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Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Definition 3.19 (stuckweise glatte Funktion)Eine auf einem Intervall I definierte Funktion f heißt stuckweise glatt,wenn gilt:
a) f ist stetig differenzierbar, ausgenommen auf einer Menge vonPunkten, die sich in I nirgends haufen.
b) In diesen Ausnahmepunkten ti existieren die rechts- undlinksseitigen Grenzwerte f (ti + 0) und f (ti − 0) sowie f ′(ti + 0) undf ′(ti − 0).
c) In allen Punkten ti ist der Funktionswert f (ti) das arithmetischeMittel der einseitigen Grenzwerte
f (ti) =12
(f (ti + 0) + f (ti − 0)) .
Analysis I July 2, 2018 177 / 209
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Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
x1
x2
I
x
f(x)
f(x1)
Abbildung 3.21: Stuckweise glatte Funktion
Analysis I July 2, 2018 178 / 209
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Konvergenz von Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Satz 3.29: (Konvergenz von FOURIER-Reihen)Ist f : R→ R eine T -periodische, stuckweise glatte Funktion (s. Def.3.19 und Abb. 3.21), so konvergiert ihre FOURIER-Reihe
punktweise gegen f .In jedem abgeschlossenen Intervall ohne Unstetigkeitsstellen vonf ist die Konvergenz gleichmaßig.An Unstetigkeitsstellen konvergiert die Fourierreihe gegen dasarithmetische Mittel aus links- und rechtsseitigen Grenzwert.
Analysis I July 2, 2018 179 / 209
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Fourier-Koeffizienten Buch Kap. 3.9
Beispiel
Analysis I July 2, 2018 180 / 209
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Fourier-Koeffizienten Buch Kap. 3.9
Beispiel
Analysis I July 2, 2018 181 / 209
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Fourier-Koeffizienten Buch Kap. 3.9
Beispiel
Analysis I July 2, 2018 182 / 209
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Konvergenz von Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
DefinitionSei f : R→ C eine Funktion und I = [a,b] ⊂ R ein Intervall. Dann heißtf quadratisch integrierbar auf I, wenn das Integral∫ b
a|f (τ)|2dτ
existiert und konvergiert.
Analysis I July 2, 2018 183 / 209
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Konvergenz von Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Satz 3.30: (BESSELsche Ungleichung)Fur alle T -periodischen und auf [0,T ] quadratisch integrierbarenFunktionen f : R→ C gilt fur alle n ∈ N die Besselsche Ungleichung
a20
2+
n∑k=1
(a2k + b2
k ) ≤ 2T
∫ T
0f 2(t) dt .
Dabei sind ak ,bk die FOURIER-Koeffizienten von f .Fur n→∞ ergibt sich fur quadratisch integrierbare Funktionen sogardie Parseval’sche Gleichung
a20
2+∞∑
k=1
(a2k + b2
k ) =2T
∫ T
0f 2(t) dt .
Analysis I July 2, 2018 184 / 209
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Konvergenz von Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Satz 3.31: (punktweise und gleichmaßige Konvergenz)Ist f eine stetige, stuckweise glatte Funktion der Periode T , sokonvergiert ihre FOURIER-Reihe gleichmaßig und absolut gegen f . Furihre FOURIER-Koeffizienten ak ,bk folgt außerdem die Konvergenz derReihen
∞∑k=1
|ak | ,∞∑
k=1
|bk | .
Analysis I July 2, 2018 185 / 209
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Konvergenz von Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Satz 3.33: (Approximation im quadratischen Mittel)Sei m ∈ N vorgegeben. Der quadratische Fehler der Approximationeiner beschrankten, T -periodischen Funktion f durch eintrigonometrisches Polynom der Form sm in der L2-Norm, d.h.
||f − sm||22 :=1T
∫ T
0(f (t)− sm(t))2 dt ,
wird genau dann minimal, wenn die Koeffizienten a0 undak ,bk , k = 1,2, . . . gerade die FOURIER-Koeffizienten der Funktion fsind. Fur den Fehler gilt
||f − sm||22 =1T
∫ T
0f (t)2 dt − (
a20
2+
m∑k=1
(a2k + b2
k )) .
Analysis I July 2, 2018 186 / 209
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Konvergenz von Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Abbildung 3.28-3.29: Approximation von et auf [0,1] durchtrigonometrische Polynome bis zum Grade 5 (links) und mit Grad 50(rechts)
Analysis I July 2, 2018 187 / 209
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Konvergenz von Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Satz 3.34: (gliedweise Integration einer FOURIER-Reihe)Eine punktweise konvergente FOURIER-Reihe kann man gliedweiseintegrieren und es gilt
∫ t
0f (τ) dτ =
a0
2t +
∞∑k=1
[ak
kωsin(kωt)− bk
kωcos(kωt)] +
∞∑k=1
bk
kω.
Analysis I July 2, 2018 188 / 209
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Konvergenz von Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Satz 3.34: (gliedweise Integration einer FOURIER-Reihe)
Analysis I July 2, 2018 189 / 209
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Konvergenz von Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Satz 3.35: (gliedweise Differentiation einer FOURIER-Reihe)Eine punktweise konvergente FOURIER-Reihe kann man imAllgemeinen nicht gliedweise differenzieren. Eine gliedweiseDifferentiation ist nur moglich, wenn die Ableitungsreihe konvergent ist.Dann gilt
ddt
f (t) =∞∑
k=1
−akkω sin(kωt) + bkkω cos(kωt).
Analysis I July 2, 2018 190 / 209
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Konvergenz von Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Satz 3.35: (gliedweise Differentiation einer FOURIER-Reihe)
Analysis I July 2, 2018 191 / 209
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Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Beispiel
Analysis I July 2, 2018 192 / 209
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Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Beispiel
Analysis I July 2, 2018 193 / 209
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Fourier-Reihen Buch Kap. 3.9
Beispiel
Analysis I July 2, 2018 194 / 209