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Groÿe Fortschritte bei kleinen PrimzahllückenRingvorlesung
PD Dr. Karin Halupczok
7. Mai 2014, Mathematisches Institut der WWU Münster
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Die Verteilung der Primzahlen
Die Verteilung der Primzahlen in Restklassen
Primzahlzwillinge und Primzahllücken
Primzahlmuster
Neue Fortschritte bei kleinen Primzahllücken
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Primzahlen
Die Zahlentheorie untersucht die Menge Z der ganzen Zahlen.
Teilbarkeit in Z: a teilt b, falls es ein c ∈ Z gibt mit b = ac
Eine natürliche Zahl p heiÿt prim bzw. Primzahl, wenn sie genauzwei natürliche Teiler hat (nämlich 1 und p).
Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .Sei P ⊆ N die Menge der Primzahlen.
Satz von Euklid (ca. 300 v. Chr.):
Es existieren unendlich viele Primzahlen, d. h. #P =∞.
Gröÿte bekannte Primzahl aktuell: 257.885.161 − 1 mit 17.425.170Stellen (seit 25.1.2013, Projekt GIMPS)
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Primzahlen
Die Zahlentheorie untersucht die Menge Z der ganzen Zahlen.
Teilbarkeit in Z: a teilt b, falls es ein c ∈ Z gibt mit b = ac
Eine natürliche Zahl p heiÿt prim bzw. Primzahl, wenn sie genauzwei natürliche Teiler hat (nämlich 1 und p).
Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .Sei P ⊆ N die Menge der Primzahlen.
Satz von Euklid (ca. 300 v. Chr.):
Es existieren unendlich viele Primzahlen, d. h. #P =∞.
Gröÿte bekannte Primzahl aktuell: 257.885.161 − 1 mit 17.425.170Stellen (seit 25.1.2013, Projekt GIMPS)
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Primzahlen
Die Zahlentheorie untersucht die Menge Z der ganzen Zahlen.
Teilbarkeit in Z: a teilt b, falls es ein c ∈ Z gibt mit b = ac
Eine natürliche Zahl p heiÿt prim bzw. Primzahl, wenn sie genauzwei natürliche Teiler hat (nämlich 1 und p).
Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .Sei P ⊆ N die Menge der Primzahlen.
Satz von Euklid (ca. 300 v. Chr.):
Es existieren unendlich viele Primzahlen, d. h. #P =∞.
Gröÿte bekannte Primzahl aktuell: 257.885.161 − 1 mit 17.425.170Stellen (seit 25.1.2013, Projekt GIMPS)
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Primzahlen
Die Zahlentheorie untersucht die Menge Z der ganzen Zahlen.
Teilbarkeit in Z: a teilt b, falls es ein c ∈ Z gibt mit b = ac
Eine natürliche Zahl p heiÿt prim bzw. Primzahl, wenn sie genauzwei natürliche Teiler hat (nämlich 1 und p).
Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .Sei P ⊆ N die Menge der Primzahlen.
Satz von Euklid (ca. 300 v. Chr.):
Es existieren unendlich viele Primzahlen, d. h. #P =∞.
Gröÿte bekannte Primzahl aktuell: 257.885.161 − 1 mit 17.425.170Stellen (seit 25.1.2013, Projekt GIMPS)
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Primzahlen
Die Zahlentheorie untersucht die Menge Z der ganzen Zahlen.
Teilbarkeit in Z: a teilt b, falls es ein c ∈ Z gibt mit b = ac
Eine natürliche Zahl p heiÿt prim bzw. Primzahl, wenn sie genauzwei natürliche Teiler hat (nämlich 1 und p).
Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . .Sei P ⊆ N die Menge der Primzahlen.
Satz von Euklid (ca. 300 v. Chr.):
Es existieren unendlich viele Primzahlen, d. h. #P =∞.
Gröÿte bekannte Primzahl aktuell: 257.885.161 − 1 mit 17.425.170Stellen (seit 25.1.2013, Projekt GIMPS)
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Der Fundamentalsatz der Arithmetik
Die Primzahlen sind die �Bausteine� der natürlichen Zahlen:
Der Fundamentalsatz der ArithmetikJede natürliche Zahl n > 1 ist darstellbar als ein Produkt vonPrimzahlen. Bis auf die Reihenfolge der Faktoren ist dieseDarstellung eindeutig.
Also: Für alle n ∈ N>1 existieren (eindeutige Zahlen) r ∈ N,p1, . . . , pr ∈ P und e1, . . . , er ∈ N0 mit
n = pe11 · · · perr .
Mit dem antiken Sieb des Eratosthenes können Primzahllistenerstellt werden, z. B. die Liste aller Primzahlen zwischen 10 und100:
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Der Fundamentalsatz der Arithmetik
Die Primzahlen sind die �Bausteine� der natürlichen Zahlen:
Der Fundamentalsatz der ArithmetikJede natürliche Zahl n > 1 ist darstellbar als ein Produkt vonPrimzahlen. Bis auf die Reihenfolge der Faktoren ist dieseDarstellung eindeutig.
Also: Für alle n ∈ N>1 existieren (eindeutige Zahlen) r ∈ N,p1, . . . , pr ∈ P und e1, . . . , er ∈ N0 mit
n = pe11 · · · perr .
Mit dem antiken Sieb des Eratosthenes können Primzahllistenerstellt werden, z. B. die Liste aller Primzahlen zwischen 10 und100:
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Der Fundamentalsatz der Arithmetik
Die Primzahlen sind die �Bausteine� der natürlichen Zahlen:
Der Fundamentalsatz der ArithmetikJede natürliche Zahl n > 1 ist darstellbar als ein Produkt vonPrimzahlen. Bis auf die Reihenfolge der Faktoren ist dieseDarstellung eindeutig.
Also: Für alle n ∈ N>1 existieren (eindeutige Zahlen) r ∈ N,p1, . . . , pr ∈ P und e1, . . . , er ∈ N0 mit
n = pe11 · · · perr .
Mit dem antiken Sieb des Eratosthenes können Primzahllistenerstellt werden, z. B. die Liste aller Primzahlen zwischen 10 und100:
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Der Fundamentalsatz der Arithmetik
Die Primzahlen sind die �Bausteine� der natürlichen Zahlen:
Der Fundamentalsatz der ArithmetikJede natürliche Zahl n > 1 ist darstellbar als ein Produkt vonPrimzahlen. Bis auf die Reihenfolge der Faktoren ist dieseDarstellung eindeutig.
Also: Für alle n ∈ N>1 existieren (eindeutige Zahlen) r ∈ N,p1, . . . , pr ∈ P und e1, . . . , er ∈ N0 mit
n = pe11 · · · perr .
Mit dem antiken Sieb des Eratosthenes können Primzahllistenerstellt werden, z. B. die Liste aller Primzahlen zwischen 10 und100:
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Animation des Siebes von Eratosthenes
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Animation des Siebes von Eratosthenes
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Animation des Siebes von Eratosthenes
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Animation des Siebes von Eratosthenes
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Animation des Siebes von Eratosthenes
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Animation des Siebes von Eratosthenes
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Die Primzahlzählfunktion π(x)
Für reelle Zahlen x > 1 betrachten wir die Primzahlzählfunktion
π(x) := #{p ≤ x ; p prim},
also z. B. π(3.5) = 2, π(12) = 5 usw., sie stellt im Schaubild einemonoton steigende Stufenfunktion dar. Klar: π(x) ≤ x .
Tschebytschev (1850): Es gibt Konstanten c2 > c1 > 0 mit
c1x
log x≤ π(x) ≤ c2x
log x,
z. B. c1 = 0.9, c2 = 1.1.
Was sind gute obere und untere Schranken für π(x)?Welche stetigen Funktionen in x beschreiben π(x) am besten?
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Die Primzahlzählfunktion π(x)
Für reelle Zahlen x > 1 betrachten wir die Primzahlzählfunktion
π(x) := #{p ≤ x ; p prim},
also z. B. π(3.5) = 2, π(12) = 5 usw., sie stellt im Schaubild einemonoton steigende Stufenfunktion dar. Klar: π(x) ≤ x .
Tschebytschev (1850): Es gibt Konstanten c2 > c1 > 0 mit
c1x
log x≤ π(x) ≤ c2x
log x,
z. B. c1 = 0.9, c2 = 1.1.
Was sind gute obere und untere Schranken für π(x)?Welche stetigen Funktionen in x beschreiben π(x) am besten?
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Die Primzahlzählfunktion π(x)
Für reelle Zahlen x > 1 betrachten wir die Primzahlzählfunktion
π(x) := #{p ≤ x ; p prim},
also z. B. π(3.5) = 2, π(12) = 5 usw., sie stellt im Schaubild einemonoton steigende Stufenfunktion dar. Klar: π(x) ≤ x .
