innenwiderstand von messgeräten - physiksaal.de · 5) gleichspannungs-voltmeter 10v typ weigel...
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copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
1 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Innenwiderstand von Messgeraumlten
1 Versuchszweck
Ziel des Versuches ist zu zeigen daszlig der Einsatz von Messgeraumlten nicht nur wohl
durchdacht sein muszlig sondern auch die Ergebnisse ganz erheblich vom Messaufbau
und den Eigenschaften der Geraumlte abhaumlngen
Eine scheinbar triviale Spannungsmessung zeigt dies recht eindrucksvoll
2 Messtechnik und Messgeraumlte
Das Experiment ist in der Physik ein wichtiges Instrument wenn es darum geht
alltaumlgliche oder spezielle Beobachtungen aus allen Bereichen der Natur-
wissenschaften unter kontrollierten Bedingungen (also zB in einem Labor) nach-
zustellen So ist es haumlufig uumlberhaupt erst moumlglich Messungen anzustellen und aus
den Messgroumlszligen und deren Abhaumlngigkeiten und Verlaumlufen auf resultierende
Gesetzmaumlszligigkeiten schlieszligen zu koumlnnen
Gerade bei physikalischen Groumlszligen die mit den menschlichen Sinnen nicht
wahrgenommen werden koumlnnen aber auch um qualitative Aussagen zu einer Groumlszlige
machen zu koumlnnen bedient man sich unterschiedlichster Messgeraumlte und Verfahren
Dabei geht man scheinbar selbstverstaumlndlich von der Verlaumlsslichkeit der so
gewonnenen Messwerte aus was aber keinesfalls so sicher ist
Erfahrene Elektrotechniker wissen
Wer misst misst Mist
Damit ist gemeint daszlig ganz allgemein in der Physik jede Messung einer Groumlszlige
direkten Einfluss auf die Versuchsanordnung und die beteiligten Groumlszligen selbst
nimmt Und damit natuumlrlich letztlich Jede Messung einer Groumlszlige veraumlndert die Groumlszlige
selbst Das scheint dem Sinn der eigentlichen Messung entgegen zu stehen ist
jedoch schlicht und einfach als gegebener Umstand hinzunehmen und folglich bei
der Auswertung und Interpretation zu beachten
Ein Beispiel aus dem Alltag
Die Temperatur einer Tasse Kaffee soll gemessen werden Nun glaubt man ja das
ist einfach Thermometer in die Tasse halten und nach einer gewissen Zeit ablesen
Nimmt man es jedoch ganz genau dann hat man schon damit die Messung
verfaumllscht denn es ist anzunehmen daszlig das kalte Thermometer den Kaffee
zusaumltzlich abkuumlhlt und so eine zwar korrekte augenblickliche Temperatur zeigt diese
jedoch ohne Messung ganz anders ausgesehen haumltte Der Einfluss wird im taumlglichen
Leben bei dieser Messung zwar gering ausfallen aber er ist unweigerlich da und
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2 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
zeigt schnell das Hauptproblem von Messungen ganz allgemein Haumltte ein Infrarot-
thermometer hier wohl eine unabhaumlngigere Messung erlaubt
Generell treten also immer Messfehler oder besser gesagt Messabweichungen1 auf
die unterschiedlichen Ursprung haben letztlich aber immer zum gleichen Ergebnis
fuumlhren Eine exakte Messung gibt es nicht
Man unterscheidet zwischen dem wahren Wert dem richtigen Wert und
schlieszliglich dem angezeigten Wert einer Messung
Der wahre Wert interessiert uns zwar am meisten ist jedoch wie bereits angedeutet
nicht zu ermitteln und damit haumlufig einfach unbekannt
Der richtige Wert ist eine Groumlszlige die eine fehlerfreie Messanordnung anzeigen wuumlrde
oder auch der Vergleich mit einem Normal - Zusammengefasst eine dem wahren
Wert sehr nahe kommende Groumlszlige - aber eben nur nahe kommend
Der angezeigte Wert ist der von einer Messanordnung ermittelte Messwert also das
was ein Messgeraumlt anzeigt - daher ja der Name
Im Zusammenhang mit der Angabe von Messfehlern ergeben sich daraus zwei
weitere Angaben
1) Absolute Abweichung
Der absolute Fehler einer Messung ist die Abweichung von angezeigtem zu richtigem
Wert
mit xr richtiger Messwert
xa angezeigter Messwert
2) Relative Abweichung
Der relative Fehler einer Messung wird durch folgende Gleichung mit dem
angezeigten Wert prozentual vom richtigen Wert bestimmt
mit xr richtiger Messwert
xa angezeigter Messwert
1 vgl dazu DIN 1319
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3 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Genauen Versuchsauswertungen liegen immer Fehlerberechnungen2 zugrunde Hier
wird versucht mathematisch Fehler der Messung und des Versuchsaufbaus zu
erfassen und bei der Auswertung zu beruumlcksichtigen Man erhaumllt so eine gewisse
Bandbreite in deren Grenzen sich der wahre Wert mit groumlszligter Wahrscheinlichkeit
befindet3
Es gibt zahlreiche Quellen fuumlr Messabweichungen und grob lassen sich diese
nochmals unterteilen in die sog systematischen Messabweichungen und die sog
zufaumllligen Messabweichungen Kurz noch zu denen Unterscheidung
1) Systematische Messabweichungen
Diese Abweichungen lieszligen sich - manchmal zwar nur sehr schwer aber immerhin
ermitteln Sie treten systematisch also reproduzierbar immer wieder gleich auf Eine
Uhr die 5 Minuten nach geht und diese Abweichung bekannt ist liefert ja dennoch
eine recht exakte Zeitangabe denn zum richtigen Ergebnis ist diese Abweichung nur
entsprechend zu beruumlcksichtigen Und wenn die Abweichung schon bekannt ist
wuumlrde durch Nachstellen der Uhr der Fehler sogar direkt zu beseitigen sein
Durch systematische Fehler wird ein Messwert immer zunaumlchst UNRICHTIG
2) Zufaumlllige Messabweichungen
Diese Abweichungen sind immer aumlrgerlich weil nicht so einfach zu erfassen und
schlimmer noch Sie treten eben nicht reproduzierbar auf Selbst bei einer
Wiederholungsmessung unter scheinbar gleichen Bedingungen treten unterschied-
liche Werte auf man sagt auch die Werte streuen Hierzu zaumlhlt zB der sog
Parallaxe-Fehler beim Ablesen einer analogen Anzeige einfach dadurch das unter
verschiedenen Blick-Winkeln unterschiedliche Werte auf der Skale durch Deckung
mit dem davor stehenden Zeiger ermittelt werden koumlnnen Aber auch Schwankungen
der Messbedingungen waumlhrend der Messung gehoumlren zu solchen auch statistisch
genannten Fehlern beispielsweise weil waumlhrend einer Temperaturmessung jemand
durch Oumlffnen einer Tuumlr einen Luftzug erzeugt der die Messung zufaumlllig beeinflusst
Durch zufaumlllige Fehler wird ein Messwert immer UNSICHER
3 Versuchsidee
Eine Reihenschaltung von drei Widerstaumlnden wird an eine Spannungsquelle
angeschlossen Sind alle Widerstaumlnde gleich groszlig wird sich nach den
Gesetzmaumlszligigkeiten der Reihenschaltung von Widerstaumlnden die Spannung der Quelle
gleichmaumlszligig auf die Widerstaumlnde aufteilen an jedem Widerstand liegt also die
2 vgl dazu in einschlaumlgiger Literatur (Mathematik)
3 sog Fehlergrenzen
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4 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
gleiche Spannung (jeweils 13 der Quellenspannung) an Soviel zur Theorie Mit
unterschiedlichen Messgeraumlten wird dieses Verhalten nun uumlberpruumlft - dh die
Spannungen werden gemessen
4 Grundlagen zum Versuch
Eine Reihenschaltung von drei gleichen Widerstaumlnden wird aufgebaut und mit einer
Spannungsquelle verbunden
R1 R2 R3
U0 U1 U2 U3 I
Bei der Reihenschaltung von ohmschen Widerstaumlnden gilt nach der Kirchhoffschen
Maschenregel fuumlr die an den Widerstaumlnden anliegenden Teilspannungen
An den Widerstaumlnden gilt gleichzeitig nach dem Ohmschen Gesetz
oder
Und da I ja in der Reihenschaltung an jeder Stelle gleich groszlig ist (besser den selben
Betrag hat) kann man auch schreiben
oder
Sind die Widerstaumlnde dazu noch gleich dh alle haben den selben Wert (Betrag)
dann ist Rgesamt in diesem Fall gleich 3 R (Reihenschaltung von Widerstaumlnden) aus
mit
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
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5 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
wird
R kuumlrzt sich heraus
und mit 3 multipliziert
folgt
oder
Bei den drei gegebenen Widerstaumlnden liegt dann je 13 der Quellenspannung an
