Grundwissen Jahrgangsstufe 9

GM 9.1 Quadratwurzeln und die Menge der reellen Zahlen QUADRATWURZELN Unter der Quadratwurzel aus einer Zahl a (kurz: Wurzel aus a, Schreibweise a ) versteht man diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist. a ist also die nichtnegative Lsung der Gleichung x = a. Zum Beispiel hat die Gleichung x = 16 die positive Lsung 4 und die negative Lsung 4. Also ist 16 = 4. Die Zahl oder der Term unter dem Wurzelzeichen heit Radikand. Das Ermitteln des Werts einer Quadratwurzel nennt man Wurzelziehen oder Radizieren. Man beachte:

a ist nur definiert, wenn a 0. a = a, falls a 0 und a = a, falls a < 0. Zusammenfassend schreibt man: a = |a|.

DIE MENGE DER REELLEN ZAHLEN Jede rationale Zahl lsst sich als Bruch mit einer ganzen Zahl im Zhler und einer natrlichen Zahl im Nenner schreiben. Die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl ist entweder endlich (z.B. 375,08

3 = )

oder periodisch (z.B. 6,032 = ). Es gibt Zahlen, die sich nicht in der beschriebenen Art als Bruch

darstellen lassen. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und nicht periodisch. Solche Zahlen heien irrationale Zahlen. 2 ist eine irrationale Zahl, wie alle Quadratwurzeln a , wenn a nicht das Quadrat einer rationalen Zahl ist. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge R der reellen Zahlen. RECHNEN MIT QUADRATWURZELN Addieren und Subtrahieren von Quadratwurzeln Es gilt: c)ba(cbc =a . Man kann also Wurzelterme addieren bzw. subtrahieren, wenn sie den gleichen Radikanden besitzen. Beispiel: ( ) ( ) 5534514362536543 +=++=++2 Man beachte: Wurzelterme mit verschiedenen Radikanden kann man nicht zusammenfassen. Insbesondere ist in der Regel baba ++ ! Beispiel: 743169 =+=+ , aber 525169 ==+ . Also 169169 ++ . Multiplizieren und Dividieren von Quadratwurzeln

Es gilt: abba = und ba

ba

= . Man kann also Wurzelterme multiplizieren bzw. dividieren,

indem man die Radikanden multipliziert bzw. dividiert. Beispiel: 1585342543 ==2

Man beachte: ( ) aaaa 2 == . Im Gegensatz zu: a2aa =+

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Teilweises Radizieren Manchmal lsst sich der Radikand so in ein Produkt zerlegen, dass man die Wurzel aus einem oder mehreren Faktoren ziehen kann. Dies ermglicht ein teilweises Radizieren. Beispiele: 3532532575 === 36332394394108 ====

b3cba4cbba34cba48cba48 22234234 === a ist nicht negativ, braucht also keine Betragsstriche. Da b unter der Wurzel steht, kann b nicht negativ sein. b braucht deshalb

keine Betragsstriche. cc = (vgl. S. 36 oben).

Brche und Bruchterme mit Wurzeln im Nenner Durch Erweitern eines Bruches bzw. eines Bruchterms kann man Wurzeln im Nenner beseitigen. Ebenso knnen durch Krzen Wurzeln im Nenner eines Bruchs oder Bruchterms entstehen.

