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Inhalt
Vorwort
Analysis 1
1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Grundbegriffe reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Katalog der Elementarfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Eigenschaften reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Funktionenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Differenzialrechnung bei ganzrationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 Steigung und Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Monotonie und Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Krümmung und Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Kriterien der Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7 Diskussion ganzrationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8 Graphen ganzrationaler Funktionen dritten und vierten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9 Ganzrationale Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.10 Extremwert- und Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.11 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . 61
3.1 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Exponentialfunktionen und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Kurvendiskussion verknüpfter Funktionen . . . . . . . . . . . . . 65
4 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Flächenberechnung mithilfe von Stammfunktionen . . . 75
Stochastik 79
1 Zufallsexperiment und Ereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.1 Ergebnisraum eines Zufallsexperiments . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.2 Ereignisse und Ereignisraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2 Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit . . . 91
2.1 Relative Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.2 Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3 Laplace-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.4 Mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln . . . . . . . 97
2.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3 Grundlagen der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1 Allgemeines Zählprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2 Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4 Bernoulli-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeits- verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6 Beispiele zur Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 Testen von Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2 Linksseitiger Signifikanztest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3 Rechtsseitiger Signifikanztest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.4 Zusammenfassung und weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 135
Analytische Geometrie 139
1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
1.1 Elementare Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
1.2 Der Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
1.3 Überbestimmte und unterbestimmte lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2 Vektoren im 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.1 Der Vektorbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.2 Addition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.3 Die S-Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.4 Der Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren, Basis und Dimension eines Vektorraums . . . 160
2.6 Punkte und Vektoren im Koordinatensystem . . . . . . . . . . 167
3 Produkte von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.1 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.2 Berechnung von Längen und Winkeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.3 Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.4 Berechnung von Flächeninhalten und Volumina . . . . . . . 181
4 Geraden und Ebenen im 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.1 Geradengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.2 Ebenengleichung in Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.3 Ebenengleichung in Koordinatenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.4 Ebenengleichung in Achsenabschnittsform . . . . . . . . . . . . 193
4.5 Ebenengleichung in Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.6 Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden . . . . . . . . . . . . . 198
4.7 Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen . . . . . . . . . . . . . . 202
4.8 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene . . . . . . . . 206
4.9 Weitere geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.10 Gleichungen von Geraden und Ebenen mit Formvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Autoren: Dieter Pratsch und Alfred Müller
Hinweis:
Die entsprechend gekennzeichneten Kapitel enthalten ein Lernvideo. An den jeweiligen Stellen im Buch be-findet sich ein QR-Code, der mit einem Smartphone oder Tablet gescannt werden kann. Im Hinblick auf eine eventuelle Begrenzung des Datenvolumens wird empfohlen, beim Ansehen der Videos eine WLAN-Verbin-dung zu nutzen. Falls keine Möglichkeit besteht, den QR-Code zu scannen, sind die Lernvideos auch auffindbar unter:
Vorwort
Liebe Schülerinnen und Schüler,
dieser Band der Reihe KOMPAKT bietet Ihnen den für die Fach-abiturprüfung an den bayerischen Fach- und Berufsoberschulen notwendigen Unterrichtsstoff. Die Analysis ist dabei für alle Aus-bildungsrichtungen relevant, die Stochastik nur für die nichttech-nischen Ausbildungsrichtungen und die Analytische Geometrie nur für die Ausbildungsrichtung Technik.
• Alle prüfungsrelevanten Inhalte des LehrplanPLUS werdenverständlich erklärt. Somit wird das Wissen vermittelt, dasfür die Bearbeitung kompetenzorientierter Aufgaben erforder-lich ist.
• Wichtige Definitionen und Merksätze sind hervorgehoben.
• Durch charakteristische und prägnante Beispiele aus der Schul-praxis wird der Unterrichtsstoff verdeutlicht.
• Viele Schaubilder und Grafiken veranschaulichen den Stoffzusätzlich.
• Die getrennten Stichwortverzeichnisse zur Analysis, Stochas-tik bzw. Analytischen Geometrie führen schnell und treffsicherzum jeweiligen Stoffinhalt.
Zu ausgewählten Themen gibt es Lernvideos und Animationen, in denen wichtige Zusammenhänge dargestellt werden. An den entsprechenden Stellen im Buch befindet sich ein QR-Code, der mit einem Smartphone oder Tablet gescannt werden kann. Eine Zusammenstellung aller Videos und Animatio-nen ist über den nebenstehenden QR-Code abrufbar.
Somit ist dieses Buch ideal zum schnellen Nachschlagen von Be-griffen, zur zeitsparenden Wiederholung von Unterrichtsstoff und zur intensiven Vorbereitung auf Schulaufgaben, schriftliche Leis-tungsnachweise und die Fachabiturprüfung.
