2015

GeoGebra im

Mathematikunterricht Skript zur Veranstaltung

Ulrich Steinmetz, Medienberater

Ulrich Steinmetz, dynamische Geometrie mit GeoGebra

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Vorwort „des Schulministeriums“

Das NRW Schulministerium legt in dem Kernlehrplan

Mathematik Hauptschule Folgendes fest:

Prozessbezogene Kompetenz: Werkzeuge nutzen

Zitat:

Bereits ab Beginn der Jahrgangsstufe 5 nutzen die Schülerinnen und Schüler verschiedene (nicht-digitale) Werkzeuge für mathematisches Arbeiten. Beim Umgang mit den jeweils zur Verfügung stehenden fachlichen Gegenständen sollen sie die folgenden Werkzeuge nutzen können:

Geodreieck Zirkel Regelheft (Merkheft)

Im weiteren Verlauf bis zum Ende der Jahrgangsstufe 10 sollen die Schülerinnen und Schüler zusätzlich weitere (auch digitale) Werkzeuge nutzen können:

Formelsammlung Taschenrechner Tabellenkalkulation

Dabei sollen sie die Eigenschaften dieser Werkzeuge darstellen, die Werkzeuge der jeweiligen Situation angemessen auswählen und Vor- und Nachteile des Einsatzes der Werkzeuge sowie möglicher Alternativen beurteilen können.

zusätzlich Mittlerer Schulabschluss: Die Schülerinnen und Schüler sollen Dynamische-Geometrie-Software zur Bearbeitung mathematischer Situationen nutzen können.1

…

Eine abschlussbezogene Differenzierung mathematischer Kompetenz in der Doppeljahrgangsstufe 9/10 ergibt sich wiederum aus der entsprechenden Differenzierung in den inhaltsbezogenen Bereichen. Daher wird bei der Darstellung der prozessbezogenen Kompetenzen nicht nach Doppeljahrgangsstufen differenziert. Eine Differenzierung zwischen den beiden Abschlussniveaus ist nur im Bereich Werkzeuge nutzen ausgewiesen. Dies betrifft den Einsatz Dynamischer-Geometrie-Software, der eng mit der inhaltsbezogenen Differenzierung im Gebiet Geometrie verbunden ist. …

Zitat Ende

1 http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/lehrplannavigator-s-

i/hauptschule/mathematik/kernlehrplan/kompetenzen/ (Stand 3.10.2013)

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Das NRW Schulministerium legt in dem Kernlehrplan Mathematik Realschule Folgendes fest:2

Bereich Werkzeuge Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 8

Zitat Anfang

Schülerinnen und Schüler Erkunden

nutzen Tabellenkalkulation und Geometriesoftware zum Erkunden inner- und außermathematischer Zusammenhänge

Berechnen nutzen den Taschenrechner

Darstellen tragen Daten in elektronischer Form zusammen und stellen sie mit Hilfe einer

Tabellenkalkulation dar Recherchieren

nutzen Lexika, Schulbücher und Internet zur Informationsbeschaffung

Kompetenzerwartungen am Ende der Jahrgangsstufe 10 Schülerinnen und Schüler Erkunden

nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme

Berechnen wählen ein geeignetes Werkzeug ("Bleistift und Papier", Taschenrechner,

Geometriesoftware, Tabellenkalkulation, Funktionenplotter) aus und nutzen es Darstellen

wählen geeignete Medien für die Dokumentation und Präsentation aus Recherchieren

nutzen selbstständig Print- und elektronische Medien zur Informationsbeschaffung

Zitat Ende

Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter, das alles kann GeoGebra!

2 http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/lehrplannavigator-s-

i/realschule/mathematik/kernlehrplan/kompetenzen/kompetenzen.html (Stand 3.10.2013)

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Wo gibt es GeoGebra kostenlos? http://www.geogebra.org

Der Arbeitsbildschirm von GeoGebra

Aufgaben zu Grundfunktionen und Zusammenhängen der Fensterbereiche

1. Übung:

a. Klicken Sie in der Menüleiste auf Ansicht und aktivieren Sie

i. Algebra

ii. Tabelle

b. Klicken Sie mit rechter Maustaste in der Grafik Ansicht und aktivieren Sie

i. Achsen

ii. Koordinatengitter

c. Geben Sie in der Tabelle in Zelle A1 ein: (1,3) Suchen Sie den Punkt in der Grafik-

