grundlagen wahrscheinlichkeitsrechnung, statistik ch 03 · ~/powerpoints/ch03.ppt • was ist...
TRANSCRIPT
© PTB: A Henrion 2005
Ch 03Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik
~/PowerPoints/Ch03.ppt
• Was ist Statistik ?
• Wahrscheinlichkeit
• Grundgesamtheit und Verteilung
• Verteilung von Stichproben-parametern und Intervall-schätzung
• Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
2
Verfälschung eines Signals durch zufällige Einflüsse
Wiederholung führt zu einer „Verteilung“ von Ergebnissen
Galton-Brett
Modellannahme:
Messung bestimmt ein Ergebnis nur innerhalbeiner charakteristischenVariationsbreite
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
3
Grundgesamtheit:
Gesamtheit der Realisierungen, die aus dem Wurf ein und derselben Kugel resultieren mögen:
• Begriff GG abstrakt
• Begriff GG hat zentrale Bedeutungfür Diskussion vonBeobachtungs-ergebnissen
• GG nur denkbar,nicht einsehbar:
• Wir sehen nur einigeRealisierungen, nicht die Startposition
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
4
Beispiel: Unterschiedliche Beobachtungen.
Unterschiedzufällig
beide Kugeln rot
Unterschiedsystematisch
eine Kugel gelbeine rot
Ergebnis 1: Ergebnis 2:
Frage: Aus gleicher oder verschiedenen GGs?
Gleiche GG:
Versch. GGs:
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
5
Typische Situationen mit Hintergrund Frage gleiche oder verschiedene GG
• Verschiedene Laboratorien, gleiche Probe
• Gleiches Laboratorium, gleiche Probeverschiedene Gelegeneheiten (Tage)
• Gleiches Laboratorium, gleiche Probeverschiedene Meßverfahren
(Vergleichsmessungen)
(Test Robustheit Meßverfahren, Trend)
(Validierung nach Verfahrensänderung)
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
6
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Ordnet jeder Realisierung die Häufigkeit (Wahrscheinlichkeit) ihres Auftretens zu:
Realisierung
)(xf
x
Beschreibung von GGs
1 Diskreter Wertevorrat an Realisierungen
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
7
)(xf
x
Beschreibung von GGs
2 Kontinuierlicher Bereich an Realisierungen x
Stattdessen:
Wahrscheinlichkeit, daß in ein bestimmtes Intervallfällt:
x
�= o
u
X
Xdxxfp )(
uX oXAnmerkung:
für sich nichtinterpretierbar alsWahrscheinlichkeit für Beobachtung des Wertes !x
)(xf
p
Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion („pdf“)
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
8
Verteilungs-funktion
Dichtefunktion
1
Verteilungsfunktion- Dichtefunktion
Verteilungsfunktion ist kumulative Dichtefunktion:
Gibt Wahrscheinlichkeit für XX beobachtet ≤
X(Diskrete Vertei-lungen analog)
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
9
Parameter zur Beschreibung von Beobachtungsergebnissen:
1. Erwartungswert der Beobachtung
Bildhaft: Wohin wäre die Kugel gerollt, wäre ihr Lauf nicht durch die Nägel gestört worden?
2. Varianz der Verteilung
Bildlich: Welchen Wertebereich an beobachtbaren Realisierungen verursacht diese Störung?
Unterliegende Fragestellung: Da konkret beobachtet wurde, wie weit mag es entfernt sein vom Erwartungswert?
x
{ }xE
2σ
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
10
Parameter zur Charakterisierung von Verteilungen
{ }xE
1 Lageparameter
auch: Mittelwert µ
Erwartungswert der Beobachtung
Wohin wäre die Kugel gerollt, wäre ihr Lauf nicht durch die Nägel gestört worden?
