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Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Hermite- und Smith-Normalform
Robert Meirich
11. Juli 2008
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Einleitung
Untersuchung von Gittern
Losen diophantischer Gleichungen
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Inhaltsverzeichnis
1 Theorie zur Hermite- und Smith-NormalformDefinition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
2 praktische Berechnung
3 Algorithmus von Micciancio und WarinschiSchema des AlgorithmusAddRowAddColumn
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Definition der Hermite Normalform
Definition (Hermite Normalform)
Eine Matrix mit vollem Zeilenrang hat Hermite Normalform, wennsie die Form [
B 0]
hat, wobei gilt
B ist nicht singulare, nicht negative, untere Dreiecksmatrix,
jede Zeile von B hat eindeutiges maximales Element auf derHauptdiagonalen.
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Hermite Normalform - Beispiele
12 0 0 01 4 0 04 1 19 03 0 1 5
1 0 0 00 2 0 00 0 1 0
123 32 115 323
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Existenz der Hermite Normalform - Satz
Satz
Jede rationale Matrix mit vollem Zeilenrang kann mit elementarenSpaltenoperationen in ihre Hermite Normalform transformiertwerden.
AU−−→ HNF (A)
Beweis.
Algorithmus zum Berechnen von HNF (A).
Schritt 1: Transformiere A in eine untere Dreiecksmatrix.
Schritt 2: Anpassen der Koeffizienten unterhalb derHauptdiagonalen.
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Existenz der Hermite Normalform - Satz
Satz
Jede rationale Matrix mit vollem Zeilenrang kann mit elementarenSpaltenoperationen in ihre Hermite Normalform transformiertwerden.
AU−−→ HNF (A)
Beweis.
Algorithmus zum Berechnen von HNF (A).
Schritt 1: Transformiere A in eine untere Dreiecksmatrix.
Schritt 2: Anpassen der Koeffizienten unterhalb derHauptdiagonalen.
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Existenz der Hermite Normalform - Satz
Satz
Jede rationale Matrix mit vollem Zeilenrang kann mit elementarenSpaltenoperationen in ihre Hermite Normalform transformiertwerden.
AU−−→ HNF (A)
Beweis.
Algorithmus zum Berechnen von HNF (A).
Schritt 1: Transformiere A in eine untere Dreiecksmatrix.
Schritt 2: Anpassen der Koeffizienten unterhalb derHauptdiagonalen.
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Existenz der Hermite Normalform - Satz
Satz
Jede rationale Matrix mit vollem Zeilenrang kann mit elementarenSpaltenoperationen in ihre Hermite Normalform transformiertwerden.
AU−−→ HNF (A)
Beweis.
Algorithmus zum Berechnen von HNF (A).
Schritt 1: Transformiere A in eine untere Dreiecksmatrix.
Schritt 2: Anpassen der Koeffizienten unterhalb derHauptdiagonalen.
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Existenz der Hermite Normalform - Satz
Satz
Jede rationale Matrix mit vollem Zeilenrang kann mit elementarenSpaltenoperationen in ihre Hermite Normalform transformiertwerden.
AU−−→ HNF (A)
Beweis.
Algorithmus zum Berechnen von HNF (A).
Schritt 1: Transformiere A in eine untere Dreiecksmatrix.
Schritt 2: Anpassen der Koeffizienten unterhalb derHauptdiagonalen.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Existenz der Hermite Normalform - Beweis Schritt 1
Transformiere A in untere Dreiecksmatrix mit positiverHauptdiagonale
b1 · · · bn
B
bi ≥ 0 ∀i = 1, . . . , n
b1 ≥ b2 ≥ . . . ≥ bn∑bi minimal
dann gilt
b1 > 0 (echt großer, sonst ist die Matrix singular)
b2 = b2 = . . . = bn = 0, sonst ist die Summe nicht minimal
Damit ist die aktuelle Zeile wie gewunscht reduziert.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Existenz der Hermite Normalform - Beweis Schritt 2
Anpassen der Koeffizienten unterhalb der Hauptdiagonalen
for spalten i = 2, . . . , n dofor spalten j = 1, . . . , i − 1 do
A·j ← A·j + zA·i , so dass 0 ≤ aij < aii
end
end
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Existenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = b
Korollar
Sei A ∈ Qm×n eine rationale Matrix und b ∈ Qm ein rationalerSpaltenvektor. Das System Ax = b hat eine ganzzahlige Losung xgenau dann, wenn gilt: yTb ist ganzzahlig fur jeden rationalenVektor y , fur den yTA ganzzahlig ist.
∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yTA ∈ Zn : yTb ∈ Z
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Beweis von Korollar
Korollar
∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yA ∈ Zn : yb ∈ Z
Beweis
(⇒) Ax = b hat ganzzahlige Losung x . Sei y rationalerZeilenvektor, so dass yA ganzzahlig ist.
zu zeigen: yb ist ganzzahlig.
Ax = b ⇒ yAx = yb,wegen yA und x ganzzahlig, ist (yA)x und damit auch ybganzzahlig.
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Beweis von Korollar
Korollar
∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yA ∈ Zn : yb ∈ Z
Beweis
(⇒) Ax = b hat ganzzahlige Losung x . Sei y rationalerZeilenvektor, so dass yA ganzzahlig ist.
zu zeigen: yb ist ganzzahlig.
Ax = b ⇒ yAx = yb,wegen yA und x ganzzahlig, ist (yA)x und damit auch ybganzzahlig.
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Beweis von Korollar
Korollar
∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yA ∈ Zn : yb ∈ Z
Beweis
(⇒) Ax = b hat ganzzahlige Losung x . Sei y rationalerZeilenvektor, so dass yA ganzzahlig ist.
zu zeigen: yb ist ganzzahlig.
Ax = b ⇒ yAx = yb,wegen yA und x ganzzahlig, ist (yA)x und damit auch ybganzzahlig.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Beweis von Korollar
Korollar
∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yA ∈ Zn : yb ∈ Z
Beweis
(⇒) Ax = b hat ganzzahlige Losung x . Sei y rationalerZeilenvektor, so dass yA ganzzahlig ist.
zu zeigen: yb ist ganzzahlig.
Ax = b ⇒ yAx = yb,
wegen yA und x ganzzahlig, ist (yA)x und damit auch ybganzzahlig.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Beweis von Korollar
Korollar
∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yA ∈ Zn : yb ∈ Z
Beweis
(⇒) Ax = b hat ganzzahlige Losung x . Sei y rationalerZeilenvektor, so dass yA ganzzahlig ist.
zu zeigen: yb ist ganzzahlig.
Ax = b ⇒ yAx = yb,wegen yA und x ganzzahlig, ist (yA)x und damit auch ybganzzahlig.
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yA ∈ Zn : yb ∈ Z
Beweis
(⇐) Es gilt: ∀y ∈ Qm, yTA ∈ Zn : yTb ∈ Z. zu zeigen :∃x ∈ Zn : Ax = b
∃x ∈ Qn : Ax = b ⇒ Zeilen von A sind linear unabhangig
Aquivalenz ist invariant unter elementaren Spaltenoperationen. Annahme: A = HNF (A).
B−1[B 0] = [I 0] ist ganzzahlig, nach Voraussetzung ist B−1b ganzzahlig (Zeilenweise gesehen)
es gilt
[B 0]
(B−1b
0
)= b
also ist x =
(B−1b
0
)die gesuchte ganzzahlige Losung.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yA ∈ Zn : yb ∈ Z
Beweis
(⇐) Es gilt: ∀y ∈ Qm, yTA ∈ Zn : yTb ∈ Z. zu zeigen :∃x ∈ Zn : Ax = b
∃x ∈ Qn : Ax = b ⇒ Zeilen von A sind linear unabhangig
Aquivalenz ist invariant unter elementaren Spaltenoperationen. Annahme: A = HNF (A).