Ansicht!

d. Geben Sie in der Tabelle in Zelle A2 ein: (-2,1) Suchen Sie den Punkt in der Grafik-

Ansicht!

e. Geben Sie in der Eingabezeile ein: Strecke[A1,A2]

Alternativ kann auch eine Strecke „gezeichnet“ werden mit Hilfe der Werkzeuge.

f. Lesen Sie in der Algebraansicht ab, wie lang die Strecke a ist.

g. Lassen Sie die Länge und den Namen der Strecke a anzeigen. (Eigenschaften!)

Menüleiste

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2. Übung:

a. Geben Sie in B1 eine 5 ein.

b. Geben Sie in der Eingabezeile ein: f(x)= B1 x -3 (Leerzeichen beachten!)

c. Ändern Sie in Zelle B1 die 5 zur 2! Beobachten Sie Veränderungen in der Grafik-

Ansicht.

3. Übung:

a. Geben Sie in der Eingabezeile ein: g(x)=B1 x^2 -3 (statt x^2 ginge auch x² oder x*x)

b. Ändern Sie den Wert in B1. (z.B. 0.5 mit Punkt eingeben!)

c. Geben Sie in der Eingabezeile ein: Ableitung[g(x)]

d. Fügen Sie einen neuen beweglichen Punkt der Parabel ein.

e. Lassen Sie eine Tangente durch den Punkt gehen.

f. Zeigen Sie die Steigung der Tangente an.

4. Parabeln: GeoGebra stellt auch die folgenden Funktionen bereit. Testen Sie diese!

Nullstelle[f(x)]

Extremum[f(x)] Integral[f(x),a,b]

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5. Übung:

a. Bereiten Sie eine Zeichnung vor, welche ein einfaches Dreieck mit Innenwinkeln

darstellt. Schüler sollen später damit die Winkelsumme herausfinden. Sie benötigen

neue Werkzeuge.

Ziel:

b. Achten Sie auf die Farben und Nachkommastellen und Bezeichnungen. Kommt es

auch mal zur Winkelsumme 181° oder 179° ? Wie gehen Sie damit um?

Nachkommastellen berücksichtigen?

6. Schauen Sie sich auf YouTube dieses Video von Jörn Loviscach an:

http://www.youtube.com/watch?v=OuImEm2Nwgo

Er leitet die Winkelsumme im Dreieck auf eine andere Art her.

Erstellen Sie dazu auch mal eine GeoGebra Konstruktion!

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7. Übung:

a. Öffnen Sie ein neues GeoGebra-Fenster

Strg+N oder Menübefehl Datei + Neues Fenster

b. Legen Sie zwei Schieberegler in die Grafik-Ansicht.

Sie sollen die Werte von – 10 bis +10 darstellen können und die Breite 200 (Pixel)

haben.

Schauen Sie nach, wie die Schieberegler-Variablen heißen.

(Eigenschaft, Algebraansicht)

c. Geben Sie dann eine Funktion 3.Grades + 2.Grades mit Verwendung der beiden

Schieberegler ein. (Beispiel f(x)= a x³ - b x² + 2)

Die Leerzeichen sind relevant, denn sonst denkt das Programm, es handle sich um

Variablen, die ax oder bx heißen!

d. Ändern Sie die Schieberegler und beobachten Sie.

Animieren Sie die Regler! (Eigenschaft Animation ein)

e. Ergänzen Sie die Nullstellen (Befehl Nullstelle[Funktionsname])

f. Ergänzen Sie die Scheitelpunkte (Befehl Extremum[Funktionsname])

g. Stellen Sie die 1. Ableitung der Funktion in roter Farbe dar. (Befehl Ableitung[f(x)])

(Es ginge auch die Eingabe f‘(x) für die erste Ableitung!)

h. Wenn Sie Spaß an Integralen haben: Eingabe Integral[f, -0.5, 2], wobei die beiden

Zahlen Anfangs- und Endwert sind. Sie sind beliebig eingebbar. „f“ ist der Name der

Funktion. Denkbar sind auch Schieberegler-Variablen für die Grenzen.

