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Gleichgewicht: Thales, Pythagoras und Archimedes
Hans Walser
www.math.unibas.ch/~walser
Rollt der Kreis ab?
Wo ist der Schwerpunkt?
Rollt der Kreis ab?
Archimedes comes in
Lokale Schwerpunkte
Archimedes comes in
Lokale SchwerpunkteHebelgesetze
Archimedes comes in
Hebelgesetze
Gleichgewichtsfigur:Punkte auf einem Kreis, Mittelpunkt ist Schwerpunkt
Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis
A1
A2
CA1
A2
d2
r
Pythagoras: d12+ d2
2= 4r2
d1
Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis
C
Normierung:
A1
A2
Pythagoras:
r = 1
r = 1
d2
d1
d12+ d2
2= 4
Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis
Hypotenuse ein Rechteck
A1
A2
d12+ d2
2+ d3
2+ d4
2= 8
A4
4 Punkte:
C
A3
d4
d3
2 Punkte:
(trivial!)
d2
d1
d12+ d2
2= 4
d12+ d2
2= 4
Hypotenuse ein Dreieck
A1
A2
4 Punkte:
C
A3d3
2 Punkte:3 Punkte: d1
2+ d2
2+ d3
2= ?
d2
d1
d12+ d2
2+ d3
2+ d4
2= 8
d1 = 2
d2 = 1
d3 = 1
Sonderfall: Symmetrie
A1
A2
C
d1
d2
A3
d3
d12+ d2
2+ d3
2= 6
A1
A2
= Cd1
d2
A3d3 = 0
Sonderfall: Symmetrie d12+ d2
2+ d3
2= 6
d1 = 3
d2 = 3
d3 = 0
A1
A2
C
A3
Sonderfall: Symmetrie im Raum d12+ d2
2+ d3
2= 6
d1 = 2
d2 = 2
d3 = 2
Und?
A1
A2
C
A3
Vermutung: d12+ + dn
2= 2n
n = Anzahl Punkte
Vermutung:
Symmetrische Beispiele in der Ebene:
Stoeter, Carsten und Wohlrabe, Klaus: Vergessene Längen. Besondere Eigenschaften regulärer Vielecke. MNU 62/1 (15. 1. 2009), S. 10-14
Stoeter, Carsten und Wohlrabe, Klaus: Zu: Vergessene Längen. MNU 64/1 (15. 1. 2011)
d12+ + dn
2= 2n
Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten
Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n
Beweis:
Koordinatenursprung im Mittelpunkt
Punkte auf Kreis:
Schwerpunkt im Mittelpunkt:
Beliebiger Punkt C:
Abstand:
a j = OAj , j 1,…,n{ }
1n
a jj=1
n= 0
c = OC
a j c
Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten
Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n
Beweis:
Koordinatenursprung im Mittelpunkt
Punkte auf Kreis:
Schwerpunkt im Mittelpunkt:
Beliebiger Punkt C:
Abstand:
a j = OAj , j 1,…,n{ }
1n
a jj=1
n= 0
c = OC
a j c
Wenn man aufhören würde,Mathematik verstehen zu wollen,könnte man sie genießen wie Musik.