B−1[B 0] = [I 0] ist ganzzahlig, nach Voraussetzung ist B−1b ganzzahlig (Zeilenweise gesehen)
es gilt
[B 0]
(B−1b
0
)= b
also ist x =
(B−1b
0
)die gesuchte ganzzahlige Losung.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yA ∈ Zn : yb ∈ Z
Beweis
(⇐) Es gilt: ∀y ∈ Qm, yTA ∈ Zn : yTb ∈ Z. zu zeigen :∃x ∈ Zn : Ax = b
∃x ∈ Qn : Ax = b ⇒ Zeilen von A sind linear unabhangig
Aquivalenz ist invariant unter elementaren Spaltenoperationen. Annahme: A = HNF (A).
B−1[B 0] = [I 0] ist ganzzahlig, nach Voraussetzung ist B−1b ganzzahlig (Zeilenweise gesehen)
es gilt
[B 0]
(B−1b
0
)= b
also ist x =
(B−1b
0
)die gesuchte ganzzahlige Losung.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
∃x ∈ Zn : Ax = b ⇐⇒ ∀y ∈ Qm, yA ∈ Zn : yb ∈ Z
Beweis
(⇐) Es gilt: ∀y ∈ Qm, yTA ∈ Zn : yTb ∈ Z. zu zeigen :∃x ∈ Zn : Ax = b
∃x ∈ Qn : Ax = b ⇒ Zeilen von A sind linear unabhangig
Aquivalenz ist invariant unter elementaren Spaltenoperationen. Annahme: A = HNF (A).
B−1[B 0] = [I 0] ist ganzzahlig, nach Voraussetzung ist B−1b ganzzahlig (Zeilenweise gesehen)
es gilt
[B 0]
(B−1b
0
)= b
also ist x =
(B−1b
0
)die gesuchte ganzzahlige Losung.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Definition : Gitter
Die Spaltenvektoren a1, . . . , an ∈ Qm einer Matrix A generiereneine Gruppe
Λ(A) = {λ1a1 + . . .+ λnan | λ1, . . . , λn ∈ Z}.
Die Gruppe heißt Gitter, wenn sie von linear unabhangigenVektoren erzeugt werden kann.
Wichtig: Wenn Matrix B aus Matrix A durch elementareSpaltenoperationen hervorgeht, erzeugen ihre Spalten die selbeGruppe bzw. das selbe Gitter.
AU−→ B ⇒ Λ(A) = Λ(B)
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Definition : Gitter
Die Spaltenvektoren a1, . . . , an ∈ Qm einer Matrix A generiereneine Gruppe
Λ(A) = {λ1a1 + . . .+ λnan | λ1, . . . , λn ∈ Z}.
Die Gruppe heißt Gitter, wenn sie von linear unabhangigenVektoren erzeugt werden kann.
Wichtig: Wenn Matrix B aus Matrix A durch elementareSpaltenoperationen hervorgeht, erzeugen ihre Spalten die selbeGruppe bzw. das selbe Gitter.
AU−→ B ⇒ Λ(A) = Λ(B)
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Definition : Gitter
Die Spaltenvektoren a1, . . . , an ∈ Qm einer Matrix A generiereneine Gruppe
Λ(A) = {λ1a1 + . . .+ λnan | λ1, . . . , λn ∈ Z}.
Die Gruppe heißt Gitter, wenn sie von linear unabhangigenVektoren erzeugt werden kann.
Wichtig: Wenn Matrix B aus Matrix A durch elementareSpaltenoperationen hervorgeht, erzeugen ihre Spalten die selbeGruppe bzw. das selbe Gitter.
AU−→ B ⇒ Λ(A) = Λ(B)
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Korollar - Gitter
Korollar
Wenn a1, . . . , an ∈ Qm rationale Vektoren sind, dann ist die vonihnen generierte Gruppe ein Gitter, wird also von linearunabhangigen Vektoren erzeugt.
Beweis.
