = , wobei jetzt gelte, dass Lisa

Karlo füttert und sowohl Bart als auch Maggie Pluto füttern. Die Relation des Fütterns �F ist dann eine Funktion von A nach B und lässt sich wie folgt darstellen:

A B

Der Vorbereich einer Funktion f von A nach B wird als Definitionsbereich (engl. ‚domain’)

( )DOM f , der Nachbereich als Wertebereich (engl. ‚range’) ( )RNG f bezeichnet. Es gilt: ( )DOM f A= und ( )RNG f B� . Die Elemente des Definitionsbereichs ( )DOM f nennt man Argumente von f , die Elemente des Wertebereichs ( )RNG f Funktionswerte von f . Der spezifische Charakter von Funktionen gegenüber gewöhnlichen binären Relationen bzw. gewöhnlichen Abbildungen wird durch eine eigene Notationsweise ausgedrückt. Notation: ( )y f x= (statt: ,x y f� )

„y ist f von x “

Lisa

Bart

Maggie

Karlo

Pluto

4.4 Funktionen


2

Beispiel: Sei { }Lisa,Bart,MaggieA = und { }Homer,MargeB = , wobei Homer der Vater von Lisa, Bart und Maggie ist. Die Vater-von-Funktion v von A nach B lässt sich wie folgt darstellen:

A B

Spezifikation von Funktionen (A) Aufzählung:

1 1

2 2

3 3

...

a b

a bfa b

¯l¡ °¡ °l¡ °= ¡ °

l¡ °¡ °¡ °¡ °¢ ±

„ f ist eine Funktion derart, dass

1a auf

1b ,

2a auf

2b etc. abgebildet wird.“

Alternative Notation:

{ }1 1 2 2 3 3, , , , , ,...f a b a b a b=

Beispiel: die Vater-von-Funktion v

{ }

Bart Homer

Lisa Homer

Maggie Homer

...

Bart,Homer , Lisa,Homer , Maggie,Homer ,...

¯l¡ °¡ °l¡ °= ¡ °

l¡ °¡ °¡ °¡ °¢ ±

=

v

(B) Beschreibung:

:f A Bl , (statt: f A B� × ) ( )x f x6�

„ f ist eine Funktion von A nach B derart, dass x auf f von x abgebildet wird.“

Lisa

Bart

Maggie Marge

Homer



Alternative Notation:

{ }, | ( )= � � � � =f x y x A y B y f x Beispiel: die Vater-von-Funktion v { } { }: | ( ) | ( )v x MENSCH x x MENSCH xl , x 6 v ( )x alternativ: { } { }{ }, | | ( ) y | ( ) y ( )= � � � � =v x y x x MENSCH x x MENSCH x v x

Differenzierung von Funktionen D4.31 Eine Funktion f ist eine Funktion von A in B gdw ( )RNG f B� , d.h. wenn der

Wertebereich von f eine echte Teilmenge von B ist. Beispiel: Sei { }Lisa,Bart,MaggieA = und { }Homer,MargeB = , wobei Marge die Mutter

von Lisa, Bart und Maggie ist. Die Mutter-von-Funktion ist eine Funktion von A in B und lässt sich wie folgt darstellen:

A B

D4.32 Eine Funktion f ist eine Funktion von A auf B gdw ( )RNG f B= , d.h. wenn f rechtstotal (oder surjektiv) ist. Beispiel: Die Sohn-von-Funktion s ist eine Funktion von {Homer,Ned,Marge,Kirk}A =

auf {Todd,Bart,Milhouse}B = und lässt sich wie folgt darstellen:

A B

Todd

Bart

MilhouseMarge

Homer

Ned

Kirk

Lisa

Bart

Maggie Marge

Homer

4.4 Funktionen


4

D4.33 Eine Funktion f ist ein-eindeutig (bijektiv oder eine Bijektion) gdw ( )RNG f B= und es für jedes y B� höchstens ein x A� gibt derart, dass ( )y f x= , d.h. wenn f rechtstotal (surjektiv) und linkseindeutig (injektiv) ist.

Beispiel: Sei {Homer,Ned}A= und {Marge,Maude}B= , wobei Homer mit Marge und

Ned mit Maude verheiratet ist. Dann ist die Ehefrau-von-Funktion e eine ein-eindeutige Funktion von A auf B und lässt sich wie folgt darstellen:

A B

Wenn :f A Bl eine ein-eindeutige Funktion ist, dann gibt es eine dazu inverse Funktion (eine Umkehrfunktion) 1 :f B A� l . ? Ist die oben angegebene Funktion des Fütterns �F rechtstotal, linkseindeutig und

damit ein-eindeutig?.

Komposition von Funktionen Zwei Funktionen (und allgemeiner zwei Relationen) lassen sich miteinander verknüpfen. Gegeben seien die Funktionen :f A Bl und :g B Cl . Das Ergebnis einer Komposition von f mit g ist dann die Funktion :g f A ClD , wobei gilt: D4.34 [ ]( ) ( ( ))

defg f x g f x=D (einfacher: ( )g f xD )

„g nach f von x “ Dabei wird zunächst f auf jedes x in ( )DOM f , danach g auf jedes ( )f x in ( )DOM g angewandt. Im Allgemeinen gilt: g f f gvD D . Beispiel: Sei = ={a,b,c}, {1,2,3}A B und ={A,B,C}C . Seien außerdem folgende Funktionen :f A Bl und :g B Cl gegeben:

¯l¡ °¡ °= l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

a 3

b 1

c 2

f ,

¯l¡ °¡ °= l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

1 B

2 C

3 A

g

Ned

MargeHomer

Maude



Dann ist die Komposition beider:

¯l¡ °¡ °= l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

D

a A

b B

c C

g f .