Ihr
Dieter Pratsch
3 1 Ganzrationale Funktionen
In der Analysis werden als wesentliche Inhalte Funktionen, ihre Eigenschaften und ihre Anwendungen auf mathematische und außermathematische Probleme betrachtet. Im Folgenden werden von der Definition der Funktion ausgehend grundlegende Begriffe geklärt und Verknüpfungen der Funktio-nen aus dem Katalog der Elementarfunktionen und die daraus ge-wonnenen Eigenschaften ganzrationaler Funktionen untersucht.
1.1 Grundbegriffe reeller Funktionen
Funktion Eine Funktion f ordnet die Elemente einer Menge Df (Defini-tionsmenge) eindeutig den Elementen einer Menge Wf (Wer-temenge) zu. Die Funktion heißt reelle Funktion, wenn Df und Wf Teil-mengen der Menge der reellen Zahlen sind, d. h. Df ⊆ 0 und Wf ⊆ 0 gelten.
Man schreibt: f : x f (x)� Funktionszuordnung y = f(x) Funktionsgleichung
f ff {(x y) x D y W y f (x)}| |= ∈ ∧ ∈ ∧ = Funktion
Die Variable x ∈ Df wird unabhängige Variable genannt. Die Variable y ist abhängig davon, was für x in den Funktionsterm f(x) eingesetzt wird und heißt Funktionswert. Die zusammen-gehörenden Paare (x | y) kann man in ein rechtwinkliges (kar-tesisches) Koordinatensystem eintragen. Es ergibt sich der Graph Gf der Funktion f.
4 Ganzrationale Funktionen
f: 31 2
2 2x x x− −� bzw.
31 2f f2 2
y f (x) x x , D , W [ 2; [= = − − = = − ∞0
Graph:
Anhand des Graphen klären wir weitere Grundbegriffe:
Schnittpunkte mit den Achsen Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen): y = f(x) = 0 Schnittpunkte mit der y-Achse: x = 0
Für die Funktion mit der Gleichung
31 22 2
f (x) x x= − − bedeutet dies:
1. 31 22 2
x x 0 x 1 x 3− − = ⇒ = − ∨ =
Somit schneidet der Graph von f die x-Achse in den Punkten
1 2N ( 1 0), N (3| |− 0).
2. 32
y f (0)= = −
Also schneidet der Graph von f die y-Achse im Punkt
( )T 0 .32−
Beispiel
Beispiel
81 1 Zufallsexperiment und Ereignis
1.1 Ergebnisraum eines Zufallsexperiments
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Stochastik beschäftigt sich mit der Erforschung zufälliger Erscheinungen, um aus ihnen Vorhersagen für die Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens zu machen. Dazu wird eine Reihe von Grundbegriffen benötigt. Es gibt viele Experimente, z. B. in der Physik, bei denen unter bestimmten Voraussetzungen das Ergebnis genau vorausgesagt werden kann. In der Stochastik gilt dagegen:
Zufallsexperiment und Ergebnisraum Ein Experiment, bei dem der einzelne Ausgang nicht voraus-sagbar ist, heißt Zufallsexperiment. Jeder mögliche Ausgang des Zufallsexperiments heißt Ergebnis ω. Die Menge Ω = {ω1; ω2; …; ωn} aller möglichen Ergebnisse eines Zu-fallsexperiments heißt Ergebnisraum (Ergebnismenge), wobei | Ω |, die Mächtigkeit des Ergebnisraumes, die Anzahl der möglichen Ergebnisse in Ω angibt.
Einmaliges Ziehen aus einer Urne mit acht gleichartigen Kugeln, von denen fünf rot (r), zwei schwarz (s) und eine grün (g) sind. Ω = {r; s; g} ⇒ | Ω | = 3 Dabei ist eine Urne als Zufallsgerät so beschaffen, dass sie Ku-geln gleicher Größe und Beschaffenheit enthält, die sich nur durch ein Merkmal wie Farbe, aufgeschriebene Zahl etc. unter-scheiden. Aus dieser Urne soll ein Ziehen so möglich sein, dass man erst nach dem Ziehen feststellen kann, welches Merkmal die Kugel trägt.
Beispiel
82 Zufallsexperiment und Ereignis
Mehrstufiges Zufallsexperiment und Baumdiagramm Ein Zufallsexperiment heißt mehrstufiges Zufallsexperi-ment, wenn es aus mehreren Schritten besteht. Dabei können verschiedene Zufallsexperimente hintereinander oder ein ein-zelnes mehrmals ausgeführt werden. Mehrstufige Zufallsexpe-rimente können mithilfe eines Baumdiagramms dargestellt werden.
1. Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen und die
jeweils oben liegenden Seiten (Zahl Z oder Wappen W) wer-den als Paare angegeben. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und bestimmen Sie den Ergebnisraum.
Lösung:
Ω = {ZZ; ZW; WZ; WW}
2. Aus einem Lostopf mit einem Gewinnlos und fünf Nieten werden zwei Lose nacheinander gezogen. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm und bestimmen Sie den Ergebnisraum.
Lösung:
Ω = {NN; NG; GN}
Das Ergebnis GG ist nicht möglich.
Beispiel
141 1 Lineare Gleichungssysteme
1.1 Elementare Lösungsverfahren
Aus dem Mathematikunterricht der Mittelstufe sollte der Begriff des linearen Gleichungssystems zumindest in der Form von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten geläufig sein.
Eine Aussageform { 11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
a x a x ba x a x b
+ =+ =
mit reellen Koeffizienten aij, bi und den reellen Unbekannten x1 und x2 heißt lineares Gleichungssystem, bestehend aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Auch die elementaren Lösungsverfahren für lineare Gleichungs-systeme, das Einsetzverfahren, das Gleichsetzverfahren und das Additionsverfahren, sollten bereits bekannt sein. Diese werden im Folgenden noch einmal kurz dargestellt. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Glei-chungssystems:
1 2
1 2
I 3x x 2II 5x 6x 11
− =+ =
Einsetzverfahren Beim Einsetzverfahren wird eine Gleichung nach einer Unbe-kannten aufgelöst und diese dann in die andere Gleichung ein-gesetzt. In diesem Beispiel kann die erste Gleichung besonders einfach nach x2 aufgelöst werden: x2 = 3x1 – 2. Eingesetzt in II:
1 1
1
1
1 2
5x 6 (3x 2) 1123x 12 11
23x 23x 1 x 3 1 2 1 L {(1 1)}
+ ⋅ − =− =
=|= ⇒ = ⋅ − = ⇒ =
Beispiel
142 Lineare Gleichungssysteme
Gleichsetzverfahren Beim Gleichsetzverfahren werden beide Gleichungen nach der-selben Unbekannten aufgelöst und anschließend gleichgesetzt. Löst man beide Gleichungen nach x2 auf, erhält man:
2 1 5 115 11 1 16 62 16 6
5 111 16 6
23 2316 6
1
I x 3x 23x 2 xx xII
3x x 2
x
x 1 in I
= − ⎫⎪⇒ − = − +⎬= − +
⎪⎭ + = +
==
2x 3 1 2 1 L {(1 1)}|⇒ = ⋅ − = ⇒ =
Additionsverfahren Beim Additionsverfahren werden beide Gleichungen durch Multiplikation mit geeigneten Faktoren so umgeformt, dass bei anschließender Addition (oder Subtraktion) eine Unbekannte eliminiert wird.
1 2
1 2
1
1
6 I 18x 6x 125x 6xII 11
23x 23x 1 in I
⋅ − = ⎤ +⎥+ = ⎦
==
2 2 23 1 x 2 x 1 x 1 L {(1 1)}|⇒ ⋅ − = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =
Anmerkung: Das Ziel aller Verfahren ist es, die Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten jeweils um eins zu reduzieren.
Für ein lineares Gleichungssystem, bestehend aus zwei Glei-chungen mit zwei Unbekannten, gibt es eine geometrische Ver-anschaulichung. Jede der beiden Gleichungen beschreibt eine Gerade im 02, die Lösungsmenge gibt die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden an.
Lineare Gleichungssysteme 143 Im Beispiel von Seite 141 erkennt man diese geometrische Deu-tung besonders einfach an den nach x2 aufgelösten Gleichungen beim Gleichsetzverfahren. Ersetzt man hier noch die Unbekann-ten x2 durch y und x1 durch x, so erhält man zwei Geradenglei-chungen in der üblichen Form y = mx + t, die eine grafische Ver-anschaulichung ermöglicht:
5 116 6
I y 3x 2
II y x
= −= − +
Schnittpunkt S(1 | 1)
Für die Lage von zwei Geraden im 02 gibt es drei Möglichkei-ten, denen jeweils eine spezifische Lösungsmenge des zugehöri-gen linearen Gleichungssystems entspricht:
Die Geraden
Das lineare Gleichungs-system besitzt
• schneiden sich in einem Punkt; • sind parallel; • sind identisch.
• genau eine Lösung; • keine Lösung; • unendlich viele
Lösungen.
Beispiel
