impulsverzerrungen © roland küng, 2009. Übertragungssystem basisband 2 fragen: wie filtere ich im...
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Impulsverzerrungen
© Roland Küng, 2009
Übertragungssystem Basisband
n(t) ~
p(t)
1 1 0 1 0 0 1 ...
s(t)
Modulator Pulsformung
Übertragungskanal
se(t) C(f)
d[n]
Datenquelle, Takt fc = 1/T
Empfangs- filter
H(f) H(f)
Detektion
... 1 1 0 1 0 0 1
d‘[n]
Datensenke
~ ~ ne(t)
Sender Empfänger
Abtastung Takt fs = 1/T
2 Fragen:
• Wie filtere ich im Empfänger so, dass das S/N für den gegebenen Sendeimpuls maximal wird.
• Wie forme ich die Impulse aus der Leitungscodierung so, dass beim Abtasten im Empfänger keine Interferenz durch Impuls-Verschmierung auftritt
Aufsplitten der Problematik
• Beschränkung Rauschbandbreite• Pulsformung für optimales Abtasten
S(f): Pulsspektrum SendesignalC(f): Frequenzgang KanalH(f): Frequenzgang Empfangsfilter
Design Empfangsfilter : 2 Challenges
gefiltert
Optimales Filter = Matched Filter
Optimale Filterung intuitive:
Man gewichtet im Frequenzgang des Filtersgenau jene spektralen Anteile, die vom Sendepuls belegt sind und zwar proportional der Belegungsstärke !
Amplitudengang des Filterspektrum H(f)= Amplitudengang Pulsspektrum S(f) Nach dem Filter detektiert man die Signalenergie S2(f) des Pulses
1. Problem: Noise minimieren
s(t)
¦S(f)¦
Matched Filter (MF)
Matched Filter mathematisch:
S(f): Pulsspektrum SenderC(f): Frequenzgang KanalH(f): Frequenzgang Empfangsfilter
)f(S)f(C)f(H)f(P
Zum Zeitpunkt T soll vor dem Abtaster das Verhältnis des Effektivwert des Impulses p(T) zum Rauschsignal n(t) maximal werden
Anders formuliert: Signal/Geräuschverhältnis S/N von p(t) zur Zeit T soll maximal werden
P(t) mit Spektrum
Matched Filter (MF)
Matched Filter mathematisch aber ohne Beweis:
Tf2jTf2je e)f(C)f(Se)f(S)f(H
)t(n
)T(p
N
S2
2
wird maximal wenn gilt:
das heisst:
sonst,0
Tt0),tT(s)t(h e Mit C(f) = 1 vereinfacht sich:
se(t) = s(t)
sonst,0
Tt0),tT(s)t(h
Beispiel Matched Filter
Beispiel Matched Filter
T t0 2T
)()()( thtsty opti 2A
T/2 3T/2
2
2AT t
)(thopt
TT/2
TA
TA
T t
)(tsi
T/2
TA
TA
S/N am Ausgang des MF
0
s2
00
2
out N
E2dt)t(s
N
2df
2/N
)f(S
N
S
Das S/N ist unabhängig von der Pulsform! Eine Erhöhung ist nur durch Erhöhung der Symbolenergie möglich, also durch mehr mittlere Signalleistung oder längere Symboldauer.
Man kann zeigen, dass gilt
BTN
E
N
S
0
s
out
T2
1B
N0 = einseitige Rauschleistungsdichte
Es = Impulsenergie von s(t)
umgeformt: d.h. MF Bandbreite ist immer
Matched Filter … Korrelator
Mathematisch äquivalent zur Zeit t=nT: Der Korrelator
Allg. Def: Sender liefert Impuls s1(t) oder Impuls s2(t) MF wird auf die Differenz s1(t) – ss(t) entworfen
vgl. Faltung und Korrelation
MF – Korrelator: Handhabung
MF
Kor
MF für Rechteckimpuls
s(t) Rechteck-Impulse:
MF Stossantwort: Rechteckimpuls Amplitudengang: sinx/x
Realisation: Integrate & Dump
Korrelator ist identisch mit MF
MF: Intersymbol Interferenz Problem
s(t) Wahl: sinx/x-Impulse:
MF Stossantwort: sinx/xAmplitudengang: RechteckRealisation: TP sehr hoher Steilheit
Leider: Dauer Impulsantwort >> Bitdauer
Problem Nr. 2 :
Pulsübersprechen auf Nachbar Bitd.h. Intersymbolinterferenz ISI
f
T
Auch bei andern Pulsformenz.B. Rechteckpuls nach RC-Tiefpass
Lösungsansatz Nyquist Kriterien
-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T
0
0.5
1
t
-1.5/T -1/T -0.5/T 0 0.5/T 1/T 1.5/T
0
0.5
1
f
0n0
0n1)nT(p
1. Kriterium
Bsp p tt T
t T( )
sin( / )
/
Spektrum
Zeit
-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Augendiagramm
Kriterium vertikal: okayVolle ÖffnungEntscheider: Schwelle bei 0.5
Problem bei Signal Jitter (horizontal)Jitter z.B durch Taktregeneration
-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
-1.5/T -1/T -0.5/T 0 0.5/T 1/T 1.5/T
0
0.5
1
f
-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T
0
0.5
1
t
Nyquist Kriterien
2. Kriterium
Bsp: Spektrum
Zeit
Augendiagramm
...,2n0
1n5.0
0n1
)2/nT(p
p tt T
t T
t T
t T( )
sin( / )
/
cos( / )
( / )
1 4 2
Spektrum breiter: Raised Cosine
Tf
TfTffP
/
/)cos()(
1
1
0
1
-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
-1.5/T -1/T -0.5/T 0 0.5/T 1/T 1.5/T
0
0.5
1
f
-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T
0
0.5
1
t
Nyquist Kriterien
Bsp. Fig. = 0.5
Spektrum
Zeit
Augendiagramm
Kompromiss:
1. Nyquist Krit. ganz erfüllen2. Nyquist Krit. so gut wie möglich
Bandbreite einstellen mit Roll-off Faktor
T2
1f
T2
1f
T2
1T2
1f0
0
T2
1f
Tcos1
1
)f(P
Spektrum allg:
2)T/t(41
)T/tcos(
T/t
)T/tsin()t(p
Root Raised Cosine und MF
Rauschen macht das Auge zu!