Tschebytschev (1850): Es gibt Konstanten c2 > c1 > 0 mit
c1x
log x≤ π(x) ≤ c2x
log x,
z. B. c1 = 0.9, c2 = 1.1.
Was sind gute obere und untere Schranken für π(x)?Welche stetigen Funktionen in x beschreiben π(x) am besten?
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Die Vermutung von Gauÿ über π(x)
Vermutung von Gauÿ (1849): Das logarithmische Integral
li(x) :=∫ x
2
dt
log t=
x
log x+O
(x
log2 x
)ist eine approximierende Funktion an π(x), d. h. es gilt
limx→∞
π(x)
li(x)= 1.
Bemerkung: log ist hier der Logarithmus zur Basis e.
Nach dieser Vermutung von Gauÿ sind die Funktionenli(x) und x
log xbeide Approximationen an π(x).
Darstellung der Funktionen π(x), li(x) und xlog x
im Schaubild:
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Die Vermutung von Gauÿ über π(x)
Vermutung von Gauÿ (1849): Das logarithmische Integral
li(x) :=∫ x
2
dt
log t=
x
log x+O
(x
log2 x
)ist eine approximierende Funktion an π(x), d. h. es gilt
limx→∞
π(x)
li(x)= 1.
Bemerkung: log ist hier der Logarithmus zur Basis e.
Nach dieser Vermutung von Gauÿ sind die Funktionenli(x) und x
log xbeide Approximationen an π(x).
Darstellung der Funktionen π(x), li(x) und xlog x
im Schaubild:
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Die Vermutung von Gauÿ über π(x)
Vermutung von Gauÿ (1849): Das logarithmische Integral
li(x) :=∫ x
2
dt
log t=
x
log x+O
(x
log2 x
)ist eine approximierende Funktion an π(x), d. h. es gilt
limx→∞
π(x)
li(x)= 1.
Bemerkung: log ist hier der Logarithmus zur Basis e.
Nach dieser Vermutung von Gauÿ sind die Funktionenli(x) und x
log xbeide Approximationen an π(x).
Darstellung der Funktionen π(x), li(x) und xlog x
im Schaubild:
![Page 24: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/24.jpg)
Schaubild von π(x), li(x) und x/ log x :
x
y
xlog x
li(x)π(x)
3 5 10 100 1000 10000
10
100
1000
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Der Primzahlsatz
Die numerischen Werte geben Gauÿ recht, zu seiner Zeit war abernoch kein Beweis für dieses asymptotische Verhalten von π(x) inSicht.
Hadamard und de la Vallée�Poussin (1896): Beweis der GauÿschenVermutung, heute bekannt als:
Primzahlsatz:
limx→∞
π(x)
li(x)= 1.
Dieser Satz kann auch umformuliert werden alsπ(x) = li(x) + o(li(x)), wobei o(li(x)) einen Fehlerterm bezeichnet,der langsamer wächst als li(x), genau: o(li(x))/ li(x) −→
x→∞0.
Da li(x) und xlog x
Approximationen voneinander sind, kann manden Primzahlsatz auch als π(x) = x
log x+ o( x
log x) schreiben.
![Page 26: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/26.jpg)
Der Primzahlsatz
Die numerischen Werte geben Gauÿ recht, zu seiner Zeit war abernoch kein Beweis für dieses asymptotische Verhalten von π(x) inSicht.Hadamard und de la Vallée�Poussin (1896): Beweis der GauÿschenVermutung, heute bekannt als:
Primzahlsatz:
limx→∞
π(x)
li(x)= 1.
Dieser Satz kann auch umformuliert werden alsπ(x) = li(x) + o(li(x)), wobei o(li(x)) einen Fehlerterm bezeichnet,der langsamer wächst als li(x), genau: o(li(x))/ li(x) −→
x→∞0.
Da li(x) und xlog x
Approximationen voneinander sind, kann manden Primzahlsatz auch als π(x) = x
log x+ o( x
log x) schreiben.
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Der Primzahlsatz
Die numerischen Werte geben Gauÿ recht, zu seiner Zeit war abernoch kein Beweis für dieses asymptotische Verhalten von π(x) inSicht.Hadamard und de la Vallée�Poussin (1896): Beweis der GauÿschenVermutung, heute bekannt als:
Primzahlsatz:
limx→∞
π(x)
li(x)= 1.
Dieser Satz kann auch umformuliert werden alsπ(x) = li(x) + o(li(x)), wobei o(li(x)) einen Fehlerterm bezeichnet,der langsamer wächst als li(x), genau: o(li(x))/ li(x) −→
x→∞0.
Da li(x) und xlog x
Approximationen voneinander sind, kann manden Primzahlsatz auch als π(x) = x
log x+ o( x
log x) schreiben.
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Der Primzahlsatz
Die numerischen Werte geben Gauÿ recht, zu seiner Zeit war abernoch kein Beweis für dieses asymptotische Verhalten von π(x) inSicht.Hadamard und de la Vallée�Poussin (1896): Beweis der GauÿschenVermutung, heute bekannt als:
Primzahlsatz:
limx→∞
π(x)
li(x)= 1.
Dieser Satz kann auch umformuliert werden alsπ(x) = li(x) + o(li(x)), wobei o(li(x)) einen Fehlerterm bezeichnet,der langsamer wächst als li(x), genau: o(li(x))/ li(x) −→
x→∞0.
Da li(x) und xlog x
Approximationen voneinander sind, kann manden Primzahlsatz auch als π(x) = x
log x+ o( x
log x) schreiben.
![Page 29: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/29.jpg)
Die Riemannsche Vermutung (RH)Wie gut ist die Approximation von π(x) an li(x)?Das (im wesentlichen) beste bewiesene Ergebnis bis heute ist
π(x) = li(x) +O
(x
exp(c(log x)3/5(log log x)−1/5)
)von Vinogradov und Korobov (1958).
Bekannt ist: Ist der Fehlerterm O(√x log x), so gilt die (bislang
unbewiesene) Riemannsche Vermutung, und umgekehrt! (Beweismit der �expliziten Formel�.) Also:
Riemannsche Vermutung (RH), arithmetische Formulierung:
RH ⇐⇒ π(x) = li(x) +O(x1/2 log x)
Riemannsche Vermutung (RH), analytische Formulierung:
Alle Nullstellen der Funktion ζ : C \ {1} → C im Streifen0 < Re s < 1 liegen auf der Geraden Re s = 1
2.
![Page 30: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/30.jpg)
Die Riemannsche Vermutung (RH)Wie gut ist die Approximation von π(x) an li(x)?Das (im wesentlichen) beste bewiesene Ergebnis bis heute ist
π(x) = li(x) +O
(x
exp(c(log x)3/5(log log x)−1/5)
)von Vinogradov und Korobov (1958).Bekannt ist: Ist der Fehlerterm O(
√x log x), so gilt die (bislang
unbewiesene) Riemannsche Vermutung, und umgekehrt! (Beweismit der �expliziten Formel�.) Also:
Riemannsche Vermutung (RH), arithmetische Formulierung:
RH ⇐⇒ π(x) = li(x) +O(x1/2 log x)
Riemannsche Vermutung (RH), analytische Formulierung:
Alle Nullstellen der Funktion ζ : C \ {1} → C im Streifen0 < Re s < 1 liegen auf der Geraden Re s = 1
2.
![Page 31: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/31.jpg)
Die Riemannsche Vermutung (RH)Wie gut ist die Approximation von π(x) an li(x)?Das (im wesentlichen) beste bewiesene Ergebnis bis heute ist
π(x) = li(x) +O
(x
exp(c(log x)3/5(log log x)−1/5)
)von Vinogradov und Korobov (1958).Bekannt ist: Ist der Fehlerterm O(
√x log x), so gilt die (bislang
unbewiesene) Riemannsche Vermutung, und umgekehrt! (Beweismit der �expliziten Formel�.) Also:
Riemannsche Vermutung (RH), arithmetische Formulierung:
RH ⇐⇒ π(x) = li(x) +O(x1/2 log x)
Riemannsche Vermutung (RH), analytische Formulierung:
Alle Nullstellen der Funktion ζ : C \ {1} → C im Streifen0 < Re s < 1 liegen auf der Geraden Re s = 1
2.
![Page 32: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/32.jpg)
Die Verteilung der Primzahlen
Die Verteilung der Primzahlen in Restklassen
Primzahlzwillinge und Primzahllücken
Primzahlmuster
Neue Fortschritte bei kleinen Primzahllücken
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Primzahlen in Restklassen
Dirichlet (1837): Zu gegebenen teilerfremden Zahlen a und q gibtes unendlich viele Primzahlen ≡ a mod q.
I Arithmetische Progression (AP): Folge a, a + q, a + 2q, . . .