jedem Widerstand an
Eine Quellenspannung U0 (definitionsgemaumlszlig hier auch Ugesamt) teilt sich hier also
gleichmaumlszligig auf die Widerstaumlnde auf wobei deren Wert dafuumlr unerheblich ist
(solange er nicht gleich 0 wird denn dann sind ja auch keine Widerstaumlnde mehr da
an denen irgend eine Spannung abfallen koumlnnte4)
5 Versuchsmaterial
Je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung der Physiksammlung sind folgende Geraumlte fuumlr
die Durchfuumlhrung des Experiments erforderlich Dabei unterscheiden sich die
Lehrmittel unterschiedlicher Hersteller nur unwesentlich der Effekt der Anordnung
wird hiervon nicht beeinflusst
1) Netzgeraumlt
hier Typ Phywe 07475
Gleichspannungsausgang
Buchsenpaar LINKS (rot und blau)
Spannung auf 15V einstellen
Alternativ jedes andere beliebige
Netzteil mit 15V Gleichspannung
Stromentnahme bei diesem
Versuch max 5 - 10 mA
4 PS Wuumlrde der Widerstand unendlich groszlig dann waumlren ja praktisch keine Verbindungsleitungen mehr da -
geht also auch nicht sinnvoll Hier waumlre nach dem ohmschen Gesetz I=0 dh kein Strom = keine Verbindnung
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6 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Experimentier-Aufbau mit drei Widerstaumlnden agrave 1 kΩ
hier Typ STE-Elektroniksystem Leybold Didactic
1x Rastersteckplatte A4 mit Stuumltzfuumlszligen (5767457677) 3x STE-Widerstand 10kΩ STE 219 (57744) 2x STE-Bruumlckenstecker STE 219 (50148) Alternativ Jedes beliebige System oder einzelne Widerstaumlnde mit je 14W
3) Sammlung von Spannungsmessgeraumlten Messbereich 0-10V DC
Typen je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung
Hier im Versuch werden eingesetzt
Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) Messbereich Skale 0-10 Bereich V = Eingangsimpedanz 10MΩ
Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 Messbereich 3V = (obere schwarze Skale links) Eingangsimpedanz 1kΩV
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7 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R Messbereich V = (Auto Range) Eingangsimpedanz 10MΩ lt 100pF
Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) Messbereich Gleichspannung oberer Schieber in Position 1 (von links) 10V unterer Schieber in V-Bereich 10 Eingangsimpedanz 10MΩ
Gleichspannungs-Voltmeter 10V Drehspulmessgeraumlt Eigenbau aus Weigel (PQ96K) Eingangsimpedanz 10kΩ
Von einem Messgeraumltetypen mit moumlglichst hohem Innenwiderstand
sind zur Abschlieszligenden Visualisierung der Effekte drei gleiche Geraumlte
wuumlnschenswert - sofern vorhanden Hier wird das elektronische
Tischmultimeter Mastech M9803R eingesetzt da es einen
uumlbersichtlichen Aufbau erlaubt
Zusaumltzlich Messleitungen
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8 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
6 Versuchsaufbau
Die Geraumlte werden wie nachfolgend abgebildet aufgestellt und zueinander
ausgerichtet
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9 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
7 Versuchsdurchfuumlhrung
Ein beliebiges Voltmeter wird mit einem der drei Widerstaumlnde verbunden um dessen
Spannung zu messen vorzugsweise der mittlere also R2
Am Netzgeraumlt wird eine Ausgangsspannung von U0 = 15V eingestellt5
Der Reihe nach werden die Voltmeter mit dem mittleren Widerstand verbunden und
sollten nach den Voruumlberlegungen bei einer Quellenspannung von 15V jeweils 5V fuumlr
R2 anzeigen (vgl Kap 4 aus letzter Gleichung
)
Das wuumlrde natuumlrlich analog auch jeweils fuumlr U1 an R1 und fuumlr U3 an R3 gelten
Die Ergebnisse sollten notiert werden
Die Anzeige bei sonst unveraumlndertem Aufbau brachte hier folgende Werte
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900)
U2 = 5V
5 Die Stromaufnahme wird relativ gering ausfallen da gilt Igesamt = Ugesamt Rgesamt = 15V (3 10kΩ) = 05mA
koumlnnte jedoch noch auf max 06mA steigen was spaumlter der Versuch noch zeigen wird
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10 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962)
U2 = 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637
U2 = 15V
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11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
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12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
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13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
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14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
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15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
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16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
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17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
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18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
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2 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
zeigt schnell das Hauptproblem von Messungen ganz allgemein Haumltte ein Infrarot-
thermometer hier wohl eine unabhaumlngigere Messung erlaubt
Generell treten also immer Messfehler oder besser gesagt Messabweichungen1 auf
die unterschiedlichen Ursprung haben letztlich aber immer zum gleichen Ergebnis
fuumlhren Eine exakte Messung gibt es nicht
Man unterscheidet zwischen dem wahren Wert dem richtigen Wert und
schlieszliglich dem angezeigten Wert einer Messung
Der wahre Wert interessiert uns zwar am meisten ist jedoch wie bereits angedeutet
nicht zu ermitteln und damit haumlufig einfach unbekannt
Der richtige Wert ist eine Groumlszlige die eine fehlerfreie Messanordnung anzeigen wuumlrde
oder auch der Vergleich mit einem Normal - Zusammengefasst eine dem wahren
Wert sehr nahe kommende Groumlszlige - aber eben nur nahe kommend
Der angezeigte Wert ist der von einer Messanordnung ermittelte Messwert also das
was ein Messgeraumlt anzeigt - daher ja der Name
Im Zusammenhang mit der Angabe von Messfehlern ergeben sich daraus zwei
weitere Angaben
1) Absolute Abweichung
Der absolute Fehler einer Messung ist die Abweichung von angezeigtem zu richtigem
Wert
mit xr richtiger Messwert
xa angezeigter Messwert
2) Relative Abweichung
Der relative Fehler einer Messung wird durch folgende Gleichung mit dem
angezeigten Wert prozentual vom richtigen Wert bestimmt
mit xr richtiger Messwert
xa angezeigter Messwert
1 vgl dazu DIN 1319
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3 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Genauen Versuchsauswertungen liegen immer Fehlerberechnungen2 zugrunde Hier
wird versucht mathematisch Fehler der Messung und des Versuchsaufbaus zu
erfassen und bei der Auswertung zu beruumlcksichtigen Man erhaumllt so eine gewisse
Bandbreite in deren Grenzen sich der wahre Wert mit groumlszligter Wahrscheinlichkeit
befindet3
Es gibt zahlreiche Quellen fuumlr Messabweichungen und grob lassen sich diese
nochmals unterteilen in die sog systematischen Messabweichungen und die sog
zufaumllligen Messabweichungen Kurz noch zu denen Unterscheidung
1) Systematische Messabweichungen
Diese Abweichungen lieszligen sich - manchmal zwar nur sehr schwer aber immerhin
ermitteln Sie treten systematisch also reproduzierbar immer wieder gleich auf Eine
Uhr die 5 Minuten nach geht und diese Abweichung bekannt ist liefert ja dennoch
eine recht exakte Zeitangabe denn zum richtigen Ergebnis ist diese Abweichung nur
entsprechend zu beruumlcksichtigen Und wenn die Abweichung schon bekannt ist
wuumlrde durch Nachstellen der Uhr der Fehler sogar direkt zu beseitigen sein
Durch systematische Fehler wird ein Messwert immer zunaumlchst UNRICHTIG
2) Zufaumlllige Messabweichungen
Diese Abweichungen sind immer aumlrgerlich weil nicht so einfach zu erfassen und
schlimmer noch Sie treten eben nicht reproduzierbar auf Selbst bei einer
