integralrechnung - matheblog oberstufe · 2018. 2. 17. · modul 2 grundlagen wissen..... 11...
TRANSCRIPT
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Kü /Ma Integralrechnung SJ 2017/2018
Integralrechnung
Inhalt Integralrechnung ..................................................................................................................................... 1
Kompetenzen, die am Ende erreicht sein müssen .......................................................................... 2
Anleitung – Wie gehe ich mit einem Skript um? .............................................................................. 3
Materialien .............................................................................................................................................. 7
Weg A Projekt .......................................................................................................................................... 9
Weg B (Skript) ........................................................................................................................................ 10
Modul 1 Problemorientierter Einstieg ............................................................................................. 10
Kapitel 1 Streckenberechnung ..................................................................................................... 10
Modul 2 Grundlagen Wissen ............................................................................................................ 11
Kapitel 1 Ober- und Untersumme berechnen ............................................................................. 11
Zusatz Kapitel 2 Von der Obersumme zum Integral (nicht abiturrelevant) ............................... 11
Modul 3 Hauptsatz der Differential- Integralrechnung (HDI) und graphisch integrieren .............. 12
Modul 4 Rechentechniken zur Integralrechnung ............................................................................ 13
Kapitel 1 Grundlegende Integrale und Rechentechniken ........................................................... 13
Kapitel 2 Einstiegsproblem ........................................................................................................... 14
Kapitel 3 weiterführende Integrationsregeln .............................................................................. 14
Modul 5 Flächen- und Volumenberechnung ................................................................................... 16
Kapitel 1 Problem der negativen Flächen .................................................................................... 16
Kapitel 2 Schnittfläche zwischen zwei Funktionen ...................................................................... 16
Kapitel 3 Rotationskörper ............................................................................................................ 17
Kapitel 4 Anwendungsaufgaben (wichtig!!!) ............................ Fehler! Textmarke nicht definiert.
Modul 6 Mittelwertsatz der Integralrechnung ................................................................................ 18
Zusatz Modul 7 Optimierungsprobleme (Abiturrelevant) .............................................................. 20
Modul 8 Abituraufgaben .................................................................................................................. 21
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Kompetenzen, die am Ende erreicht sein müssen Fülle folgenden Fragebogen zu Beginn des Themas und am Ende einmal aus:
Kompetenzen, die du nun erreicht haben solltest + 0 -
Einstieg
Ich verstehe, wozu man die Integralrechnung in der Mathematik verwenden kann
Grundlagen
Ich weiß, wie man die Ober- und Untersumme bildet, um eine Fläche anzunähern
Zusatz Ich weiß, wie man mit Hilfe des Limes aus der Ober- bzw. Untersumme das Integral berechnet
HDI und graphisch integrieren
Ich kenne den HDI und kann die zwei Aussagen daraus in der Integralrechnung anwenden
Ich kann graphisch integrieren
Rechentechniken zur Integralrechnung
Ich kenne alle grundlegenden Integrale
Ich beherrsche die Potenz- und Summenregel
Ich kann mittels Substitution integrieren
Zusatz Ich kann mittels partieller Integration integrieren
Flächen- und Volumenberechnung
Ich kann die Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt, berechnen – auch wenn Teile davon unterhalb der x-Achse liegen
Ich kann die Fläche, die zwischen zwei Graphen eingeschlossen ist, berechnen
Ich kann Rotationskörper im die x-Achse berechnen
Mittelwertsatz der Integralrechnung
Ich kenne den Mittelwertsatz der Integralrechnung
Ich kann den Mittelwertsatz in Aufgaben anwenden
Zusatz Ich kann Optimierungsprobleme mittels Integralrechnung lösen
Ich kann Abituraufgaben zum Thema Analysis vollständig lösen
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Anleitung – Wie gehe ich mit einem Skript um? Im Folgenden wird genau beschrieben, wie du mit einem Skript arbeiten kannst und
worauf du dabei achten musst. Du kannst dir dies zusätzlich – oder stattdessen – auch in
einem Video erklären lassen:
Schaue dir dazu auf www.youtube.com/alexkueck11 das Video mit dem Namen „Aufbau
eines Skriptes“ an.