8. Schauen Sie sich weitere Übungen an, welche oft mit Schiebereglern ausgestattet sind:

Sie finden eine Auswahl von meinen Aufgaben bei http://dgs.ulrich-steinmetz.de

Die Links führen zu Aufgaben, die ich zuvor auf GeogebraTube hochgeladen habe.

a. http://www.geogebratube.org/student/m80300

Hier werden Schieberegler für die Veränderung von Farben eingesetzt

b. http://www.geogebratube.org/student/mxZrexqFB

Hier ändern Schieberegler den Streckungsfaktor bei einer zentrischen Streckung

c. http://www.geogebratube.org/student/moBFZ7gYg

Schieberegler ändern eine Streckenlänge

d. http://www.geogebratube.org/student/my6WMcNpH

Ein Schieberegler ändert die Öffnung einer Parabel

e. http://www.geogebratube.org/student/meevlRTld

2 Schieberegler ändern Dreiecksseiten

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9. Übung:

a. Denken Sie sich eine einfache Zuordnung aus, zu der Sie eine Wertetabelle erfassen

wollen. Proportional oder umgekehrt proportional.

b. Geben Sie innerhalb der Tabellenansicht die x-Werte in Spalte A und die y-Werte in

Spalte B ein. Keine Überschriften in die Spalten einfügen!

c. Versuchen Sie danach, die Punkte auch in der Grafikansicht erscheinen zu lassen.

Hierzu der Tipp:

Versuchen Sie in Spalte C die Daten in der Form (x,y) erscheinen zu lassen. Man kann

A1 und B1 weiterverwenden, =(A1,B1) wäre zulässig wie in Excel.

d. Stellen Sie in einer anderen Farbe als schwarz die zu den Daten in der

Zuordnungstabelle gehörige Funktion dar, indem Sie die Funktionsgleichung

eingeben.

10. Übung:

a. Stellen Sie ein allgemeines veränderbares Dreieck in blauer Farbe her. Die Höhe hc

soll in Rot erscheinen. Werkzeug Vieleck verwenden.

b. In einem Textfeld soll erscheinen:

„h = xx.xxx cm“

Hierzu müssen Sie ein Textfeld

anlegen. (Hinweis für ältere

Geogebra Versionen: Texte in

Anführungszeichen, Variablen mit

„+“ anfügen.)

c. Anspruchsvoller ist diese Aufgabe:

In einer weiteren Zeichnung soll ein veränderliches Dreieck mit einem dauerhaft

rechten Winkel bei C erstellt

werden. Sie brauchen

einen Thaleskreis dafür!

Versuchen Sie in Ihrer

Zeichnung den Höhensatz

anschaulich zu zeigen.

Stellen Sie z.B. h² als

Quadrat dar und p mal q als

Rechteck.

Optimal wäre auch die

Anzeige des rechten

Winkels bei C. (Werkzeug

Winkel)

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d. Sie benötigen dazu folgende Werkzeuge:

i. Kreis mit Mittelpunkt und Radius, um p abzutragen (als Radius dann die

Variable eingeben!)

ii. Senkrechte und parallele Geraden

iii. Schneide zwei Objekte, um Schnittpunkte zu bilden

iv. Textfelder für die Maßzahlen der Flächen, damit die Flächengleichheit klar

wird

11. Übung

a. Schauen Sie sich den Beweis des Satzes des Pythagoras nach Henry Perigal an bei

Wikipedia.

b. Vergleichen Sie mit meiner ersten Version des GeoGebra Arbeitsblattes

http://www.geogebratube.org/student/mP9f397F4

c. Vergleichen Sie mit meiner zweiten Version des GeoGebra Arbeitsblattes

http://www.geogebratube.org/student/m88253

d. Versuchen Sie den Anfang dieser Konstruktion, indem Sie zunächst ein rechtwinkliges

Dreieck und die Quadrate herstellen. Weitere Schritte erst nach Praxiserfahrung!