Beispiele: 32336

3336

36

==

= * Hier wird mit 3 erweitert. *

21

22 * Hier wird mit 2 gekrzt. Beachte: ( )22=2 =*

2

xxx2

x2 * Hier wird mit x gekrzt. =*

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GM 9.2 Die Satzgruppe des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck heit die dem rechten Winkel gegenberliegende Seite Hypotenuse, die dem rechten Winkel anliegenden Seiten werden Katheten genannt. In jedem rechtwinkligen Dreieck besteht zwischen den Lngen der Katheten und der Lnge der Hypotenuse eine besondere Beziehung, die bereits im Altertum bekannt war, der sog. Satz von Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat ber der Hypotenuse den gleichen Flcheninhalt wie die Quadrate ber den beiden Katheten zusammen. Mit den Bezeichnungen aus der nebenstehenden Abbildung gilt: a + b = c Der Kehrsatz des Satzes von Pythagoras gilt ebenfalls: Wenn fr die Lngen a, b und c der drei Seiten eines Dreiecks die Gleichung a + b = c erfllt ist, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig mit der Hypotenuse c. Zur Satzgruppe des Pythagoras gehren noch zwei weitere Stze: Hhensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat ber der Hypotenusenhhe flchengleich dem Rechteck, das die Hypotenusenabschnitte als Seitenlngen hat. Kurz: h = pq Kathetensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat ber einer Kathete flchengleich dem Rechteck, das den dieser Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt und die Hypotenuse als Seitenlngen hat. Kurz: a = cp und b = cq Anwendungen des Satzes von Pythagoras Diagonale im Quadrat Der Ansatz a + a = d liefert: 2ad =

Hhe im gleichseitigen Dreieck Der Ansatz

22

2 a2ah =

+

liefert:

32ah =

Lnge einer Strecke im Koordinatensystem

d a ah

2a

a

Fr die Lnge der Strecke [PQ] gilt:

( ) ( )2PQ2PQ yyxxPQ +=

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GM 9.3 Quadratische Funktionen und Gleichungen Eine Funktion der Form y = ax + bx + c bzw. f(x) = ax +bx + c mit a, b, c R, a 0, heit quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Die einfachste quadratische Funktion ist die Funktion y = x. Ihr Graph (vgl. Zeichnung rechts) ist eine sog. Normalparabel. Ihr tiefster Punkt heit Scheitel und hat die Koordinaten (0|0). Sie ist achsensymmetrisch zur yAchse. Alle anderen Parabeln entstehen aus der Normalparabel durch Verschiebung und/oder zentrische Streckung am Scheitel. Es gilt: a > 0 Die Parabel ist nach oben geffnet. a < 0 Die Parabel ist nach unten geffnet. |a| > 1 Die Parabel ist enger als die Normalparabel. |a| < 1 Die Parabel ist weiter als die Normalparabel. Mit Hilfe der quadratischen Ergnzung kann man den Funktionsterm in die Scheitelform berfhren. Beispiel: Quadratische Funktion y = 0,5x 2x + 1 a = 0,5 ausklammern y = 0,5(x 4x + 2) Quadratische Ergnzung y = 0,5(x 4x + ( ) ( )224224 +2) Quadratischen Term bilden y = 0,5((x 2) 4 + 2) Zusammenfassen y = 0,5((x 2) 2) uere Klammer auflsen y = 0,5(x 2) 1 Aus der Scheitelform kann man die Koordinaten des Scheitels der Parabel ablesen. y = a(x d) + e Die Parabel hat den Scheitel S(d|e). Beispiel: y = 0,5(x 2) 1

Die Parabel hat den Scheitel S(2|1). Sie ist achsensymmetrisch zur Gerade x = 2. Wegen a = 0,5 ist die Parabel nach oben geffnet und weiter als die Normalparabel. Die zugehrige quadratische Funktion hat die Wertemenge W = [1; [.

Die Schnittstellen eines Funktionsgraphen mit der xAchse heien Nullstellen. Eine Parabel kann keine, genau eine oder zwei Nullstellen besitzen. Man bestimmt diese meist mit Hilfe der Lsungsformel fr quadratische Gleichungen.