Um dir das Thema „Integralrechnung“ zu erarbeiten, kannst du grundsätzlich zwei
verschiedene Wege gehen:
Weg A – hier nicht vorhanden.
Weg B – Du gehst die einzelnen Module Schritt für Schritt durch und erarbeitest dir
so nach und nach die einzelnen Module (hier lernst du sozusagen Stück für Stück, wie
die Projektaufgabe gelöst werden kann. Die Projektaufgabe wurde daher auch in
„kleine Häppchen“ aufgeteilt und am Ende von jedem Modul wird ein Stück der
Projektaufgabe gelöst).
Mit beiden Wegen kannst du die geforderten Kompetenzen erwerben. Wenn du schon
einiges über die funktionale Programmierung weist und gerne an etwas knobelst, kannst
du Weg A wählen. Behalte dabei aber immer auch im Auge, was du am Ende der Einheit
können musst.
Wenn du in diesem Bereich aber noch unsicher bist und das Thema lieber Schritt für
Schritt erklärt bekommen möchtest, um es zu begreifen, wähle zunächst lieber Weg B.
Auch hier löst du die Projektaufgabe, aber eben Schritt für Schritt und es wird dir
vorgegeben, wie der Lösungsweg aussehen kann.
Wenn du einen der beiden Wege eingeschlagen hast, bedeutet das allerdings nicht, dass
du darauf festgelegt bist! Natürlich kannst du vom Projekt auch wieder auf die Module
umsteigen, zum Beispiel, wenn du bei einer Sache nicht weiterkommst. Ebenso kannst
du auch zur Projektaufgabe wechseln, wenn du nach ein paar Modulen merkst, dass du
jetzt schon gut im Thema drin bist, und versuchen möchtest, eigenständig weiter zu
knobeln.
Lege dir eine Mappe an, in der du alle Lösungen und (Zwischen-) Ergebnisse zu den
Aufgaben bzw. dem Projektvorhaben festhältst.
Wichtig: Du kannst deine Ergebnisse immer zwischendurch mit dem Lehrer abgleichen, um
zu sehen, ob du auf dem richtigen Weg bist.
Gerade wenn du an dem Projekt arbeitest (aber auch wenn du mit dem Skript
eigenverantwortlich durch das Thema gehst), ist es wichtig, dass du festhältst, wie du
vorgegangen bist. Das tust du bitte in einem Blog oder einer Mappe. Dort hältst du fest, in
welche Probleme du gelaufen bist und wie du sie gelöst hast – und vor allem, was du
dadurch gelernt hast.
Wichtige Ergebnisse, Erkenntnisse, Merksätze oder Lösungsstrategien gehören hier
ebenfalls hin. Am besten ist es, wenn du das in deinen eigenen Worten oder auch durch
eine Skizze ausdrücken kannst. Selbst wenn das dann nicht ganz richtig ist, ist es besser
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so, als etwas Fertiges abzuschreiben. Der Lehrer kann so drauf schauen und dir helfen,
wenn du etwas noch nicht vollständig verstanden hast.
Problemlösestrategien stehen bei diesem Projekt im Vordergrund nicht die Inhalte!
Wenn du nicht genau weißt, was du aufschreiben sollst, lasse es dir vom Lehrer erläutern.
Vorgefertigte Bögen, wo du Hilfestellung zu den Inhalten bekommst, kannst du beim Lehrer
abholen.
Weg A – Bearbeitung der Projektaufgabe:
Hier nicht vorhanden.
Weg B – Bearbeitung der Module
Gehe die Module Schritt für Schritt durch. Um die in jedem Modul angegebenen
Aufgaben bearbeiten zu können, musst du vorher lernen, wie das geht. Nicht der
Lehrer erklärt dir das, du entscheidest, auf welchem Weg du die Informationen haben
möchtest und musst sie dann selbst so für dich zusammenstellen, dass du die
Aufgaben lösen kannst. In der Regel kannst du wählen zwischen einem erklärenden
Text, Webseiten, auf denen du passende Informationen findest oder erklärenden
Videos. Diese kannst du dir so oft ansehen, wie du es brauchst und magst. Wenn du
dennoch weitere Erklärungen benötigst, notiere dir deine Fragen und wende dich damit
an deinen Lehrer oder suche im Internet selbst nach weiteren erklärende Texten oder
Videos. Der Lehrer ist da, um dich in deinem Lernen zu unterstützen, aber du musst
aktiv werden und nachfragen, wenn etwas unklar ist.