Wiederholungsmessung unter scheinbar gleichen Bedingungen treten unterschied-
liche Werte auf man sagt auch die Werte streuen Hierzu zaumlhlt zB der sog
Parallaxe-Fehler beim Ablesen einer analogen Anzeige einfach dadurch das unter
verschiedenen Blick-Winkeln unterschiedliche Werte auf der Skale durch Deckung
mit dem davor stehenden Zeiger ermittelt werden koumlnnen Aber auch Schwankungen
der Messbedingungen waumlhrend der Messung gehoumlren zu solchen auch statistisch
genannten Fehlern beispielsweise weil waumlhrend einer Temperaturmessung jemand
durch Oumlffnen einer Tuumlr einen Luftzug erzeugt der die Messung zufaumlllig beeinflusst
Durch zufaumlllige Fehler wird ein Messwert immer UNSICHER
3 Versuchsidee
Eine Reihenschaltung von drei Widerstaumlnden wird an eine Spannungsquelle
angeschlossen Sind alle Widerstaumlnde gleich groszlig wird sich nach den
Gesetzmaumlszligigkeiten der Reihenschaltung von Widerstaumlnden die Spannung der Quelle
gleichmaumlszligig auf die Widerstaumlnde aufteilen an jedem Widerstand liegt also die
2 vgl dazu in einschlaumlgiger Literatur (Mathematik)
3 sog Fehlergrenzen
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4 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
gleiche Spannung (jeweils 13 der Quellenspannung) an Soviel zur Theorie Mit
unterschiedlichen Messgeraumlten wird dieses Verhalten nun uumlberpruumlft - dh die
Spannungen werden gemessen
4 Grundlagen zum Versuch
Eine Reihenschaltung von drei gleichen Widerstaumlnden wird aufgebaut und mit einer
Spannungsquelle verbunden
R1 R2 R3
U0 U1 U2 U3 I
Bei der Reihenschaltung von ohmschen Widerstaumlnden gilt nach der Kirchhoffschen
Maschenregel fuumlr die an den Widerstaumlnden anliegenden Teilspannungen
An den Widerstaumlnden gilt gleichzeitig nach dem Ohmschen Gesetz
oder
Und da I ja in der Reihenschaltung an jeder Stelle gleich groszlig ist (besser den selben
Betrag hat) kann man auch schreiben
oder
Sind die Widerstaumlnde dazu noch gleich dh alle haben den selben Wert (Betrag)
dann ist Rgesamt in diesem Fall gleich 3 R (Reihenschaltung von Widerstaumlnden) aus
mit
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
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5 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
wird
R kuumlrzt sich heraus
und mit 3 multipliziert
folgt
oder
Bei den drei gegebenen Widerstaumlnden liegt dann je 13 der Quellenspannung an
jedem Widerstand an
Eine Quellenspannung U0 (definitionsgemaumlszlig hier auch Ugesamt) teilt sich hier also
gleichmaumlszligig auf die Widerstaumlnde auf wobei deren Wert dafuumlr unerheblich ist
(solange er nicht gleich 0 wird denn dann sind ja auch keine Widerstaumlnde mehr da
an denen irgend eine Spannung abfallen koumlnnte4)
5 Versuchsmaterial
Je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung der Physiksammlung sind folgende Geraumlte fuumlr
die Durchfuumlhrung des Experiments erforderlich Dabei unterscheiden sich die
Lehrmittel unterschiedlicher Hersteller nur unwesentlich der Effekt der Anordnung
wird hiervon nicht beeinflusst
1) Netzgeraumlt
hier Typ Phywe 07475
Gleichspannungsausgang
Buchsenpaar LINKS (rot und blau)
Spannung auf 15V einstellen
Alternativ jedes andere beliebige
Netzteil mit 15V Gleichspannung
Stromentnahme bei diesem
Versuch max 5 - 10 mA
4 PS Wuumlrde der Widerstand unendlich groszlig dann waumlren ja praktisch keine Verbindungsleitungen mehr da -
geht also auch nicht sinnvoll Hier waumlre nach dem ohmschen Gesetz I=0 dh kein Strom = keine Verbindnung
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6 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Experimentier-Aufbau mit drei Widerstaumlnden agrave 1 kΩ
hier Typ STE-Elektroniksystem Leybold Didactic
1x Rastersteckplatte A4 mit Stuumltzfuumlszligen (5767457677) 3x STE-Widerstand 10kΩ STE 219 (57744) 2x STE-Bruumlckenstecker STE 219 (50148) Alternativ Jedes beliebige System oder einzelne Widerstaumlnde mit je 14W
3) Sammlung von Spannungsmessgeraumlten Messbereich 0-10V DC
Typen je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung
Hier im Versuch werden eingesetzt
Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) Messbereich Skale 0-10 Bereich V = Eingangsimpedanz 10MΩ
Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 Messbereich 3V = (obere schwarze Skale links) Eingangsimpedanz 1kΩV
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7 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R Messbereich V = (Auto Range) Eingangsimpedanz 10MΩ lt 100pF
Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) Messbereich Gleichspannung oberer Schieber in Position 1 (von links) 10V unterer Schieber in V-Bereich 10 Eingangsimpedanz 10MΩ
Gleichspannungs-Voltmeter 10V Drehspulmessgeraumlt Eigenbau aus Weigel (PQ96K) Eingangsimpedanz 10kΩ
Von einem Messgeraumltetypen mit moumlglichst hohem Innenwiderstand
sind zur Abschlieszligenden Visualisierung der Effekte drei gleiche Geraumlte
wuumlnschenswert - sofern vorhanden Hier wird das elektronische
Tischmultimeter Mastech M9803R eingesetzt da es einen
uumlbersichtlichen Aufbau erlaubt
Zusaumltzlich Messleitungen
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8 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
6 Versuchsaufbau
Die Geraumlte werden wie nachfolgend abgebildet aufgestellt und zueinander
ausgerichtet
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9 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
7 Versuchsdurchfuumlhrung
Ein beliebiges Voltmeter wird mit einem der drei Widerstaumlnde verbunden um dessen
Spannung zu messen vorzugsweise der mittlere also R2
Am Netzgeraumlt wird eine Ausgangsspannung von U0 = 15V eingestellt5
Der Reihe nach werden die Voltmeter mit dem mittleren Widerstand verbunden und
sollten nach den Voruumlberlegungen bei einer Quellenspannung von 15V jeweils 5V fuumlr
R2 anzeigen (vgl Kap 4 aus letzter Gleichung
)
Das wuumlrde natuumlrlich analog auch jeweils fuumlr U1 an R1 und fuumlr U3 an R3 gelten
Die Ergebnisse sollten notiert werden
Die Anzeige bei sonst unveraumlndertem Aufbau brachte hier folgende Werte
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900)
U2 = 5V
5 Die Stromaufnahme wird relativ gering ausfallen da gilt Igesamt = Ugesamt Rgesamt = 15V (3 10kΩ) = 05mA
koumlnnte jedoch noch auf max 06mA steigen was spaumlter der Versuch noch zeigen wird
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10 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962)
U2 = 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637
U2 = 15V
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11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
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12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
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13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
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14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
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15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
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16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
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17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
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18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
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3 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Genauen Versuchsauswertungen liegen immer Fehlerberechnungen2 zugrunde Hier
wird versucht mathematisch Fehler der Messung und des Versuchsaufbaus zu
erfassen und bei der Auswertung zu beruumlcksichtigen Man erhaumllt so eine gewisse
Bandbreite in deren Grenzen sich der wahre Wert mit groumlszligter Wahrscheinlichkeit
befindet3
Es gibt zahlreiche Quellen fuumlr Messabweichungen und grob lassen sich diese
