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Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer
Geoinformation IVorlesung 6
WS 2000/2001
Datenstrukturen für Landkarten
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Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6 Lutz Plümer - Geoinformation - 1./5. Semester - WS 00/01 - Vorlesung 6
2 2
Kanten mit Flügeln
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3 3
P1
P8
P2
P3
P6P7
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A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
E6
E7
E8
E9
E10
E11
Außen
E1 P1 P2 A Außen E5 E2
E2 P2 P3 A Außen E1 E6
E3 P3 P4 A B E2 E8
E4 P4 P5 A C E3 E11
E5 P5 P1 A Außen E4 E1
E6 P3 P6 B Außen E3 E7
.....................................................
Kanten:
Wie bei Knoten-Kanten-
Struktur
Vorgängerim Umring derlinken Masche
Nachfolgerim Umring der
rechten MascheGeflügelte Kanten
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4 4
E1 P1 P2 A Außen E5 E2
E2 P2 P3 A Außen E1 E6
E3 P3 P4 A B E2 E8
E4 P4 P5 A C E3 E11
E5 P5 P1 A Außen E4 E1
E6 P3 P6 B Außen E3 E7
.....................................................
Kanten:
Vorgängerim Umring derlinken Masche
Nachfolgerim Umring der
rechten MascheGeflügelte Kanten
P2
P3
P6P7
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3E4
E5
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E11
Außen
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5 5
E1 P1 P2 A Außen E5 E2
E2 P2 P3 A Außen E1 E6
E3 P3 P4 A B E2 E8
E4 P4 P5 A C E3 E11
E5 P5 P1 A Außen E4 E1
E6 P3 P6 B Außen E3 E7
.....................................................
Kanten:
Vorgängerim Umring derlinken Masche
Nachfolgerim Umring der
rechten MascheGeflügelte Kanten
P2
P3
P6P7
P9
A
BC
P5
P4
E1
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E3E4
E5
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E1 P1 P2 A Außen E5 E2
E2 P2 P3 A Außen E1 E6
E3 P3 P4 A B E2 E8
E4 P4 P5 A C E3 E11
E5 P5 P1 A Außen E4 E1
E6 P3 P6 B Außen E3 E7
.....................................................
Kanten:
Vorgängerim Umring der
linken Masche
Nachfolgerim Umring der
rechten MascheGeflügelte Kanten
P2
P3
P6P7
P9
A
BC
P5
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E1 P1 P2 A Außen E5 E2
E2 P2 P3 A Außen E1 E6
E3 P3 P4 A B E2 E8
E4 P4 P5 A C E3 E11
E5 P5 P1 A Außen E4 E1
E6 P3 P6 B Außen E3 E7
.....................................................
Kanten:
Vorgängerim Umring derlinken Masche
Nachfolgerim Umring der
rechten MascheGeflügelte Kanten
P2
P3
P6P7
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A
BC
P5
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Außen
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E1 P1 P2 A Außen E5 E2
E2 P2 P3 A Außen E1 E6
E3 P3 P4 A B E2 E8
E4 P4 P5 A C E3 E11
E5 P5 P1 A Außen E4 E1
E6 P3 P6 B Außen E3 E7
.....................................................
Kanten:
Vorgängerim Umring derlinken Masche
Nachfolgerim Umring der
rechten MascheGeflügelte Kanten
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P3
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A
BC
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9 9
E1 P1 P2 A Außen E5 E2
E2 P2 P3 A Außen E1 E6
E3 P3 P4 A B E2 E8
E4 P4 P5 A C E3 E11
E5 P5 P1 A Außen E4 E1
E6 P3 P6 B Außen E3 E7
.....................................................
Kanten:
Vorgängerim Umring derlinken Masche
Nachfolger im Umring der
rechten MascheGeflügelte Kanten
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P3
P6P7
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A
BC
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E1 P1 P2 A Außen E5 E2
E2 P2 P3 A Außen E1 E6
E3 P3 P4 A B E2 E8
E4 P4 P5 A C E3 E11
E5 P5 P1 A Außen E4 E1
E6 P3 P6 B Außen E3 E7
.....................................................