Es ist wichtig, dass du alle neuen Begriffe, die du nicht kennst, klärst und richtig
verstehst. Du musst sie in eigenen Worten beschreiben oder sie in einer Skizze
darstellen können.
Gehe bei jedem der Kapitel wie folgt vor:
1. Zu Beginn jedes Kapitels findest du Verweise auf Materialien, die dir helfen sollen,
das Thema zu verstehen, damit du später die dazugehörigen Aufgaben lösen
kannst. Das können zum Beispiel sein:
- erklärende Videos,
- Infotexte (parallel zu den Videos),
- Seiten in einem Schulbuch und
- Texte in Zeitschriften oder auch
- Internetseiten
2. Eventuell brauchst du trotz der Materialien eine zusätzliche Erklärung, dann frage
beim Lehrer nach. Eventuell haben andere ja auch diese Frage, dann kannst du
auch einen kurzen Lehrvortag dazu bekommen oder ein zusätzliches erklärendes
Video.
3. Die Videos und Dateien, auf die in diesem Skript verwiesen werden, findest du
o auf dem YouTube-Kanal: youtube.com/alexkueck11
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4. Falls du in den Materialien auf unbekannte Begriffe stößt, notiere diese. Das
können auch einfache Worte sein. Versuche sie mithilfe der weiteren Materialien
oder durch eigene Recherchen zu klären.
5. Wenn du das Thema verstanden hast und alle darin enthaltenen Fachbegriffe in
deinen eigenen Worten oder mittels einer Skizze erklären kannst, gehst du weiter
zu den Aufgaben:
- Die Aufgaben fordern dich auf, das Gelernte nun anzuwenden.
- Gehe die Aufgabe, die im Skript angegeben sind der Reihe nach durch
(die Aufgaben sind logisch aufeinander aufgebaut, daher der Reihe nach
durchgehen).
- Wenn du eine Aufgabe nicht bearbeiten kannst, gehe noch einmal über die
Materialien oder schaue dir das erklärende Video erneut an. Vielleicht hast
du einen neuen Begriff oder eine neue Idee noch nicht ganz verstanden –
dann hole das nun nach.
- Wenn das nichts hilft, frage bei Mitschülern oder dem Lehrer nach. Lass
dir aber nicht die ganze Aufgabe lösen. Wichtig ist, dass du eigenständig
an einer Lösung arbeitest – auch wenn sie am Ende vielleicht nicht ganz
richtig ist.
- Wenn du an deiner Lösung zweifelst, schaue in den Musterlösungen nach
(falls vorhanden) oder frage den Lehrer, ob er sich deine Ergebnisse auch
zwischendurch anschauen kann.
Falls du bei einer Aufgabe doch noch Schwierigkeiten hast, schaue dir noch
einmal die erklärenden Materialien an.
Wichtig ist, dass du selbst an den Lösungen arbeitest und nicht andere das
mache lässt.
6. Wenn Aufgaben, die mit einem Zusatz gekennzeichnet sind, brauchst du nicht
bearbeiten. Diese Aufgaben sind schwieriger und gehen über das hinaus, was du
als Minimum erreichen musst, um das Skript erfolgreich abzuschließen. Für eine
abschließende Note im Einser- oder Zweier-Bereich solltest du aber
zumindest einige dieser Zusatzaufgaben bearbeiten.
7. Es wird zwischendurch Tests geben, diese werden rechtzeitig angegeben. Auch
welche Kompetenzen in den Tests angefragt werden.
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Wichtig:
Wichtig ist, dass du bei der Arbeit mit dem Skript selbst aktiv wirst und deinen eigenen
Lernprozess überwachst:
Liege ich noch gut in der Zeit?
Habe ich alles verstanden/begriffen oderbrauche ich noch Hilfe oder zusätzliche
Erklärungen?
Wie kann ich Zusammenhänge besser verstehen/begreifen, die noch unklar sind?
Wer kann mir bei der Bearbeitung der Aufgaben helfen?