nochmals unterteilen in die sog systematischen Messabweichungen und die sog
zufaumllligen Messabweichungen Kurz noch zu denen Unterscheidung
1) Systematische Messabweichungen
Diese Abweichungen lieszligen sich - manchmal zwar nur sehr schwer aber immerhin
ermitteln Sie treten systematisch also reproduzierbar immer wieder gleich auf Eine
Uhr die 5 Minuten nach geht und diese Abweichung bekannt ist liefert ja dennoch
eine recht exakte Zeitangabe denn zum richtigen Ergebnis ist diese Abweichung nur
entsprechend zu beruumlcksichtigen Und wenn die Abweichung schon bekannt ist
wuumlrde durch Nachstellen der Uhr der Fehler sogar direkt zu beseitigen sein
Durch systematische Fehler wird ein Messwert immer zunaumlchst UNRICHTIG
2) Zufaumlllige Messabweichungen
Diese Abweichungen sind immer aumlrgerlich weil nicht so einfach zu erfassen und
schlimmer noch Sie treten eben nicht reproduzierbar auf Selbst bei einer
Wiederholungsmessung unter scheinbar gleichen Bedingungen treten unterschied-
liche Werte auf man sagt auch die Werte streuen Hierzu zaumlhlt zB der sog
Parallaxe-Fehler beim Ablesen einer analogen Anzeige einfach dadurch das unter
verschiedenen Blick-Winkeln unterschiedliche Werte auf der Skale durch Deckung
mit dem davor stehenden Zeiger ermittelt werden koumlnnen Aber auch Schwankungen
der Messbedingungen waumlhrend der Messung gehoumlren zu solchen auch statistisch
genannten Fehlern beispielsweise weil waumlhrend einer Temperaturmessung jemand
durch Oumlffnen einer Tuumlr einen Luftzug erzeugt der die Messung zufaumlllig beeinflusst
Durch zufaumlllige Fehler wird ein Messwert immer UNSICHER
3 Versuchsidee
Eine Reihenschaltung von drei Widerstaumlnden wird an eine Spannungsquelle
angeschlossen Sind alle Widerstaumlnde gleich groszlig wird sich nach den
Gesetzmaumlszligigkeiten der Reihenschaltung von Widerstaumlnden die Spannung der Quelle
gleichmaumlszligig auf die Widerstaumlnde aufteilen an jedem Widerstand liegt also die
2 vgl dazu in einschlaumlgiger Literatur (Mathematik)
3 sog Fehlergrenzen
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4 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
gleiche Spannung (jeweils 13 der Quellenspannung) an Soviel zur Theorie Mit
unterschiedlichen Messgeraumlten wird dieses Verhalten nun uumlberpruumlft - dh die
Spannungen werden gemessen
4 Grundlagen zum Versuch
Eine Reihenschaltung von drei gleichen Widerstaumlnden wird aufgebaut und mit einer
Spannungsquelle verbunden
R1 R2 R3
U0 U1 U2 U3 I
Bei der Reihenschaltung von ohmschen Widerstaumlnden gilt nach der Kirchhoffschen
Maschenregel fuumlr die an den Widerstaumlnden anliegenden Teilspannungen
An den Widerstaumlnden gilt gleichzeitig nach dem Ohmschen Gesetz
oder
Und da I ja in der Reihenschaltung an jeder Stelle gleich groszlig ist (besser den selben
Betrag hat) kann man auch schreiben
oder
Sind die Widerstaumlnde dazu noch gleich dh alle haben den selben Wert (Betrag)
dann ist Rgesamt in diesem Fall gleich 3 R (Reihenschaltung von Widerstaumlnden) aus
mit
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
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5 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
wird
R kuumlrzt sich heraus
und mit 3 multipliziert
folgt
oder
Bei den drei gegebenen Widerstaumlnden liegt dann je 13 der Quellenspannung an
jedem Widerstand an
Eine Quellenspannung U0 (definitionsgemaumlszlig hier auch Ugesamt) teilt sich hier also
gleichmaumlszligig auf die Widerstaumlnde auf wobei deren Wert dafuumlr unerheblich ist
(solange er nicht gleich 0 wird denn dann sind ja auch keine Widerstaumlnde mehr da
an denen irgend eine Spannung abfallen koumlnnte4)
5 Versuchsmaterial
Je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung der Physiksammlung sind folgende Geraumlte fuumlr
die Durchfuumlhrung des Experiments erforderlich Dabei unterscheiden sich die
Lehrmittel unterschiedlicher Hersteller nur unwesentlich der Effekt der Anordnung
wird hiervon nicht beeinflusst
1) Netzgeraumlt
hier Typ Phywe 07475
Gleichspannungsausgang
Buchsenpaar LINKS (rot und blau)
Spannung auf 15V einstellen
Alternativ jedes andere beliebige
Netzteil mit 15V Gleichspannung
Stromentnahme bei diesem
Versuch max 5 - 10 mA
4 PS Wuumlrde der Widerstand unendlich groszlig dann waumlren ja praktisch keine Verbindungsleitungen mehr da -
geht also auch nicht sinnvoll Hier waumlre nach dem ohmschen Gesetz I=0 dh kein Strom = keine Verbindnung
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6 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Experimentier-Aufbau mit drei Widerstaumlnden agrave 1 kΩ
hier Typ STE-Elektroniksystem Leybold Didactic
1x Rastersteckplatte A4 mit Stuumltzfuumlszligen (5767457677) 3x STE-Widerstand 10kΩ STE 219 (57744) 2x STE-Bruumlckenstecker STE 219 (50148) Alternativ Jedes beliebige System oder einzelne Widerstaumlnde mit je 14W
3) Sammlung von Spannungsmessgeraumlten Messbereich 0-10V DC
Typen je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung
Hier im Versuch werden eingesetzt
Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) Messbereich Skale 0-10 Bereich V = Eingangsimpedanz 10MΩ
Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 Messbereich 3V = (obere schwarze Skale links) Eingangsimpedanz 1kΩV
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7 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R Messbereich V = (Auto Range) Eingangsimpedanz 10MΩ lt 100pF
Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) Messbereich Gleichspannung oberer Schieber in Position 1 (von links) 10V unterer Schieber in V-Bereich 10 Eingangsimpedanz 10MΩ
Gleichspannungs-Voltmeter 10V Drehspulmessgeraumlt Eigenbau aus Weigel (PQ96K) Eingangsimpedanz 10kΩ
Von einem Messgeraumltetypen mit moumlglichst hohem Innenwiderstand
sind zur Abschlieszligenden Visualisierung der Effekte drei gleiche Geraumlte
wuumlnschenswert - sofern vorhanden Hier wird das elektronische
Tischmultimeter Mastech M9803R eingesetzt da es einen
uumlbersichtlichen Aufbau erlaubt
Zusaumltzlich Messleitungen
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8 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
6 Versuchsaufbau
Die Geraumlte werden wie nachfolgend abgebildet aufgestellt und zueinander
ausgerichtet
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9 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
7 Versuchsdurchfuumlhrung
Ein beliebiges Voltmeter wird mit einem der drei Widerstaumlnde verbunden um dessen
Spannung zu messen vorzugsweise der mittlere also R2
Am Netzgeraumlt wird eine Ausgangsspannung von U0 = 15V eingestellt5
Der Reihe nach werden die Voltmeter mit dem mittleren Widerstand verbunden und
sollten nach den Voruumlberlegungen bei einer Quellenspannung von 15V jeweils 5V fuumlr
R2 anzeigen (vgl Kap 4 aus letzter Gleichung
)
Das wuumlrde natuumlrlich analog auch jeweils fuumlr U1 an R1 und fuumlr U3 an R3 gelten
Die Ergebnisse sollten notiert werden
Die Anzeige bei sonst unveraumlndertem Aufbau brachte hier folgende Werte
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900)
U2 = 5V
5 Die Stromaufnahme wird relativ gering ausfallen da gilt Igesamt = Ugesamt Rgesamt = 15V (3 10kΩ) = 05mA
koumlnnte jedoch noch auf max 06mA steigen was spaumlter der Versuch noch zeigen wird
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10 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962)
U2 = 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637
U2 = 15V
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11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
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12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
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13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
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14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
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15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