Annahme: Λ(a1, . . . , an) volldimensional, sonst lineareTransformation A hat vollen Zeilenrang
sei [B 0] = HNF (A). Es ist Λ(B) = Λ(A) und die Spalten vonB sind linear unabhangig.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Korollar - Gitter
Korollar
Wenn a1, . . . , an ∈ Qm rationale Vektoren sind, dann ist die vonihnen generierte Gruppe ein Gitter, wird also von linearunabhangigen Vektoren erzeugt.
Beweis.
Annahme: Λ(a1, . . . , an) volldimensional, sonst lineareTransformation A hat vollen Zeilenrang
sei [B 0] = HNF (A). Es ist Λ(B) = Λ(A) und die Spalten vonB sind linear unabhangig.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Korollar - Gitter
Korollar
Wenn a1, . . . , an ∈ Qm rationale Vektoren sind, dann ist die vonihnen generierte Gruppe ein Gitter, wird also von linearunabhangigen Vektoren erzeugt.
Beweis.
Annahme: Λ(a1, . . . , an) volldimensional, sonst lineareTransformation A hat vollen Zeilenrang
sei [B 0] = HNF (A). Es ist Λ(B) = Λ(A) und die Spalten vonB sind linear unabhangig.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
System von Fundamentallosungen
Fur jedes rationale System Ax = b mit mindestens einerganzzahligen Losung existieren ganzzahlige Vektoren x0, x1, . . . , xt ,so daß
{x | Ax = b, x ganzzahlig } = {x0+λ1x1+. . .+λtxt | λ1, . . . , λt ∈ Z},
wobei x1, . . . , xt linear unabhangig sind und
t = ( Anzahl der Spalten von A)− rang(A)
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Eindeutigkeit der HNF
Satz
Seien A und A′ rationale Matrizen mit vollem Zeilenrang und mitHermit Normalformen [B 0] bzw. [B ′ 0]. Dann gilt. Die Spaltenvon A erzeugen das gleiche Gitter wie die Spalten von A′ genaudann, wenn B = B ′.
Λ(A) = Λ(A′) ⇐⇒ B = B ′
Korollar
Jede rationale Matrix mit vollem Zeilenrang hat eine eindeutigbestimmte Hermit Normalform.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Eindeutigkeit der HNF
Satz
Seien A und A′ rationale Matrizen mit vollem Zeilenrang und mitHermit Normalformen [B 0] bzw. [B ′ 0]. Dann gilt. Die Spaltenvon A erzeugen das gleiche Gitter wie die Spalten von A′ genaudann, wenn B = B ′.
Λ(A) = Λ(A′) ⇐⇒ B = B ′
Korollar
Jede rationale Matrix mit vollem Zeilenrang hat eine eindeutigbestimmte Hermit Normalform.
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Eindeutigkeit der HNF - Beweis
(⇐) Sei B = B ′. Zu zeigen: Λ(A) = Λ(A′)
AU−→ HNF (A) = [B 0]⇒ Λ(A) = Λ(B)
A′U−→ HNF (A′) = [B ′ 0]⇒ Λ(A′) = Λ(B ′)
⇒ Λ(A) = Λ(A′).
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Eindeutigkeit der HNF - Beweis
(⇐) Sei B = B ′. Zu zeigen: Λ(A) = Λ(A′)
AU−→ HNF (A) = [B 0]⇒ Λ(A) = Λ(B)
A′U−→ HNF (A′) = [B ′ 0]⇒ Λ(A′) = Λ(B ′)
⇒ Λ(A) = Λ(A′).
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Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Eindeutigkeit der HNF - Beweis
(⇐) Sei B = B ′. Zu zeigen: Λ(A) = Λ(A′)
AU−→ HNF (A) = [B 0]⇒ Λ(A) = Λ(B)
A′U−→ HNF (A′) = [B ′ 0]⇒ Λ(A′) = Λ(B ′)
⇒ Λ(A) = Λ(A′).
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.
Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′ii
Betrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
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Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
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Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
(⇒) Die Spalten von A und A′ erzeugen das gleiche Gitter. Zuzeigen: B = B ′.