12. Übung: Der verletzte Forscher

a. Zwei Forscher sind mit Ihren Landrovern in der Wüste westlich des Nils bei Ausgrabungen. Ein Forscher verletzt sich und benötigt dringend Hilfe und vor allem Wasser. Er ruft mit seinem GPS-Handy seinen Kollegen herbei, der nun auf dem kürzesten Weg Wasser holen muss und damit dann seinen Kollegen retten soll. Beschreiben Sie eine Strategie für sein Vorhaben!

b. Lösen Sie die Aufgabe mit einer GeoGebra Konstruktion. Lassen Sie sich dabei

Winkel anzeigen!

c. Wie würde eine reine tafelorientierte Lösung aussehen?

d. Stellen Sie das Ergebnis vor! (Teamarbeit)

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13. Anzeigen von Meldungen unter Bedingungen

In Aufgabenstellungen, bei denen Schülerinnen und Schüler etwas erkennen sollen oder

etwas konstruieren sollen, ist es oft sinnvoll, dass eine Textmeldung auf dem Bildschirm

erscheint, in der bestätigt wird, dass die Konstruktion richtig gemacht wurde. Objekte

können unter selbst festgelegten Bedingungen erscheinen oder verborgen werden.

a. Erstes Beispiel zum Einsatz:

Zwei Geraden sollen so auf dem Bildschirm platziert werden, dass sie senkrecht

zueinander sind. Die notwendige Bedingung ist also das „zueinander senkrecht

sein“. (im folgenden Bild ist die Meldung noch nicht sinnvoll!)

Anleitung:

i. Neues Arbeitsblatt ohne Koordinatensystem mit Gitter

ii. Zeichnen Sie 2 beliebige Geraden.

iii. Legen Sie ein Textfeld mit dem entsprechenden Text an. Schwarzer Hintergrund,

gelbe Textfarbe. Schön groß machen!

iv. Nun beginnt die Eingabe einer Bedingung zur Anzeige des Textes, denn er

darf nur dann erscheinen, wenn die Geraden senkrecht zueinander sind.

v. Öffnen Sie die Eigenschaften des Textfeldes. Klicken Sie auf Erweitert.

vi. Die Geraden heißen a und b. Geben Sie als Bedingung ein a ⊥ b

Das Zeichen für senkrecht finden Sie, indem Sie auf das @ Zeichen in der

Eingabezeile für die Bedingung klicken.

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b. Zweites Beispiel zum Einsatz:

Ein beliebiges Dreieck soll so durch Ziehen an den Eckpunkten verändert werden, dass

genau 2 Seiten gleich lang sind. Die Dreiecksseiten sind a, b, c. Wenn also a=b oder a=c

oder b=c richtig ist, soll eine Meldung erscheinen, nicht aber wenn alle 3 Seiten gleich

lang sind.

Erste grundsätzliche Schwierigkeit ist hierbei, dass eine Längengleichheit von Strecken

fast nie erreicht werden kann, weil sich Längen manchmal nur um 1/1000 cm

unterscheiden. Man sollte also einen Schwellenwert bestimmen. Wenn 2 Seiten sich

unterhalb dieses Schwellenwertes unterscheiden, ist die Aufgabe bereits gelöst.

Vorschlag: wenn der Längenunterschied <=0.01 ist, soll es in Ordnung sein. Es ist hier

sinnvoll eine Variable anzulegen: schwelle=0.01 in der Eingabezeile!

i. Zum Zweiten muss man daran denken, dass Unterschiede als Absolutwert

berechnet werden, damit keine negativen Differenzen auftauchen. Man kann

abs(a-b) schreiben, die abs() Funktion entfernt das Vorzeichen.

ii. Man benötigt bei der Eingabe das „oder“ Zeichen, es ist ein v und das „und“

Zeichen, es ist ein ^ (wie ein Dach). Beide Zeichen findet man wieder unter dem

@ Zeichen bei der Eingabe.

Sie können sich das nach einer ZP 10 Aufgabe entstandene Beispiel dazu ansehen:

http://tube.geogebra.org/student/m180195

iii. Vorbereitung des Arbeitsblattes

iv. Nun die Bedingungen als Eigenschaften des Textes schreiben!

Der Anfang: abs(a - b) ≤ schwelle ....

v. Es ist ratsam eine zusätzliche Bedingung zu definieren für den Fall, dass alle Seiten

gleich lang sind. Ist diese Bedingung dann erfüllt, darf der Text nicht erscheinen.

