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Gleichungen 5. Grades
Birgit Richter
Nacht des Wissens 2013
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Was sind Gleichungen 5. Grades?
Gesucht sind Losungen fur Gleichungen der Form
x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,
wobei a, b, c , d , e rationale Zahlen sind, also zum Beispiel
x5 − x − 1 = 0, (a = b = c = 0, d = e = −1).
Quelle: Wikipedia.
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Was sind Gleichungen 5. Grades?
Gesucht sind Losungen fur Gleichungen der Form
x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,
wobei a, b, c , d , e rationale Zahlen sind, also zum Beispiel
x5 − x − 1 = 0, (a = b = c = 0, d = e = −1).
Quelle: Wikipedia.
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Was sind Gleichungen 5. Grades?
Gesucht sind Losungen fur Gleichungen der Form
x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,
wobei a, b, c , d , e rationale Zahlen sind, also zum Beispiel
x5 − x − 1 = 0, (a = b = c = 0, d = e = −1).
Quelle: Wikipedia.
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Was sind Gleichungen 5. Grades?
Gesucht sind Losungen fur Gleichungen der Form
x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0,
wobei a, b, c , d , e rationale Zahlen sind, also zum Beispiel
x5 − x − 1 = 0, (a = b = c = 0, d = e = −1).
Quelle: Wikipedia.
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Form der Losung
Wir wollen die Losungen direkt aus den Zahlen a, b, c , d , e ablesenkonnen:Wir mochten nur die Grundrechenarten und (iterierte, hohere)Wurzeln benutzen, um die Losungen aus den Koeffizienten zukonstruieren.Geht das immer?Manchmal findet man solche Losungen. Fur x5 − 5x + 12 = 0 isteine Losung zum Beispiel
5
√−1 +
2
5
√5− 3
√1
5− 11
125
√5 +
5
√−1− 2
5
√5 + 3
√1
5+
11
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√5
+5
√−1− 2
5
√5− 3
√1
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√5 +
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√−1 +
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√5 + 3
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√5.
Fangen wir mit einfacheren Fallen an...
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Form der Losung
Wir wollen die Losungen direkt aus den Zahlen a, b, c , d , e ablesenkonnen:
Wir mochten nur die Grundrechenarten und (iterierte, hohere)Wurzeln benutzen, um die Losungen aus den Koeffizienten zukonstruieren.Geht das immer?Manchmal findet man solche Losungen. Fur x5 − 5x + 12 = 0 isteine Losung zum Beispiel
5
√−1 +
2
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√5− 3
√1
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√5 +
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√−1− 2
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√5 +
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Form der Losung
Wir wollen die Losungen direkt aus den Zahlen a, b, c , d , e ablesenkonnen:Wir mochten nur die Grundrechenarten und (iterierte, hohere)Wurzeln benutzen, um die Losungen aus den Koeffizienten zukonstruieren.
Geht das immer?Manchmal findet man solche Losungen. Fur x5 − 5x + 12 = 0 isteine Losung zum Beispiel
5
√−1 +
2
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√5− 3
√1
5− 11
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√5 +
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√−1− 2
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√5 + 3
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√−1 +
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√5 + 3
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Form der Losung
Wir wollen die Losungen direkt aus den Zahlen a, b, c , d , e ablesenkonnen:Wir mochten nur die Grundrechenarten und (iterierte, hohere)Wurzeln benutzen, um die Losungen aus den Koeffizienten zukonstruieren.Geht das immer?