I endliche AP: {a+ nq : n ∈ N0, n ≤ x} für a, q ∈ N und x > 1
I unendliche AP (Restklasse): {a + nq : n ∈ Z} für a, q ∈ N
Zählfunktion für Primzahlen in Restklassen:π(x ; q, a) := #
{p ≤ x : p ≡ a mod q
}Primzahlsatz in Progressionen:
Für ggT(a, q) = 1 gilt
π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)
(1+ o(1)
).
Def.: ϕ(q) := #{a ∈ {1, . . . , q}; ggT(a, q) = 1}, z. B. ϕ(10) = 4.
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Primzahlen in Restklassen
Dirichlet (1837): Zu gegebenen teilerfremden Zahlen a und q gibtes unendlich viele Primzahlen ≡ a mod q.
I Arithmetische Progression (AP): Folge a, a + q, a + 2q, . . .
I endliche AP: {a+ nq : n ∈ N0, n ≤ x} für a, q ∈ N und x > 1
I unendliche AP (Restklasse): {a + nq : n ∈ Z} für a, q ∈ N
Zählfunktion für Primzahlen in Restklassen:π(x ; q, a) := #
{p ≤ x : p ≡ a mod q
}Primzahlsatz in Progressionen:
Für ggT(a, q) = 1 gilt
π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)
(1+ o(1)
).
Def.: ϕ(q) := #{a ∈ {1, . . . , q}; ggT(a, q) = 1}, z. B. ϕ(10) = 4.
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Primzahlen in Restklassen
Dirichlet (1837): Zu gegebenen teilerfremden Zahlen a und q gibtes unendlich viele Primzahlen ≡ a mod q.
I Arithmetische Progression (AP): Folge a, a + q, a + 2q, . . .
I endliche AP: {a+ nq : n ∈ N0, n ≤ x} für a, q ∈ N und x > 1
I unendliche AP (Restklasse): {a + nq : n ∈ Z} für a, q ∈ N
Zählfunktion für Primzahlen in Restklassen:π(x ; q, a) := #
{p ≤ x : p ≡ a mod q
}
Primzahlsatz in Progressionen:
Für ggT(a, q) = 1 gilt
π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)
(1+ o(1)
).
Def.: ϕ(q) := #{a ∈ {1, . . . , q}; ggT(a, q) = 1}, z. B. ϕ(10) = 4.
![Page 36: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/36.jpg)
Primzahlen in Restklassen
Dirichlet (1837): Zu gegebenen teilerfremden Zahlen a und q gibtes unendlich viele Primzahlen ≡ a mod q.
I Arithmetische Progression (AP): Folge a, a + q, a + 2q, . . .
I endliche AP: {a+ nq : n ∈ N0, n ≤ x} für a, q ∈ N und x > 1
I unendliche AP (Restklasse): {a + nq : n ∈ Z} für a, q ∈ N
Zählfunktion für Primzahlen in Restklassen:π(x ; q, a) := #
{p ≤ x : p ≡ a mod q
}Primzahlsatz in Progressionen:
Für ggT(a, q) = 1 gilt
π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)
(1+ o(1)
).
Def.: ϕ(q) := #{a ∈ {1, . . . , q}; ggT(a, q) = 1}, z. B. ϕ(10) = 4.
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Restklassenverteilung der Primzahlen
Die Primzahlen verteilen sich also asymptotisch gleichmäÿig auf dieϕ(q) vielen reduzierten Restklassen a mod q.
Konsequenz z. B.: Unendlich viele Primzahlen haben jeweils dieEndzi�er 1, 3, 7, oder 9, und zwar mit einem Anteil von 25% unterallen Primzahlen, denn ϕ(10) = 4. Analog für andere Basen als 10.
Aber: Die von o(1) induzierte Funktion hängt von q und a ab!
Siegel�Wal�sz (1936): Gleichmäÿig in q ≤ (log x)A, (a, q) = 1 giltfür ein C = C (A) > 0 die Abschätzung
π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)+O
(xe−C
√log x).
Eine solche Approximation von π(x ; q, a), die gleichmäÿig in q ist,kann nicht für wesentlich gröÿere q-Bereiche gezeigt werden.
![Page 38: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/38.jpg)
Restklassenverteilung der Primzahlen
Die Primzahlen verteilen sich also asymptotisch gleichmäÿig auf dieϕ(q) vielen reduzierten Restklassen a mod q.
Konsequenz z. B.: Unendlich viele Primzahlen haben jeweils dieEndzi�er 1, 3, 7, oder 9, und zwar mit einem Anteil von 25% unterallen Primzahlen, denn ϕ(10) = 4. Analog für andere Basen als 10.
Aber: Die von o(1) induzierte Funktion hängt von q und a ab!
Siegel�Wal�sz (1936): Gleichmäÿig in q ≤ (log x)A, (a, q) = 1 giltfür ein C = C (A) > 0 die Abschätzung
π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)+O
(xe−C
√log x).
Eine solche Approximation von π(x ; q, a), die gleichmäÿig in q ist,kann nicht für wesentlich gröÿere q-Bereiche gezeigt werden.
![Page 39: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/39.jpg)
Restklassenverteilung der Primzahlen
Die Primzahlen verteilen sich also asymptotisch gleichmäÿig auf dieϕ(q) vielen reduzierten Restklassen a mod q.
Konsequenz z. B.: Unendlich viele Primzahlen haben jeweils dieEndzi�er 1, 3, 7, oder 9, und zwar mit einem Anteil von 25% unterallen Primzahlen, denn ϕ(10) = 4. Analog für andere Basen als 10.
Aber: Die von o(1) induzierte Funktion hängt von q und a ab!
Siegel�Wal�sz (1936): Gleichmäÿig in q ≤ (log x)A, (a, q) = 1 giltfür ein C = C (A) > 0 die Abschätzung
π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)+O
(xe−C
√log x).
Eine solche Approximation von π(x ; q, a), die gleichmäÿig in q ist,kann nicht für wesentlich gröÿere q-Bereiche gezeigt werden.
![Page 40: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/40.jpg)
Restklassenverteilung der Primzahlen
Die Primzahlen verteilen sich also asymptotisch gleichmäÿig auf dieϕ(q) vielen reduzierten Restklassen a mod q.
Konsequenz z. B.: Unendlich viele Primzahlen haben jeweils dieEndzi�er 1, 3, 7, oder 9, und zwar mit einem Anteil von 25% unterallen Primzahlen, denn ϕ(10) = 4. Analog für andere Basen als 10.
Aber: Die von o(1) induzierte Funktion hängt von q und a ab!
Siegel�Wal�sz (1936): Gleichmäÿig in q ≤ (log x)A, (a, q) = 1 giltfür ein C = C (A) > 0 die Abschätzung
π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)+O
(xe−C
√log x).
Eine solche Approximation von π(x ; q, a), die gleichmäÿig in q ist,kann nicht für wesentlich gröÿere q-Bereiche gezeigt werden.
![Page 41: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/41.jpg)
Restklassenverteilung der Primzahlen
Die Primzahlen verteilen sich also asymptotisch gleichmäÿig auf dieϕ(q) vielen reduzierten Restklassen a mod q.
Konsequenz z. B.: Unendlich viele Primzahlen haben jeweils dieEndzi�er 1, 3, 7, oder 9, und zwar mit einem Anteil von 25% unterallen Primzahlen, denn ϕ(10) = 4. Analog für andere Basen als 10.
Aber: Die von o(1) induzierte Funktion hängt von q und a ab!
Siegel�Wal�sz (1936): Gleichmäÿig in q ≤ (log x)A, (a, q) = 1 giltfür ein C = C (A) > 0 die Abschätzung
π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)+O
(xe−C
√log x).
Eine solche Approximation von π(x ; q, a), die gleichmäÿig in q ist,kann nicht für wesentlich gröÿere q-Bereiche gezeigt werden.
![Page 42: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/42.jpg)
Die (GRH): Die verallgemeinerte (RH)
Verallgemeinerte Riemannsche Vermutung (GRH):
Sei L(s, χ) eine Dirichletsche L-Funktion zu einemDirichletcharakter χ mod q. Dann liegen alle Nullstellen von L(s, χ)mit 0 ≤ Re s ≤ 1 auf der Geraden Re s = 1
2.
Arithmetische Formulierung der (GRH):
(GRH) für L-Funktionen mod q ≤ x
⇐⇒ π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)+O(x1/2 log x).
Diese Abschätzung des Fehlerterms ist nichttrivial für q ≤ x1/2−ε
bzw. x ≥ q2+ε.Eine sehr starke Vermutung von Montgomery besagt, dass derFehlerterm hier von der Form Oε(x
1/2+εq−1/2) sein müsste,gleichmäÿig für alle q ≤ x1/2.