Matched Filter für P(f) verwenden
-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Da nach dem Matched Filter entschieden wird, sind eigentlich 2 Filter in der Übertragungsstrecke:Das Sendepuls formende Filter und das passende MF.Verteilen der Nyquist Impulsform auf Sender und Empfänger in gleichem Mass:
)f(P)f(S)f(H Root Raised Cosine Filter
P.S. Übrige Filter im System tendenziell breitbandig halten kaum ISI
Bitfehler-Wahrscheinlichkeit
Bit Error Rate = BER
Entscheidende Frage:
Welche BER kann man für ein gegebenes S/N bekommen,wenn man alles richtig macht ?
-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T
-0.5
0
0.5
1
1.5
t
Signalwerte
Schwelle Standardabweichung
Bitfehler-Wahrscheinlichkeit
0022
1])[]['(
N
EQ
N
EQ
N
SQmdmdPBER bs
P(d[m]=1)
P(d[m]=0)
P(d‘[m]=1)
P(d‘[m]=0)
P(1|1)
P(0|0)
P(0|1)P(1|0)
Es = SymbolenergieEb = Bitenergie (Energie/Bit)N0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig)
Unipolar (0/1)
Eb = Es/2(muss statistisch auf 2 Bit verteilt werden)
0
2
N
E
N
S s
out
MF:
Bitfehler-Wahrscheinlichkeit
Es = SymbolenergieEb = BitenergieN0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig)
0
b
0
s
N
E2Q
N
E2Q
N
SQ])m[d]m['d(PBERbipolar (+1/-1)
Vergleich mit unipolar: Gleiche BER erreichbar für ¼ S/N, bzw. ½ Eb/N0
Eb = Es
0
2
N
E
N
S s
out
MF:
Bitfehler-Wahrscheinlichkeit
BER - Allgemeiner Fall
T
0
221d dt)t(s)t(sE
0
d
N2
EQ])m[d]m['d(PBER
Verwendete Symbole
The 100 $ Question
s
T
0
2T
0
221d E4T4dt2dt)t(s)t(sE
0
d
N2
EQBER
Ist es besser unipolar mit 2 V Amplitude zu senden oder bipolar mit ±1 V
0
b
0
s
N
E4Q
N2
E4QBER
Scheint wie bipolar zu sein
Der Schein trügt: Ja es ist besser punkto BER bezogen auf Energie pro BitDas Matched Filter liefert S/N = Ed/2N0 und Ed ~ Amplitude2
Nachteile: Keine Referenz für Entscheider bei Fading, Doppelter Leistungsverbrauch (4fach Peak Power)
Check:
No free lunch !
Summary
1. Ein Optimalfilter (Matched Filter) ist eine Art Mittelungsfilter2. Es maximiert das Signal zu Geräuschverhältnis des Empfangsignals3. Das Matched Filter minimiert die BER des Empfangsignals.
Die BER Gleichungen gehen immer von der Annahme aus, dass ein Matched Filter verwendet wurde
4. Seine Stossantwort ist die zeitlich gespiegelte Form des gesendeten Signals. Ist die Stossantwort symmetrisch, so kann dasselbe Filter für Empfänger und Sender benutzt werden
5. Root raised cosine Filter ist ein solches Matched Filter, welches auch noch die Intersymbol Interferenz reduziert
6. Integrate & Dump Filter sind nur für Rechtecksignale Matched Filter7. Weitere systembedingte Filter (Kanal) machen das Optimalfilter
nicht ideal aber sind meist immer noch der beste Praxis Ansatz