Manchmal findet man solche Losungen. Fur x5 − 5x + 12 = 0 isteine Losung zum Beispiel
5
√−1 +
2
5
√5− 3
√1
5− 11
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√5 +
5
√−1− 2
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√5 + 3
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√−1 +
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Form der Losung
Wir wollen die Losungen direkt aus den Zahlen a, b, c , d , e ablesenkonnen:Wir mochten nur die Grundrechenarten und (iterierte, hohere)Wurzeln benutzen, um die Losungen aus den Koeffizienten zukonstruieren.Geht das immer?Manchmal findet man solche Losungen. Fur x5 − 5x + 12 = 0 isteine Losung zum Beispiel
5
√−1 +
2
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√5− 3
√1
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√5 +
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√−1− 2
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√5 + 3
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Form der Losung
Wir wollen die Losungen direkt aus den Zahlen a, b, c , d , e ablesenkonnen:Wir mochten nur die Grundrechenarten und (iterierte, hohere)Wurzeln benutzen, um die Losungen aus den Koeffizienten zukonstruieren.Geht das immer?Manchmal findet man solche Losungen. Fur x5 − 5x + 12 = 0 isteine Losung zum Beispiel
5
√−1 +
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√5− 3
√1
5− 11
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√5 +
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√−1− 2
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√1
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√−1 +
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Form der Losung
Wir wollen die Losungen direkt aus den Zahlen a, b, c , d , e ablesenkonnen:Wir mochten nur die Grundrechenarten und (iterierte, hohere)Wurzeln benutzen, um die Losungen aus den Koeffizienten zukonstruieren.Geht das immer?Manchmal findet man solche Losungen. Fur x5 − 5x + 12 = 0 isteine Losung zum Beispiel
5
√−1 +
2
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√5− 3
√1
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√5 +
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√−1− 2
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√5 + 3
√1
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√5− 3
√1
5+
11
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√5 +
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√−1 +
2
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√5 + 3
√1
5− 11
125
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Fangen wir mit einfacheren Fallen an...
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Gleichungen zweiten Grades
Sind quadratische Gleichungen immer losbar?
x2 + ax + b = 0
hat die beiden Losungen
x1,2 = −a
2±√
a2
4− b.
Immer?Was ist mit x2 + 1 = 0? Dafur mußte es ein x geben mit x2 = −1.Gibt es! Wir erweitern den Zahlbereich und rechnen mit derZahlenebene, mit den sogenannten komplexen Zahlen.
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Gleichungen zweiten Grades
Sind quadratische Gleichungen immer losbar?
x2 + ax + b = 0
hat die beiden Losungen
x1,2 = −a
2±√
a2
4− b.
Immer?Was ist mit x2 + 1 = 0? Dafur mußte es ein x geben mit x2 = −1.Gibt es! Wir erweitern den Zahlbereich und rechnen mit derZahlenebene, mit den sogenannten komplexen Zahlen.
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Gleichungen zweiten Grades
Sind quadratische Gleichungen immer losbar?
x2 + ax + b = 0
hat die beiden Losungen
x1,2 = −a
2±√
a2
4− b.
Immer?Was ist mit x2 + 1 = 0? Dafur mußte es ein x geben mit x2 = −1.Gibt es! Wir erweitern den Zahlbereich und rechnen mit derZahlenebene, mit den sogenannten komplexen Zahlen.
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Gleichungen zweiten Grades
Sind quadratische Gleichungen immer losbar?
x2 + ax + b = 0
hat die beiden Losungen
x1,2 = −a
2±√
a2
4− b.
Immer?
Was ist mit x2 + 1 = 0? Dafur mußte es ein x geben mit x2 = −1.Gibt es! Wir erweitern den Zahlbereich und rechnen mit derZahlenebene, mit den sogenannten komplexen Zahlen.
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Gleichungen zweiten Grades
Sind quadratische Gleichungen immer losbar?
x2 + ax + b = 0
hat die beiden Losungen
x1,2 = −a
2±√
a2
4− b.
Immer?Was ist mit x2 + 1 = 0? Dafur mußte es ein x geben mit x2 = −1.
Gibt es! Wir erweitern den Zahlbereich und rechnen mit derZahlenebene, mit den sogenannten komplexen Zahlen.
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Gleichungen zweiten Grades
Sind quadratische Gleichungen immer losbar?
x2 + ax + b = 0
hat die beiden Losungen
x1,2 = −a
2±√
a2
4− b.