Quadratische Gleichung ax + bx + c = 0

Lsungsformel a2

ac4bbx2

2,1

=

Beispiel: 0,5x 2x + 1 = 0 a = 0,5 b = 2 c = 1

122

5,0215,0422x

2

2,1

=

=

1 2 3 4

x-1-2-3

1

2

3

4

5

6

7

y

v1.6d

1 2 3 4 5 6

x-1-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

y

urven v1.6d

22x1 = 22x2 +=

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Der in der Lsungsformel auftretende Radikand D = b 4ac heit Diskriminante der quadratischen Gleichung. Die Diskriminante macht eine Aussage ber die Anzahl der Lsungen der zugehrigen quadratischen Gleichung und damit ber die Anzahl der Nullstellen der zugehrigen quadratischen Funktion. Es gilt: D > 0 Die Gleichung besitzt zwei verschiedene Lsungen. D = 0 Die Gleichung besitzt genau eine Lsung. D < 0 Die Gleichung besitzt keine Lsung. Besitzt ein quadratischer Term eine oder zwei Nullstellen, so kann man ihn faktorisieren. Umgekehrt kann man aus der faktorisierten Form des Terms seine Nullstellen ablesen.

Zur Erinnerung: Ein Produkt ist Null, wennmindestens einer seinerFaktoren Null ist!

a) Faktorisieren durch Ausklammern: ax + bx = 0 ax(x + ab ) = 0

Nullstellen: x1 = 0, x2 = ab Beispiel: 2x + 6x = 0 2x(x + 3) = 0 x1 = 0, x2 = 3 b) Faktorisieren mit Hilfe der binomischen Formeln: x + 2dx + d = (x + d) Nullstelle: x = d x 2dx + d = (x d) Nullstelle: x = d Beispiel: x + 6x + 9 = (x + 3) Nullstelle: x = 3 c) Faktorisieren durch Kluges Raten: Manche quadratischen Terme lassen sich durch kluges

Raten und Ausprobieren faktorisieren.

Beispiel: x x 6 = (x )(x ) Durch berlegen und Ausprobieren findet man:

x x 6 = (x + 2)(x 3) Nullstellen: x1 = 2, x2 = 3

d) Faktorisieren mit Hilfe der Nullstellen: Ist bekannt, dass der Term ax + bx + c die Nullstellen x1 und x2 besitzt, so kann man ihn in der Form a(x x1)(x x2) schreiben. Beispiel: Der Term 2x +8x 10 hat die Nullstellen x1 = 5 und x2 = 1. Also ist 2x +8x 10 = 2(x + 5)(x 1).

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GM 9.4 Lineare Gleichungssysteme mit drei Unbekannten Das Lsen mancher Probleme aus der Mathematik oder ihren Anwendungen erfordert das Lsen eines linearen Gleichungssystems mit mehr als zwei Unbekannten. In GM 8.5 sind drei Verfahren zum Lsen linearer Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten dargestellt. Auch beim Lsen von Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Unbekannten kann man sich unterschiedlicher Methoden bedienen. Es gengt aber, eine dieser Methoden sicher zu beherrschen. Beispiel: (I) x + y + z = 3 (II) 4x 2y + z = 0 (III) 9x + 3y + z = 5 1. Lsungsmethode: Diese Lsungsmethode beruht darauf, das Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten auf ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zurckzufhren. Dazu lst man eine der drei Gleichungen nach einer Variablen auf und setzt den Term in die beiden anderen Gleichungen ein. (I) nach z: z = 3 x y in (II): 4x 2y + 3 x y = 0 ergibt (II) : 3x 3y = 3 in (III) : 9x + 3y + 3 x y = 5 ergibt (III) : 8x + 2y = 8 Jetzt ist ein Gleichungssystem mit den 2(II) + 3(III): 30x = 30 zwei Gleichungen (II) und (III) und den x = 1 zwei Unbekannten x und y zu lsen. in (III): 8 + 2y = 8 [Vgl. dazu auch GM 8.5.] y = 0 in (I): z = 3 (1) 0 = 4 Die Lsung des Gleichungssystems ist das Zahlentripel (1 ; 0 ; 4), die Lsungsmenge L = {(1 ; 0 ; 4)}. 2. Lsungsmethode: Diese Lsungsmethode beruht auf dem Additionsverfahren. Ziel ist jeweils, dass nach der Addition zweier Gleichungen eine Variable wegfllt. Daher wird vor der Addition meist (mindestens) eine der zwei verwendeten Gleichungen mit einer geeigneten Zahl multipliziert.