{ }xE
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
11
σ2
2 Streuparameter
Varianz 2σ
Parameter zur Charakterisierung von Verteilungen
Breite der Verteilung
Charakterisiert Unsicherheitder Beobachtung
In welcher Umgebung vomErwartungswert ist zu vermuten?
x
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
12
(Formal-) Statistische Definition:
Erwartungswert (auch: Mittelwert ) einer Verteilung:
{ } ( )ii
i xfxxE ⋅== �:µ
ix
diskreter Wertevorrat x
{ } ( ) dxxfxxE ⋅== �∞
∞−:µ kontinuierlicher Bereich x
( )ixf „Wahrscheinlichkeits-Dichtefunktion“ für
µ
Wahrscheinlichkeit ( )xfx
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
13
Beispiel 1:
Mittelwert Augenzahl beim Würfeln
{ }== ixEµ
61
61
61
)( ixf1 2 3 4 5 6
61ix
� �
� === 6
15,361
ii� =
⋅6
1)(
i ii xfx
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
14
Beispiel 2:
Mittelwert Gleichverteilung (auch: Rechteckverteilung)
{ } ( )� −==b
adxabxxEµ)(xf
a b
ab −1
( ) 2ba +=
)(2)( 22 abab −−=
µ
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
15
Für eine Funktion der Zufallsvariablen (*))(xϕ x
{ } �∞
∞−⋅= dxxfxxE )()()( ϕϕ
1. Begriffs- Verallgemeinerung Erwartungswert:
2. -tes Moment der Verteilung von (Bezug zur optischen Spektrometrie):k x
{ }kk xE=:µ
* hier für den Fall kontinuierlichen Wertebereichs von x formuliert
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
16
{ }xE ordnet nach gegebener Vorschrift einer Verteilung eine reelle Zahl zu
Wie anhand der Definition leicht nachzuvollziehen, ist E ein linearer Operator, heißt:
Für irgendzwei voneinander unabhängige Zufallsvariablen undx y
{ } }{xEcxcE ⋅=⋅
{ } }{}{ yExEyxE +=+
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
17
Varianz der Verteilung von
{ } ( )ii
i xfxxE ⋅== � 222 :σ diskreter Wertevorrat x
{ } ( )dxxfxxE ⋅== �∞
∞−
222 :σ kontinuierlicher Bereich x
x2σ
2. Moment , entsprechend dem Erwartungswert von 2)( xx =ϕ2µ
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
18
Gebräuchlicher:
( ){ } ( ) ( )ii
i xfxxE ⋅−==− �222 : µσµ
( ){ } ( ) dxxfxxE )(: 222 ⋅−==− �∞
∞−µσµ
Varianz „um den Mittelwert“:
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
19
Beispiel 1: Varianz Ergebnisse beim Würfeln
)( ixf1 2 3 4 5 6
61ix
( )� =⋅−= 6
1
22 )(i ii xfx µσ
( ) 9,25,3616
1
2 ≈−⋅= � =ii
� �
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
20
Beispiel 2: Varianz Gleichverteilung (auch: Rechteckverteilung)
)(xf
a b
ab −1
( )[ ]( ) dx
abbaxb
a� −+−=
22
43/)( 2 ⋅−= ab
( ) dxxfx )(22 ⋅−= �∞
∞−µσ
dzzab
ab
ba�−
−−= 2
2
21 ( ) ( )( )ab
baab−⋅⋅
−−−=83
33 ( )( )ab
ab−⋅⋅
−=83
2 3
32/)( ⋅−= abσ
σ
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
21
Kovarianz und Korrelation
Für zwei Zufallsvariablen :yx,
{ } 2),(cov xyyxEyx σ=⋅=
In der Praxis:
{ })()(),(cov yx yxEyx µµ −⋅−=
Maß für Zusammenhang von Zufallsvariablen
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
22
Kovarianz und Korrelation
Korrelationskoeffizient:22
2
yx
xyxy σσ
σρ
⋅=
(dimensionslos) 11 ≤≤− xyρ 1−=xyρ negativ
1=xyρ positiv
0=xyρ nicht korreliert
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
23
Produktmoment - Kovarianz – Korrelation. (Veranschaulichung)
µµµµ= µµµµ= 0 µµµµ= µµµµ= 0 µµµµ= µµµµ= 0
x ,y3 3
x ,y2 2x ,y
1 1 x ,y1 1
x ,y2 2
x ,y3 3
x ,y1 1
x ,y2 2
x ,y3 3
x·y im Trend größer Null x·y im Trend kleiner Null Kein Trend für x·y
E{x·y} > 0 E{x·y} < 0 E{x·y} = 0
Positiv korreliert
Negativ korreliert
Unkorreliert
Positives x, positives yund umgekehrt.
