grundmodelle für peak oil a.o.univ.-prof. stephen keeling institut für mathematik und...
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Grundmodelle für Peak Oila.o.Univ.-Prof. Stephen Keeling
Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
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Modelle für:• Ölentdeckung• Ölproduktion• Kopplung mit Nachfrage, Angebot, Kapital
• Entropie/Komplexität & Energie• Spiele für Kooperation
Ölentdeckung
Wir suchen Öl in einem Gitter (der Welt):
Zu Beginn: Wahrscheinlichkeit einer zufälligen Entdeckung = N/(N+M).
X X
X
X
X X X
X
X=Ressource
□=Leer
N=Anzahl der ÖlzellenM=Anzahl der Leerzellen
Ölentdeckung
Was sind die Wahrscheinlichkeiten der ersten paar Erfolge?
Gleiche Erfolgs- und Ausfallsverhältnisse bedeutet:
Also ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs:
dtMN
NP dttt
)10( dtmMN
NP dttt ?)(1
1)21(
nN
Mm
M
m
N
n
)!10(
/)()1(
dttt
dttt
PdtMN
N
dtNMnMnN
nNdt
nmMnN
nNnnP
ÖlentdeckungBeispiel:
P(5 Kinder heute) = P(5->5) * P(5 Kinder gestern)
+ P(4->5) * P(4 Kinder gestern)
Ähnlicherweise:
P(n in t+dt) = P(n->n) * P(n in t)
+ P(n-1->n) * P(n-1 in t)
oder:
wobei:
pn(t) = Wahrscheinlichkeit in Zeit t, dass n Ölzellen schon gefunden.
)(*)1(
)(*)()(
1 tpnnP
tpnnPdttp
ndttt
ndtttn
Ölentdeckung
Alles zusammen:
oder:
)()1(
)()()(
1 tpnnP
tpnnPdttp
ndttt
ndtttn
)()()()(
)( 1 tpMN
Ntp
MN
N
dt
tpdttptp nn
nnn
)()1(
)()]1(1[
1 tpnnP
tpnnP
ndttt
ndttt
)(
)(]1[
1 tpMN
Ndt
tpMN
Ndt
n
n
ÖlentdeckungAnfangswertproblem:
Ergebnis:
Mittelwert erfüllt:
0)0(,1)0(),()()( 001
nnnn pptpMN
Ntp
MN
Ntp
tMN
Ntx
MN
Ntxtnptx
N
nn
)()()()(0
Ölentdeckung
Realistischere Wahrscheinlichkeiten der Erfolge?
Statt:
Nimm:
dtMN
NP dttt
)10( dtmMN
NP dttt ?)(1
1)21(
nN
Mm
M
N
m
n
]1[1
)(
MnNn
nnm
Ölentdeckung
Also ist die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs (…logistisch aussehend!):
Alles zusammen:
oder:
dtMN
nNndt
nmMnN
nNnnP dttt
))(1(
)()1(
)()1(
)()()(
1 tpnnP
tpnnPdttp
ndttt
ndtttn
)()1(
)(]))(1(
1[
1 tpMN
nNndt
tpMN
nNndt
n
n
)()1(
)())(1()()(
)( 1 tpMN
nNntp
MN
nNn
dt
tpdttptp nn
nnn
ÖlentdeckungAnfangswertproblem:
Ergebnis:
Mittelwert ist ungefähr logistisch: beweisbar.
0)0(,1)0(),()1(
)())(1(
)( 001
nnnn pptpMN
nNntp
MN
nNntp
ÖlentdeckungDas resultierende Modell der Entdeckung:
E(t) = (Erwartungswert der) Entdeckung in Zeit t
Logistisches Modell: 0)0(),()( EEEtE
Ölproduktion
Das einfachste Modell der Produktion: Ein Brunnen
Bernoulli-Poiseuille:
gHpFLWgLp as )(
as pp
ÖlproduktionBernoulli-Poiseuille:
Fluss:
Volumenänderung:
Produktion nicht logistisch:
gHpFLWgLp as )(
)()(
)(
)(
LW
gH
pp
gLpp
LW
LHgppF
as
as
sa
ALVV
A
A
LW
gHFVHA )0(,
)(
)1()()0()( /teALtVVtP
ÖlproduktionSalzwasseransatz. Bernoulli-Poiseuille:
Fluss:
Volumenänderung:
Produktion ohne Mischung linear!
LHgLpFLWgLp as ,)(
)(LW
ppF sa
ALVLW
ppFV sa
)0(,
1
)(
)/1()()0()( tALtVVtP
ÖlproduktionSalzwasseransatz. Bernoulli-Poiseuille:
Fluss:
Mit Mischung - Konzentrationsänderung:
Produktion mit Mischung nicht logistisch!
