geometrie am radom
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Ministerium für Bildung und Kultur Beispielaufgabe für die
Schleswig-Holstein schriftliche Abiturprüfung
in der Profiloberstufe
Kernfach Mathematik
Thema: Analytische Geometrie
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Geometrie am Radom
Ein Radom ist eine geschlossene,
kugelförmige Schutzhülle, die
Radarantennen vor äußeren Ein-
flüssen schützt.
Zum Aufbau eines Radoms wird zunächst eine tetraederförmige
Stahlkonstruktion errichtet. Dazu werden auf dem Sockel die Punkte
A( 0 / 0 / 8 ), B( 0 / 324 / 8 ) und C(-36 /12 3 / 8 ) – in guter
Näherung! - als Eckpunkte des Grunddreiecks gewählt.
(Alle Längenangaben sind Maßzahlen in Meter.)
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. Bestimmen Sie
die Koordinaten des Punktes D, der 33 m oberhalb des Schwer-
punktes S des Dreiecks ABC liegt.
(Zur Kontrolle: D( -12 / 12 3 / 41))
(6 P)
b) • Begründen Sie, dass jeder Punkt auf der Geraden durch S
und D den gleichen Abstand zu den Eckpunkten A,B und C
hat.
• Alle Punkte, die gleich weit von den Punkten A und D
entfernt sind, liegen in einer Ebene E. Bestimmen Sie diese
Ebene E.
(Eine mögliche Lösung ist
12 6
12 3 6 3 0
33 24 5
E : x
,
− −
⋅ − =
�
.)
• Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den
Radius der Kugel K, deren Oberfläche A, B, C und D enthält.
(Zur Kontrolle: M(-12 / 12 3 / 22
347); r =
22
555 )
(13 P)
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c) Die Fertigstellung des Radoms soll im Rahmen einer Open-Air-
Veranstaltung mit einer Lasershow gefeiert werden. Dazu wird
eine Laserkanone außerhalb des Radoms am Ort
P( 20 / 312 / 22
347) aufgestellt. Der Laserstrahl wird dann von P
aus in Richtung M gerichtet.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, an dem der Strahl
auf die Radomoberfläche trifft. ( 8 P)
d) Für die Lasershow soll der Laserstrahl im Takt der Musik Figuren
auf die Radomoberfläche „zaubern“. Dazu darf der Strahl aus der
UrsprungsrichtungPM����
nur so weit nach oben abgelenkt werden,
dass er gerade noch die Kuppel streift. Bestimmen Sie den
maximalen Ablenkwinkel von der ursprünglichen Richtung. ( 3 P)
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Zuordnung
Bewertung Aufg. Erwartete Leistung
I II III
a) Man berechnet zunächst die Beträge der Vektoren AB,BC
���� ����
und AC����
.
0
24 3 24 3 41 57
0
36
12 3 1296 432 1728 41 57
0
36
12 3
0
AB ,
BC ,
AC BC
= = ≈
−
= − = + = ≈
−
= =
����
����
���� ����
Die drei Beträge sind gleich, das Dreieck ABC ist gleichseitig.
3
Der Ortsvektor des Schwerpunktes S eines Dreiecks ABC ist
durch ( )1
3OS OA OB OC= ⋅ + +���� ���� ���� ����
gegeben.
0 36 36 1201 1
0 24 3 12 3 36 3 12 33 3
8 8 8 24 8
OS
− − − = ⋅ + + = ⋅ =
����
Da das Dreieck ABC parallel zur x1-x2-Ebene liegt, lautet der
Ortsvektor des Punktes D
12 120
12 3 0 12 3
8 33 41
OD
− − = + =
����
.
2
1
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b) Begründung
Eine Gleichung der Geraden g durch S und D lautet
12 0
12 3 0
41 1
g : x s
− = +
�
.
Da der Schwerpunkt beim gleichseitigen Dreieck gleichzeitig
Umkreismittelpunkt ist und die Gerade g orthogonal zur
Ebene, in der das Dreieck ABC liegt, verläuft, folgt die
Behauptung aus dem Satz des Pythagoras (s.Skizze):
(Alternativ kann man auch die drei Abstände eines Geraden-
punktes zu den Eckpunkten konkret berechnen. Man erhält
dann 2576d s= + .)
Bestimmung der Ebene
Die gesuchte Ebene ist die Mittelebene zu AD.
Um die Gleichung der Mittelebene zu AD aufzustellen,
ermittelt man zunächst die Gleichung der Geraden, die die
Kante AD enthält. OA ist ein Ortsvektor, der zur Geraden
hinführt, OAODAD −= ist ein Richtungsvektor.
−+
=33
312
12
8
0
0
: rxg AD�
3
1
2
1
S Eckpunkt
Geradenpunkt
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Der Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke AD lautet mit
0 5 =r , dann
−=
−+
=5,24
36
6
5,16
36
6
8
0
0
ADOM .
Der Richtungsvektor von AD ist Normalenvektor der
Mittelebene, daher lautet eine Normalenform
12 6
12 3 6 3 0
33 24 5
E : x
,
− −
⋅ − =
�
.
Bestimmung der Kugel
Weil der Mittelpunkt M zum einen gleichweit von A,B und C,
aber zum anderen auch gleichweit von A und D entfernt ist,
liegt M sowohl auf der Geraden g als auch auf der Ebene E.
Diese Ebene E wird mit der Geraden durch S und D zum
Schnitt gebracht. Dazu wird der Geradenterm für den
Ortsvektor in E eingesetzt.
0
1
0
0
5,16
36
6
33
312
12
5,24
36
6
1
0
0
41
312
12
33
312
12
=
+
−
−=
−−
+
−
−ss ��
22
5550335,54421672 −=⇒=+++ ss
Damit lautet der Ortsvektor des Schnittpunktes M
−=
−
−=
22
347312
12
1
0
0
22
555
41
312
12
OM .
Der Abstand von M zu D ist auf Grund obiger Rechnung 22
555.
Damit ist M der Mittelpunkt der Umkugel.
2
1
1
3
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c) Der Laserstrahl läuft entlang der Geraden l mit der Gleichung
−+
=0
0
1
22
347312
20
: txl�
. Man setzt den Term von l für den
Ortsvektor ��
x in der Kugelgleichung
2
2
22
555
22
347312
12
:
=
−−xk�
ein.
22
2
22
555
0
0
1
0
0
32
22
347312
12
0
0
1
22
347312
20
=
−+
=
−−
−+
tt
0484
18759164
22
555641024 2
22 =+−⇔
=+− tttt .
Dies führt zu folgenden Lösungen:
1
2
187591 308025 555 14932 1024 32 32
484 484 22 22
187591 308025 555 125932 1024 32 32
484 484 22 22
t ,
t .
= − − = − = − =
= + − = + = + =
Wegen der geringeren Distanz muss t1 genutzt werden.
291
20 221149
12 3 0 12 322
347 0 347
22 22
OK
− = + =
����
1
1
1
2
1
2
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d) Es ist folgende Figur zu analysieren.
1 05550 7884 37 97
22 32
rcos( ) cos ( , ) ,
MPα α −= = ⇒ ≈ ≈
⋅
Alternativlösungen über Polarebenen bzw. über
Schnittprobleme sind denkbar, aber sehr aufwändig.
3
12 15 3