![Page 43: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/43.jpg)
Die (GRH): Die verallgemeinerte (RH)
Verallgemeinerte Riemannsche Vermutung (GRH):
Sei L(s, χ) eine Dirichletsche L-Funktion zu einemDirichletcharakter χ mod q. Dann liegen alle Nullstellen von L(s, χ)mit 0 ≤ Re s ≤ 1 auf der Geraden Re s = 1
2.
Arithmetische Formulierung der (GRH):
(GRH) für L-Funktionen mod q ≤ x
⇐⇒ π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)+O(x1/2 log x).
Diese Abschätzung des Fehlerterms ist nichttrivial für q ≤ x1/2−ε
bzw. x ≥ q2+ε.Eine sehr starke Vermutung von Montgomery besagt, dass derFehlerterm hier von der Form Oε(x
1/2+εq−1/2) sein müsste,gleichmäÿig für alle q ≤ x1/2.
![Page 44: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/44.jpg)
Die (GRH): Die verallgemeinerte (RH)
Verallgemeinerte Riemannsche Vermutung (GRH):
Sei L(s, χ) eine Dirichletsche L-Funktion zu einemDirichletcharakter χ mod q. Dann liegen alle Nullstellen von L(s, χ)mit 0 ≤ Re s ≤ 1 auf der Geraden Re s = 1
2.
Arithmetische Formulierung der (GRH):
(GRH) für L-Funktionen mod q ≤ x
⇐⇒ π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)+O(x1/2 log x).
Diese Abschätzung des Fehlerterms ist nichttrivial für q ≤ x1/2−ε
bzw. x ≥ q2+ε.
Eine sehr starke Vermutung von Montgomery besagt, dass derFehlerterm hier von der Form Oε(x
1/2+εq−1/2) sein müsste,gleichmäÿig für alle q ≤ x1/2.
![Page 45: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/45.jpg)
Die (GRH): Die verallgemeinerte (RH)
Verallgemeinerte Riemannsche Vermutung (GRH):
Sei L(s, χ) eine Dirichletsche L-Funktion zu einemDirichletcharakter χ mod q. Dann liegen alle Nullstellen von L(s, χ)mit 0 ≤ Re s ≤ 1 auf der Geraden Re s = 1
2.
Arithmetische Formulierung der (GRH):
(GRH) für L-Funktionen mod q ≤ x
⇐⇒ π(x ; q, a) =li(x)
ϕ(q)+O(x1/2 log x).
Diese Abschätzung des Fehlerterms ist nichttrivial für q ≤ x1/2−ε
bzw. x ≥ q2+ε.Eine sehr starke Vermutung von Montgomery besagt, dass derFehlerterm hier von der Form Oε(x
1/2+εq−1/2) sein müsste,gleichmäÿig für alle q ≤ x1/2.
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Der Satz von Bombieri�VinogradovFehler�Abschätzung �im Mittel� über alle Moduln q:
Satz von Bombieri�Vinogradov (1966):
Für A > 0 und Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 gilt:∑q≤Q
max(a,q)=1
∣∣∣∣π(x ; q, a)− li(x)
ϕ(q)
∣∣∣∣ = O(x(log x)−A
).
Korollar:
I Der PZS in Progressionen gilt gleichmäÿig für fast alle Modulnq ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2,
I Die (GRH) ist für fast alle Moduln q ≤ Q mitx1/2−δ ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 erfüllt,
die Anzahl der Ausnahmen beträgt o(Q).
Elliott-Halberstam-Vermutung (EH): Die BV-Abschätzung giltvermutlich sogar für Q ≤ x(log x)−B , wo B > 0 beliebig ist.
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Der Satz von Bombieri�VinogradovFehler�Abschätzung �im Mittel� über alle Moduln q:
Satz von Bombieri�Vinogradov (1966):
Für A > 0 und Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 gilt:∑q≤Q
max(a,q)=1
∣∣∣∣π(x ; q, a)− li(x)
ϕ(q)
∣∣∣∣ = O(x(log x)−A
).
Korollar:
I Der PZS in Progressionen gilt gleichmäÿig für fast alle Modulnq ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2,
I Die (GRH) ist für fast alle Moduln q ≤ Q mitx1/2−δ ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 erfüllt,
die Anzahl der Ausnahmen beträgt o(Q).
Elliott-Halberstam-Vermutung (EH): Die BV-Abschätzung giltvermutlich sogar für Q ≤ x(log x)−B , wo B > 0 beliebig ist.
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Der Satz von Bombieri�VinogradovFehler�Abschätzung �im Mittel� über alle Moduln q:
Satz von Bombieri�Vinogradov (1966):
Für A > 0 und Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 gilt:∑q≤Q
max(a,q)=1
∣∣∣∣π(x ; q, a)− li(x)
ϕ(q)
∣∣∣∣ = O(x(log x)−A
).
Korollar:I Der PZS in Progressionen gilt gleichmäÿig für fast alle Moduln
q ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2,
I Die (GRH) ist für fast alle Moduln q ≤ Q mitx1/2−δ ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 erfüllt,
die Anzahl der Ausnahmen beträgt o(Q).
Elliott-Halberstam-Vermutung (EH): Die BV-Abschätzung giltvermutlich sogar für Q ≤ x(log x)−B , wo B > 0 beliebig ist.
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Der Satz von Bombieri�VinogradovFehler�Abschätzung �im Mittel� über alle Moduln q:
Satz von Bombieri�Vinogradov (1966):
Für A > 0 und Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 gilt:∑q≤Q
max(a,q)=1
∣∣∣∣π(x ; q, a)− li(x)
ϕ(q)
∣∣∣∣ = O(x(log x)−A
).
Korollar:I Der PZS in Progressionen gilt gleichmäÿig für fast alle Moduln
q ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2,I Die (GRH) ist für fast alle Moduln q ≤ Q mit
x1/2−δ ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 erfüllt,
die Anzahl der Ausnahmen beträgt o(Q).
Elliott-Halberstam-Vermutung (EH): Die BV-Abschätzung giltvermutlich sogar für Q ≤ x(log x)−B , wo B > 0 beliebig ist.
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Der Satz von Bombieri�VinogradovFehler�Abschätzung �im Mittel� über alle Moduln q:
Satz von Bombieri�Vinogradov (1966):
Für A > 0 und Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 gilt:∑q≤Q
max(a,q)=1
∣∣∣∣π(x ; q, a)− li(x)
ϕ(q)
∣∣∣∣ = O(x(log x)−A
).
Korollar:I Der PZS in Progressionen gilt gleichmäÿig für fast alle Moduln
q ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2,I Die (GRH) ist für fast alle Moduln q ≤ Q mit
x1/2−δ ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 erfüllt,die Anzahl der Ausnahmen beträgt o(Q).
Elliott-Halberstam-Vermutung (EH): Die BV-Abschätzung giltvermutlich sogar für Q ≤ x(log x)−B , wo B > 0 beliebig ist.
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Der Satz von Bombieri�VinogradovFehler�Abschätzung �im Mittel� über alle Moduln q:
Satz von Bombieri�Vinogradov (1966):
Für A > 0 und Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 gilt:∑q≤Q
max(a,q)=1
∣∣∣∣π(x ; q, a)− li(x)
ϕ(q)
∣∣∣∣ = O(x(log x)−A
).
Korollar:I Der PZS in Progressionen gilt gleichmäÿig für fast alle Moduln
q ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2,I Die (GRH) ist für fast alle Moduln q ≤ Q mit
x1/2−δ ≤ Q ≤ x1/2(log x)−A−5/2 erfüllt,die Anzahl der Ausnahmen beträgt o(Q).
Elliott-Halberstam-Vermutung (EH): Die BV-Abschätzung giltvermutlich sogar für Q ≤ x(log x)−B , wo B > 0 beliebig ist.
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Die Verteilung der Primzahlen
Die Verteilung der Primzahlen in Restklassen
Primzahlzwillinge und Primzahllücken
Primzahlmuster
Neue Fortschritte bei kleinen Primzahllücken
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PrimzahlzwillingePrimzahlzwillingsvermutung: Es gibt unendlich viele Primzahlpaarep, p + 2 ∈ P.
Zwillingsvermutung von de Polignac (1849): Für festes k ∈ N gibtes unendlich viele Primzahlpaare p, p + 2k ∈ P.
Wie viele Primzahlzwillinge gibt es? Zwillingszählfunktion:
π2(x) := #{p ≤ x ; p, p + 2 prim}
Wahrscheinlichkeitstheoretische Überlegungen, motiviert durch denPrimzahlsatz, zeigen, dass
π2(x) ∼ 2C2
∫ x
2
dt
log2 t∼ 2C2
x
log2 x
richtig sein müsste (starke Primzahlzwillingsvermutung), wobei man
C2 =∏
p∈P\{2}
(1− 1
(p − 1)2
)≈ 0, 66016 . . .
die Primzahlzwillingskonstante nennt.