Immer?Was ist mit x2 + 1 = 0? Dafur mußte es ein x geben mit x2 = −1.Gibt es! Wir erweitern den Zahlbereich und rechnen mit derZahlenebene, mit den sogenannten komplexen Zahlen.
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Komplexe Zahlen
Es seien z und w zwei Elemente in der Zahlenebene:
���
6
z
w
Wir multiplizieren z und w , indem wir die Winkel addieren und dieLangen multiplizieren.
���
6
z
w
@@@I
z · w
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Komplexe Zahlen
Es seien z und w zwei Elemente in der Zahlenebene:
���
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z
w
Wir multiplizieren z und w , indem wir die Winkel addieren und dieLangen multiplizieren.
���
6
z
w
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z · w
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Komplexe Zahlen
Es seien z und w zwei Elemente in der Zahlenebene:
���
6
z
w
Wir multiplizieren z und w , indem wir die Winkel addieren und dieLangen multiplizieren.
���
6
z
w
@@@I
z · w
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Komplexe Zahlen
Es seien z und w zwei Elemente in der Zahlenebene:
���
6
z
w
Wir multiplizieren z und w , indem wir die Winkel addieren und dieLangen multiplizieren.
���
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z
w
@@@I
z · w
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Die imaginare Einheit i
Wir setzen i = (0, 1). Die Lange von i ist 1 und der Winkelentspricht 90 Grad.
6
i
-� 1−1
Multiplizieren wir i mit sich selbst, so erhalten wir ein Element derLange 1 und mit einem Winkel von 180 Grad. Damit ist i2 = −1.Mit diesem Trick sind alle quadratischen Gleichungen losbar mitWurzelausdrucken!Damit finden wir sogar fur jede Gleichung
xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0
genau n Losungen.Sind diese Losungen immer durch Wurzelausdrucke in denKoeffizienten angebbar?
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Die imaginare Einheit i
Wir setzen i = (0, 1). Die Lange von i ist 1 und der Winkelentspricht 90 Grad.
6
i
-� 1−1
Multiplizieren wir i mit sich selbst, so erhalten wir ein Element derLange 1 und mit einem Winkel von 180 Grad. Damit ist i2 = −1.Mit diesem Trick sind alle quadratischen Gleichungen losbar mitWurzelausdrucken!Damit finden wir sogar fur jede Gleichung
xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0
genau n Losungen.Sind diese Losungen immer durch Wurzelausdrucke in denKoeffizienten angebbar?
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Die imaginare Einheit i
Wir setzen i = (0, 1). Die Lange von i ist 1 und der Winkelentspricht 90 Grad.
6
i
-� 1−1
Multiplizieren wir i mit sich selbst, so erhalten wir ein Element derLange 1 und mit einem Winkel von 180 Grad. Damit ist i2 = −1.
Mit diesem Trick sind alle quadratischen Gleichungen losbar mitWurzelausdrucken!Damit finden wir sogar fur jede Gleichung
xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0
genau n Losungen.Sind diese Losungen immer durch Wurzelausdrucke in denKoeffizienten angebbar?
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Die imaginare Einheit i
Wir setzen i = (0, 1). Die Lange von i ist 1 und der Winkelentspricht 90 Grad.
6
i
-� 1−1
Multiplizieren wir i mit sich selbst, so erhalten wir ein Element derLange 1 und mit einem Winkel von 180 Grad. Damit ist i2 = −1.Mit diesem Trick sind alle quadratischen Gleichungen losbar mitWurzelausdrucken!
Damit finden wir sogar fur jede Gleichung
xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0
genau n Losungen.Sind diese Losungen immer durch Wurzelausdrucke in denKoeffizienten angebbar?
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Die imaginare Einheit i
Wir setzen i = (0, 1). Die Lange von i ist 1 und der Winkelentspricht 90 Grad.