A B C

A B

Beispiel: Seien die Vater-von-Funktion v und die Mutter-von-Funktion m wie folgt gegeben:

¯l¡ °¡ °l¡ °= ¡ °

l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

Homer Abe

Bart Homer

Lisa Homer

Maggie Homer

v ,

¯l¡ °¡ °

l¡ °¡ °¡ °= l¡ °¡ °

l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

Abe Jackie

Homer Mona

Bart Marge

Lisa Marge

Maggie Marge

m

Die Großmutter-väterlicherseits-von-Funktion (d.h. die Vater-Mutter-von-Funktion) vm ergibt sich dann durch Komposition von v mit m wie folgt:

¯l¡ °¡ °l¡ °

= = ¡ °l¡ °

¡ °¡ °l¡ °¢ ±

D

Homer Jackie

Bart Mona

Lisa Mona

Maggie Mona

vm m v

a

b

c

B

A

C

a

b

c

2

1

3

A

B

C

4.4 Funktionen


6

Charakteristische Funktionen Mengen können mit Hilfe von Funktionen charakterisiert werden. Eine Menge zu kennen, bedeutet, in der Lage zu sein, ihre Elemente zu identifizieren, d.h für beliebige Objekte angeben zu können, ob sie zur Menge gehören oder nicht. Die Voraussetzung dafür kann durch eine Funktion geliefert werden, die den Elementen dieser Menge den Wert 1 (wahr) und allen anderen Objekten den Wert 0 (falsch) zuordnet. Sei � eine Grundmenge und A eine Menge mit A� � . Die charakteristische Funktion von A (notiert als

AD ) ist dann wie folgt definiert:

D4.35 { }: 0,1

AD l �� ,

1, falls

0, falls

x Ax

x A

£ �¦¦¦¤¦ �¦¦¥

6

Beispiel: Sei {Bierwisch,Euler,Gagarin,Montague,Roddenberry,Ross,Torvalds}=� und

{Bierwisch,Montague,Ross}A= die Menge der Linguisten in � . Dann ist die charakteristische Funktion von A :

Bierwisch 1

Euler 0

Gagarin 0

Montague 1

Roddenberry 0

Ross 1

Torvalds 0

AD

¯l¡ °¡ °

l¡ °¡ °¡ °l¡ °¡ °= l¡ °¡ °¡ °l¡ °¡ °l¡ °¡ °

l¡ °¡ °¢ ±



Übungen Ü4.14 Es seien { , , , }A a b c d= und {1,2,3,4}B= . Sind folgende Relationen auf A B× auch

Funktionen? Wenn ja, sind sie ein-eindeutige Funktionen? (4 P.)

(i) { },1 , ,2 , ,3a b d

(ii) { },2 , ,3 , ,1 , ,4a b c d

(iii) { },2 , ,2 , ,2 , ,2a b c d

(iv) { },3 , ,2 , ,1 , ,1 , ,4a b c d b Ü4.15 Gib die charakteristische Funktion der Menge { }, ,i o u an. Der Grundbereich sei { }, , , ,a e i u o . (1 P.) Ü4.16 Es seien {1,2, }C a= und { , ,47}D d F= . Es seien außerdem :f C Dl und :g D Cl

folgende Funktionen:

1

2

47

F

f d

a

¯l¡ °¡ °= l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

, 1

47 2

d a

g F

¯l¡ °¡ °= l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

Gib f gD und g fD an. (2 P.) Zusatz: Überprüfe, ob 1 1 1( )g f f g� � �=D D .

5 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) – Teil II


5 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) �Teil II

5.1 Semantik von PL1 [ Dowty 19-23, 44-47, 57-66, Partee 142-147, 323-333, Chierchia 122-137 ] Ziel ist die Angabe von Wahrheitsbedingungen für beliebige Formeln von PL1. Die Semantik von PL1 setzt sich aus drei Komponenten zusammen:

x Modelle x Variablenbelegungen x Semantische Regeln

Interpretationen Der Wahrheitswert einer Formel von PL1 hängt von den Denotationen und damit den semantischen Werten der in ihr vorkommenden Individuen- und Prädikatskonstanten (d.h. nicht-logischen Konstanten) ab. Da die IK und PK von PL1 bisher nur rein syntaktisch bestimmt sind, müssen sie jeweils mit einer Denotation ausgestattet, d.h. interpretiert werden. D5.1 Eine Interpretation I für eine PL1-Sprache L ist eine Funktion, die auf der Menge der

IK und der PK von L definiert ist und jedem Element dieser Menge mit Bezug auf eine nicht-leere Diskursdomäne D eine Denotation zuweist, wobei im Einzelnen folgende Zuordnungen vorgenommen werden:

(i) zu jeder IK U ein Element von D , d.h. ( )I DU �

(ii) zu jeder 1-stelligen PK 1Q eine Teilmenge von D , d.h. 1( )I DQ � (bzw. ein Element der Potenzmenge von D , d.h. 1( ) ( )I DQ � ( )

(ii) zu jeder 2-stelligen PK 2Q eine Teilmenge von geordneten Paaren von Elementen von D , d.h. 2 2( )I DQ � (bzw. ein Element der Potenzmenge von 2D , d.h. 2 2( ) ( )I DQ � ( )

(iii) zu jeder n-stelligen PK nQ eine Teilmenge von geordneten n -Tupeln von Elementen von D , d.h. ( )n nI DQ � (bzw. ein Element der Potenzmenge von nD , d.h. ( ) ( )n nI DQ � ( )

5.1 Semantik von PL1


Modelle Eine PL1-Sprache L wird mit Hilfe von Modellen interpretiert. Deshalb bezeichnet man die Semantik von PL1 auch als eine modelltheoretische Semantik. Allgemein liefert ein Modell für eine Sprache L eine vereinfachte Darstellung der Welt bzw. eines Ausschnitts der Welt (d.h. einer Gesamtheit von Individuen mit ihren Eigenschaften und Relationen), über die mit L gesprochen wird. D5.2 Ein Modell M für eine PL1-Sprache L ist ein geordnetes Paar ,D I , wobei D die

Diskursdomäne von M und I die Interpretationsfunktion von M ist. Für ein und dieselbe Sprache L lassen sich verschiedene Modelle angeben. Die können sich sowohl hinsichtlich D als auch hinsichtlich I unterscheiden. Mit variierendem I verändern sich die Denotationen von Elementen der Menge der IK und der PK. Beispiel:

Gegeben sei eine einfache PL1-Sprache 'L , die folgende nicht-logische Grundausdrücke (d.h. Individuenvariablen, Individuenkonstanten und Prädikatskonstanten) enthält: IV: , ,x y z IK: , , ,a b c e PK: , ,F M S (1-stellig) V (2-stellig) Betrachtet seien die folgenden möglichen Modelle

1M ,

2M und

3M für 'L :

1 1 1,M D I= , wobei

1{Anton,Berta,Cäsar,Erna}D = und

1( ) AntonI a =

1( ) BertaI b =

1( ) CäsarI c =

1( ) ErnaI e =

1( )I F {Berta,Erna}=

1

{ |= �d D d ist eine Frau}

1( )I M {Anton,Cäsar}=

1

{ |= �d D d ist ein Mann}

1( )I S {Anton,Berta,Erna}=

1

{ |= �d D d schläft}

1( )I V { Anton,Berta , Anton,Erna , Berta,Cäsar , Erna,Cäsar }=

2

1 { , ' |= �d d D d vertraut '}d



Grafische Darstellung von 1M :


2

{Aachen,Berlin,Coburg,Erfurt}D = und

2( ) AachenI a =

2( ) BerlinI b =

2( ) CoburgI c =

2( ) ErfurtI e =

2( ) {Erfurt}I F = (z.B. ‚ist eine Landeshauptstadt’)

2( ) {Aachen}I M = (z.B. ‚ist ein Kurort’)

2( ) {Aachen,Berlin,Erfurt}I S = (z.B. ‚ist eine Großstadt’)

2( ) { Aachen,Erfurt , Berlin,Coburg }I V = (z.B. ‚ist ebenso verschmutzt wie’)

bzw.: 2

Aachen

Berlin

Coburg

Erfurt

{Erfurt}

{Aachen}

{Aachen,Berlin,Erfurt}

{ Aachen,Erfurt , Berlin,Coburg }

¯l¡ °¡ °l¡ °¡ °l¡ °¡ °¡ °l¡ °

= ¡ °l¡ °

¡ °¡ °l¡ °¡ °l¡ °

¡ °¡ °l¡ °¡ °¢ ±

a

b

c

eI

F

M

S

V

1D

1 1D D×

Anton

Cäsar

Berta

Erna

b

c

e

a S

M

V

F

Anton,Erna

Anton,Berta Anton,Cäsar

Cäsar,Erna

Cäsar,Anton Anton,Erna

Erna,Erna

Berta,Cäsar Erna,Anton

Berta,Anton

Erna,Cäsar Berta,Berta

Cäsar,Berta

Anton,Anton

Cäsar,Cäsar

Erna,Berta




3{1,2, 4, 8}=D und

{ }

{ }

{ }

3

1

2

8

1

1,8

2, 4, 8

2,1 , 4, 2 , 8, 4

l ¯¡ °¡ °l¡ °¡ °l¡ °¡ °¡ °l¡ °

= ¡ °l �¡ °¡ °¡ °l¡ °¡ °l¡ °¡ °¡ °l¡ °¡ °¢ ±

a

b

c

e

IF

M

S

V

? Wie lassen sich die Interpretationen von F , M , S und V in

3M umschreiben?

