gedämpfte schwingungen i. a. sind schwingungen gedämpft, d. h. ihre amplitude nimmt über die zeit...
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Gedämpfte Schwingungen
i. A. sind Schwingungen gedämpft, d. h. ihre Amplitude nimmt über die Zeit ab. Dies wird durch Reibungskräfte bewirkt.
€
m ⋅ ˙ x = −m ⋅ω02 ⋅ x + FRBew.Gl.:
Die Reibungskraft FR ist oft eine Funktion der Geschwindigkeit.z. B viskose Reibung (z.B. Stokes):
€
FR = −β ⋅v
Neue Bew.gl.:
€
m ⋅ ˙ x + m ⋅ω02 ⋅x + β ⋅ ˙ x = 0
Ansatz:
€
x t( ) = c ⋅eλ ⋅t
€
m ⋅λ2 + m ⋅ω02 + 2mγ ⋅λ( ) ⋅x t( ) = 0
€
λ2 + 2γλ +ω02
( ) = 0
€
λ1,2 = −γ ± γ 2 −ω02
€
mit γ =β
2m
Gaub 1WS 2014/15
€
γ>ω01) Starke Dämpfung (Wurzel reell)
€
α := γ 2 −ω02
€
x(t) = e−γ ⋅t c1eα ⋅t + c2e
−α ⋅t( ) c1 und c2 aus Randbedg.
€
γ<ω02) Schwache Dämpfung (Wurzel imaginär)
€
ω2 := γ 2 −ω02
€
λ1,2 = −γ ± iω
€
x(t) = e−γ ⋅t c1eiω⋅t + c2e
−iω⋅t( )Lösungen haben die Form
Damit x reell ist, muß
€
c1 = c2* = c
Frequenz wird durch Reibung reduziert!€
x t( ) = 2 ⋅ c ⋅e−γ ⋅t cos ω ⋅t +ϕ( )
€
x(t) = A ⋅e−γ ⋅t ⋅cos ω ⋅t +ϕ( )
€
mit c = c e iϕ
€
λ1,2 = −γ ± γ 2 −ω02
€
tan ϕ( ) =Im(c)
Re(c)=
ic − c*
c + c*
€
x(t) =v0
αe−γ ⋅t sinh(αt) wenn x(0)=0 und v(0)=v0
Im
Re
IxI
€
ω⋅t +ϕ
Gaub 2
€
A ⋅e−γ ⋅t€
T =2π
ω02 −γ 2
t
( )tx€
x t +T( )x t( )
= e−γ ⋅T
€
τ =1
γ
e
A
nach ist die Amplitude auf
abgefallen
;
€
τ =1
γ
e
A€
x(t) = A ⋅e−γ ⋅t ⋅cos ω ⋅t +ϕ( ) Amplitude fällt exponentiell ab.
Gaub 3WS 2014/15
3) Aperiodischer Grenzfall (Wurzel =0)
€
γ=ω0
€
λ1,2 = −γ ± γ 2 −ω02
€
λ1 = λ 2 = −γ Ansatz liefert nur eine Lösung
€
x(t) = c ⋅e−γ ⋅t Es muß noch eine weitere Lösung geben!
Neuer Ansatz:
€
x t( ) = C t( ) ⋅e−γ ⋅t
€
˙ x +ω02 ⋅x + 2 ⋅γ ⋅ ˙ x = 0
€
˙ x t( ) = ˙ C ⋅e−γ ⋅t −γ ⋅C ⋅e−γ ⋅t
€
˙ x t( ) = ˙ C ⋅e−γ ⋅t −γ ⋅ ˙ C ⋅e−γ ⋅t −γ ⋅ ˙ C ⋅e−γ ⋅t +γ 2 ⋅C ⋅e−γ ⋅t
€
˙ C − 2γ ⋅ ˙ C +γ 2 ⋅C +ω02 ⋅C + 2γ ⋅ ˙ C − 2γ 2 ⋅C = 0
€
˙ C + γ 2 +ω02 − 2γ 2
( ) ⋅C = 0
€
C t( ) = c1 + c2 ⋅ t
€
x t( ) = c1 + c2 ⋅t( ) ⋅e−γ ⋅tc1 und c2 aus Randbedg.
