heute
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Heute. Die Binomialverteilung Poissonverteilung Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Binomialverteilung. Man werfe eine Münze n mal und zähle die Häufigkeit k , mit der dabei „Kopf“ oben liegt. n = 4. n = 8. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Heute
Die Binomialverteilung
Poissonverteilung
Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Die Binomialverteilung
Man werfe eine Münze n mal und zähle die Häufigkeit k, mit der dabei „Kopf“ oben liegt.
Diskrete Verteilung, die mit zunehmendem n normal wird
0 1 2 3 4k
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
p
n = 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8k
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
p
0 1 2 3 4 56 7 8 91011121314151617181920212223242526272829303132k
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
p
n = 8 n = 32
Die Binomialverteilung
Man wiederhole ein Zufallsexperiment n mal und bestimme die Häufigkeit k, mit der ein bestimmtes Ereignis E eintritt.
Multiplikationssatz der WKn für unabhängige Versuche & Additionssatz auf die disjunkten Folgen anwenden!
Es sei: 1
P E p
P E p q
Bei n Wiederholungen kann das Ereignis „k-mal E“ auf genau n
k
Weisen eintreten. Da sich die einzelnen n über k Folgen gegenseitig ausschliessen, folgt mit dem Additionssatz:
k n knP k n p q
k
[Tafel-Entwicklung]
Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung
Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
Die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens k mal E auftritt, ist:
( )0
kj n j
j
nP j k n p q
j-
=
æö÷ç£ = ÷× ×ç ÷ç ÷çè øå
Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens k+1 mal E auftritt, ist:
( )
( )1
1
1
nj n j
j k
nP j k n p q
j
P j k n
-
= +
æö÷ç³ + = ÷× ×ç ÷ç ÷çè ø
= - £
å
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Parametern p und n.
Definition:
( ) x n xn
nf x p q
x-
æö÷ç= ÷× ×ç ÷ç ÷çè ø
definiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion, oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Binomialverteilung.
Sie tritt auf bei der Betrachtung der Anzahl der Erfolge einer Folge von unabhängi-gen Versuchen (Bernoulli-Folge), wobei p die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs bei einem Versuch ist und q = 1- p gilt. n ist die Anzahl der Wiederholungen des Ver-suchs. p und n sind die beiden Parameter der Binomialverteilung
Verteilungsfunktion
Verteilungsfunktion: Kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichte- funktion bis zu einer Grenze x.
Definition:
( )0
xk n k
nk
nF x p q
k-
=
æö÷ç= ÷× ×ç ÷ç ÷çè øå
definiert die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung.Allgemein:
Die Verteilungsfunktion ist die kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für Erfolge bis zu einer oberen Schranke x an.
( ) ( ) ( )0
x
n nk
F x P k x n f k=
= £ =å
Verteilungsfunktion für diskrete Variable
Mit der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeitfür beliebige Intervalle der Zufallsvariable bestimmen.
Es gilt für diskrete Zufallsvariablen:
( ) ( ) ( )1n n nf x F x F x= - -
Allgemeine Eigenschaften sind:
( ) { }( ) { }
( ) ( ) ( )
0 0
0 0
1. 0, für min
2. 1, für max
3.
n
n
u o n o n u
F x x x
F x x x
P x x x F x F x
= <
= =
< £ = -
Die Poissonverteilung
Sind einzelne Ereignisse selten, so kann die Wahrscheinlichkeit statt mit der Binomialverteilung über die Poissonverteilung ausgedrückt werden.
Die Poissonverteilung ist eine einfache Alternative zur Binomialverteilung für Seltene Ereignisse.
Gilt: 5n p
So approximiert die Possonverteilung die Binomialverteilung gut.
Die poissonverteilung hat nur den Parameter der sowohl Mittelwert wie Varianz beschreibt.
!
xef x
x
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
Vergleich: Binomial - Poisson
Fast exakte Übereinstimmung beider Verteilungen.