6
i
-� 1−1
Multiplizieren wir i mit sich selbst, so erhalten wir ein Element derLange 1 und mit einem Winkel von 180 Grad. Damit ist i2 = −1.Mit diesem Trick sind alle quadratischen Gleichungen losbar mitWurzelausdrucken!Damit finden wir sogar fur jede Gleichung
xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0
genau n Losungen.
Sind diese Losungen immer durch Wurzelausdrucke in denKoeffizienten angebbar?
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Die imaginare Einheit i
Wir setzen i = (0, 1). Die Lange von i ist 1 und der Winkelentspricht 90 Grad.
6
i
-� 1−1
Multiplizieren wir i mit sich selbst, so erhalten wir ein Element derLange 1 und mit einem Winkel von 180 Grad. Damit ist i2 = −1.Mit diesem Trick sind alle quadratischen Gleichungen losbar mitWurzelausdrucken!Damit finden wir sogar fur jede Gleichung
xn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 = 0
genau n Losungen.Sind diese Losungen immer durch Wurzelausdrucke in denKoeffizienten angebbar?
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Gleichungen 3. und 4. Grades
Fur Gleichungen der Form x3 + ax2 + cx + d = 0 gibt es immer diegewunschten Losungen. Cardano (1501-1576) hat dafur expliziteFormeln angegeben.
Man kann diese Gleichungen zunachst vereinfachen zux3 + px + q = 0.Dann ist eine Losung
3
√−q
2+
√q2
4+
p3
27+
3
√−q
2−√
q2
4+
p3
27.
(Man hat Wahlen fur die dritten Wurzeln und muss sie so wahlen,dass ihr Produkt −p
3 ergibt.)Gleichungen 4. Grades haben ebenfalls immer solche Losungen.
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Gleichungen 3. und 4. Grades
Fur Gleichungen der Form x3 + ax2 + cx + d = 0 gibt es immer diegewunschten Losungen. Cardano (1501-1576) hat dafur expliziteFormeln angegeben.Man kann diese Gleichungen zunachst vereinfachen zux3 + px + q = 0.
Dann ist eine Losung
3
√−q
2+
√q2
4+
p3
27+
3
√−q
2−√
q2
4+
p3
27.
(Man hat Wahlen fur die dritten Wurzeln und muss sie so wahlen,dass ihr Produkt −p
3 ergibt.)Gleichungen 4. Grades haben ebenfalls immer solche Losungen.
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Gleichungen 3. und 4. Grades
Fur Gleichungen der Form x3 + ax2 + cx + d = 0 gibt es immer diegewunschten Losungen. Cardano (1501-1576) hat dafur expliziteFormeln angegeben.Man kann diese Gleichungen zunachst vereinfachen zux3 + px + q = 0.Dann ist eine Losung
3
√−q
2+
√q2
4+
p3
27+
3
√−q
2−√
q2
4+
p3
27.
(Man hat Wahlen fur die dritten Wurzeln und muss sie so wahlen,dass ihr Produkt −p
3 ergibt.)Gleichungen 4. Grades haben ebenfalls immer solche Losungen.
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Gleichungen 3. und 4. Grades
Fur Gleichungen der Form x3 + ax2 + cx + d = 0 gibt es immer diegewunschten Losungen. Cardano (1501-1576) hat dafur expliziteFormeln angegeben.Man kann diese Gleichungen zunachst vereinfachen zux3 + px + q = 0.Dann ist eine Losung
3
√−q
2+
√q2
4+
p3
27+
3
√−q
2−√
q2
4+
p3
27.
(Man hat Wahlen fur die dritten Wurzeln und muss sie so wahlen,dass ihr Produkt −p
3 ergibt.)
Gleichungen 4. Grades haben ebenfalls immer solche Losungen.
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Gleichungen 3. und 4. Grades
Fur Gleichungen der Form x3 + ax2 + cx + d = 0 gibt es immer diegewunschten Losungen. Cardano (1501-1576) hat dafur expliziteFormeln angegeben.Man kann diese Gleichungen zunachst vereinfachen zux3 + px + q = 0.Dann ist eine Losung
3
√−q
2+
√q2
4+
p3
27+
3
√−q
2−√
q2
4+
p3
27.