Du musst selbst entscheiden, wo du dir weitere Informationen/hilfen holen möchtest und von
dir aus auf deinen Lehrer oder Mitschüler zugehen, um Fragen zu stellen, damit du die
Themen und Begriffe besser verstehst und am Ende die geforderten Zielkompetenzen
erreichst!
Es wird am Ende eine Klausur geben, die du bestehst, wenn du alle Aufgaben bearbeitet und
verstanden/begriffen hast und die Kompetenzen erreicht hast.
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Materialien Videos
Integralrechnung
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-einfuehrung-beispiel-strecke
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-ober-und-untersumme
Obersumme in n Teilen berechnen: https://www.youtube.com/watch?v=wyG4IJmmAmY
Zusatz Obersumme und der Limes: https://www.youtube.com/watch?v=MBsHRSxuDKM
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-hdi
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrieren
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrieren-ii
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-potenz-und-summenregel
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-substitutionsregel
Zusatz: http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-partielle-integration
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-negative-flaechen
Fläche zwischen zwei Graphen: https://www.youtube.com/watch?v=XONmXtVVcr4
Mittelwertsatz: https://www.youtube.com/watch?v=MjFeAGa-0bM&index=5&list=PLLTAHuUj-zHi3_pCEBjTqr3fLucrl-KZ7
Zusatz Einführung Extremwertaufgaben: https://www.youtube.com/watch?v=9V3H3ha-Cxo
Zusatz maximaler Flächeninhalt: https://www.youtube.com/watch?v=yCoSLQ2d3bI
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-rotationskoerper
Texte Integralrechnung
http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad
https://www.dom-gymnasium.de/mathpage/12/Integration/integral01.html
http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/
Bestimmtes Integral - Grundwissen
https://www.mathebibel.de/integration-durch-substitution
https://www.mathebibel.de/partielle-integration
https://www.mathebibel.de/integrationsregeln
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/fleache-zwischen-funktionen.html rotation
Arbeitsblätter im Skript
Integralrechnung Einführung Beispiel Strecke
Bestimmtes Integral - Anwendungsaufgabe Heißluftballon
Berechnung Bestimmter Integrale mit Stammfunktionen - Einf…
Potenzregel Aufgaben
e fkt integ und abl
Übung-zu-stammfunktionen-mit-expo-und-sin-funktionen
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-einfuehrung-beispiel-streckehttp://kkghh.de/neu.php?name=ober-und-untersummehttps://www.youtube.com/watch?v=wyG4IJmmAmYhttps://www.youtube.com/watch?v=MBsHRSxuDKMhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-hdihttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrierenhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrierenhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-potenz-und-summenregelhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-substitutionsregelhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-partielle-integrationhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-negative-flaechenhttps://www.youtube.com/watch?v=XONmXtVVcr4https://www.youtube.com/watch?v=MjFeAGa-0bM&index=5&list=PLLTAHuUj-zHi3_pCEBjTqr3fLucrl-KZ7https://www.youtube.com/watch?v=MjFeAGa-0bM&index=5&list=PLLTAHuUj-zHi3_pCEBjTqr3fLucrl-KZ7https://www.youtube.com/watch?v=9V3H3ha-Cxohttps://www.youtube.com/watch?v=yCoSLQ2d3bIhttps://www.dom-gymnasium.de/mathpage/12/Integration/integral01.htmlhttp://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/file:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Einführung/Bestimmtes%20Integral%20-%20Grundwissen.pdfhttps://www.mathebibel.de/integration-durch-substitutionhttps://www.mathebibel.de/partielle-integrationhttps://www.mathebibel.de/integrationsregelnhttp://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/fleache-zwischen-funktionen.htmlfile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Skript/rotation.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/problemorientierter%20Einstieg/Integralrechnung%20Einführung%20Beispiel%20Strecke.docxfile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Einführung/Bestimmtes%20Integral%20-%20Anwendungsaufgabe%20Heißluftballon.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Einführung/Berechnung%20Bestimmter%20Integrale%20mit%20Stammfunktionen%20-%20Einf….pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Aufgaben/Potenzregel%20Aufgaben.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/e%20fkt%20integ%20und%20abl.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Aufgaben/Übung-zu-stammfunktionen-mit-expo-und-sin-funktionen.pdf