Für 100 0.012 1.2n p n p
Binomialverteilung
0.0000
0.1250
0.2500
0.3750
0.5000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Erfolge
WK
Poissonverteilung
0.0000
0.1250
0.2500
0.3750
0.5000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Erfolge
WK
Die Normalverteilung
2
1
21
2
x x
sf x es
Die Normalverteilung (Gauss‘sche Glockenkurve) ist eine symmetrische Verteilung. Ihre Form ist durch die Standardabweichung und den Mittelwert eindeutig festgelegt. Sie resultiert aus dem Modell unabhängiger sich überlagernder Zufallsfehler („Galton-Brett“)[Tafelbeispiel Galton, Binomial]
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80x
0.01
0.02
0.03
0.04
f (x)
Die Normalverteilung
( )2
1
21
2
x u x
sF x e dus p
æ ö- ÷ç- × ÷ç ÷÷çè ø
- ¥
=× ò
Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung (Fläche unter der Normalkurve) kann man nicht auf eine geschlossene Form bringen. Sie ist aber für standardisierte Variablen (z-Standardisierung) austabelliert und elektronisch implementiert (z.B. in Excel).
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 x
0.25
0.5
0.75
1.0
F(x)
Die Normalverteilung
Die Fläche unter der Kurve ist bei der Normalverteilung eine Funktion der Standardabweichung (in Einheiten von s angebbar)
21
21
2
zx xz f z e
s
[Tabellenbenutzung, Excel, Aufgabenbeispiel zu IQ‘s]
68.26%
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 -2 -1 1 2 3z
0.1
0.2
0.3
0.4
f(z)
95.5%
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
z
f(z)
z - Standardisierung
-15 -10 -5 0 5 10 150.00
0.05
0.10
Wa
hrs
che
inlic
hke
itsd
ich
te
xx
x
z - Standardisierung zur Überführung in Standardnormalverteilung
x xz
s
Wa
hrs
che
inlic
hke
itsd
ich
te-3z -2z -1z 0 1z 2z 3z
0.00
0.05
0.10
f (z)
xz
1z
z
f x
Wahrscheinlichkeitsbestimmung
Benutze austabellierte Standardnormalverteilung
0 0F z P z z
Verteilungsfunktion(Fläche der Dichtefunktion)
Eigenschaften
0F
1F
a b b aP z z z F z F z
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
zbza
Approximation der Binomialverteilung
Die Binomialverteilung hat ebenfalls Mittelwert und Varianz:
2
n p
n p q
Gilt 9n p q so kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden.
Dann gilt ; ;B n p N
[Beispiele]
Fehler 1. und 2. Art
In der Population gilt
Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn
Correct
Rejection
Miss
(Fehler 2. Art)
False Alarm
(Fehler 1. Art)
Hit
H0 H1
H0
H1
Entscheidung für 0 0HP H
1 0HP H 1 1HP H
0 1HP H
Mittelwerteabstand aus WK
Tatsächlich gilt
Wie groß ist der Mittelwerteabstand der Likelihoodfunktionen ?
0.59 0.077
0.41 0.923
H0 H1
H0
H1
Entscheidung für
0 0HP H
1 0HP H 1 1HP H
0 1HP H
Man klassifiziere man nach „Distraktor“ (H0) und „Target“ (H1)
1 1
Mittelwerteabstand
z - Berechnung für jede einzelne Verteilung
H0 – Verteilung:
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
p = 0.59
z0 = F-1{0.59} = 0.23
Correct Rejection
H1 – Verteilung:
p = 0.59
z1 = F-1{0.077} = -1.43
Miss
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
p = 0.077
Abstand in z- Standardisierung
Annahme: beide Likelihoodfunktionen haben dieselbe Varianz
Nun betrachte im z1 Wert den Abstand des Kriteriums k in Bezug auf 0:
Es gilt: 00
kz
Ferner: 11
kz
0 1 0 0 1 01
k kz
1 0 'z z d
0 1'd z z (standardisierter Abstand)