Variablenbelegungen Um den Wahrheitswert von Formeln mit Individuenvariablen bestimmen zu können, muss außerdem jede IV mit einem hypothetischen semantischen Wert belegt werden. D5.3 Eine Variablenbelegung g für eine PL1-Sprache L ist eine Funktion, die jeder IV H

von L ein Element von D als semantischen Wert zuordnet. Beispiel:

Mit Bezug auf das Modell 1M sei die folgende Belegung { }1 1: , ,g x y z Dl betrachtet:

1

Berta

Anton

Erna

x

g y

z

¯l¡ °¡ °

= l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

Für welche konkrete Belegung der IV mit Individuen sich jeweils entschieden wird, ist arbiträr. Ein spezielles Verfahren sichert, dass ausgehend von einer zunächst gewählten Anfangsbelegung beliebige andere Belegungen der IV berücksichtigt werden können. Das Verfahren arbeitet mit Varianten [ ]lg dH einer gegebenen Belegung g . Notation: [ ]lg dH sei diejenige Belegung, die sich von g höchstens dadurch

unterscheidet, dass der IV H das Individuum d zugeordnet wird.



Beispiel: Mögliche Varianten von 1g

- durch Variation der Werte für x :

1 1

Berta

[ Berta] Anton

Erna

¯l¡ °¡ °

l = l =¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g x y g

z

1

Cäsar

[ Cäsar] Anton

Erna

¯l¡ °¡ °

l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g x y

z

1

Erna

[ Erna] Anton

Erna

¯l¡ °¡ °

l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g x y

z

1

Anton

[ Anton] Anton

Erna

¯l¡ °¡ °

l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g x y

z

- durch Variation der Werte für y :

1 1

Berta

[ Anton] Anton

Erna

¯l¡ °¡ °

l = l =¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g y y g

z

1

Berta

[ Berta] Berta

Erna

¯l¡ °¡ °

l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g y y

z

1

Berta

[ Cäsar] Cäsar

Erna

¯l¡ °¡ °

l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g y y

z

1

Berta

[ Erna] Erna

Erna

¯l¡ °¡ °

l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g y y

z

Weitere Varianten von

1g entstehen durch die durch Variation der Werte für z .

Die Varianten der Anfangsbelegung können selbst einer weiteren Variation unterzogen werden. Beispiel: Mögliche Varianten von

1[ Berta]lg x

- durch Variation der Werte für z :

1

Berta

[ Berta][ Erna] Anton

Erna

¯l¡ °¡ °

l l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g x z y

z

1

Berta

[ Berta][ Anton] Anton

Anton

¯l¡ °¡ °

l l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g x z y

z



1

Berta

[ Berta][ Cäsar] Anton

Cäsar

¯l¡ °¡ °

l l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g x z y

z

1

Berta

[ Berta][ Berta] Anton

Berta

¯l¡ °¡ °

l l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g x z y

z

Weitere Varianten von

1[ Berta]lg x entstehen durch die Variation der Werte

für y .

Beispiel: Mögliche Varianten von

1[ Erna]lg x

- durch Variation der Werte für y :

1

Erna

[ Erna][ Anton] Anton

Erna

¯l¡ °¡ °

l l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g x y y

z

1

Erna

[ Erna][ Berta] Berta

Erna

¯l¡ °¡ °

l l = l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g x y y

z

etc. ? Gib mögliche Varianten von

1[ Erna]lg x an, die durch Variation der Werte für z

enstehen. ? Gib die Werte für die IV bei den jeweiligen Belegungen an.

1( )g y =

1[ Erna]( )l =g x y

1[ Berta]( )l =g y y

1[ Berta]( )l =g y x

1[ Berta][ Cäsar]( )l l =g x y x

1[ Berta][ Cäsar]( )l l =g x y z



Semantische Regeln von PL1 Modelle und Variablenbelegungen sind jene Komponenten der Semantik von PL1, die jeweils unterschiedlich gewählt werden können, d.h. variabel sind. Die semantischen Regeln bilden dagegen ihre konstante Komponente. Die semantischen Regeln von PL1 dienen dazu, um ausgehend von den semantischen Werten der nicht-logischen Grundausdrücke die semantischen Werte von beliebigen Formeln von PL1 , d.h. deren Wahrheitswerte kompositionell zu errechnen. Dies geschieht nach Maßgabe der syntaktischen Struktur der jeweiligen Formeln. Es gibt drei Typen von semantischen Regeln:

x Regeln zur Bestimmung der semantischen Werte von nicht-logischen Grundausdrücken bezüglich M und g

x Rekursive Regeln zur Bestimmung der Wahrheitswerte von Formeln bezüglich M und g (parallel zu den rekursiven syntaktischen Regeln von PL1, vgl. D 3.1 aus Abschnitt 3.4)

x Regeln zur Bestimmung der Wahrheitswerte von Formeln bezüglich M Notation:

a b ,M gB : der semantische Wert von B bzgl. M und g a bMB : der semantische Wert von B bzgl. M

D5.4 Semantische Werte von nicht-logischen Grundausdrücken bezüglich M und g

(1) Wenn U eine IK ist, dann a b , ( )M g IU U= . (2) Wenn U eine IV ist, dann a b , ( )M g gU U= . (3) Wenn Q eine PK ist, dann a b , ( )M g IQ Q= .

D5.5 Wahrheitswerte von Formeln bezüglich M und g

(1) ,

1( ,..., ) 1

M g

nQ U U =c fe hd g gdw a b a b, , ,

1..,,

M g M gM g

nU QU �c fe hd g .

(2) a b,

1M gG¬ = gdw a b ,

0M gG = .

(3) (a) a b,

1M g

G Z� = gdw a b ,1

M gG = und a b ,

1M gZ = .