(I) x + y + z = 3 | (4) | (9) (II) 4x 2y + z = 0 (III) 9x + 3y + z = 5 (I) x + y + z = 3 (II) 6y 3z = 12 | (1) (III) 6y 8z = 32 (I) x + y + z = 3 (II) 6y 3z = 12 (III) 5z = 20 (III) z = 4 in (II): 6y 12 = 12 y = in (I) : x + 0 + 4 = 3 x = L = {(1 ; 0 ; 4)}

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+

Das Gleichunund kann von

0 1

+

+

gssystem hat jetzt Dreiecksform unten nach oben gelst werden.

GM 9.5 Potenzen mit rationalen Exponenten Die n-te Wurzel Unter n a (sprich: n-te Wurzel aus a) versteht man fr n N \ {1} und a diejenige

nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz den Wert a hat. Fr n N \ {1} und a R ist also

+0R

+0

n a 0

und ( = a. Im Ausdruck )nn a n heit die Zahl bzw. der Term unter der Wurzel a Radikand. n bezeichnet man als Wurzelexponenten. Beispiele: 62163 = , weil 63 = 216 4 0016,0 = 0,2, weil 0,24 = 0,0016

Beachte: Auch wenn der Taschenrechner 3 8 ausrechnen kann, ist 3 8 dennoch nicht definiert!

Die Gleichung xn = a Die Gleichung xn = a kann zwei Lsungen, genau eine Lsung oder keine Lsung haben:

n gerade n ungerade

a > 0 L = { n a ; n } a L = { n } a

a = 0 L = {0} L = {0}

a < 0 L = { } L = { n a } Beispiele: L = 10x4 = { }4 10; 4 10

243x5 = L = { }364x6 = L = { } 12x3 = L = { }3 12

Potenzen mit rationalen Exponenten Wurzeln kann man auch als Potenzen schreiben:

n1

n aa = fr n N \ {1} und a R +0

und somit nm

n m aa = fr n N \ {1}, m Z und a R +

Mit dieser Festlegung kann man die Definition von Potenzen auch auf rationale Exponenten erweitern.

Beispiel: 44 343

51288 == Fr das Rechnen mit Potenzen mit rationalen Exponenten gelten die selben Gesetze wie fr das Rechnen mit Potenzen mit ganzzahligen Exponenten (vgl. GM 8.5): 1. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die gemeinsame Basis

beibehlt und die Exponenten addiert (subtrahiert). 2. Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert (dividiert), indem man die Basen

multipliziert (dividiert) und den gemeinsamen Exponenten beibehlt. 3. Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

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GM 9.6 Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:

Sinus eines Winkels = HypotenusederLnge

WinkelsdiesesteGegenkathederLnge

Kosinus eines Winkels = HypotenusederLnge

WinkelsdiesesAnkathetederLnge

Tangens eines Winkels = WinkelsdiesesAnkathetederLnge

WinkeldiesesteGegenkathederLnge C

b Mit den Bezeichnungen nebenstehender Figur gilt: a

casin = ,

cbcos = ,

batan =

A B c

Beispiele: 1. Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Lnge der Kathete a = 5 cm und die Gre des Winkels

= 70 bekannt. Damit kann man die fehlenden Seiten und Winkel leicht berechnen.

cm6,1470cos

cm5cos

accacos

=

==

cm7,1370tancm5tanababtan ===

oder: cm7,13)cm5()cm6,14(acbcb ==+a 2. Bei einem gleichschenkligen Dreieck ABC (vgl. Abbildung) betrgt die