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finden-der-zugehoerigen-komplexen-stammfunktionen
AufgabeSektglas
arbeitsblatt-einfuehrung-textaufgaben-integralrechnung
Der Tropf mit Lösung
Das Bierschaumexperiment
textaufgaben-zur-integralrechnung6 aufgaben-paket-2-ea-mat1
mat1-ea-paket2-ab-2016
mat1-ea-paket3-ab-2016
Kurzzusammenfassung der Themen
https://www.studyhelp.de/mathe/analysis/integralrechnung/
file:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Aufgaben/finden-der-zugehoerigen-komplexen-stammfunktionen.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Rotationskörper/AufgabeSektglas.docfile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Aufgaben/ganzrationale%20Funktionen/arbeitsblatt-einfuehrung-textaufgaben-integralrechnung.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Der%20Tropf%20mit%20Lösung.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Das%20Bierschaumexperiment.docxfile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Integralrechnung/Aufgaben/textaufgaben-zur-integralrechnung6.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/aufgaben-paket-2-ea-mat1.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/mat1-ea-paket2-ab-2016.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/mat1-ea-paket3-ab-2016.pdf
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Weg A Projekt Du kannst statt der Skriptaufgaben auch folgende Projektaufgaben bearbeiten. Das aber bitte nur in
Absprache mit der Lehrkraft, da die Projektaufgaben nicht alle nötigen Kompetenzen abdecken –
diese musst du zu gegebener Zeit im Skript nacharbeiten. Behalte daher die Kompetenzübersicht
stets im Blick.
Kompetenzübersicht
Projektaufgaben
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Weg B (Skript) Modul 1 Problemorientierter Einstieg Was kann man mit Integralrechnung eigentlich tun – was ist der Nutzen davon? Diese Frage soll hier
zunächst beantwortet werden
Kapitel 1 Streckenberechnung Man berechnet die Länge der zurückgelegten Strecke bei einer gleichförmigen Geschwindigkeit über
𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡. Im v-t-Diagramm entspricht dieses Produkt also der Fläche unter dem Graphen.
Bearbeite zunächst folgendes Arbeitsblatt, schaue das Video nur, wenn du nicht weiterkommst.
Videos:
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-einfuehrung-beispiel-strecke
Erklärende Texte:
…
Aufgabe 1.1 Integralrechnung Einführung Beispiel Strecke
../problemorientierter%20Einstieg/Integralrechnung%20Einführung%20Beispiel%20Strecke.docx
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Modul 2 Grundlagen Wissen Wie kann man die Fläche unter gekrümmten Graphen berechnen? Oder zumindest gut annähern.
Wie das geht, erfährst du hier
Kapitel 1 Ober- und Untersumme berechnen Um die Fläche unter einer gekrümmten Kurve zu berechnen, zumindest annähernd, bildet man die
Ober- und Untersumme. Was das ist und wie man es berechnet, erfährst du hier.
Erklärendes Video: o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-ober-und-untersumme
Erklärender Text: o http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernp
fad
Aufgabe 2.1
1. Gegeben ist die Funktion f(x)=3x³. Bestimme die Ober und Untersumme für n=8 Rechtecke im Intervall [0..2]
2. Mache einen Merkhefteintrag, indem du genau erläuterst, wozu man die Ober- bzw. Untersumme berechnet und wie man das macht.
3. Wähle dir selbst weitere Funktionen aus, um im Intervall zwischen [0..2] die Ober- und Untersumme berechnen und können – bis du es sicher kannst.
Zusatz Kapitel 2 Von der Obersumme zum Integral (nicht
abiturrelevant) Integralrechnung ist quasi die Ober. Bzw. Untersumme nur als exakte Fläche – nicht genähert. Wie
kommt man nun von der Ober- bzw. Untersumme zum Integral?