Norbert A Campo
Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten
Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n
Beweis:
Koordinatenursprung im Mittelpunkt
Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:
Schwerpunkt im Mittelpunkt:
Beliebiger Punkt C:
Abstand:
a j = 1
1n
a jj=1
n= 0
c = MC
d j = a j c
a j = MAj , j 1,…,n{ }
Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten
Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n
Beweis:
Koordinatenursprung im Mittelpunkt
Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:
Schwerpunkt im Mittelpunkt:
Beliebiger Punkt C:
Abstand:
a j = 1
1n
a jj=1
n= 0
c = MC
d j = a j c
a j = MAj , j 1,…,n{ }
Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten
Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n
Beweis:
Koordinatenursprung im Mittelpunkt
Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:
Schwerpunkt im Mittelpunkt:
Beliebiger Punkt C:
Abstand:
a j = 1
1n
a jj=1
n= 0
c = MC
d j = a j c
a j = MAj , j 1,…,n{ }
S = d j2
j=1
n= a j c( )
2
j=1
n= a j
2
j=1
n
=n
2c a jj=1
n
=0
+ nc2 = n 1+ c2( )
c2 = 1 S = 2n
Summe der Quadrate der Abstände
Dimensionsunabhängig
S = d j2
j=1
n= a j c( )
2
j=1
n= a j
2
j=1
n
=n
2c a jj=1
n
=0
+ nc2 = n 1+ c2( )
c2 = 1 S = 2n
Summe der Quadrate der Abstände
Dimensionsunabhängig
S = d j2
j=1
n= a j c( )
2
j=1
n= a j
2
j=1
n
=n
2c a jj=1
n
=0
+ nc2 = n 1+ c2( )
c2 = 1 S = 2n
Summe der Quadrate der Abstände
Dimensionsunabhängig
S = d j2
j=1
n= a j c( )
2
j=1
n= a j
2
j=1
n
=n
2c a jj=1
n
=0
+ nc2 = n 1+ c2( )
c2 = 1 S = 2n
Summe der Quadrate der Abstände
Dimensionsunabhängig
Punkte auf
Einheitskreis
Schwerpunktim Mittelpunkt
S = d j2
j=1
n= a j c( )
2
j=1
n= a j
2
j=1
n
=n
2c a jj=1
n
=0
+ nc2 = n 1+ c2( )
c2 = 1 S = 2n
Summe der Quadrate der Abstände
Dimensionsunabhängig
Punkte auf
Einheitskreis
Schwerpunktim Mittelpunkt
S = d j2
j=1
n= a j c( )
2
j=1
n= a j
2
j=1
n
=n
2c a jj=1
n
=0
+ nc2 = n 1+ c2( )
c2 = 1 S = 2n
Summe der Quadrate der Abstände
Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n
Kreisbögen („runde Abstände“)
CA1
A2
2
1
1
Kreisbögen
CA1
A2
2
1
1
1 + 2 = cos 2( ) = cos 1( ) cos 1( ) + cos 2( ) = 0
Vermutung:
CA1
A2
2
1
1
cos j( )j=1
n= 0
1 + 2 = cos 2( ) = cos 1( ) cos 1( ) + cos 2( ) = 0
Vermutung:
C
cos j( )j=1
n= 0
Die rote Spinne
Vermutung:
C
cos j( )j=1
n= 0
Die rote Spinne?
Vermutung:
C
cos j( )j=1
n= 0
Die rote Spinne?
Vermutung:
Beweis:
cos j( )j=1
n= 0
cos j( ) =a jc
a j c= a jc
cos j( )j=1
n= a jcj=1
n= c a j
j=1
n
0
= 0
Vermutung:
Beweis:
cos j( )j=1
n= 0
cos j( ) =a jc
a j c= a jc
cos j( )j=1
n= a jcj=1
n= c a j
j=1
n
0
= 0
Einheitskreis/ -Kugel
Vermutung:
Beweis:
cos j( )j=1
n= 0
cos j( ) =a jc
a j c= a jc
cos j( )j=1
n= a jcj=1
n= c a j
j=1
n
0
= 0
Vermutung:
Beweis:
cos j( )j=1
n= 0
cos j( ) =a jc
a j c= a jc
cos j( )j=1
n= a jcj=1
n= c a j
j=1
n
0
= 0
Schwerpunktim Mittelpunkt
Gleichgewichtsfiguren, Beispiele:
- Regelmäßige Vielecke
- Platonische Körper
- Punktsymmetrische Vielecke / Körper mit Umkreis / -Kugel
- Kombination von Gleichgewichtsfiguren
- Andere?
Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren
Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren
Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren
Gleichgewichtsfiguren: Konstruktion von Gleichgewichtsfiguren
M
Beispiel: n = 5
Gleichgewichtsfiguren: Konstruktion von Gleichgewichtsfiguren
M
A1
Beispiel: n = 5
A1 beliebig
Gleichgewichtsfiguren: Archimedes
M
A1
Beispiel: n = 5
A1 beliebig
Da hängen vier Massen dran.