(b) a b,

1M g

G Z� = gdw a b ,1

M gG = oder a b ,

1M gZ = .

(c) a b,

1M g

G Zl = gdw a b ,0

M gG = oder a b ,

1M gZ = .

(d) a b,

1M g

G Zj = gdw a b a b, ,M g M g

G Z= .

(4) (a) a b,

1M g

HG� = gdw für jedes d D� gilt: a b , [ ]1

l=

M g dHG .

(b) a b,

1M g

HG� = gdw für mindestens ein d D� gilt: a b , [ ]1

l=

M g dHG .



D5.6 Wahrheitswerte von Formeln bezüglich M

(1) G ist wahr in M gdw für jede Belegung g gilt: a b ,1

M gG = .

Notation: a b 1

MG = (alternativ:M GB )

(2) G ist falsch in M gdw für jede Belegung g gilt: a b ,

0M gG = .

Der Wahrheitswert einer Aussage (d.h. einer geschlossenen Formel) hängt damit nur vom gewählten Modell M , nicht aber von der gewählten Belegung g ab.

Modell einer Formel und einer Formelmenge D5.7 M ist ein Modell einer Formel G gdw a b 1

MG = .

D5.8 M ist ein Modell einer Formelmenge 4 gdw für jede Formel G aus 4 gilt:

a b 1MG = .

Berechnung der Wahrheitswerte von Formeln Beispiele:

Gegeben seien folgende Aussagen in 'L :

(1) ( ) ( , )F b V b c� (2) [ ]( ) ( )x M x S x� � (3) [ ]( ) ( , )x F x V a x� l

? Gib die natürlichsprachlichen Korrelate dieser Aussagen unter Voraussetzung ihrer

Interpretation im Modell 1M an. Die Wahrheitswerte der Aussagen in

1M lassen sich wie folgt berechnen:

zu (1): ( ) ( , )F b V b c�

(a) a b 1 1

,( ) ( , ) 1

M gF b V b c� = gdw a b 1 1

,( ) 1

M gF b = und a b 1 1

,( , ) 1

M gV b c = (nach D5.5

(3a)). (b) a b 1 1

,( ) 1

M gF b = gdw a b a b1 1 1 1

, ,M g M gb F� (nach D5.5 (1)).

(c) a b a b1 1 1 1, ,M g M g

b F� gdw 1 1( ) ( )I b I F� (nach D5.4 (1) und (3)).

(d) 1 1( ) ( )I b I F� gdw { }Berta Berta,Erna� .

(e) a b 1 1,

( ) 1M g

F b = gdw { }Berta Berta,Erna� (wegen (b), (c) und (d)).

(f) Es gilt: { }Berta Berta,Erna� .



(g) a b 1 1,

( ) 1M g

F b = (wegen (e) und (f)).

(h) a b 1 1,

( , ) 1M g

V b c = gdw a b a b a b1 1 1 11 1, ,,,

M g M gM gb c V� (nach D5.5 (1)).

(i) a b a b a b1 1 1 11 1, ,,,

M g M gM gb c V� gdw 1 1 1( ), ( ) ( )I b I c I V� (nach D5.4 (1) und (3)).

(j) 1 1 1( ), ( ) ( )I b I c I V� gdw

Berta,Cäsar { Anton,Berta , Anton,Erna , Berta,Cäsar , Erna,Cäsar }� .

(k) a b 1 1,

( , ) 1M g

V b c = gdw

Berta,Cäsar { Anton,Berta , Anton,Erna , Berta,Cäsar , Erna,Cäsar }� . (l) Es gilt:

Berta,Cäsar { Anton,Berta , Anton,Erna , Berta,Cäsar , Erna,Cäsar }� .

(m) a b 1 1,

( , ) 1M g

V b c = (wegen (k) und (l)).

(n) a b 1 1,

( ) ( , ) 1M g

F b V b c� = (wegen (a), (g) und (m)).

(o) a b 1( ) ( , ) 1M

F b V b c� = (nach D5.6 (1)). zu (2): [ ]( ) ( )x M x S x� �

(a) [ ] 1 1,

( ) ( ) 1M g

x M x S x� � =c fe h gdw für mindestens ein d D� gilt:

a b[ ]

1 1,

( ) ( ) 1l

� =M g x d

M x S x (nach D5.5 (4b)).

(b) a b[ ]

1 1,

( ) ( ) 1l

� =M g x d

M x S x gdw

a b[ ]

1 1,

( ) 1l=

M g x dM x und a b

[ ]1 1,

( ) 1l=

M g x dS x (nach D5.5 (3a)).

(c) a b[ ]

1 1,

( ) 1l=

M g x dM x gdw a b [ ] a b

[ ]1 11 1,, ll �

M g x dM g x dx M (nach D5.5 (1)).

(d) a b [ ] a b[ ]

1 11 1,, ll �

M g x dM g x dx M gdw [ ]1 1

( ) ( )l �g x d x I M (nach D5.4 (2) und (3)).

(e) a b[ ]

1 1,

( ) 1l=

M g x dS x gdw a b [ ] a b

[ ]1 11 1,, ll �

M g x dM g x dx S (nach D5.5 (1)).