(Man hat Wahlen fur die dritten Wurzeln und muss sie so wahlen,dass ihr Produkt −p
3 ergibt.)Gleichungen 4. Grades haben ebenfalls immer solche Losungen.
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Gleichungen 5. Grades
Fur Gleichungen 5. Grades hat man lange nach einer Antwortgesucht.
Ist das vielleicht zu kompliziert? Sind wir zu dumm?Paolo Rufini (Ansatz in 1799), Niels-Henrik Abel (Beweis in 1824)
Niels-Henrik Abel, Quelle: Wikipedia.
Nicht jede Gleichung funften Grades ist durch Wurzelnlosbar!Zum Beispiel ist x5 − x + 1 = 0 so nicht losbar. Das heißt, dasswir nicht zu dumm sind – es geht nicht.
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Gleichungen 5. Grades
Fur Gleichungen 5. Grades hat man lange nach einer Antwortgesucht.Ist das vielleicht zu kompliziert?
Sind wir zu dumm?Paolo Rufini (Ansatz in 1799), Niels-Henrik Abel (Beweis in 1824)
Niels-Henrik Abel, Quelle: Wikipedia.
Nicht jede Gleichung funften Grades ist durch Wurzelnlosbar!Zum Beispiel ist x5 − x + 1 = 0 so nicht losbar. Das heißt, dasswir nicht zu dumm sind – es geht nicht.
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Gleichungen 5. Grades
Fur Gleichungen 5. Grades hat man lange nach einer Antwortgesucht.Ist das vielleicht zu kompliziert? Sind wir zu dumm?
Paolo Rufini (Ansatz in 1799), Niels-Henrik Abel (Beweis in 1824)
Niels-Henrik Abel, Quelle: Wikipedia.
Nicht jede Gleichung funften Grades ist durch Wurzelnlosbar!Zum Beispiel ist x5 − x + 1 = 0 so nicht losbar. Das heißt, dasswir nicht zu dumm sind – es geht nicht.
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Gleichungen 5. Grades
Fur Gleichungen 5. Grades hat man lange nach einer Antwortgesucht.Ist das vielleicht zu kompliziert? Sind wir zu dumm?Paolo Rufini (Ansatz in 1799), Niels-Henrik Abel (Beweis in 1824)
Niels-Henrik Abel, Quelle: Wikipedia.
Nicht jede Gleichung funften Grades ist durch Wurzelnlosbar!Zum Beispiel ist x5 − x + 1 = 0 so nicht losbar. Das heißt, dasswir nicht zu dumm sind – es geht nicht.
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Gleichungen 5. Grades
Fur Gleichungen 5. Grades hat man lange nach einer Antwortgesucht.Ist das vielleicht zu kompliziert? Sind wir zu dumm?Paolo Rufini (Ansatz in 1799), Niels-Henrik Abel (Beweis in 1824)
Niels-Henrik Abel, Quelle: Wikipedia.
Nicht jede Gleichung funften Grades ist durch Wurzelnlosbar!
Zum Beispiel ist x5 − x + 1 = 0 so nicht losbar. Das heißt, dasswir nicht zu dumm sind – es geht nicht.
![Page 39: Gleichungen 5. Grades - Universität Hamburg · Form der L osung Wir wollen die L osungen direkt aus den Zahlen a;b;c;d;e ablesen k onnen: Wir m ochten nur die Grundrechenarten und](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041203/5d50318e88c993566d8b6b81/html5/thumbnails/39.jpg)
Gleichungen 5. Grades
Fur Gleichungen 5. Grades hat man lange nach einer Antwortgesucht.Ist das vielleicht zu kompliziert? Sind wir zu dumm?Paolo Rufini (Ansatz in 1799), Niels-Henrik Abel (Beweis in 1824)
Niels-Henrik Abel, Quelle: Wikipedia.