Vorbemerkungen
Λ(B) = Λ(A) = Λ(A′) = Λ(B′)
Notation: B = (βij ) und B′ = (β′ij )
Widerspruchsbeweis. Annahme : B 6= B′.Betrachte unterschiedliche Koeffizienten in Zeile mit kleinstem Index
wahle i minimal, so dass βij 6= β′ij
o.B.d.A sei βii ≥ β′iiBetrachte die entsprechenden Spalten
bj ∈ Λ(B) und b′j ∈ Λ(B)
also bj − b′j ∈ Λ(B).
insbesondere bj − b′j eine Linearkombination der Spalten von B.
Nun gilt
B ist untere Dreiecksmatrix (da HNF)
der Spaltenvektor bj − b′j ist 0 in den ersten (i − 1) Eintragen
⇒ (bj − b′j ) ist ganzzahlige Kombination der Spalten i, . . . , n und βij − β′ij ist ganzzahliges Vielfaches von betaii
Das ist ein Widerspruch, denn
Fall 1 j = i , nach Annahme gilt βii > β′ii > 0, also βii > βii − β′ii > 0.
Fall 2 j < i , 0 ≤ βij < βii , und 0 < β′ij < β′ii ≤ βii , also βij − β′ij < βii
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Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Definition Hermite NormalformExistenz der Hermite NormalformExistenz einer ganzzahligen Losung fur Ax = bEinschub: GitterEindeutigkeit der Hermite NormalformSmith Normalform
Smith Normalform
Eine rationale Matrix liegt in Smith Normalform vor, wenn sie dieGestalt [
D 00 0
],
mit
D = diag(δ1, . . . , δk),
δ1, . . . , δk positiv rational, so dass δ1|δ2| · · · |δk .
Jede rationale Matrix kann durch elementare Zeilen- undSpaltenoperationen in Smith Normalform gebracht werden.
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Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
praktische Berechnung
Beispiel27 21 20 0 1110 25 22 11 4
3 7 28 21 213 19 7 16 20
31 16 29 19 16
→
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0
3095346 2808261 2427406 2477867 4860490
großter Koeffizient wahrend der Berechnung: 3890819406
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Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
Micciancio, Warinschi:”A linear space algorithm for computing the
Hermite Normal Form“ (2001)
Gegeben eine nichtsingulare, ganzzahlige n × n-Matrix, derenKoeffizienten durch M beschrankt sind, erfordert der Algorithmus
Speicheraufwand O(n2 log M)
Rechenaufwand O(n4 log2 M)
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Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
Zerlege A
A =
[B
at b
]
Berechne Hermite Normalform HB von B
AddRow: Berechne xT , so dass
Λ
([Bat
])= Λ
([HB
x t
])AddColumn: Berechne
HNF
([HB
x t b
])= HA
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
Zerlege A
A =
[B
at b
]Berechne Hermite Normalform HB von B
AddRow: Berechne xT , so dass
Λ
([Bat
])= Λ
([HB
x t
])AddColumn: Berechne
HNF
([HB
x t b
])= HA
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Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
Zerlege A
A =
[B
at b
]Berechne Hermite Normalform HB von B
AddRow: Berechne xT , so dass
Λ
([Bat
])= Λ
([HB
x t
])
AddColumn: Berechne
HNF
([HB
x t b
])= HA
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
Zerlege A
A =
[B
at b
]Berechne Hermite Normalform HB von B
AddRow: Berechne xT , so dass
Λ
([Bat
])= Λ
([HB
x t
])AddColumn: Berechne
HNF
([HB
x t b
])= HA
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
AddRow
Ziel:
Finde x t , so dass
Λ
([HB
x t
])= Λ
([Bat
])
Idee:
HB = BU x t = atU
Rechnung:
Berechne Losung y von Bty = a und anschließend x = Bt y
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
AddRow
Ziel:
Finde x t , so dass
Λ
([HB
x t
])= Λ
([Bat
])
Idee:
HB = BU x t = atU
Rechnung:
Berechne Losung y von Bty = a und anschließend x = Bt y
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
AddRow
Ziel:
Finde x t , so dass
Λ
([HB
x t
])= Λ
([Bat
])
Idee:
HB = BU x t = atU
Rechnung:
Berechne Losung y von Bty = a und anschließend x = Bt y
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
AddRow - Speicherkomplexitat
Suche Abschatzung fur x t = atHBB−1
B ∈ Zn×n mit |(B)ij | < M ⇒ |(B−1)ij | < det(B) = O(Mn)
h1, . . . , hn die Diagonalelemente von HB
|(B−1HB)ij | ≤ O(n∑
i=1
Dhi ) ≤ O(D2)
Damit gilt
|xi | ≤ V = O(nMD2) = O(nM2n+1),
und bit-Große von x ist O(n2 log M).