Positives x, negatives yund umgekehrt.
Keine ,Verkettung‘ der Vorzeichen
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
24
Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen
1 Binomialverteilung:
( )xnx pp
xnxn
xf −−−
= )1(!!
!)(
Häufigkeit Eintreffen eines Ereignissesder Wahrscheinlichkeit p nach n Versuchen
Mittelwert: { } pnxE ⋅==µ
Varianz: )1(2 ppn −⋅⋅=σ
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
25
pp−1
Illustration Binomialverteilung:
Galton Brett: Zahl der Fälle, in denen die Kugel nach rechts rollt
6=n
=x 0 1 2 3 4 5 6
xnx ppx
nxf −−��
�
����
�= )1()(
hier:5.0=p
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
26
Praxisbeispiel: Isotopen sind binomialverteilt:
Man stelle sich den Einbau von Kern- Typen (Isotopen) in ein gegebenes Molekül als Zufallsprozeß vor, z.B.
C157H232N40O47S2Chancen, 13C einzubauen
01.0≈p
157=n
Wahrscheinlichkeit 13C(Insulin, B-Kette)
•
•
M
M+1M+2
M+3
( )xnx
x
xMI
−−���
����
�
=+
)01.01(01.0157
@ I
=x 0 1 2 3 4 5 6
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
27
2 Poisson- Verteilung
( )!
)(x
npexf
xnp−=
Grenzfall Binomialverteilung für sehr kleines , großes
Mittelwert: { } pnxE ⋅==µ
Varianz: pn ⋅=2σ
p
Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen
n
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
28
pp−1
Beispiel Poisson- Verteilung:
Binomialverteilung für sehr kleines (bei großem )p
( )!
)(x
npexf
xnp−=
n
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
29
Situationen, in denen Poisson- Verteilungen auftreten:
Zählen von seltenen Ereignissen je Zeitintervall(z.B. Kern- Zerfälle)
Messen an der Nachweisgrenze bei Verwendungvon zählenden Detektoren (z.B. SEV)
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
30
Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen
3 Gauss- oder Normalverteilung:
( )���
����
� −−= 2
2
2exp
21
)(bax
bxf
π
Verteilung metrisch skalierter Meßgrößen,soweit fernab der Nachweisgrenze
Mittelwert: { } axE ==µVarianz: 22 b=σ
σ
µ
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
31
Verteilungsformen, angenommen da nicht besser bekannt
4 Gleich- oder Rechteckverteilung
abxf
−= 1
)(
Wird ersatzweise verwendet, wenn man sich auf Ergebnisse Dritter bezieht, die nur einen Bereich als Unsicherheitsangabeliefern, jedoch keine Verteilungsform spezifizieren.
Mittelwert: { } ( ) 2baxE +==µ
Varianz: 32
22
��
���
� −= abσ
bxa ≤≤ )(xf
a b
ab −1
σ
µ
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
32
Verteilungsformen, angenommen da nicht besser bekannt
4 Dreieckverteilung
( )2
1)(
cb
cx
cbxf
−−
−−
=
Anwendungssituation ähnlich wie zuvor: Verteilungsform nichtbekannt, nur Unter- und Obergrenze. Man nimmt zusätzlich an,daß Auftretens- Wahrscheinlichkeit in der Mitte am höchsten.
Mittelwert: ( ) 2ba +=µ
Varianz: 62
22
��
���
� −= abσ
)(xf
a b
cb −1
σ
2bac +=
µ
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
33
GUM- Konzept der Kombination von Mittelwerten und Varianzen
• Aufstellen Formel- Zusammenhang, der gemesseneEingangsgrößen zur Zielgröße verknüpft
• Ermitteln Schätzwert für Zielgröße durch Einsetzen Schätzwerte Eingangsgrößen in Formelzusammenhang
• Kombination der Einzel- Unsicherheiten (Varianzen) zur Unsicherheit d. Zielgröße (Fehlerforpflanzungsgesetz)
• Erweiterung der kombinierten Unsicherheit mit einem passenden Faktor , so daß ein Konfidenzintervall mit gegebener Überdeckungswahrscheinlichkeit resultiert.