Nicht jede Gleichung funften Grades ist durch Wurzelnlosbar!Zum Beispiel ist x5 − x + 1 = 0 so nicht losbar. Das heißt, dasswir nicht zu dumm sind – es geht nicht.
![Page 40: Gleichungen 5. Grades - Universität Hamburg · Form der L osung Wir wollen die L osungen direkt aus den Zahlen a;b;c;d;e ablesen k onnen: Wir m ochten nur die Grundrechenarten und](https://reader030.vdokument.com/reader030/viewer/2022041203/5d50318e88c993566d8b6b81/html5/thumbnails/40.jpg)
Mathematischer Hintergrund
Systematische Untersuchung: Wie konstruiere ich Losungen?Heute: Zweig der Galoistheorie (Evariste Galois (1811-1832)).
Evariste Galois, Quelle: Wikipedia.
Die Losungen haben Symmetrien. Dabei kann bei Gleichungenfunften Grades die Symmetriegruppe des Ikosaeders auftreten.Diese Gruppe ist nicht ’auflosbar’ und das verhindert die Existenzvon Wurzellosungen.Das ist Stoff des 5./6. Semesters eines Mathematikstudiums...
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Mathematischer Hintergrund
Systematische Untersuchung: Wie konstruiere ich Losungen?
Heute: Zweig der Galoistheorie (Evariste Galois (1811-1832)).
Evariste Galois, Quelle: Wikipedia.
Die Losungen haben Symmetrien. Dabei kann bei Gleichungenfunften Grades die Symmetriegruppe des Ikosaeders auftreten.Diese Gruppe ist nicht ’auflosbar’ und das verhindert die Existenzvon Wurzellosungen.Das ist Stoff des 5./6. Semesters eines Mathematikstudiums...
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Mathematischer Hintergrund
Systematische Untersuchung: Wie konstruiere ich Losungen?Heute: Zweig der Galoistheorie (Evariste Galois (1811-1832)).
Evariste Galois, Quelle: Wikipedia.
Die Losungen haben Symmetrien. Dabei kann bei Gleichungenfunften Grades die Symmetriegruppe des Ikosaeders auftreten.Diese Gruppe ist nicht ’auflosbar’ und das verhindert die Existenzvon Wurzellosungen.Das ist Stoff des 5./6. Semesters eines Mathematikstudiums...
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Mathematischer Hintergrund
Systematische Untersuchung: Wie konstruiere ich Losungen?Heute: Zweig der Galoistheorie (Evariste Galois (1811-1832)).
Evariste Galois, Quelle: Wikipedia.
Die Losungen haben Symmetrien. Dabei kann bei Gleichungenfunften Grades die Symmetriegruppe des Ikosaeders auftreten.
Diese Gruppe ist nicht ’auflosbar’ und das verhindert die Existenzvon Wurzellosungen.Das ist Stoff des 5./6. Semesters eines Mathematikstudiums...
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Mathematischer Hintergrund
Systematische Untersuchung: Wie konstruiere ich Losungen?Heute: Zweig der Galoistheorie (Evariste Galois (1811-1832)).
Evariste Galois, Quelle: Wikipedia.
Die Losungen haben Symmetrien. Dabei kann bei Gleichungenfunften Grades die Symmetriegruppe des Ikosaeders auftreten.Diese Gruppe ist nicht ’auflosbar’ und das verhindert die Existenzvon Wurzellosungen.
Das ist Stoff des 5./6. Semesters eines Mathematikstudiums...
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Mathematischer Hintergrund
Systematische Untersuchung: Wie konstruiere ich Losungen?Heute: Zweig der Galoistheorie (Evariste Galois (1811-1832)).
Evariste Galois, Quelle: Wikipedia.
Die Losungen haben Symmetrien. Dabei kann bei Gleichungenfunften Grades die Symmetriegruppe des Ikosaeders auftreten.Diese Gruppe ist nicht ’auflosbar’ und das verhindert die Existenzvon Wurzellosungen.Das ist Stoff des 5./6. Semesters eines Mathematikstudiums...