Im aperiod. Grenzfall relaxiert das System schnellstmöglich ohne überzuschwingen. => Optimale Dämpfung für Messinstrumente.{
04
über
Gaub 5WS 2014/15
Erzwungene Schwingungen
€
F t( ) = F0 ⋅eiω⋅t
€
x t( ) = x0 ⋅eiω⋅t
€
−m ⋅ω2 ⋅x0 ⋅eiω⋅t + i ⋅ω ⋅2γm ⋅x0 ⋅e
iω⋅t + m ⋅ω02 ⋅x0 ⋅e
iω⋅t = F0 ⋅eiω⋅t
€
−m ⋅ω2 ⋅x0 + i ⋅ω ⋅2γm ⋅x0 + m ⋅ω02 ⋅x0 = F0
€
x0 =F0 m
ω02 −ω2 + i ⋅ω ⋅2γ
Re
Im
ϕ
€
x0 = x0 ⋅eiϕ€
=F0 m
ω02 −ω2
( )2
+(2γω)2ω0
2 −ω2 − i ⋅ω ⋅2γ( )
m
€
F = F0 ⋅cos ω ⋅ t( )
€
m ⋅ ˙ x + 2γm ⋅ ˙ x + m ⋅ω02 ⋅x = F t( )
€
F t( ) : Von außen angelegte Kraft
F0 und x0 komplex!
Gaub WS 2014/15
€
x0
2= x0 ⋅ x0
*€
x0 =F0 m
ω02 −ω2
( )2
+(2γω)2ω0
2 −ω2 − i ⋅ω ⋅2γ( )
€
=F0 m( )
2
ω02 −ω2
( )2
+(2γω)2 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
€
tan ϕ( ) =Im x0( )Re x0( )
€
=−2 ⋅γ ⋅ω
ω02 −ω2
( )
€
x0 =F0 m
ω02 −ω2
( )2
+(2γω)2
Amplitude Phasenverschiebung
€
=F0 m( )
2ω0
2 −ω2( )
2+(2γω)2 ⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
ω02 −ω2
( )2
+(2γω)2 ⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
2
Gaub 7WS 2014/15
€
F0
m ⋅ω02
€
ω0
- In der Resonanz liegt die Phase des Erregers um /p 2 vor dem Oszillatorz. B. Anregung mit cos (w0t) -> Resonanz cos(w0t- /p 2)=sin(w0t)
€
ω0
- Für w->0 gleichphasig, für w->∞ gegenphasig
Versuche Pohl‘sches Rad und Glas Film Tacoma Bridge
€
tan ϕ( ) =−2γω
ω02 −ω2
( )
€
0
€
−π
€
−π2
€
ω
€
ω€
x0 =F0 m
ω02 −ω2
( )2
+(2γω)2
€
x0
8
€
x0 =F0 m
ω02 −ω2
( )2
+(2γω)2
Näherung für schwache Dämpfung <<g w
€
=F0 m
ω0 −ω( )2⋅ ω0 +ω( )
2+(2γω)2
In der Nähe der Resonanz
€
ω0 ≈ ω
€
≈ω0
€
x0
2≈
F02
4m2ω02γ 2
€
A := x0
2ω0( ) ≈
F02
4m2ω02γ 2
Maximum:
€
A
2=!
x0
2ω1 2( )
€
ω0 −ω1 2( )2
= γ 2
€
ω0 =ω1 2 ± γ Halbwertsbreite:
€
ΔωH = 2γ
€
ΔωH
„Güte“ des Oszillators:
€
A 2€
A
€
Q =ω0
ΔωH
€
≈0
Gaub 9WS 2014/15
Energie im Harmonischen Oszillator
Ungedämpfter harm. Oszillator:
€
m ⋅ ˙ x (t) + m ⋅ω02 ⋅ x = 0
€
x(t) = A ⋅cos ω0 ⋅ t( )
€
˙ x (t) = −A ⋅ω0 ⋅sin ω0 ⋅ t( )
kinetische Energie:
€
Ekin =m
2˙ x 2 =
1
2⋅m ⋅A2 ⋅ω0
2 ⋅sin2 ω0 ⋅ t( )
Potentielle Energie:
€
E pot =1
2⋅m ⋅ω0
2 ⋅ x 2
€
=1
2⋅m ⋅ω0
2 ⋅A2 ⋅cos2 ω0 ⋅ t( )
€
Eges = Ekin + E pot
€
=1
2⋅m ⋅ω0
2 ⋅A2 ⋅ sin2 ω0 ⋅ t( ) + cos2 ω0 ⋅ t( )( )
€
=1
€
=1
2⋅m ⋅ω0
2 ⋅A2
Mittelwerte über eine Periode
€
E kin =1
2⋅m ⋅A2 ⋅ω0
2 ⋅1
Tsin2 ω0 ⋅ t( )
0
T
∫
€
1
2€
=1
4⋅m ⋅A2 ⋅ω0
2
€
=E pot
Gaub 10WS 2014/15
Energieübertragung bei erzwungener Schwingung im gedämpften harm. Oszillator:
Im eingeschwungenen Zustand ändert sich die Amplitude der Schwingung mit der Zeit nicht mehr.