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PrimzahlzwillingePrimzahlzwillingsvermutung: Es gibt unendlich viele Primzahlpaarep, p + 2 ∈ P.Zwillingsvermutung von de Polignac (1849): Für festes k ∈ N gibtes unendlich viele Primzahlpaare p, p + 2k ∈ P.
Wie viele Primzahlzwillinge gibt es? Zwillingszählfunktion:
π2(x) := #{p ≤ x ; p, p + 2 prim}
Wahrscheinlichkeitstheoretische Überlegungen, motiviert durch denPrimzahlsatz, zeigen, dass
π2(x) ∼ 2C2
∫ x
2
dt
log2 t∼ 2C2
x
log2 x
richtig sein müsste (starke Primzahlzwillingsvermutung), wobei man
C2 =∏
p∈P\{2}
(1− 1
(p − 1)2
)≈ 0, 66016 . . .
die Primzahlzwillingskonstante nennt.
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PrimzahlzwillingePrimzahlzwillingsvermutung: Es gibt unendlich viele Primzahlpaarep, p + 2 ∈ P.Zwillingsvermutung von de Polignac (1849): Für festes k ∈ N gibtes unendlich viele Primzahlpaare p, p + 2k ∈ P.
Wie viele Primzahlzwillinge gibt es? Zwillingszählfunktion:
π2(x) := #{p ≤ x ; p, p + 2 prim}
Wahrscheinlichkeitstheoretische Überlegungen, motiviert durch denPrimzahlsatz, zeigen, dass
π2(x) ∼ 2C2
∫ x
2
dt
log2 t∼ 2C2
x
log2 x
richtig sein müsste (starke Primzahlzwillingsvermutung), wobei man
C2 =∏
p∈P\{2}
(1− 1
(p − 1)2
)≈ 0, 66016 . . .
die Primzahlzwillingskonstante nennt.
![Page 56: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/56.jpg)
PrimzahlzwillingePrimzahlzwillingsvermutung: Es gibt unendlich viele Primzahlpaarep, p + 2 ∈ P.Zwillingsvermutung von de Polignac (1849): Für festes k ∈ N gibtes unendlich viele Primzahlpaare p, p + 2k ∈ P.
Wie viele Primzahlzwillinge gibt es? Zwillingszählfunktion:
π2(x) := #{p ≤ x ; p, p + 2 prim}
Wahrscheinlichkeitstheoretische Überlegungen, motiviert durch denPrimzahlsatz, zeigen, dass
π2(x) ∼ 2C2
∫ x
2
dt
log2 t∼ 2C2
x
log2 x
richtig sein müsste (starke Primzahlzwillingsvermutung), wobei man
C2 =∏
p∈P\{2}
(1− 1
(p − 1)2
)≈ 0, 66016 . . .
die Primzahlzwillingskonstante nennt.
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Ergebnisse von Brun
Demnach müsste es deutlich weniger Primzahlzwillinge alsPrimzahlen bis x geben. Dies wurde gezeigt:
V. Brun zeigte (um 1920) mithilfe von Siebtheorie:
π2(x) = O
(x
log2 x
).
Korollar:∑
p,p+2∈P
1
pkonvergiert.
Damit bleibt unentschieden, ob es nun endlich oder unendlich vielePrimzahlzwillinge gibt (�Brunscher Witz�).
Dennoch kann die Brunsche Arbeit als der Grundstein dermodernen Siebtheorie gesehen werden.
![Page 58: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/58.jpg)
Ergebnisse von Brun
Demnach müsste es deutlich weniger Primzahlzwillinge alsPrimzahlen bis x geben. Dies wurde gezeigt:
V. Brun zeigte (um 1920) mithilfe von Siebtheorie:
π2(x) = O
(x
log2 x
).
Korollar:∑
p,p+2∈P
1
pkonvergiert.
Damit bleibt unentschieden, ob es nun endlich oder unendlich vielePrimzahlzwillinge gibt (�Brunscher Witz�).
Dennoch kann die Brunsche Arbeit als der Grundstein dermodernen Siebtheorie gesehen werden.
![Page 59: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/59.jpg)
Ergebnisse von Brun
Demnach müsste es deutlich weniger Primzahlzwillinge alsPrimzahlen bis x geben. Dies wurde gezeigt:
V. Brun zeigte (um 1920) mithilfe von Siebtheorie:
π2(x) = O
(x
log2 x
).
Korollar:∑
p,p+2∈P
1
pkonvergiert.
Damit bleibt unentschieden, ob es nun endlich oder unendlich vielePrimzahlzwillinge gibt (�Brunscher Witz�).
Dennoch kann die Brunsche Arbeit als der Grundstein dermodernen Siebtheorie gesehen werden.
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Ergebnisse von Brun
Demnach müsste es deutlich weniger Primzahlzwillinge alsPrimzahlen bis x geben. Dies wurde gezeigt:
V. Brun zeigte (um 1920) mithilfe von Siebtheorie:
π2(x) = O
(x
log2 x
).
Korollar:∑
p,p+2∈P
1
pkonvergiert.
Damit bleibt unentschieden, ob es nun endlich oder unendlich vielePrimzahlzwillinge gibt (�Brunscher Witz�).
Dennoch kann die Brunsche Arbeit als der Grundstein dermodernen Siebtheorie gesehen werden.
![Page 61: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/61.jpg)
Die Brunsche Konstante
T. Nicely begann um 1995, eine genaue numerische Berechnung derBrunschen Konstante∑
p,p+2∈P
(1
p+
1
p + 2
)≈ 1.9021605822 . . .
vorzunehmen.
Dabei deckte er einen Fehler in der Flieÿkommaarithmetik desPentium Computer Chips auf, deren Behebung die Hersteller�rmaIntel schätzungsweise einige Millionen Dollar gekostet hatte.
![Page 62: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/62.jpg)
Die Brunsche Konstante
T. Nicely begann um 1995, eine genaue numerische Berechnung derBrunschen Konstante∑
p,p+2∈P
(1
p+
1
p + 2
)≈ 1.9021605822 . . .
vorzunehmen.
Dabei deckte er einen Fehler in der Flieÿkommaarithmetik desPentium Computer Chips auf, deren Behebung die Hersteller�rmaIntel schätzungsweise einige Millionen Dollar gekostet hatte.
![Page 63: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/63.jpg)
Die Verteilung der Primzahlen
Die Verteilung der Primzahlen in Restklassen
Primzahlzwillinge und Primzahllücken
Primzahlmuster
Neue Fortschritte bei kleinen Primzahllücken
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Allgemeinere Primzahlmuster
Idee: Verallgemeinerung des Zwillingsproblems zu einemPrimzahlmusterproblem:
Was ist ein �Muster�? Gegeben ist hier eine Konstellation in Formeines Tupels (b1, b2, . . . , bk) ∈ Nk
0 mit b1 < b2 < b3 < · · · < bk .
Frage: Wird das Muster unendlich oft mit Primzahlen belegt, d. h.gibt es unendlich viele n ∈ N mit n + b1, . . . , n + bk ∈ P?
Das geht nicht immer: Z. B. kann das Muster (0, 2, 4) nichtunendlich oft Primzahltripel erzeugen, weil von drei Zahlenn, n + 2, n + 4 immer eine durch 3 teilbar ist. Denn das Muster(0, 2, 4) deckt alle drei Reste modulo 3 ab:0 ≡ 0 mod 3, 2 ≡ 2 mod 3, 4 ≡ 1 mod 3.
![Page 65: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/65.jpg)
Allgemeinere Primzahlmuster
Idee: Verallgemeinerung des Zwillingsproblems zu einemPrimzahlmusterproblem:
Was ist ein �Muster�? Gegeben ist hier eine Konstellation in Formeines Tupels (b1, b2, . . . , bk) ∈ Nk
0 mit b1 < b2 < b3 < · · · < bk .
Frage: Wird das Muster unendlich oft mit Primzahlen belegt, d. h.gibt es unendlich viele n ∈ N mit n + b1, . . . , n + bk ∈ P?
Das geht nicht immer: Z. B. kann das Muster (0, 2, 4) nichtunendlich oft Primzahltripel erzeugen, weil von drei Zahlenn, n + 2, n + 4 immer eine durch 3 teilbar ist. Denn das Muster(0, 2, 4) deckt alle drei Reste modulo 3 ab:0 ≡ 0 mod 3, 2 ≡ 2 mod 3, 4 ≡ 1 mod 3.
![Page 66: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/66.jpg)
Allgemeinere Primzahlmuster
Idee: Verallgemeinerung des Zwillingsproblems zu einemPrimzahlmusterproblem:
Was ist ein �Muster�? Gegeben ist hier eine Konstellation in Formeines Tupels (b1, b2, . . . , bk) ∈ Nk
0 mit b1 < b2 < b3 < · · · < bk .