Erklärendes Video: o Obersumme in n Teilen berechnen:
https://www.youtube.com/watch?v=wyG4IJmmAmY o Obersumme und der Limes: https://www.youtube.com/watch?v=MBsHRSxuDKM
Erklärender Text: o https://www.dom-gymnasium.de/mathpage/12/Integration/integral01.html
Aufgabe 2.2. Berechne mit Hilfe der Obersumme die Fläche von x+1, x² und x³ im Intervall [0..1]
Tipp: es gilt: o 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 o 1²+2²+3²+…+ n² =n(n+1)(2n+1)/6 o 1³+2³+3³+…+n³ = n²(n+1)²/4
http://kkghh.de/neu.php?name=ober-und-untersummehttps://www.youtube.com/watch?v=wyG4IJmmAmY
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Modul 3 Hauptsatz der Differential- Integralrechnung
(HDI) und graphisch integrieren Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist eine der wichtigsten Aussagen in der
Analysis (.. das Thema in der Mathematik, was mit Funktionen und so zu tun hat…). Er sagt aus, wie
integrieren und differenzieren miteinander zusammenhängen – nämlich das das jeweils eine die
Umkehrung des anderen ist!
Erklärendes Video: o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-hdi o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrieren o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrieren-ii
Erklärender Text: o http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernp
fad/ o Bestimmtes Integral - Grundwissen
Aufgabe 3.1.
1. Mache einen Merkhefteintrag zum HDI und formuliere in eigenen Worten die zwei wichtigen Aussagen.
2. Einstiegsaufgabe graphisch integrieren: Bestimmtes Integral - Anwendungsaufgabe Heißluftballon
3. Einstieg bestimmte Integrale und graphisch integrieren: Berechnung Bestimmter Integrale mit Stammfunktionen - Einf…
weitere Aufgaben graphisch integrieren: Aufgaben zur graphischen Integration
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-hdihttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrierenhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-graphisch-integrierenhttp://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/../Einführung/Bestimmtes%20Integral%20-%20Grundwissen.pdf../Einführung/Bestimmtes%20Integral%20-%20Anwendungsaufgabe%20Heißluftballon.pdf../Einführung/Bestimmtes%20Integral%20-%20Anwendungsaufgabe%20Heißluftballon.pdf../Einführung/Berechnung%20Bestimmter%20Integrale%20mit%20Stammfunktionen%20-%20Einf….pdf../Einführung/Berechnung%20Bestimmter%20Integrale%20mit%20Stammfunktionen%20-%20Einf….pdf../Aufgaben/Aufgaben%20zur%20graphischen%20Integration.pdf
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Modul 4 Rechentechniken zur Integralrechnung Rein rechnerisch entspricht das Integrieren dem “rückwärts“ ableiten und wird daher auch oft
„aufleiten“ genannt. Leider ist es aber nicht immer ganz so einfach, daher musst du ein paar
grundlegende Rechentechniken beherrschen.
Kapitel 1 Grundlegende Integrale und Rechentechniken Hier zunächst ein paar Funktionen von denen man die Stammfunktion einfach kennen muss (leider auswendig lernen):
Erklärendes Video: o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-potenz-und-summenregel
Erklärender Text: o https://www.mathebibel.de/integrationsregeln
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-potenz-und-summenregel
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Aufgabe 4.1. 1. Potenzregel Aufgaben 2. Bestimme allgemein die Stammfunktion zu 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑎𝑥+𝑏 3. Übungen zu e-Funktionen (17, 18, 4.Übung 1 und 2, Zusatz: Übung 3,4): e fkt integ
und abl 4. Allgemeine Übungen:
a. Übung-zu-stammfunktionen-mit-expo-und-sin-funktionen b. finden-der-zugehoerigen-komplexen-stammfunktionen
Kapitel 2 Einstiegsproblem Nun solltest du alle Techniken beherrschen, um den Rest des Einstiegsproblems lösen zu können
Aufgabe 4.2. 1. Löse das Einstiegsproblem nun vollständig: Integralrechnung-Einführung am
Beispel Strecke
Kapitel 3 weiterführende Integrationsregeln Genau wie beim Ableiten, gibt es auch beim Aufleiten ein paar mathematische „Tricks“, mit denen
man eventuell auch komplexere Funktionen aufleiten kann. Die Substitution entspricht in etwa der
Substitution beim ableiten – man muss nur auf die Integrationskonstante aufpassen.
Die partielle Integration entspricht in etwa der Produktregel. Aber man kann einige Produkte von
Funktionen damit integrieren.