(f) a b [ ] a b[ ]

1 11 1,, ll �

M g x dM g x dx S gdw 1 1[ ]( ) ( )l �g x d x I S (nach D5.4 (2) und (3)).

(g) a b[ ]

1 1,

( ) 1l=

M g x dM x und a b

[ ]1 1,

( ) 1l=

M g x dS x gdw

1 1[ ]( ) ( )l �g x d x I M und

1 1[ ]( ) ( )l �g x d x I S .

(h) Sei Antond = . (i) Es gilt Anton {Anton,Cäsar}� und Anton {Anton,Berta,Erna}� , d.h.

1Anton ( )I M� und

1Anton ( )I S� .

(j) Für mindestens ein d D� gilt also: a b[ ]

1 1,

( ) 1l=

M g x dM x und a b

[ ]1 1,

( ) 1l=

M g x dS x .

(k) Für mindestens ein d D� gilt a b[ ]

1 1,

( ) ( ) 1l

� =M g x d

M x S x (wegen (b) und (j)).

(l) [ ] 1 1,

( ) ( ) 1M g

x M x S x� � =c fe h (wegen (a) und (k)). zu (3): [ ]( ) ( , )x F x V a x� l

(a) [ ]1 1,

( ) ( , ) 1M g

x F x V a x� l =c fd ge h gdw für jedes d D� gilt:

a b[ ]

1 1,

( ) ( , ) 1l

l =M g x d

F x V a x (nach D5.5 (4a)).



(b) a b[ ]

1 1,

( ) ( , ) 1l

l =M g x d

F x V a x gdw a b[ ]

1 1,

( ) 0l=

M g x dF x oder

a b[ ]

1 1,

( , ) 1l=

M g x dV a x (nach D5.5 (3c)).

(c) a b[ ]

1 1,

( ) 1l=

M g x dF x gdw a b [ ] a b

[ ]1 11 1,, ll �

M g x dM g x dx F (nach D5.5 (1)).

(d) a b[ ]

1 1,

( ) 0l=


[ ]1 11 1,, ll �

M g x dM g x dx F (wegen (c)).

(e) a b [ ] a b[ ]

1 11 1,, ll �

M g x dM g x dx F gdw [ ]1 1

( ) ( )l �g x d x I F (nach D5.4 (2) und (3)).

(f) a b[ ]

1 1,

( ) 0l=

M g x dF x gdw [ ]

1 1( ) ( )l �g x d x I F (wegen (d) und (e)).

(g) a b[ ]

1 1,

( , ) 1l=

M g x dV a x gdw a b [ ] a b [ ] a b

[ ]1 11 1 1 1,, ,,

ll l �M g x dM g x d M g x da x V (nach D5.5

(1)). (h) a b [ ] a b [ ] a b

[ ]1 11 1 1 1,, ,,

ll l �M g x dM g x d M g x da x V gdw [ ]

1 1 1( ), ( ) ( )l �I a g x d x I V

(nach D5.4 (1), (2) und (3)). (i) a b

[ ]1 1,

( , ) 1l=

M g x dV a x gdw [ ]

1 1 1( ), ( ) ( )l �I a g x d x I V (wegen (g) und (h)).

(j) Fallunterscheidung für (a):

1. Sei Antond = , d.h. betrachtet wird [ ]

1Antonlg x .

Da [ ]1

Anton ( ) Antonl =g x x , gilt

[ ] { }1

Anton ( ) Berta,Ernal �g x x .

Damit a b[ ]1 1

, Anton( ) 0

l=

M g xF x (wegen (f)) und daher

a b[ ]1 1

, Anton( ) ( , ) 1

ll =

M g xF x V a x (wegen (b)).

2. Sei Bertad = , d.h. betrachtet wird [ ]

1Bertalg x .

Da [ ]1

Berta ( ) Bertal =g x x , gilt [ ] { }1

Berta ( ) Berta,Ernal �g x x .

Damit a b [ ] a b[ ]

1 11 1, Berta, Berta ll �

M g xM g xx F und daher a b[ ]

1 1, Berta

( ) 1l

=M g x

F x (wegen (c)). Wegen Anton,Berta � { Anton,Berta , Anton,Erna , Berta,Cäsar , Erna,Cäsar } gilt

[ ]1 1 1( ), Berta ( ) ( )l �I a g x x I V und damit a b

[ ]1 1, Berta

( , ) 1l

=M g x

V a x

(wegen (i)). Daher gilt a b

[ ]1 1, Berta

( ) ( , ) 1l

l =M g x

F x V a x (wegen (b)). 3. Sei Cäsard = , d.h. betrachtet wird [ ]

1Cäsarlg x .

Da [ ]1

Cäsar ( ) Cäsarl =g x x , gilt [ ] { }1

Cäsar ( ) Berta,Ernal �g x x .

Damit a b[ ]

1 1, Cäsar

( ) 0l

=M g x

F x (wegen (f)) und daher

a b[ ]

1 1, Cäsar

( ) ( , ) 1l

l =M g x

F x V a x (wegen (b)).

4. Sei Ernad = , d.h. betrachtet wird [ ]1

Ernalg x .

Da [ ]1

Erna ( ) Ernal =g x x , gilt [ ] { }1

Erna ( ) Berta,Ernal �g x x .