Frage: Wird das Muster unendlich oft mit Primzahlen belegt, d. h.gibt es unendlich viele n ∈ N mit n + b1, . . . , n + bk ∈ P?
Das geht nicht immer: Z. B. kann das Muster (0, 2, 4) nichtunendlich oft Primzahltripel erzeugen, weil von drei Zahlenn, n + 2, n + 4 immer eine durch 3 teilbar ist. Denn das Muster(0, 2, 4) deckt alle drei Reste modulo 3 ab:0 ≡ 0 mod 3, 2 ≡ 2 mod 3, 4 ≡ 1 mod 3.
![Page 67: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/67.jpg)
Allgemeinere Primzahlmuster
Idee: Verallgemeinerung des Zwillingsproblems zu einemPrimzahlmusterproblem:
Was ist ein �Muster�? Gegeben ist hier eine Konstellation in Formeines Tupels (b1, b2, . . . , bk) ∈ Nk
0 mit b1 < b2 < b3 < · · · < bk .
Frage: Wird das Muster unendlich oft mit Primzahlen belegt, d. h.gibt es unendlich viele n ∈ N mit n + b1, . . . , n + bk ∈ P?
Das geht nicht immer: Z. B. kann das Muster (0, 2, 4) nichtunendlich oft Primzahltripel erzeugen, weil von drei Zahlenn, n + 2, n + 4 immer eine durch 3 teilbar ist. Denn das Muster(0, 2, 4) deckt alle drei Reste modulo 3 ab:0 ≡ 0 mod 3, 2 ≡ 2 mod 3, 4 ≡ 1 mod 3.
![Page 68: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/68.jpg)
Die Prim-k-Tupel-Vermutung (DHL)
Werden für jede Primzahl p nicht alle Reste mod p durch dasMustertupel abgedeckt, kann aber erwartet werden, dass esunendlich oft Primzahlen erzeugt.
Wir nennen ein Tupel (b1, . . . , bk) ∈ Nk0 zulässig, falls
b1 < · · · < bk und ∀p ∈ P ∃a mod p ∀i ∈ {1, . . . , k} :bi 6≡ a mod p.
Weitere Beispiele: (0, 2), (0, 4), (0, 2, 6, 8, 12) sind zulässig.
Prim-k-Tupel-Vermutung von Dickson�Hardy�Littlewood(DHL):
Sei (b1, . . . , bk) ∈ Nk0 ein zulässiges k-Tupel. Dann gibt es
unendlich viele n ∈ N mit n + b1, n + b2, . . . , n + bk ∈ P.
![Page 69: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/69.jpg)
Die Prim-k-Tupel-Vermutung (DHL)
Werden für jede Primzahl p nicht alle Reste mod p durch dasMustertupel abgedeckt, kann aber erwartet werden, dass esunendlich oft Primzahlen erzeugt.
Wir nennen ein Tupel (b1, . . . , bk) ∈ Nk0 zulässig, falls
b1 < · · · < bk und ∀p ∈ P ∃a mod p ∀i ∈ {1, . . . , k} :bi 6≡ a mod p.
Weitere Beispiele: (0, 2), (0, 4), (0, 2, 6, 8, 12) sind zulässig.
Prim-k-Tupel-Vermutung von Dickson�Hardy�Littlewood(DHL):
Sei (b1, . . . , bk) ∈ Nk0 ein zulässiges k-Tupel. Dann gibt es
unendlich viele n ∈ N mit n + b1, n + b2, . . . , n + bk ∈ P.
![Page 70: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/70.jpg)
Die Prim-k-Tupel-Vermutung (DHL)
Werden für jede Primzahl p nicht alle Reste mod p durch dasMustertupel abgedeckt, kann aber erwartet werden, dass esunendlich oft Primzahlen erzeugt.
Wir nennen ein Tupel (b1, . . . , bk) ∈ Nk0 zulässig, falls
b1 < · · · < bk und ∀p ∈ P ∃a mod p ∀i ∈ {1, . . . , k} :bi 6≡ a mod p.
Weitere Beispiele: (0, 2), (0, 4), (0, 2, 6, 8, 12) sind zulässig.
Prim-k-Tupel-Vermutung von Dickson�Hardy�Littlewood(DHL):
Sei (b1, . . . , bk) ∈ Nk0 ein zulässiges k-Tupel. Dann gibt es
unendlich viele n ∈ N mit n + b1, n + b2, . . . , n + bk ∈ P.
![Page 71: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/71.jpg)
Der Satz von Green�Tao
Ein Durchbruch in Richtung Prim-k-Tupel-Vermutung(Fields-Medaille an T. Tao 2006):
Satz von Green�Tao:Es gibt unendlich viele lineare Polynome f (x) = a + qx ∈ N[x ], fürdie f (0), f (1), . . . , f (k − 1) alle prim sind.
M. a.W.: Es gibt unendlich viele arithmetische Progressionena, a + q, a + q · 2, . . . , a + q · (k − 1) der Länge k , die nur ausPrimzahlen bestehen.
Über eine feste AP-Konstellation der Gestalt(b1, . . . , bk) = (0, q, 2q, . . . , (k − 1)q) (d. h. mit q fest), macht derSatz aber keine Aussage.
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Der Satz von Green�Tao
Ein Durchbruch in Richtung Prim-k-Tupel-Vermutung(Fields-Medaille an T. Tao 2006):
Satz von Green�Tao:Es gibt unendlich viele lineare Polynome f (x) = a + qx ∈ N[x ], fürdie f (0), f (1), . . . , f (k − 1) alle prim sind.
M. a.W.: Es gibt unendlich viele arithmetische Progressionena, a + q, a + q · 2, . . . , a + q · (k − 1) der Länge k , die nur ausPrimzahlen bestehen.
Über eine feste AP-Konstellation der Gestalt(b1, . . . , bk) = (0, q, 2q, . . . , (k − 1)q) (d. h. mit q fest), macht derSatz aber keine Aussage.
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Der Satz von Green�Tao
Ein Durchbruch in Richtung Prim-k-Tupel-Vermutung(Fields-Medaille an T. Tao 2006):
Satz von Green�Tao:Es gibt unendlich viele lineare Polynome f (x) = a + qx ∈ N[x ], fürdie f (0), f (1), . . . , f (k − 1) alle prim sind.
M. a.W.: Es gibt unendlich viele arithmetische Progressionena, a + q, a + q · 2, . . . , a + q · (k − 1) der Länge k , die nur ausPrimzahlen bestehen.
Über eine feste AP-Konstellation der Gestalt(b1, . . . , bk) = (0, q, 2q, . . . , (k − 1)q) (d. h. mit q fest), macht derSatz aber keine Aussage.
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Die Verteilung der Primzahlen
Die Verteilung der Primzahlen in Restklassen
Primzahlzwillinge und Primzahllücken
Primzahlmuster
Neue Fortschritte bei kleinen Primzahllücken
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Kleine Primzahllücken
Ein weiterer Ansatz zur Zwillingsvermutung besteht im Zählen vonPrimzahlpaaren mit kleinen Abständen wie folgt (�kleinePrimzahllücken�).
Sei p1 = 2 < p2 = 3 < p3 = 5 < . . . die unendliche Folge derPrimzahlen. Eine Primzahllücke ist dann eine Di�erenz pn+1 − pnfür ein n ∈ N.
Wie klein ist die kleinste Primzahllücke, die unendlich oftvorkommt, d. h. wie kann lim inf
n→∞(pn+1 − pn) nach oben abgeschätzt
werden?
Ist die Primzahlzwillingsvermutung wahr, ist dieser Wert = 2.
Der Primzahlsatz zeigt, dass die Di�erenz pn+1− pn im Mittel etwalog pn beträgt.Tatsächlich ist diese unendlich oft kleiner:
![Page 76: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/76.jpg)
Kleine Primzahllücken
Ein weiterer Ansatz zur Zwillingsvermutung besteht im Zählen vonPrimzahlpaaren mit kleinen Abständen wie folgt (�kleinePrimzahllücken�).
Sei p1 = 2 < p2 = 3 < p3 = 5 < . . . die unendliche Folge derPrimzahlen. Eine Primzahllücke ist dann eine Di�erenz pn+1 − pnfür ein n ∈ N.
Wie klein ist die kleinste Primzahllücke, die unendlich oftvorkommt, d. h. wie kann lim inf
n→∞(pn+1 − pn) nach oben abgeschätzt
werden?
Ist die Primzahlzwillingsvermutung wahr, ist dieser Wert = 2.