Gegebenenfalls erscheint dann ein anderer Text. Sie werden das Zeichen für nicht

benötigen! So kann es aussehen: …∧ (¬allegleich) In der Klammer sehen Sie das

„nicht“ Zeichen vor der Variablen allegleich, welches aus dem Bereich der

Aussagenlogik bekannt ist.

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14. Einsatz von Befehlsschaltflächen und Skripting-Befehlen

a. Schaltflächen können Aufgaben übernehmen, die zuvor eingegeben wurden.

Beispielsweise können ein paar Punkte im Koordinatensystem per Klick gesetzt

werden, zu denen Schülerinnen und Schüler dann die Koordinaten ermitteln sollen.

Sehen Sie sich dieses Beispiel an:

http://www.geogebratube.org/student/m97708

Hier werden 8 Punkte mit Skripting Befehlen zufällig neu positioniert.

b. Schaltflächen werden mit Skripting Befehlen programmiert. Die Skripting Befehle

findet man alle auf der Website von GeoGebra. Es ist nicht sinnvoll, alle hier zu

nennen, denn die Anzahl der möglichen Befehle wird regelmäßig größer.

Auf http://www.geogebra.org/cms/de/ am besten auf Hilfe klicken, man kommt auf

http://wiki.geogebra.org/de/Hauptseite und dort als Suchwort Skripting oder Befehle

eingeben. Die Skripting Befehle sind die, die man oft gebrauchen kann, aber auch

weitere Befehle sind nützlich.

Screenshot 20.3.2014

c. Es gibt bei GeoGebra einige Tausend einsetzbare Befehle. Allein die Gruppierung

stellt über 400 Seiten zu verschiedenen Themen dar. Auf jeder dieser Seiten findet

man wieder themenorientierte Einzelbefehle.

d. Beispielbefehle:

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e. Erstellen Sie ein neues GeoGebra Arbeitsblatt mit einem Koordinatensystem,

welches ausschließlich den 1. Quadranten des Koordinatensystems zeigt. Einstellung

über die Eigenschaften der Grafik-Ansicht. (Rechte Maustaste Klick)

i. Erzeugen Sie auf „normale Art“ 4 Punkte.

ii. Erzeugen Sie eine Schaltfläche „zufällige Punkte“

iii. Schreiben Sie Skripting Befehle zu der Schaltfläche, die bei Mausklick

stattfinden sollen!

SetzeKoordinaten(A,Zufallszahl[0,7],Zufallszahl[0,7])

Dieser Befehl setzt die Koordinaten des Punktes A auf neue Werte im Bereich

0 bis 7.

Testen Sie Ihr neues Arbeitsblatt.

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15. Aus der ZP 10 Mathematik Realschule 2011

a. Erstellen Sie diese (GeoGebra) Zeichnungen in identischer Form!

b. Blenden Sie auf Wunsch die geforderten Flächeninhalte ein!

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16. Pythagoras beweisen? Besser anschaulich machen ohne den formellen Beweis.

Meine Übung dazu: http://www.geogebratube.org/student/m88253

17. Schon mal die folgende Frage überlegt? Klasse 9!

Wie weit ist der Horizont entfernt?

Meine Übung dazu: http://tube.geogebra.org/student/m1431947

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18. Die in diesem Skript verwendeten Links zu GeoGebra Aufgaben stellen nur eine kleine

Auswahl der Anwendungsmöglichkeiten dar. Auf meiner für den Schulunterricht

konzipierten Website (Adresse s.o.) befinden sich momentan diese Übungen.

(Stand 02.09.2015)

Alle Beispiele wurden mit GeoGebra erstellt

Klasse 5-8 Klasse 9/10+ alle Klassen/Diverses

Erkenntnisse von Thales Pythagoras entdecken Der Nilforscher

Steigung von Geraden Pythagoras mal anders Tangram Figuren

Schnittpunkte im Dreieck(Video) Pythagoras als Film

Winkelgrößen zeigen Pythagoras und Raumdiagonale Entscheidung der Bienen (I)

Winkel auf 90° stellen Der Perigal Pythagoras-Beweis Entscheidung der Bienen (II)

6 Winkel einstellen Pythagoras Satz anschaulich

(Perigal) Garfields Beweis des Pythagoras

Spuren suchen im Dreieck Der "Stuhl der Braut" Beweis Hausbau in 3D

Inkreis des Dreiecks Sechsecksfläche

Zuordnung (proportional) Parabeln bei Brücken Das Volumen einer Box optimieren

(1)

Zuordnung (umgekehrt proportional)

Parabeln bei Brücken

(inkl. Modellierung)

Das Volumen einer Box optimieren (2) Lösung mit Funktionsgraph

Spiegeln mit Eichhörnchen (A) Steinwurf Parabel bestimmen Wo liegt das neue Kraftwerk?