Erklärendes Video: o http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-substitutionsregel o Zusatz: http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-partielle-
integration Erklärender Text:
o https://www.mathebibel.de/integration-durch-substitution o Zusatz https://www.mathebibel.de/partielle-integration
Aufgabe 3.3 1. Schreibe in dein Merkheft einen Algorithmus zur
Substitutionsregel
Zusatz partiellen Integration
2. Weise jeweils mit Hilfe der Substitution nach, dass F eine Stammfunktion von f ist:
12)( xexF 1
2
2)( xexxf
../Aufgaben/Potenzregel%20Aufgaben.pdf../e%20fkt%20integ%20und%20abl.pdf../e%20fkt%20integ%20und%20abl.pdf../Aufgaben/Übung-zu-stammfunktionen-mit-expo-und-sin-funktionen.pdf../Aufgaben/finden-der-zugehoerigen-komplexen-stammfunktionen.pdf../problemorientierter%20Einstieg/Integralrechnung%20Einführung%20Beispiel%20Strecke.docx../problemorientierter%20Einstieg/Integralrechnung%20Einführung%20Beispiel%20Strecke.docxhttp://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-substitutionsregelhttps://www.mathebibel.de/integration-durch-substitutionhttps://www.mathebibel.de/partielle-integration
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)2ln()(xexF x
x
e
exf
2)(
5)13(
5
1)( xxF 4133)( xxf
2212)( xxF
221
4)(
x
xxf
3. Übungen zur Substitution:
Finde heraus, welche Struktur die Funktionen f aufweisen
Integriere mittels Substitution
Zusatz Löse mit Hilfe der partiellen Integration
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Modul 5 Flächen- und Volumenberechnung Wie kann man mit Hilfe der Integralrechnung konkrete Flächen berechnen mit gekrümmten
Umrandungen.
Kapitel 1 Problem der negativen Flächen Eigentlich gibt es natürlich keine negativen Flächen, aber liegt eine Fläche im KOS unterhalb
der x-Achse, so bekommt sie ein negatives Vorzeichen. D.h. berechnet man eine
Gesamtfläche unter einem Graphen und der Graph wechselt dabei von positiven y-Werten
zu negativen, so bekommt man nicht die korrekte Fläche berechnet.
Erklärendes Video (nur falls nötig):
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-negative-flaechen
Aufgabe 5.1. 1. Bevor du das Video schaust, überlege selbst einmal, wie man das Problem der
negativen Flächen beheben könnte. D.h. ich möchte von 0 bis 8 integrieren und die Fläche unter dem Graphen bestimmen, aber die Funktionswerte des Graphen sind von 0-4 positiv und ab 4 negativ.
2. Buch S. 175, Aufgabe 2, 3, 4; S. 181, Aufgabe 1
Kapitel 2 Schnittfläche zwischen zwei Funktionen Um die eingeschlossene Fläche zwischen zwei Funktionen zu berechnen, benutzt man
folgenden Ansatz
Erklärendes Video:
Fläche zwischen zwei Graphen: https://www.youtube.com/watch?v=XONmXtVVcr4
Erklärender Text:
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/fleache-zwischen-funktionen.html
Aufgabe 5.2. 1. Wähle 5 der im Link aufgeführten Aufgaben aus und löse sie (ohne vorher in die
Lösung zu schauen!!!): http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p6_int_t_03/p6_int_t_03.htm
2. Zusatz (Achtung Abiturrelevant): Gegeben sei die Funktion 𝑓𝑢(𝑥) =1
8𝑥3 + 𝑢 ∙ 𝑥2.
Bestimme u, so dass ein Wendepunkt der Funktion bei x=3 liegt
Berechne für 𝑢 = 3
4 die Fläche, die zwischen der Normalen im
Wendepunkt, der Kurve (Graph) und der y-Achse liegt.
Berechne für 𝑢 = 3
4 die Fläche, die zwischen der Normalen im
Wendepunkt, der Kurve (Graph) und der x-Achse liegt.
https://www.youtube.com/watch?v=XONmXtVVcr4http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p6_int_t_03/p6_int_t_03.htm
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Kapitel 3 Rotationskörper Wenn man die Funktion um die x-Achse rotieren lässt, entsteht ein Rotationskörper. Sein
Volumen kann man mit Hilfe der Integralrechnung berechnen
Erklärendes Video:
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-rotationskoerper ErklärenderText
o rotation
Aufgabe 5.3. 1. Berechne folgende Volumina:
𝑓(𝑥) = 5 [2,3]
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4 [0,2]
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 [0,2]
𝑓(𝑥) = √𝑟2 − 𝑥2 [−𝑟, 𝑟]
2. .