2iu
2cu
cuk U
(„Erweiterte Meßunsicherheit“: )cukU ⋅=
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
34
Kombination von Messungen zu einem Gesamtergebnis
( )2111 ,σµx
�
( )2222 ,σµx
( )2, kkkx σµ
gemessene Größen
( )kxxf �1
Zielgröße
( )fµ
( )f2σ
gesucht:
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
35
Kombination von Messungen zu einem Gesamtergebnis
( ) ( )kff µµµµ ,,, 21 �=
gilt nur in einigen Fällen, z.B. wenn eine Linearkombinationoder Produkt voneinander unabhängiger(!) Variabler, also
f
( ) �=+++= iikkk xcxcxcxcxxf �� 22111
Vorsicht!
Die intuitive Vermutung
( ) ∏=⋅⋅⋅= iikkk xcxcxcxcxxf �� 22111
oder
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
36
Kombination von Messungen … Kritische Situationen
Gegenbeispiel: vu, seien (unabhängig voneinander) gleichverteilt mit gleichem Mittelwert
1 1000)(uµ
u
1 1000)(vµ
v
10.000 Paare { }ii vu ,(Zufallsgenerator)
10.000 Quotienten { }ii vu
1)()( =vu µµ
Arithm. Mittel der Quotienten aus Simulation:
)/(5.3 vuµ≈
Vermutung,
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
37
Kombination von Messungen … Kritische Situationen
Explizit:
a b)(uµ
u
a b)(vµ
v
dvduvu
abvu
b
a
b
a⋅
−= � � 2)(
1)(µ
2ln
)(1 22
2
abab
ab−⋅⋅
−=
Für 10001 == ba
46.3)( =vuµ
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
38
Verteilungsform der resultierenden Zufallsvariablen
Erweiterung von cu gemäß cukU ⋅= zu einem Konfidenz-intervall setzt voraus, daß die aus Beobachtungen der Eingangs-größen kombinierte Zielgröße normalverteilt
Vorsicht!
Intuitive Annahme:
Bei genügender Zahl von Eingangsgrößen sei die resultierende immer normalverteilt, unabhängig von der Verteilung der Eingangsgrößen. (Zentr. Grenzwertsatz)
Grenzwertsatz nur für Linearkombinationen Variabler gültig
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
39
Schlußfolgerung:
Ermittlung Erwartungswert (wie auch Verteilungsform)kombinierter Zufallsvariabler mitunter nicht trivial
Ausweg:
Messung mehrerer Sätze der Eingangsvariablen, Auswertung der resultierenden Werte der Zielvariablen
Experimentelle Ermittlung
Grundgesamtheit und Verteilung
© PTB: A Henrion 2005
Ch 03Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik
~/PowerPoints/Ch03.ppt
• Was ist Statistik ?
• Wahrscheinlichkeit
• Grundgesamtheit und Verteilung
• Verteilung von Stichproben-parametern und Intervall-schätzung
• Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
41
Grundgesamtheiten sindnicht vollständig einsehbar
Meßserie 1 Meßserie 2
usw.
Aus Stichproben lassen sich „Schnappschüsse“ gewinnen, z.B.:
und bleiben verborgenµ 2σ
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
42
Definition Messung/ Beobachtung:
Erhebung einer Stichprobe von Beobachtungen{ }nXXX ,,, 21 �
Bestmögliche Schätzung und anhand dieser Datenµ 2σ
Klassische Schätzer:
� =⋅= n
i iXnX1
1
für µ
( ) ( )2
12 11 � =
−⋅−= n
i i XXns
für 2σ
Arithm. Mittel Stichprobenvarianz
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
43
Schätzer für Parameter von GG sind ihrerseits Zufallsgrößen (!)