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
AddRow - Zeitkomplexitat
Berechne Bty = a und x = Bt y modulo geeigneter Primzahlenund rekonstruiere das Ergebnis nach der Methode des ChinesischenRestsatzes
O(log V ) Primzahlen zur Berechnung von x notwendig
damit großte Primzahl: log V log log V
jedes Gleichungssystem mod pi kann mit Gauß inO(n3 log2 pi ) gelost werden
AddRow benotigtO(log V )O(n3 log2(log V log log V )) = O(n4polylog(n,M))Rechenschritte.
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Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
AddColumn: Algorithmus in Pseudocode
setze H = [A|c], wobei c = [0, . . . , det[A|b]]T ;mn ← hn,n ;for i = n − 1 to 1 do mi = mi+1 · hi,i ;for j = 1 to n do
finde k, l , g , so dass khj,j + lbj = g = gcd(hj,j , bj) ;for i = j to n do
hi,j = khi,j + lbi ( mod mi ) ;bi = bihj,j/g − hi,jbj/g ( mod mi ) ;
endfor k = j + 1 to n do
q = hk,j ÷ hk,k ;for l = k to n do
hl,j = hl,j − qhl,k ( mod ml) ;end
end
end
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Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
AddColumn - Korrektheit
mk ist die Determinante der Submatrix, die denNonzero-Zeilen der letzten n − k + 1 Spalten von Hj
entspricht, also gehort (0, ..., 0,mk , 0, ..., 0)T zum Gitter, dasvon den letzten n − k + 1 Spalten von Hj generiert wird.den k-ten Eintrag eines Vektor modulo mk zu Reduzierenentspricht der Subtraktion eines entsprechenden Vielfachender letzten n − k + 1 Spalten von Hj
die Spaltenoperationen in Schritt (4,5,6,7) entsprechen derlinearen Transformation [
k −bj/gl hj ,j/g
]Determinante dieser Matrix ist 1 wegen der Definition vonk, l , g , es handelt sich also um eine unimodulare Matrix, diedamit also elementaren Spaltenoperationen entspricht.Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
AddColumn - Speicherkomplexitat
Große der Inputmatrix A ist O(n2 log M) (damit auch dieGroße von H)
for-Schleife (3) modifiziert j-te Spalte von H und den Vektorb. Eintrage sind durch mi beschrankt, Speicher fur beideVektoren ist
O(n∑
i=1
log mi ) = O(n log mn),
wegen m1 = det(H) ist das O(n2 log M)
wegen der Dreiecksreduktion in Zeile 8-11 benotigt [H|b]O(n2 log M) Speicher am Beginn jeder Iteration
alle Berechnungen in situ, Platzbedarf ist also O(n2 log M).
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform
Theorie zur Hermite- und Smith-Normalformpraktische Berechnung
Algorithmus von Micciancio und Warinschi
Schema des AlgorithmusAddRowAddColumn
AddColumn - Zeitkomplexitat
Hauptberechnung in Zeile 8− 11. Dreiecksreduktion benotigtO(n log2 D) = O(Mn) (da D = det(A))
der for-Loop in (6) benotigt O(n2 log2 M)
⇒ Gesamt: n(O(n log2 Mn) +O(n2 log2 M) = O(n4 log2 M)
Robert Meirich Hermite- und Smith-Normalform