1 11 1, Erna, Erna ll �


1 1, Erna

( ) 1l

=M g x

F x (wegen (c)). Wegen Anton,Erna � { Anton,Berta , Anton,Erna , Berta,Cäsar , Erna,Cäsar } gilt

[ ]1 1 1( ), Erna ( ) ( )l �I a g x x I V und damit a b

[ ]1 1, Erna

( , ) 1l

=M g x

V a x

(wegen (i)). Daher gilt a b

[ ]1 1, Erna

( ) ( , ) 1l

l =M g x

F x V a x (wegen (b)).

(k) [ ]1 1,

( ) ( , ) 1M g

x F x V a x� l =c fd ge h (wegen (a) und (1) � (4)).

(l) [ ]1

( ) ( , ) 1M

x F x V a x� l =c fd ge h (nach D5.6 (1)).

? Die PL1-Sprache ''L mit den Prädikatskonstanten J (‚Junge’), K (‚Kind’) und M

(‘Mädchen’) sei im Modell '' ,=M D I mit

{Bart,Lisa,Maggie}=D und

{ }

{ }

{Bart}

Bart,Lisa,Maggie

Lisa,Maggie

¯l¡ °¡ °¡ °= l¡ °¡ °l¡ °¢ ±

J

I K

M

interpretiert.

Außerdem sei die Variablenbelegung

Bart

Lisa

Maggie

¯l¡ °¡ °

= l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

x

g y

z

gegeben.

Gib die Wahrheitswerte der folgenden Formeln bezüglich ''M und g an:

(1) ( )�xJ x (2) ( )�xK x (3) ( )M x

Übungen


Übungen Ü5.1 Gib den Wahrheitswert der folgenden Aussagen im jeweiligen Modell an:

(a) [ ( ) ( )]x F x M x� �¬ in 2M ,

(b) [ ( , ) ( , )]xV x e V e x� j in 3M . (2 P.)

Ü5.2 Überprüfe die Wahrheit von ( ) ( ) ( , )S x M x V x y� l im Modell

1M bezüglich der

Variablenbelegung g . (1 P.)

Anton

Erna

Cäsar

x

g y

z

¯l¡ °¡ °= l¡ °¡ °¡ °l¡ °¢ ±

Ü5.3 Gib die natürlichsprachlichen Korrelate der folgenden Aussagen unter Voraussetzung

ihrer Interpretation im Modell 2M an. (3 P.)

(a) ( ) ( )F c F e�¬ (b) [ ( ) ( , )]x M x V x c� � (c) [ ( ) ( ) ( , )]x S x M x yV x y� l ��

Zusatzübung: Ü5.4 Berechne den Wahrweitswert von [ ]( ) ( ) ( , )x M x y F y V y x ¯� � � l¢ ± in

1M .

Als Hilfestellung wird die Berechnung des Wahrheitswertes der Formel

[ ]( ) ( ) ( , )x F x y M y V x y ¯� l � �¢ ± im Modell 1M angegeben:

(a) [ ]1 1,

( ) ( ) ( , ) 1M g

x F x y M y V x y ¯� l � � =¢ ±c fd ge h gdw für jedes d D� gilt:

[ ][ ]

1 1,

( ) ( ) ( , ) 1l

l � � =c fe hd gM g x d

F x y M y V x y (nach D5.5 (4a)).

(b) [ ][ ]

1 1,

( ) ( ) ( , ) 1l

l � � =c fe hd gM g x d

F x y M y V x y gdw a b[ ]

1 1,

( ) 0l=

M g x dF x oder

[ ][ ]

1 1,

( ) ( , ) 1l

� � =c fe hd gM g x d

y M y V x y (nach D5.5 (3c)).

(c) a b[ ]

1 1,

( ) 1l=


[ ]1 11 1,, ll �

M g x dM g x dx F (nach D5.5 (1)).

(d) a b[ ]

1 1,

( ) 0l=


[ ]1 11 1,, ll �

M g x dM g x dx F (wegen (c)).

(e) a b [ ] a b[ ]

1 11 1,, ll �

M g x dM g x dx F gdw [ ]1 1

( ) ( )l �g x d x I F (nach D5.4 (2) und (3)).

(f) a b[ ]

1 1,

( ) 0l=

M g x dF x gdw [ ]

1 1( ) ( )l �g x d x I F (wegen (d) und (e)).

(g) [ ][ ]

1 1,

( ) ( , ) 1l


y M y V x y gdw für mindestens ein 'd D� gilt:

Übungen


a b[ ][ ]

1 1, '

( ) ( , ) 1l l

� =M g x d y d

M y V x y (nach D5.5 (4b)).

(h) a b[ ][ ]

1 1, '

( ) ( , ) 1l l

� =M g x d y d

M y V x y gdw a b[ ][ ]

1 1, '

( ) 1l l

=M g x d y d

M y und

a b[ ][ ]

1 1, '

( , ) 1l l

=M g x d y d

V x y (nach D5.5 (3a)).

(i) a b[ ][ ]

1 1, '

( ) 1l l

=M g x d y d

M y gdw a b [ ][ ] a b[ ][ ]1 11 1

, ', ' l ll l �M g x d y dM g x d y dx M (nach D5.5 (1)),

also a b[ ][ ]

1 1, '

( ) 1l l

=M g x d y d

M y gdw [ ][ ]1 1

' ( ) ( )l l �g x d y d y I M (nach D5.4 (2),(3)).