Der Primzahlsatz zeigt, dass die Di�erenz pn+1− pn im Mittel etwalog pn beträgt.Tatsächlich ist diese unendlich oft kleiner:
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Kleine Primzahllücken
Ein weiterer Ansatz zur Zwillingsvermutung besteht im Zählen vonPrimzahlpaaren mit kleinen Abständen wie folgt (�kleinePrimzahllücken�).
Sei p1 = 2 < p2 = 3 < p3 = 5 < . . . die unendliche Folge derPrimzahlen. Eine Primzahllücke ist dann eine Di�erenz pn+1 − pnfür ein n ∈ N.
Wie klein ist die kleinste Primzahllücke, die unendlich oftvorkommt, d. h. wie kann lim inf
n→∞(pn+1 − pn) nach oben abgeschätzt
werden?
Ist die Primzahlzwillingsvermutung wahr, ist dieser Wert = 2.
Der Primzahlsatz zeigt, dass die Di�erenz pn+1− pn im Mittel etwalog pn beträgt.Tatsächlich ist diese unendlich oft kleiner:
![Page 78: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/78.jpg)
Kleine Primzahllücken
Ein weiterer Ansatz zur Zwillingsvermutung besteht im Zählen vonPrimzahlpaaren mit kleinen Abständen wie folgt (�kleinePrimzahllücken�).
Sei p1 = 2 < p2 = 3 < p3 = 5 < . . . die unendliche Folge derPrimzahlen. Eine Primzahllücke ist dann eine Di�erenz pn+1 − pnfür ein n ∈ N.
Wie klein ist die kleinste Primzahllücke, die unendlich oftvorkommt, d. h. wie kann lim inf
n→∞(pn+1 − pn) nach oben abgeschätzt
werden?
Ist die Primzahlzwillingsvermutung wahr, ist dieser Wert = 2.
Der Primzahlsatz zeigt, dass die Di�erenz pn+1− pn im Mittel etwalog pn beträgt.Tatsächlich ist diese unendlich oft kleiner:
![Page 79: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/79.jpg)
Kleine Primzahllücken
Ein weiterer Ansatz zur Zwillingsvermutung besteht im Zählen vonPrimzahlpaaren mit kleinen Abständen wie folgt (�kleinePrimzahllücken�).
Sei p1 = 2 < p2 = 3 < p3 = 5 < . . . die unendliche Folge derPrimzahlen. Eine Primzahllücke ist dann eine Di�erenz pn+1 − pnfür ein n ∈ N.
Wie klein ist die kleinste Primzahllücke, die unendlich oftvorkommt, d. h. wie kann lim inf
n→∞(pn+1 − pn) nach oben abgeschätzt
werden?
Ist die Primzahlzwillingsvermutung wahr, ist dieser Wert = 2.
Der Primzahlsatz zeigt, dass die Di�erenz pn+1− pn im Mittel etwalog pn beträgt.Tatsächlich ist diese unendlich oft kleiner:
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Der Durchbruch von GPY im Jahr 2007
Goldston, Pintz, Y�ld�r�m (GPY 2007): Beweis der �small gap
conjecture�
lim infn→∞
pn+1 − pn
log pn= 0,
genauer:
lim infn→∞
pn+1 − pn
(log pn)1/2(log log pn)2<∞.
Unter Annahme der Elliott�Halberstam-Vermutung (die (EH),welche weitreichender als die Riemannsche Vermutung ist, s.o.)folgt die �bounded gap conjecture�, nämlich
lim infn→∞
(pn+1 − pn) ≤ 16.
Idee von GPY: Eine Variante des Selberg-Siebes.
![Page 81: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/81.jpg)
Der Durchbruch von GPY im Jahr 2007
Goldston, Pintz, Y�ld�r�m (GPY 2007): Beweis der �small gap
conjecture�
lim infn→∞
pn+1 − pn
log pn= 0,
genauer:
lim infn→∞
pn+1 − pn
(log pn)1/2(log log pn)2<∞.
Unter Annahme der Elliott�Halberstam-Vermutung (die (EH),welche weitreichender als die Riemannsche Vermutung ist, s.o.)folgt die �bounded gap conjecture�, nämlich
lim infn→∞
(pn+1 − pn) ≤ 16.
Idee von GPY: Eine Variante des Selberg-Siebes.
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Der Durchbruch von GPY im Jahr 2007
Goldston, Pintz, Y�ld�r�m (GPY 2007): Beweis der �small gap
conjecture�
lim infn→∞
pn+1 − pn
log pn= 0,
genauer:
lim infn→∞
pn+1 − pn
(log pn)1/2(log log pn)2<∞.
Unter Annahme der Elliott�Halberstam-Vermutung (die (EH),welche weitreichender als die Riemannsche Vermutung ist, s.o.)folgt die �bounded gap conjecture�, nämlich
lim infn→∞
(pn+1 − pn) ≤ 16.
Idee von GPY: Eine Variante des Selberg-Siebes.
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Der Durchbruch von Zhang im Mai 2013Am 14. Mai 2013 wurde bekannt, dass Y. Zhang die Existenz einernatürlichen Zahl H bewiesen hatte, für die
lim infn→∞
(pn+1 − pn) ≤ H
gilt, d.h. er hatte die �bounded gap conjecture� gelöst ohneAnnahme einer unbewiesenen Vermutung.
In seiner Arbeit beweist er, dass die Abschätzung mit der SchrankeH = 70.000.000 richtig ist.
Aussage DHL[k , 2]:
Ist (h1, . . . , hk) ∈ Nk0 ein beliebiges zulässiges k-Tupel, dann sind
für unendlich viele n ∈ N mindestens zwei der Zahlenn + h1, . . . , n + hk Primzahlen.
Zhang zeigte DHL[k , 2] mit k = 3.500.000. Daraus folgtH = 70.000.000.
![Page 84: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/84.jpg)
Der Durchbruch von Zhang im Mai 2013Am 14. Mai 2013 wurde bekannt, dass Y. Zhang die Existenz einernatürlichen Zahl H bewiesen hatte, für die
lim infn→∞
(pn+1 − pn) ≤ H
gilt, d.h. er hatte die �bounded gap conjecture� gelöst ohneAnnahme einer unbewiesenen Vermutung.In seiner Arbeit beweist er, dass die Abschätzung mit der SchrankeH = 70.000.000 richtig ist.
Aussage DHL[k , 2]:
Ist (h1, . . . , hk) ∈ Nk0 ein beliebiges zulässiges k-Tupel, dann sind
für unendlich viele n ∈ N mindestens zwei der Zahlenn + h1, . . . , n + hk Primzahlen.
Zhang zeigte DHL[k , 2] mit k = 3.500.000. Daraus folgtH = 70.000.000.
![Page 85: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/85.jpg)
Der Durchbruch von Zhang im Mai 2013Am 14. Mai 2013 wurde bekannt, dass Y. Zhang die Existenz einernatürlichen Zahl H bewiesen hatte, für die
lim infn→∞
(pn+1 − pn) ≤ H
gilt, d.h. er hatte die �bounded gap conjecture� gelöst ohneAnnahme einer unbewiesenen Vermutung.In seiner Arbeit beweist er, dass die Abschätzung mit der SchrankeH = 70.000.000 richtig ist.
Aussage DHL[k , 2]:
Ist (h1, . . . , hk) ∈ Nk0 ein beliebiges zulässiges k-Tupel, dann sind
für unendlich viele n ∈ N mindestens zwei der Zahlenn + h1, . . . , n + hk Primzahlen.
Zhang zeigte DHL[k , 2] mit k = 3.500.000. Daraus folgtH = 70.000.000.
![Page 86: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/86.jpg)
Der Durchbruch von Zhang im Mai 2013Am 14. Mai 2013 wurde bekannt, dass Y. Zhang die Existenz einernatürlichen Zahl H bewiesen hatte, für die
lim infn→∞
(pn+1 − pn) ≤ H
gilt, d.h. er hatte die �bounded gap conjecture� gelöst ohneAnnahme einer unbewiesenen Vermutung.In seiner Arbeit beweist er, dass die Abschätzung mit der SchrankeH = 70.000.000 richtig ist.
Aussage DHL[k , 2]:
Ist (h1, . . . , hk) ∈ Nk0 ein beliebiges zulässiges k-Tupel, dann sind
für unendlich viele n ∈ N mindestens zwei der Zahlenn + h1, . . . , n + hk Primzahlen.
Zhang zeigte DHL[k , 2] mit k = 3.500.000. Daraus folgtH = 70.000.000.
![Page 87: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/87.jpg)
Das Polymath-Projekt von T. Tao
Von T. Tao wurde daraufhin ein Internet-Projekt namensPolymath 8 initiiert, das mehreren Autoren über das Internet dieZusammenarbeit an der numerischen Verbesserung der Schranke H
erlaubt.
Erste Verbesserungen gelangen über die Au�ndung kurzerzulässiger k-Tupel (h1, . . . , hk), da H ≤ hk − h1 gilt.Kurz darauf kamen auch Verbesserungen von k zustande.