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16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
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17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
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4 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
gleiche Spannung (jeweils 13 der Quellenspannung) an Soviel zur Theorie Mit
unterschiedlichen Messgeraumlten wird dieses Verhalten nun uumlberpruumlft - dh die
Spannungen werden gemessen
4 Grundlagen zum Versuch
Eine Reihenschaltung von drei gleichen Widerstaumlnden wird aufgebaut und mit einer
Spannungsquelle verbunden
R1 R2 R3
U0 U1 U2 U3 I
Bei der Reihenschaltung von ohmschen Widerstaumlnden gilt nach der Kirchhoffschen
Maschenregel fuumlr die an den Widerstaumlnden anliegenden Teilspannungen
An den Widerstaumlnden gilt gleichzeitig nach dem Ohmschen Gesetz
oder
Und da I ja in der Reihenschaltung an jeder Stelle gleich groszlig ist (besser den selben
Betrag hat) kann man auch schreiben
oder
Sind die Widerstaumlnde dazu noch gleich dh alle haben den selben Wert (Betrag)
dann ist Rgesamt in diesem Fall gleich 3 R (Reihenschaltung von Widerstaumlnden) aus
mit
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
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5 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
wird
R kuumlrzt sich heraus
und mit 3 multipliziert
folgt
oder
Bei den drei gegebenen Widerstaumlnden liegt dann je 13 der Quellenspannung an
jedem Widerstand an
Eine Quellenspannung U0 (definitionsgemaumlszlig hier auch Ugesamt) teilt sich hier also
gleichmaumlszligig auf die Widerstaumlnde auf wobei deren Wert dafuumlr unerheblich ist
(solange er nicht gleich 0 wird denn dann sind ja auch keine Widerstaumlnde mehr da
an denen irgend eine Spannung abfallen koumlnnte4)
5 Versuchsmaterial
Je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung der Physiksammlung sind folgende Geraumlte fuumlr
die Durchfuumlhrung des Experiments erforderlich Dabei unterscheiden sich die
Lehrmittel unterschiedlicher Hersteller nur unwesentlich der Effekt der Anordnung
wird hiervon nicht beeinflusst
1) Netzgeraumlt
hier Typ Phywe 07475
Gleichspannungsausgang
Buchsenpaar LINKS (rot und blau)
Spannung auf 15V einstellen
Alternativ jedes andere beliebige
Netzteil mit 15V Gleichspannung
Stromentnahme bei diesem
Versuch max 5 - 10 mA
4 PS Wuumlrde der Widerstand unendlich groszlig dann waumlren ja praktisch keine Verbindungsleitungen mehr da -
geht also auch nicht sinnvoll Hier waumlre nach dem ohmschen Gesetz I=0 dh kein Strom = keine Verbindnung
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6 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Experimentier-Aufbau mit drei Widerstaumlnden agrave 1 kΩ
hier Typ STE-Elektroniksystem Leybold Didactic
1x Rastersteckplatte A4 mit Stuumltzfuumlszligen (5767457677) 3x STE-Widerstand 10kΩ STE 219 (57744) 2x STE-Bruumlckenstecker STE 219 (50148) Alternativ Jedes beliebige System oder einzelne Widerstaumlnde mit je 14W
3) Sammlung von Spannungsmessgeraumlten Messbereich 0-10V DC
Typen je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung
Hier im Versuch werden eingesetzt
Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) Messbereich Skale 0-10 Bereich V = Eingangsimpedanz 10MΩ
Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 Messbereich 3V = (obere schwarze Skale links) Eingangsimpedanz 1kΩV
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7 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R Messbereich V = (Auto Range) Eingangsimpedanz 10MΩ lt 100pF
Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) Messbereich Gleichspannung oberer Schieber in Position 1 (von links) 10V unterer Schieber in V-Bereich 10 Eingangsimpedanz 10MΩ
Gleichspannungs-Voltmeter 10V Drehspulmessgeraumlt Eigenbau aus Weigel (PQ96K) Eingangsimpedanz 10kΩ
Von einem Messgeraumltetypen mit moumlglichst hohem Innenwiderstand
sind zur Abschlieszligenden Visualisierung der Effekte drei gleiche Geraumlte
wuumlnschenswert - sofern vorhanden Hier wird das elektronische
Tischmultimeter Mastech M9803R eingesetzt da es einen
uumlbersichtlichen Aufbau erlaubt
Zusaumltzlich Messleitungen
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8 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
6 Versuchsaufbau
Die Geraumlte werden wie nachfolgend abgebildet aufgestellt und zueinander
ausgerichtet
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9 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
7 Versuchsdurchfuumlhrung
Ein beliebiges Voltmeter wird mit einem der drei Widerstaumlnde verbunden um dessen
Spannung zu messen vorzugsweise der mittlere also R2
Am Netzgeraumlt wird eine Ausgangsspannung von U0 = 15V eingestellt5
Der Reihe nach werden die Voltmeter mit dem mittleren Widerstand verbunden und
sollten nach den Voruumlberlegungen bei einer Quellenspannung von 15V jeweils 5V fuumlr
R2 anzeigen (vgl Kap 4 aus letzter Gleichung
)
Das wuumlrde natuumlrlich analog auch jeweils fuumlr U1 an R1 und fuumlr U3 an R3 gelten
Die Ergebnisse sollten notiert werden
Die Anzeige bei sonst unveraumlndertem Aufbau brachte hier folgende Werte
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900)
U2 = 5V
5 Die Stromaufnahme wird relativ gering ausfallen da gilt Igesamt = Ugesamt Rgesamt = 15V (3 10kΩ) = 05mA
koumlnnte jedoch noch auf max 06mA steigen was spaumlter der Versuch noch zeigen wird
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10 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962)
U2 = 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637
U2 = 15V
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11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
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12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
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13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
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14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
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15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
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16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
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17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
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18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
5 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
wird
R kuumlrzt sich heraus
und mit 3 multipliziert
folgt
oder
Bei den drei gegebenen Widerstaumlnden liegt dann je 13 der Quellenspannung an
jedem Widerstand an
Eine Quellenspannung U0 (definitionsgemaumlszlig hier auch Ugesamt) teilt sich hier also
gleichmaumlszligig auf die Widerstaumlnde auf wobei deren Wert dafuumlr unerheblich ist
(solange er nicht gleich 0 wird denn dann sind ja auch keine Widerstaumlnde mehr da
an denen irgend eine Spannung abfallen koumlnnte4)
5 Versuchsmaterial
Je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung der Physiksammlung sind folgende Geraumlte fuumlr
die Durchfuumlhrung des Experiments erforderlich Dabei unterscheiden sich die
Lehrmittel unterschiedlicher Hersteller nur unwesentlich der Effekt der Anordnung
wird hiervon nicht beeinflusst
1) Netzgeraumlt
hier Typ Phywe 07475
Gleichspannungsausgang
Buchsenpaar LINKS (rot und blau)
Spannung auf 15V einstellen
Alternativ jedes andere beliebige
Netzteil mit 15V Gleichspannung
Stromentnahme bei diesem
Versuch max 5 - 10 mA
4 PS Wuumlrde der Widerstand unendlich groszlig dann waumlren ja praktisch keine Verbindungsleitungen mehr da -
geht also auch nicht sinnvoll Hier waumlre nach dem ohmschen Gesetz I=0 dh kein Strom = keine Verbindnung
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6 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Experimentier-Aufbau mit drei Widerstaumlnden agrave 1 kΩ