(j) a b[ ][ ]

1 1, '

( , ) 1l l

=M g x d y d

V x y gdw

a b [ ][ ] a b[ ][ ]

a b[ ][ ]1 1 1 11 1

, ' , ', ' ,l l l ll l �

M g x d y d M g x d y dM g x d y dx y V (nach D5.5 (1)),

also a b[ ][ ]

1 1, '

( , ) 1l l

=M g x d y d

V x y gdw

[ ][ ] [ ][ ]1 1 1

' ( ), ' ( ) ( )l l l l �g x d y d x g x d y d y I V (nach D5.4 (2) und (3)).

(k) a b[ ][ ]

1 1, '

( ) ( , ) 1l l

� =M g x d y d

M y V x y gdw [ ][ ]1 1

' ( ) ( )l l �g x d y d y I M und

[ ][ ] [ ][ ]1 1 1

' ( ), ' ( ) ( )l l l l �g x d y d x g x d y d y I V (wegen (h), (i) und (j)).

(l) [ ][ ]

1 1,

( ) ( , ) 1l


y M y V x y gdw für mindestens ein 'd D� gilt:

[ ][ ]1 1

' ( ) ( )l l �g x d y d y I M und

[ ][ ] [ ][ ]1 1 1

' ( ), ' ( ) ( )l l l l �g x d y d x g x d y d y I V (wegen (g) und (k)).

(m) Fallunterscheidung für (a):

1. Sei Antond = , d.h. [ ]1

Antonlg x .

Da [ ]1

Anton/ ( ) Antong x x = , gilt [ ] { }1

Anton ( ) Berta,Ernal �g x x .

Damit a b[ ]1 1

, Anton( ) 0

l=

M g xF x (wegen (d)) und daher auch

[ ][ ]1 1

, Anton( ) ( ) ( , ) 1

ll � � =c fe hd g

M g x

F x y M y V x y (wegen (b)). 2. Sei Bertad = , d.h. [ ]

1Bertalg x .

Da [ ]1

Berta ( ) Bertal =g x x , gilt [ ] { }1

Berta ( ) Berta,Ernal �g x x .


1 11 1, Berta, Berta ll �


1 1, Berta

( ) 1l

=M g x

F x (wegen (c)). Sei nun ' Antond = , d.h. [ ][ ]

1Berta Antonl lg x y . Da

[ ][ ]1

Berta Anton ( ) Antonl l =g x y y , gilt

[ ][ ] { }1

Berta Anton ( ) Anton,Cäsarl l �g x y y . Da außerdem

[ ][ ]1

Berta Anton ( ) Bertal l =g x y x , gilt auch

[ ][ ] [ ][ ]1 1

Berta Anton ( ), Berta Anton ( )l l l l �g x y x g x y y

{ Anton,Berta , Anton,Erna , Berta,Cäsar , Erna,Cäsar } .

Damit [ ][ ]

1 1, Berta

( ) ( , ) 1l

� � =c fe hd gM g x

y M y V x y (wegen (g)) und daher auch

[ ][ ]

1 1, Berta

( ) ( ) ( , ) 1l

l � � =c fe hd gM g x

F x y M y V x y (wegen (b)).

Übungen


3. Sei Cäsard = , d.h. [ ]1

Cäsarlg x .

Dann [ ] { }1

Cäsar ( ) Berta,Ernal �g x x . Damit a b[ ]

1 1, Cäsar

( ) 0l

=M g x

F x und daher auch

[ ][ ]

1 1, Cäsar

( ) ( ) ( , ) 1l


F x y M y V x y . 4. Sei Ernad = , d.h. [ ]

1Ernalg x .

Da [ ]1

Erna ( ) Ernal =g x x , gilt [ ] { }1

Erna ( ) Berta,Ernal �g x x .


1 11 1, Erna, Erna ll �


1 1, Erna

( ) 1l

=M g x

F x . Sei nun ' Cäsard = , d.h. [ ][ ]

1Erna Cäsarl lg x y .

Da [ ][ ]1

Erna Cäsar ( ) Cäsarl l =g x y y , gilt

[ ][ ] { }1

Erna Cäsar ( ) Anton,Cäsarl l �g x y y . Da außerdem

[ ][ ]1

Erna Cäsar ( ) Ernal l =g x y x , gilt auch

[ ][ ] [ ][ ]1 1

Erna Cäsar ( ), Erna Cäsar ( )l l l l �g x y x g x y y

{ Anton,Berta , Anton,Erna , Berta,Cäsar , Erna,Cäsar } .

Damit [ ][ ]

1 1, Erna

( ) ( , ) 1l

� � =c fe hd gM g x

y M y V x y und daher auch

[ ][ ]

1 1, Erna

( ) ( ) ( , ) 1l


F x y M y V x y .

(n) Also [ ]1 1,

( ) ( ) ( , ) 1M g

x F x y M y V x y ¯� l � � =¢ ±c fd ge h (wegen (a) und 1.�4.).

(o) [ ]1

( ) ( ) ( , ) 1M

x F x y M y V x y ¯� l � � =¢ ±c fd ge h (nach D5.6 (1)).

formale methoden · [mccawley] mccawley, james d. (1 993 2): everything that li nguists have alway...

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