Basislnge c = 8 cm, der Winkel an der Spitze = 30. Berechne die Schenkellnge, die Hhe und die Gre der Basiswinkel.

h

a

C

A

c B

== 75)180(21 (Winkelsumme im Dreieck)

Die Hhe h auf die Basis zerlegt das gleichschenklige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.

cm9,1475tancm8tanchc

htan 21

21

21

===

cm5,1575cos

cm4cos

ca

ac

cos 21

21

=

==

oder: ( ) ( ) cm4,15)cm4()cm9,14(chaach 2121 ++==+

Beachte: Wenn man mit gerundeten Werten weiterrechnet, knnen sich leicht abweichende Werte ergeben!

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Die Steigung einer Gerade Wir betrachten zunchst nur Geraden mit positiver Steigung: Die Steigung einer Gerade im Koordinatensystem ergibt sich aus dem Steigungsdreieck. Die dargestellte Gerade hat die Steigung

2

3

O

y

x

1

1

m = 32 .

Der Winkel zwischen der Geraden und der (nach rechts verlaufenden) x-Achse heit Steigungs-winkel der Geraden. Man findet ihn im Steigungs-dreieck wieder. Dort gilt:

32tan = .

Die Steigung einer Geraden ist also gleich dem Tangens des Steigungswinkels: m = tan Bemerkung: Diese Beziehung gilt auch, wenn die Steigung der Gerade negativ und der Steigungs-winkel grer als 90 ist. Zusammenhnge zwischen Sinus, Kosinus und Tangens Zwischen Sinus, Kosinus und Tangens bestehen folgende Zusammenhnge:

)90cos(sin,)90sin(cos ==

=cossintan

(Trigonometrischer Pythagoras) ( ) ( ) 1cossin 22 =+

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GM 9.7 Zusammengesetzte Zufallsexperimente Setzt sich ein Zufallsexperiment aus mehreren Schritten zusammen, so spricht man von einem zusammengesetzten oder mehrstufigen Zufallsexperiment. Zusammengesetzte Zufallsexperimente lassen sich durch Baumdiagramme veranschaulichen. Dabei vermerkt man an jedem Zweig die zugehrige Wahrscheinlichkeit. Der Summenwert der Wahrscheinlichkeiten auf den Zweigen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, muss dabei stets 1 betragen. Bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse helfen die sog. Pfadregeln: 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den

Zweigen des Pfades, der zu diesem Ergebnis fhrt. 2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der

zugehrigen Ergebnisse. Beispiele: 1. Florian geht aufs Oktoberfest. Er mchte dort am Schiestand eine Rose schieen. Nchtern hat er

eine Treffsicherheit von 80 %. Nach einer Ma Bier sinkt sie auf die Hlfte. Florian schiet einmal im nchternen Zustand und ein weiteres Mal nachdem er eine Ma Bier getrunken hat.

Baumdiagramm: T bedeutet Florian trifft. T ist das Gegenereignis von T, bedeutet also, dass Florian nicht trifft.

T

T

TT

0,6

0,2

0,40,4

0,8

T

T 0,6

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten:

A = Florian trifft bei beiden Schssen. A = {TT} P(A) = 0,8 0,4 = 0,32 = 32 %

B = Florian trifft nur beim zweiten Schuss. B = { T T} P(B) = 0,2 0,4 = 0,08 = 8 %

C = Florian trifft genau einmal. C = {T T ; T T} P(C) = 0,8 0,6 + 0,2 0,4 = 0,48 + 0,08 = 0,56 = 56 %

D = Florian trifft mindestens einmal. D ist das Gegenereignis von D = Florian trifft keinmal. P(D) = 1 P(D ) = 1 0,2 0,6 = 1 0,12 = 0,88 = 88 %

2. Mindestens einmal-Ereignisse Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit beim fnfmaligen Wrfeln mindestens eine 6 zu werfen? E = Beim fnfmaligen Wrfeln mindestens eine 6. E = Beim fnfmaligen Wrfeln keine 6. Zu E gehren im Baumdiagramm 31 ste, zu E gehrt dagegen nur ein Ast. Er trgt auf allen Zweigen die Wahrscheinlichkeit dafr, beim Wrfeln keine 6 zu werfen, also 6

5 .