09.5=X 47.62 =s 78.5=X 11.62 =s
Stichproben- „Schnappschüsse“ sich scheinbar ändernder GG
Somit anschaulich:
1 20 3 4 5 6 7 8 9 10
1
1 20 3 4 5 6 7 8 9 10
2
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
44
1 Erwartungswert des arithmetischen Mittels einer Stichprobe:
XEigenschaften der Zufallsgrößen und
X
2s
{ } { }� == n
i iXnEXE1
1
Da E linearer Operator (s. Abschn. „GG und Verteilung“):
{ } { }�� ==⋅= n
i i
n
i i XEnXnE11
11
Da ( ):, 2σµGGX i ∈∀ { } ( ) µµ =⋅⋅=⋅� =nnXEn
n
i i 111
{ } µ=XE ( „erwartungstreuer“ Schätzer für )X µ
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
45
2 Erwartungswert der Stichprobenvarianz :
XEigenschaften der Zufallsgrößen und 2s
{ } ( )�
� � −
−= � =
n
i i XXn
EsE1
22
11
2s
{ }� =−
−= n
i i XXEn 1
2
11
{ } { }2222 XXXXEXXE iii +−=− ( )[ ] 21 xnn σ⋅−=
{ } 21
22 11
1 σσ =−−
= � =
n
i nn
nsE
{ } 22 σ=sE ( „erwartungstreuer“ Schätzer für )2s 2σ
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
46
{ } ( )[ ] 222 /12 xii nnXXXXE σ⋅−=+−
{ } 222 µσ += xiXE1
{ } { } [ ]�� +=⋅= n
j ji
n
j jii xxnXXEnXXE 2),cov(11 µ2
{ } { }�� ⋅⋅= ii XXEnXE 221
{ }� �= =⋅= n
i
n
j ji XXEn1 1
21
[ ]22221 µσ nnn x +⋅=
3
22 µσ += nx
Nähere Ausführung
( ) 22221 µσµσ +=+⋅= nnn xx
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
47
3 Varianz des arithmetischen Mittels
XEigenschaften der Zufallsgrößen und
2X
σ
2s
{ } [ ]�
� � −=− � =
2
122 )(1)(
n
i iXnEXE µµ
{ }� �= =−−= n
i
n
j ji XXEn1 1
2 )()(1 µµ
{ } nxEnn 222 )(1 σµ =−⋅⋅=
nX
22 σσ = (verringert sich bei steigendem Stichprobenumfang)
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
48
Folgerung:
2X
σ
2σ charakterisiert das Meßverfahren
(„Standardabw. des Einzelwerts“)
charakterisiert die aktuelle Stichprobe
(Ergebnis der Meßserie) und wird vom
„Fleiß“ des Experimentators mitbestimmt
(„Standardabw. des arithm. Mittels“)
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
49
Anmerkung:
Für die Ableitung war die Annahme einer bestimmten Verteilungsform nicht erforderlich.
Die Feststellungen bzw. { } µ=XE { } 22 σ=sE
( und erwartungstreu) sowieX 2s
* vorausgesetzt ist natürlich, daß die Erwartungswerte überhaupt existieren
Erwartungstreue Schätzer werden auch als unverzerrt (unbiased) bezeichnet.
gelten also grundsätzlich.*
nX
22 σσ =
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
50
Intervallschätzung
Angenommen, Verteilung bekannt, * ( )2,σµN
)(xf
xuX oX
Ein 50%- Intervall wäre dann z.B.
�= o
u
X
Xdxxfp )(
mit
OU XXX ≤≤
5.0=p
* Schreibweise für Gauss- Verteilung mit spezifiziertem und µ 2σ
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
51
uX oX uX oX
andere Varianten mit :5.0=p
∞− oX uX ∞
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
52
Intervallschätzung:
• Voraussage von Beobachtungs- Bereichen
mit spezifizierter Wahrscheinlichkeit
• allein genügt nicht zur eindeutigen Festlegung
p
p
• Festlegung richtet sich nach der Fragestellung
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
53
Intervallschätzung: Abhängigkeit von Fragestellung
µ
∆
1 95%- Konfidenzintervall um den Mittelwert
üblicherweise symmetrisch(jedoch nicht zwingend!)