LHgLpFLWgLp as ,)(
)(LW
ppF sa
)0(,)(
SVS
SLW
ppFSSV sa
)1()]()0([)( /
teALtSS
VtP
ÖlproduktionKopplung zwischen Entdeckung und Produktion:
Wenn gekoppelt sehen beide logistisch aus, Produktion zögert nach Entdeckung:
)()(
)()(
PEtP
EEtE
Kopplung mit Vorrat & Kapital
Zusammenarbeit mit Herrn Stephan Kupsa:
Diskret: Ndt = Adt bestimmt Preis p
nKostenEinkommelKapita
eNachfragtVorra
)()(nProduktio
K
PV
PMPKfP
0,0,0
/)1log(Nachfrage
,0,0,
])/(1[Angebot
min
0max
0
dtNN
pdtVN
ppdtAVA
ppVA
dtdt
dtdt
dtdt
dtdtdt
Kopplung mit Vorrat & Kapital
Zusammenarbeit mit Herrn Stephan Kupsa:
Stetig: N´ = A´ bestimmt Preis p
nKostenEinkommelKapita
eNachfragtVorra
)()(nProduktio
K
PV
PMPKfP
p
V
dt
NN
p
pV
dt
p
p
Vdt
AA
dt
dt
dt
dt
dt
dt
)1log(lim
log
1
limlim
0
0
0
00
Kopplung mit Vorrat & Kapital
Population steigt mit V, Nachfrage fällt mit Überschuss in V, also N´ steigt schwach mit V, Angebot steigt stärker mit V:
Bedingung N´ = A´ bestimmt Preis p:
Produktion hört auf wegen Verschuldung, wird beschleunigt mit mehr K
ANpK
NPPV
PMPKKPMPKfP
nKostenEinkomme
eNachfrag
)(])0[()()( 2
0
log)1log(
p
pVA
p
VN
])0[()( 2KKKf
Kopplung mit Vorrat & Kapital
Sogar mit diesem einfachen Modell sieht man folgende Schwingungen:
Am Peak steigen A´ & N´, bis V konsumiert, Verschuldung stoppt P, p steigt bis K>0 und Öl völlig produziert, A´ & N´ (Population) niedrig.
Entropie/Komplexität & EnergieWas ist Entropie? TdS=dE+pdV-μdN…von der Thermodynamik…
Beispiel: Unterschiedliche Kugeln verteilt in eine Box:
System strebt zu Smax:
➀➁➂➃
➀ ➁➂➃
➀➁ ➂➃
➀ ➁ ➂➃
➀ ➁ ➂ ➃
EinigeKonfigurationen
MöglicheRealisierungen Ω
1
4
6
12
24
)log()ionKonfigurat(Entropie BkS
Entropie/Komplexität & EnergiePräziser:
für Systeme in Gleichgewicht. !Nun gezeigt auch für Systeme nicht in Gleichgewicht [Jaynes, 1957-1998], [Dewar, 2003]:
wird maximiert, wobei Γ ein möglicher Pfad ist.
System strebt zu max Entropieproduktion: wahrscheinlichster Zustand, wahrscheinlichster Weg. (vgl. Prigogine!)
)log()log(1
/1
Br
p
rrB kppkSr
1
)log(ppkS B
Entropie/Komplexität & EnergieEntropie fällt wegen Einschränkungen:
Z.B. S(Eis)<S(Wasser). Eis ist komplexer. Ein Maß der Komplexität:
Z.B. K(Eis)>K(Wasser).
➀ ➁ ➂ ➃
➀ ➁ ➂ ➃
EingeschränkteKonfiguration
MöglicheRealisierungen Ω
4
24
||
FreieKonfiguration 21 )24log()4log( SkkS BB
1
)log(r
rrB ppkSK
Entropie/Komplexität & Energie
Zwei Gefäße, ein ideales Gas, gleicher P, gleiche N, aber T1 ≠ T2.Getrennt ➾ eingeschränkt ➾ komplexer.
Wenn Gefäße verbunden werden, steigt Entropie beim Gleichgewicht:
Rückkehr verlangt Energie!
21
221
4log2
5
TT
TT
kN
S
B
0oder,]1/[ 12121 TTTTQE
Entropie/Komplexität & Energie
Wenn diese Energie investiert wird, Wärme Q1 stellt T1, T2 wieder her,
und T1 und T2 sind für Arbeit verfügbar:
wenn Q2 abgegeben wird. Verfügbare Arbeit pro Wärmeeinheit:
Neue Komplexität und verfügbare Arbeit:
Ein Taintersches Komplexitätsdiagramm.
)1(4
)2(log2
5
4log2
5 2
21
221
TT
TT
kN
K
B
]1/[ 121 TTQE
]/1[ 212 TTQW
]/1[/ 212 TTQW
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Land X und Land Y entscheiden, ob sie Verschmutzung reduzieren oder nicht.