Gleichgewichtsfiguren: Konstruktion von Gleichgewichtsfiguren
M
A1
Beispiel: n = 5
A1 beliebig
Da hängen vier Massen dran.
A2
A2 beliebig
Gleichgewichtsfiguren: Algorithmus
M
A1
Beispiel: n = 5
A1 beliebig
Da hängen drei Massen dran.
A2
A2 beliebig
M
A1
Beispiel: n = 5
A1 beliebig
Da hängen drei Massen dran.
A2
A2 beliebig
A3
A3 beliebig
Gleichgewichtsfiguren: Algorithmus
M
A1
Beispiel: n = 5
A1 beliebig
Da hängen zwei Massen dran.
A2
A2 beliebig
A3
A3 beliebig
Gleichgewichtsfiguren: Algorithmus
Nicht so ganzbeliebig
Gleichgewichtsfiguren: Ende des Algorithmus
M
A1
Beispiel: n = 5
A1 beliebig
A2
A2 beliebig
A3
A3 beliebig
Punkt-spiegelung
M
A1
Beispiel: n = 5
A1 beliebig
A2
A2 beliebig
A3
A3 beliebig
Punkt-spiegelung
A5
A4 A4 und A5
konstruiert
Gleichgewichtsfiguren: Ende des Algorithmus
Gleichgewichtsfiguren:
M
Beispiel: n = 5
Gleichgewichtsfiguren:
Verschiedene HebeltopologienWie viele Möglichkeiten gibt es?
M M
Gleichgewichtsfiguren:
Verschiedene HebeltopologienWie viele Möglichkeiten gibt es?
M M
Gleichgewichtsfiguren:
Verschiedene HebeltopologienWie viele Möglichkeiten gibt es?
n # Hebeltopologien h n( ) Zerlegung
1 1 1
2 1 1
3 3 1 3
4 15 1 3 5
5 105 1 3 5 7
6 945 1 3 5 7 9
Gleichgewichtsfiguren:
Verschiedene HebeltopologienWie viele Möglichkeiten gibt es?
n # Hebeltopologien h n( ) Zerlegung
1 1 1
2 1 1
3 3 1 3
4 15 1 3 5
5 105 1 3 5 7
6 945 1 3 5 7 9
Von derselbenQualität wie
0! = 1
Gleichgewichtsfiguren:
Verschiedene HebeltopologienWie viele Möglichkeiten gibt es?
n # Hebeltopologien h n( ) Zerlegung
1 1 1
2 1 1
3 3 1 3
4 15 1 3 5
5 105 1 3 5 7
6 945 1 3 5 7 9
Von derselbenQualität wie
0! = 1
Gewusst wie
ist besser als
Verstanden warum
Gleichgewichtsfiguren:
Unterteilung in zwei Klassen mit n – k und k Elementen.
n # Hebeltopologien h n( ) Zerlegung
1 1 1
2 1 1
3 3 1 3
4 15 1 3 5
5 105 1 3 5 7
6 945 1 3 5 7 9
h n( ) = 12 k
n( )h n k( )h k( )k=1
n 1
Rekursion:
Von derselbenQualität wie
0! = 1
Gleichgewichtsfiguren:
Beweis mit Catalan-Zahlen (Skript)
n # Hebeltopologien h n( ) Zerlegung
1 1 1
2 1 1
3 3 1 3
4 15 1 3 5
5 105 1 3 5 7
6 945 1 3 5 7 9
Rekursion: h n( ) = 12 k
n( )h n k( )h k( )k=1
n 1
Gleichgewichtsfiguren: Algorithmus bei regelmäßigen Vielecken
x t( ) =
sin t( )tsin t( )
sin t( )tcos t( )
t ,[ ]
Herzkurve und Kardioide
x t( ) =
sin t( )tsin t( )
sin t( )tcos t( )
t ,[ ]
x t( ) =121+ cos t( )( )sin t( )
121+ cos t( )( )cos t( )
t ,[ ]
Danke