Führt zu Aussagen der Art: liegt im Bereich
mit stat. Sicherheit bzw. Irrtumsrisiko
X ∆±µ95.0=p 05.0=α
%5.2 %5.2
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
54
Intervallschätzung: Abhängigkeit von Fragestellung
2 „Einseitige“ Fragestellungen
Geforderter Mindestwert mitüberschritten
%5
kritX
%5
kritX
%95=pTolerierter Höchstwert mit
unterschritten%95=p
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
55
Intervallschätzung
Gauss- Verteilung, wie jede andere angenomene Verteilungsform von GG genau genommen nicht verwendbar:
Dichtefunktion bzw. Parameter der Verteilung in Wahrheit nicht bekannt
Man braucht einen alternativen Weg zur Schätzung basierendauf entsprechenden Stichprobenparametern, wie
2,σµ
2, sX
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
56
Intervallschätzung: Student‘s t als Zufallsvariable
Anwendung des kombinierten Stichprobenparameters
nsX
Tµ−=
Xs
X µ−=
Für Gauss- verteilte GGs: Verteilung von gleichder bekannten Student- t Verteilung
T
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
57
Eigenschaften t- Verteilung
4=ν
10=ν
∞=ν
• Unsicherheit Schätzung findet Niederschlag in breiterer Vertlg.2X
σ
• Familie von Verteilungen, abhängig von (Zahl Freiheitsgrade)ν
• Im Grenzfall ( ) Gauss-
verteilt:
∞=ν( )2,
XN σµ
• 1−= nν
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
58
t Tabelle (zweiseitige Fragestellung)
0.5 0.2 0.1 0.05 0.02 0.011 1.00 3.1 6.3 12.7 31.8 63.72 0.82 1.89 2.92 4.30 6.96 9.923 0.76 1.64 2.35 3.18 4.54 5.844 0.74 1.53 2.13 2.78 3.75 4.605 0.73 1.48 2.02 2.57 3.36 4.03
10 0.70 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17
30 0.68 1.31 1.70 2.04 2.46 2.75
0.67 1.28 1.64 1.96 2.33 2.58∞
p/ν
2p 2p
→t
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
59
Intervallschätzung: Anwendung von Student‘s t
Xs
Xt
µ−=Mit
XU stX ⋅−= ανµ ;
XO stX ⋅+= ανµ ;
untere Vertrauensgrenze für
obere Vertrauensgrenze für
µ
µ
da symmetrisch verteilt:t
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
60
Ergebnisangabe:
XstX ⋅± αν ;
Erweiterungsfaktor synonym für k αν ;t
oder α−∆± 1X
GUM- Notation:
X mit erweiterter Unsicherheit
XskU ⋅=
Stichprobenparameter und Intervallschätzung
© PTB: A Henrion 2005
Ch 03Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik
~/PowerPoints/Ch03.ppt
• Was ist Statistik ?
• Wahrscheinlichkeit
• Grundgesamtheit und Verteilung
• Verteilung von Stichproben-parametern und Intervall-schätzung
• Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
62
Zerlegung Gesamtvarianz in Bestandteileverschiedenen Ursachen entsprechend
Beispiel: Ringversuchsergebnis (gedacht):
Within- Lab Varianzen (W)
Between- Lab Varianz (B)
Total- Varianz (T)
+B=W
T
*
*
*
Einzelergebnisse je Lab(Treffergebiete):
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
63
ANOVA- What is it about?
B charakterisiert Unterschiede in der Handhabung zwischen Labs.
Ursachen Feste Effekte wie:Kalibriersubstanzen aus verschiedenen Quellen, unterschiedliche Analysenprinzipien, …
Zufalls- Effekte wie:Örtlich variierende Umgebungsbedingungen oder andere schlecht langfristig konstant zu haltende Parameter beeinflussen das Analyseergebnis
Übergänge zwischen beiden Gruppen fließend!Unterschiede in der stat. Behandlung: Keine.
� Trenne B von W
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
64
ANOVA- zentrales Werkzeug für analysierenden Experimentator
Quantifizierung des Effekts essentieller Faktoren, die nach Plan absichtlich variiert werden oder zufällig sind. Unterscheidung vom rein experimentellen Rauschen.
Anwendungen Optimierung von Verfahren (Industrie, Landwirtschaft, …, auch: Analytik)
Test von Hypothesen, Gewinnung von Modellen (Psychometrie, Soziologie,Chemometrie,…)
In diesem Kurs: Analyse auf Beiträge (meist zufälliger) Faktorenzur Gesamtunsicherheit von Meßergebnissen
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
65
T, W und B - Wie definiert?