Spiegeln mit Eichhörnchen (P) Pi bestimmen im Viertelkreis

Senkrechte oder

parallele Strecke? Regentropfen im Vollkreis

Der Fermat-Punkt in einem

Dreieck

Schätze suchen 2 Kreise und 2 Umfänge Satz von Viviani im Dreieck

Schätze suchen (mit Hilfe) 2 Kreise und 2 Flächen Der RGB-Trainer

Streckung an Quadraten Das Pyramidenvolumen bestimmen Sternenkollision

Pyramide und Quader im Vergleich Die Herz-Ellipse

Quadranten lernen Die 1. binomische Formel Maria Agnesi: "Witch of Agnesi"

Winkelbezeichnungen lernen Ein Rechteck im Kreis optimieren Das Goldene Dreieck (V1)

Der Schmetterling (V1) Berechnungen an Quadraten Das Goldene Dreieck (V2)

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Der Schmetterling (V2) Der Höhensatz und die Wurzeln Ein Nachbarschaftsproblem

Die Dreiecksfläche Ortslinie des Höhenschnittpunkts

Die Parallelogramm-Fläche Ortslinie des Inkreis-Mittelpunkts

Winkelsummen Dreieck/Viereck Ortslinie des Schwerpunkts

Zentrische Streckung und Flächen Einheitskreis und Sinus

Vierecke ineinander parallel? Sinus und Cosinus verfolgen

11 Würfelnetze * Kugelstoßen auf 3 Planeten

Koordinaten üben (1.Quadrant) Hypotenusen berechnen

Koordinaten üben (alle

Quadranten) Parabeln in Scheitelpunktform

Koordinaten angeben Die Ziege frisst im Viertelkreis Teil 1

Winkel im Sehnenviereck Die Ziege frisst im Viertelkreis Teil 2

Zaunpfosten aufstellen Rechteck im Dreieck maximieren

Haus des Nikolaus

Winkelsumme im Dreieck (V1) Mandala und Symmetrie

Winkelsumme im Dreieck (V2) Kreisflächen schätzen

Polynome und Parabeln

Aus 3 Punkten eine Parabelgleichung

Der Ellipsenbaukasten

Brennpunkt einer Parabel

Brennpunkt einer Parabel suchen

LNB und Satellitenschüssel

Funktionen ausprobieren

Der Horizont

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19. Viele meiner Übungen und auch Übungen

anderer Autoren sind beim NRW Bildungsportal

Learnline NRW abrufbar. Eine ganze Reihe von

Aufgaben anderer Autoren funktioniert leider auf

Grund von Mängeln in der Aufgabenarchitektur

nicht mehr. Man sollte jede Aufgabe in der

Schule testen, denn oft verhalten sich Apps auf

einem Heim PC anders als in der Schule.

http://www.learnline.schulministerium.nrw.de

Suchbegriffe z.B. „GeoGebra Ulrich Steinmetz“

Siehe das Bild als Suchergebnis.

20. Sehr viele GeoGebra Übungen von engagierten Autoren aus der ganzen Welt findet man im

GeoGebraTube Portal. https://tube.geogebra.org/?lang=de

jedoch ist Vorsicht geboten, denn vielfach sind Übungen fehlerhaft oder schlecht

verwendbar im deutschen Schulunterricht. Manchmal gibt es sprachliche Probleme und

abweichende Namenskonventionen. (Ausschnitt vom 2.9.2015)

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Abschluss: Ein Statement zur Einsetzbarkeit von

GeoGebra. (Diskussion)

Frei nach Hilbert Meyer, Professor für Schulpädagogik, Universität Oldenburg

Alle sagten: "Das geht nicht." Dann kam einer, der wusste das nicht,

und hat dynamische Geometrie mit seinen Schülern gemacht.