hier Typ STE-Elektroniksystem Leybold Didactic
1x Rastersteckplatte A4 mit Stuumltzfuumlszligen (5767457677) 3x STE-Widerstand 10kΩ STE 219 (57744) 2x STE-Bruumlckenstecker STE 219 (50148) Alternativ Jedes beliebige System oder einzelne Widerstaumlnde mit je 14W
3) Sammlung von Spannungsmessgeraumlten Messbereich 0-10V DC
Typen je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung
Hier im Versuch werden eingesetzt
Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) Messbereich Skale 0-10 Bereich V = Eingangsimpedanz 10MΩ
Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 Messbereich 3V = (obere schwarze Skale links) Eingangsimpedanz 1kΩV
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7 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R Messbereich V = (Auto Range) Eingangsimpedanz 10MΩ lt 100pF
Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) Messbereich Gleichspannung oberer Schieber in Position 1 (von links) 10V unterer Schieber in V-Bereich 10 Eingangsimpedanz 10MΩ
Gleichspannungs-Voltmeter 10V Drehspulmessgeraumlt Eigenbau aus Weigel (PQ96K) Eingangsimpedanz 10kΩ
Von einem Messgeraumltetypen mit moumlglichst hohem Innenwiderstand
sind zur Abschlieszligenden Visualisierung der Effekte drei gleiche Geraumlte
wuumlnschenswert - sofern vorhanden Hier wird das elektronische
Tischmultimeter Mastech M9803R eingesetzt da es einen
uumlbersichtlichen Aufbau erlaubt
Zusaumltzlich Messleitungen
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8 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
6 Versuchsaufbau
Die Geraumlte werden wie nachfolgend abgebildet aufgestellt und zueinander
ausgerichtet
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9 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
7 Versuchsdurchfuumlhrung
Ein beliebiges Voltmeter wird mit einem der drei Widerstaumlnde verbunden um dessen
Spannung zu messen vorzugsweise der mittlere also R2
Am Netzgeraumlt wird eine Ausgangsspannung von U0 = 15V eingestellt5
Der Reihe nach werden die Voltmeter mit dem mittleren Widerstand verbunden und
sollten nach den Voruumlberlegungen bei einer Quellenspannung von 15V jeweils 5V fuumlr
R2 anzeigen (vgl Kap 4 aus letzter Gleichung
)
Das wuumlrde natuumlrlich analog auch jeweils fuumlr U1 an R1 und fuumlr U3 an R3 gelten
Die Ergebnisse sollten notiert werden
Die Anzeige bei sonst unveraumlndertem Aufbau brachte hier folgende Werte
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900)
U2 = 5V
5 Die Stromaufnahme wird relativ gering ausfallen da gilt Igesamt = Ugesamt Rgesamt = 15V (3 10kΩ) = 05mA
koumlnnte jedoch noch auf max 06mA steigen was spaumlter der Versuch noch zeigen wird
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10 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962)
U2 = 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637
U2 = 15V
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11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
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12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
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13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
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14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
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18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
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6 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Experimentier-Aufbau mit drei Widerstaumlnden agrave 1 kΩ
hier Typ STE-Elektroniksystem Leybold Didactic
1x Rastersteckplatte A4 mit Stuumltzfuumlszligen (5767457677) 3x STE-Widerstand 10kΩ STE 219 (57744) 2x STE-Bruumlckenstecker STE 219 (50148) Alternativ Jedes beliebige System oder einzelne Widerstaumlnde mit je 14W
3) Sammlung von Spannungsmessgeraumlten Messbereich 0-10V DC
Typen je nach Verfuumlgbarkeit und Ausstattung
Hier im Versuch werden eingesetzt
Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) Messbereich Skale 0-10 Bereich V = Eingangsimpedanz 10MΩ
Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 Messbereich 3V = (obere schwarze Skale links) Eingangsimpedanz 1kΩV
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7 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R Messbereich V = (Auto Range) Eingangsimpedanz 10MΩ lt 100pF
Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) Messbereich Gleichspannung oberer Schieber in Position 1 (von links) 10V unterer Schieber in V-Bereich 10 Eingangsimpedanz 10MΩ
Gleichspannungs-Voltmeter 10V Drehspulmessgeraumlt Eigenbau aus Weigel (PQ96K) Eingangsimpedanz 10kΩ
Von einem Messgeraumltetypen mit moumlglichst hohem Innenwiderstand
sind zur Abschlieszligenden Visualisierung der Effekte drei gleiche Geraumlte
wuumlnschenswert - sofern vorhanden Hier wird das elektronische
Tischmultimeter Mastech M9803R eingesetzt da es einen
uumlbersichtlichen Aufbau erlaubt
Zusaumltzlich Messleitungen
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8 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
6 Versuchsaufbau
Die Geraumlte werden wie nachfolgend abgebildet aufgestellt und zueinander
ausgerichtet
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9 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
7 Versuchsdurchfuumlhrung
Ein beliebiges Voltmeter wird mit einem der drei Widerstaumlnde verbunden um dessen
Spannung zu messen vorzugsweise der mittlere also R2
Am Netzgeraumlt wird eine Ausgangsspannung von U0 = 15V eingestellt5
Der Reihe nach werden die Voltmeter mit dem mittleren Widerstand verbunden und
sollten nach den Voruumlberlegungen bei einer Quellenspannung von 15V jeweils 5V fuumlr
R2 anzeigen (vgl Kap 4 aus letzter Gleichung
)
Das wuumlrde natuumlrlich analog auch jeweils fuumlr U1 an R1 und fuumlr U3 an R3 gelten
Die Ergebnisse sollten notiert werden
Die Anzeige bei sonst unveraumlndertem Aufbau brachte hier folgende Werte
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900)
U2 = 5V
5 Die Stromaufnahme wird relativ gering ausfallen da gilt Igesamt = Ugesamt Rgesamt = 15V (3 10kΩ) = 05mA
koumlnnte jedoch noch auf max 06mA steigen was spaumlter der Versuch noch zeigen wird
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10 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962)
U2 = 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637
U2 = 15V
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11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
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12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
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13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
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14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
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15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
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18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
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7 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R Messbereich V = (Auto Range) Eingangsimpedanz 10MΩ lt 100pF
Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) Messbereich Gleichspannung oberer Schieber in Position 1 (von links) 10V unterer Schieber in V-Bereich 10 Eingangsimpedanz 10MΩ
Gleichspannungs-Voltmeter 10V Drehspulmessgeraumlt Eigenbau aus Weigel (PQ96K) Eingangsimpedanz 10kΩ
Von einem Messgeraumltetypen mit moumlglichst hohem Innenwiderstand
sind zur Abschlieszligenden Visualisierung der Effekte drei gleiche Geraumlte
wuumlnschenswert - sofern vorhanden Hier wird das elektronische
Tischmultimeter Mastech M9803R eingesetzt da es einen
uumlbersichtlichen Aufbau erlaubt
Zusaumltzlich Messleitungen
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8 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