Kanten:
Vorgängerim Umring derlinken Masche
Nachfolger im Umring der
rechten MascheGeflügelte Kanten
P2
P3
P6P7
P9
A
BC
P5
P4
E1
E2
E3
E4
E5
E6
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E8
E9
E10
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Kanten mit Flügeln
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Die Euler-Formel
• Für jede Landkarte mit – f Maschen (face)– e Kanten (edge)– v Knoten (vertex) gilt:
f - e + v = 2
• Euler-Charakteristik:– Landkarte: 2– Landkarte mit n Kontinenten: n + 1– Landkarte mit n Kontinenten und m Inseln : n + m + 1
• beachte: Außen zählt als eigene Masche!
Euler-Charakteristik
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Topologische Fehler
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Topologische Fehler I
Undershoot
Zwei Referenzpunkte (Namen)Fehlender Knoten
Overshoot
Fehlender Referenz-punkt (Name)
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Topologische Fehler II
• Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten
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Topologische Fehler II
• Überlappung zweier Maschen ohne Überschneidung von Kanten
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Integritätsbedingungen für Landkarten I
1. Schnittfreiheit der Kanten
2. Jede Kante hat zwei Maschenauf verschiedenen Seiten
3. Jede Masche wird von einemeinfachen Zyklus begrenzt
falsch richtig
4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche
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Integritätsbedingungen für Landkarten II
1. Schnittfreiheit der Kanten
2. Jede Kante hat zwei Maschenauf verschiedenen Seiten
3. Jede Masche wird von einemeinfachen Zyklus begrenzt
falsch richtig
4. Kein Mittelpunkt einer Kante liegt in einer Masche
4. Es gibt genau eine unbeschränkte Masche
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19 19
Zusammenfassung: „Geometrisch-Topologische Datenstrukturen“
• Spaghetti mit Koordinaten: redundante Geometrie• Spaghetti mit Punkten: redundante Geometrie• Spaghetti mit Punkten als Objekten: redundanzfreie
Geometrie• Knoten-Kanten-Struktur: redundanzfreie Geometrie,
explizite Topologie, Maschenumring muß berechnet werden
• geflügelte Kanten: redundanzfreie Geometrie, explizite Topologie, Maschenumring leicht zu berechnen
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20 20
Aus Landkarten abgeleitete Strukturen
• quadratische Maschen gleicher Größe:Raster, Grid– kompakte Speicherung
– homogene Informationsdichte
• Maschen sind Dreiecke– Triangulation
– gut zur Modellierung des Geländes
• Verallgemeinerung– Simplizes
– Simpliziale Komplexe
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21 21
Simplizes
• Ein 0-Simplex ist ein Punkt
• Ein 3-Simplex ist einTetraeder
• Ein 2-Simplex ist einDreieck (Inneres + 3 Kanten+ 3 Knoten)
• Ein 1-Simplex ist einegerade Kante
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Beachte: Das Schwierige an den Simplexen ...
... ist der Plural
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23 23
Teilsimplizes
Randeines Dreiecks
• Ein Knoten ist Teilsimplexeiner Kante
• Der Rand eines Simplexist die Menge allerTeilsimplizes.
• Der Teilsimplex T einesSimplex S ist ein Simplex,dessen Knoten alle in Svorkommen.
• Ein Dreieck ist Teilsimplexeines Tetraeders
• Eine Kante ist Teilsimplexeines Dreiecks
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24 24
Simpliziale Komplexe
• Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften:– jeder Teilsimplex in C ist
ebenfalls in C
– der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes
falsch:
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25 25
Simpliziale Komplexe
• Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften:– jeder Teilsimplex in C ist
ebenfalls in C
– der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes
Korrektur:
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26 26
Simpliziale Komplexe
• Ein Simplizialer Komplex C ist eine Menge von Simplizes mit folgenden Eigenschaften:– jeder Teilsimplex in C ist
ebenfalls in C
– der Durchschnitt zweier Simplizes in C ist entweder leer oder ein Teilsimplex beider Simplizes
Korrektur:
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27 27
Anwendungen
• Geländemodell• Computergraphik• Eisberge• ...
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28 28
Resümee
• Landkarten– 2D– beliebige Polygone
• Simpliziale Komplexe– Dreiecke– auch 3D
• Gemeinsamkeiten– Konstruktion des Raumes durch Aggregation atomarer
Primitive– „algebraische“ oder „kombinatorische“ Topologie
• zurück zur „Punktmengentopologie“