Auf der Internet-Webseite des Projekts kann die Entwicklung undder aktuelle Stand abgerufen werden. Eine Auswahl:
Datum Autor H
14. Mai 2013 Zhang 70.000.0003. Juni 2013 Tao 285.45616. Juni 2013 Sutherland 60.7445. Juli 2013 Engelsma 5.414
Das Projekt wurde mit H = 4.680 abgeschlossen.
![Page 88: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/88.jpg)
Das Polymath-Projekt von T. Tao
Von T. Tao wurde daraufhin ein Internet-Projekt namensPolymath 8 initiiert, das mehreren Autoren über das Internet dieZusammenarbeit an der numerischen Verbesserung der Schranke H
erlaubt.Erste Verbesserungen gelangen über die Au�ndung kurzerzulässiger k-Tupel (h1, . . . , hk), da H ≤ hk − h1 gilt.
Kurz darauf kamen auch Verbesserungen von k zustande.
Auf der Internet-Webseite des Projekts kann die Entwicklung undder aktuelle Stand abgerufen werden. Eine Auswahl:
Datum Autor H
14. Mai 2013 Zhang 70.000.0003. Juni 2013 Tao 285.45616. Juni 2013 Sutherland 60.7445. Juli 2013 Engelsma 5.414
Das Projekt wurde mit H = 4.680 abgeschlossen.
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Das Polymath-Projekt von T. Tao
Von T. Tao wurde daraufhin ein Internet-Projekt namensPolymath 8 initiiert, das mehreren Autoren über das Internet dieZusammenarbeit an der numerischen Verbesserung der Schranke H
erlaubt.Erste Verbesserungen gelangen über die Au�ndung kurzerzulässiger k-Tupel (h1, . . . , hk), da H ≤ hk − h1 gilt.Kurz darauf kamen auch Verbesserungen von k zustande.
Auf der Internet-Webseite des Projekts kann die Entwicklung undder aktuelle Stand abgerufen werden. Eine Auswahl:
Datum Autor H
14. Mai 2013 Zhang 70.000.0003. Juni 2013 Tao 285.45616. Juni 2013 Sutherland 60.7445. Juli 2013 Engelsma 5.414
Das Projekt wurde mit H = 4.680 abgeschlossen.
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Das Polymath-Projekt von T. Tao
Von T. Tao wurde daraufhin ein Internet-Projekt namensPolymath 8 initiiert, das mehreren Autoren über das Internet dieZusammenarbeit an der numerischen Verbesserung der Schranke H
erlaubt.Erste Verbesserungen gelangen über die Au�ndung kurzerzulässiger k-Tupel (h1, . . . , hk), da H ≤ hk − h1 gilt.Kurz darauf kamen auch Verbesserungen von k zustande.
Auf der Internet-Webseite des Projekts kann die Entwicklung undder aktuelle Stand abgerufen werden. Eine Auswahl:
Datum Autor H
14. Mai 2013 Zhang 70.000.0003. Juni 2013 Tao 285.45616. Juni 2013 Sutherland 60.7445. Juli 2013 Engelsma 5.414
Das Projekt wurde mit H = 4.680 abgeschlossen.
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Der Durchbruch von Maynard im November 2013
Am 19. November 2013 wurde von J. Maynard eine Arbeit beiArXiV verö�entlicht, in der die Zwillingslückenschranke von Zhangauf H = 600 verbessert wird.
Er benutzte einen anderen Ansatz als Y. Zhang, der �exibler undnumerisch überlegen ist.
Die Idee besteht in einer weiteren Variante des Selberg-Siebes, dienäher am Selberg-Sieb ist als das GPY-Sieb und auch schon vonSelberg vorgeschlagen, aber bisher noch nicht gewinnbringendeingesetzt wurde.
![Page 92: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/92.jpg)
Der Durchbruch von Maynard im November 2013
Am 19. November 2013 wurde von J. Maynard eine Arbeit beiArXiV verö�entlicht, in der die Zwillingslückenschranke von Zhangauf H = 600 verbessert wird.
Er benutzte einen anderen Ansatz als Y. Zhang, der �exibler undnumerisch überlegen ist.
Die Idee besteht in einer weiteren Variante des Selberg-Siebes, dienäher am Selberg-Sieb ist als das GPY-Sieb und auch schon vonSelberg vorgeschlagen, aber bisher noch nicht gewinnbringendeingesetzt wurde.
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Der Durchbruch von Maynard im November 2013
Am 19. November 2013 wurde von J. Maynard eine Arbeit beiArXiV verö�entlicht, in der die Zwillingslückenschranke von Zhangauf H = 600 verbessert wird.
Er benutzte einen anderen Ansatz als Y. Zhang, der �exibler undnumerisch überlegen ist.
Die Idee besteht in einer weiteren Variante des Selberg-Siebes, dienäher am Selberg-Sieb ist als das GPY-Sieb und auch schon vonSelberg vorgeschlagen, aber bisher noch nicht gewinnbringendeingesetzt wurde.
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Das Projekt Polymath 8b
Das Polymath-Projekt wurde am Tag der Verö�entlichung derMaynard-Arbeit von T. Tao in die Projekte 8a (das bisherige, wasnicht weiter verfolgt wird) und 8b aufgespalten.
Das neue Projekt 8b arbeitet an den weiteren Verbesserungen derMaynard-Methode. Mittlerweile ist so die Zwillingslückenschrankeauf H = 246 gedrückt worden.
Unter Annahme der (EH) zeigt die Maynard-Methode H = 12, undunter Annahme einer technischen Verallgemeinerung der (EH) kanndiese sogar auf H = 6 gedrückt werden.
Diese Werte für H sind die theoretisch derzeit besten, die durch dieaktuellen Methoden erreicht werden können. Für weitereVerbesserungen sind wiederum grundlegend neue Ideen erforderlich.
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Das Projekt Polymath 8b
Das Polymath-Projekt wurde am Tag der Verö�entlichung derMaynard-Arbeit von T. Tao in die Projekte 8a (das bisherige, wasnicht weiter verfolgt wird) und 8b aufgespalten.
Das neue Projekt 8b arbeitet an den weiteren Verbesserungen derMaynard-Methode. Mittlerweile ist so die Zwillingslückenschrankeauf H = 246 gedrückt worden.
Unter Annahme der (EH) zeigt die Maynard-Methode H = 12, undunter Annahme einer technischen Verallgemeinerung der (EH) kanndiese sogar auf H = 6 gedrückt werden.
Diese Werte für H sind die theoretisch derzeit besten, die durch dieaktuellen Methoden erreicht werden können. Für weitereVerbesserungen sind wiederum grundlegend neue Ideen erforderlich.
![Page 96: Groÿe Fortschritte bei kleinen Primzahllückenreh.math.uni-duesseldorf.de/~khalupczok/Talks/RV.pdf · Folge der Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Sei P N die Menge der Primzahlen](https://reader033.vdokument.com/reader033/viewer/2022053100/605ce674b5135f4faa6fb379/html5/thumbnails/96.jpg)
Das Projekt Polymath 8b
Das Polymath-Projekt wurde am Tag der Verö�entlichung derMaynard-Arbeit von T. Tao in die Projekte 8a (das bisherige, wasnicht weiter verfolgt wird) und 8b aufgespalten.
Das neue Projekt 8b arbeitet an den weiteren Verbesserungen derMaynard-Methode. Mittlerweile ist so die Zwillingslückenschrankeauf H = 246 gedrückt worden.
Unter Annahme der (EH) zeigt die Maynard-Methode H = 12, undunter Annahme einer technischen Verallgemeinerung der (EH) kanndiese sogar auf H = 6 gedrückt werden.
Diese Werte für H sind die theoretisch derzeit besten, die durch dieaktuellen Methoden erreicht werden können. Für weitereVerbesserungen sind wiederum grundlegend neue Ideen erforderlich.
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Das Projekt Polymath 8b
Das Polymath-Projekt wurde am Tag der Verö�entlichung derMaynard-Arbeit von T. Tao in die Projekte 8a (das bisherige, wasnicht weiter verfolgt wird) und 8b aufgespalten.
Das neue Projekt 8b arbeitet an den weiteren Verbesserungen derMaynard-Methode. Mittlerweile ist so die Zwillingslückenschrankeauf H = 246 gedrückt worden.
Unter Annahme der (EH) zeigt die Maynard-Methode H = 12, undunter Annahme einer technischen Verallgemeinerung der (EH) kanndiese sogar auf H = 6 gedrückt werden.
Diese Werte für H sind die theoretisch derzeit besten, die durch dieaktuellen Methoden erreicht werden können. Für weitereVerbesserungen sind wiederum grundlegend neue Ideen erforderlich.
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