6 Versuchsaufbau
Die Geraumlte werden wie nachfolgend abgebildet aufgestellt und zueinander
ausgerichtet
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9 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
7 Versuchsdurchfuumlhrung
Ein beliebiges Voltmeter wird mit einem der drei Widerstaumlnde verbunden um dessen
Spannung zu messen vorzugsweise der mittlere also R2
Am Netzgeraumlt wird eine Ausgangsspannung von U0 = 15V eingestellt5
Der Reihe nach werden die Voltmeter mit dem mittleren Widerstand verbunden und
sollten nach den Voruumlberlegungen bei einer Quellenspannung von 15V jeweils 5V fuumlr
R2 anzeigen (vgl Kap 4 aus letzter Gleichung
)
Das wuumlrde natuumlrlich analog auch jeweils fuumlr U1 an R1 und fuumlr U3 an R3 gelten
Die Ergebnisse sollten notiert werden
Die Anzeige bei sonst unveraumlndertem Aufbau brachte hier folgende Werte
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900)
U2 = 5V
5 Die Stromaufnahme wird relativ gering ausfallen da gilt Igesamt = Ugesamt Rgesamt = 15V (3 10kΩ) = 05mA
koumlnnte jedoch noch auf max 06mA steigen was spaumlter der Versuch noch zeigen wird
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10 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962)
U2 = 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637
U2 = 15V
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11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
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12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
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13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
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14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
8 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
6 Versuchsaufbau
Die Geraumlte werden wie nachfolgend abgebildet aufgestellt und zueinander
ausgerichtet
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
9 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
7 Versuchsdurchfuumlhrung
Ein beliebiges Voltmeter wird mit einem der drei Widerstaumlnde verbunden um dessen
Spannung zu messen vorzugsweise der mittlere also R2
Am Netzgeraumlt wird eine Ausgangsspannung von U0 = 15V eingestellt5
Der Reihe nach werden die Voltmeter mit dem mittleren Widerstand verbunden und
sollten nach den Voruumlberlegungen bei einer Quellenspannung von 15V jeweils 5V fuumlr
R2 anzeigen (vgl Kap 4 aus letzter Gleichung
)
Das wuumlrde natuumlrlich analog auch jeweils fuumlr U1 an R1 und fuumlr U3 an R3 gelten
Die Ergebnisse sollten notiert werden
Die Anzeige bei sonst unveraumlndertem Aufbau brachte hier folgende Werte
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900)
U2 = 5V
5 Die Stromaufnahme wird relativ gering ausfallen da gilt Igesamt = Ugesamt Rgesamt = 15V (3 10kΩ) = 05mA
koumlnnte jedoch noch auf max 06mA steigen was spaumlter der Versuch noch zeigen wird
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10 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962)
U2 = 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637
U2 = 15V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
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16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
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9 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
7 Versuchsdurchfuumlhrung
Ein beliebiges Voltmeter wird mit einem der drei Widerstaumlnde verbunden um dessen
Spannung zu messen vorzugsweise der mittlere also R2
Am Netzgeraumlt wird eine Ausgangsspannung von U0 = 15V eingestellt5
Der Reihe nach werden die Voltmeter mit dem mittleren Widerstand verbunden und
sollten nach den Voruumlberlegungen bei einer Quellenspannung von 15V jeweils 5V fuumlr
R2 anzeigen (vgl Kap 4 aus letzter Gleichung
)
Das wuumlrde natuumlrlich analog auch jeweils fuumlr U1 an R1 und fuumlr U3 an R3 gelten
Die Ergebnisse sollten notiert werden
Die Anzeige bei sonst unveraumlndertem Aufbau brachte hier folgende Werte
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900)
U2 = 5V
5 Die Stromaufnahme wird relativ gering ausfallen da gilt Igesamt = Ugesamt Rgesamt = 15V (3 10kΩ) = 05mA
koumlnnte jedoch noch auf max 06mA steigen was spaumlter der Versuch noch zeigen wird
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10 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962)
U2 = 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637
U2 = 15V
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11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
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12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
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13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
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14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
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15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
10 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962)
U2 = 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637
U2 = 15V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
11 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R
U2 = 502V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel
U2 = 3V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
12 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
8 Versuchsauswertung
Aus dem Versuch konnten folgende Werte ermittelt werden
Geraumltetyp Angezeigter Wert
fuumlr U2
1) Demo-Multimeter aktiv Typ Leybold-Didactic (531900) 50V
2) Drehspulmessgeraumlt (Multimeter) Typ Staub amp Co (20962) 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt Typ AS (Leybold) 12637 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter Typ Mastech M9803R 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter 10V Typ Weigel 30V
Entgegen der Erwartung zu den Voruumlberlegungen zeigen zwei der fuumlnf Messgeraumlte
sehr stark abweichende Ergebnisse an
Sind die entsprechenden Messgeraumlte fehlerhaft oder einfach zu ungenau
Zunaumlchst Die Messgeraumlte weisen keinen Fehler auf und die Genauigkeit wird zB
beim Typ Weigel mit Klasse 15 angegeben6
Allerdings zeigt ein Blick auf die technischen Daten der Geraumlte das gerade die
beiden Ausreiszliger einen relativ kleinen Innenwiderstand im Vergleich zu den
anderen Geraumlten aufweisen
Geraumltetyp Innenwiderstand
Angezeigter Wert fuumlr
U2
1) Demo-Multimeter aktiv
Typ Leybold-Didactic (531900) 10MΩ 50V
2) Drehspulmessgeraumlt
Typ Staub amp Co (20962) 10MΩ 51V
3) Demonstrations-Messgeraumlt
Typ AS (Leybold) 12637 1kΩ V 15V
4) Tisch-Digitalmultimeter
Typ Mastech M9803R 10MΩ 50V
5) Gleichspannungs-Voltmeter
Typ Weigel 10kΩ 30V
6 Das bedeutet das die maximal zu erwartende Abweichung zum richtigen Wert wie folgt definiert wird
Weigel Spannungsmesser mit linearer Teilung 0 10V Klasse 15 Die Grenze der Eigenabweichung ist G = 15 bull 10 V = 150 mV Diese Grenze ist konstant uumlber den gesamten Messbereich Aber Die relative Fehlergrenze g eines Messwertes hat nur bei 10V (also bei Vollausschlag) den Wert g = 15 fuumlr jeden anderen Messwert ist sie groumlszliger Bei den angezeigten 3V betraumlgt sie bereits 5 da der Bezugswert fuumlr die relative Fehlergrenze des Messwertes der jeweilige Messwert ist also
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
13 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Gerade der Vergleich zwischen dem Weigel-Geraumlt mit Ri = 10kΩ und dem AS
(Leybold) mit nur noch 1kΩV zeigt das ganz offenbar der Innenwiderstand des
Messgeraumltes eine wesentliche Einfluszliggroumlszlige auf die Messung darstellt
Um dies zu verdeutlichen wird ein weiterer Versuch mit dem Weigel-Messgeraumlt und
drei untereinander baugleichen genauen Messgeraumlten vom Typ Mastech zur
Bestaumltigung und Kontrolle der Annahme gestartet
Zunaumlchst werden die Tischmultimeter jeweils an einem Widerstand angeschlossen