€
=β ˙ x 2 = 2γm ˙ x 2dissipierte Leistung:
€
P = FR t( ) ⋅v
Pro Zyklus aufgenommene Arbeit:
€
W = Pdt0
T
∫
€
=2γm ˙ x 2dt0
T
∫
€
P =W
T= m ⋅γ ⋅ω2 ⋅A2Mittlere Leistung: Maximal für
weil A dann maximal
€
ω =ω0
Alle Energie, die dem System von außen zugeführt wird, muß vollständig in Reibungswärme umgewandelt werden.
€
=2mγ ⋅ω2 ⋅A2 cos2 ω ⋅t +ϕ( ) ⋅dt0
T
∫
€
=m ⋅γ ⋅ω2 ⋅A2 ⋅T
Gaub 11WS 2014/15
Mathieu-Gleichung
Parametrischer Oszillator (Kinderschaukel):
Fadenpendel : w0 = (g/L)1/2
Periodisches verkürzen des Fadens:
€
=>ω2 (t) =ω02(1+ h cosΩt)
€
=>˙ x +ω02 (1+ h cosΩt) ⋅x = 0
optimaler Antrieb bei
€
Ω=2ω0 +ε ; ε <<ω0
Ansatz:
€
x = c1(t)cos(Ω
2t)+ c2 (t)sin(
Ω
2t)
€
=>c1(t) = Ae−iβt
€
β =1
2ε 2 −(
hω0
2)2
Exponentielles aufschaukeln für
€
ε 2 < (hω0
2)2
mit:
€
˙ c 1 ≈ ˙ c 2 ≈ 0 und Winkelfunktionsmassage (siehe Demtröder)
12
wo2
h
Detaillierte Stabilitätsanalyse siehe §12
Gaub 13WS 2014/15
m
D1D2
€
Dges = D1 + D2
€
ω =D1 + D2
m
Gekoppelte OszillatorenA) Gekoppelte Federn, eine Masse
m
D1
D2 €
1
Dges
=1
D1
+1
D2
€
ω =D1 ⋅D2
D1 + D2( ) ⋅m
Gaub 14WS 2014/15
B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen
D1 D12 D2m1m2
0
x1
0
x2
Kopplung der DGL€
(1) m1˙ x 1 + D1x1 + D12 x1 − x2( ) = 0
€
(2) m2˙ x 2 + D2x2 + D12 x2 − x1( ) = 0
Vereinfachung:
€
D1 = D2 = D; m1 = m2 = m
€
(1) + (2) m ˙ x 1 + ˙ x 2( ) + D x1 + x2( ) = 0
€
(1) − (2) m ˙ x 1 − ˙ x 2( ) + D x1 − x2( ) + 2D12 x1 − x2( ) = 0
Normalkoordinaten
€
x− =1
2x1 − x2( )
€
x + =1
2x1 + x2( )
€
x + +D
mx + = 0
€
x − +D + 2D12
mx− = 0
€
:= ω12
€
:= ω22 €
x + t( ) = A1 ⋅cos ω1t + ϕ1( )
€
x− t( ) = A2 ⋅cos ω2t + ϕ 2( )
Eigenschwingungen, „Normalmoden“
€
x1 = x + + x−
€
x2 = x + − x−„Schwebungen“
Versuche Gekoppelte Pendel und Metronome
15
B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen
16
B) Gekoppelte Pendel unter externer Anregung
Gaub
C) Gekoppelte Federn, mehrere Massen
Gaub 18WS 2014/15