3. .
4. AufgabeSektglas
http://kkghh.de/neu.php?name=integralrechnung-rotationskoerperrotation.pdf../Rotationskörper/AufgabeSektglas.doc
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Modul 6 Mittelwerte bei Integralen Häufig kommt das in Teilaufgaben vor, daher hier noch eine Erklärung, wenn nach mittleren
Werten beim Integrieren gefragt wird.
Erklärendes Video:
https://www.youtube.com/watch?v=MjFeAGa-0bM&index=5&list=PLLTAHuUj-zHi3_pCEBjTqr3fLucrl-KZ7
Aufgabe 6.1.
1. Berechne die Mittelwerte zu den folgenden Funktionen im jeweils angegebenen Bereich:
a. 𝑓(𝑥) =1
𝑥2 𝑓ü𝑟 𝑥 𝑖𝑛 [1,6]
b. 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 𝑓ü𝑟 𝑥 𝑖𝑛 [−1,3] c. Zusatz: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2(𝑥) 𝑓ü𝑟 𝑥 𝑖𝑛 [0,2𝜋]
i. Tipp: partielle Integration einmal anwenden und dann sin²x+cos²x=1 anwenden.
d. Ein Auto beschleunigt in 10 s von 0 auf 100 km/h. In dieser Zeit verläuft die Geschwindigkeit in etwa entlang der Funktion
𝑣(𝑡) =1
3,6∙ 𝑡(20 − 𝑡) (𝑖𝑛
𝑚
𝑠)
i. Wie viel Strecke hat das Auto nach 5 Sekunden zurückgelegt? ii. Wie viel Strecke hat das Auto im Mittel pro Sekunde in dem
Zeitraum von 0 bis 10 Sekunden zurückgelegt? e. Der Mittelwert der Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 beträgt 27 in dem Intervall
[0,a]. Bestimme a.
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Modul 7 Anwendungsaufgaben Ein paar komplexere Aufgaben zur Anwendung von den bisher erlernten Rechentechniken
Aufgabe 7.1.
1. arbeitsblatt-einfuehrung-textaufgaben-integralrechnung (2. Ist Zusatz) 2. Der Tropf mit Lösung (schwieriger) 3. Das Bierschaumexperiment2 4. textaufgaben-zur-integralrechnung6
../Aufgaben/ganzrationale%20Funktionen/arbeitsblatt-einfuehrung-textaufgaben-integralrechnung.pdf../Der%20Tropf%20mit%20Lösung.pdfAB%20zum%20Skript/Das%20Bierschaumexperiment2.docx../Aufgaben/textaufgaben-zur-integralrechnung6.pdf
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Zusatz Modul 8 Optimierungsprobleme
(Abiturrelevant) Wie kann man den maximalen Flächeninhalt bestimmen….
Erklärendes Video: o Einführung
Extremwertaufgaben: https://www.youtube.com/watch?v=9V3H3ha-Cxo
o maximaler Flächeninhalt: https://www.youtube.com/watch?v=yCoSLQ2d3bI
Aufgabe 7.1.
1. schreibe einen Algorithmus mit Haupt- und Nebenbedingung auf, wie man an Extremwertaufgaben herangeht.
2.
3.
4.
https://www.youtube.com/watch?v=9V3H3ha-Cxohttps://www.youtube.com/watch?v=yCoSLQ2d3bI
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Modul 9 Abituraufgaben Gemischt, verschiedene Funktionsarten mit Differential und Integralrechnung – jetzt musst
du alles können zum Thema Analysis.
Aufgabe 7.1. aufgaben-paket-2-ea-mat1
mat1-ea-paket2-ab-2016
mat1-ea-paket3-ab-2016
file:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/aufgaben-paket-2-ea-mat1.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/mat1-ea-paket2-ab-2016.pdffile:///C:/Users/Alexandra/OneDrive/Schule/Mathematik%20Themen/Abitur/eA%20Analysis/mat1-ea-paket3-ab-2016.pdf