Das heiszligt die Spannung an jedem Widerstand wird separat mit einem eigenen
Voltmeter und zeitgleich gemessen Die baugleichen Geraumlte stellen in dieser
Anordnung ja nur noch zusaumltzliche Parallelwiderstaumlnde zu den Widerstaumlnden R1 bis
R3 dar und wuumlrden so nach den Voruumlberlegungen auf Seite 4 keinen Einfluszlig
ausuumlben duumlrfen
Tatsaumlchlich zeigen alle Voltmeter in dieser Schaltung nahezu gleiche Werte7 an
7 genau gleich wird das schon deshalb nicht moumlglich sein weil die Widerstaumlnde selbst Toleranzen aufweisen
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14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
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15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
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16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
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18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
14 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Alle Voltmeter zeigen die erwarteten 5V an und bestaumltigen so die Theorie
Jetzt wird der Aufbau geaumlndert Zusaumltzlich zu den drei Multimetern wird das Weigel-
Messgeraumlt wieder am mittleren Widerstand angeschlossen (im Bild hier gelbe
Leitungen)
Wenn die Annahme mit dem Einfluszlig des Innenwiderstandes der Messgeraumlte korrekt
ist dann wird jetzt folgendes Verhalten erwartet
1) Die beiden parallel an Widerstand R2 angeschalteten Messgeraumlte zeigen beide
den selben Wert an
2) Die an R2 angezeigte Spannung ist kleiner als 5V erwartet - wie vorher im
Versuch - werden wieder 3V
3) Die beiden Messgeraumlte an R1 und R3 zeigen beide den selben Wert an jedoch
mehr als 5V erwartet werden wenn U2 = 3V ist hier U1 = U3 = 6V aus
= 15V - 3V = 12V
Und da die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleich sind folgt erneut das sich die
verbliebene Restspannung von 12V gleichmaumlszligig auf diese beiden Widerstaumlnde
aufteilt also eben je 6V
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
15 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Nach Zuschalten des Weigel Geraumltes zeigt sich folgende Situation
Tatsaumlchlich zeigen die mittleren Geraumlte Weigel und Mastech beide dieselben Werte
an und wie erwartet 3V
Und wie erwartet zeigen die beiden aumluszligeren Messgeraumlte fuumlr U1 und U3 jeweils 6V an
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
16 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Damit bestaumltigt sich die Annahme der Innenwiderstand eines Messgeraumltes hat einen
wesentlichen Einfluszlig auf die gesamte Messung und deren Ergebnis
Mit der Genauigkeit eines Geraumltes hat das nichts zu tun wie im letzten Versuch zu
sehen ist Denn hier zeigen die beiden mittleren Geraumlte ja die gleichen Werte an
Nun laumlszligt sich dies auch theoretisch recht anschaulich erklaumlren
Wird ein Messgeraumlt in die Schaltung eingebracht dann wirkt dessen Innenwiderstand
als zusaumltzlich parallel geschalteter Widerstand Nach den Gesetzmaumlszligigkeiten der
Parallelschaltung von Widerstaumlnden wird dann aber der neue Gesamtwiderstand
kleiner als der kleinste der beiden Teilwiderstaumlnde denn es gilt fuumlr eine
Parallelschaltung von Widerstaumlnden
oder im Spezialfall fuumlr zwei parallel geschaltete Widerstaumlnde
Vom Waigel-Messgeraumlt ist bekannt Ri = 10kΩ Wird dieses Messgeraumlt nun parallel
zu einem Widerstand wie hier im Versuch von ebenfalls 10kΩ geschaltet dann
ergibt das einen neuen Gesamtwiderstand aus R2 und Ri von
Und damit wird aus der urspruumlnglichen Reihenschaltung gleicher Widerstaumlnde jetzt
und fuumlr die Spannungen gilt dann
aus
wird mit fuumlr U1 = 10kΩ bull 06mA = 6V
U2 = 5kΩ bull 06mA = 3V
U3 = 10kΩ bull 06mA = 6V
Und das war ja auch das Ergebnis der Messung oder wie der Mathematiker so gerne schreibt qed8 Es handelt sich hier uumlbrigens um einen systematischen Fehler
8 qed aus dem Lateinischen quod erat demonstrandum = was zu beweisen war
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
17 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
Und das Demonstrations-Messgeraumlt vom Typ AS (Leybold) 12637 welchen Innenwiderstand hat das
Nun mit den vorliegenden Daten laumlszligt sich das leicht ermitteln
U2 also die Spannung am Messgeraumlt betraumlgt ja nur noch 15V (vgl Seite 10)
Demzufolge teilt sich die Restspannung auf die Widerstaumlnde R1 und R3 wieder gleichmaumlszligig auf und zwar zu
= 15V - 15V = 135V
also fuumlr U1 = U3 = 135V 2 = 675V
Und Strom wird dann zB in R1
I = U1 R1 = 0675mA
Und damit wird der Ersatz-Widerstand der Parallelschaltung aus Ri und R2
Rers2 = U2 I = 15V 0675mA = 222kΩ
Jetzt noch in der bekannten Formel fuumlr die Parallelschaltung
gibt fuumlr Ri
Doch wie kann das sein Der Hersteller gibt doch an Ri = 1kΩ V
Richtig und falsch
Waumlhrend alle anderen Hersteller einen Innenwiderstand direkt in Ohm angeben steht hier eine auf VOLT bezogene Groumlszlige dh pro Skalenteil oder Anzeige in Volt liegt ein Innenwiderstand von 1kΩ zugrunde
Und ein Vergleich mit der Abbildung zeigt ja Die Skale des Messgeraumltes zeigt bei Vollausschlag 3V an (vgl Schalterstellung und -bezeichnung rechts) also damit
Ri =
=
= 3kΩ
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert
copy Dipl Ing (FH) Sven Pfleger
18 Innenwiderstand von Messgeraumlten EM
9 Ausblick
Ein Voltmeter sollte das haben die Versuche deutlich gezeigt einen moumlglichst hohen
Innenwiderstand aufweisen denn bei den drei Voltmetern mit 10MΩ Innenwiderstand
war hier immerhin keine abweichende Anzeige feststellbar Dennoch Auch diese
Geraumlte beeinflussen jede Messung Ein - und wenn auch noch so kleiner - Strom ist
immer noumltig damit eine Spannung gemessen werden kann Und zusaumltzlicher Strom
fuumlr das Messgeraumlt bedeutet immer auch zusaumltzliche Belastung der zu messenden
Spannung Das kann wie gezeigt dazu fuumlhren das die Spannung
zusammenbricht also nicht mehr sinnvoll messbar wird
Gerade in der Elektrostatik treten zwar sehr hohe Spannungen im kV-Bereich auf die
Quellen koumlnnen jedoch keinen besonders groszligen Strom liefern Und die
Beziehungen aus dem ohmschen Gesetz zeigen daszlig selbst bei einem Innen-
widerstand von 10MΩ zur Anzeige von wenigstens 10kV immerhin noch ein Strom
von 1mA noumltig ist - nicht viel Nun Leider sind Hochspannungsquellen wie
Bandgeneratoren9 etc nicht in der Lage sehr viel mehr als vielleicht 20-30 microA zu
liefern10 Ideal waumlre ein Spannungsmesser mit unendlich hohem Widerstand doch so
etwas gibt es natuumlrlich leider nicht Immerhin gibt es sog elektrostatische Voltmeter -
vgl die Geraumlte von Phywe (1115000 und 1115100) - die diesem Idealfall doch recht
nahe kommen mit einem Eingangswiderstand von 1014Ω
Sie nutzen die elektrostatischen Anziehungskraumlfte und lenken so eine empfindliche Anzeigeeinheit aus - vgl letztes Bild oben Aumlhnlich funktionieren sog Lichtzeiger-Galvanometer
Uumlbrigens auch die Strommessung mit Amperemetern beeinflusst in aumlhnlicher Weise das Messergebniss Hier wuumlrde ein ideales Messgeraumlt einen Innenwiderstand von 0Ω haben sollen denn Amperemeter werden ja in Reihe zum Verbraucher geschaltet Und jeder zusaumltzliche Verbraucher also auch das Messgeraumlt selbst nimmt zusaumltzlichen Strom auf was den Gesamtstrom erhoumlht und die Messung verfaumllscht (Igesamt = IVerbraucher + IAmperemeter) Wenn der Innenwiderstand jetzt aber nahe 0Ω liegt dann geht nach dem ohmschen Gesetz auch der Spannungsabfall am Messgeraumlt gegen 0 weil ja immer am houmlchsten Widerstand einer Reihenschaltung die houmlchste Spannung anliegt (denn I ist ja uumlberall gleich -gt U = R bull I ) und damit auch der Strom IAmperemeter sehr klein wird ( I = U R )
9 vgl Van der Graaf Generator
10 so angegeben fuumlr den Bandgenerator von Leybold Didactic (54170) der max 240kV liefert was bei Messung
mit 10MΩ dann schon einen Strom von mindestens 24mA erfordert