Somit ist P(E) = 1 P(E ) = 1 ( 65 )5 59,8 %.

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GM 9.8 Fortfhrung der Raumgeometrie Das gerade Prisma Ein Krper, dessen Grund- und Deckflche zueinander parallele, kongruente n-Ecke und dessen Seitenflchen Rechtecke sind, heit gerades Prisma. Der Abstand der Deckflche von der Grundflche heit Hhe h des Prismas. Die Seitenflchen bilden zusammen den Mantel des Prismas, alle Flchen des Prismas bilden zusammen seine Oberflche. Fr das Volumen des Prismas gilt: Volumen = Grundflcheninhalt Hhe

V = G h Der gerade Kreiszylinder Jeder gerade Kreiszylinder hat als Grund- und Deckflche zueinander parallele Kreisflchen mit dem gleichen Radius r. Der Abstand der Deckflche von der Grundflche heit Hhe h des Zylinders. Schneidet man die Mantelflche lngs einer Mantellinie auf, so lsst sie sich zu einem Rechteck abrollen, dessen Seitenlngen die Zylinderhhe h und der Umfang U der Grundflche sind. Fr den Oberflcheninhalt gilt: O = 2r + 2rh Fr das Volumen des Zylinders gilt: Volumen = Grundflcheninhalt Hhe V = G h = rh Die Pyramide Eine Pyramide ist ein Krper, der von einem n-Eck als Grundflche und n Dreiecken als Seitenflchen berandet wird. Auch hier bilden die Seitenflchen den Mantel des Krpers. Mantelflche und Grundflche zusammen bilden die Oberflche der Pyramide. Die Seiten der Grundflche heien Grundkanten, die brigen Seiten der Seitenflchen heien Seitenkanten der Pyramide. Sind alle Seitenkanten gleich lang, so spricht man von einer geraden Pyramide. Der Abstand der Spitze von der Grundflche ist die Hhe h der Pyramide. Fr das Volumen der Pyramide gilt:

Volumen = 31

Grundflcheninhalt Hhe

V = 31 G h

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Der gerade Kreiskegel Ein gerader Kreiskegel ist ein Krper, der von einem Kreis mit der Radiuslnge r als Grundflche und einem Mantel berandet wird. Die Verbindungsstrecke der Spitze S mit dem Mittelpunkt des Grundkreises steht auf der Grundflche senkrecht. Die Lnge dieser Verbindungsstrecke heit Hhe h des Kegels. Grundflche und Mantelflche bilden zusammen die Oberflche des Kegels. Schneidet man den Mantel lngs einer Mantellinie (Lnge s) auf, so lsst er sich zu einem Kreissektor abrollen. Fr den Mantelflcheninhalt gilt: M = rs Fr den Oberflcheninhalt gilt: O = r + rs Fr das Volumen des Kegels gilt:

Volumen = 31

Grundflcheninhalt Hhe

V = 31 Gh =

31 rh

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GM 9.1 Quadratwurzeln und die Menge der reellen ZahlenQUADRATWURZELNDIE MENGE DER REELLEN ZAHLENGM 9.2 Die Satzgruppe des PythagorasGM 9.3 Quadratische Funktionen und GleichungenGM 9.4 Lineare Gleichungssysteme mit drei UnbekanntenGM 9.5 Potenzen mit rationalen ExponentenGM 9.6 Trigonometrie im rechtwinkligen DreieckGM 9.7 Zusammengesetzte ZufallsexperimenteGM 9.8 Fortfhrung der Raumgeometrie