• Kosten für Reduzieren: 7 Einheiten• Gewinn von Reduzieren: 5 Einheiten für beide genießbar
Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y)
Selbe Struktur wie Gefangenendilemma: Gleichgewicht in (0,0).
Strafe für Nichteinhaltung? Wer macht die Durchsetzung?
X: Y: verschmutzen: reduzieren:
verschmutzen: (0,0) (5,-2)
reduzieren: (-2,5) (3,3)
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Neue Bedingung,• Kosten für Reduzieren: 7 Einheiten• Gewinn von Reduzieren: 5 Einheiten für beide• Kosten wenn beide nichts tun: 4 Einheiten
Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y)
Selbe Struktur wie Angsthasenspiel: Gleichgewichte in (-2,5) & (5,-2).
Wer bedroht, kann das Gleichgewicht entscheiden.
Wer den ersten Zug hat, kann das Gleichgewicht entscheiden.
X: Y: verschmutzen: reduzieren:
verschmutzen: (-4,-4) (5,-2)
reduzieren: (-2,5) (3,3)
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Land X und Land Y entscheiden, ob sie zu einem Allgemeinwohl beitragen.
• Kosten eines Beitrags: 8 Einheiten• Gewinn: 12 Einheiten für beide, nur wenn beide beitragen.
Darstellung des Spiels: Auszahlungen (x,y)
Selbe Struktur wie Sicherungsspiel: Gleichgewichte in (0,0) & (4,4).
Kooperative Lösung selbstdurchsetzend, ohne Anreiz nicht zu halten.
In Wiederholung des Spiels gibt es Anreiz zur kooperativen Lösung.
X: Y: nicht beitragen: beitragen:
nicht beitragen: (0,0) (0,-8)
beitragen: (-8,0) (4,4)
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Kontinuum von Strategien, z.B. wie viel will man beitragen?
N Länder spielen. Land i trägt zi bei. Gesamtbeitrag is Z=Σi=1N zi.
Land i hat Gewinn Bi(Z) und Kosten Ci(zi).
Zu maximieren ist: Bi(Z)-Ci(zi).
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Kein reines Gleichgewicht, also
X und Y spielen gemischte Strategien:
P(a)=q, P(b)=1-q, P(c)=p, P(d)=1-p
q*=3/4➾X-Gewinne gleich in 3/4. p*=3/8➾X-Gewinne gleich in -3/4.
Y: q 1-q
X: Strategie a Strategie b X-Gewinn:
p Strategie c (2,-2) (-3,3) 5q-3
1-p Strategie d (0,0) (3,-3) 3-3q
Y-Gewinn: -2p 6p-3
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Spiel gegen Natur, Entscheidungstheorie.
k=Kosten zur Zweigbibliothek, θk=Kosten zur Zentralbibliothek
K(c)<K(d) wenn 1/θ <q gilt, also geh erst zur Zweigbibliothek.
Natur: q 1-q
X: Möglichkeit a Möglichkeit b X-Kosten:
Strategie c k (1+θ)k qk+(1-q)(1+ θ)k
Strategie d θk θk qθk+(1-q)θk
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Evolutionär stabile Strategien.
q*=7/12 ➾ Eindringlinge-Gewinne gleich in 25/4.Spezies stabil gegen Eindringlinge.
Spezies: q 1-q Eindringlinge-
Eindringlinge: Falke Taube Gewinne:
Falke (-25,-25) (50,0) -25q+50(1-q)
Taube (0,50) (15,15) 0q+15(1-q)
Einführung in Spieltheorie
Beispiel: Wiederholtes Gefangenendilemma, T>R>U>S, R>(S+T)/2.
P(1.Spiel)=1, P(2.Spiel)=p, P(3.Spiel)=p2, usw.
Gewinn durch Kooperieren = R+pR+p2R+…=R/(1-p)
Gewinn durch Überlaufen beim mten Zug =
R+pR+p2R+…+pm-1R + pmT + pm+1U+pm+2U+…
=[R(1-pm)+(1-p)pmT+pm+1U]/(1-p)
Kleiner als R/(1-p) wenn p>(T-R)/(T-U), also kooperieren.
X: Y: kooperieren überlaufen
kooperieren: (R,R) (S,T)
überlaufen: (S,T) (U,U)
Modell der Ressourcenteilung[Pallage]: Zwei Länder, wählen in [t,t+1] eigene• Konsum ct
• Kapital kt+1
• Ressourcennachschub xt
• Transfer τt
Produktion einer Ware yt=f(kt) beschädigt die Umwelt durch g(yt)
Ressource at entwickelt sich so: at+1 = at + [xt1-g(yt
1)] + [xt2-g(yt
2)]
Unter natürlichen Einschränkungen soll eigene Utilität maximiert werden: Σt=0
∞βt U(ct,at+1)
Länder kooperieren wenn Anfangsressource oder Anfangskapital genügend knapp sind oder wenn β groß genug ist.