1µ
2µ3µ
µijy
T
WB
( )µµ −i( )iijy µ−=− µijy +
Entsprechend Zerlegung von Tin (Zufalls-)variablen W und B:
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
66
Parameter der Grundgesamtheit zu kennen, bleibt den Göttern vorbehalten!
( )µµ ,i
Wir behelfen uns mit entsprechenden „Stichprobenparametern“:
⋅1y
⋅2y⋅3y
⋅⋅y
ijy
T
WB
�,, 21 ⋅⋅ yy Gruppenmittelwerte
⋅⋅y Gesamtmittelwert
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
67
2Tσ 2
Wσ 2Bσ
( )� �= =
⋅−−
=l
i
n
jiij yy
nl 1 1
2
111
�=
=l
iiW s
ls
1
22 1 )1( −= nlWνFreiheitsgrade
( )�=
⋅⋅⋅− −−
=l
iiMittelGruppen yy
ls
1
22
11 mit 1−= lν
Freiheitsgraden.
( )��= =
⋅⋅−−⋅
=l
i
n
jijT yy
nls
1 1
22
11 1−⋅= nlTν
Freiheitsgrade
n Werte je Gruppel Gruppen
An Stelle der Parameter , , nunmehr Schätzungen
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
68
„Statistische Erwartung“ dieser Schätzer*:
{ } 22TTsE σ= (erwartungstreu)
{ } 22WWsE σ= (erwartungstreu)
{ } 222 1WBGM n
sE σσ += (verzerrt bezüglich )
*Ableitung des Zusammenhangs auf extra- PowerPoint
Richtige Schätzung demnach:2Bσ nsW
2−2GMs
2Bσ
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
69
Im Kontext von Ringversuchs- Auswertungen:
2Wσ „Wiederholvarianz“ (Varianz unter
Wiederholbedingungen eines Labors)
2Bσ „Zwischen- Labor- Varianz“ (Labor-
Labor- Variabilität)
Schätzung Labor- Meßunsicherheit („Präzision“): 222BWLab sss +=
GUM- Terminologie: 222BWLab ssu +=
(Nähere Diskussion am Beispiel: � CH 17)
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
70
Anhang: Statistische Implikationen
�=
=l
iiW s
ls
1
22 1
2Ws ist eine within- Varianz gemittelt über die Werte aller Labors
Solches „Pooling“ setzt voraus, daß alle aus ein und derselbenGrundgesamtheit stammen (sog. „Varianzhomogenität“)
2is
Verfahren Test Varianzhomogenität: z.B. Bartlett- Test �(Lehrbücher)
Vorteil für Ringversuchsteilnehmer: gepooltes vereinigt auf sichdie Freiheitgrade aller Labors (zuverlässigere Schätzung als !!)
2Ws 2
is
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
71
Test Signifikanz des extrahierten :2Bs
Ausdruck { }{ } 2
22
2
2
W
WB
W
GM nsEsEn
σσσ +⋅=⋅ 1=
1>02 =Bσ02 >Bσ
Dementsprechend testet man das Verhältnis 22 /ˆWGM ssnF ⋅=
gegen ( )ανν −1,, WGMF
mit und Freiheitsgraden1−= lGMν ( )1−= nlWν
bei Irttumsrisiko („stat. Sicherheit“ ) α α−1
2Bs)(ˆ tabelliertFF > indiziert Signifikanz
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
72
Nachtrag:
Im Zusammenhang mit der Aufstellung von Unsicherheits- Budgetswird offenbar stets verwendet, selbst wenn nicht signifikant.2
Bs
Dies ist konservativ, sorgt aber dafür, daß man sich auf der „sicheren Seite“ befindet.
Im Kontext der Aufstellung von Modellen/ Prüfung auf Vorhanden-sein von Einflußgrößen (Effekten) wäre das natürlich falsch.
In diesem Kurs beschränken wir uns auf erstere Fragestellung.
Werkzeug Varianzanalyse (ANOVA)
© PTB: A Henrion 2005 ~/PowerPoints/Ch03.ppt
Ch 03
73
Gefragt, woran er gerade arbeite, antwortete er:
„Ich habe große Mühe. Ich bereite meinen nächsten Irrtum vor.“
Brecht